福建省龙岩市新罗区莲东中学2018-2019学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年福建省龙岩市新罗区莲东中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列图形中，是中心对称图形的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列方程中，是一元二次方程的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：A、是一元一次方程，故本选项错误；B、，当时是一元一次方程，故本选项错误；C、，不是一元二次方程，故本选项错误；D、是一元二次方程，故本选项正确；故选：D．根据一元二次方程的定义进行选择即可．本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3.配方法解方程，则方程可化为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：方程移项得：，配方得：，即．故选：B．方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果．此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．4.如图所示，当时，函数与在同一坐标系内的图象可能是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A、由一次函数的图象可知，二次函数对称轴，错误；B、由一次函数的图象可知，二次函数对称轴，正确；C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，错误；D、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，错误；故选：B．本题可先由一次函数象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．数形结合思想就是，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．5.一元二次方程的根的情况是A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个相等的实数根D. 没有实数根【答案】D【解析】解：，方程没有实数根，故选：D．求出一元二次方程根的判别式；根据根的判别式即可判断根的情况．本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．6.对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；时，y 随x的增大而减小，其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线，故本小题错误；顶点坐标为，正确；时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共3个．故选：C．根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．7.根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程a，b，c为常数的一个解x的范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由表格中的数据看出和更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．利用二次函数和一元二次方程的性质．该题考查了用表格的方式求函数的值的范围．8.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有人．A. 12B. 10C. 9D. 8【答案】C【解析】解：设这小组有x人．由题意得：，解得，不合题意，舍去．即这个小组有9人．故选：C．每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数人数，把相关数值代入计算即可．本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．9.已知点，，在二次函数的图象上，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：抛物线的对称轴为，，函数开口向上，有最小值，时函数值最小，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，．故选：B．求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．10.如图为二次函数的图象，则下列说法：；；；当时，其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：图象开口向下，能得到，与y轴交于正半轴，则，对称轴在y 轴右侧，故，则，故错误；对称轴在y轴右侧，，则有，即，故正确；当时，，则，故正确；由图可知，当时，，故正确．故选：C．根据函数的开口方向，对称轴以及与y轴的交点确定a，b，c的符号，从而判断；根据对称轴的位置判断；根据时的纵坐标的位置判断；根据二次函数图象落在x 轴上方的部分对应的自变量x的取值，判断．本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与一元一次不等式的关系，难度适中．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.抛物线的顶点坐标为______．【答案】．【解析】解：顶点坐标是．故答案为：．直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌握．12.平面直角坐标系中，关于原点对称的点A 坐标是______．【答案】【解析】解：关于原点对称的点A 坐标是，故答案为：．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．13.若是关于x的方程的根，则的值为______．【答案】【解析】解：把n代入方程得到，将其变形为，因为所以解得．利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出，即为所求．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．14.如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为______度【答案】72【解析】解：五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为度．根据旋转的性质和五角星的特点解答．本题考查旋转对称图形的概念，旋转的最小度数是解决本题的关键．【链接】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．15.如图，在平面直角坐标系中，将抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为______．【答案】4【解析】解：过B作轴于C，根据平移得：x轴上面的阴影部分的面积等于四边形OABC中空白部分的面积，则对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积等于四边形OABC的面积，，点B是抛物线的顶点，，，，四边形OABC为矩形，，即对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积等于4，故答案为：4．过B作轴于C，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，然后求解即可．本题考查了阴影部分面积的求法，观察图形，将阴影部分的图形转化为与它相等的四边形或三角形是解题的关键．16.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为______．【答案】或【解析】解：据题意得，，，或．故答案为：或此题考查学生的分析问题和探索问题的能力解题的关键是理解题意，在此题中，，代入所给公式得：，则可得一元二次方程，解方程即可求得．此题将规定的一种新运算引入题目中，题型独特、新颖，难易程度适中．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．求平均年增长率？若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？【答案】解：设平均年增长率为x，根据题意得：，整理得：，开方得：，解得：或舍去，则平均年增长率为；根据题意得：万元，则2018年盈利2592万元．【解析】设平均年增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；由求出的年增长率确定出所求即可．此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）18.解方程：；．【答案】解：，．．，，或，解方程得：，．【解析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．先移项，然后提取公因式进行因式分解．本题考查了解一元二次方程的应用，解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．19.如图，以点O为中心，把顺时针旋转．【答案】解：如图所示，即为所求：【解析】根据旋转角、旋转方向、旋转中心找出旋转后的对称点，顺次连接即可．本题主要考查的是旋转变换的作图方法，在旋转作图时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．20.某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物如图，大门地面宽米，顶部C离地面高度为米现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面米，装货宽度为米请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？【答案】解：根据题意知，，，设这个函数为．将A的坐标代入，得，、F两点的横坐标就应该是和，将代入函数式，得，，因此这辆汽车正好可以通过大门．【解析】本题只要计算大门顶部宽米的部分离地面是否超过米即可如果设C点是原点，那么A的坐标就是，B的坐标是，可设这个函数为，那么将A的坐标代入后即可得出，那么大门顶部宽的部分的两点的横坐标就应该是和，因此将代入函数式中可得，因此大门顶部宽部分离地面的高度是，因此这辆汽车正好可以通过大门．本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部宽部分离地面的高度是解题的关键．21.已知关于x的方程．若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【答案】解：，解得：．的取值范围是；设方程的另一根为，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是，该方程的另一根为．【解析】关于x的方程有两个不相等的实数根，即判别式即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．设方程的另一根为，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．22.已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且函数有最大值是2．求二次函数的图象的解析式；设二次函数的顶点为P，求的面积．【答案】解：该二次函数有最大值，该函数的图象开口方向向下．又二次函数的图象与x轴交于，两点，该抛物线的对称轴是，函数有最大值2，该函数的顶点是．可设该二次函数解析式为，则将点A的坐标代入，得，解得，二次函数的函数关系式；由知，顶点P的坐标是则点P到x轴的距离是2；由，知，则，即的面积是5．【解析】根据题意知该抛物线的顶点是，则可设该二次函数解析式为，然后将点A代入代入该解析式即可求得a的值；根据三角形的面积公式来求的面积．本题考查了抛物线与x轴的交点求二次函数解析式时，也可以设两点式方程，然后把顶点坐标代入求得a值即可．23.如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；求矩形菜园ABCD面积的最大值．【答案】解：设，则，根据题意得，解得，，当时，，不合题意舍去；当时，，答：AD的长为10m；设，，当时，则时，S的最大值为1250；当时，则当时，S随x的增大而增大，当时，S的最大值为，综上所述，当时，S的最大值为；当时，S的最大值为．【解析】设，则，利用矩形的面积公式得到，解方程得，，然后计算后与20进行大小比较即可得到AD的长；设，利用矩形面积得到，配方得到，讨论：当时，根据二次函数的性质得S的最大值为；当时，则当时，根据二次函数的性质得S的最大值为．本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．24.有两个全等的等腰直角三角板ABC和其直角边长均为如图1所示叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合现将三角板EFG 绕O点顺时针旋转，旋转角满足，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分如图．在上述旋转过程中，与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．如图3，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使的面积恰好等于面积的？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．【答案】解：在上述旋转过程中，理由如下：如图1，为等腰直角三角形，为其斜边中点，，，且．如图2，连接CG．，与均为旋转角，．在和中，≌．；在上述旋转过程中，四边形CHGK的面积不变理由如下：由知，≌则．．即：旋转过程中，，的面积为9，是一个定值，在旋转过程中没有变化；假设存在使的面积恰好等于面积的的位置．如图3，设，由题意及中结论可得，，，，，的面积恰好等于面积的，，解得，经检验，均符合题意存在使的面积恰好等于面积的的位置，此时x的值为2或4．【解析】利用旋转的性质，图形的形状和大小不变，可以得到角的度数没有变化，进一步可以得到，得证≌，则全等三角形的对应边相等；全等三角形的性质得到：全等三角形的面积相等，则四边形CHGK的面积等于的面积，所以四边形CHGK的面积不变；根据面积公式得出，根据的面积恰好等于面积的，代入得出方程，求出即可．本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目25.已知抛物线．Ⅰ当顶点坐标为时，求抛物线的解析式；Ⅱ当时，，是抛物线图象上的两点，且，求实数m的取值范围；Ⅲ若抛物线上的点，满足时，，求b，c的值．【答案】解：Ⅰ由已知得，抛物线的解析式为；Ⅱ当时，对称轴直线由图取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴对称，由得又在抛物线图象上的点，且，由函数增减性得或；Ⅲ分三种情况：当，即时，函数值y随x的增大而增大，依题意有，当，即时，时，函数值y取最小值，若，即时，依题意有，或舍去若，即时，依题意有，舍去当，即时，函数值y随x的增大而减小，依题意得，，舍去综上所述，或．【解析】Ⅰ利用抛物线的顶点坐标公式即可得出结论；Ⅱ先确定出抛物线对称轴，进而得出点Q的坐标，即可得出结论；Ⅲ分三种情况利用抛物线的增减性建立方程组即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标，抛物线的对称性，抛物线的增减性，解方程组，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。