MonteCarlo(蒙特卡洛法)简介
蒙特卡罗方法及其在化学中的应用
蒙特卡罗方法及其在化学中的应用蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，是计算机科学中一种统计模拟方法，用概率统计模拟随机事件，真实地模拟复杂的系统的行为，和解决若干规律计算问题。
它曾被用来解决数学、物理和特别是量子物理中的一些复杂问题。
此外，蒙特卡罗方法还在新兴科学如化学、计算机图形学等领域得到了广泛的应用。
本文针对蒙特卡罗方法及其在化学中的应用，结合具体实例，进行深入剖析和说明。
一、蒙特卡罗方法是什么及其原理蒙特卡罗方法(Monte Carlo method)，是计算机科学中模拟随机过程的方法，它利用概率统计的思想，利用随机的种子来模拟复杂的现象，计算出特定结果。
它可以快速、高效地模拟场、多物质和量子物质行为，让计算机真正发挥自己的实力，在化学物性模拟、量子化学领域获得了大量的应用。
蒙特卡罗方法的核心思想是：以概率的观点建模系统的行为，然后用随机数字种子来模拟，最终多次模拟、计算出平均结果，从而获得满足系统性能最优的输出结果。
二、蒙特卡罗方法在化学中的应用1. 量子化学领域量子化学实际上就是用相对简化的数学技巧，结合量子力学求解复杂的反应机理。
蒙特卡罗方法可以用来计算量子力学中大量的细节，从而预测不同离子、原子之间的位置关系，以及分子能量和反应能量。
例如，若要计算氯氨的自振动的能量和频率，可以用蒙特卡罗方法得出分子能量，以便计算氯氨的结构和动力学过程。
2. 化学模拟领域在化学模拟中，蒙特卡罗方法可用于模拟复分子模拟、系统对接以及描述分子性质，例如温度、压力、分子重量、分子形状、分子共振等等，从而分析分子的行为和特性，可以得到更精确、客观的结果，从而优化原有的催化剂制备工艺，增进新的制备工艺的研究。
3. 生物医学领域大多数的药品的性质和效果与它们分子结构和空间结构有关，而蒙特卡罗方法可以模拟分子内部的原子各种运动，计算出其结构安排，从而更好地究其机制、理解分子作用规律、优化新药的设计，以及抗病毒等技术的开发。
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟法
当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。
设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。
蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。
它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。
数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。
但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。
最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。
科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特性时才表露出来。
贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。
”蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
这也是我们采用该方法的原因。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法1、蒙特卡洛方法的由来蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。
由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。
第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。
蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。
如今MC 方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。
2、蒙特卡洛方法的核心—随机数蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。
因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可信性和科学性。
在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。
由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3 ……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。
真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。
真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。
实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。
蒙特拉罗方法
用该方法计算π的基本思路是： 1 根据圆面积的公式： s=πR^2 ,当R=1时， S=π。 由于圆的方程是：x^2+y^2=1(x^2为x的平方 的意思),因此1/4圆面积为x轴、y轴和上述方 程所包围的部分。 如果在1*1的正方形中均匀地落入随机点，则 落入1/4圆中的点的概率就是1/4圆的面积。其 4倍，就是圆面积。 由于半径为1，该面积的值为π的值。
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法 蒙特卡罗 方法
蒙特卡洛法是什么？ 蒙特卡洛法是什么？
• 蒙特卡洛 蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机 方法， 方法 模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。 模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。 这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原 子弹的“曼哈顿计划” 该计划的主持人之一、 子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、 数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城 诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的 数学家冯 诺伊曼用驰名世界的赌城 摩纳哥的 Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了 来命名这种方法， 来命名这种方法 一层神秘色彩。 一层神秘色彩。
m G内，则随机点落入G内的概率 I ≈ n
一道积分题
• 一道证明积分不等式的题：
π
1 1 −(x2 +y2 ) 23 (1− ) < ∫ e dxdy < 4 e 0 30
• 中间的积分值可以用蒙特卡洛法求得 • 因为它是一个二重积分，其几何直观为一 个立体的体积，很巧的是它可以完全包含 于一个棱长为1的正方体中，我们在其中产 生随机点，其中落于所求体积的点数与正 方体中产生的点数之比即为所求的积分值。
1
需要计算的积分为I = ∫ f ( x)dxΒιβλιοθήκη ,积分I等于图中的面积G。0
MonteCarlo(1蒙特卡洛法)
交通仿真技术
一个例子 --
n=1000000; m=0; t=1; for i=1:n x=1; for k=1:8 ang=pi*rand; x=x+cos(ang); if x<0 l=0; t=0; end end if x>5 & t==1 l=1; else l=0; end m=m+l; t=1; end m/n
交通仿真技术
蒲丰的投针问题
18世纪法国的数学家布丰和他的投针实验：在一个 平面上，用尺画一组相距为a的平行线；一根长度 为L<a的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相 交，则该次扔出被认为是有利的，否则是不利的．
布丰惊奇地发现：有利的扔出的概率为 P=2L/πa ．如果针的长度等于a，那么有利扔出的 概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确 的π的值．
1 2 7
1
2
交通仿真技术
例子
这个问题并不复杂，但不容易找到一个解析表达式。 而用模拟的方法求解却可以有满意的结果。
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例子
建模
我们关心的是一次碰撞后，中子在x轴方向行进了 多少，所以行进方向是正负θ的结果是一样的，我 们就只考虑θ是正的情形。由于中子运行的方向θ是 随机的，我们用计算机抽取在0到π间均衡分布的 随机数，模拟1000000个中子在铅墙里行进的情形， 看看这些中子与铅原子碰撞8次后，有多少超过了 铅墙的右端?
交通仿真技术
Monte Carlo Simulation 简介
交通仿真技术
概述
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随 机模拟方法或随机抽样方法或统计试验方法 ， 属于计算数学的一个分支，是一种基于“随 机数”的计算方法。
蒙特卡罗方法简介
第三章蒙特卡罗方法简介3.1 Monte Carlo方法简介Monte Carlo方法是诺斯阿拉莫斯实验室在总结其二战期间工作（曼哈顿计划）的基础上提出来的。
Monte Carlo的发明，主要归功于Enrico Fermi、Von Neumann和Stanislaw Ulam等。
自二战以来，Monte Carlo方法由于其在解决粒子输运问题上特有的优势而得到了迅速发展，并在核物理、辐射物理、数学、电子学等方面得到了广泛的应用。
Monte Carlo的基本思想就是基于随机数选择的统计抽样，这和赌博中掷色子很类似，故取名Monte Carlo。
Monte Carlo方法非常适于解决复杂的三维问题，对于不能用确定性方法解决的问题尤其有用，可以用来模拟核子与物质的相互作用。
在粒子输运中，Monte Carlo技术就是跟踪来自源的每个粒子，从粒子产生开始，直到其消亡（吸收或逃逸等）。
在跟踪过程中，利用有关传输数据经随机抽样来决定粒子每一步的结果[6]。
3.2 Monte Carlo发展历程MCNP程序全名为Monte Carlo Neutron and Photon Transport Code (蒙特卡罗中子-光子输运程序)。
Monte Carlo模拟程序是在1940年美国实施“发展核武器计划”时，由洛斯阿拉莫斯实验室（LANL）提出的，为其所投入的研究、发展、程序编写及参数制作超过了500人年。
1950年Monte Carlo方法的机器语言出现, 1963年通用性的Monte Carlo方法语言推出，在此基础上，20世纪70年代中期由中子程序和光子程序合并,形成了最初的MCNP程序。
自那时起，每2—3年MCNP更新一次, 版本不断发展，功能不断增加，适应面也越来越广。
已知的MCNP程序研制版本的更新时间表如下：MCNP-3：1983年写成，为标准的FORTRAN-77版本，截面采用ENDF /B2III。
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。
一起源这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。
Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和Nicholas Metropolis。
Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。
蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特•罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
二解决问题的基本思路Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法
/share/detail/5568877蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。
19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。
本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
可用民意测验来作一个不严格的比喻。
民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。
其基本思想是一样的。
科技计算中的问题比这要复杂得多。
比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。
对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。
Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。
以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。
为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。
蒙特卡罗方法简介
蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
20世纪40年代，在John von Neumann，Stanislaw Ulam和Nicholas Metropolis在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡罗方法。
因为Ulam的叔叔经常在蒙特卡罗赌场输钱得名，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。
蒙特卡罗方法的基本思想通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。
例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。
中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向。
科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据。
另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。
通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解。
这种方法多用于求解复杂的多维积分问题。
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡罗方法基于这样的思想：假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
蒙特卡罗算法
蒙特卡罗算法蒙特卡罗法（Monte Carlo method）是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计试验法。
蒙特卡罗是摩纳哥的一个城市，以赌博闻名于世界。
蒙特卡罗法借用这一城市的名称是为了象征性地表明该方法的概率统计的特点。
蒙特卡罗法作为一种计算方法，是由S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼在20世纪40年代中叶为研制核武器的需要而首先提出来的。
在此之前，该方法的基本思想实际上早已被统计学家所采用了。
例如，早在17世纪，人们就知道了依频数来决定概率的方法。
20世纪40年代中叶，出现了电子计算机，使得用数学方法模拟大量的试验成为可能。
另外，随着科学技术的不断发展，出现了越来越多的复杂而困难的问题，用通常的解析方法或数值方法都很难加以解决。
蒙特卡罗法就是在这些情况下，作为一种可行的而且是不可缺少的计算方法被提出和迅速发展起来的。
基本原理考虑一个射击运动员的射击成绩 G。
令x表示弹着点到靶心的距离，g(x)表示得分，而ƒ(x)表示该运动员的弹着点的分布密度，则。
另一方面，如果该运动员进行了实弹射击，弹着点依次为X1，X2，…，XN，则平均得分为。
很明显，弿N是G 的一个近似估计。
蒙特卡罗法正是用弿N作为G 的近似估计。
假设 x不是一维空间的点，而是一个S 维空间的点(x1，x2，…，xs)，则上述积分变为。
蒙特卡罗法计算此积分是用作为G 的近似估计，式中(X1n，X2n，…，Xsn)是由ƒ(x1，x2，…，xs)中抽取的第n 个样本点。
同上述一维积分比较，相同点是，都以某随机变量的N 个独立抽样值的算术平均作为近似估计；不同点仅仅是，决定随机量的样本点不同，一个是一维空间的点，另一个是S 维空间的点。
由上式可见，决定近似估计弿N好坏的仅仅是随机变量g(x)或g(x1，x2，…，xs)的分布情况，而与它们是由怎样的样本点对应过来的无关。
蒙特卡洛模型方法
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。
蒙特卡罗方法的提出蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S．M．乌拉姆和J．冯·诺伊曼首先提出。
数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。
1777年，法国Buffon提出用投针实验的方法求圆周率∏。
这被认为是蒙特卡罗方法的起源。
蒙特卡罗方法的基本思想Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。
19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。
本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢?Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
可用民意测验来作一个不严格的比喻。
民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。
其基本思想是一样的。
科技计算中的问题比这要复杂得多。
比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。
蒙特卡洛模拟法简介
蒙特卡洛模拟法简介蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
蒙特卡洛模拟法的应用领域蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有：1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。
2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。
3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。
蒙特卡洛模拟法的概念（也叫随机模拟法）当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。
随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于需要大量反复的计算，一般均用计算机来完成。
蒙特卡洛模拟法求解步骤应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。
解题步骤如下：1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。
计算材料学概述 之 蒙特卡洛方法.详解
随机数产生的办法
关于随机数的几点注意
注1 由于均匀分布的随机数的产生总是采用某个确定 的模型进行的，从理论上讲，总会有周期现象出现的。 初值确定后，所有随机数也随之确定，并不满足真正 随机数的要求。因此通常把由数学方法产生的随机数 成为伪随机数。 但其周期又相当长，在实际应用中几乎不可能出 现。因此，这种由计算机产生的伪随机数可以当作真 正的随机数来处理。 注2 应对所产生的伪随机数作各种统计检验，如独 立性检验，分布检验，功率谱检验等等。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规 则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机 地”投掷N个点，若有M个点落于“图形”内，则该“图形” 的面积近似为M/N。
用该方法计算π的基本思路是： 1 、根据圆面积的公式： s=πR^2 ,当R=1时，
11
面积的计算
辛普逊方法
蒙特-卡洛方法
在长方形中均匀投N0组(x,y) 如 y<f(x), 则 N=N+1
I = ΣSn
f (x)
Hale Waihona Puke I =(N/N0)×S0f (x)
S0
S
x x
MC 的优点 MC与传统数学方法相比，具有直观性强，简便易行的优点，该方
法能处理一些其他方法无法解决的负责问题，并且容易在计算机 上实现，在很大程度上可以代替许多大型、难以实现的复杂实验 和社会行为。无污染、无危险、能摆脱实验误差。
Monte Carlo方法之随机数的产生
许多计算机系统都有随机数生成函数 F90: call random_seed
call random_number(a) 2、ISEED=RTC()
蒙特卡洛法
具有同时计算多个方案与多个未知量的能力
对于那些需要计算多个方案的问题，使用蒙特卡罗方法有时 不需要像常规方法那样逐个计算，而可以同时计算所有的方 案，其全部计算量几乎与计算一个方案的计算量相当。例如 ，对于屏蔽层为均匀介质的平板几何，要计算若干种厚度的 穿透概率时，只需计算最厚的一种情况，其他厚度的穿透概 率在计算最厚一种情况时稍加处理便可同时得到。 另外，使用蒙特卡罗方法还可以同时得到若干个所 求量。例如，在模拟粒子过程中，可以同时得到不同区域的 通量、能谱、角分布等，而不像常规方法那样，需要逐一计 算所求量。
N
p f (1 p f )
(1 p f )p f
当选取95%置信度时 p f pf 2
N
用相对误差表示
p f pf pf
2
(1 p f )
N pf
由于一般pf是一个小量，可以近似表示为
2
,
N
4
N pf
如果=0.1
pf 2
N
400
pf
•
减小方差的各种技巧
计算结果与系统大小有关
对于大系统或小概率事件的计算问题，计算结果往往比真值 偏低。
中子穿透问题： 已知中子垂直进入厚度为3d的铅壁，设每个中子在铅 壁中每次走过d后才与铅原子碰撞，碰撞后随机弹射，走过 d后再和第二个铅原子碰撞，如此反复，每个中子可能穿透 铅壁、返回，若经10次碰撞后没有穿透或返回则被铅壁吸 收 。求穿透、返回和吸收的概率。
M 232 236 242
λ
513 513 517
X0 1 1 1
周期 L 109 2×1010 1012
混合同余法： x i ( x i 1
monte+carlo(蒙特卡洛方法)解析
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，广泛应用于金融学、物理学、工程学和计算机科学等领域。
它的原理是通过随机抽样来估计数学模型的结果，通过大量重复实验来逼近真实值。
在本文中，我们将探讨蒙特卡洛方法的原理、应用和局限，并共享个人对这一方法的理解和观点。
1. 蒙特卡洛方法的原理蒙特卡洛方法的核心思想是利用随机数来处理问题。
它通过生成大量的随机数，利用这些随机数的统计特性来近似求解问题。
在金融衍生品定价中，我们可以使用蒙特卡洛方法来模拟股票价格的随机漫步，从而估计期权合约的价格。
通过不断模拟股票价格的变化，并计算期权合约的价值，最终得到一个接近真实值的结果。
2. 蒙特卡洛方法的应用蒙特卡洛方法在金融领域被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等问题。
在物理学中，蒙特卡洛方法可以用于模拟粒子的运动，求解无法用解析方法求解的复杂系统。
在工程学和计算机科学中，蒙特卡洛方法可以用于求解概率分布、优化问题和模拟系统行为。
3. 蒙特卡洛方法的局限虽然蒙特卡洛方法有着广泛的应用，但也存在一些局限性。
蒙特卡洛方法通常需要大量的随机抽样，计算成本较高。
随机性导致了结果的不确定性，需要进行大量的实验才能得到可靠的结果。
蒙特卡洛方法在高维问题和高精度要求下计算效率低下，需要借助其他数值方法进行辅助。
4. 个人观点和理解个人认为蒙特卡洛方法是一种非常强大的数值计算方法，能够解决复杂问题和高维问题。
它的随机性使得结果更加贴近真实情况，有利于处理实际情况中的不确定性和风险。
但是在实际应用中，需要注意随机抽样的方法和计算成本，并且需要结合其他数值方法进行验证和辅助，以确保结果的准确性和可靠性。
总结回顾蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，通过大量重复实验来逼近真实值。
它在金融学、物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
然而，蒙特卡洛方法也存在一些局限性，需要结合其他数值方法来弥补其不足。
个人认为蒙特卡洛方法是一种强大的数值计算方法，能够处理复杂和高维问题，但在实际应用中需要注意其随机性和计算成本。
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一个例子 --
n=1000000; m=0; t=1; for i=1:n x=1; for k=1:7 ang=pi*rand; x=x+cos(ang); if x<0 l=0; t=0; end end if x>5 & t==1 l=1; else l=0; end m=m+l; t=1; end m/n
方差削减技术
对偶变量技术(适用正态分布函数） 取一组随机数Z_i，可得模拟值C_i ,i=1,2,..n 估计值为期平均C^ 再取Z_i 的对偶Z’_i=-Z_i,再生成估计值C’^ 然后去新的平均值C*=（C^+C’^)/2 则 varC*=1/2varC^+1/2cov(C^,C’^)< 1/2varC^+ 该技术使计算更稳定
随机数的取得
如果你对随机数有更高的要求，需要自己
编辑“随机数生成器” 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布） 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生一 个(0,1)中均匀分布的随机数 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
基本思想和原理
基本思想：当所要求解的问题是某种事件出现
的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它 们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事 件出现的频率，或者这个随机变数的平均值， 并用它们作为问题的解。 原理：抓住事物运动的几何数量和几何特征， 利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模 拟实验。 它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所 描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题 的近似解。。
实现从已知概率分布抽样
构造了概率模型以后， 按照这个概率分
布抽取随机变量 （或随机向量），这一 般可以直接由软件包调用，或抽取均匀 分布的随机数构造。这样，就成为实现 蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这 也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原 因。
建立各种估计量
一般说来，构造了概率模型并能从中抽
一个例子 -
这个问题并不复杂，但不容易找到一个解析表达式。 而用模拟的方法求解却可以有满意的结果。
一个例子 - 建模 下面我们给出这个问题的模拟程序。
我们关心的是一次碰撞后，中子在x轴方 向行进了多少，所以行进方向是正负θ的 结果是一样的，我们就只考虑θ是正的情 形。由于中子运行的方向θ是随机的，我 们用计算机抽取在0到π间均衡分布的随 机数，模拟1000000个中子在铅墙里行 进的情形，看看这些中子与铅原子碰撞7 次后，有多少超过了铅墙的右端。
Matlab 的随机数函数 正态分布随机数 R=normrnd(mu,sigma) R=normrnd(mu,sigma,m) R=normrnd(mu,sigma,m,n) 特定分布随机数发生器 R=random(‘name’,A1,A2,A3,m,n)
例
a=random(‘Normal’,0,1,3,2)
x
取两个随机数
R1 , R2
U (0,1), 令Y R1 ln R2 , 算I1.9
1 E 0.1 Y
用Monte Carlo 计算定积分---- 取8个随机数
R1 0.0078, R2 0.9325，R3 0.1080，R4 0.0063 R5 0.5490, R6 0.8556，R7 0.9771，R8 0.2783 ˆ 0.9187 I 1.9
1 n n 1 E X E X 1 I . n i 1 n
用Monte Carlo 计算定积分-且
n n 1 1 ˆ ) Var X 1 Var X 1 Var ( I i i n n2 i 1 i 1 n 1 1 2 Var X Var X 1 . n n
a= .-0.4326 -1.6656 0.1253
0.2877 -1.1465 1.1909
精确性
由于Monte Carlo 方法的随机性，精确性
建立在大量的重复模拟上，最后去平均 值。 对确定值的计算，要估计出样本的个数 与精确度之间的关系。 对随机过程的模拟，有置信区域的估算 等
大大改善了结果！
随机数的产生
随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。
随机数的产生就是抽样问题。可以用物理方法
产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不 便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样 产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以 称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过 多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随 机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真 正的随机数来使用。
一个例子 --- 解模 我们运行程序得出逸出铅墙的中子
的可能性约为1.5%。 应用 有了这个数字，我们可以报告安全 部门，如果数字不能达到安全要求，我 们则要加厚铅墙。
Monte Carlo 模拟二叉树期权定价
二叉树定价模型是从构造好的二叉树中随机选择一条 路径样本，从二叉树的末端开始倒推计算出衍生证券 的价格，但是采用了Monte Carlo后，是顺着二叉树往 后计算的。 基本方法： 在第一个节点（根节点），随机产生一个0到1间的随 机数，如果这个数小于p，就选择当前的上升分支，反 之选择下降分支。这样就产生了一个新节点，继续上 面的过程，直到二叉树的末端。一条路径产生了，衍 生证券的最终价值就可以计算出来了（可以看作是全 部可能终值集合中的一个随机样本），这样完成了第 一次模拟。 更多的样本路径得到更多的样本终值。进行多次模拟， 用平均值来估计衍生证券的价格
实质
Monte Carlo 方法也称为统计模拟方法，是二
十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电 子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计 理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。 是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解 决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性 算法。 把一些复杂的东西用大量的模拟实验来做，最 后得到一些结论。
Γ(1.9)=0.96176 – 模拟结果不好！ 如果要达到0.001的精确度，要
4X530^2=1123600计算！
用Monte Carlo 计算定积分--- 例子说明分析和设计是重要的。
重写积分
I1.9
0
1 xe 0.1 dx. 密度函数为fY ( y) ye y x
Monte Carlo Simulation 简介
概述
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算
机随机模拟方法或随机抽样方法或统计 试验方法 ，属于计算数学的一个分支。 是一种基于“随机数”的计算方法。
起源
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就
被人们所发现和利用。早在17世纪，人 们就知道用事件发生的“频率”来决定 事件的“概率”。19世纪人们用投针试 验的方法来决定圆周率π。
样后，即实现模拟实验后，我们就要确 定一个随机变量，作为所要求的问题的 解，我们称它为无偏估计。建立各种估 计量，相当于对模拟实验的结果进行考 察和登记，从中得到问题的解。
例子
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其
内部的一个形状不规则的“图形”，如 何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法： 向该正方形“随机地”投掷N个点落于 “图形”内，则该“图形”的面积近似 为M/N。
一个例子
问题 下图是一个中子穿过用于中子屏蔽的铅墙示意图。
铅墙的高度远大于左右厚度。设中子是垂直由左端进 入铅墙，在铅墙中运行一个单位距离然后与一个铅原 子碰撞。碰撞后，任意改变方向，并继续运行一个单 位后与另一个铅原子碰撞。这样下去，如果中子在铅 墙里消耗掉所有的能量或者从左端逸出就被视为中子 被铅墙挡住，如果中子穿过铅墙由右端逸出就视为中 子逸出。如果铅墙厚度为5个单位，中子运行7个单位 后能量耗尽，求中子逸出的几率。 x 这个问题并不复杂，但不容易找到一个解析表达式。 而用模拟的方法求解却可以有满意的结果。
Monte Carlo 方法处理的问题
Monte Carlo 方法处理的问题可以分两类 确定性的数学问题 多重积分、求逆矩阵、 解线性代数方程组、解积分方程、解某些偏 微分方程边值问题和计算代数方程组、计算 微分算子的特征值等等 随机性问题
方法
在解决实际问题的时候应用Monte Carlo
步骤
可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步
骤： 构造或描述概率过程； 实现从已知概率分布抽样； 建立各种估计量
构造或描述概率过程
对于本身就具有随机性质的问题，主要
是正确描述和模拟这个概率过程，对于 本来不是随机性质的确定性问题，比如 计算定积分，就必须事先构造一个人为 的概率过程，它的某些参量正好是所要 求问题的解。即要将不具有随机性质的 问题转化为随机性质的问题。
成型
这一方法成型于美国在第一次世界大战
进研制原子弹的“曼哈顿计划”。 该计划的主持人之一、数学家冯· 诺伊曼 用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一 层神秘色彩。
发展
本世纪40年代电子计算机的出现，特别
是近年来高速电子计算机的出现，使得 用数学方法在计算机上大量、快速地模 拟这样的试验成为可能。
即
I
1 n
X 1 .
用Monte Carlo 计算定积分-- 例如 α=1.9
I1.9 x0.9e x dx.
0
取
X i ln Ri , Ri
U (0,1) :
R1 0.0587, R2 0.0961, R3 0.9019, R4 0.3095, ˆ 1.497 I