人口增长的预测(数学建模论文

关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口一题目：请在人口增长的简单模型的基础上。

" （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型；" （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证；" （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测；" （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。

二摘要：本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。

首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。

并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。

按照这个假设，。

用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。

画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。

做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。

当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。

用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。

按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。

三问题的提出1． Malthus模型英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。

设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。

Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。

根据这个假设有：, (1.1)这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。

2．Logistic模型1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。

并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。

按照这个假设（1.1）式可改为：，（2.1）上述方程为可分离变量方程，可直接求解。

也可用符号微分方程解题器求它的解：N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’）N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0)化简后得：四利用数学模型对中国人口的预测1给出对于中国人口的预测表1 中国人口数据表1给出了1908年到2000年中国人口数据，参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。

画出N=N(t)的图像。

（绿色点是普查数据，蓝色是预测曲线，红色为渐近线，画图程序见附录）图1由于N（t）描述了一个人口增长得数学模型，所以对函数N（t）的了解实际上也是人口增长规律的了解，而不是仅仅处理一个高等数学综合习题。

实际上，人口问题的研究是很复杂的，Logistic模型只是一种近似。

2微分方程解的定性分析（1）求N＝N（t）的驻点和拐点。

驻点：驻点应满足条件这样立刻得到N=0和N= ，但是无法得到确切的时间值t，除非解被求出，而且相应的t可能会取无穷大。

拐点：拐点满足直接对方程（2.1）右边求导得其拐点的纵坐标为N= /2，同样的相应的时间t尚不能直接解出，上面的运算可由符号演算完成：>>syms t>>dN2_dt2=diff('r*(1-N(t)/Nm)*N(t)',t),dN2_dt2=factor(dN2_dt2)dN2_dt2 =-r*diff(N(t),t)/Nm*N(t)+r*(1-N(t)/Nm)*diff(N(t),t)dN2_dt2 =r*diff(N(t),t)*(-2*N(t)+Nm)/Nm(2)按照函数作图的方法列出定性分析表：表2这个表尚没有提供描述人口模型的足够信息，因为极限性质（渐进线）还没有考虑，而作为人口预测，这种极限信息是非常重要的。

通过方程本身提供的信息来获知解曲线的定性知识，对微分方程的解做定性描述，可以得到非常有用的信息，特别是，它通常使你能够考察在t时N的极限过程和远期情况（预测），而无需给出明确的表达式。

通常我们不需要明确的解，或者在技术上求解有困难，或者在初等函数的范围内解根本不存在，在这种情形下，定性解就可能是一种有效的办法。

观察：观察Logistic方程解曲线和相轨线的运动，考察解的极限性态。

（画图程序见附录）图2步骤1，运行观察程序yundong.m，将出现一图形窗口，你可用鼠标沿着由垂直的虚线所示的N轴（相空间）的以下的位置按下鼠标左键选择初始点(0, )，横轴为时间t，称N轴为相空间，在N轴的/2以下的位置按下鼠标左键选择初始点，程序将画出这一初始点，方程的解曲线（Logistic曲线），拐点（用方形符号标出），并且彗星指令comet将显示质点（曲线上的圆形点）动态运动过程，这表示随着时间的增长人口数增长的情况，见图。

步骤2，当曲线上的质点运动结束后，可按回车键，在N轴上（相空间）又见到一个运动的质点，该质点从初始点（0，）出发，运动到（0，）停止。

步骤3，可以按鼠标左键继续选择初始点进行观察，按鼠标右键终止观察。

如图所示，相空间运动的质点是解轨线上运动的质点（t,N(t)）向N轴的投影点（0,N(t)），当（t,N(t)）沿解轨线运动时，投影点（0,N(t)）也随之在相空间中运动，由图可知，解轨线有渐进线N= ，所以相轨线（即质点（0,N(t)）的运动轨迹趋于点（0, ）。

当初始人口<=14.5时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。

当初始人口小于/2时，人口的增长率是递增的，曲线为下凸；当人口数超过了/2时，人口增长率开始递减，曲线为上凸，这时人口曲线虽然仍处于增长趋势，但将逐步饱和，所以拐点给出了一个重要的预测信号，这在很多预测问题中都是相同的。

3用导数作稳定性分析一般，对于一阶微分方程（右端函数f(x)中不显含自变量t的即为自治系统），称代数方程f(x)=0的实根为微分方程的平衡点（或奇点）。

如果从所有可能的初始条件出发，方程的解x(t)都满足，则称平衡点是稳定的（渐进稳定），否则称是不稳定的（不渐进稳定）。

为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析。

图3观察：对Logistic模型，，在平面绘制函数，并讨论平衡点的稳定性。

（画图程序见附录）方程有两个平衡点N=0和=14.5，它们均满足方程，在的左边导数dN/dt>0，所以人口数N(t)按时间是递增的，这就是说当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，向右的箭头指示了这种趋势；而在的右边，dN/dt<0，N(t)是递减的，所以相轨线向左边也就是向递减的方向移动，这意味着是稳定的平衡点。

同理可以判断0是不稳定的平衡点，按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。

五参考书目参考书：《数学实验与matlab》周晓阳，华中科技大学出版社。

六问题的解决对人口问题的意见与建议1949年中华人民共和国成立时，全国总人口为54167万人。

由于社会安定、生产发展、医疗卫生条件改善，以及对控制人口增长的重要性认识不足和缺乏经验，致使人口迅速增长，到1969年已达80671万人。

面对严重的人口问题，从二十世纪七十年代开始，中国实行计划生育，控制人口增长，使人口出生率逐年下降，到2002年，已下降至12.86‰。

中国未来人口政策走向，人口与计划生育工作目标要从以人口数量控制为主转向稳定低生育水平，提高人口素质，改善人口结构，合理人口分布，开发人力资源，促进经济社会与人的全面发展。

按照2001年3月九届全国人大四次会议批准的《国民经济和社会发展第十个五年计划纲要》的要求，第十个五年计划期间（2001—2005年），中国人口年平均自然增长率不超过9‰，2005年全国人口控制在13.3亿以内。

到2010年，中国人口将控制在14亿以内。

中国一直把计划生育作为一项基本国策推行，其主要内容是：提倡晚婚晚育，少生优生；提倡一对夫妇生育一个孩子。

自实行计划生育政策以来，晚婚晚育、少生优生正在逐渐成为一种社会风尚。

同时，计划生育还使中国妇女摆脱了婚后频繁生育和繁重的家庭负担，母婴健康水平得以提高。

可以看到，计划生育政策的确对减缓中国人口的增长，但是，目前中国人口的增长率仍旧较高。

我认为应当同时推行有助于平衡性别比例的政策。

因为在农村的部分地区重男轻女的思想仍旧存在，为生一个男孩而超生的现象屡有发生，这已成为我国人口增长率较高的另一主要原因。

如果平衡性别比例的政策推行得当，男女平等的思想深入人心，就可以控制这部分的超生，对控制人口增长起到积极的作用。

七附录：1．图1的程序：程序：huatu.mglobal pl;clf,t1=[1908,1933,1953,1964,1982,1990,1995,2000];x=[3.0,4.7,6.0,7.2,10.3,11.3,12.0,13.0];[t,N]=ode23('yuce_fun',[1908 2100],3.0);plot(t,N,t1,x,'o',t,14.5*ones(1,length(t))),axis([1900 2100 0 15]);其中的函数为：function dN=yuce_fun(t,N)global p1N0=3.0;Nm=14.5;t0=1908;r=0.0386;dN=r*(1-N/Nm)*N;直接运行huatu2．图2的程序：文件yundong.m：tpas=linspace(0,200,1000);plot([0,0],[0,35],':',[0,200],[14.5,14.5],':',[0 200],[7.25,7.25],':'), axis([-50 200 0 35]),xlabel('t'),ylabel('N'),hold ontext(-30,14.5,'\it{N_m}\rightarrow');text(-35,7.25,'\it{N_m/2}\rightarrow');button=1;while button==1k=[];[t0,N0,button]=ginput(1);[t,N]=ode23('yuce_fun',tpas,3.0);k=find(N<=8.25&N>=6.25);ts=tpas(k);Ns=N(k);text(-35,N0,'\it{N_0}\rightarrow');plot(t0,N0,'o',ts,Ns,'square',t,N,':'),hold oncomet(t,N),pause,comet(0*ones(length(t),1),N)end直接调用yundong3．图3的程序：建立文件qiudaotu.mN=linspace(0,18,50);dN=0.0386*(1-N/(14.5)).*N;plot(N,dN),hold on,plot([0,18],[0,0]),plot([0,7.25,14.5],[0,0,0],'o'),xlabel('N','fontsize',11),ylabel('dN','fontsize',11),text(N(2),dN(2),'\leftarrow\it{dN/dt}>0,相点递增右移','fontsize',11), text(9,dN(3),'\it{dN/dt}<0,相点递减左移\rightarrow','fontsize',11); h=text(14.5/2,1.5,'\it{N_m/2}');set(h,'fontsize',11)直接调用qiudaotu。