八年级数学旋转的定义及性质
八年级数学下册(北师大版)3.2.2图形的平移与旋转(旋转作图)课件
后作这两部分关于GH的轴
对称图形，这样就可以得
到整个图形。
G
F
旋转图案设计欣赏
课后任务：
1、旋转作图的步骤 ： （1）明确题目要求：弄清旋转中心、方向和角度； （2）分析所作图形：找出构成图形的关键点； （3）旋转关键点：沿一定的方向和角度分别作出
各关键点的对应点； （4）作出新图形： 顺次连接作出的各点；
（5）写出结论： 说明所作出的图形．
2、“旋转”作图的条件 ： （1）图形原来的位置； （2）旋转中心； （3）旋转方向； （4）旋转角度．
1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOC，则下列作图正确的是( )
2．如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的 图案应该是( )
各关键点的对应点；
（4）作出新图形： 顺次连接作出的各点；
（5）写出结论： 说明所作出的图形．
目标检测1：
目标检测1：
3、如图，在方格纸上，△DEF是由△ABC绕定 点P顺时针旋转得到的，如果用(2，1)表示方格 纸上A点的位置，(1，2)表示B点的位置，那么 点P的位置为( A ) A．(5，2) B．(2，5) C．(2，1) D．(1，2)
第三章 图形的平移与旋转
3.2 图形的旋转(第二课时）
3.2.2 旋转作图
课前学习——知识回顾
1、“旋转”的定义： 在平面内，将一个图形绕着_一__个_定_点__沿_某_个_方__向_转动
_一_个__角_度__，这样的图形运动称为__旋_转__(变_换__) ___． 2、“旋转”的基本性质： （1）经过旋转，图形的___形_状__和_大_小_____不变； （2）经过旋转，图形上的每一点都绕_旋__转_中_心_沿相同 的方向转动了相同的__角__度__； （3）任意一对_对__应_点__与_旋_转__中_心__的连线所成的角都是 ___旋_转_角___，对应点到__旋_转__中_心___的距离相等．
第9讲 图形的旋转与中心对称八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第9讲图形的旋转与中心对称目标导航1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；2、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念，理解他们的区别和联系，并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形；3、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形．知识精讲知识点01 生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．【知识拓展1】（2021秋•建华区期末）时钟的时针从上午的8时到上午10时，时针旋转的旋转角为．【即学即练1】（2021秋•太原期中）几何图形由点、线、面组成，点动成线、线动成面、面动成体．下列现象中能反映“线动成面”的是（）A．流星划过夜空B．笔尖在纸上快速滑动C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转【即学即练2】（2021春•凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（）A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪知识点02 旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．【知识拓展2】（2021秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（）A．15°或45°B．15°或45°或90°C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°【即学即练1】（2021秋•湖北期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【即学即练2】（2021秋•莆田期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝81°，则∠AOB的度数是（）A．24°B．27°C．30°D．33°知识点03 旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．【知识拓展3】（2021秋•北仑区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．B．C．D．【即学即练1】（2021秋•荆门期末）把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（）A．36°B．72°C．90°D．108°【即学即练2】（2021秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（）A．60°B．72°C．75°D．90°知识点04中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．【知识拓展4】（2021秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．∠ABC＝∠A'C'B'C．点B的对称点是B′D．BC∥B'C'【即学即练1】（2021秋•黄陂区期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（）A．点A B．点BC．线段AB的中点D．无法确定【即学即练2】（2021春•清苑区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′知识点05中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．【知识拓展5】（2021秋•交城县期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．向右和向左转弯B．靠左侧道路行驶C．禁止驶入D．环岛行驶【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．知识点06关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．【知识拓展6】（2021秋•沙河口区期末）在平面直角坐标系中，点P、点Q关于原点对称，若点P的坐标是（2，3），则点Q的坐标是．【即学即练1】（2021秋•新吴区期末）若点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，则点M （a，b）在第象限．【即学即练2】（2021秋•开州区期末）平面直角坐标系中点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣9，7）B．（﹣7，9）C．（7，9）D．（﹣7，﹣9）知识点07作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．【知识拓展7】（2021秋•南开区期末）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．（1）直接写出点D的坐标；（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为．【即学即练1】（2021秋•南沙区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D 恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于（）A．αB．90°+C．90°﹣D．180°﹣2α【即学即练2】（2021秋•铅山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；（2）求四边形AOA1B1的面积．例题1．（2020·浙江八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点'',P AP AP =）．当AP 旋转至AP AB'⊥时，点'B P P ,,恰好在同一直线上，此时作'⊥P E AC 于点E ．（1）求证：∠=∠CBP ABP ；（2）若4,8AB BC AC -==，求PBC 的面积；（3）在（2）的条件下，点N 为边BC 上一动点，点M 为边BP 上一个动点，连接MC MN ,，求MC MN +的最小值．能力拓展【变式1】（2021·河南郑州市·八年级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45︒的三角尺ADE 固定不动，将含30的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当角60CAE ∠=︒时，//BC DE ．求其它所有可能符合条件的角()0180CAE CAE ∠︒<∠<︒的度数，画出对应的图形并证明．【变式2】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）已知：如图1，AOB 和COD 都是等边三角形．（1）求证：①AC＝BD ；②∠APB＝60°；（2）如图2，在AOB 和COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝α，则AC 与BD 间的等量关系为 ，∠APB的大小为模块三、中心对称例题1．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上．请回答下列问题：（1）作出△ABC 向左平移4个单位长度后得到111A B C △，并写出1A 的坐标；（2）作出△ABC 关于原点O 对称的222A B C △并写出22B C ，点的坐标．【变式1】（2021·山东济南市·八年级期末）如图网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是(3,2)A 、()1,3B ．（1）点A 关于点O 中心对称点的坐标为（_______，_______）；（2）△AOB 绕点O 顺时针旋转90︒后得到11AOB ，在方格纸中画出11AOB ，并写出点1B 的坐标（______，_______）；（3）在y 轴上找一点P ，使得PA PB +最小，请在图中标出点P 的位置，并求出这个最小值．【变式2】（2021·山东烟台市·八年级期末）如图所示，网格中每个小正方冠的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案．解答下列问题：（1）图①中的三个图案面积都是，且都具有一个共同特征：都是对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2021秋•澄海区期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．35°C．40°D．85°2．（2021秋•崆峒区期末）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（）A．180°B．120°C．90°D．60°3．（2021秋•雨花区期末）如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是（）A．点A与点D是对应点B．BO＝EOC．∠ACB＝∠FED D．AB∥DE4．（2021秋•沙河口区期末）下列图案是一些电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2021秋•澄海区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，则m的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣16．（2021秋•铅山县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2021秋•绥滨县期末）已知，如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm．将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长是（）A．1.5cm B．3cm C．5cm D．2.5cm8．（2021秋•澄海区期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝20°，则△ABC旋转的角度为（）A．60°B．80°C．100°D．120°二．填空题（共1小题）9．（2021秋•杜尔伯特县期末）时针从数字“9”到“12”按时针方向旋转了90°．三．解答题（共9小题）10．（2021秋•大洼区期末）如图，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°，在所给的直角坐标系中画出旋转后的Rt△A1B1O．11．（2021秋•昆明期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．（1）以x轴为对称轴画出△ABC的对称图形△A'B'C'；（2）画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的△A″B″C；（3）直接写出A'、A″点的坐标．12．（2021秋•尧都区期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，13．（2021秋•富县期中）如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数，并指出旋转中心．14．（2021秋•新丰县期中）如图，在边长为1的小正方形格中，△AOB的顶点均在格点上．（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）以原点O为对称中心，画出△AOB关于原点对称的△A1OB1．15．（2020秋•定南县期末）已知点P（2x+y，1）与点Q（﹣7，x﹣y）关于原点对称，求x，y的值．16．（2021春•绿园区期末）如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？17．（2021春•商河县校级期末）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．18．（2020春•肇源县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C （4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•椒江区期末）如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转30°所得，边DE，AC相交于点F．若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．（2021秋•铜官区期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α，得到△DEC，若点A恰好在DE的延长线上，则∠BAD的度数为（）A．α﹣30°B．180°﹣αC．90°D．3．（2021秋•句容市期末）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A．B．1C．2D．4．（2021秋•宜州区期末）如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，连接BB′，则∠ABB′的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．（2021秋•绵阳期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转角α，得到△A1BC1，此时点A，点B，点C1在一条直线上，若∠A1BC＝22°，则旋转角α＝（）A．79°B．80°C．78°D．81°二．填空题（共5小题）6．（2021秋•廉江市期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是．7．（2021秋•山亭区期末）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．8．（2021秋•滨城区期末）已知A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，则x+y ＝．9．（2021秋•海门市期末）点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是．10．（2015秋•天津期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为．三．解答题（共8小题）11．（2021秋•沙河口区期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1．将△ABC绕点P逆时针旋转90°后得到△A'B'C'，其中A和A'，B和B'，C和C'是对应点．（1）画出△A'B'C'；（2）在该网格中建立平面直角坐标系，点P，A坐标分别为P（0，1），A（1，1），直接写出该坐标系下A'，B'，C'的坐标．12．（2021秋•喀什地区期末）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．13．（2021秋•芝罘区期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．（1）将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，﹣2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是；（3）将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．14．（2021秋•晋安区校级月考）如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD．线段AC上的两点E、F关于点O对称．求证：AE＝CF．15．（2021•鄂温克族自治旗二模）如图，△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝5，AD+BF＝14，求四边形ABDF的面积S．16．（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．17．（2021秋•桓台县期末）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．（1）图中点B的坐标是；（2）点B关于原点对称的点D的坐标是；点A关于y轴对称的点C的坐标是；（3）四边形ABCD的面积是；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为．18．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．（1）求证：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．题组C 培优拔尖练一．填空题（共5小题）1．（2021秋•新抚区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，E在AC上且AE＝2，D是直线BC 上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF，AF，下列结论：①DF的最小值为；②AF的最小值是1+；③当CD＝1时，DE∥AB；④当DE∥AB时，DE＝1．正确结论的题号是．2．（2021秋•思明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．则DE的最小值为．3．（2021•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝．在点D运动过程中，CE的最小值．4．（2021春•龙岗区期末）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为．5．（2019春•市南区期中）如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为cm．二．解答题（共7小题）6．（2021秋•沙坪坝区校级期末）（1）如图1，在6×6正方形网格中，有一格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），其面积为7cm2，则这个方格纸的面积等于cm2；（2）若点M是图1中不同于点C的一个格点，且△ABC的面积与△ABM的面积相等，则满足条件的点M有个；（3）如图2，在12×12正方形网格中，每个小正方形的边长为1，给定了点D，E的位置，请先画一个△DEF，使DF，EF的长分别为，2，再画△DEF关于点O成中心对称的△D'E'F'．7．（2021秋•阳东区期中）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．8．（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．9．（2017•中原区校级三模）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围；（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 …y…﹣2 0 …﹣﹣﹣如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为；②小文分析函数y＝的表达式发现：当x＜﹣1时，该函数的最大值为﹣2，则该函数图象在直线x＝﹣1左侧的最高点的坐标为；（3）小强补充了该函数图象上两个点（﹣，），（﹣，﹣），①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；②写出该函数的一条性质：．10．（2021秋•渝中区校级期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点．（1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝；（2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数．（3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值．11．（2021秋•南川区期中）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．12．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．。
初中数学旋转部分教案
初中数学旋转部分教案教学目标：1. 了解旋转的定义和性质，能够识别和描述旋转现象。
2. 掌握旋转的图形变换方法，能够运用旋转性质解决实际问题。
3. 培养学生的空间观念和观察能力，提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 旋转的定义和性质2. 旋转的图形变换方法3. 旋转在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入旋转的概念：旋转是指将一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换。
2. 引导学生思考日常生活中遇到的旋转现象，如旋转门、风车等。
二、探究旋转的性质（15分钟）1. 学生分组讨论，观察和分析旋转前后的图形，总结旋转的性质。
2. 教师引导学生得出旋转的性质：旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，旋转前后的图形全等。
三、旋转的图形变换方法（15分钟）1. 教师演示旋转的图形变换方法，如旋转变换的步骤和技巧。
2. 学生动手实践，进行旋转变换，并交流分享自己的体会和发现。
四、旋转在实际问题中的应用（15分钟）1. 教师提出实际问题，如计算旋转后的图形面积、位置等。
2. 学生分组讨论，运用旋转性质解决实际问题，并展示解题过程和结果。
五、总结与评价（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学的旋转的定义、性质和应用。
2. 学生分享自己的学习收获和体会，教师进行点评和鼓励。
教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究和发现旋转的性质。
2. 利用多媒体教具进行演示和展示，增强学生的直观感受和理解。
3. 提供实际问题，培养学生的应用能力和解决问题的能力。
教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂中的积极参与和提问情况。
2. 学生作业：检查学生对旋转性质和应用的掌握情况。
3. 学生反馈：收集学生的学习反馈和意见，不断改进教学方法。
以上是关于初中数学旋转部分的教案，通过以上教学内容、过程和策略，旨在帮助学生全面理解和掌握旋转的知识，培养学生的空间观念和观察能力，提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
小学数学知识归纳旋转的性质
小学数学知识归纳旋转的性质旋转是小学数学中一个重要的概念，它涉及到图形的变化和性质。
在本文中，我们将归纳总结小学数学中与旋转有关的一些重要性质。
希望通过本文的阅读，读者能够更加深入地理解旋转的概念，提升数学能力。
1. 旋转的定义旋转是指以某个点为中心，将图形绕着这个点旋转一定角度。
我们常常使用“顺时针”和“逆时针”来描述旋转的方向。
顺时针旋转是指图形向右旋转，逆时针旋转是指图形向左旋转。
2. 旋转的角度旋转可以是90度、180度、270度，也可以是任意角度。
根据旋转的角度，我们可以将旋转分为四个类别：顺时针旋转90度、逆时针旋转90度、顺时针旋转180度、逆时针旋转180度。
需要注意的是，顺时针旋转n度等价于逆时针旋转360度-n度。
3. 旋转的特点旋转不改变图形的大小和形状，但会改变图形的方向。
如果将一个图形旋转180度，得到的仍然是与原图形完全相同的图形，只是位置发生了变化。
如果将一个图形旋转90度或270度，得到的图形是与原图形完全相同的镜像图形。
4. 图形的旋转对称性有些图形在旋转一定角度后，仍然与原图形相同。
这种性质称为旋转对称性。
正方形、圆、正多边形都具有旋转对称性，它们旋转一定角度后可以得到与原图形完全相同的图形。
5. 图形的旋转中心图形的旋转中心是旋转过程中的固定点，也是旋转的中心轴。
对于圆，旋转中心是圆心；对于正方形，旋转中心是正方形的中心点；对于正多边形，旋转中心是正多边形的中心。
图形的旋转中心对于保持图形形状不变很重要。
6. 旋转的应用旋转在日常生活中有很多应用。
比如，钟表上的指针就是旋转运动，它们以钟表的中心点为旋转中心，通过旋转来指示时间。
另外，旋转还广泛应用于机械领域、建筑设计等方面。
通过以上对小学数学中旋转的性质的归纳，我们可以更好地理解旋转的概念和特点。
旋转不仅仅是一种图形变化，更是一种思维的训练和观察力的培养。
希望读者通过学习旋转的知识，能够在解决问题时灵活运用旋转的性质，提高数学解题的能力。
初中数学旋转的知识点
《初中数学旋转知识点全解析》在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何变换概念。
它不仅在数学知识体系中占据着关键地位，也为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。
一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
如果图形上的点 P 经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
例如，时钟的指针围绕时钟的中心旋转，风车的叶片绕着中心轴旋转等，都是生活中常见的旋转现象。
二、旋转的性质1. 对应点到旋转中心的距离相等。
即旋转前后，图形上任意一点到旋转中心的距离始终保持不变。
例如，在一个正三角形绕其中心旋转的过程中，三角形的三个顶点到旋转中心的距离始终相等。
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转过程中，对应点与旋转中心连接形成的线段之间的夹角大小与旋转角相等。
比如，一个矩形绕其对角线的交点旋转一定角度，任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
3. 旋转前后的图形全等。
经过旋转，图形的形状和大小都不会发生改变。
无论旋转角度是多少，旋转后的图形与旋转前的图形完全相同。
例如，一个圆绕其圆心旋转任意角度，得到的图形仍然是与原来一样的圆。
三、旋转的三要素1. 旋转中心旋转中心是图形旋转时所围绕的那个定点。
它决定了图形旋转的位置。
不同的旋转中心会导致图形的旋转结果不同。
2. 旋转方向旋转方向分为顺时针和逆时针两种。
明确旋转方向对于准确描述和进行旋转操作至关重要。
3. 旋转角度旋转角度是指图形绕旋转中心转动的角度大小。
旋转角度的不同会使图形的位置发生不同程度的变化。
四、旋转的应用1. 解决几何问题在证明三角形全等、相似等问题时，常常可以通过旋转图形，使分散的条件集中起来，从而找到解题的思路。
例如，对于两个有公共顶点的等腰三角形，可以通过旋转其中一个三角形，使它们的对应边重合，进而证明全等。
2. 设计图案利用旋转可以设计出各种美丽的图案。
初中数学北师大八年级下册(2023年修订) 图形的平移与旋转旋转教案
第三章 图形的平移与旋转2.图形的旋转（二）本节课的主要内容是通过实例进一步认识旋转变换，探索、理解旋转的特征，并应用旋转的特征作图、解决简单的图形问题。
课前热身：1. 旋转的定义： 这个定点称为_____，转动的角称为____.旋转不改变图形的________.2.旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转前、后的图形图形的旋转是由 和旋转方向和旋转角度决定（注意：请准备好圆规、三角板、量角器和铅笔）3.关于点的旋转（1）点A 绕点O 逆时针旋转60° OA 4．关于线段的旋转（1）画出线段AB 绕着端点A 顺时针旋转60度后的线段（2）画出线段AB 绕着端点O 顺时针旋转90度后的线段 讲授新知：关于三角形的旋转类型一：已知旋转中心与旋转角作旋转后的图形例1.试着画△ABC 绕O 点逆时针旋转60°后所得的三角形．变式.如图，△ABC 绕O 点旋转后，顶点A 的对应点为点D ，试确定顶点B ，C 对应点的位置，以及旋转后的三角形A B B A O总结：“旋转”作图的步骤：一连：连接已知点与旋转中心二定：确定旋转方向三量：测量旋转角度四截：在旋转角的另一条边上，以旋转中心为一端点截取等于对应线段长度的线段五画：顺次连接所得的点，从而画出旋转得到的图形例2（格点问题）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点O（0，0），A（4,1），B（4,4）均在格点上画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1，并写出点A1的坐标变式(坐标系中的旋转)如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么点A(－2，5)的对应点A′的坐标是________.类型二：已知旋转后的图形，反过来寻找旋转中心和旋转角的位置例1.如图，在方格纸上，△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的，如果用(2，1)表示方格纸上A点的位置，(1，2)表示B点的位置，那么点P的位置为（）A．(5，2)B．(2，5)C．(2，1)D．(1，2)变式：如图，四边形ABCD和四边形CDFE是边长相等的两个正方形，其中A、D、F 和B、C、E各成一直线，将正方形ABCD绕着一点旋转一定的角度后与正方形CDFE重合，这样的旋转中心共有多少个？确定旋转中心与旋转角的方法：在图形的旋转过程中，判断谁是旋转中心，要看旋转中心是在图形上还是不在图形上；若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有改变，这一点就是旋转中心；若不在图形上，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心，旋转角等于对应点与旋转中心所连线段的夹角．随堂练习：1.同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图是在万花筒中看到的一个图案．图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的四边形AEFG可以看成是四边形ABCD以A为旋转中心() A．顺时针旋转60°得到的B．顺时针旋转120°得到的C．逆时针旋转60°得到的D．逆时针旋转120°得到的2.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是()A．点A B．点B C．点C D．点D课堂小结课后作业：请完成《英才课堂》59~60页1~10题必做，11、12题选做。
八年级数学下册第三章图形的平移与旋转知识总结北师大版
第三章图形的平移与旋转一、平移定义和规律1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.关键：a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向，但改变图形的位置)。
b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
2平移的规律（性质）：经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等、对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
3简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。
整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
二、旋转的定义和规律1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角.关键：a。
旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。
b。
图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
2旋转的规律（性质）：经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。
）注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等.3简单的旋转作图：旋转作图要注意：①旋转方向;②旋转角度。
整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
三、中心对称1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．中心对称的基本性质：（1)．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2)．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
3．中心对称图形的有关概念:中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心。
旋转的概念与性质教学设计
旋转的概念与性质教学设计一、教学目标1.知识与技能：●学生能够理解旋转的基本概念，包括旋转中心、旋转方向和旋转角度。
●学生能够掌握旋转的性质，如对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角等。
1.过程与方法：●学生能够通过观察、实验和推理，探索旋转的性质。
●学生能够运用旋转的知识解决简单的实际问题。
2.情感态度与价值观：●激发学生对旋转现象的兴趣和好奇心，培养他们的探究精神。
●培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。
二、教学重点与难点1.教学重点：●旋转的基本概念和性质。
●旋转的应用。
3.教学难点：●理解旋转的性质，并能够灵活运用。
三、教学准备1.教具：旋转模型、多媒体课件等。
2.学具：学生自备笔记本、铅笔等。
四、教学过程1.导入新课●通过展示一些旋转现象的图片或视频，如钟表指针的转动、风车的转动等，引发学生的兴趣。
●提问学生是否见过这些现象，并让他们尝试描述这些现象的共同特点。
4.探究旋转的基本概念●通过多媒体课件展示旋转的动画，引导学生观察并总结旋转的定义。
●强调旋转中心、旋转方向和旋转角度的概念，并举例说明。
5.探究旋转的性质●引导学生通过观察和实验，探究旋转的性质。
●展示旋转模型，让学生观察对应点到旋转中心的距离是否相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角是否等于旋转角。
●让学生分组讨论，并尝试用自己的话解释旋转的性质。
6.应用拓展●给出一些简单的实际问题，让学生尝试运用旋转的知识解决。
●鼓励学生分享自己的解题思路和方法，并进行评价和指导。
7.课堂小结●总结旋转的基本概念和性质，强调它们在日常生活和实际问题中的应用。
●鼓励学生继续观察和探索身边的旋转现象，培养他们的探究精神和实践能力。
五、作业布置1.完成相关练习题，巩固旋转的基本概念和性质。
2.收集身边的旋转现象，并尝试用数学语言描述它们的旋转过程。
六、教学评价1.观察学生在课堂上的表现和参与度，评价他们对旋转概念和性质的理解程度。
旋转的概念教学目标
旋转的概念教学目标旋转是指物体或几何图形在平面上绕着某个点或轴转动的运动方式。
在数学中，旋转是一种基本的几何变换，通过旋转可以改变物体或几何图形的朝向和位置。
旋转有许多重要的概念和性质，教学目标可以总结为以下几点：1. 理解旋转的基本概念：学生需要了解什么是旋转，旋转发生的方式，以及旋转的基本要素。
他们需要理解旋转是一种变换，可以通过改变物体或几何图形的朝向和位置来描述。
2. 掌握旋转的基本性质：学生需要学会并掌握旋转的一些基本性质，如旋转的角度，旋转的方向等。
他们需要理解旋转是一个刚体运动，旋转的角度可以用度数来度量，并且旋转的方向可以是顺时针或逆时针。
3. 熟练运用旋转的相关公式和方法：学生需要学会并熟练运用旋转的相关公式和方法，如旋转矩阵，旋转向量等。
他们需要通过解决一些旋转相关的问题，如求旋转后的坐标，求旋转矩阵等，来巩固和应用所学的知识。
4. 发展空间想象力：学生通过学习旋转的概念，可以培养和发展他们的空间想象力。
他们需要通过观察和分析旋转过程中物体或几何图形的变化，来理解旋转的原理和规律。
5. 培养解决实际问题的能力：学生需要通过旋转的概念和方法，培养他们解决实际问题的能力。
他们需要将所学的知识和技巧应用到实际情境中，解决与旋转相关的实际问题，如机械运动、地球运动等。
为了实现上述教学目标，教师可以采用以下的教学策略：1. 引入问题：教师可以通过提出一些与旋转相关的问题引起学生的兴趣，如“如何用手指旋转一个物体？”或“如何用旋转矩阵表示一个木偶的动作？”等。
2. 呈现示例：教师可以通过呈现一些旋转的示例，如旋转图形、旋转物体等，来向学生直观地展示旋转的概念和性质。
同时，教师可以引导学生观察和分析旋转过程中物体或几何图形的变化，以培养他们的空间想象力。
3. 讲解理论知识：教师可以结合示例向学生讲解旋转的理论知识，如旋转的定义、旋转的要素、旋转的性质等。
同时，教师可以通过图示、公式等形式来展示旋转的相关公式和方法。
圆的旋转知识点总结
圆的旋转知识点总结在数学中，圆是一个非常重要的几何图形，它有许多有趣和复杂的特性。
圆的旋转是圆的一个重要属性，它在几何、物理和工程领域中都有着重要的应用。
本文将对圆的旋转进行详细的介绍和总结，包括圆的基本概念、旋转的定义和性质、旋转的应用等方面。
一、圆的基本概念圆是一个平面上所有点到一个固定点距离相等的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆的直径是通过圆心的两个点之间的线段，直径的长度是半径的两倍。
圆的周长是圆上一点到另一点的距离的总和，也就是圆的外周的长度。
圆的面积是圆内部的所有点构成的区域的大小。
二、旋转的定义和性质旋转是指一个物体或几何图形绕某个固定点或轴进行旋转运动的过程。
在圆的旋转中，固定点就是圆心，旋转轴就是围绕圆心旋转的线段。
圆的旋转有一些基本的性质：1. 当一个圆绕其圆心旋转时，圆的形状和大小保持不变。
这是因为圆的所有点都与圆心的距离相等，所以无论怎样旋转，这个距离不会改变。
2. 圆的旋转可以分为两种：顺时针旋转和逆时针旋转。
这两种旋转方向可以通过右手定则来确定，当右手握住旋转轴的方向时，大拇指所指的方向就是旋转的方向。
3. 圆的旋转可以产生许多有趣的几何图形，如旋转体、圆锥、圆柱等。
这些几何图形在工程和建筑中都有着广泛的应用。
4. 圆的旋转还可以产生许多数学问题和定理，如圆的面积和周长的计算、圆的体积和表面积的计算等。
这些问题和定理都是圆的旋转性质的重要应用。
三、旋转的应用圆的旋转在现实生活中有着广泛的应用，下面列举了一些典型的应用：1. 工程领域：圆的旋转在机械制造和加工中有着重要的应用，如车床加工、铣床加工等。
在这些加工过程中，工件通过旋转轴绕自身旋转，切削工具则在不同的方向上进行切削，从而形成所需的零件。
2. 建筑领域：圆的旋转在建筑设计和施工中也有着重要的应用，如旋转体结构的设计、旋转柱的施工等。
这些应用可以通过对圆的旋转性质和公式的应用，来解决具体的问题。
数学初中旋转的性质教案
数学初中旋转的性质教案教学目标：1. 理解旋转的定义及其基本性质；2. 学会运用旋转的性质解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学内容：1. 旋转的定义及基本性质；2. 旋转变换的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用图片展示生活中的旋转现象，如风扇、钟表等，引导学生关注旋转现象；2. 提问：什么是旋转？同学们能举例说明吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转；2. 讲解旋转的基本性质：（1）旋转不改变图形的大小和形状；（2）旋转的中心点即为转动轴；（3）旋转角度等于旋转后的图形与原图形之间的夹角；（4）旋转后的图形与原图形的对应点，连线与转动轴垂直。
三、实例演示与练习（15分钟）1. 利用教具进行旋转演示，让学生直观感受旋转过程；2. 布置练习题，让学生运用旋转的性质解决问题。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结旋转的性质；2. 强调旋转变换在实际生活中的应用。
五、课后作业（5分钟）1. 完成课后练习题，巩固所学知识；2. 收集生活中的旋转现象，下节课分享。
教学反思：本节课通过生活中的实例引入旋转概念，让学生直观感受旋转现象，接着讲解旋转的基本性质，并通过练习题让学生学会运用旋转的性质解决问题。
整节课内容紧凑，学生参与度高，但在课堂实践中，要注意引导学生深入理解旋转的性质，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
同时，要注重课后作业的布置与批改，确保学生能够巩固所学知识。
旋转的性质及应用
01
旋转是一种基本的图形变换，通过旋转可以将一个图形变为另
一个图形。
角度与方向
02
旋转的角度和方向决定了图形的变化，不同的角度和方向会产
生不同的变换效果。
坐标变换
03
在坐标系中，旋转可以表示为坐标的变换，通过旋转矩阵或极
坐标变换实现。
旋转的特性
中心对称
旋转具有中心对称性，即旋转前后的图形关于旋 转中心对称。
旋转的物理现象
地球自转
地球围绕自己的轴线旋转，产生了昼夜交替的现象。
陀螺运动
陀螺在旋转时具有稳定性，其轴线始终垂直于地面。
旋转磁场
电机和发电机中，磁场以一定速度旋转，产生电动势或扭矩。
旋转在机械工程中的应用
旋转机械
如车轮、齿轮、轴承等，利用旋转运动传递动力和运 动。
旋转加工
如车床、铣床等加工设备，利用旋转运动对工件进行 切削加工。
创新研究方法
目前对旋转的研究主要基于经典力学和量子力学理论。随着实验技术的发展，我们可以利 用新的实验手段来研究旋转现象，例如利用光学技术观测微观粒子的旋转。这些新的研究 方法可能会带来对旋转的全新认识和理解。
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对未来旋转研究的展望
探索更深入的性质
尽管我们已经对旋转的性质有了深入的理解，但随着科学技术的发展，我们可能会发现更 多隐藏的性质和规律。未来的研究可以进一步探索旋转的内在机制和与其他物理量的相互 作用。
扩展应用领域
随着技术的进步，旋转的应用领域也在不断扩展。例如，在新能源领域，风力发电依赖于 风力旋转来产生电能；在医疗领域，旋转的概念也被用于设计和优化医疗设备。未来可以 通过跨学科合作，将旋转的原理和方法应用到更多新的领域中。
平移与旋转的性质
平移与旋转的性质平移和旋转是数学中常见的两种几何变换操作，它们在几何学、物理学、计算机图形学等领域中具有重要的应用。
本文将探讨平移和旋转的性质以及它们在不同领域中的应用。
一、平移的性质1. 定义：平移是指将一个对象在平面内按照某个方向移动一定的距离，保持原有形状和大小不变。
2. 数学表示：对于平面上的一个点P(x,y)，经过平移变换后得到的点P'(x',y')的坐标满足以下关系式：x' = x + a，y' = y + b，其中(a,b)表示平移的向量。
3. 性质：- 平移不改变对象的形状、面积和角度。
- 平移是正交变换，即平行线经过平移后仍然保持平行。
- 平移的逆变换是将对象沿相反方向平移同样的距离。
4. 应用：- 平移在计算机图形学中广泛应用，可以用来实现图像在屏幕上的平移效果。
- 在物理学中，平移变换用于描述物体的位置和位移。
二、旋转的性质1. 定义：旋转是指将一个对象绕着某个固定点按一定角度转动，保持原有形状和大小不变。
2. 数学表示：对于平面上的一个点P(x,y)，经过旋转变换后得到的点P'(x',y')的坐标满足以下关系式：x' = x*cosθ - y*sinθ，y' = x*sinθ + y*cosθ，其中θ表示旋转的角度。
3. 性质：- 旋转不改变对象的形状、面积和平行关系。
- 旋转是正交变换，即直线经过旋转后仍然保持直线。
- 旋转的逆变换是将对象绕相反方向旋转同样的角度。
4. 应用：- 旋转在计算机图形学中广泛应用，可以用来实现图像的旋转、变形等效果。
- 在物理学和工程领域，旋转变换用于描述物体的旋转、刚体运动等。
三、平移与旋转的组合变换1. 定义：平移与旋转可以组合实现更复杂的变换，如平移后再旋转、旋转后再平移等。
2. 数学表示：设对象P(x,y)经过平移变换得到P'(x',y')，然后再经过旋转变换得到P''(x'',y'')，则P''的坐标与P的坐标之间满足以下关系式：x'' = (x-a)*cosθ - (y-b)*sinθ + a，y'' = (x-a)*sinθ + (y-b)*cosθ + b，其中(a,b)表示平移的向量。
旋转的定义与性质
02
03
2D图形旋转
在计算机图形学中，2D图 形可以通过旋转矩阵进行 旋转，以实现图形的转动 效果。
3D模型旋转
在3D图形中，模型可以通 过旋转轴心进行旋转，以 实现3D模型的动态展示和 交互。
动画中的旋转
在动画制作中，物体可以 通过连续旋转来创建动态 效果，如旋转的球体或飞 旋的车轮等。
04
CATALOGUE
旋翼机
01
旋翼机是一种利用旋转翼产生升力的飞行器，其旋翼的旋转使
机体升空。
陀螺仪
02
陀螺仪是航空航天领域中常用的惯性导航和姿态稳定设备，它
利用高速旋转的陀螺来保持方向和位置的稳定。
火箭发动机
03
火箭发动机中的燃料燃烧产生的高温高压气体通过喷嘴产生反
作用力，推动火箭旋转发射。
计算机图形学中的旋转
01
VS
详细描述
角动量是质量、速度和转动半径的函数， 表示物体绕某点旋转的动量。对于刚体， 其角动量等于刚体绕某点旋转的动量与该 点到旋转轴的距离的乘积。
旋转与万有引力的关系
总结词
万有引力是描述物体之间相互吸引的力，与物体的质量和距离有关。
详细描述
当两个物体之间存在万有引力时，它们可能会发生旋转运动。这种旋转运动受到万有引力的影响，特别是当物体 之间的距离较小时，万有引力可能导致它们发生相对旋转。
旋转的角度是连续变化的
当物体进行旋转时，其与旋转轴之间的角度会连续变化，而不是跳跃或突变。
旋转的速度是连续变化的
由于旋转的角度是连续变化的，因此旋转的速度也是连续变化的。这意味着在旋转过程 中，物体上的每一点的线速度和角速度都是连续变化的。
03
CATALOGUE
北师大版数学八年级下册3.2 第1课时 旋转的定义及性质课件(19张PPT).ppt
这个定点称为旋转中心.
E
F
转动的角称为旋转角.
B
转动的方向分为顺时针与逆时针.
旋转角
旋转中心
O
典例精析
例1 △ ABD 经过旋转后到△ACE 的位置.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度？顺时针还是逆时针？
(3)如果 M 是 AB 的中点,经过上述旋转后，点 M 转到什
么位置?
A
60°
M.
(3) 在图中再取一些对应点，画出它们与旋转中心 所连成的线段，你又能发现什么？ 任意一组对应点与旋转中心的 连线所成的角都等于旋转角
画一画：改变透明纸上所画图形的形状，再试一试 ，并与同伴交流.
归纳总结
旋转的性质
A
D
一个图形和它经过旋转所得的
图形中，对应点到旋转中心的距离
C
相等，任意一组对应点与旋转中心
八年级下册数学（北师版）
第三章 图形的平移与旋转
3.2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义和性质
情景导入
上面图片反应的是日常生活中物体运动的一些场 景.你还能举出一些类似的例子吗?与同伴交流.
探究新知
1 旋转的概念
在平面内，将一个图形绕一 A
对应点
D
个定点按某个方向转动一个角
度，这样的图形运动称为旋转.
A
（1）求证：△BA1D≌△BCF；A1 D （2）当∠C1
形 A1BCE 的形状，并说明理由．
F
B
C
（1）证明：在等腰△ABC 中，AB = BC，∠A =∠C.
由旋转的性质，可得
A1B = AB = BC，∠A =∠A1 =∠C，∠A1BD =∠CBF .
旋转的概念与性质(教案、课后反思、导学案)
第二十三章旋转23.1图形的旋转第1课时旋转的概念与性质【知识与技能】通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.【过程与方法】在发现、探索的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳，抽象概括的思维能力.【情感态度】学生在实验探究、知识应用等数学活动中，能体验数学的具体、生动、灵活，增强数学应用意识，调动学生学习数学的主动性.【教学重点】归纳图形的旋转特征.【教学难点】旋转概念的形成过程及性质的探究过程.一、情境导入，初步认识问题 1 以前我们学过图形的平移、轴对称等变换，它们有哪些特征呢？想想看，并与同伴交流.问题2 请观察下列图形的变化（教师展示实物或图片或用课件展示）：（1）时钟针面上时针的转动（顺时针方向旋转和逆时针方向转动）；（2）风车的转动；（3）电扇上扇叶的转动；（4）小朋友荡秋千；（5）汽车雨刷的转动；以上图形的转动有什么共同特点呢？你还能举出这样类似的生活中的情境吗？【教学说明】问题1的回顾，可让学生感受到现实生活中存在着平移，轴对称变换，结合问题2，可进一步感受生活中存在着旋转变换，增强探究欲望，进而导入新课.对于问题2，应鼓励学生通过观察、思考、讨论，用自己的语言来描述这个现象的共同特征，初步感受到旋转的基本性质是绕某一固定点转动一定的角度.二、思考探究，获取新知探究1 如图，用一根细线一端拴住小球，另一端固定在支架上（教师事先准备好实物），当小球绕点O由A摆动至B，由B摆动至A的过程中，试问：小球绕着哪个点转动？它们转动方向如何？转动的角度是哪个角？探究2 如图，用一根较长细线系住木棒AB的两端，再将细线固定于支架上的点O（教师事先准备好实物），再将木棒提取使之自然摆动至A′B′位置.试问：在转动过程中，木棒AB绕着哪一点在转动？木棒AB的长度发生了变化吗？A和A′到点O的距离发生了变化吗？B和B′点呢？由此你能发现哪些重要结论？【教学说明】1.在演示探究2中，应将细线缠绕在支架上点O处，使之不能滑动.2.引导学生认真观察，独立思考过程中，教师可适时予以点拨，从而引出旋转的相关定义，并初步感受旋转的性质，最后师生共同总结.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一个点（如点O）旋转一个角度，就叫做图形的旋转.点O称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.（注意突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转角和旋转方向）对应点：如果图形上的点P经过旋转变为P′，则这两个点叫做这个旋转的对应点.对应线段：如果图形上的线段AB经过旋转变为线段A′B′，则这两条线段称为对应线段，同样地，如果图形上的一个角∠A经过旋转后变为∠A′，则∠A和∠A′称为对应角.对应点和旋转中心之间的夹角称为旋转角.【教学说明】给出相关概念过程中，教师可结合图形让学生明确旋转中的对应点、对应角、对应线段、旋转中心等，及时巩固旋转及其相关概念，同时简要说出一些简单的旋转性质，为后面探索旋转的性质作铺垫.探究3 如图，在硬纸片上，挖一个三角形ABC，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面再放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△DEF），移开硬纸板.试问：在旋转的过程中，线段OA与线段OD的大小关系如何？∠AOD与∠BOE及∠COF有什么关系？旋转前后三角形的形状和大小发生了改变吗？【归纳结论】旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等；2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前后图形的形状、大小完全相同，即它们是全等的.三、运用新知，深化理解1.将图形绕点O旋转，且图形上点P、Q旋转后的对应点分别为P′、Q′，若∠POP′=80°，则∠QOQ′=____，若OQ=2.5cm，则OQ′=____。
初中数学旋转小结教案
初中数学旋转小结教案教学目标：1. 知识与技能：让学生理解旋转的定义，掌握旋转的基本性质，并能够运用旋转性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极参与数学探究活动的态度，发展学生的合作意识。
教学内容：1. 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转。
2. 旋转的基本性质：a. 旋转前后的图形全等。
b. 旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等。
c. 对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的平移和轴对称的知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 提问：同学们，你们在日常生活中有没有遇到过物体旋转的现象？能举个例子吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转。
2. 讲解旋转的基本性质：a. 旋转前后的图形全等。
b. 旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等。
c. 对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
三、实例分析（15分钟）1. 出示实例，让学生观察并分析实例中图形的旋转现象。
2. 引导学生运用旋转性质解释实例中的旋转现象。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和评价。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结旋转的定义和基本性质。
2. 提问：同学们，你们认为旋转在实际生活中有哪些应用呢？教学评价：1. 课后作业：布置有关旋转的习题，检验学生对旋转知识的理解和掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
教学反思：本节课通过观察、操作、交流等活动，让学生掌握了旋转的定义和基本性质，并能运用旋转性质解决实际问题。
但在课堂实践中，发现部分学生对旋转性质的理解和运用仍有困难，需要在今后的教学中加强引导和练习。
中考数学旋转知识点总结
中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。
在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。
2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。
最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。
3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。
这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。
二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。
对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。
2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。
旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。
三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。
通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。
2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。
向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。
3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。
通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。
四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。
通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。
2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。
通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。
3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。
2024八年级数学上册第四章图形的平移与旋转2图形的旋转第1课时旋转的定义及性质习题课件鲁教版五四制
100°－25°＝75°.
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678源自91011
12
6. [情境题·生活应用]如图①是门锁的局部图，图②是其示意
图，其中门把手 OA 为10 cm，点 O 到门框 l 的距离为2 cm，
当握住门把手顺时针旋转60°时，点 A 到达点 B 的
易知 BD ＝ CE ＝ OE ＋ OC ＝7 cm.
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纠易错 忽视旋转方向导致漏解
7. 如图，在△ ABO 中， AB ⊥ OB ， OB ＝ ， AB ＝1.将
△ ABO 绕点 O 旋转90°后得到△ A1 B1 O ，则点 A1的坐标
为(
)
A. (－1， )
【答案】 B
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10. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°
角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，
再将含45°角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转，使 BC ∥
DE ，如图②所示，则旋转角∠ BAD 的度数为(
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
AD 绕点 A 逆时针旋转90°得到 AE ，
∴ AD ＝ AE ，∠ DAE ＝90°.
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旋转体的形心坐标公式
旋转体的形心坐标公式（实用版）目录1.旋转体的概念及性质2.形心坐标公式的定义3.形心坐标公式的推导过程4.形心坐标公式的应用实例正文一、旋转体的概念及性质旋转体是指由一个曲线绕着一个固定轴旋转形成的立体图形。
在数学中，我们通常研究旋转体的质心、形心等物理量的计算方法。
形心是指一个物体在受到外力作用时，物体各部分受到的力的矢量和的平衡点。
对于旋转体而言，形心坐标具有重要的物理意义和应用价值。
二、形心坐标公式的定义形心坐标公式是指描述一个旋转体形心位置的数学公式。
设一个旋转体由曲线 C 绕着 z 轴旋转生成，其形心坐标为 (x, y, z)。
根据定义，形心坐标满足以下条件：1.形心到旋转轴的距离等于形心到曲线 C 上任意一点的距离的平均值；2.形心坐标与曲线 C 上任意一点的连线垂直于旋转轴。
三、形心坐标公式的推导过程为了推导形心坐标公式，我们假设一个旋转体由曲线 C 绕着 z 轴旋转生成，曲线 C 的参数方程为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)其中，(u, v) 是参数，x、y、z 是曲线 C 上任意一点的坐标。
设形心坐标为 (x", y", z")，我们需要求解 x"、y"和 z"关于参数 (u, v) 的表达式。
根据形心的定义，形心到旋转轴的距离等于形心到曲线 C 上任意一点的距离的平均值。
因此，我们可以建立如下方程：|x" * z"(u, v) - z(u, v)| / √(x"^2 + y"^2 + z"^2) = 1 / ∫∫|x * z(u, v) - z(u, v)| dudv其中，∫∫表示对参数 (u, v) 的二重积分。
为了进一步求解形心坐标，我们还需要引入一个辅助曲线 C_aux，使得 C_aux 与 C 在每个点处的切线平行。
设 C_aux 的参数方程为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = c * z(u, v)其中，c 为待定常数。
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课堂小结
定义
三要素：旋转中心，旋转 方向和旋转角度
旋转 性质
① 旋转前后的图形全等； ② 对应点到旋转中心的距离
相等; ③ 对应点与旋转中心所连线
段的夹角等于旋转角.
A. 0.5
B. 1.5 C. 2 D. 1
E
A
C
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD
4. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得 到的.已知∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°， AB=3,OA=5,则A ′ B ′ = 3 ,OA ′ = 5 ,旋转角 等于 44 ° .
5.△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4， AC=3，则下列说法正确的是（ D ）
∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
A1AB1
C， BC，
A1BD CBF，
∴△BCF≌△BA1D（ASA）.
当堂练习
C 1.下列现象中属于旋转的有(
)个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向
盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；
⑥荡秋千运动.
A.2 B.3 C.4 D.5
B
根据上图填空. 旋转中心是点_____C_____； 图中对应点有 __点__A_与__点__A_′_,点__B_与__点__B__′,_点__M_与__点__M__′,_点__N_与__点__N_′; 图中对应线段有 __线__段__C_A__与__C_A_′_、__C_B_与__C__B_′、__A_B__与__A_′B__′ ____. 每对对应线段的长度有怎样的关系？ 相等 图中旋转角等于__4_5_°____.
A．30° B．45° C．90° D．135°
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图 可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角 为90°.故选C.
二 旋转的性质
合作探究
A
． A′
△ABC是如何运动 到△A′B′C的位置？
．
绕点C逆时针旋转45°.
B′
．．． 45°
CM
旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个
定点按某个方向转动一个角度，这 样的图形运动称为旋转.
这个定点称为旋转中心.
P
对应点
O
旋转中心
旋转角 120
P′
转动的角称为旋转角. 如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转 的对应点.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
典例精析
例1. △ ABD经过旋转后到△ ACE的位置. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度?顺时针还是逆时针？ (3)如果M是AB的中点,经过上述旋转后,点M转到什么位置?
义这种图形变换？
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心 固定点转动一定角度.
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时 针转动了_1_2_0_°__度.
怎样来定义 这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着 平面内中心固定点转动一定角度. 风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
知识要点
2. 下列说法正确的是( B )
A.旋转改变图形的形状和大小 B.平移改变图形的位置 C.平移图形可以向某方向旋转一定距离得到 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
3.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定
角度得Rt △ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.
若AC= 3 , ∠B=60 °，则CD的长为（ D ）
A.45°，90° B.90°，45° C.60°，30° D.30°，60°
7.如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O.你能 借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说 你的做法.
A
D
C
O
B
旋转到同一个象限，构成四分之一个圆
拓展训练
将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使 一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示).你知道旋 转角是多少吗？连结BB’，△ABB’有什么特征吗？
A.DE=3 B.AE=4 C.∠CAB是旋转角 D.∠CAE是旋转角
6.如图（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠ACB和∠D都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经 过逆时针旋转后能够与△ADE重合，再将图（1）作为 “基本图形”绕着A点经过逆时针旋转得到图（2）. 两次旋转的角度分别为（ A ）
观察下图，你能得
到什么结论？
A'
A
B'
C
B
O
C'
角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC'
线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O
知识要点
A E
F
B
D 旋转的性质
O C
1.对应点到旋转中心的距离相等; 2.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角; 3.旋转中心是唯一不动的点;
A
60°
M.
B D
解：(1)旋转中心是点A; (2)旋转了60 °,逆时针; E (3)点M转到了AC的中点上. C
填一填：
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是___O___，
旋转角是_∠_A__O_B____，旋转角等于__6_0_度，其中的对应点有
_A_与__B___、 _B_与__C___、 _C_与__D___、 _D_与__E___、 _E__与__F__、
4.对应线段相等，对应角相等.
例3 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、 CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置， 若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝___1_3_5___度．
解析：连接EE′， 由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE'E=45°，EE′ 2 2.
解析：根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A= ∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A1=∠A= ∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理 得到△BCF≌△BA1D；
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=
第三章 图形的平移与旋转
3.2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义和性质
学习目标
1.掌握旋转的有关概念及基本性质.（重点） 2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题.
导入新课
情境引入
这些运动有什么共同的特点？
讲授新课
一 旋转的概念
观察与思考
问题 观察下列图形的运动，它有什么特点？
O
0
45
B
A
思考:怎样来定
在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，
EE′ 2 2.
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°， ∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
例4 如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α
度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与 A1C1，BC1分别交于点E，F． 求证：△BCF≌△BA1D；
_F__与__A__ .
B
A C
O
F
D
E
归纳总结
确定一次图形的旋转时, 旋转中心
必须明确
旋转角
旋转方向
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心， 旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换 同样属于全等变换.
例2 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若 △AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则 旋转的角度为( C )