9.1.平面---空间图形直观图的画法
空间几何体的直观图与三视图知识点归纳总结
变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为()
A. B.2 C. D. 4
题型2.直视图 三视图
思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
A. B. C. D.
变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是().
A. B. C. D.
例8.13一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,
则该几何体的侧面积为cm2.
分析由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.
解析先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心 “拔地而起”得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高 ,所以几何体的侧面积 .
故选C.
变式1 （2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.
A.3块B4块C.5块D.6块
分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.
解析 先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B.
变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为().
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于()
A. 1 B. C. D.
9.1平面的基本性质第三课时 空间图形直观图的画法
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瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
解 ：点 C′的位置不对． ′ 的位置不对． 画法： 法一： (1)作 画法： 法一 ： 作 CD∥x 轴交 y 轴于点 D， ∥ ， 画对应轴 O′x′、 ′ y′， ∠ x′O′y′ ′ ′ O′ ′ 使 ′ ′ ′ ＝ 45°. 1 (2)在 x′ 轴上取 O′B′＝ OB，在 y′ 轴的负半轴上取 O′D′ ＝ OD，过 D′ 作 在 ′ ′ ′ ， ′ ′ ′ ， ′ 2 D′C′∥ ′轴且 D′C′＝ DC. ′ ′∥x′ ′ ′ ′∥ (3)连结 O′C′、 ′ C′， 并擦去辅助线， 连结 ′ ′ B′ ′ 并擦去辅助线， △ O′B′C′即为所画三角形的直观图． 则 ′ ′ ′即为所画三角形的直观图． 如 图．
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知识要点： 知识要点： 斜二测画法的理解及应用 (1)画图时要紧紧把握住一斜 画图时要紧紧把握住一斜 轴的线段， 画图时要紧紧把握住 一斜——在已知图形的 xOy 平面内垂直于 x 轴的线段，在直观 在已知图形的 两种度量形式， 图中均与 x′轴成 45°或 135°；二测 ′ 或 ；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于 x′轴或平行 两种度量形式 即在直观图中， ′ 于 z′轴的线段长度不变， 平行于 y′轴的线段长度变为原来的一半． ′ 轴的线段长度不变， ′ 轴的线段长度变为原来的一半． (2)画水平放置的平面图形的步骤为：画轴，取点，成图．图形中平行于 x 轴的线段 ，在 画水平放置的平面图形的步骤为： 轴的线段， 画水平放置的平面图形的步骤为 画轴，取点，成图． 直观图中保持不变， 轴的线段，长度变为原来的一半． 直观图中保持不变， 平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半 ． 画立体图形的直观图，在画轴时， 画立体图形的直观图 ，在画轴时，要多画一条与平面 x′O′y′垂直的轴 O′z′，且 ′ ′ ′ ′ ′ 平行于 O′z′的线段， 长度不变，其他同平面图形的画法． ′ ′ 的线段，长度不变，其他同平面图形的画法． (3)空间几何体的直观图在数学中有重要作用 ，画得立体感强 ，在做题时立体关系就便于 空间几何体的直观图在数学中有重要作用 空间几何体的直观图在数学中有重要作用，画得立体感强， 观察，图形画得好，在科学实验和日常生活中也会大有作用． 观察，图形画得好， 在科学实验和日常生活中也会大有作用．
第九章 立体几何9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图
2．空间点、直线、平面之间的位置关系 这一部分是立体几何的核心．其中四个公理 及其推论是立几理论体系的基础，是空间中 确定平面的依据，是空间中平移变换的依据， 是空间问题转化为平面问题的依据，是作图 的依据，线面的平行与垂直关系是本章的主 体内容，故高考命题一是以客观题形式考查 对线线、线面、面面位置关系的理解与掌 握．二是通过大题考查对空间线线、线面、 面面的平行与垂直的判定与性质定理的掌握， 及有关角与距离的求法．以多面体与旋转体 为载体，结合三视图、直观图及面积、体积 的计算是命题的主要方向．
●课程标准 一、空间几何体 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空 间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合 体的结构特征，并能运用这些特征描述现实 生活中简单物体的结构． 2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识 别上述几何体的三视图所表示的立体模型， 会使用材料制作模型，会用斜二测画出它们 的直观图．
3．空间向量与立体几何(理)
高考试题中的立体几何解答题，包括部分选 择、填空题，大多都可以使用空间向量来解 答．高考在注重对立体几何中传统知识和方 法考查的同时，加大了对空间向量的考 查．给考生展现综合利用所学知识解决实际 问题的才能提供更宽阔的舞台．
这一部分高考命题主要有以下几个方面：
、锥、台、球等基本几何体组合而成的 几何体叫做组合体． 8．平行投影 (1)平行投影的有关概念 平行投影：已知图形F，直线l与平面α相交 (下图)，过F上任意一点M作直线MM′平行于l， 交平面α于点M′，则点M′叫做M在平面α内关 于直线l的平行投影(或象)．
图形的平行投影：如果图形F上的所有点在 平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′， 则F′叫做图形F在平面α内关于直线l的平行投 影．平面α叫做投射面，l叫做投射线．
【中职】9.1 平面的基本性质
巩固知识 典型例题
例3 在长方体 ABCD A1B1C1D1中，画出由A、C、D1 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．
解 点 A、D1 为平面 与平面 A1D的公共点， 点 A、C 为平面 与平面 BD 的公共点，
点 C、D1 为平面 与平面 C1D 的公共点．
分别将这三个点两两连接，得到直线 AD1、AC、CD1
立
立体几何
体
立体几何
几
立体几何
9.1何.1~9.1.2 平面的基本性质
【教学目标】 知识目标： （1）了解平面的概念、平面的基本性质； （2）掌握平面的表示法与画法．平面图形与立体图形的
直观画法。 能力目标： （1）画出平面及两个相交平面的直观图； （2）利用平面的性质和三个结论，解释生活空间的一些
z D
例2 画长为 4 cm，宽为 3 cm， A
高为 2 cm 的长方体的直观图．
D
A
y C
B
C
B x
(1) 用例 1 的方法画一个长为 4 cm，宽为 3 cm 的长方形的 直观图ABCD．
(2) 过 A 做 z 轴，使之垂直与 x 轴．在 z 轴上截取 AA = 2 cm． (3) 过点 B，C，D 分别作 z 轴的平行线 BB ，CC ，DD ，
(2) 在立体图形中，过 x 轴或 y 轴的交点取 z 轴，并
使 z 轴垂直于 x 轴和 y 轴． 过 x 轴或 y 轴的交点 作 z 轴对应的z 轴，且 z 轴垂直于 x 轴． (3) 图形中平行于 z 轴的线段画成平行于 z 轴的线段，
且长度不变． (4) 连接有关线段，擦去有关辅助线．
作边长为 4cm 的正方体的直观图．
练习：求证：三角形一定是平面图形
空间几何体的直观图
C
Q
A
M
y
D
C
B
C
D
P
C
N
B
A
x
A
D
A
B
方法二：
(1)画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，
使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
z y
O
x
(2)画底面，在x轴上取线段AB，使AB= 4 cm.在y轴 上取线段AD,使AD= 1.5 cm，分别过点D和B作x轴和y 轴的平行线交于 C点，四边形ABCD就是长方形的底 面ABCD
(× )
(5)水平放置的正三角形的直观图是一个底边长 不变，高为原三角形高的一半的三角形. (×)
练习2：如图，直观图所示的平面图形是(C ) A.任意三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.钝角三角形
A
B
y
45°
C
o
x
练习3：如图，直观图所示的平面图形是( B ) A.任意四边形 C.任意梯形 B.直角梯形 D.等腰梯形
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
D
Z
B
O
C
Q
A
M
y
D
P
C
N
B
A
x
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分
改为虚线), 就可得到长方体的直观图.
D
Z
B
O
C
Q
A
M
y
D
C
B
C
D
P
C
N
B
A
x
A
D
A
B
D
Z
直观图画法
学习过程一、复习预习直观图的画法：斜二测画法的规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
二、知识讲解【考点1】：画水平放置的平面图形的直观图例1：画出如图1－1－27所示水平放置的等腰梯形的直观图．图1－1－27【思路】【解答】画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连结B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．【规律方法】1．斜二测画法中的建系原则：一般建立特殊的直角坐标系，尽量利用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为坐标原点，这样可便于直观图中点的确定．2．树立“一斜、二测”两种意识一斜——在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°角；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度为原长度的一半．【考点2】：画空间几何体的直观图例2：用斜二测画法画下底边长为4 cm ，上底边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的直观图．【思路】【解答】 画法：(1)画轴．如图(1)，以底面正方形ABCD 的中心为坐标原点，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上取线段EF ，使得EF ＝AB ＝4 cm ，在y 轴上取线段GH ，使得GH ＝12AB ＝2 cm ，再过G ，H 分别作AB 綊EF ，CD 綊EF ，且使得CD 的中点为H ，AB 的中点为G ，得四边形ABCD 就是正四棱台的下底面ABCD .(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO 1，使OO 1＝2 cm ，过O 1点作O 1x ′∥Ox ，O 1y ′∥Oy ，使∠x ′O 1y ′＝45°，建立坐标系x ′O 1y ′，在x ′O 1y ′中重复(2)的步骤画出上底面A 1B 1C 1D 1.(4)成图．连结AA 1，BB 1，CC 1，DD 1，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正四棱台的直观图．如图(2)．【规律方法】画立体图形的直观图，一般是先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关点，最后连线成图便可．【考点3】：由直观图还原平面图形例3：如图1－1－29，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．图1－1－29【思路】【解答】(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，如图(1)所示，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；(3)连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图(2)所示．【规律方法】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连结即可．三、 例题精析【例题1】【题干】以下关于斜二测直观图画法的说法正确的是________．①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变； ②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12；③画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°； ④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．【解析】 由斜二测画法规则可知①②④均正确，③中∠x ′O ′y ′＝45°或135° 【答案】 ①②④【题干】如图1－1－32是水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，A′B′∥y′轴，则△ABC 的形状是________三角形．图1－1－32【解析】由斜二测画法规则知，在直观图中，AB⊥BC∴△ABC是直角三角形．【答案】直角【题干】水平放置的圆的直观图应该画成________．【答案】椭圆【题干】画出一个正三棱台的直观图．(尺寸为上、下底面边长分别为1 cm 、2 cm ，高为2 cm)【解】 ①画轴．如图所示，画x 轴、y 轴和z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.②画下底面．以O 为正三角形ABC 的中心，在y 轴上取线段EC ，使EC ＝32 cm ，CO ＝2OE ，过E 作平行于x 轴的线段AB ，使AE ＝EB ＝1 cm ，连结BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面．③画上底面．在z 轴上取线段OO ′，使OO ′＝2 cm ，过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，以O ′为正三角形A ′B ′C ′的中心，在y ′轴上取线段FC ′，使FC ′＝34 cm ，C ′O ′＝2O ′F ，过F 作平行于x ′轴的线段A ′B ′，使A ′F ＝FB ′＝12cm ，连结B ′C ′，C ′A ′，则△A ′B ′C ′为正三棱台的上底面．④连线成图．连结AA ′、BB ′、CC ′.则三棱台ABC －A ′B ′C ′为所要画的正三棱台的直观图．四、课堂运用1．(2013·湖南师大附中检测)利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是________．(填序号)(1)正三角形的直观图仍然是正三角形．(2)平行四边形的直观图一定是平行四边形．(3)正方形的直观图是正方形．(4)圆的直观图是圆．图1－1－342．一梯形的直观图是一个如图1－1－34所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为________．图1－1－353．直观图(如图1－1－35)中，四边形A′B′C′D′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标中四边形ABCD的面积为________cm2图1－1－374．如图1－1－37所示，在四边形OABC中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝3 cm，OB⊥BC，OB⊥OA，那么，用斜二测画法画出的直观图是______(填四边形的类型)，其周长为______cm.5．按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．图1－1－396．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积．课程小结1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于轴O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．3．对“一斜”、“二测”的理解，应把握以下两点：(1)互相垂直的Ox、Oy轴画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y＝45°或135°.(2)平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．课后作业1．如图1－1－33所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是________．个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________cm.图1－1－363．如图1－1－36所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．4．如图1－1－38为水平放置的△ABO的直观图△A′B′O′，由图判断在△ABO中AB，BO，BD，OD，的大小关系是________．图1－1－38的直观图．。
简单空间图形的直观图(共10张PPT)
接着从两方面画图：位置关系和度量关系，在x轴上 或平行于x轴的线段，相应地画在x′轴上或
平行于x′轴，且保持原长度不变； 在y轴上或平行于y轴的线段相应地画在y′轴上或
，否则要引辅助线． 今后要学习的正等测画法有紧密的联系，也是后面柱、锥、台、球等直观图画法的基础．
平行于y轴的线段，长度为原长度的一半． （2）分别过点A、B、C、D，
把空间图形在平面内画得既有立体感，又能应表达出
图中各主要部分的位置关系和度量关系的图形，就是直观
图——空间图形在平面内的表示方法．
中心投影(透视)虽然可以显示空间图形的直观形
直观图的画法
空间图形在平面内的表示法
立体几何的教学应辅以空间图形的直观图，这 种图虽然不是空间图形的真实状态，但具有较强的 立体感和直观性，还能表达出空间物体的长、宽、 高三个方向上主要的位置关系和度量关系，所以在 生产和实际生活中有广泛的应用．
水平放置的平面图形直观图的画法重点是向学生介 绍斜二测画法，也就是把水平放置的平面图形用斜二测
例1、画水平放置的正方形的直观图 的长、宽、高三个方向上主要的位置关系和度量关系，所以在生产和实际生活中有广泛的应用．
根据正方形各角都是直角的特点，分别取AB、AD边所在直线为Ox轴和Oy轴，此时A是坐标原点O，且Ox轴⊥Oy轴，
根据正方形各角都是直角的特点，分别取AB、 用尺规把水平放置的平面图形的直观图“复原”为原来的平面图形．
然后画出对应的O′x′轴和O′y′ 轴，使∠x′O′y′=45°，此时这两轴确定的平面为水平平面． 在y′轴上或平行于y′轴的线段相应地画在y轴上或平行于y轴，但长度“复原”为2倍．
空间几何体直观图即斜二侧画法
空间几何体的直观图知识点：平面图形的直观图要点诠释：1.用来表示空间图形的平面图形叫作空间图形的直观图；2.用斜二测画法画平面图形的步骤：(1)建系：在已知图形中建立直角坐标系，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴交于点，且使(或)；(2)位置关系：已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；(3)长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半.经典例题透析：类型一：平面图形的直观图1、画出水平放置的等边三角形的直观图.解：画法，如图：(1)在三角形ABC中，取AB所在直线为x轴，AB边的高所在直线为y轴；画出相应的轴和轴，两轴交于点，且使；(2)以为中点，在轴上取，在轴上取；(3)连接、，并擦去辅助线轴和轴，便获得正△ABC的直观图△.总结升华：斜二测画法的作图技巧：1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2.在原图中平行于轴和轴的线段在直观图中仍然平行于轴和轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面垂直的轴，平行于轴的线段长度保持不变.举一反三：【变式1】等腰梯形ABCD，上底边CD=1，腰，下底AB=3，按平行于上下底边取x轴，则直观图的面积是多少？解：1.以等腰梯形的下底边所在直线为x轴，以过D点的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系；过C点做垂直于AB的直线与AB相交于点E；∵DC=1，，AB=3，∴AO=OE=EB=DO=1；2.建立坐标系，，在轴上取，且，，在轴上取线段；过点做；连接和，则梯形为等腰梯形ABCD的直观图；3.过点做垂直于下底边的垂线段，则△为等腰直角三角形，斜边，所以梯形的高；4.梯形面积.【变式2】正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？1.直观图中平行于轴和轴的线段在原图中分别为平行于轴和轴的线段；2.直观图中平行于轴的线段，在原图中保持长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的两倍.解：1.建立平面直角坐标系，在x轴上取；2.为正方形的对角线，且在轴上，则，所以在y轴上取；3.取，且平行于x轴；4.连接AB、CO，所得图形OABC即为直观图的原图；四边形OABC为平行四边形；5.因为，，由勾股定理，BA=3，所以平行四边形OABC周长为8.学习成果测评基础达标：一、选择题1．下列说法正确的是( )A．相等的线段在直观图中仍然相等B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C．两个全等三角形的直观图一定也全等D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形.2．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )A．8 B．C．D．3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6 C．5 D．34．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A．B．C．D．5．三棱锥的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面V AB的面积为9，则点C到侧面V AB的距离为( )A．3 B．4 C．5 D．66．正方体的内切球和外接球的半径之比为( )A．B．C．D．7．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ).A．25B．50C．125D．都不对8．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为( ) A．B．C．D．二、填空题1．一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是________.答案：42．利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形.其中说法正确的序号依次是__________.3．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1:2，则它们的高之比为_________.能力提升：一、选择题1．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( ).A．2倍B．倍C．倍D．倍2．如图所示的直观图，其平面图形的面积为( ).A．3B．6C．D．3．已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是( )A．16 B．16或64 C．64 D．以上都不对4．一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形，对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm.则这个直棱柱的侧面积是( ).A．B．C．D．二、填空题1．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的；②画与直角坐标系对应的必须是45°；③在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；④等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；⑤梯形的直观图仍然是梯形；⑥正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中说法正确的序号依次是___________.答案解析：基础达标：一、选择题：BBAAB，DBC二、填空题：1、或；2、①③；3、；4、；5、，.三、解答题：解：由题意有，，∴即油槽的深度为75cm.能力提升：一、选择题：CBBA BCAD二、填空题：1、①⑤；2、三、解答题：1．解：一个侧面如右图，易知，.则，，所以，表面积为综合探究：解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积.如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积.(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m.棱锥的母线长为则仓库的表面积；如果按方案二，仓库的高变成8m，棱锥的母线长为，则仓库的表面积；(3)∵，，∴方案二比方案一更加经济.。
《平面的概念和表示》教学设计
注：画两个平面相交的图时，注意画出交线。 3、平面的表示 平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示，如平面 α，平面β，平面γ等，也可以用表示平面的多边形的一条 对角线的两个端点的字母，如平面 AC（如上图） 注：⑴用α、β、γ等表示平面时，字母写在表示平面 的多边形的一个内角内（一般写在锐角内） 。 ⑵用三角形表示平面时，可用三个顶点表示平面。 4、点与平面的位置关系及符号表示 平面可以认为是由它内部的所有的点组成的点集，其中 每个点都是它的元素。 空间的点与平面有且只有下列位置关系： ⑴点在平面内，如点 A 在平面α内，记作 A∈α。 ⑵点在平面外，如点 B 在平面α外，记作 B ∉ α（如图） B A α
D α A B
C β
α
特点 画法 表示法
注：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐 角画成 45º，横边画成邻边的 2 倍（如图） 几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面 遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画，这样看起来 立体感强一些。 （如图）
虚线的意义
答案：⑴向两方无限伸长的⑵向四周无限扩展的 D ⑶ A B 或 a ⑷ A α B C
个人备课笔录
空间图形
平面图形 立体图形
（图 1） （图 2） T2：看图 2，这又是什么图形？我们看见了它的哪几个 面？ T3：请判断下面的两个图形是否正确？ 图 3 中， E、 分别在 C1D1 和 A1B1 上， 点 F 直线 EF 交 BA 的延长线于 G。 1 图 4 中，点 E、F 分别在 A1B1 和 A1A 上，直线 EF 交 BA 的延长线于 G。 D1 E C1 D1 C1 A1 F D B1 C B D F G A G A B （图 3） （图 4） 上面涉及到的正方体， 组成它的各点不都在同一平面内， 这种几何图形称为立体图形。 平面图形和立体图形都是空间图形，即 A1 E C B1
高中数学必修2立体几何常考题型：空间几何体的直观图正式版
空间几何体的直观图【知识梳理】1．用斜二测画法画平面图形的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴， 两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半．2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z ′轴，z ′轴过点O ′，且与x ′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．【常考题型】题型一、水平放置的平面图形的直观图【例1】 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE 的直观图．[解] 画法：(1)在图(1)中作AG ⊥x 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H .(2)在图(2)中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(3)在图(2)中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD . (4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图(3))．【类题通法】1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．【对点训练】1.如图是水平放置的由正方形ABCE 和正三角形CDE 所构成的平面图形，请画出它的直观图．解：画法：(1)以AB 边所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，两轴相交于点O (如图(1))，画相应的x ′轴和y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图(2))；(2)在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ；分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC ；在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD . (3)连接E ′D ′，D ′C ′，C ′E ′，并擦去辅助线x ′轴和y ′轴，便得到平面图形ABCDE 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图(3))．题型二、空间几何体的直观图【例2】 用斜二测画法画棱长为2 cm 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的直观图．[解] 画法：(1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)．【类题通法】画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的二分之一．(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．【对点训练】2．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解：(1)画轴．如下图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中相应高度，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出上底面A ′B ′C ′D ′.(3)画正四棱锥顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D ，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如下图②.题型三、直观图的还原与计算问题【例3】 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．[解] 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1；OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2.所以面积为S ＝2＋32×2＝5. 【类题通法】由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．【对点训练】3．如图所示，将水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′还原为平面图形．解：(1)如下图①，在水平放置的直观图中延长D ′A ′交O ′x ′轴于点E ′.(2)如下图②，画互相垂直的轴Ox ，Oy ，取OE ＝O ′E ′，过E 作EF ∥Oy ，在EF 上截取AE ＝2A ′E ′，DE ＝2D ′E ′，然后分别过A ，D 作AB ∥Ox ，DC ∥Ox ，并使AB ＝DC ＝A ′B ′.(3)连接AB ，BC ，CD ，得直观图A ′B ′C ′D ′的还原图形．综上可知，此水平放置的直观图是矩形．【练习反馈】1．关于斜二测画法，下列说法不．正确的是( ) A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12C ．在画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：选C 斜二测作图时，∠x ′O ′y ′也可为135°，故C 错．2．有下列叙述：①相等的角，在直观图中仍相等；②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 从原图到直观图只能保证平行的仍平行，故只有③正确．3.已知△ABC 的直观图如图所示，则原△ABC 的面积为________．解析：由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3.∴S △ABC ＝12×6×3＝9. 答案：94.如图所示，一个水平放置的正方形ABCD ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A ′B ′C ′D ′中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：正方形的直观图A ′B ′C ′D ′如图：因为O ′A ′＝B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，所以顶点B ′到x ′轴的距离为1×sin 45°＝22. 答案：225．画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图．解：(1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图．。
必修二1.2空间几何体直观图的画法
简单组合体的三视图
正视图
侧视图
俯视图 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出。
正视图
侧视图
俯视图
由三视图想象几何体
练习2：一个几何体的三视图如下,你能说出它 是什么立体图形吗?
四棱锥
练习3：画下列几何体的三视图
练习4：指出下面三个平面图形是右面这个 物体的三视图中的哪个视图。
(1)
(2)
( 正视图 )
Z
D
A D
MO
C y
B
Q
C
Nx
AP B
D
A D
A
C B
C
B
思考2:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影
是底面中心的三棱锥？
zS
C
A
B
y C
M
A
OBx
S
C
A
B
练习:用斜二测画法画底面边长为2cm,侧 棱长为√11cm的正四棱锥的直观图.
画棱柱、棱锥的直观图大致可分以下几 个步骤
画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法．在
实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．
练习:P21 EX1、2
斜二测画法的步骤（空间几何体）
步骤：
（2）画轴（画 o' x', o' y', o' z' 轴，使 x'o' y' 450 或135 0 ,x'o' z' 900. x'o'
一.水平放置的平面图形的直观图 例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
1 在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X 轴，
空间图形的直观图
就可得到长方体的直观图.
D
Z
B
O
C
Q
y
A
D
M
C
N
x
A
P
B
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
4 成 图 . 顺 次 连 接 A , B , C , D , 并 加 以 整 理
去 掉 辅 助 线 ,将 被 遮 挡 住 的 部 分 改 为 虚 线 ,
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
1 在 六 边 形 A B C D E F 中 ， 取 A D 所 在 的 直 线 为 X 轴 ，
对 称 轴 MN所 在 直 线 为 Y轴 ,两 轴 交 于 点 O。 画 相 应 轴 和 Y 轴 ， 两 轴 相 交 于 点 O , 使 x O y = 4 5 的X
Z
,
y
O
x
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
2 画 底 面 .以 O为 中 心 ,在 x轴 上 取 线 段 MN,使 MN=
4 cm;在
轴 上 取 线 段 P Q , 使 P Q = 1.5c m ; 分 别 过 点 M 和 N 作 y 轴 的 平 行 线 ,过 点 P和 Q作 x轴 的 平 行 线 ,设 它 们 的 交 点 分 别 为 A,B, C,D,四 边 形 ABCD就 是 长 方 形 的 底 面 ABCD
2
2、如图Δ A’B’C’是水平放置的Δ ABC的直观 图，则在Δ ABC的三边及中线AD中，最长 的线段是（ AC ）
3、右图是Δ ABC利用斜二测画法得到的水 平放置的直观图Δ A‘B‘C’，其A‘B’∥y’轴， B‘C’∥x‘轴，若Δ A‘B‘C’中A‘B‘=2 ,B‘C’=3， 则Δ ABC的面积是（ 6 ）
平面直观图的画法
平面直观图的画法——斜二测法教学目标：掌握用斜二测法画水平放置的平面图形和空间图形的画法和画图的一般步骤。
教学重、难点：斜二测画法的主要步骤，空间图形直观图的画法． 教学过程： （一）新课讲解：1．空间图形的直观图的概念：在一个平面内不可能画出空间图形的真实形状，为了便于对空间图形的研究，我们将作出空间图形的直观图，即用平面图形表示空间图形，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感． 2．画水平直观图的方法——斜二测画法 例1．坐标平面中，点的直观图的画法．画法：（1）设点(,)C a b ，作坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=o；（2）在x 轴上的点A ，画在x '轴上，使O A OA ''=； （3）在y 轴上的点B ，画在y '轴上，使12O B OB ''=； （4）在x O y '''中，作y '轴的平行线x a '=，作x '轴的平行线2by '=，直线x '与直线y ' 相交于C '点(,)2ba ．点C '即为点C 的直观图．图（1） 图（2）例2．坐标平面内直线与线段的直观图的画法． 画法：略。
例3．水平放置的正六边形的直观图．画法：（1）在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在的直线为x 轴，取对称轴GH为y 轴，x 轴、y 轴相交于点O ；任取点'O ，画出对应的'x 轴、'y 轴，使''45x Oy ∠=o ；（2）以点'O 为中点，在'x 轴上取''A D AD =，在y '轴上取12G H GH ''=，以点H '为中点画//F E x '''轴，并使F E FE ''=；再以G '为中点画//B C x '''轴，并使B C BC ''=；（3）顺次连结,,,A B C D D E F A ''''''''，所得到的六边形A B C D E F ''''''就是水平放置的,)b(,)2b a '正六边形ABCDEF 的直观图．说明：图画好后，要擦去辅助线． 练习：画水平放置的正五边形的直观图． 例4．空间图形的直观图的画法．画棱长为2cm 的正方体的直观图．画法：（1）作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使45BAD ∠=o，2AB =cm ，1AD =cm ． （2）过点A 作z '轴使90BAz '∠=o，分别过点,,,A B C D ，沿z '轴的正方向取1111AA BB CC DD ====2cm ．（3）连结11111111,,,A B B C C D D A ，得到的图形就是所求的正方体直观图． 图（1） 图（2）说明：上述画直观图的方法叫做斜二测法。
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A D
B
)
C
o
x
练习2：如图，直观图所示的平面图形是(C ) A.任意三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.钝角三角形
y
A
B
C
o
x
练习3：如图，直观图所示的平面图形是( A.正三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.直角三角形
A
C
)
y
B
C
o
x
作业：P11 习题 8、9.
四个步骤：取轴、画轴、平行性、长度.
练习1：下列说法是否正确？ （1）水平放置的正方形的直观图可能 是梯形. （×） （2） 两条相交直线的直观图可能平行.
（×）
(3) 互相垂直的两条直线的直观图仍然 互相垂直. （×） （4）等腰三角形的水平放置的直观图 仍是等腰三角形. （×）
例3、如图，直观图所示的平面图形是(B A.任意四边形 C.任意梯形 B.直角梯形 D.等腰梯形
斜二测画法
1.如何将一个直立放置的平面图形 画在纸上?
2.将一个水平放置的平面图形 (立体图形) 画在纸上,怎样画才有立体感呢?
问题: (1)、太阳光线（假定太阳光线是平 行的）把一个长方形形状的窗框投 射到地板上，变成了什么图形？
(2)、上述窗框的投影图形与原窗 框图比较，哪些几何关系或几何量 发生了变化？哪些没有发生变化？
巩固练习 画水平放置的正五边形的直观图
二、怎样画立体图形的直观图？
例2、画棱长为2cm的正方体的直观图.
z' D' A' D A B y' B' C C'
x'
上述画直观图的方法叫做斜二测画法，规则如下： (1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、oy， 再取oz轴，使 ∠ xoz=90° 且∠ yoz=90 °； (2)画直观图时，把它们画成对应的o’x’、o’y’、 o’ z’ ， 使∠x’o’y’= 45 °(或135°) ， ∠x’o’z’= 90 °. x’o’y’ 所确定的平面表示水平平面； (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图 中分别画成平行于x’轴，y’轴，z’轴的线段； (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持 长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
A P M B
P’ A’ M’ B’
直观图: 表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图.
如何画空间图形的直观图?
斜二测画法
一、平面图形的直观图的画法.
例1:画水平放置的正六边形的直观图.
y F H E F' y'
H' D' x'
A o
B G C
D
x
A' B'
o' ' C' G
四个步骤：取轴、画轴、平行性、长度.
优化9.1（三）
预习9.2---空间的平行直线和异面直线
4、右图是Δ ABC利用斜二测画法得到的水 平放置的直观图Δ A‘B‘C’，其中A‘B’∥y’轴， B‘C’∥x‘轴，若Δ A‘B‘C’的面积是3，则Δ ABC 的面积是（ 3 2 ）
Байду номын сангаас
（4) 水平放置的正三角形的直观图是一个 底边长不变，高为原三角形高的一半的三角 形. （×）