二次函数解析式的8种求法

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二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法河北高顺利二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3∴ m = 3 ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是．分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一）三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向平移个单位，再向平移个单位得到的．解： 253212++=χχy = ()23212-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29）解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得：40542a b c a b c a b c -=++⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y2、设二次函数解析式为：y = a ( x – h )2 + k ，图象顶点是（－2，3）∴h =－2，k =3，依题意得：5=a ( －1 + 2)2+3，解得：a =2∴y = 2( x +2)2 + 3=11822++x x3、设二次函数解析式为：y = a ( x – 1χ) ( x – 2χ)．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，∴1χ=－2，2χ=4依题意得：－29= a ( 1 +2) ( 1– 4) ∴a =21 ∴ y = 21 ( x +1) ( x – 4)=223212--x χ．七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式．（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口方向相反，即互为相反数．（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同．（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即互为相反数．例6 已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称．x x y x x x a y y ax a 5632+-=x x y x y x解：可转化为，据对称式可知 ①图象关于轴对称的图象的解析式为，即：． ②图象关于轴对称的图象的解析式为：，即：；③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为，即．八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．例7、如图，已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点，AB =4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO =45 ，37cot =∠PBO ．()1求P 点的坐标；()2求抛物线的解析式．解: 设P 的坐标为(－1，y )， ∵P 点在第三象限∴y ＜0，过点P 作PM ⊥X 轴于点M ．点M 的坐标为(－1，0)|BM| = |BA |+ |AM|5632+-=x x y 2)1(32+-=x y x 2)1(32---=x y 5632-+-=x x y y 2)1(32++=x y 5632++=x x y x 2)1(32+--=x y 1632++-=x x y∵∠PAO =45∴ |PM | = |AM| = |y | =－y ∵374cot =--==∠y y PM BM PBO ∴y = －3∴P 的坐标为(－1，－3)∴A 的坐标为(2，0)将点A 、点P 的坐标代如函数解析式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-++-=c b c b 7132740 解得：87b = ； 127c =- ∴抛物线的解析式为：21812777y χχ=-+-．。

求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。

下面将详细介绍这四种方法。

方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。

对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。

1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。

其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。

所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。

方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。

1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。

二次函数解析式的求法

二次函数解析式的求法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

一．二次函数的解析式有几种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)5.特殊式：y=ax 2 y=ax 2+c y=ax 2 +bx6.平移式：y=ax 2 y=a(x －h)2 y=a(x －h)2+k 二．二次函数解析式的具体求法：求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线上任一点，通常只能设y=ax 2;若给出抛物线上任二点通常只能设y=ax 2+c 或 y=ax 2+bx3、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

4、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。

5、若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。

6、.若抛物线的形状和大小一样，只是位置发生变化。

用平移法。

三．二次函数解析式典例分析：1.一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。

十种二次函数解析式求解方法

十种二次函数解析式求解方法〈一〉三点式。

1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ，经过点A （2，3），求抛物线的解析式。

〈二〉顶点式。

1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

〈三〉交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。

〈四〉定点式。

1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。

〈五〉平移式。

1，把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。

2，抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。

1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

〈七〉对称轴式。

1、抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

求二次函数解析式

回头看了一眼，朝独自跪在那里的人最后投去悲哀的一瞥。因为挨了四鞭，那人的背还在火辣辣的痛，他的膝盖也跪疼了。不过，这个老人会带着尊严死去，或至少是抱着这样的想法死去。（节选自《偷书贼》第七章P265～267，略有删改）致中国读者的信亲爱的中国读者： ? 谢谢您阅读了这
本《偷书贼》。 ? 我小时候长听故事。我的爸爸妈妈经常在厨房里，把他们小时候的故事告诉我的哥哥、两个姐姐和我，我听了非常着迷，坐在椅子上动都不动。他们提到整个城市被大火笼罩，炸弹掉在他们家附近，还有童年时期建立的坚强友谊，连战火、时间都无法摧毁的坚强友谊。 ? 其中有
个故事，一直留在我心里…… ? 我妈妈小时候住在慕尼黑近郊。她说她六岁的时候，有一天听见大街上传来一阵嘈杂的声音。她跑到外面一看，发现有一群犹太人正被押解到附近的达豪集中营。队伍的最后是一位精疲力竭的老人，他已经快跟不上队伍的脚步了。有个男孩子看到老人的惨状后，飞
奔回家拿了一片面包给这位老人。老人感激地跪下来亲吻这位少年的脚踝。结果有个士兵发现了，走过来抢走了老人手上的面包，并用力鞭打了老人。随后士兵转身追赶那个男孩，把男孩也打了一顿。在同一时刻里，伟大的人性尊贵与残酷的人类暴力并存。我认为这恰好可以阐释人性的本质。 ?
听了这些故事之后，我一直想把它们写成一本小书。结果就是《偷书贼》的诞生。而《偷书贼》这本书对我的意义，远远超过我当初的想象。对我来讲，《偷书贼》就是我生命的全部。不管别人怎么看这本书，不管评价是好是坏，我内心明白，这是我最好的一次创作。身为作者，当然会为自己“最
好的一次创作”深感满意。再次感谢您，并致以诚挚的祝福！? ?马克斯/苏萨克 2007年7月27日 ? 【背景概览】 5．《致中国读者的信》放在《偷书贼》（孙张静/译，代谢联合出版公司2014年版）正文之前。你认为作者写这封信有哪些用意？（3分）答： 6．阅读《致中国读者的信》，从下列选

求二次函数解析式几种常用方法

求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式．解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-．解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。

二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的求法一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m－1是二次函数，则m = ．二、开放型例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是．三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向平移个单位，再向平移个单位得到的．四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29）七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于x 轴对称（也可以说沿x 轴翻折）；y 轴对称及经过其顶点且平行于x 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式．（1）关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a 互为相反数．（2）关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称，两个图象的形状大小不变，即a 相同．（3）关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a 互为相反数．例6 已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称．八、数形结合例7、如图，已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点，AB =4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO =45 ，BM7PM 3=．()1求P 点的坐标；()2求抛物线的解析式．。

求二次函数解析式的方法

求二次函数解析式的方法
一、利用顶点坐标求解析式。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

因此，我们可以通过已知的顶点坐标来求解析式。

例如，如果已知
顶点坐标为(2, 3)，则可以列出方程组：
a2^2+b2+c=3。

a2+b=0。

通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。

二、利用描点法求解析式。

描点法是通过已知的函数图像上的点来求解析式的一种方法。

如果已知二次函数上的两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，
则可以列出方程组：
ax1^2+bx1+c=y1。

ax2^2+bx2+c=y2。

通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。

三、利用配方法求解析式。

对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以利用配方法将其写成完全平方的形式。

例如，对于函数y=x^2+2x+1，我们可以将其写成(y+1)=(x+1)^2的形式，从而得到解析式y=(x+1)^2-1。

四、利用判别式求解析式。

二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次函数的解的情况。

当Δ>0时，函数有两个不相等的实数根；当Δ=0时，函数有两个相等的实数根；当Δ<0时，函数没有实数根。

因此，我们可以通过判别式来求解析式。

以上是几种常用的求二次函数解析式的方法，当然还有其他一些方法，如利用导数、利用函数的对称性等。

通过这些方法，我们可以灵活地求得二次函数的解析式，从而更好地理解和应用二次函数。

二次函数解析式的几种求法

二次函数解析式的几种求法《数学》“函数及其图象”的难点是二次函数，其重点是求函数的解析式。

近几年全国各省市初中毕业会考、中考等，大都有求函数解析式这类题目出现。

为使学生更好地掌握这部分知识，就如何求二次函数解析式的问题，谈谈下面几种方法。

一、已知三点求二次函数的解析式当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标代入一般式c bx ax y ++=2中，可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组，解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。

例1、已知二次函数的图象经过点A )23,2(-、B )6,7(、C )30,5(-，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为c ba ax y ++=2，则由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a解这个方程组，得21=a ，3-=b ，25=c .故所求的二次函数的解析式为253212+-=x x y .二、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为n m x a y +-=2)(（即顶点式）较为简便。

例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y 轴的交点的纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为（0，13）， ∴135)20(2=+-a ， ∴2=a故所求的解析式为5)2(22+-=x y . 即 13822+-=x x y例3、已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x 且最小值为－2，求这个函数的解析式。

解：由题设知抛物线的顶点为（1，－2），因此，设所求二次函数为2)1(2--=x a y 。

∵抛物线过点（－1,2） ∴22)11(2=---a ∴1=a故所求的解析式为2)1(2--=x y ，即122--=x x y 。

求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。

常见的四种方法求二次函数解析式包括配方法、因式分解法、求根公式法和完成平方法。

1.配方法：配方法适用于二次函数的系数不为1时，即a≠1的情况。

步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。

例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+3)^2-4b)化简得到二次函数的解析式。

例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=（x+3)^2-42.因式分解法：因式分解法适用于二次函数可以被因式分解的情况，即可以找到两个一次因式的乘积形式。

步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。

例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+1)(x+5)。

b)化简得到二次函数的解析式。

例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=(x+1)(x+5)。

3.求根公式法：求根公式法适用于二次函数的解存在有理根的情况。

步骤：a) 根据二次函数的系数a、b、c，计算出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac。

b)根据判别式Δ的数值，判断方程的解的情况：-如果Δ>0，则有两个不相等的实根；-如果Δ=0，则有两个相等的实根（重根）；-如果Δ<0，则没有实根，但可能有两个虚根。

c)根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出实根或复根。

4.完成平方法：完成平方法适用于二次函数的系数为1时，即a=1的情况。

步骤：a)将二次函数进行配方，将其转化成完全平方的形式。

例如：y=x^2+6x+___，需要找到一个数来补全。

根据(b/2)^2的性质，可以将6/2=3得到的平方数补全，即y=x^2+6x+9b)化简得到二次函数的解析式。

例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+9=(x+3)^2通过以上四种方法，可以根据具体的二次函数形式，选择适合的方式来求得二次函数的解析式。

二次函数求解析式

二次函数解析式的求法二次函数解析式之已知抛物线上三点坐标，一般选取一般式。

①一般式：y=ax²+bx+c ( a≠0,a、b 、c 为常数)例题1：二次函数图像经过A （1,7）B(0.2);C(-1,1)求二次函数的解析式已知抛物线与X 轴两个交点的横坐标，一般选取双根式。

②双根式： y=a(x-x ₁)(x-x ₂)（a≠0,a 、b 、c 为常数）例题2：二次函数图像经过点A(1,0)B （-3,0）C （-1，-2）求二次函数的解析式已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式 ③顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)例题3：二次函数顶点坐标A(-1,2)又经过B(1,4)，求二次函数解析式已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

③顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)例子4：二次函数过点A(0,1);又经过B(4,1)且最小值是-1；求二次函数的解析式。

单元测试题1.已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y 轴的交点坐标为（0，﹣3）．求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；3已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；4．（2015•瑶海区三模）已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．5如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A（﹣2，0）．求此二次函数解析式及顶点B的坐标；6已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．求这条抛物线的解析式；7二次函数的图象如图所示，则其解析式为．8已知二次函数图象的开口向上，经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x轴的距离为2，则该二次函数的解析式为．9如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是．10二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）三点，求出抛物线解析式．11.一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．则这个二次函数的解析式是3．（2015秋•绍兴校级期中）与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x212．（2015秋•龙岩校级月考）一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣413．（2015秋•禹城市校级月考）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3。

二次函数的几种解析式及求法.

例1
求经过有三点
y
5 · · · · ·
A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的式. 分析：已知一般三点，用待定系数法设为一般式：求二次函数的关系式.
C ·
· · ·o B· · x -3 –2 –1 1 2 ·
A·
· -3 ·
顶点式： y
a ( x h) k
方法2，根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为 y＝a(x＋3)(x－5)，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；
4．已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，求它的解析式．
分析: (1)根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式为y＝a(x－3)2－2， (2)抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为 4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0）， (3)任选一个代入 y＝a(x－3)2－2，可求出a的值．
求二次函数的关系式
二次函数的关系式、顶点式
求抛物线 y=2 x 10 x 12 与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标
2
求抛物线与y轴的交点的方法：令x=0
与y轴的交点坐标（0，-12）
求抛物线与x轴的交点的方法：令y=0
2 x 10 x 12 0
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高3米是否超过其位置的拱高。即当x= OC=1.6÷2=0.8米时，过C点作CD⊥AB交抛物线于D点，若y=CD≥3米，则卡车可以通过。
三、应用举例

二次函数中考专题一：二次函数解析式的求法

二次函数中考专题专题一：二次函数解析式的求法待定系数法：（1）已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求出a、b、c；（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其中顶点坐标为（h，k）对称轴为直线x=h；（3）若已知抛物线与x轴的交点的横坐标，则可采用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中与x轴的交点坐标为（x1，0）（x2，0）.例题：一、已知三点求解析式1．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（-1，-22），（0，-8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点.2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（-1，10），（2，7），且3a＋2b＝0，求该抛物线的解析式。

3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.4．已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的解析式.5．已知抛物线C：y＝-x2＋bx＋c经过A（-3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标.6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．求抛物线的解析式．7．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx-4a经过点A（-1，0），C（0，4）.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于x轴对称的点的坐标.二、已知顶点或对称轴求解析式1．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0），求该二次函数的解析式.2．已知抛物线y＝x2＋kx＋k＋3，若抛物线的顶点在y轴上，求此抛物线的解析式。

3．已知某二次函数，当x=3时，函数有最小值-2，且函数图象与y轴交于，求此二次函数的解析式。

二次函数解析式解题技巧

二次函数解析式解题技巧二次函数解析式是数学学习当中非常重要的一个章节，也是数学考试的一个必考知识点。

下面是小编为大家整理的关于二次函数解析式解题技巧，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!二次函数解析式解题技巧函数解析式的常用求解方法：(1)待定系数法：(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)：若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。

待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

(2)换元法(注意新元的取值范围)：已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设t=g(x)，从而求得x=(g^(-1))(t)，然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。

(3)配凑法(整体代换法)：若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。

(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

(5)赋值法(特殊值代入法)：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。

极客数学帮给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。

一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。

二、换元法利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即f(x)的定义域。

三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。

方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。

四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

十种二次函数解析式求解方法

十种二次函数解析式求解方法1. 使用配方法：当二次函数无法直接因式分解时，可以使用配方法来求解。

假设二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c，先将常数项c移到等式的另一边，得到y=ax^2+bx=-c。

然后再在x^2的系数a前面添加一个实数k，使得ax^2+bx=-c可以表示为(ax^2+bx+k^2)-k^2=-c。

然后将等式两边进行平移，即得到(ax^2+bx+k^2)=k^2-c。

这样，原本的二次函数就可以表示为一个完全平方的形式加上一个常数。

然后可以通过完全平方公式来求解。

2.利用零点的性质：二次函数的解析式可以表示为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2分别是二次函数的两个零点。

通过求解方程a(x-x1)(x-x2)=0，即可得到这两个零点的值。

3. 利用判别式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，方程的判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，但有两个共轭的复数根。

4.利用顶点的性质：二次函数的解析式可以表示为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是二次函数的顶点的坐标。

通过将方程和y=k相等，然后通过解方程(x-h)^2=(k-k)/a，可以得到x的值。

然后将x的值代入二次函数的解析式，即可得到y的值。

5. 利用对称性：二次函数的解析式可以表示为y=ax^2+bx+c。

二次函数的对称轴的方程为x=-b/2a。

通过将x=-b/2a代入二次函数的解析式，即可得到对称轴上的y的值。

6. 利用平方差公式：对于二次函数的解析式y=(x-p)^2-q，其中p 和q分别是二次函数的顶点的横坐标和纵坐标。

通过展开平方得到y=x^2-2px+p^2-q，然后将原始的二次函数的解析式和展开后的二次函数的解析式相等，即可得到p和q的值。

7.利用导数的性质：二次函数的导数为一次函数，通过求解一次函数的解析式，可以得到二次函数的极值点，即顶点。

十种二次函数解析式求解方法

十种二次函数解析式求解方法一、二次函数解析式的一般形式二次函数解析式一般形式为：f(x) = ax² + bx + c ，其中 a、b、c 是给定的实数，且a ≠ 0。

二、求解二次函数解析式的常见方法1.完全平方解法：将二次函数解析式表示为完全平方形式，进而求得其最简形式。

2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。

3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。

4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，求出其零点和轴对称线方程另一种方法。

5.图像法：通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。

6.列出方程法：通过已知条件列出关于二次函数解析式的方程，进而求解二次函数解析式。

7.求导法：通过对二次函数解析式进行求导，可以得到对应的切线方程，知道切线方程后可以求解出二次函数解析式。

8. 借助计算机软件：使用计算机软件如Mathematica、MATLAB等，在计算机中输入二次函数解析式，即可得到其解析式。

9.使用求根公式：二次函数解析式可以通过求根公式求解，即利用一元二次方程求根公式求解。

10.公式推导：根据二次函数的定义和性质，利用一些数学推导方法求解二次函数解析式。

三、各种方法的详细解释1.完全平方解法：通过完全平方公式将二次函数解析式写成完全平方的形式，然后根据完全平方公式的性质，求得其最简形式。

2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。

根据因式分解的结果可以知道解析式的特征。

3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。

配凑的目的是为了得到一个方便求解的二次函数形式。

4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，通过解方程求出开方后的值，进而求得零点和轴对称线方程。

5.图像法：在坐标系中通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。

二次函数求解析式

求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

与X轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。

(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。

(-b/2a，0)。

Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。

已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。

①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。

例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。

点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。

解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。

②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。

例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。

二次函数解析式的8种求法(9年级下)

二次函数解析式的8种求法二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．例2、经过点A （1，3）的抛物线的解析式是．三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，a 的值不变，口诀为：左加右减，上加下减．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向平移个单位，再向平移个单位得到的．以上三类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29）4．已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

求二次函数解析式的常用方法

求二次函数解析式的常用方法求二次函数解析式，就是确定其中的某些常数值。

但由于所用的解析式可因题设条件相异而选取不同的形式，就产生有多种求法，现举例说明如下，供同学们在学习时参考。

一、用一般式y = ax2+b+c如果题设是图象经过某三点，常选用一般式来求解。

例1、已知二次函数的图象经过点（－2，－15）、（0，5）、（1，9）三点，求这个二次函数的解析式。

解：设二次函数的解析式为y = ax2+b+c，由题意得：4a－2b+c=－15c=5a+b+c=9解之得，a =－1， b =－4， c=5 故所求得二次函数的解析式为：y =－x2－4x+5二、用顶点式y =a（x－h）2+k当题设条件与函数图象的顶点或对称轴或函数的最大（小）值有关时，选顶点式求解较好。

例2、已知抛物线的顶点坐标为（－1，－2），且图象经过（1，10）点，求抛物线的解析式。

解：设抛物线的解析式为：y =a（x－h）2+k由题意可得，y =a（x+1）2－2又抛物线经过点（1，10）∴10= a（1+1）2－2解得：a = 3 故抛物线的解析式为：y =3（x+1）2－2或y =3x2 +6x+1三、用两根式y = a（x－x1）（x－x2）当题设给出图象与x轴两交点坐标时，选用两根式求解为宜（在只交于一点，即切于点（x，0）时，两根式变为y = a（x－x1）2）例3、函数y = ax2+bx+c（a≠0）有最大值8，且方程ax2+bx+c=0的两根为x1=6，x2=2，求二次函数的解析式解：方程ax2+bx+c = 0的两根为x1=6，x2=2，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标为x1=6，x2=2，故设所求的解析式为y = a（x－6）（x－2）化成一般式为：y=ax2－8ax+12a4ac－b2又因函数的最大值为8，∴———— =84a48a2－64 a2即：————— =8 解得：a=－24a故函数解析式为y = －2（x－6）（x－2）或y =－2 x2+16x－24四、综合运用除上述三种常见方法外，有些题目需要综合运用各种表达式。