同济高等数学第六版上册课件

= − x2 sin x + 20cos x + 90sin x
解
设 u = e2x , v = x2 , 则
u(k) = 2k e2x ( k = 1, 2,L, 20 )
v′ = 2x ,
v′′ = 2 ,
v(k) = 0 (k = 3,L, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y
(20)
20⋅ 19 18 2x 2 e ⋅2 = 2 e ⋅ x + 20⋅ 2 e ⋅ 2x + 2!
例3 求下列函数的 n 阶导数： 阶导数： (1) y = x α (α ∈ R ) (2)y = a x (0 < a ≠ 1)
( 3 ) y = ln (1 + x )
解 (1) (xα )′ = α xα −1 ,
(4) y = sin x
(xα )′′ = α (α − 1) xα −2 ,L,
(xα )( n) = α (α − 1)L(α − n + 1) xα −n
特别地
(xn )(n) = n! , (xn )(n+1) = 0
(2)
(a x )′ = a x ln a ,
(a x )′′ = a x ln 2 a ,L ,
(ax )(n) = ax lnn a
特别地
( e x )( n ) = e x
f ( n−1) ( x + ∆ x ) − f ( n−1) ( x ) f ( n) ( x ) = lim ∆ x →0 ∆x
定义1 一般地 如果函数 y =ƒ(x)的n-1 阶导数仍可导时 阶导数仍可导时, 定义 一般地,如果函数 的 则函数 y =ƒ(x)的 n –1阶导数的导数称为函数 y =ƒ(x)的n 阶 的 阶导数的导数称为函数 的 导数, 导数 即
y '' = −
(4)
1 (3 ) y ' = ， 1+ x
2! y ''' = , 3 (1 + x )
1 , 2 (1 + x)
y
3! ,L , =− 4 (1 + x )
( y)
( n)
= (−1)
n −1
(n − 1)! (1 + x )n
= ( −1)
n −1
特别地
(ln x )
(n)
( n − 1)! xn
f '"( x ) = 2e −2 f ( x ) f '( x ) = 2e −3 f ( x ) f (4) ( x ) = −3 ⋅ 2e −3 f ( x ) f '( x ) = −3 ⋅ 2e −4 f ( x ) ,...,
故
所以
f ( n ) ( x ) = ( −1)n−1 ( n − 1)! e − nf ( x ) f ( n ) (0) = ( −1)n−1 ( n − 1)! e − n
(n − 1)! = (-1) xn
n-1
1 ( n) n n! ( ) = (-1) n+1 x x
(n − 1)! (6) (ln 1 + x ) = (-1) （ ） （+x n 1 ）
( n) n-1
1 ( n) n! n ( ) = (-1) n+ 1+ x （ + x） 1 1
1 ( n) n! ( ) = n+ 1− x （ − x） 1 1
y ( n ) = [ y ( n − 1 ) ]′
并记为
y ,f
(n) ( n)
dn y dn f ( x ), n , n . dx dx
二阶和二阶以上的导数为高阶导数.为了方便, 注1 二阶和二阶以上的导数为高阶导数.为了方便, 记
f ( x ) = f (0) ( x )
求高阶导数就是逐阶求导数, 注2 求高阶导数就是逐阶求导数 一般可通过从低阶导数 找规律, 得到函数的n 阶导数. 找规律 得到函数的 阶导数
的二阶导数： 例2 求函数 y = f (ln x ) 的二阶导数：
f '(ln x) 解 y ' = f '(ln x) ⋅ (ln x) ' = x x[ f '(ln x)]'− f '(ln x)( x)' y" = x2
x ⋅ f "(ln x) ⋅ (ln x)'− f '(ln x) f "(ln x) − f '(ln x) = = 2 x x2
′( x ) = 2 f 2 ( x ), 求f ( n ) ( x ). y = f ( x) 足 f
解 f ′( x ) = 2 f 2 ( x ),
f ′′( x ) = [2 f 2 ( x )]′ = 2 ⋅ 2 f ( x ) f ′( x ) = 2 ⋅ 22 f 3 ( x )
′′′( x ) = [2 ⋅ 22 f 3 ( x )]′ = 2 ⋅ 22 ⋅ 3 f 2 ( x ) f ′( x ) f
π (2) (sinkx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π ( n) n (3) (coskx) = k cos(kx + n⋅ ) 2
( n) n
(e x )( n) = e x
(4) ( xα )( n) = α (α -1)L(α - n +1) xα − n
(5) (ln x)
( n)
具有任意阶导数, 设ƒ(x)具有任意阶导数 且 f '( x ) = e − f ( x ) , f (0) = 1 , 则求 f ( n ) (0). 具有任意阶导数
解
f '( x ) = e − f ( x )
f "( x ) = −e − f ( x ) f '( x ) = −e −2 f ( x )
二、高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 直接法 例1 求函数 y = 3 x 3 + 5 x 2 + 2 x + 6 的各阶导数： 的各阶导数：
解 y ' = 9 x 2 + 10 x + 2,
y " = 18 x + 10
(n) y "' = 18, y = 0 ( n ≥ 4)
1 例7 求 函 数 y = 的n 阶导数. 2 1− x 1 1 1 1 ) = ( + 解 因为 y = 2 2 1− x 1+ x 1− x
得 ( y)
( n)
n! 1 (−1)n ] (n = 0,1, 2,L) = [ + n +1 n +1 2 (1 − x ) (1 + x )
求函数y = ln x 2 + 2 x − 3 的n 阶导数.
(4) (sin x )′ = cos x = sin( x +
π
2
)
(sin x ) ′′ = [sin ( x +
= cos( x +
π
2
)]′
π
2 )
π
2
) = sin( x + 2 ⋅
(sin x )′′′ = sin( x + 3 ⋅
π
(sin x )
同理可得
( n)
= sin( x + n ⋅ ) 2
(cos x )
(n)
π
2
), L
= cos( x + n ⋅ ) 2
π
抽象函数求高阶导数 例5
2 ƒ(x)具有任意阶导数 且 f '( x ) = [ f ( x )] , 则当 是 具有任意阶导数, 则当n 具有任意阶导数
大于2的正整数时 求ƒ(x)的n 阶导数 f 大于 的正整数时, 的 的正整数时
n
= u, v
(0)
n( n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( n − k + 1) . = v, C = k!
k n
莱布尼兹公式. 上述的乘积公式称为莱布尼兹公式 上述的乘积公式称为莱布尼兹公式
2 例6 设 y = x sin x , 求 y(10) .
解 令 u = sin x , v = x 2 , 则
2. 高阶导数的运算法则 设 u = u(x), v = v(x)都 n 阶可导 则 都 阶可导, (1) (2)
( u ± v )( n ) = u ( n ) ± v ( n ) (C u )( n ) = C u ( n )
(n)
( C 为常数 )
(3) ( uv ) 其中 u
(0)
=
k C n u ( n− k )v ( k ) ∑ k=0
u
( n)
= sin( x + n ⋅ ) 2
π
v' = 2x , v'' = 2 , v(n) = 0(n ≥ 3)
由莱布尼兹公式
0 1 2 y(10) = C10u(10)v(0) + C10u(9)v' + C10u(8)v'' 10 ⋅ 9 π π π 2 sin( x + 8 ⋅ ) = x sin( x + 10 ⋅ ) + 10 ⋅ 2 x sin( x + 9 ⋅ ) + 2 ⋅ 2 2 2 2
故 f ( n ) ( x ) = n ![ f ( x )]n+1
已知 f ′′( x ) 存在，且 f ( x ) ≠ 0, y = ln[ f ( x )],