大物参考答案

©物理系_2015_09

《大学物理AII 》作业 No.01 机械振动

一、 判断题：（用“T ”表示正确和“F ”表示错误） [ F ] 1．只有受弹性力作用的物体才能做简谐振动。

解：如单摆在作小角度摆动的时候也是简谐振动，其回复力为重力的分力。 [ F ] 2．简谐振动系统的角频率由振动系统的初始条件决定。 解：根据简谐振子频率

m

k

=

ω，可知角频率由系统本身性质决定，与初始条件无关。 [ F ] 3．单摆的运动就是简谐振动。 解：单摆小角度的摆动才可看做是简谐振动。

[ T ] 4．孤立简谐振动系统的动能与势能反相变化。 解：孤立的谐振系统机械能守恒，动能势能反相变化。 [ F ] 5．两个简谐振动的合成振动一定是简谐振动。

解: 同向不同频率的简谐振动的合成结果就不一定是简谐振动。

二、选择题：

1. 把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为

[ C ] (A) θ; (B) π2

3; (C) 0; (D) π2

1。

解：对于小角度摆动的单摆，可以视为简谐振动，其运动方程为： ()()0cos ϕωθθ+=t t m ，根据题意，t = 0时，摆角处于正最大处，θθ=m ，即：

01cos cos 0000=⇒=⇒==ϕϕθϕθθ

2．一个简谐振动系统，如果振子质量和振幅都加倍，振动周期将是原来的 [

D

] (A) 4倍

(B) 8倍

(C) 2倍

(D)

2倍

解： m T k m T m k T ∝⇒=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫==

/2/2πωωπ

,所以选D 。

3. 水平弹簧振子，动能和势能相等的位置在：[ C ] (A)

4A x =

(B) 2A x = (C) 2

A x = (D)

3

A

x =

解：对于孤立的谐振系统，机械能守恒，动能势能反相变化。那么动能势能相等时，有：

2

21412122A

x kx kA E E E p k =⇒====，所以选C 。

4. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为1E ，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量E 变为

[ D ] (A) 1E /4 (B) 1E /2 (C) 21E (D) 41E 解：原来的弹簧振子的总能量212112112

121A m kA E ω==，振动增加为122A A =，质量增加为124m m =，k 不变，角频率变为11222

14ωω===

m k m k ，所以总能量变为 ()121211212

1122222242142242121E A m A m A m E =⎪⎭⎫

⎝⎛=⨯⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯==ωωω

5．图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这

两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为：

[ C ] (A)π21 (B) π23 (C)π

(D)

解：两个谐振动x 1和x 2 反相，且212A A =，由矢量图可知合振动初相与x 1初相一致，即πϕ=。

三、填空题：

1. 描述简谐振动的运动方程是)cos(ϕω+=t A x ，其中，振幅A 由 初始条件 决定；角频率ω由 振动系统本身性质 决定；初相ϕ由 初始条件 决定；

2．一弹簧振子做简谐振动，振幅为A ，周期为T ,其振动方程用余弦函数表示，若初始时刻，

1）振子在负的最大位移处，则初相为π；

2）振子在平衡位置向正方向运动，则初相为2

π-或者

2

3π；

3）振子在A /2处向负方向运动，则初相为3

π。

解：用旋转矢量法，如图，得出：

1） 2） 3）

t x

o

2

/A A

-2

x 1

x o

1

A 2

A A

3. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A ω-、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 b , f 点。振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为-ω2A 和弹性力-kA 的状态，对应于曲线的 a ，e 点。 解：位移0=x ，速度0d d <-==A t

x v ω，对应于曲线上的 b 、f 点；若|x |=A , A a 2ω-=，又x a 2ω-=, 所以x = A ，对应于曲线上的a 、e 点。

4. 一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期()s 43.37

24==T ，

用余弦函数描述时初相位ππϕ3

23

4-=或。

解：由曲线和旋转矢量图 可知22

12=+

T

T

周期()s 43.37

24==T

初相ππϕ3

234-=或。

5. 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：

)2

1

5cos(10621π+⨯=-t x

(SI) 和

)5sin(10222t x -⨯=-π (SI)

它们的合振动的振幅为(m)1042-⨯，初相位为π21

。 解：将x 2改写成余弦函数形式：

)2

5cos(102)5sin(102222π

π-

⨯=-⨯=--t t x

由矢量图可知，x 1和x 2反相，合成振动的振幅 (m)10410210622221---⨯=⨯-⨯=-=A A A ， 初相由x 1决定：2

1πϕϕ==

ϕ

x

B

A

ω

4-2

-t

x

A

A -a

b c

d e

f x

O A

2

A

1

ϕ1

A