高数第一章知识点总结

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《高等数学》各章知识点总结——第1章

《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。

集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。

集合中的元素无序，不重复。

2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。

(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。

(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。

(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。

(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。

3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。

(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。

(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。

4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。

(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。

通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。

5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。

(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。

(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。

(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。

(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。

总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。

理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。

在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。

高数大一最全知识点

高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础而又重要的学科。

掌握好高数知识点，不仅对后续的学习有着重要的影响，也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。

下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。

第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。

2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。

3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。

第二章：导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。

2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。

3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。

第三章：积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。

2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。

3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。

第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。

2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。

3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。

第五章：多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。

2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。

3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。

第六章：多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。

2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。

大一高数笔记全部知识点

大一高数笔记全部知识点第一章数列与极限1.1 数列1.1.1 数列的概念1.1.2 等差数列1.1.3 等比数列1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限存在的条件1.2.3 极限的性质1.3 极限运算法则1.3.1 无穷小量与无穷大量1.3.2 极限的四则运算第二章函数与连续2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的性质2.2 基本初等函数2.2.1 幂函数与指数函数2.2.2 对数函数与指数对数函数2.3 函数的极限与连续性2.3.1 函数的极限2.3.2 函数的连续性第三章导数与微分3.1 导数的概念与计算方法3.1.1 导数的定义3.1.2 常用函数的导数计算3.2 微分的概念与性质3.2.1 微分的定义3.2.2 微分的性质3.3 高阶导数与导数的应用3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 导数的应用：切线与法线第四章积分与不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质4.3 积分的运算法则与应用4.3.1 积分的基本运算法则4.3.2 积分的应用：面积与曲线长度第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的性质5.2 偏导数的概念与计算方法5.2.1 偏导数的定义5.2.2 常用函数的偏导数计算5.3 高阶偏导数与微分的应用5.3.1 高阶偏导数的定义5.3.2 微分的应用：切平面与法线以上是大一高数课程中的全部知识点。

通过学习这些知识，我们可以建立起数学的基础框架，为以后的学习打下坚实的基础。

每个知识点都有其重要性和实用性，在理解和掌握的过程中，我们要注重理论联系实际，通过例题和应用题的练习来提高解题能力。

希望同学们能够认真学习，并在课后进行适当的巩固和扩展。

加油！。

(完整版)高数上册知识点

高等数学上册知识点第一章函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限：右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。

0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。

完整版高数一知识点

完整版高数一知识点一、导数与微分高等数学中，导数是一种表示函数变化率的工具。

它是研究函数在某一点上的局部性质和变化趋势的基本概念。

导数可以通过极限的概念进行定义，表示函数在某一点上的瞬时变化率。

导函数的计算方法包括：1. 基本函数的导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

2. 四则运算法则：求导的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

3. 复合函数的求导：使用链式法则求解复合函数的导数。

微分是导数的应用之一，用于研究函数的近似变化。

微分的计算方法包括：1. 微分的定义：微分可以通过导数来进行计算，表示函数在某一点上的变化量。

2. 微分的近似计算：使用微分近似计算可以帮助我们在没有具体数值的情况下估计函数的变化。

二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。

不定积分可以表示函数的面积、函数的平均值等。

计算不定积分的方法包括：1. 基本积分公式：根据一些基本函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式。

2. 积分的线性性质：积分具有线性性质，即函数的线性组合的积分等于各组成函数的积分之和。

3. 特殊函数的积分：对于一些特殊的函数，可以通过一些特殊的方法进行积分。

定积分是求解函数在某一区间上的面积的过程，也被称为积分。

定积分可以表示弧长、质量、体积等物理量。

计算定积分的方法包括：1. 定积分的定义：定积分可以通过分割区间，计算分割点上函数值与区间长度的乘积之和来进行计算。

2. 积分的性质：定积分具有一些性质，例如积分的线性性质、积分的区间可加性等。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式给出了定积分与不定积分之间的关系。

三、常微分方程常微分方程是研究函数的导数与自变量之间关系的方程。

它是高等数学中一个重要的分支，应用广泛。

常微分方程的求解方法包括：1. 可分离变量法：对于可分离变量的常微分方程，可以通过分离变量并积分的方法进行求解。

《高等数学》各章知识点总结——第1章

《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有|x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或xn →a (n →∞).（2）函数极限的定义设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ）使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时）恒有 |f (x )-A |<ε ,那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为A x f x x =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).（或lim ()x f x A →∞=）类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→==或显然有0lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?==如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f xA ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞→+∞==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞→-∞→+∞=?==2、极限的性质（1）唯一性若a x n n =∞→lim ，lim n n x b →∞=，则a b =若0()lim ()x x x f x A →∞→=0()lim ()x x x f x B →∞→=，则A B =（2）有界性（i ）若a x n n =∞→lim ，则0M ?>使得对,n N+∈恒有n x M ≤（ii ）若0lim ()x x f x A →=，则0M ?>当0:0x x x δ<-<时，有()f x M ≤（iii ）若lim ()x f x A →∞=，则0,0M X ?>>当x X >时，有()f x M ≤（3）局部保号性（i ）若a x n n =∞→lim 且0(0)a a ><或则N N +?∈，当n N >时，恒有0(0)n n x x ><或（ii ）若0lim ()x x f xA →=，且0(0)A A ><或，则0δ?>当0:0x x x δ<-<时，有()0(()0)f x f x ><或3、极限存在的准则（i ）夹逼准则给定数列{},{},{}n n n x y z若①0,n N +∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤ ②lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则lim n n x a →∞=给定函数(),(),()f x g x h x ，若①当00(,)x U x r ∈（或x X >）时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞→→==，则0()lim ()x x x f x A →∞→=（ii ）单调有界准则给定数列{}n x ，若①对n N +?∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ?使对n N +?∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞存在若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0lim ()x x f x -→（或0lim ()x x f x +→）存在4、极限的运算法则（1）若0()lim ()x x x f x A →∞→=，0()lim ()x x x g x B →∞→=则(i)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±(ii)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→?=? (iii)0()()lim()x x x f x Ag x B→∞→=?（0B ≠）（2）设（i ）00()lim ()x x u g x g x u →==且（ii ）当0 0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠（iii ）0lim ()u u f u A →=则0lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→== 5、两个重要极限（1）0sin lim1x xx →=()0sin ()lim1()u x u x u x →=sin lim0x x x ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01 lim sin 0x x x→=（2）1lim 1xx e x →∞?+= )()(1lim 1;()x u u x e u x →∞??+= ??1lim(1)xx x e→+=()()01()lim 1();v x x v v x e →+=6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim ()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ?>?>当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()x αε<，则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量（2）若0()lim ()x x x f x →∞→=∞即对0,0(0),M X δ?>?>>或当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()f x M >则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）00()()lim ()()(),lim()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞→∞→→=?=+=其中（2）00()()1lim ()0()0lim ()x x x x x x f x f x f x →∞→∞→→=≠?=∞（）（3）00()()1lim ()lim0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞?= （4）0()lim ()0,x x x f x M →∞→=∞?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞（5）0()lim ()00,x x x f x M →∞→=?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]0x x x f x g x →∞→?=（6）0()lim ()0(1,2,,)k x x x f x k n →∞→== 则01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∑01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∏8、无穷小量的比较000()()()lim ()0,lim ()0,lim ()0→∞→∞→∞→→→===x x x x x x x x x f x g x x α若（1）0()()lim 0,()x x x f x C g x →∞→=≠，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 与()g x 是同阶无穷小。

高数第一章知识点总结笔记

高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。

1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。

- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。

2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。

- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。

- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。

3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。

- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。

4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。

- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。

- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。

5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。

- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。

高数重要知识点汇总

高数重要知识点汇总第一章函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0,称f (x )是比g (x )高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0,称f (x )与g (x )是同阶无穷小。

（3）l = 1,称f (x )与g (x )是等价无穷小,记以f (x ) ~ g (x )2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x , x e −1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二求极限的方法1．两个准则准则1高数重要知识点汇总准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．高数重要知识点汇总4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→例1计算极限0e 1lim x x x→-. 解该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 0e 1lim x x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x ax bx→．解该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则,对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)n x x x n e→+∞>．解所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有 lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

高数重要知识点

高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim1l = 0,称f x 是比gx 高阶的无穷小,记以f x = 0)(x g ,称gx 是比fx 低阶的无穷小; 2l ≠ 0,称f x 与gx 是同阶无穷小;3l = 1,称f x 与gx 是等价无穷小,记以f x ~ gx 2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1 cos x ~ 2/2^x , x e 1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二求极限的方法1．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．夹逼定理设gx ≤ f x ≤ hx 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim0=→x xx 公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：10)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达H L 'ospital 法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得0e 1lim x x x →-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： 1∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．使用洛必达法则时必须注意以下几点： 1洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； 2只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；3洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆如果存在8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n 如果存在三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f x 的间断点;如果f x 在间断点0x 处的左、右极限都存在,则称0x 是f x 的第一类间断点;第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点; 2第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点;常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点;四．闭区间上连续函数的性质在闭区间a ,b 上连续的函数f x ,有以下几个基本性质;这些性质以后都要用到;定理1．有界定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则f x 必在a ,b 上有界;定理2．最大值和最小值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m ;定理3．介值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且其最大值和最小值分别为M 和m ,则对于介于m 和M 之间的任何实数c ,在a ,b 上至少存在一个ξ ,使得f ξ = c推论：如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且f a 与f b 异号,则在a ,b 内至少存在一个点ξ ,使得f ξ = 0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分1.复合函数运算法则设y = f u ,u = x ,如果 x 在x 处可导,f u 在对应点u 处可导,则复合函数y = f x 在x 处可导,且有)('))(('x x f dxdudu dy dx dy φφ==对应地dx x x f du u f dy )('))((')('φφ==,由于公式du u f dy )('=不管u 是自变量或中间变量都成立;因此称为一阶微分形式不变性; 2.由参数方程确定函数的运算法则设x = t ,y =)(t ϕ确定函数y = yx ,其中)('),('t t ϕφ存在,且)('t φ≠ 0,则)(')('t t dx dy φϕ= 二阶导数3.反函数求导法则设y = f x 的反函数x = gy ,两者皆可导,且f ′x ≠ 0 则)0)('())(('1)('1)('≠==x f y g f x f y g4 隐函数运算法则可以按照复合函数理解设y = yx 是由方程Fx , y = 0所确定,求y ′的方法如下：把Fx , y = 0两边的各项对x 求导,把y 看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y ′ 的表达式允许出现y 变量 5 对数求导法则指数类型如x x y sin =先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y ′; 对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数注意定义域 P106 例6关于幂指函数y = f xg x 常用的一种方法,y = )(ln )(x f x g e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行; 6 可微与可导的关系f x 在0x 处可微 f x 在0x 处可导;7 求n 阶导数n ≥ 2,正整数先求出 y ′, y ′′,…… ,总结出规律性,然后写出yn ,最后用归纳法证明;有一些常用的初等函数的n 阶导数公式（1） x n x e y e y ==)(, （2） n x n x a a y a y )(ln ,)(== （3） x y sin =,)2sin()(πn x y n += （4） x y cos =,)2cos()(πn x y n +=5x y ln =,n n n x n y ----=)!1()1(1)(第三章微分中值定理与导数应用一罗尔定理设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；3 f a = f b 则存在ξ ∈a ,b ,使得f ′ξ = 0二 ★拉格朗日中值定理证明不等式 P134 9、10设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；则存在ξ ∈a ,b ,使得)(')()(ξf ab a f b f =-- 推论1．若f x 在a ,b 内可导,且f ′x ≡ 0,则f x 在a ,b 内为常数;推论2．若f x , gx 在a ,b 内皆可导,且f ′x ≡ g ′x ,则在a ,b 内f x = gx + c ,其中c 为一个常数; 三柯西中值定理设函数f x 和gx 满足：1在闭区间a ,b 上皆连续；2在开区间a ,b 内皆可导；且g ′x ≠0则存在ξ ∈a ,b 使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--)(b a <<ξ注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形gx = x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理;四 ★泰勒公式① 估值 ② 求极限麦克劳林 P145 T10 定理 1．皮亚诺余项的n 阶泰勒公式设f x 在0 x 处有n 阶导数,则有公式,称为皮亚诺余项对常用的初等函数如x e ,sin x ,cos x ,ln1+ x 和α)1(x + α 为实常数等的n 阶泰勒公式都要熟记;定理2拉格朗日余项的n 阶泰勒公式设f x 在包含0 x 的区间a ,b 内有n +1阶导数,在a ,b 上有n 阶连续导数,则对x ∈a ,b ,有公式,,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0 x 为中心的n 阶泰勒公式;当0x =0 时,也称为n 阶麦克劳林公式;导数的应用一基本知识设函数f x 在0x 处可导,且0x 为f x 的一个极值点,则0)('0=x f ;我们称x 满足0)('0=x f 的0x 称为)(x f 的驻点,可导函数的极值点一定是驻点,反之不然;极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断; 极值点判断方法)(x f 在0x 的邻域内可导,且0)(0='x f ,则①若当0x x <时,0)(>'x f ,当0x x >时,0)(<'x f ,则0x 为极大值点；②若当0x x <时,0)(<'x f ,当0x x >时,0)(>'x f ,则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号,则0x 不是极值点.② 第二充分条件)(x f 在0x 处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f ,则①若0)(0<''x f ,则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点.二凹凸性与拐点 1．凹凸的定义设f x 在区间I 上连续,若对任意不同的两点1 2 x , x ,恒有则称f x 在I 上是凸凹的;在几何上,曲线y = f x 上任意两点的割线在曲线下上面,则y = f x 是凸凹的;如果曲线y = f x 有切线的话,每一点的切线都在曲线之上下则y = f x 是凸凹的; 2 拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点; 3 凹凸性的判别和拐点的求法设函数f x 在a ,b 内具有二阶导数)(''x f ,如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f > 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凹的；如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f < 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凸的; 求曲线y = f x 的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数)(''x f ；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点k x x x ,...2,1 ；第三步：对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标; 四渐近线的求法五曲率第四章不定积分一基本积分表：二换元积分法和分部积分法换元积分法1第一类换元法凑微分：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2第二类换元法变量代换：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ分部积分法使用分部积分法时被积函数中谁看作)(x u 谁看作)('x v 有一定规律;记住口诀,反对幂指三为)(x u ,靠前就为)(x u ,例如xdx e x arcsin ⎰,应该是x arcsin 为)(x u ,因为反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他; 三有理函数积分有理函数：)()()(x Q x P x f =其中)()(x Q x P 和是多项式; 简单有理函数： ⑴21)()(,1)()(x x P x f x x P x f +=+=⑵))(()()(b x a x x P x f ++=⑶ba x x P x f ++=2)()()(1、“拆”；2、变量代换三角代换、倒代换、根式代换等.第五章定积分一概念与性质1、定义：∑⎰=→∆=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：10条（3）3 基本定理变上限积分：设⎰=Φxadtt f x )()(,则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ N —L公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰4 定积分的换元积分法和分部积分法第六章定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积： a 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=ba xdx x f V )(2πb 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=baydx x xf V )(2π 柱壳法2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()( 极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(第七章微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=,两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=,设x y u =,则dxdux u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=,设y x v =,则dydv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dxx P )()()(（五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =,两边积分n 次；2、),(y x f y '=''不显含有y ,令p y =',则p y '=''；3、),(y y f y '=''不显含有x ,令p y =',则dy dppy =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解,则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解,则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解,其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解,*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ,特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程1、)()(x P e x f m x λ=设特解)(*x Q e x y m x k λ=,其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]xx R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=,其中 } ,max{n l m =,⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

知识点总结高数一

知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。

数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。

函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。

极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。

2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。

3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。

无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。

在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。

4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。

连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。

二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。

求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。

2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。

3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。

微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。

4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。

三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。

大一高数知识点各章总结

大一高数知识点各章总结第一章：函数与极限在高数的第一章中，我们学习了函数与极限的概念与性质。

函数是自变量和因变量之间的关系，它可以用图像、表格或者公式来表示。

而极限则是函数在某个点上的趋近值，它描述了函数在接近某个点的情况。

我们研究了函数的连续性与间断点的性质。

连续函数在其定义域内的任意一点都具有连续性，而间断点则可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。

我们还学习了导数的概念与计算方法。

导数可以理解为函数在某一点上的变化率，它可以用极限的方法来定义和计算。

我们学习了常见函数的导数公式，并通过求导技巧来简化计算过程。

第二章：导数的应用在第二章中，我们探讨了导数的应用。

导数可以用来研究函数的增减性、极值与凹凸性。

通过求导并分析导数的符号，我们可以确定函数的单调区间、极值点和拐点。

我们还学习了泰勒公式与函数的局部线性化近似。

泰勒公式可以将一个函数在某一点附近进行多项式展开，从而可以用多项式来近似原函数的值。

第三章：定积分在第三章中，我们学习了定积分的概念与计算方法。

定积分可以理解为曲线下的面积，它描述了函数在某一区间上的累积效应。

我们探讨了定积分的几何意义与性质。

通过定积分，我们可以计算曲线下的面积、曲线的弧长和旋转体的体积等问题。

我们还学习了定积分的计算方法，包括基本的积分法和换元积分法。

通过合理选择积分方法，我们可以简化计算过程，得到定积分的解析表达式。

第四章：微分方程在第四章中，我们研究了微分方程的基本概念与解法。

微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了未知函数的导数或微分。

我们学习了常微分方程的解法，包括可分离变量方程、一阶线性方程和一阶齐次方程等。

通过将微分方程转化为可积的形式，我们可以通过积分来求解微分方程。

我们还学习了常系数线性微分方程的解法，包括特征根法和常数变易法。

通过找到方程的特征根或者适当选取常数，我们可以得到线性微分方程的通解。

第五章：多元函数微分学在第五章中，我们讨论了多元函数的概念与性质。

高数第一章函数与极限知识点总结

1.2.1 数列极限的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2
数列的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7.2
...................................... 5
1.7.3
定 ......................................... 5
1.8 函数的
与
...................................... 5
1.8.1 函数的
映射的定义
映射 g
映射的
g 的值域 Rg
f f 的定
1
义域
Rg ∈ D f
则
映射 g f 的
义
g◦ f
义
义
映射 f ◦ g 与 g ◦ f
映射的 f ◦g f ◦g 与 g◦ f
1.1.2 函数
函数的概念
定义 1.4. 设数集 D ∈ R，则称映射 f : D → R 为定义在 D 上的函数，通常简记为 y = f (x)，x ∈ D，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 D f , 即 D f = D。
). 如果
lim f (x) = a
x→x0
且 a > 0(或 a < 0), 所以 ∃(正整数 N), 当 n > N, 都有 xn > 0(或 xn < 0).

高数重要知识点汇总

0
简变形成 “0 ”或“ ”型才能运用该法则；
0
（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；
（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不
能断定原极限不存在．
7 ．利用导数定义求极限
参考 .资料
..
..
..
..
基本公式 lim f (x0 x0
x) f (x0) x
6 可微与可导的关系 f (x)在 x0处可微 ? f (x)在 x0 处可导。
7 求n 阶导数（n ≥ 2，正整数）
先求出 y′, y′,…′… ,总结出规律性，然后写出 y(n)，最后用归纳法证明。有一些
常用的初等函数的 n 阶导数公式
（ 1） y e x, y (n) ex
（ 2） y a x , y (n) a x (ln a)n
，称为皮亚诺余项对常用的初等函数如 ex ,sin x,cos x,ln(1+ x)和 (1 x) （α 为实常数）等的 n阶泰勒公式都要熟记。定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式）设 f (x)在包含 0 x 的区间 (a,b )内有 n +1 阶导数，在 [a,b ]上有 n阶连续导数，则对 x
3!
n!
x5 ... ( 1)n x 2n 1
5!
(2n 1)!
o( x2 n 1)
x2 cos x 1
x4
... ( 1)n x 2n
o( x2n)
2! 4!
2 n!
ln(1 x)
x
x2
x3 ...
( 1)n 1 x n
o( xn )
23
n
(1 x) 1 x ( 1) x2 ... ( 1)...( (n 1)) xn o( xn)

高数第一章知识点总结

例 2. lim[x − x2 ln(1+ 1 )]
x→∞
x
例 3. lim[tan(π + 1 )]n
n→∞
4n
⎛
1
⎞
例
4.
lim
x→0
⎜ ⎜⎜⎝
2 1
+ +
ex
4
ex
+
sin x ⎟ | x | ⎟⎟⎠
往年考题:
(13-14) lim⎜⎛ x sin 1 + 1 sin x ⎟⎞ = _______________。
① lim sinϕ(x) = 1，注意极限的特征为 0 型；
ϕ(x)→0 ϕ(x)
0
②
ϕ
lim
( x )→∞
⎛ ⎜1 ⎝
+
ϕ
1 (x)
⎞ϕ ⎟ ⎠
(
x
)
=
1
e 或 lim (1+ ϕ(x))ϕ(x) ϕ (x)→0
=
e ，注意极限的特征为1∞
型。
4. 等价无穷小代换
① 常用的等价无穷小
ϕ(x) → 0 时
利用极限与无穷小的关系直接从已知极限中解出抽象函数然后代入待求极限利用极限的四则运算将其转化为已知函数的极限
第一章一元函数的极限与连续1
基本知识点:
1. 函数运算
2. 求数列或函数的极限
3. 利用已知极限求极限
4. 无穷小量的比较
5. 确定极限表达式中的参数
6. 函数的连续性（间断点）
7. 确定分段函数中的参数
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim

(完整版)高数上册知识点

高等数学上册知识点第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高数第一章知识点总结归纳

高数第一章知识点总结归纳
1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。

3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。

此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。

数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。

6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。

差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法打有准备之战，胜算才能更大。

希望各2015考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。

一分耕耘一分收获。

加油！
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高数知识点总结(上册)

高数知识点总结(上册).doc 高等数学知识点总结（上册）第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：变量之间的依赖关系。

性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。

1.2 极限定义：函数在某一点或无穷远处的趋势。

性质：唯一性、局部有界性、保号性。

1.3 无穷小与无穷大无穷小：当自变量趋于某一值时，函数值趋于零。

无穷大：函数值趋于无限。

1.4 连续性定义：在某点的极限值等于函数值。

性质：连续函数的四则运算结果仍连续。

第二章：导数与微分2.1 导数定义：函数在某一点的切线斜率。

几何意义：曲线在某点的瞬时速度。

2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。

2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于描述函数的凹凸性。

2.4 微分定义：函数在某点的线性主部。

第三章：导数的应用3.1 切线与法线几何意义：曲线在某点的切线和法线方程。

3.2 单调性与极值单调性：导数的符号与函数的增减性。

极值：导数为零的点可能是极大值或极小值。

3.3 曲线的凹凸性与拐点凹凸性：二阶导数的符号。

拐点：凹凸性改变的点。

第四章：不定积分4.1 不定积分的概念定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。

4.2 基本积分公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的积分。

4.3 积分技巧换元积分法：凑微分法、代换法。

分部积分法：适用于积分中存在乘积形式的函数。

第五章：定积分5.1 定积分的概念定义：在区间上的积分，表示曲线与x轴围成的面积。

5.2 定积分的性质线性：可加性、可乘性。

区间可加性：积分区间的可加性。

5.3 定积分的计算数值计算：利用微积分基本定理计算定积分。

5.4 定积分的应用面积计算：曲线与x轴围成的面积。

物理意义：质量、功、平均值等。

第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性定义：多元函数在某点的极限和连续性。

6.2 偏导数与全微分偏导数：多元函数对某一变量的局部变化率。

全微分：多元函数的微分。

6.3 多元函数的极值定义：多元函数在某点的最大值或最小值。

大一高数知识点总结

大一高数知识点总结XXX：大一高数知识点,重难点整理第一章基础知识部分1.1初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。

设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

2、函数的表示方法（1）解析法即用解析式（或称数学式）表示函数。

如y=2x+1,y=︱x︱，y=lg(x+1),y=sin3x等。

便于对函数进行精确地计算和深入分析。

（2）列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。

便于差的某一处的函数值。

（3）图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。

分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如1.2x?1.x?0?xsin。

f?xy。

x。

2x?1,x?00 x?0 x?0隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。

所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。

而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。

参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程。

x?y而由2x+y-3=0?x?y?0等。

xt。

t?T?给出的。

y。

t?这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。

反函数——如果在已给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=fˉ1(y)或y=fˉ1(x)(以x表示自变量).2、函数常见的性子1、单调性（单调增加、单调减少）2、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：关于y轴对称，f（-x）=-f(x).）3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）4、有界性（设存在常数M＞，对任意x∈D，有f∣(x)∣≤M,则称f(x)在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无界。

大一高数各章知识点总结

大一高数各章知识点总结高等数学是大一学生必修的一门课程，它是数学的基础，也是以后学习更高级数学的重要基石。

下面是对大一高数各章的知识点总结，帮助大家复习和梳理知识。

第一章：函数与极限1. 函数的概念与性质函数是一种数学对象，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 极限的概念与性质极限是函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近情况。

极限的性质包括有界性、单调性、保号性、极值等。

3. 函数极限的计算方法通过代入法、夹逼准则、柯西收敛准则等方法可以计算函数的极限。

第二章：微分学1. 导数的概念与性质导数是函数在某一点的变化率或斜率，代表函数曲线上某一点的切线斜率。

导数的性质包括可导性、对称性、四则运算法则等。

2. 导数的计算方法通过基本导数公式、求导法则、链式法则等方法可以计算函数的导数。

3. 高阶导数与隐函数求导高阶导数表示导数的导数，通过连续求导可以求得函数的高阶导数。

隐函数求导是一种通过方程求导的方法。

第三章：积分学1. 不定积分的概念与性质不定积分是导数的逆运算，表示函数的原函数。

不定积分具有线性性、积分换元法、分部积分法等性质。

2. 定积分的概念与性质定积分是函数在一定区间上的累积量，表示曲线下的面积或变量的累积。

定积分具有线性性、区间可加性、积分中值定理等性质。

3. 积分的计算方法通过不定积分的基本公式、换元积分法、分部积分法等可以计算函数的积分。

第四章：微分方程1. 微分方程的概念与分类微分方程是含有未知函数及其导数的方程，分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程涉及未知函数和自变量的一阶或高阶导数，偏微分方程涉及未知函数和多个自变量的各种导数。

2. 一阶常微分方程一阶常微分方程是只涉及未知函数的一阶导数的常微分方程，通过分离变量、变量代换等方法可以求解。

3. 二阶常微分方程二阶常微分方程是涉及未知函数的二阶导数的常微分方程，通过特征方程法、变量代换法等方法可以求解。

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《高等数学》各章知识点总结——第1章

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