高三文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)

基础课程教学资料
高中数学（文科）高考一轮复习
习题集（含答案）
目录
第一章集合 (1)
第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)
第二节集合的基本运算 (3)
第二章函数 (5)
第一节对函数的进一步认识 (5)
第二节函数的单调性 (9)
第三节函数的性质 (13)
第三章指数函数和对数函数 (16)
第一节指数函数 (16)
第二节对数函数 (20)
第三节幂函数与二次函数的性质 (24)
第四节函数的图象特征 (28)
第四章函数的应用 (32)
第五章三角函数 (33)
第一节角的概念的推广及弧度制 (33)
第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)
第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)
f x A x的图象 (45)
第四节函数sin()
第六章三角恒等变换 (50)
第一节同角三角函数的基本关系 (50)
第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)
第七章解三角形 (56)
第一节正弦定理与余弦定理 (56)
第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)
第八章数列 (60)
第九章平面向量 (62)
第十章算法 (65)
第一节程序框图 (65)
第二节程序语句 (69)
第十一章概率 (73)
第一节古典概型 (73)
第二节概率的应用 (75)
第三节几何概型 (79)
第十二章导数 (83)
第十三章不等式 (85)
第十四章立体几何 (88)
第一节简单几何体 (88)
第二节空间图形的基本关系与公理 (92)
第三节平行关系 (96)
第四节垂直关系 (100)
第五节简单几何体的面积与体积 (104)
第十五章解析几何 (108)
第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)
第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)
第三节圆的标准方程与一般方程 (114)
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)
第五节空间直角坐标系 (121)
第十六章圆锥曲线 (123)
第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系
A 组
1．已知A ＝{1，2}，B ＝|x x A ，则集合A 与B 的关系为________． 解析：由集合B ＝|x x A 知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B 2．若2,|a a R x x ，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意知，2
x a 有解，故0a ．答案：0a 3．已知集合A ＝2|21,y y
x x x R ，集合B ＝|28x x ，则集合A 与B
的关系是________． 解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ．
答案：B A 4．(广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝2|0
x x x 关系的韦恩(Venn)图是________．
解析：由N=2|0x x x ，得N ={-1，0}，则N M ．答案：②
5．(苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝|5x x ，集合B ＝|x x a ，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．
解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A
B ，∴a <5． 答案：a <5
6．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？
解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．
B 组
1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab
|ab |
可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}
2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．
解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1．
答案：1
3．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．
解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：8
4．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N
M ，那么a 的值是________． 解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N
M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a ＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－1
5．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．
解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：3
6．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16
，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C
7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．
解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件
8．(江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．
解析：∵2n <500，∴n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：511
9．(北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6
10．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．
解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1．
∴A ＝{x ，1，0}，B ＝{0，|x |，1x
}． 于是必有|x |＝1，1x
＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1． 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，
(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；
(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；
(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．
解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，
(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ．
②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，
2m －1≤5.解得2≤m ≤3．
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，
2m －1≥5.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，
∴m 的取值范围是[3，4]． (3)若A ＝B ，则必有⎩
⎪⎨⎪⎧ m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ． 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．
(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；
(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；
(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．
解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，
而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，
(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2．
(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2．
(3)若A =B ，则必有a =2
第二节 集合的基本运算
A 组
1．(浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝|0x x ，B ＝|1x x ，则A ∩∁U B ＝____．
解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}
2．(全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．
解析：A ∩B ＝{4，7，9}，A ∪B ＝{3，4，5，7，8，9}，∁U (A ∩B )＝{3，5，8}．
答案：3
x x a a M，则集合M∩N＝________．3．已知集合M＝{0，1，2}，N＝|2,
解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}．答案：{0，2}
4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________．
解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
5．(湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程
15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动
的人数为15-3=12(人)．答案：12
6．(浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m
＋3}．
(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；
(2)若B⊆A，求m的取值范围．
m时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．解：(1)当1
m，即m的取值范围为(1，＋∞)
(2)若B⊆A，则1
B组
1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0}．答案：{－1，0} 2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A＝{－1，2}，B＝{0，2}，则(∁U A)∩B＝________．解析：∁U A＝{0，1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}
3．(济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________．
解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}
4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．
答案：{2，3，4}
5．(江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
解析：U＝A∪B中有m个元素，
∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个
元素．答案：m－n
6．(重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B
＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________．
解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴A ∪B ＝{1，3，5，6，7}，
得∁U (A ∪B )＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}
7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x
y
，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．
解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0，4，5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：18
8．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.
点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2． 9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．
解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．
答案：∅，{1}，{2}，{1，2}
10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．
(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；
(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．
解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1，2}．
(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．
(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，
①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得
⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，a 2＝7，
矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f (x )＝
6x ＋1
－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B ．
(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )； (2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．
解：A ＝{x |－1<x ≤5}．
(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，
∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．
(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，
∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．
12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．
(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；
(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；
(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．
解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．
若a ＝0，方程有一解x ＝23
，不合题意． 若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98
． 综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98
． (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23
}符合题意． 当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98
时， 方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43
}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43
}． (3)当a ＝0时，A ＝{23
}≠∅．当a ≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98
． 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98
}
第二章 函数
第一节 对函数的进一步认识
A 组
1．(江西卷改编)函数y ＝
－x 2－3x ＋4x 的定义域为________．
解析：⎩
⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1]
2．(绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，
A ，
B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f (1f (3)
)的值等于________． 解析：由图象知f (3)＝1，f (1
f (3))＝f (1)＝2．答案：2
3．(北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ，x ≤1，－x ，x >1.
若f (x )＝2，则x ＝________． 解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；
当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32．答案：log 32
4．(黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．
解析：如图．答案：1
5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)
＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2，1，－1)＝________．
解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，
令x ＝－1得：－1＝b 3； 再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3
， 解得b 1＝－1，b 2＝0．
答案：(－1，0，－1)
6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x (x >1)，
x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).
(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)
求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32
， 求a ． 解：f (x )为分段函数，应分段求解．
(1)∵1－
1
2－1
＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，
又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝3
2．
(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x
3x －1
；
若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤3
2，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；
若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1．
∴f (3x －1)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
3x
3x －1 (x >2
3
)，9x 2
－6x ＋2 (0≤x ≤23
)，6x ＋1 (x <0).
(3)∵f (a )＝3
2，∴a >1或－1≤a ≤1．
当a >1时，有1＋1a ＝3
2，∴a ＝2；
当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22
． ∴a ＝2或±
22
．
B 组
1．(广东江门质检)函数y ＝
1
3x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x >23．答案：{x |x >2
3
}
2．(山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，
2x －1，(x >2)，
则f (f (f (3
2
)＋5))＝_．
解析：∵－1≤32≤2，∴f (3
2)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，
∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：7
3．定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．
解析：∵对任意的x ∈(－1，1)，有－x ∈(－1，1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②
①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)， ∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋1
3lg(1－x )，(－1<x <1)．
答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋1
3
lg(1－x )，(－1<x <1)
4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．
解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数
5．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2 (x ＞0)
x 2
＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式
为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．
解析：由题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧
16－4b ＋c ＝c
4－2b ＋c ＝－2 ⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝4
c ＝2， ∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2 (x ＞0)
x 2
＋4x ＋2 (x ≤0)．
由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．
答案：⎩⎪⎨⎪⎧
2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)
3
6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋
2)－f (
2＋1)
＝1
2
，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．
答案：2 (－1，3)
7．(天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋6，x ≥0
x ＋6，x <0
，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．
解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3．故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3．
当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3． 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}
8．(山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(4－x )， x ≤0，
f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，
则f (3)的值为________．
解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2．答案：－2
9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．
解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度
为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
5a 1＝20
5a 1＋15(a 1－a 2)＝35
，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝4a 2＝3
，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95， 又因为水放完为止，所以时间为x ≤95
3，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x
≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953
)
10．函数22
1316f x
a x a x ．
(1)若f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f x 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值． 解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1， (ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；
(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝
6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．
②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数． 由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0，
∴－5
11≤a <1．由①②可得－5
11
≤a ≤1． (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a 2≠0且－2，1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．
∴⎩⎪
⎨⎪⎧ 1－a 2<0，
－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝6
1－a 2
，
Δ＝[3(1－a )]2
－24(1－a 2
)>0
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a <－1或a >1，
a ＝2，a ＝±2.
a <－511
或a >1∴a ＝2．
11．已知2f x f x x R ，并且当x ∈[－1，1]时，2
1f x x ，求当
21,21x k k k
Z 时、f x 的解析式．
解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1．∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1．
又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，
∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．
12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)
(1)写出g (x )，h (x )的解析式；
(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？
解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000
216－x
(0<x <216，x ∈N *)．
(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2000
3x
(0<x ≤86，x ∈N *).1000
216－x (87≤x <216，x ∈N *
).
(3)分别为86、130或87、129．
第二节 函数的单调性
A 组
1．(福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当1
2x x 时，都有
12f x f x ”的是________．
①f (x )＝1
x
②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)
解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有
f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①
2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝
f (lo
g a x )(0<a <1)的单调减区间是________．
解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，1
2]时，g (x )为减函数．
由0≤log a x ≤
1
2a ≤x ≤1．答案：[a ，1](或(a ，1))
3．函数4154y
x x 的值域是________．
解析：令
x ＝4＋sin 2α，α∈[0，
π
2
]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π
3
)，∴1≤y ≤2．
答案：[1，2] 4．已知函数
f (x )＝|e x ＋
a
e x
|(a ∈R )在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__． 解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a
e
0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，
f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋
a
e x
，则满足
f ′(x )＝e x －
a
e x
≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1．
答案：－1≤a ≤1
5．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．
①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1 (x >0)
0 (x ＝0)－1 (x <－1)
解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵
f (x )＝l
g x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；
∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1 (x >0)0 (x ＝0)
－1 (x <－1)
的下确界为－1．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1 (x >0)
0 (x ＝0)
－1 (x <－1)
是有下确界的函
数．答案：①③④ 6．已知函数2f x
x ，1g x
x ．
(1)若存在x ∈R 使f x b g x ，求实数b 的取值范围；
(2)设21F x f x mg x
m m 2，且F x 在[0，1]上单调递增，求实数m
的取值范围．
解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x )x ∈R ，x 2－bx ＋b <0Δ＝(－b )2－4b >0b <0或
b >4．(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，
①当Δ≤0即－
2
55≤m ≤
25
5
时，则必需
⎩⎪⎨⎪⎧
m
2≤0
－255≤m ≤255
－
255
≤m ≤0．
②当Δ>0即m <－255
或m >
255
时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m
2
≥1，
则x 1≤0．
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2≥1F (0)＝1－m 2
≤0
m ≥2．
若m
2
≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧
m 2≤0F (0)＝1－m 2
≥0
－1≤m <－
2
55
．综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2．
B 组
1．(山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．
①y ＝－1
x
②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |
解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④
2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．
解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2≤2，4－2a ＋3a >0，
∴－4<a ≤4．答案：－4<a ≤4
3．若函数f (x )＝x ＋a
x (a >0)在(3
4
，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．
解析：∵f (x )＝x ＋a x
(a >0)在(
a ，＋∞)上为增函数，∴
a ≤34，0<a ≤9
16
．
答案：(0，9
16
]
4．(陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
<0，则下列结论正确的是________．
①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2) 解析：由已知
f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)
＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①
5．(陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a x (x <0)，
(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
<0成立，则a 的取值范围是________．
解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
0<a <1，
a －3<0，
a 0
≥(a －3)×0＋4a ，
解得0<a ≤1
4
．
6．(宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段
OAB ，点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(3，0)，定义函数g (x )
＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．
解析：g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x (x －1) (0≤x <1)，
(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，
当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时， 在x ＝2取得最大值1．答案：1
7．(安徽合肥模拟)已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，则函数y ＝
f (cos x )的值域是________．
解析：∵cos
x ∈[－1，1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－
2，0]．答案：[－2，0]
8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．
解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为
⎩⎪⎨⎪⎧
1≤x ≤9，1≤x 2
≤9，
∴x ∈[1，3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0，1]，
∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13．答案：13
9．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，1
2)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增
区间为__________．
解析：令μ＝2x 2＋x ，当
x ∈(0，1
2
)时，μ∈(0，1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1．
μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－1
2)
10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 1
2
x ＋1的单调性．
解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 1
2x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，
那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 1
2x 在x ∈(0，＋∞)
内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －
12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12
，＋∞)
上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22
．由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：
故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22
，＋∞)上单调递增．
11．(广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1
x 2
)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．
(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2．
解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0．
(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1
x 2
>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f (x 1
x 2
)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93
)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．
由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，
由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9．因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．
12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0，1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1．若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．
解：∵f (x )在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 3
1＋a ＋b 1＝1．即a ＋b ＝2．
设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b
x 2恒成立．
由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2
＞0恒成立． 又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1．
设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4
＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1．由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1．∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．
第三节 函数的性质
A 组
1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．
解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)
2．(广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)
＋f (4)＋f (7)等于________．
解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0．答案：0
3．(山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．
解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．
答案：f (－25)<f (80)<f (11)
4．(辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13
)的x 取值范围是________．
解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13
)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23．答案：(13，23
) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．
解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2．答案：－2
6．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5．(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1，4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4，9]上的解析式．
解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，
又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0．
(2)当x ∈[1，4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．
(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x ．∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15．当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5．
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9
．
B 组
1．(全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．
①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)
④f (x ＋3)是奇函数
解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1，0)，及点(－1，0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④
2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32
)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________．
解析：f (x )＝－f (x ＋32
)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0．答案：0
3．(浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________．
解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0．答案：0
4．(湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．
解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0．从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1，0)时，f (x )<0；x ∈(0，1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)．
5．(江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．
解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2．∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝
1．答案：1
6．(江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，
若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009．5)＝________．
解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009．5)＝f (502×4＋1．5)＝f (1．5)
＝f (－2．5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009．5)＝f (2．5)＝52．答案：52
7．(安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．
解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)
8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________．
解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1．答案：－1
9．(山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．
解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0．由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4．由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8． 答案：-8
10．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．
解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0．当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ －x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)
如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12
，试求f (x )在区间[－2，6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．
∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0．∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．
∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，
f (6)为最小值．∵f (1)＝－12
，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．
法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R ．则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0．∴f (x 2)－f (x 1)<0．即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)
为最小值．∵f (1)＝－12
，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．
12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12
在[0，2010]上的所有x 的个数．
解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，
∴f (x )是以4为周期的周期函数．
(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12
x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12
x ．∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x ．故f (x )＝12
x (－1≤x ≤1) 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12
(x －2)， 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12
(x －2)，∴f (x )
＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)
由f (x )＝－12，解得x ＝－1．∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12
的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234
，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0，2010]上共有502个x 使f (x )＝－12
．
第三章 指数函数和对数函数
第一节 指数函数
A 组
1．(黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．
解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1．又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b
＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，
∴a b －a －b ＝－2．答案：－2
2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．
解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3．又f (2)＝a 2－3
＝0，∴a ＝
3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3．
答案：33－3 3．函数y ＝(12
)2x －x 2的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，
∴(12)2x －x 2≥12．答案：[12
，＋∞) 4．(山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1． 答案：(1，+∞)
5．(原创题)若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 等于________．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0
a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝3．答案： 3
6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a
是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．
解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a
＝0，解得b ＝1． 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a
，解得a ＝2． (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1
， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．
因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．
即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得
k <－13． 法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k
＋122t 2－k ＋1＋2
<0 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0
整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0
上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13
．
B 组
1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．
①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0
解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1．答案：②
2．(保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．
解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )
都在[1，2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1a ＋1>1
⇒0<a ≤1．答案：(0，1] 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；
②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52
，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得
f (x )
g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12．答案：2或12
4．(北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13
)＋f (1)的值是________． 解析：因为
f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1， 故f －1(13)＝－1．又f (1)＝3，所以f －1(13
)＋f (1)＝2．答案：2 5．(山东青岛质检)已知f (x )＝(13
)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．
解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13
)2－x ＝3x －2．答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －x
e x －e －x
的图象大致为________．。