统计量数之集中量数

练习
已知 X: 1 5 3 Y: 2 4 3 求 X ; Y;
2 X ;
XY; X 1Y 1; X X Y Y
3； 3； 35 ； 31 ； 16； 4

思考题：

当数据编制成次数分布之后，已看不到原始数据， 在这种情况下，如何计算平均数？
组别
52
合计
12 10 8 6 频 数 4 2 0
45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
成
绩
图1 52名学生数学成绩分布的频数直方图
数
人
10
12
0
2
4
6
8
47 .5 .5 .5 .5 .5 .5 .5 .5 87 92 97 .5 .5 .5 52 57 62 67 72 77 82


算术平均数 加权平均数 几何平均数 调和平均数 中数 众数
问题

考试成绩 67, 87, 90, 58, 88, 76, 44, 63, 95, 81, 68, 83, 77, 72, 86, 89, 81, 93, 50, 62, 82, 92, 49, 51, 56, 64, 75, 79, 80, 71


加权平均数 几何平均数 调和平均数
加权平均数

用于分组数据 如果已知各组平均数和各组人数，要求 出总的平均数时，则要用加权平均数的 方法。
Xw
n X n
j j
j
n
jXLeabharlann jnT学校 均数 人数
n j 是第j组的人数 X j 是第j组的平均数 nT 是总人数
A B C
72.6 80.2 75
成 绩
图3 52名学生数学成绩分布图
40 35 30 25 20 15 10 5 0
39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 95 100


用统计量数来描述一组数据变量的分布情况或分 布特征，便于研究者对数据分布状况进行更好的 代表性的描述，同时也有利于更加深入地了解数 据的特点。 需要计算出某些具有代表性的数据指标，对变量 所蕴含的信息作出更加简洁明了的数量化描述， 对其次数分布特征作出更加精确的定量描述，或 作出有根据的推断。
X X 0
X C X C CX CX CX D CX D

算术平均数在大多数情况下，是真值最 好的估计值。

算术平均数的优缺点：

优点：

反应灵敏、确定严密、简明易懂、计算简便、可 作进一步演算、较少受抽样影响 易受极端数据的影响、不能有模糊不清的数据、 不能用不同质的数据
算术平均数的性质




一组数据的每一个数与平均数的差（离均差）的 总和等于零； 一组数据的每一个数加上常数c，其平均数为原来 的平均数加常数c； 一组数据的每一个数乘以常数c，其平均数为原来 的平均数乘常数c； 一组数据的每一个数乘以常数c，再加上一个常数d 其平均数为原来的平均数乘常数c再加上常数d；

缺点：

算术平均数的适用条件

数据必须是同质的

如：如果身高均数在性别上有差异，那么 不分性别地求某一年龄组的身高均数时没 有实际意义的

数据取值必须明确 适用于呈正态分布的数据 数据离散不能太大

除了算术平均数以外，还有几种平均数 对于测量一组数据的集中趋势也很有用 ，这些统计指标包括：
主要内容

集中量数 差异量数 地位量数
学习目标


了解各种统计量数（集中、差异和地位量数） 的概率、性质和作用。 理解各种统计量数的适用条件及其特点。 掌握各种统计量数的计算。 正确使用各种统计量数对测量数据进行处理。 能够运用SPSS软件计算各种统计量数。
表2
成绩
52学生数学成绩次数分布表

平均增长率（例2-4）

某市近几年来高中毕业人数如下表，试求其平均增 长率；照此速度增长，到2012年统计有多少高中毕 业生？ 学生人数 2000（x1） 变化率
32 40 36
几何平均数

第一种情况：一组数据中任何两个相邻数据之比 接近于常数，即数据按一定的比例关系变化。

平均增长率、心理物理学中的等距与等比量表实验进 行数据处理。

第二种：当一组数据中存在极端数据，分布呈偏 态时，算术平均数不能很好地反映数据的典型情 况。
X g N X1 X 2 ... X N
组中值 频数 累积频数
95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45
～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～
97.5 92.5 87.5 52.5 77.5 72.5 67.5 62.5 57.5 52.5 17.5
2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1
52
2 4 7 12 20 31 40 45 49 51 52
组中值
次数
58~61
59.5
2
54~57
50~53 46~49
55.5
51.5 47.5
1
6 5
42~45
38~41 34~37 30~33 26~29 22~25 18~21 14~17
43.5
39.5 35.5 31.5 27.5 23.5 19.5 15.5
7
12 20 14 14 9 7 3


请问该班此次考试成 绩如何？ 报出每人考分？ 报告平均数？

算术平均数

平均数，均数，均值 度量连续变量次数分布集中趋势及位置的最 常用的集中量数。 总体平均数μ和样本平均数 X


X
i 1
N
i
N
X
X
i 1
n
i
n

例2-1

某项研究在一年级学生总体中抽取30名样本 ，测得他们的某项考试分数如下：60、71、 63、58、50、75、64、73、72、64、52、65 、67、76、72、70、58、50、80、51、79、 81、77、69、67、61、48、50、54、55
集中量数


一组数据的中心位置是用来度量该组数据的集中 趋势。 对该组数据的中心位置进行数量化的描述，即称 为集中量数或位置度量数。 集中量数是代表一组数据典型水平或集中趋势 (central tendency)的量。它能反映频数分布中大量 数据向某一点集中的情况。


图2-1：A、B、C
集中量数是用来描述一组数据集中趋势 （central tendency）的统计量数。