补充练习题9

1. (1)设),2
ln(tan x
y = 则dy = ； (dx csc ) （2）设2
x e xy y =+，则dy = ； (dx e
x y x y +-2) （3）)sin (x e d x = )cos (x e d x . (x x x x sin cos cos sin -+) 2. 设c b a ,,为实数，求证：方程c bx ax e x ++=2
的根不超过三个.
证：用反证法.假设方程有四个不同的根，则函数c bx ax e x f x ---=2)(有四个不同的零点. 应用罗尔定理知：函数b ax e x f x --='2)(有三个不同的零点;函数有a e x f x 2)(-=''两个不同的零点；函数x e x f =''')(有一个零点.而函数x e y =无零点，这便产生矛盾，故方程至多有三个根.
3. 设)(x f 在),(b a 内连续，可导.)(lim )(lim x f x f b x a x -+→→=存在，证明存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf .（提示：设A x f x f b x a x ==-+→→)(lim )(lim ， ⎩
⎨⎧=<<=b a x A b x a x f x g ,)()(，则)(x g 满足罗尔定理条件）
4. 利用中值定理计算)1
1arctan 1(arctan lim 2+-∞→n n n n . (1)
5. 已知)(x f 在]1,0[内连续，)1,0(内可导，且1)1(,0)0(==f f .证明：
(1)存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f ;
(2)存在21ηη≠，)1,0(,21∈ηη，
使得1)()(21=''ηηf f .（提示：利用（1）分别在],0[ξ与]1,[ξ上应用拉格朗日中值定理）
6. 设函数)(x f 在]1,0[上可导，且1)(0<<x f ，又)1,0(∈∀x ，1)(≠'x f ，试证：在)
1,0(内函数)(x f 有唯一的不动点，即方程x x f =)(有唯一的实根.(提示：存在性用零点定理；唯一性反证法用拉格朗日定理)
7. 设)(x f 在],[b a 内连续，),(b a 内可导，且0)(≠'x f .试证：存在),(,b a ∈ηξ使得
ηηξ---=''e a
b e e f f a
b )()(.),(,b a ∈ηξ 证：由拉格朗日中值定理知存在),(b a ∈ξ使得a b a f b f f --=
')()()(ξ，又由cauchy 定理知存在),(b a ∈η使
a b e
e a
f b f e f --=')()()(ηη，可得结论.
8. 若)(x f 可导，试证在其两个零点之间必有)()(x f x f '+的零点.
（提示：设)(e )(x f x F x =）
9、设奇函数f (x)在[]1,1-上具有二阶导数，且f (1)=1，证明：
（1）存在.1)(1,0='∈ξξf ），使得（
（2）存在1,1() 1.f f ηηη'''∈-+=（），使得（）
证明：（1）因为f (x)是奇函数，所以f (0)=0.
因为函数f (x)在区间[0,1]上可导，根据微分中值定理，存在0,1ξ∈（）
，使得 (1)(0)()f f f ξ'-=
又因为f (1)=1，所以() 1.f ξ'=
(2) 因为f (x)是奇函数,所以()f x '是偶函数，故()() 1.f f ξξ''-== 令()[()1]x F x f x e '=-，则F (x )可导，且()()0F F ξξ-==. 根据罗尔定理，存在(,)(1,1),ηξξ∈-⊂-使得()0.F η'= 由()[()()1]0()()=1.F f f e e f f ηηηηηηη'''''''=+-≠+且，得。