高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题一的答案
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解 ∵A与B互不相容
∴P(AB)=0 又P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) ∴P(B)=P(A+B)-P(A)
=0.6-0.2
=0.4
1.9设P(A) 0.7, P(A B) 0.2,求P(A B)
解 P(A B) P(AI B)
1 P(AI B) 1[P(A) P(A B)]
(3)(A B) U B A (×) 证明 ( A B) U B ( A I B) U B
(AU B) I (B U B)
AUB
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例.
(4)若AB ,且C A,则BC (√) 证明(反证法) 假设BC , 则至ห้องสมุดไป่ตู้一个 BC
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
(1)若P(A∪B)=P(A)+P(B),则A与B互不相 容
(×)
解Q P(AU B) P(A) P(B) P(AB)
P(A) P(B)
P(AB) 0
AI B
即 A与B互不相容
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
由概率的加法公式得所求概率为
P A B C P(A) P(B) P(C)
P(AB) P(AC) P(BC)
P( ABC)
1 3
1 3
1 3
0
0
1 4
0
3 4
.
1.15 某城市中共发行三种报纸:甲、乙、丙.在这 个城市的居民中,订甲报的有45％,订乙报的有35％,订 丙报的有30％,同时订甲、乙两报的有10％,同时订甲、 丙两报的有8％,同时订乙、丙两报的有5％,同时订三 种报纸的有3％,求下列事件的概率. (1)至少订一种报纸;(2)不订任何报纸;(3)只订一种报 纸;(4)正好订两种报纸.
(1)若A UC B UC,则A B (×)
C
A
B
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例. (2)(AU B) B A (×) 证明 ( A U B) B ( A U B) I B
(AI B) U(B I B)
AB
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例.
(3)连续抛一枚硬币直到正面出现为止的试验次数
3 {1, 2,L } (4)某城市一天的用电量 4 {t t 0}
(5)深成指数在未来一段时间内涨跌的点数
5 {x a x a},其中a 0是涨或跌的最大幅度
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例.
(2)若P(A)+P(B)＞1,则A与B相 容
(√)
解 1 P(AB) P(AU B) P(A) P(B) P(AB) 1
1 P(AB) 1
P(AB) 0 即P(AB) 0 AB
∴A与B相容
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
(3)若P(A)=1,P(B)=1,则 P(A∪B)=1
(2) : A、B中至少有一个发生,且C不发生 : ( A U B)C
(3) : A、B、C恰有两个发生 : ABC U ABC U ABC
(4) : A、B、C中最多有一个发生(:即对立事件至少有两个发生) AB U BC U AC
1.8 设A与B互不相容,且P(A)=0.2,P(A+B)=0.6,求 P(B)
111
1
1.14 设 P A 1 , P B 1 ,
PC 1 ,
3
3
P AB 0, P AC 0,
P
BC
3
1
,
求事件A，B，C中至少有一
4
个发生的概率．
解 问题归结于求 P A B C. 0 P ABC P AB 0 P ABC 0,
解 令A={订甲报}，B={订乙报},
C={订丙报}，则
P A 0.45 , P B 0.35, P C 0.3 .
P AB 0.1, P(AC) 0.08, P(BC) 0.05
P ABC 0.03
P A 0.45 , P B 0.35, P C 0.3 . P AB 0.1, P(AC) 0.08, P(BC) 0.05, P ABC 0.03 (1)P AUB UC P(A) P(B) P(C)
1.3 写出下列随机事件的样本空间
(1)掷一颗均匀的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和 1 {2,3, 4,L ,12}
(2)掷一颗均匀的骰子两次,观察前后两次出现的点数
2 {(1,1), (1, 2)L , (1, 6), (2,1), (2, 2)L (2, 6),L (6, 6)}
则 B且 C
又C A
A AB
即AB ,与已知矛盾 BC
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例.
(5)若A与B互不相容,则A与B互不相容 (×)
A
B
1.5 设A、B、C为某随机试验中的三个事件,试表示下列 事件
(1) : A、B都发生,但C不发生 : ABC
(√)
解 Q A AUB
P(A) P(AU B)
1 P(A) P(A UB) 1
P(AUB) 1
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
(4)若P(A)=1,P(B)=1,则 P(A∩B)=1
(√)
解
由 (3),P(A∪B)=1
P(AI B) P(A) P(B) P(A UB)
1[0.7 0.2]
0.5
1.10 设A,B是任意两事件,将下列四个数P(A),P(AB), P(A∪B),P(A)+P(B)按由小到大的顺序排列起来
解 Q AB A (AUB)
∴P(AB)≤P(A)≤P(A∪B) 又P(A∪B)=P(A)+P(B)P∴(PA(BA)∪B)≤P(A)+P(B ) ∴P(AB)≤P(A)≤P(A∪B)≤P(A)+P(B)
∴P(AB)=0 又P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) ∴P(B)=P(A+B)-P(A)
=0.6-0.2
=0.4
1.9设P(A) 0.7, P(A B) 0.2,求P(A B)
解 P(A B) P(AI B)
1 P(AI B) 1[P(A) P(A B)]
(3)(A B) U B A (×) 证明 ( A B) U B ( A I B) U B
(AU B) I (B U B)
AUB
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例.
(4)若AB ,且C A,则BC (√) 证明(反证法) 假设BC , 则至ห้องสมุดไป่ตู้一个 BC
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
(1)若P(A∪B)=P(A)+P(B),则A与B互不相 容
(×)
解Q P(AU B) P(A) P(B) P(AB)
P(A) P(B)
P(AB) 0
AI B
即 A与B互不相容
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
由概率的加法公式得所求概率为
P A B C P(A) P(B) P(C)
P(AB) P(AC) P(BC)
P( ABC)
1 3
1 3
1 3
0
0
1 4
0
3 4
.
1.15 某城市中共发行三种报纸:甲、乙、丙.在这 个城市的居民中,订甲报的有45％,订乙报的有35％,订 丙报的有30％,同时订甲、乙两报的有10％,同时订甲、 丙两报的有8％,同时订乙、丙两报的有5％,同时订三 种报纸的有3％,求下列事件的概率. (1)至少订一种报纸;(2)不订任何报纸;(3)只订一种报 纸;(4)正好订两种报纸.
(1)若A UC B UC,则A B (×)
C
A
B
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例. (2)(AU B) B A (×) 证明 ( A U B) B ( A U B) I B
(AI B) U(B I B)
AB
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例.
(3)连续抛一枚硬币直到正面出现为止的试验次数
3 {1, 2,L } (4)某城市一天的用电量 4 {t t 0}
(5)深成指数在未来一段时间内涨跌的点数
5 {x a x a},其中a 0是涨或跌的最大幅度
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例.
(2)若P(A)+P(B)＞1,则A与B相 容
(√)
解 1 P(AB) P(AU B) P(A) P(B) P(AB) 1
1 P(AB) 1
P(AB) 0 即P(AB) 0 AB
∴A与B相容
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
(3)若P(A)=1,P(B)=1,则 P(A∪B)=1
(2) : A、B中至少有一个发生,且C不发生 : ( A U B)C
(3) : A、B、C恰有两个发生 : ABC U ABC U ABC
(4) : A、B、C中最多有一个发生(:即对立事件至少有两个发生) AB U BC U AC
1.8 设A与B互不相容,且P(A)=0.2,P(A+B)=0.6,求 P(B)
111
1
1.14 设 P A 1 , P B 1 ,
PC 1 ,
3
3
P AB 0, P AC 0,
P
BC
3
1
,
求事件A，B，C中至少有一
4
个发生的概率．
解 问题归结于求 P A B C. 0 P ABC P AB 0 P ABC 0,
解 令A={订甲报}，B={订乙报},
C={订丙报}，则
P A 0.45 , P B 0.35, P C 0.3 .
P AB 0.1, P(AC) 0.08, P(BC) 0.05
P ABC 0.03
P A 0.45 , P B 0.35, P C 0.3 . P AB 0.1, P(AC) 0.08, P(BC) 0.05, P ABC 0.03 (1)P AUB UC P(A) P(B) P(C)
1.3 写出下列随机事件的样本空间
(1)掷一颗均匀的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和 1 {2,3, 4,L ,12}
(2)掷一颗均匀的骰子两次,观察前后两次出现的点数
2 {(1,1), (1, 2)L , (1, 6), (2,1), (2, 2)L (2, 6),L (6, 6)}
则 B且 C
又C A
A AB
即AB ,与已知矛盾 BC
1.4 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明,若错误 举一个反例.
(5)若A与B互不相容,则A与B互不相容 (×)
A
B
1.5 设A、B、C为某随机试验中的三个事件,试表示下列 事件
(1) : A、B都发生,但C不发生 : ABC
(√)
解 Q A AUB
P(A) P(AU B)
1 P(A) P(A UB) 1
P(AUB) 1
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
(4)若P(A)=1,P(B)=1,则 P(A∩B)=1
(√)
解
由 (3),P(A∪B)=1
P(AI B) P(A) P(B) P(A UB)
1[0.7 0.2]
0.5
1.10 设A,B是任意两事件,将下列四个数P(A),P(AB), P(A∪B),P(A)+P(B)按由小到大的顺序排列起来
解 Q AB A (AUB)
∴P(AB)≤P(A)≤P(A∪B) 又P(A∪B)=P(A)+P(B)P∴(PA(BA)∪B)≤P(A)+P(B ) ∴P(AB)≤P(A)≤P(A∪B)≤P(A)+P(B)