人教版高中数学(理)必修5(实验班)全册同步练习及答案

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高中数学必修5课后习题答案

高中数学必修5课后习题答案(共30页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4）1、（1）14a ≈，19b ≈，105B =︒；（2）18a ≈cm ，15b ≈cm ，75C =︒.2、（1）65A ≈︒，85C ≈︒，22c ≈；或115A ≈︒，35C ≈︒，13c ≈；（2）41B ≈︒，24A ≈︒，24a ≈. 练习（P8）1、（1）39.6,58.2, 4.2 cm A B c ≈︒≈︒≈；（2）55.8,81.9,10.5 cm B C a ≈︒≈︒≈.2、（1）43.5,100.3,36.2A B C ≈︒≈︒≈︒；（2）24.7,44.9,110.4A B C ≈︒≈︒≈︒. 习题 A 组（P10）1、（1）38,39,80a cm b cm B ≈≈≈︒；（2）38,56,90a cm b cm C ≈≈=︒2、（1）114,43,35;20,137,13A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈ （2）35,85,17B C c cm ≈︒≈︒≈；（3）97,58,47;33,122,26A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈；3、（1）49,24,62A B c cm ≈︒≈︒≈；（2）59,55,62A C b cm ≈︒≈︒≈；（3）36,38,62B C a cm ≈︒≈︒≈；4、（1）36,40,104A B C ≈︒≈︒≈︒；（2）48,93,39A B C ≈︒≈︒≈︒；习题 A 组（P10）1、证明：如图1，设ABC ∆的外接圆的半径是R ，①当ABC ∆时直角三角形时，90C ∠=︒时，ABC ∆的外接圆的圆心O 在Rt ABC ∆的斜边AB 上.在Rt ABC ∆中，sin BC A AB =，sin ACB AB =即sin 2a A R =，sin 2b B R = 所以2sin a R A =，2sin b R B = 又22sin902sin c R R R C ==⋅︒= 所以2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===②当ABC ∆时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O 在三角形内（图2），作过O B 、的直径1A B ，连接1A C ，则1A BC ∆直角三角形，190ACB ∠=︒，1BAC BAC ∠=∠.在1Rt A BC ∆中，11sin BCBAC A B=∠，即1sin sin 2aBAC A R=∠=，所以2sin a R A =，同理：2sin b R B =，2sin c R C =③当ABC ∆时钝角三角形时，不妨假设A ∠为钝角，它的外接圆的圆心O 在ABC ∆外（图3）作过O B 、的直径1A B ，连接1A C .则1A BC ∆直角三角形，且190ACB ∠=︒，1180BAC ∠=︒-∠在1Rt A BC ∆中，12sin BC R BAC =∠，（第1题图1）（第1题图2）即2sin(180)a R BAC =︒-∠即2sin a R A =同理：2sin b R B =，2sin c R C =综上，对任意三角形ABC ∆，如果它的外接圆半径等于R ，则2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===2、因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B = 因为02,22A B π<<，所以22A B =，或22A B π=-，或222A B ππ-=-. 即A B =或2A B π+=.所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2sin2A B =后，也可以化为sin2sin20A B -= 所以cos()sin()0A B A B +-= 2A B π+=，或0A B -=即2A B π+=，或A B =，得到问题的结论.1．2应用举例练习（P13）1、在ABS ∆中，32.20.516.1AB =⨯= n mile ，115ABS ∠=︒，根据正弦定理，sin sin(6520)AS ABABS =∠︒-︒得sin 16.1sin115sin(6520)AS AB ABS ==⨯∠⨯︒-︒∴S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin115sin 207.06d AS =⨯︒=⨯︒≈（cm ）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长 m. 练习（P15）1、在ABP ∆中，180ABP γβ∠=︒-+，180()180()(180)BPA ABP αβαβγβγα∠=︒---∠=︒---︒-+=-在ABP ∆中，根据正弦定理，sin sin AP ABABP APB=∠∠ sin(180)sin()AP aγβγα=︒-+-sin()sin()a AP γβγα⨯-=-所以，山高为sin sin()sin sin()a h AP αγβαγα-==-2、在ABC ∆中，65.3AC =m ，25251738747BAC αβ'''∠=-=︒-︒=︒909025256435ABC α''∠=︒-=︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠ sin 65.3sin7479.8sin sin6435AC BAC BC ABC '⨯∠⨯︒==≈'∠︒m井架的高约.3、山的高度为200sin38sin 29382sin9⨯︒︒≈︒m练习（P16） 1、约63.77︒. 练习（P18）1、（1）约2168.52 cm ；（2）约2121.75 cm ；（3）约2425.39 cm .2、约24476.40 m3、右边222222cos cos 22a b c a c b b C c B b c ab ac+-+-=+=⨯+⨯22222222222a b c a c b a a a a a+-+-=+===左边【类似可以证明另外两个等式】习题 A 组（P19）1、在ABC ∆中，350.517.5BC =⨯= n mile ，14812622ABC ∠=︒-︒=︒78(180148)110ACB ∠=︒+︒-︒=︒，1801102248BAC ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠ sin 17.5sin 228.82sin sin 48BC ABC AC BAC ⨯∠⨯︒==≈∠︒n mile货轮到达C 点时与灯塔的距离是约 n mile. 2、70 n mile.3、在BCD ∆中，301040BCD ∠=︒+︒=︒，1801804510125BDC ADB ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒130103CD =⨯= n mile根据正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD=∠∠10sin (18040125)sin 40BD=∠︒-︒-︒︒10sin 40sin15BD ⨯︒=︒在ABD ∆中，451055ADB ∠=︒+︒=︒，1806010110BAD ∠=︒-︒-︒=︒1801105515ABD ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin sin AD BD AB ABD BAD ADB ==∠∠∠，即sin15sin110sin55AD BD AB==︒︒︒10sin 40sin15sin1510sin 40sin15 6.84sin110sin110sin 70BD AD ⨯︒⨯︒⨯︒⨯︒︒===≈︒︒︒n mile sin5510sin 40sin5521.65sin110sin15sin70BD AB ⨯︒⨯︒⨯︒==≈︒︒⨯︒n mile如果一切正常，此船从C 开始到B 所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030AD AB +++⨯+≈+⨯≈ min即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B 岛. 4、约 m5、在ABD ∆中，700 km AB =，1802135124ACB ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，700sin124sin35sin 21AC BC==︒︒︒700sin35sin124AC ⨯︒=︒，700sin 21sin124BC ⨯︒=︒700sin35700sin 21786.89 km sin124sin124AC BC ⨯︒⨯︒+=+≈︒︒所以路程比原来远了约 km.6、飞机离A 处探照灯的距离是 m ，飞机离B 处探照灯的距离是 m ，飞机的高度是约 m.7、飞机在150秒内飞行的距离是15010001000 m 3600d =⨯⨯根据正弦定理，sin(8118.5)sin18.5d x=︒-︒︒这里x 是飞机看到山顶的俯角为81︒时飞机与山顶的距离. 飞机与山顶的海拔的差是：sin18.5tan81tan8114721.64 m sin(8118.5)d x ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒-︒山顶的海拔是2025014721.645528 m -≈8、在ABT ∆中，21.418.6 2.8ATB ∠=︒-︒=︒，9018.6ABT ∠=︒+︒，15 m AB =根据正弦定理，sin 2.8cos18.6AB AT =︒︒，即15cos18.6sin 2.8AT ⨯︒=︒塔的高度为15cos18.6sin 21.4sin 21.4106.19 m sin 2.8AT ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒9、3261897.8 km 60AE ⨯== 在ACD ∆中，根据余弦定理：AC =101.235== 根据正弦定理，sin sin AD ACACD ADC=∠∠ sin 57sin66sin 0.5144101.235AD ADC ACD AC ⨯∠⨯︒∠==≈30.96ACD ∠≈︒13330.96102.04ACB ∠≈︒-︒=︒在ABC ∆中，根据余弦定理：AB =245.93=222222245.93101.235204cos 0.584722245.93101.235AB AC BC BAC AB AC +-+-∠==≈⨯⨯⨯⨯54.21BAC ∠=︒在ACE ∆中，根据余弦定理：CE =90.75=≈22222297.890.75101.235cos 0.42542297.890.75AE EC AC AEC AE EC +-+-∠=≈≈⨯⨯⨯⨯（第9题）64.82AEC ∠=︒180(18075)7564.8210.18AEC ︒-∠-︒-︒=︒-︒=︒ 所以，飞机应该以南偏西10.18︒的方向飞行，飞行距离约90.75 km . 10、如图，在ABC ∆AC =37515.44 km =222222640037515.44422000.692422640037515.44AB AC BC BAC AB AC +-+-∠=≈≈-⨯⨯⨯⨯133.82BAC ∠≈︒， 9043.82BAC ∠-︒≈︒ 所以，仰角为43.82︒11、（1）211sin 2833sin 45326.68 cm 22S ac B ==⨯⨯⨯︒≈（2）根据正弦定理：sin sin a c A C =，36sin sin66.5sin sin32.8a c C A =⨯=⨯︒︒2211sin66.5sin 36sin(32.866.5)1082.58 cm 22sin32.8S ac B ︒==⨯⨯⨯︒+︒≈︒（3）约为 2cm12、212sin 2nR nπ.13、根据余弦定理：222cos 2a c b B ac +-= 所以222()2cos 22a a a m c c B =+-⨯⨯⨯ 22222()22a a c b c a c ac +-=+-⨯⨯ 222222222211()[42()]()[2()]22a c a c b b c a =+-+-=+-所以a m =b m =，c m =14、根据余弦定理的推论，222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2c a b B ca+-=所以，左边(cos cos )c a B b A =-222222()22c a b b c a c a b ca bc +-+-=⨯-⨯222222221()(22)222c a b b c a c a b c c +-+-=-=-=右边习题 B 组（P20）1、根据正弦定理：sin sin a b A B =，所以sin sin a Bb A=B （第13题）代入三角形面积公式得211sin 1sin sin sin sin 22sin 2sin a B B CS ab C a C a A A==⨯⨯= 2、（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab +-=由同角三角函数之间的关系，22222sin 1cos 1()2a b c C C ab+-=-=- 代入1sin 2S ab C =，得222211()22a b c S ab ab+-=- 222221(2)()4ab a b c =-+- 2222221(2)(2)4ab a b c ab a b c =++---+1()()()()4a b c a b c c a b c a b =+++-+--+记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以()()()S p a p b p c r p p ---==（3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以，22()()()a S h p p a p a p a a a ==---，即2()()()a h p p a p a p a a =---同理2()()()b h p p a p a p a b =---，2()()()c h p p a p a p a c=---第一章复习参考题A 组（P24）1、（1）219,3851,8.69 cm B C c ''≈︒≈︒≈；（2）4149,10811,11.4 cm B C c ''≈︒≈︒≈；或13811,1149, 2.46 cm B C c ''≈︒≈︒≈ （3）112,3858,28.02 cm A B c ''≈︒≈︒≈；（4）2030,1430,22.92 cm B C a ''≈︒≈︒≈；（5）1620,1140,53.41 cm A C b ''≈︒≈︒≈；（6）2857,4634,10429A B C '''=︒=︒=︒； 2、解法1：设海轮在B 处望见小岛在北偏东75︒，在C 处望见小岛在北偏东60︒，从小岛A 向海轮的航线BD 作垂线，垂线段AD 的长度为x n mile ，CD 为y n mile.则 tan 30tan 308tan 30tan15tan1588tan15x x y y x x x x y y ⎧⎧=︒=⎪⎪⎪⎪︒⇒⇒=-⎨⎨︒︒⎪⎪=︒=+⎪⎪+︒⎩⎩ 8tan15tan304tan30tan15x ︒︒==︒-︒所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.（第23、根据余弦定理：2222cos AB a b abα=+- 所以 AB = 222cos 2a AB b B a AB+-=⨯⨯2222==从B ∠的余弦值可以确定它的大小.类似地，可以得到下面的值，从而确定A ∠的大小. cos A =4、如图，,C D 是两个观测点，C 到D 的距离是d ，航船在时刻1t 在A 处，以从A 到B 的航向航行，在此时测出ACD ∠和CDA ∠. 在时刻2t ，航船航行到B 处，此时，测出CDB ∠和BCD ∠. 根据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BC 的长，在ACD ∆中，可以计算出AC 的长. 在ACB ∆中，AC 、BC 已经算出，ACB ACD BCD ∠=∠-∠，解ACD ∆，求出AB 的长，即航船航行的距离，算出CAB ∠，这样就可以算出航船的航向和速度.5、河流宽度是sin()sin sin h αβαβ-. 6、 m.7、如图，,A B 是已知的两个小岛，航船在时刻1t 在C 处，以从C 到D 的航向航行，测出ACD ∠和BCD ∠. 在时刻2t ，航船航行到D 处，根据时间和航船的速度，可以计算出C 到D 的距离是d ，在D 处测出CDB ∠和 CDA ∠. 根据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BD 的长，在ACD ∆中，可以计算出AD 的长. 在ABD ∆中，AD 、BD 已经算出，ADB CDB CDA ∠=∠-∠，根据余弦定理，就可以求出AB 的长，即两个海岛,A B 的距离.第一章复习参考题B 组（P25）1、如图，,A B 是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点处，测出图中AEF ∠，AFE ∠的大小，以及EF 的距离. 定理，解AEF ∆，算出AE . 在BEF ∆中，测出BEF ∠和BFE ∠，利用正弦定理，算出BE . 在AEB ∆中，测出AEB ∠，利用余弦定理，算出AB 的长. 本题有其他的测量方法.2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式：（1）已知一边和这边上的高：111,,222a b c S ah S bh S ch ===；（2）已知两边及其夹角：111sin ,sin ,sin 222S ab C S bc A S ca B===；（3）已知三边：S =，这里2a b cp ++=；（4）已知两角及两角的共同边：222sin sin sin sin sin sin ,,2sin()2sin()2sin()b C Ac A B a B CS S S C A A B B C ===+++；（5）已知三边和外接圆半径R ：4abc S R=. 3、设三角形三边长分别是1,,1n n n -+，三个角分别是,3,2απαα-.由正弦定理，11sin sin 2n n αα-+=，所以1cos 2(1)n n α+=-. 由余弦定理，222(1)(1)2(1)cos n n n n n α-=++-⨯+⨯⨯.即2221(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n +-=++-⨯+⨯⨯-，化简，得250n n -=所以，0n =或5n =. 0n =不合题意，舍去. 故5n =所以，三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍. 另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数.（1）三边的长不可能是1,2,3. 这是因为123+=，而三角形任何两边之和大于第三边. （2）如果三边分别是2,3,4a b c ===.因为 2222223427cos 22348b c a A bc +-+-===⨯⨯22717cos22cos 12()1832A A =-=⨯-=2222222341cos 22234a b c C ab +-+-===-⨯⨯在此三角形中，A 是最小角，C 是最大角，但是cos2cos A C ≠，所以2A C ≠，边长为2,3,4的三角形不满足条件.（3）如果三边分别是3,4,5a b c ===，此三角形是直角三角形，最大角是90︒，最小角不等于45︒. 此三角形不满足条件. （4）如果三边分别是4,5,6a b c ===.此时，2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯2231cos22cos 12()148A A =-=⨯-=2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯此时，cos2cos A C =，而02,A C π<<，所以2A C = 所以，边长为4,5,6的三角形满足条件.（5）当4n >，三角形的三边是,1,2a n b n c n ==+=+时，三角形的最小角是A ，最大角是C . 222cos 2b c a A bc+-=222(1)(2)2(1)(2)n n n n n +++-=++2652(1)(2)n n n n ++=++52(2)n n +=+1322(2)n =++222cos 2a b c C ab +-=222(1)(2)2(1)n n n n n ++-+=+2232(1)n n n n --=+32n n -=1322n=-cos A 随n 的增大而减小，A 随之增大，cos C 随n 的增大而增大，C 随之变小. 由于4n =时有2C A =，所以，4n >，不可能2C A =. 综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.第二章数列2．1数列的概念与简单表示法练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**；（2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-；（2）(1)()2n n a n Z n +-=∈；（3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）（3）1,,,,…； 2,,,,…,.2、（1）11111,,,,491625；（2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-；（2）12；n a =4、（1）1,3,13,53,2132；（2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+. 习题 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72)n n a =⨯+﹪. 3、（1）1,2,3,5,8；（2）358132,,,,2358.2．2等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：，，；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立；（2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立. 习题 A 组（P40）1、（1）29n a =；（2）10n =；（3）3d =；（4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =；（2）588 cm ，5 s. 习题 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略. 2．3等差数列的前n 项和练习（P45）1、（1）88-；（2）.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ 3、元素个数是30，元素和为900.习题 A 组（P46）1、（1）(1)n n +；（2）2n ；（3）180个，和为98550；（4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =；将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. （2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-. 3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km.4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2．4等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==，则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++是等比数列.（2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅（2）用上面的方法不难证明211(1)n n n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项.同理：可证明，2(0)n n k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>.5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪.（2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元. 习题 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===. （4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =.当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪. 那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=11(1)22)n n qq --===.那么数列{}n a为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为 mm ，对折一次后厚度为×2 mm ，再对折后厚度为×22 mm ，再对折后厚度为×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得10.51q =≈ 6、由已知条件知，,2a bA G +==，且02a b A G +-== 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >. 7、（1）2±；（2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81；（2）80，40，20，10. 习题 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈，所以动物约在距今42213、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. （第3题）猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅. 2．5等比数列的前n 项和练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a q S q ----===----. 2、设这个等比数列的公比为q 所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+. 因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. （2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元）3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n n n n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n =6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列习题 B 组（P62） 1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n b bb a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==--2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++= 141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为1.2q =.所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元）（5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章复习参考题A 组（P67）1、（1）B ；（2）B ；（3）B ；（4）A .2、（1）212n n n a -=；（2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-；（4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万）7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()22n a a a n nd S n d =++++⨯=+容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章复习参考题B 组（P68）1、（1）B ；（2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯.所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪ 500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）第三章不等式3．1不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥；（2）4h ≤；（3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>；（2）<；（3）>；（4）<；习题 A 组（P75）1、略.2、（1）24+；（2>3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd >于是0a bd c>>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩ 所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3．2一元二次不等式及其解法练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤；（2）R ；（3）{}2x x ≠；（4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；（5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是1⎧⎪+⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为11x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是11x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. （2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-；使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<；使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅；使2+610y x x =+的小于0的集合为∅；使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2；使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅；使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠. 习题 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或；（4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y ={}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题 B 组（P81）1、（1）x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（2）{}37x x <<；（3）∅；（4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为33x x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则a =22450b +<，即150150b -<<151)13.72=≈（h ），3001520=. 所以，经过约小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-（第12、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元. 习题 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤；（2）22x y ->；（3）2y -≤；（4）3x ≥2、3解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 目标函数为6020z x y =+，（第2所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为 122025101512(70)208(110)609030200z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元）所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3．42a b+练习（P100）1、因为0x >，所以12x x +=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以20a b +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号。

[最新]人教版高中数学(理)必修五2-5-1同步检测同步练习及答案解析

2-5-1 同步检测一、选择题1．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或－12．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，那么log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．73．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.1724．若等比数列{a n }对于一切自然数n 都有a n ＋1＝1－23S n ，其中S n 是此数列的前n项和，又a 1＝1，则其公比q 为( )A ．1B ．－23 C.13 D ．－135．设数列{a n }的通项a n ＝(－1)n －1·n ，前n 项和为S n ，则S 2010＝( )A ．－2010B ．－1005C ．2010D ．10056．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( ) A ．11 B ．5 C ．－8D ．－11二、填空题 7．数列{a n }的前n 项和S n ＝log 0.1(1＋n )，则a 10＋a 11＋…＋a 99＝________.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，且前n 项和S n ＝126，求n 及公比q .10．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项；(2)求数列{2a n}的前n项和S n.2-5-1同步检测1 C2 B3 B4 C5 B6 D7 －18 39 [解析] ∵a 1a n ＝a 2a n －1＝128，又a 1＋a n ＝66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根，解方程得x 1＝2，x 2＝64，∴a 1＝2，a n ＝64或a 1＝64，a n ＝2，显然q ≠1.若a 1＝2，a n ＝64，由a 1－a n q 1－q＝126得2－64q ＝126－126q ，∴q ＝2，由a n ＝a 1q n －1得2n －1＝32，∴n ＝6.若a 1＝64，a n ＝2，同理可求得q ＝12，n ＝6.综上所述，n 的值为6，公比q ＝2或12.10 [解析] (1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1，或d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.。

高中数学必修5同步练习与单元测试课后作业附答案(36份)

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24(nmile)．
(2)在△ADC中，由余弦定理得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°，
解得CD＝8 ≈14(nmile)．
即A处与D处的距离为24nmile，
则a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，
a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
解得：a＝5，b＝4，cosα＝或a＝4，b＝5，cosα＝，
∴S▱ABCD＝absinα＝16.
二、填空题
7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．
10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10nmile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9nmile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21nmile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．
答案
解析设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos120°，
B1B ＝A1B ＋A1B －2A1B1·A1B2·cos 45°
＝202＋(10 )2－2×20×10 ×
＝200.
∴B1B2＝10 .
因此，乙船速度的大小为
×60＝30 (海里/小时)．
答乙船每小时航行30 海里．
1．解三角形应用问题的基本思路是：

[最新]人教版高中数学(理)必修五2-3同步检测同步练习及答案解析

2-3 同步检测一、选择题1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C ．36D ．483．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为( )A ．130B ．170C ．210D ．2604．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 5． 13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( ) A.415 B.215 C.1415D.715 6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100二、填空题7．等差数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为S n ，且S 3＝S 12，则a 8＝________.8．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .*10.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22，(1)求通项a n；(2)若数列{b n}满足b n＝S nn＋c，是否存在非零实数c，使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由．2-3 同步检测1 B2 D3 C4 B5 B6 A7 0 8 1109 [解析] 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16a 1＝－4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8d ＝－2. 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)2×2＝n 2－9n ，或S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋9n .10[解析] (1)由等差数列的性质得，a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的解，又公差大于零，故解得a 3＝9，a 4＝13，所以公差d ＝a 4－a 3＝13－9＝4，首项a 1＝1. 所以通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋4(n －1)＝4n －3.(2)由(1)知：S n ＝n (1＋4n －3)2＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c . 故b 1＝1c ＋1，b 2＝6c ＋2，b 3＝15c ＋3. 令2b 2＝b 1＋b 3，即12c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3，所以2c 2＋c ＝0. 因为c ≠0，故c ＝－12，此时b n ＝2n 2－n n －12＝2n .当n ≥2时，b n －b n －1＝2n －2(n －1)＝2.所以当c ＝－12时，{b n }为等差数列。

高中数学必修5第2章2.2.2同步训练及解析

人教A 高中数学必修5同步训练1．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：选C.由等差数列性质得a 2＋a 8＝2a 5＝12，所以a 5＝6.2．等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( )A ．是公差为d 的等差数列B ．是公差为cd 的等差数列C ．不是等差数列D ．以上都不对答案：B3．在等差数列{a n }中，a 10＝10，a 20＝20，则a 30＝________.解析：法一：d ＝a 20－a 1020－10＝20－1020－10＝1，a 30＝a 20＋10d ＝20＋10＝30. 法二：由题意可知，a 10、a 20、a 30成等差数列，所以a 30＝2a 20－a 10＝2×20－10＝30. 答案：304．已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数．解：由题意，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，(a －d )(a ＋d )＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，d ＝－4.所以，当d ＝4时，这三个数为1,5,9；当d ＝－4时，这三个数为9,5,1.一、选择题1．下列命题中，为真命题的是( )A ．若{a n }是等差数列，则{|a n |}也是等差数列B ．若{|a n |}是等差数列，则{a n }也是等差数列C ．若存在自然数n 使2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，则{a n }是等差数列D ．若{a n }是等差数列，则对任意n ∈N *都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2答案：D2．等差数列{a n }中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1x，则a 101＝( ) A ．5013 B ．1323C ．24D ．823解析：选D.∵53x ＝1x ＋1x ＋1，∴x ＝2. ∴首项a 1＝1x ＋1＝13，d ＝12(12－13)＝112. ∴a 101＝823，故选D.3．若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33解析：选D.经观察发现(a 2＋a 5)－(a 1＋a 4)＝(a 3＋a 6)－(a 2＋a 5)＝2d ＝39－45＝－6，所以a 3＋a 6＝a 2＋a 5－6＝39－6＝33.4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15C ．16D ．17解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，则由等差数列的性质得5a 8＝120，∴a 8＝24，a 9－13a 11＝3a 9－a 113＝2a 9＋(a 9－a 11)3＝2(a 9－d )3＝2a 83＝2×243＝16. 5．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析：选C.设{a n }，{b n }的公差分别是d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2.∴{a n ＋b n }为等差数列．又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100.6．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A ．d ＞83B ．d ＜3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 解析：选D.设等差数列为{a n }，首项a 1＝－24，则a 9≤0⇒a 1＋8d ≤0⇒－24＋8d ≤0⇒d ≤3，a 10＞0⇒a 1＋9d ＞0⇒－24＋9d ＞0⇒d ＞83. ∴83＜d ≤3. 二、填空题7．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.解析：由于{a n }为等差数列，故a 3＋a 8＝a 5＋a 6，故a 5＝a 3＋a 8－a 6＝22－7＝15.答案：158．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝________.解析：∵a 7、a 14、a 21成等差数列，∴a 7＋a 21＝2a 14，a 21＝2a 14－a 7＝2n －m .答案：2n －m9．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________.解析：法一：因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列，设其公差为d ，a 15为首项，则a 60为其第四项，所以a 60＝a 15＋3d ，得d ＝4.所以a 75＝a 60＋d ⇒a 75＝24.法二：因为a 15＝a 1＋14d ，a 60＝a 1＋59d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋14d ＝8a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415d ＝415.故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 答案：24三、解答题10．已知正数a ，b ，c 组成等差数列，且公差不为零，那么由它们的倒数所组成的数列1a ，1b ，1c能否成为等差数列？解：由已知，得a ≠b 且b ≠c 且c ≠a ，且2b ＝a ＋c ，a >0，b >0，c >0.因为2b －(1a ＋1c )＝2b－a ＋c ac ＝2ac －2b 2abc ＝2ac －(a ＋c )22abc ＝－(a －c )22abc <0，所以2b ≠1a ＋1c. 所以1a ，1b ，1c不能成为等差数列． 11．已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{b n }，试求出{b n }的通项公式．解：(1)∵a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝4，∵a 8＝a 2＋(8－2)d ，∴16＝4＋6d ，∴d ＝2，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝4＋(n －2)×2＝2n .(2)a 2＝4，a 4＝8，a 8＝16，…，a 2n ＝2×2n ＝4n .当n ＞1时，a 2n －a 2(n －1)＝4n －4(n －1)＝4.∴{b n }是以4为首项，4为公差的等差数列．∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝4＋4(n －1)＝4n .12．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月，求分期付款的第10个月应付多少钱？最后一次应付多少钱？解：购买时先付150万元，还欠款1000万元．依题意知20次可付清．设每次交付的欠款依次为a 1，a 2，a 3，…，a 20，构成数列{a n }，则a 1＝50＋1000×0.01＝60；a 2＝50＋(1000－50)×0.01＝59.5；a 3＝50＋(1000－50×2)×0.01＝59；…a n ＝50＋[1000－50(n －1)]×0.01＝60－12(n －1)(1≤n ≤20)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．则a 10＝60－9×12＝55.5， a 20＝60－19×12＝50.5，故第10个月应付55.5万元，最后一次应付50.5万元．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

数学必修五同步练习册答案

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人教版高中数学(理)必修5(实验班)全册同步练习及答案

人教版高中数学（理）必修5（实验班）全册同步练习及答案1.1.1 正弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则c = ( )A ．10B ．1)C ．1)D ．2.在ABC ∆中，下列关系式中一定成立的是（） A ．sin a b A > B ．sin a b A = C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥3. 在ABC ∆中，已知60A =，a =sin sin sin a b cA B C++=++ （）A B D ．4. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则此三角形是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中，已知4AB = ，1AC = ，ABC S ∆=，则AB AC的值为（）A ．2-B ．2C ．4±D ．2±6. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan tan B C B C += ，则ABC ∆的面积为（）A ．．34二、填空题7．在ABC ∆中，若1b =，c =C ＝2π3，则a =________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．三、解答题9．根据下列条件，解ABC ∆.（1）已知4b =，8c =，30B =，解此三角形；（2）已知45B =，75C =，2b =，解此三角形.10. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，若2a =，4C π=，cos25B =，求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C 二、填空题 7．1 8. 1三、解答题9. 解：（1）由正弦定理得sin 8sin30sin 14c B C b ===由c b >知30150C << ，得90C =从而60A = ，a ==（2）由180+=A B C + 得60A =∵sin sin a b A B = ∴sin 2sin 60sin sin 45b A a B ===同理sin 2sin 751sin sin 45b C c B ===10. 解：由2cos 2cos12B B =-知43cos 2155B =⨯-=又0B π<<，得4sin 5B ==sin sin[()]sin()A B C B C π∴=-+=+sin cos cos sin 10B C B C =+= 在ABC ∆中，由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.1.1.2 余弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，已知13,34,8===c b a ，则ABC ∆的最小角为（） A ．3π B ．4π C ．4π D ．12π 2．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角A 等于（）A ．030B ．060C ．0120D ．01503．在ABC ∆中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在ABC ∆中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，并有sin 2sin cos A B C =,那么ABC ∆是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5.在ABC ∆中，60A = ，1b =，ABC S ∆，则sin sin sin a b cA B C++=++ （）A B D 6．某班设计了一个八边形的班徽(如右图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C ．3sin 1αα+D ．2sin cos 1αα-+ 二、填空题7．在ABC ∆中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______ .8. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，若)cos cos c A a C -=，则cos A = .三、解答题9．在△ABC 中，已知030,35,5===A c b ，求C B a 、、及面积S .10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知：b ＝2，c ＝4，cos A ＝34.(1)求边a 的值；(2)求cos(A －B )的值．1.1.2余弦定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.A 二、填空题 7．8.三、解答题9. 解由余弦定理，知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+= ∴5=a 又∵b a =∴030==A B ∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解：(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝22＋42－2×2×4×34＝8，∴a ＝2 2.(2)∵cos A ＝34，∴sin A ＝74，a sin A ＝bsin B ，即2274＝2sin B .∴sin B ＝148.又∵b <c ，∴B 为锐角．∴cos B ＝528. ∴cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝34×528＋74×148＝11216.1.1.3 正、余弦定理的综合应用一、选择题1．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是（）A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，如果c =，30B =，那么角C等于 ( ) A ．120B ．105C ．90D ．753．ABC ∆的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A B C D ． 4．在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-5．在ABC ∆中，A ∠满足条件cm BC cm AB A A 32,2,1cos sin 3===+，ABC ∆的面积等于（）A ．3B ．CD 6．在ABC ∆中，2sin22A c b c-= (a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边)，则ABC ∆的形状为 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形二、填空题7．已知在ABC ∆中，060A =，最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根，那么BC 边长等于________.8．已知锐角ABC ∆的三边a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且222()tan b c a A +-，则角A 的大小_________.三、解答题9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且满足(2)cos cos a c B b C -=.(1)求角B 的大小；(2)若b =4a c +=，求ABC ∆的面积．10．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，已知1cos 24C =-. (1)求sin C 的值；(2)当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．1.1.3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.C2.A3.C4.C5.C6.B 二、填空题 7．78.60三、解答题9. 解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理，得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A >0，∴2cos B ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝π3. (2)由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .将b ＝7，a ＋c ＝4，B ＝π3代入整理，得ac ＝3.∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32sin60°＝334.10. 解：(1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，所以sin C ＝±104，又0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，且0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1.2应用举例（二）一、选择题1. 在某测量中，设A 在B 的南偏东3427' ，则B 在A 的（） A.北偏西3427'B. 北偏东5533'C. 北偏西5533'D. 南偏西5533'2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为（）A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h3．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC a =，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、()βαβ>，则A 点离地面的高AB 等于（） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ． )cos(cos cos βαβα-a4.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里5. 如右图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103米至D 处，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ的值为 ( )A ．15°B ．10°C ．5°D ．20°6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°西，则这只船的速度是每小时（）A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里° 二、填空题7．我舰在敌岛A 南偏西50 相距12n mile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10 的方向以10n mile /h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 .8．在一座20m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60 ，塔底俯角为45 ，那么这座塔的高为___ ____.三、解答题°9．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45 方向，距A有9n mile并以/h的速度航行用多20n mile/h的速度沿南偏西15 方向航行，若甲船以28n mile少小时能尽快追上乙船？10.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．1.2应用举例（二）一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.C 二、填空题 7．14nmile/h8. 20（1+3）m三、解答题9. 解：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。

人教版高中数学理必修五3-2-1同步检测同步练习及答案解析.doc

3-2-1冋步栅仁不等式9x? + 6x+仁0的解集是（）i4 4A ・{x|x*—< x< 3}3} B. {x|--31c. ?D. {3}2.不等式 3X 2-X +2<0的解集内) —A. ?B. RA. {x|x<—4,或 x>3} B ・{x| — 4V xV 3} C ・{x|x< 一4，或 xn 3}D. {x| —4< x< 3}4.不等式2X 2_x_ 1>0的解集是（A. C. 5. 1(-,12(—oo, 1)u(2? +«) D ・(一g 、< V 、函数y= logi 2—1的定义域是(2 X(B ・(1，+oo)1 1 1C. {x|- <x<2} D・{XG R|X* 6}33.函数y= y + xT?的定义域是（）A・[—2，-1)u(1, 2]B. [- 2, -1)u(1, 2) 二C. [-2, -1)u(1,2]D. (-2, -1)u(1,2)6. 已知集合A={X|3X-2-X2<0},B={X|X—a<0}且B A,则的A. a< 1 B・ 1<a< 2取值范ID・ a< 2C・ a>2文档来源于网络，版权属原作者所有，如有侵权联删除7.二次函数y=af+bx+c(xwR)的部分对应值如隶r 4 X -3 -2 -1 0 1 2 3y 6 0 -4 —6 —6 -4 0 6 则不等式ax。

的解集是-------------不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或xv —2},则m, n的值分另ll是____2—4ax— 5a?> 0.9.若avo,解关于x的不等式x2+bx+cV 0的解集是10.已知关于x的不等式ax{x|x<-2,或x>- 2-bx+c>0 的解集.2},求不等式ax3.2.1详解答案1 •［答案］D［解析］变®(3x+1) 52. ［答案］A［解析］•••△ = —23V0,开口向上，•••3x2 —x+2V 0 的解集为？.3. ［答案］C［解析］使y=V(2+x—12 有意义,®J+x-12> 0...(x+4)(x—3)n 0,「.xs —4,或x2 3.4. ［答案］D［解析］2X2_x_ 1 — (2x+ 1)(x—1)>0,所以不等式的解集为(一8,—T2)u(1, + 8).5. ［答案］A［解析］\ logi 2—" 0, ..0<x2-1< 1,.-.1<x2< 2, .\1<x< 2 或一2< x<-1.6•［食実］A［解析］A={x|x<1 或x>2}, B = {x|x<a}, •/B A, /.a< 1.7. ［答案］{x|x<-2 或x>3}［解析］由表知x=-2时y=0, x=3时，y=0..•.二次函数y=ax2+bx+c可化为y=a(x+2)(x—3),又当x= 1 时，y=—6, /.a=1..不等式ax?+bx+c> 0的解为x<-2或x>3.8. ［解析］m=—2, n=-12.［解相_由题意知=2,3是方程2(+叫+尸0的两个根，所以-2+3=-2, -73= 29. ［答案］［解析］原式化为(x+a)(x-5a)>0,相应方程的两根Xi=—a, X2=5a*/a<0, /.xi>X2..\不等式解为x<5a 或x>—a.110. ［答案］［解析］由条件知，_2和一_是方程ax2+bx+c= 0的两根,2且a<0.1 b 1 c/. ~2—, (―2)x (—2)= ,=—a a_ 25.°.b=2a, c=a.从而不等式ax2— bx+c>0化为a(x2—号x+〔)〉0 •• a<0,.血-敬+2<0「1即(x-2)(2x-1)<0,解得2<x<2.1二不等式的解集为{x| <x<2}.2文档来源于网络，版权属原作者所有，如有侵权请联系删除。

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业含解析答案

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业（含解析答案）目录课时作业1 正弦定理第1课时课时作业2 正弦定理第2课时课时作业3 余弦定理课时作业4 正、余弦定理习题课课时作业5 应用举例第1课时课时作业6 应用举例第2课时）正、余弦定理的综合应用课时作业7 数列的概念与简单表示法课时作业8 数列的性质和递推公式课时作业9 等差数列第1课时课时作业10 等差数列第2课时课时作业11 等差数列第3课时课时作业12 等差数列的前n项和第1课时课时作业13 等差数列的前n项和第2课时课时作业14 等差数列的前n项和第3课时课时作业15 等比数列第1课时课时作业16 等比数列第2课时课时作业17 等比数列的前n项和第1课时课时作业18 等比数列的前n项和第2课时课时作业19 专题研究一数列通项的求法课时作业20 专题研究二特殊数列求和方法课时作业21 专题研究三数列的实际应用课时作业22 不等关系与不等式课时作业23 一元二次不等式及其解法第1课时课时作业24 一元二次不等式及其解法第2课时课时作业25 二元一次不等式组）表示的平面区域课时作业26 简单的线性规划问题第1课时课时作业27 简单的线性规划问题第2课时课时作业28 简单的线性规划问题课时作业29 基本不等式 ab≤a＋b2 第1课时课时作业30 基本不等式 ab≤a＋b2 第2课时课时作业31 基本不等式1课时作业32 基本不等式2课时作业1 正弦定理（第1课时）1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．ab sin C ＝bc sin A答案 D2．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3答案 C3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则∠B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 ∵sin A a ＝sin B b ，∴cos B b ＝sin B b，∴cos B ＝sin B ，从而tan B ＝1，又0°<B <180°，∴B ＝45°.5．(2013·湖南)在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 答案 C解析由3a ＝2b sin A ，得3sin A ＝2sin B ·sin A . ∴sin B ＝32.∴B ＝π3或2π3. 6．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 为( ) A ．3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1答案 D解析由已知得A ＝120°，B ＝C ＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 7．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，a ＝b ⇔sin2A ＝sin2BC ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．在△ABC 中，正弦值较大的角所对的边也较大答案 B解析对于B 项，当a ＝b 时，sin A ＝sin B 且cos A ＝cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，但是反过来若sin2A ＝sin2B .2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.不一定a ＝b ，∴B 选项错误．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·si nπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)． 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理，得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.11．(2012·福建)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.答案 2解析如图所示，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin45°＝3sin60°，即AC22＝332，故AC ＝ 2. 12．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案π2解析由正弦定理，得a sin ∠A ＝bsin ∠B .从而332＝3sin ∠B，即sin ∠B ＝12.∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－60°－30°＝90°.13．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________．答案3－114．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案10215．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则a (sin C －sin B )＋b (sin A －sin C )＋c (sin B －sin A )＝________.答案 0解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A .同理可得a sin C ＝c sin A 且b sin C ＝c sin B .∴原式＝0.16．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 答案 a ＝10 2 b ＝5(6＋2) B ＝105°17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a 的值．答案2解析由正弦定理，得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°. ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.18．已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．解析由正弦定理a sin A ＝csin C ，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝32. 因为∠A ＝45°，c >a ，所以∠C ＝60°或120°. 所以∠B ＝180°－60°－45°＝75° 或∠B ＝180°－120°－45°＝15°. 又因为b ＝a sin Bsin A，所以b ＝3＋1或3－1. 综上，∠C ＝60°，∠B ＝75°，b ＝3＋1 或∠C ＝120°，∠B ＝15°，b ＝3－1. ►重点班·选作题19．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解答案 D20．△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，则a ＋bR的取值范围是( ) A ．[3，23] B ．[3，23) C ．(3，23] D ．(3，23)答案 C课时作业2 正弦定理（第2课时）1．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形答案 A2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案 D3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63答案 D解析依题意得0°<B <60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.4．(2013·山东)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin B.又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A .∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°. ∴c ＝12＋32＝2.5．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B7．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 答案 D8．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 答案 A9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C10．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________．答案 211．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________．答案等边三角形12．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．答案直角三角形解析由已知条件lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ， ∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理，可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．答案 (1)3＋4310 (2)36＋935014．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状．解析由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C . 即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，即A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．15．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b2.证明 ∵左边＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2Bb2＝1a 2－1b 2－2(sin 2A a 2－sin 2B b2)，由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin 2A a 2－sin 2Bb2＝0.∴原式成立． ►重点班·选作题16．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，边长c 的取值范围是( )A ．(152，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(0,10)D ．(0，403]答案 D17．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析在△ABC 中，由正弦定理，得1sin B＝3sin2π3，解得sin B ＝12，因为b <c ，故角B 为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a ＝1.课时作业3 余弦定理1．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)．故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sin A 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14. 2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (b c)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.课时作业4 正、余弦定理习题课1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形的情况为( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定答案 B2．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116 答案 D3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析方法一在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°. ∴C ＝180°－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )． ∴已知条件可化为2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )． ∴sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二运用正、余弦定理将角的三角函数式化为边的等式．2·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2R ＝c 2R.整理，得a 2－b 2＝0，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．4．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，若a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)答案 C解析 ∵a 2<b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2>0.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0.∴A <90°.又∵a 边最大，∴A 角最大．∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A >180°. ∴A >60°，∴60°<A <90°.5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.由正弦定理，得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A ＝( )A.13 B.12 C.34 D ．0答案 C 解析∵CD 是∠C 的平分线，∴S △ACD S △BCD ＝12AC ·CD sinC 212BC ·CD sin C 2＝AC BC ＝sin B sin A ＝32. ∵B ＝2A ，∴sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2cos A ＝32.∴cos A ＝34.7．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1<c <3B ．2<c<3C.5<c <3 D ．22<c <3答案 C8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°9．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案310．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 1211．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为________．答案8155解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－cos 2A ＝158. ∴2R ＝asin A ，R ＝a 2sin A ＝8155. 12．已知△ABC 中，∠A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么BC 边长等于________．答案 7解析 ∵A ＝60°，所求为BC 边的长，而BC 即为角A 的对边，∴BC 边既非最大边也非最小边．不妨设最大边长为x 1，最小边长为x 2，由题意得：x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝323. 由余弦定理，得BC 2＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2x 1x 2cos A ＝92－2×323－2×323×cos60°＝49.∴BC ＝7.13．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝________. 答案725解析由题意得S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12，即12×8×5×sin C ＝12，则sin C ＝35. cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若b ＝a cos C 且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为13.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解析 (1)∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得sin B ＝sin A cos C . 由A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )． ∴sin(A ＋C )＝sin A cos C .∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C . ∴cos A sin C ＝0.∵0<A <π，0<C <π，∴sin C >0. ∴cos A ＝0，∴A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． (2)∵△ABC 的最大边长为12，由第(1)问知，斜边a ＝12. 又∵△ABC 的最小角的正弦值为13，∴Rt △ABC 中最短直角边长为12×13＝4.另一直角边长为122－42＝8 2. ∴S △ABC ＝12×4×82＝16 2.15．(2013·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin(2B －π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin(2B －π3)＝sin2B cos π3－cos2B sin π3＝45＋318.课时作业5 应用举例（第1课时）1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的( )A．东偏北45°10′B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′答案 C2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )A．10° B．50°C．120° D．130°答案 D3．一只船速为2 3 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A．120° B．90°C．60° D．30°答案 B4．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A．10 3 m B．100 3 mC．2030 m D．30 m答案 D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos30°，解得BC＝30.5．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为( )A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3答案 C6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B7．海上有A、B、C三个小岛，已知A、B相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是( )A．10 3 海里 B.1063海里C．5 2 海里D．5 6 海里答案 D8.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( ) A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案 A9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A．5 海里B．5 3 海里C．10 海里D．10 3 海里答案 D10．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为( )A．2 3 km B．3 2 kmC.15 kmD.13 km答案 D11．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)答案 5.212．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________m.答案 6013．已知船在A 处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C ，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，在B 处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．答案563－1214．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解析如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝ADsin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．答：山高CD 为2 186 m.15．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路分析船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC 或AB 的大小，再计算出A 到BC 的距离，将它与38海里比较大小即可．解析在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°.∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)． ∴A 到BC 的距离d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．1．一船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h 后，该船实际航行为( )A ．215 kmB ．6 km C.84 km D ．8 km答案 B 2.如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C 、D ，在某天10∶00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析在△BCD 中，∠BDC ＝30°＋60°＝90°，CD ＝1，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝ 2.在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°， ∴CDsin45°＝AC sin30°，AC ＝22.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos60°＝32，∴AB ＝62，∴船速为622＝64 千米/分钟．3.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案救船到达D 点需要1小时．解析由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB.∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时． 4.如图所示，a是海面上一条南北向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01 km)答案(1)PB＝x－12 km，PC＝18＋x km 132 7(2)17.71 km课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式( ) A ．b ＝ac B ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝c D ．c ＝ab答案 B解析由Δ＝0，得4sin 2B －4sin A sinC ＝0，结合正弦定理得b 2＝ac . 2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解答案 C解析由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，2a cos B ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析方法一由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac＝c .所以a 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b .则△ABC是等腰三角形．方法二由正弦定理，得2×2R sin A cos B ＝2R sin C ，即2sin A cos B ＝sin C .又sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C .所以sin(A －B )＝0.又0<A <π，0<B <π，则－π<A －B <π.所以有A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．讲评方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．方法二中，如果没有想到等式sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．5．(2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6答案 B解析 ∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b .∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab＝b 2＋53b 2－73b 22×53b 2＝－12.∴C ＝23π.6．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B ．4<x <30 C ．1<x <4 D ．4<x <34答案 D解析若5最大，则32＋x 2－52>0，得x >4. 若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x <34. 又2<x <8，则4<x <34.7．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．答案 45°、30°、105°解析 ∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又∵c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.答案33解析由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C . 化简得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )． ∵0<sin B ≤1，∴cos A ＝33. 9．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b .解析 (1)由a ＝2b sin A ，得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2a cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．11．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解析在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin B. ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解析 (1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A ) ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sin A＝3sin(A ＋π6)≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值是 3.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)，得sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )．故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1. ►重点班·选作题14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1．(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 A解析根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a >b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项．2．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.答案 4解析由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋7－b 2－b 22×2×7－b ＝－14，解得b ＝4.3．(2011·湖北)设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理，可得a 2＋b 2－c 2＝－ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3.4．(2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)若c 的值．解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.5．(2013·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解析 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即12≤b <1.6．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解析 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．。

2021年高中数学 3.4.1 基本不等式同步练习理(实验班)新人教A版必修5

修51.设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a 2．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．1D.12 3．设a 、b 是正实数，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B4．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x ≥a ＋b 25．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.146．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________．8．已知a是正实数，x＝12a，y＝12a＋1，z＝1a＋a＋1，则x、y、z从大到小的顺序是__________．9. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．10.某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．3.4.1详解答案1. [答案] B[解析] ∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜1 2，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2ab，∴ab＜1 4，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－12＝12，即a2＋b2＞12..解法2：特值检验法：取a＝13，b＝23，则2ab＝49，a2＋b2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大．2.[答案] C[解析] ∵x＜54，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x＝15－4x，即x＝1时成立，故选C.3.[答案] C[解析] ∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，A2－B2＝(a＋b＋2ab)－(a＋b)＝2ab＞0，∴A2＞B2，∵A>0，B>0，∴A＞B.[点评] 可取特值检验．4.[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0.∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．5.[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4.当a ＝b ＝12时“＝”成立． 6.[答案] D[解析] 解法1：∵0<a <1,0<b <1，∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2，∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法2：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．7.[答案]14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋1－x2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立， ∴所求最大值为14. 8.[答案] x >z >y [解析] ∵a >0，∴2a <a ＋a ＋1<2a ＋1∴12a >1a ＋a ＋1>12a ＋1，即x >z >y .9.[解析] 不对．设左右臂长分别为l 1，l 2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a 、b ，真实重量为G ，则由杠杆平衡原理有：l 1·G ＝l 2·a ，①l 2·G ＝l 1·b ，②①×②得G 2＝ab ，∴G ＝ab ，由于l 1≠l 2，故a ≠b ，由均值不等式a ＋b 2＞ab 知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数.10.[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2 000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1440000x ＋100x ≥21440000x ·100x ＝24 000(元)．当且仅当1440000x＝100x ，即x ＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．28380 6EDC 滜737672 9328 錨 A23106 5A42 婂28742 7046 灆 <34015 84DF 蓟40713 9F09 鼉22937 5999 妙30166 75D6 痖31783 7C27 簧。

2019学年人教版高中数学必修五同步练习及答案1.1.1 正弦定理

（人教版）精品数学教学资料1.1.1 正弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，10a =，60B =o ，45C =o ，则c =( )A ．103+B ．10(31)-C ．10(31)+D ．103 2.在ABC ∆中，下列关系式中一定成立的是（）A ．sin a b A >B ．sin a b A =C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥3. 在ABC ∆中，已知60A =o ，13a =，则sin sin sin a b c A B C++=++ （） A ．833 B ．2393 C ．2633D ．23 4. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则此三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中，已知4AB =u u u u r ，1AC =u u u u r ，3ABC S ∆=，则AB AC u u u r u u u r g 的值为（）A ．2-B ．2C ．4±D ．2±6. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且4a =，5b c +=， tan tan 33tan tan B C B C ++=g ，则ABC ∆的面积为（）A ．34B ．33C ．334D ．34二、填空题7．在ABC ∆中，若1b =，3c =，C ＝2π3，则a =________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．三、解答题9．根据下列条件，解ABC ∆.（1）已知4b =，8c =，30B =o ，解此三角形；（2）已知45B =o ，75C =o ，2b =，解此三角形.10. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，若2a =，4C π=，25cos 25B =，求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C二、填空题7．1 8. 1三、解答题9. 解：（1）由正弦定理得sin 8sin 30sin 14c B C b ===o由c b >知30150C <<o o ，得90C =o 从而60A =o ，2243a c b =-=（2）由180+=A B C +o 得60A =o ∵sin sin a b A B= ∴sin 2sin 606sin sin 45b A a B ===o o 同理sin 2sin 7531sin sin 45b Cc B ===+oo 10. 解：由2cos 2cos 12B B =-知43cos 2155B =⨯-= 又0B π<<，得24sin 1cos 5B B =-= sin sin[()]sin()A BC B C π∴=-+=+ 72sin cos cos sin 10B C B C =+=在ABC ∆中，由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.。

人教版高中数学必修5测试题及答案全套05723

第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理I 学习目标1掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形2 •会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形 .n 基础训练题一、选择题在厶ABC 中，若BC = .2 , AC = 2, B = 45°，则角 A 等于(10. 在△ ABC 中，若 tanA = 2, B = 45°, BC = %;5，贝U AC = ____________ .三、解答题11. 在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若a = 2, b = 4, C = 60°，试解△ ABC. 12. 在△ ABC 中，已知 AB = 3, BC = 4, AC = .13 .(1)求角B 的大小；⑵若D 是BC 的中点，求中线 AD 的长.13. 如图，△ OAB 的顶点为 0(0, 0), A(5, 2)和B(— 9, 8),求角 A 的大小.(A)60(B)30 °(C)60 或 120°2. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是a ,,c , 若 a(D)30。

或 150 °1=2, b = 3, cosC= ---------- ，贝V c 等于( --------------------------------- ) (A)23. 在厶ABC 中, (A)；(B)3已知 cosB - ,sinC 5(B)53(C)42AC= 2,3-I?(D)5那么边AB 等于()12 (D) —54. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知B = 30°, c = 150, b = 50 i 3，那么这个三角形5. 是() (A)等边三角形 (C)直角三角形在厶ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是a , b , c ,(B)等腰三角形(D)等腰三角形或直角三角形如果 A : B : C = 1 : 2 : 3,那么a : b : c 等于(6. 7. 8. 9. (A)1 : 2 : 3 、填空题在厶ABC 中, 在厶ABC 中, 在厶ABC 中, 角形•在厶ABC 中, 三个内角三个内角三个内角三个内角 (B)1 :A , A , A , (C)1 : 4 : 9(D)1 : 一 2C 的对边分别是 C 的对边分别是 C 的对边分别是 C 的对边分别是 a , a , a , a , b , b , b , b , c , c ,c , c , a = 2, B = 45°, a = 2, b = 2 3C = 75°，贝V b = c =4，贝U A =若 2cosBcosC = 1 — cosA ，则△ ABC 形状是若 a = 3, b = 4, B = 60°，贝V c =、选择题1.在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是a , b , c ,若 b 2+ c 2— a 2= be ,则角 A 等于( )nn2 n 5 n(A)-(B) —(C) —(D) —63362. 在△ ABC 中，给出下列关系式：A BC①sin(A + B)= sinC ②cos(A + B)= cosC ③ sin^~B cosC2 2其中正确的个数是( )、填空题6. _____________________________________________________________________________________________ 在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若a = V 2 , b = 2, B = 45°，则角 A= __________________ .7. ___________________________________________________________________________________________ 在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若a = 2, b = 3, c = 7T9，则角C= _____________________ .3&在厶ABC 中，三个内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ,若b = 3, c = 4, cosA = — ,则此三角形的面积为 ____________59. 已知△ ABC 的顶点 A(1, 0), B(0 , 2) , C(4 , 4),则 cosA = ________ .10. ________________________________________________________________________________________________ 已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 满足2B = A + C ,且AB = 1, BC = 4,那么边 BC 上的中线 AD 的长为 ________________14 .在△ ABC 中，已知 2cos(A + B) = 1.(1)求角C 的度数； ⑵求AB 的长； (3)求厶ABC 的面积.测试二解三角形全章综合练习I 基础训练题(A)0(B)1(C)23. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是a ,b p .,c.右(D)323a = 3, sinA = , sin(A + C)=，贝Vb 等于()3 4(A)4(B)8(C)6(用84. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是a ,,c ,右 a = 3, b = 4,2sinC =-，则此三角形的面积是(5. (A)8在厶ABC 中，此三角形的形状是( 三个内角 (B)6 A ,B , )(C)4C 的对边分别是 a , b , c , 若 (a + b + c)(b + c — a) = 3bc ,且 sinA = 2sinBcosC ，则(D)3(A)直角三角形(B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形(D)等腰直角三角形=0的两根， BC = a , AC = b三、解答题11. 在△ ABC 中，a , b , c 分别是角A , B , C 的对边，且a= 3 , b= 4 , C= 60 ° .⑴求c;(2)求 sinB.12. 设向量 a , b 满足 a • b = 3, |a|= 3, |b|= 2.(1) 求〈a , b 〉； (2) 求 |a - b|.13. 设△ OAB 的顶点为 0(0, 0), A(5, 2)和 B(- 9, 8)，若 BD 丄 OA 于 D.(1) 求高线BD 的长； (2) 求厶OAB 的面积.14. 在△ ABC 中，若 sin 2A + sin 2B >sin 2C ,求证：C 为锐角.15. 如图，两条直路 OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为 60°，甲、乙两人分别在 OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |= 3km , | OB |= 1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿 XO 方向，乙沿OY 方向. 问：⑴经过t 小时后，两人距离是多少俵示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？(1)求角B 的值;⑵若b = ■ 13 , a + c = 4,求厶ABC 的面积.(提示：利用正弦定理 a b csin A sin B sinC2R ，其中RABC 外接圆半径)n 拓展训练题16.在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，且cosB cosCb 2a c3第二章数列测试三数列 I 学习目标1•了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数2 •理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项3•了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项 n 基础训练题一、选择题 1.数列｛a n ｝的前四项依次是：4, 44, 444, 4444,…则数列｛a n ｝的通项公式可以是()(A) a n = 4n(B)a n = 4n 4 (C) a n = (10n — 1)(D)a n = 4 x 11n92.在有一定规律的数列0, 3, 8, 15, 24, x , 48,63,……中，x 的值是( )10. ____________________________________________________________ 数列｛a n ｝的通项公式为a n = 2n 2— 15n + 3,则它的最小项是第 ___________________________________________________ 项.三、解答题11. 已知数列｛a n ｝的通项公式为a n = 14— 3n.(1) 写出数列｛a n ｝的前6项； (2) 当n 》5时，证明a n V 0. 12 .在数列｛a n ｝中，已知a n =1 它的前五项依次是 _________ ,2 0. 98是其中的第 _________ 项.在数列｛a n ｝中，a 1 = 2, a n +1 = 3a n + 1,贝U a 4 =(A)30 (B)35 (C)36 3.数列｛a n ｝满足：a 1= 1, a n = a n —1 + 3n , 则a 4等于( )(A)4 (B)13 (C)28 4. 156是下列哪个数列中的一项 ( )(A){ n 1 2+ 1} (B){ n 2— 1} (C){ n 2 + n}5. 若数列｛a n ｝的通项公式为a n 5 3n , 则数列｛ a n ｝是( )(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 ― 、填空题6. (D)42 (D)43(D){ n 2+ n — 1}(D)以上都不对7. 数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式: 2 12 1 (1) 1,—, , , , , a n3 2 5 3 (2) 0, 1 , 0, 1, 0,… 一个数列的通项公式是a n = ______2na n =2~A .n 2 18. a n + 19.数列｛a n ｝的通项公式为a n (2n 1) (n € N *)，贝U a 3=(1) 写出a10, a n+1, a n2 ；2(2) 79 —是否是此数列中的项？若是，是第几项?113.已知函数 f(x) x ，设 a n = f(n)(n € N + ). x(1) 写出数列｛a n ｝的前4项；(2) 数列｛ a n ｝是递增数列还是递减数列？为什么?测试四等差数列 I 学习目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题 .2.掌握等差数列的前 n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系n 基础训练题一、选择题6. ____________________________________________ 在等差数列｛a n ｝中，a 2与a 6的等差中项是 .7. _______________________________________________________________ 在等差数列｛a n ｝中，已知 a 1 + a 2= 5, a 3 + a 4 = 9,那么 a 5 + a 6 = ____________________________________________________ . &设等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ,若S 17 = 102,则a 9= ______________ .9. _____________________________________________________________ 如果一个数列的前 n 项和S n = 3n 2 + 2n ，那么它的第n 项a “= _______________________________________________________ . 10. 在数列｛a n ｝中，若 a 1= 1, a 2= 2, a n +2 — a n = 1 + (— 1)n (n € N *)，设｛ a n ｝的前 n 项和是 S n ,贝U S 10= _______ 三、解答题11. 已知数列｛a n ｝是等差数列，其前 n 项和为S n , a 3= 7, S 4= 24.求数列｛a n ｝的通项公式 12. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知a 10= 30, a 20 = 50.(1) 求通项a n ； (2) 若 S n = 242，求 n.13. 数列｛a n ｝是等差数列，且 a 1= 50, d =— 0. 6.(1) 从第几项开始a n V 0 ；(2) 写出数列的前n 项和公式S n ,并求S n 的最大值.川拓展训练题14. 记数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,若 3a n +1= 3a n + 2(n € N *), a 1 + a 3 + a 5+・・・+ a 99= 90,求 S 100.1. 2. 3. 数列｛a n ｝满足：a 1 = 3, (A)98 数列｛a n ｝是首项a 1= 1, (A)667 在等差数列｛a n ｝中，若(A)15 a n +1 = a n — 2，贝V a 1oo 等于()(B) — 195 (C) — 201公差d = 3的等差数列，如果 a n = 2008,(B)668 (C)669a 7 + a 9= 16, a 4= 1，贝U a 12 的值是((B)30(D)—198 那么n 等于((D)670 (D)64 4. 在a 和b(a ^ b)之间插入n 个数，使它们与 b a (A)-n 设数列｛a n ｝是等差数列，且 (A)S 4V S 55. b a (B)—7 n1 a 2=— 6,(B)S 4= S 5(C)31 a , b 组成等差数列，则该数列的公差为b a b a (C) (D)- n 1 n 2 a 8= 6, S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，则( (C)S 6V S 5 (D)S 6= S测试五等比数列I 学习目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题2 •掌握等比数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3•能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系n 基础训练题一、选择题1.数列｛a n｝满足：a1 = 3, a n+1= 2a n,贝U a4等」()(A)8(B)24(C)48(D)542 . 在各项都为正数的等比数列｛a n｝中，,首项a1 = 3, 前三项和为21,贝U a3+ a4 + a5 等于((A)33(B)72(C)84(D)1893.在等比数列｛a n｝中，如果a6= 6, a9= 9,那么a3等于（）(A)4(B)-(C)16(D)3294.在等比数列｛a n｝中，若a2= 9, a5= ：243,则｛a n｝的前四项和为（)(A)81(B)120(C)168(D)1925 .若数列｛a n｝满足a n= a1q n—1(q> 1), 给出以下四个结论：①｛a n｝是等比数列；②｛a n｝可能是等差数列也可能是等比数列；③｛a n｝是递增数列；④｛a n｝可能是递减数列.其中正确的结论是（)（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④二、填空题6. __________________________________________________________________ 在等比数列｛a n｝中,a i, a io是方程3x2 + 7x—9= 0的两根，则a4a7=_________________________________________________7. ______________________________________________________________ 在等比数列｛a n｝中，已知a i + a2= 3, a3 + a4 = 6,那么a5 + a6 = ___________________________________________________ .1 山&在等比数列｛a n｝中，若a5= 9, q =一，则｛a n｝的前5项和为_____________ .29. 在8和岂之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________3 210. ________________________________________________________________________________ 设等比数列｛a n｝的公比为q，前n项和为S n,若3+1, S n, 3+2成等差数列，则q = ___________________________________三、解答题11. 已知数列｛a n｝是等比数列，a2= 6, a5= 162.设数列｛a n｝的前n项和为S n.（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）若S n= 242，求n.12. 在等比数列｛a n｝中，若a2a6= 36, a3 + a5= 15,求公比q.13. 已知实数a, b, c成等差数列，a+ 1, b+ 1, c+ 4成等比数列，且a+ b + c= 15，求a, b, c.川拓展训练题14. 在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q,每列上的数从上到1 5下都成等差数列.a j表示位于第i行第j列的数，其中a24= , a42 = 1, a54 = .(1) 求q 的值； (2) 求a j 的计算公式. 测试六数列求和 I 学习目标1•会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和 2•会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和 n 基础训练题1. 、选择题已知等比数列的公比为 (A)152. 若数列｛a n ｝是公差为3. (A)60数列｛a n ｝的通项公式(A)100 2,且前4项的和为 (B)17 1 丄的等差数列，它的前 2(B)72.5 a n = (— 1)n 1 (B)—100 1,那么前8项的和等于() (C)19(D)21 100 项和为 145，贝U a i + a 3+ a 5+- + (C)85 (D)120 • 2n(n € N *)，设其前n 项和为S n ,则S 100等于( (D) — 200 (C)200 4.数列(2n 1)(2 n 1)的前n 项和为(a 99的值为(n(A)k2n (B)- 2n 1设数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1= 1, (A)7000 一、填空题 2n(计5. (B)7250(C) 4n 2 a 2 = 2,且 a n +2= a n + 3(n = 1, 2, 3，…)，贝V S 100等于((C)7500 (D)149506. 1 、2 17. 数列｛n + 丄｝的前n 项和为2n2 2 2 a ? + a ； +…+a 2 9. 设 n € N *, a € R , 则 1 + a + a 2+…+ a n = 1 1 1 1 10 .1 2 3 — n n = 2 4 8 2n 数列｛a n ｝满足：a 1= 1, a n +1 = 2a n ，则 8. 三、解答题 11 .在数列｛a n ｝中，a 1 = 11, a n +1= a n + 2(n € N *)，求数列｛| a n |｝的前 n 项和 S n . 12.已知函数 f(x)= a 1x + a 2x 2+ a 3x 3+…+ a n x n (n € N *, x € R),且对一切正整数 n 都有 f(1) = n 2成立.(1)求数列｛a n ｝的通项a n ；1a n a n 11113.在数列｛a n ｝中，a i = 1,当n 》2时，a n = 12 4川拓展训练题14. 已知数列｛ a n ｝是等差数列，且 a 1 = 2, a 1+ a 2 + a 3= 12.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵令b n = a n x n (x € R)，求数列｛b n ｝的前n 项和公式.测试七数列综合问题I 基础训练题、选择题(A)0二、填空题(B) — 3(C) 3、3(D )y1丄a n ,n 为偶数6.设数列｛a n ｝的首项a 1 =1且an 12 1 贝U a 2=, a 3=4a n ,n 为奇数47.已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前20项和等于150,那么a 2 + a 4 + a 6+・・・+ a 20= __________ . &某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由________ 个.9. _______________________________________________________ 在数列｛a n ｝中，a 1 = 2, a n +1 = a n + 3n(n € N )，贝V a n = __________________________________________________ .10. 在数列｛a n ｝和｛b n ｝中，a 1= 2,且对任意正整数 n 等式3a n +1— a n = 0成立，若b n 是a n 与a n +1的等差中项，则｛b n ｝的前n 项和为 ___________ . 三、解答题11. 数列｛a n ｝的前n 项和记为 S n ,已知a n = 5S — 3( n € N *).(1)求 a 1, a 2, a 3；，求数列的前 n 项和S n .1.等差数列｛a n ｝中, a 1= 1,公差d 丰0,如果a 1, a 2, a 5成等比数列，那么d 等于( (A)3 (B)2 (C) - 2 (D)2 或一22.等比数列｛a n ｝中, a n >0,且 a 2a 4+ 2a 3a 5 + a 4a 6= 25,贝U a 3 + a 5等于((A)5(B)10(C)15 3.如果a 1, a 2, a 3,…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差(D)20 d 丰0,则((A) a 1a 8> a 4a 5 (B) a 1a 8V a 4a 5 (C)a 1 + a 8> a 4 + a 5(D) a 1a 8 = a 4a 54.一给定函数y = f(x)的图象在下列图中，并且对任意a 1 € (0, 1)，由关系式 a n (n € N *)，则该函数的图象是()a n + 1= f(a n )得到的数列｛a n ｝满足a n + 1>1个繁殖成⑵求数列｛a n｝的通项公式；(3) 求 a i + a 3+・・・+ a 2n -1的禾口 .2 2 *12. 已知函数 f(x)= r (x >0),设 a i = 1, a * i • f(a n ) = 2(n € N )，求数列｛a n ｝的通项公式.x 413. 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为 3,已知a 3= 12, S 12>0, S 13V 0.(1) 求公差d 的范围；(2) 指出S 1，S 2,…，S 12中哪个值最大，并说明理由.川拓展训练题14. 甲、乙两物体分别从相距 70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ,以后每分钟比前 1分钟多走1m ,乙每分钟走5m.(1) 甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2) 如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1分钟多走1m ,乙继续每分钟走 5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15. 在数列｛a n ｝中，若a 1, a 2是正整数，且a n = |a n -1 — a n -2|, n = 3, 4, 5，…则称｛a n ｝为"绝对差数列”(1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；(2) 若“绝对差数列” ｛a n ｝中，a 1= 3, a 2= 0,试求出通项a n ； (3) *证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项测试八数列全章综合练习I 基础训练题、选择题5. 若｛a n ｝是等差数列，首项a 1> 0, a 2007 + a 2008> 0, a 2007 • a 2008V 0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数6. _______________________________________________________________ 已知等比数列｛a n ｝中，a 3 = 3, a 10= 384,则该数列的通项 a n = _____________________________________________________ .7. _________________________________________________________________________________ 等差数列｛a n ｝中，a 1+ a 2+ a 3= — 24, a 18+ a 19+ a 20= 78,则此数列前 20项和 S 20= __________________________________ &数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,若S n =『一 3n + 1 ,贝V a n = _____________ . 9. 等差数列｛a n ｝中，公差0，且a 1, a 3, a 9成等比数列，则10. ______________________________________________________________________________________________ 设数列｛a n ｝是首项为1的正数数列，且(n + 1)a ：1 — na ： + a n + 1a n = 0(n € N *)，则它的通项公式 a n = ___________________ 三、解答题(A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2.在50和350间所有末位数是1的整数和( )(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877 3.右 a , b , c 成等比数列，则函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与x 轴的交点个数为((A)0 (B)1(C)2 (D)不能确定 4.在等差数列｛a n ｝中，如果前5项的和为 S s = 20,那么a 3等于( )1 .在等差数列｛a n ｝中，已知a 1 + a 2= 4, a 3 + a 4 = 12,那么a 5 + a 6等于() )(A) — 2 (B)2(C) — 4(D)4 (A)4012 、填空题(B)4013 (C)4014 (D)4015 a 3 a 6a 9a 4 a 7 a1011. 设等差数列｛ a n｝的前n项和为S n,且a3+ a7 —a10 = 8, an —a4= 4，求S13.12. 已知数列｛ a n｝中，a1 = 1,点(a n, a n+1+ 1)(n€ N*)在函数f(x) = 2x+ 1 的图象上.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵求数列｛a n｝的前n项和S n；(3) 设c n= S n,求数列｛c n｝的前n项和T n.13. 已知数列｛a n｝的前n项和S n满足条件S n= 3a n + 2.(1) 求证：数列｛a n｝成等比数列；(2) 求通项公式a n.14 .某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2) 该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3) 若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？n 拓展训练题(1)求a n；2 2 2 一一" 亠im …⑵设b n= a n 1+ a n 2+…+ a2n 1，是否存在最小正整数m,使对任意n€ N*有b n v 成立？若存在，求出m25的值，若不存在，请说明理由.16•已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q,记作Q= f(P).设P1(X1, y1), P2= f(P1) , P3= f(P2),…，P n= f(P n-1),….如果存在一个圆，使所有的点P n(x n, y n)(n € N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n(x n, y n)的一个收敛圆•特别地，当P1= f(P1)时，则称点P1为映射f 下的不动点•1若点P(x, y)在映射f下的象为点Q( —x + 1, y).2(1)求映射f下不动点的坐标；⑵若P1的坐标为(2, 2)，求证：点P n(x n, y n)(n € N*)存在一个半径为2的收敛圆.第三章不等式测试九不等式的概念与性质I 学习目标1•了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小2 •理解不等式的基本性质及其证明.n 基础训练题一、选择题1 . 设a, b, c€ R,则下列命题为真命题的是()(A)a> b a—c> b—c(B) a > b ac> bc(C)a> b a2> b2(D)a > b ac2> bc215.已知函数f(x) =1 、，—2(x v —2)，数列｛a n｝满足a1 = 1, a n = f(—一x 41an 1)(n € N*).2 . 若—1 v v v 1,贝U -- 的取值范围是()(A)( —2, 2)(B)( —2,—1)(C)( —1, 0)(D)( —2, 0)3 . 设a>2, b>2,贝U ab与a+ b的大小关系是( )(A) ab> a+ b(B) ab v a + b(C)ab= a + b(D)不能确定4 . 使不等式 1 1 a > b和丄a b同时成立的条件是()(A)a> b> 0(B)a> 0 > b(C)b > a> 0(D)b> 0 > a5 . 设1v x v 10,则下列不等关系正确的是()(A)ig 2x>lgx2> ig(lgx) (B)lg 2x> lg(lg x)> igx2 (C)ig x2> lg2x> Ig(lgx) (D)lg x2> lg(lgx) > lg2x二、填空题6. 已知a v b v 0, c v 0，在下列空白处填上适当不等号或等号：c c(1)(a—2)c _______ (b —2)c; (2) —_______ - ；(3)b—a ______ ⑻一|b|.a b7. _____________________________________________________________ 已知a v 0, —1v b v 0,那么a、ab、ab2按从小到大排列为 ________________________________________________________ .a&已知60v a v 84, 28v b v 33,则a—b的取值范围是；一的取值范围是 _________ .ba b9. 已知a, b, c€ R，给出四个论断：①a>b;②ac2>be2;③二④a—c>b — c.以其中一个论断作条件，另c c一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是 ____________ __________ ; ________ ___________ .(在“ ”的两侧填上论断序号).310. 设a>0, 0v b v 1，贝y P= J 2与Q ^，-(a 1)(a 2)的大小关系是.三、解答题11. 若a>b>0, m>0，判断b与b―m的大小关系并加以证明.a a m12 .设a>0, b> 0,且a丰 b, p a , q a b .证明：p> q.b a注：解题时可参考公式x3+ y3= (x+ y)(x2—xy+ y2).川拓展训练题13 .已知a> 0，且1,设M = log a(a3— a +1), N = log a(a2—a+ 1).求证：M > N.2214.在等比数列｛a n ｝和等差数列｛b n ｝中,a i = b i >0, a 3= b 3>0, a i ^a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 I 均值不等式学习目标 1. 了解基本不等式的证明过程 . 2. 会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题. 基础训练题 i . 、选择题已知正数a , (A)有最小值 b 满足 a + b = 1,贝U ab( 1 1(B)有最小值— 421 (C)有最大值- (D)有最大值2. 若 a >0, b >0,且b ,则( )(A)兮 ab ,0^ a 2 b 223. 4. (C) .ab a 2 b 2 a b 2~T~(D) a 2 b 2 ab若矩形的面积为 a 2(a > 0)，则其周长的最小值为( (A) a (B)2 a (C)3 a 设a , b € R ，且2a + b - 2= 0，贝U 4a + 2b 的最小值是 (D)4a(A) 2、2 (B)4 (C) 4 ： 2 (D)8如果正数a , b , (A) ab < c + d , (B) ab > c + d , (C) ab w c + d , (D) ab > c +d , 一、填空题 5. c , d 满足 a + b = cd = 4，那么( 且等号成立时且等号成立时且等号成立时且等号成立时a , a , a , a ,b , b , b , b ,c , c , c , c , )d 的取值唯一 d 的取值唯一 d 的取值不唯一 d 的取值不唯一 6. 9若x > 0，则变量x -的最小值是 x;取到最小值时, x =7. 函数 4xy=— x-(x > 0)的最大值是 1 ;取到最大值时, 8. 已知 16 -- 的最大值是a 3 f(x) = 2log 2(x + 2) - log 2x 的最小值是av 0，贝U a 9. 10. 已知a , b , c € R , a + b + c = 3,且a , b , c 成等比数列，则 b 的取值范围是三、解答题函数 11.四个互不相等的正数 a , b , c , d 成等比数列，判断和bc 的大小关系并加以证明 2t 11 1的大小.1 12 .已知 a > 0,1, t > 0,试比较一 log a t 与 log a拓展训练题13.若正数x , y 满足x + y = 1,且不等式 x . ya 恒成立，求a 的取值范围.a14. (1)用函数单调性的定义讨论函数f(x) = x +(a >0)在(0,+s )上的单调性;xa(2)设函数f(x)= x +(a > 0)在(0, 2］上的最小值为g(a),求g(a)的解析式.x测试十一一元二次不等式及其解法I 学习目标1. 通过函数图象理解2.会解简单的一元二次不等式 .一、选择题 1.不等式5x + 4>-x 2的解集是()(A){ x|x >- 1,或 x v — 4}(C){ x|x >4,或 x v 1}2 .不等式一x 2 + x — 2 > 0的解集是()(A){ x|x > 1,或 x v — 2} (C)R3. 不等式x 2 > a 2(a v 0)的解集为()(A){ x|x >± a}(C){ x|x >— a ,或 x v a }14. 已知不等式ax 2 + bx + c > 0的解集为{x| -3 1(A){ x| — 3 v x v }2 1、(C){x — 2v x v — }35. 若函数y = px 2— px — 1(p € R)的图象永远在(A)( —R, 0) (B)( — 4, 0]二、填空题6. ___________________________________ 不等式x 2 + x — 12v 0的解集是 .7 .不等式竺丄0的解集是 _______________ .2x 5元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系n 基础训练题 (B){ x|— 4v x v — 1} (D){ x|1 v x v 4}(B){ x|— 2 v x v 1}(D)(B){ x|— a v x v a } (D){ x|x >a , 或 x v — a}x 2}，则不等式cx 2 + bx + a v 0的解集是()1(B){ x|x v — 3，或 x >}2 1 (D){ x|x v — 2, 或 x >} 3x 轴的下方，则p 的取值范围是( )(C)( —^,— 4)(D)[ — 4, 0)12. k 在什么范围内取值时，方程组2x3xy 2x 0有两组不同的实数解?4y k 08不等式|x2—1|v 1的解集是____________ .9. ___________________________________ 不等式0v x2—3x v 4的解集是.1 110. 已知关于x的不等式x2—(a+—)x+ 1v 0的解集为非空集合｛x|a v x v—｝，则实数a的取值范围是a a三、解答题11 .求不等式x2—2ax—3a2v 0(a € R)的解集.川拓展训练题13. 已知全集U = R，集合A={x|x2—x—6v0} , B={X|X2+2X— 8>0}, C = {x|x2—4ax+ 3a2v0}.(1) 求实数a的取值范围，使C (A n B);(2) 求实数a的取值范围，使C (.u A) n QuB).14. 设a € R，解关于x的不等式ax2—2x+ 1 v 0.测试十二不等式的实际应用I 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题n 基础训练题一、选择题11•函数、——的定义域是()V4 x(A){ x| —2 v x v 2} (B){ x|—2 < x< 2}(C){ x|x>2,或x v —2} (D){ x|x>2,或x<—2}2. 某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p= 300 —2X,生产x件的成本r = 500 +30x(元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x满足()(A)55 < x w 60 (B)60 < x< 65(C)65 w x< 70 (D)70 w x w 753. 国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r元，则每年产销量减少10r万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r的取值范围为()(A)2 w r w 10 (B)8 w r w 10(C)2 w r w 8 (D)0 w r w 84. 若关于x的不等式(1 + k2)x w k4+ 4的解集是M，则对任意实常数k,总有()(A)2 € M, 0€M (B)2 M, 0 M(C)2 € M, 0 M (D)2 M, 0 €M二、填空题5•已知矩形的周长为36cm，则其面积的最大值为 ________ .6. _____________________________________________________________ 不等式2x2+ ax + 2> 0的解集是R，则实数a 的取值范围是________________________________________________________ .7. _____________________________________________________ 已知函数f(x) = x|x —2|,则不等式f(x) v 3的解集为. &若不等式|x+ 1|> kx对任意x€ R均成立，则k的取值范围是_____________ .三、解答题9•若直角三角形的周长为2,求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状10. 汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲=0. 1x+ 0. 01x2, s乙=0. 05x+ 0. 005x2.问交通事故的主要责任方是谁？川拓展训练题11. 当x€ [ —1, 3]时，不等式一x2+ 2x + a>0恒成立，求实数a的取值范围12.某大学印一份招生广告，所用纸张（矩形）的左右两边留有宽为 4cm 的空白，上下留有都为 6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题I 学习目标1•了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组2•会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 n 基础训练题一、选择题1.已知点 A(2, 0), B( — 1, 3)及直线1:x — 2y = 0,那么()（A ） A , B 都在l 上方(B)A , B 都在 1 下方（C ）A 在1上方，B 在1下方（D ）A 在1下方，B 在1上方 x 0,2.在平面直角坐标系中，不等式组y 0,所表示的平面区域的面积为（x y 2(A)1 (B)2(C)3(D)43.三条直线y = x , y = — x , y = 2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）y x, y x,yx,y x, (A) y x,(B) y x,(C) yx, (D) y xy 2.y 2.y2.y 2.x y 50,4.若 x , y 满足约束条件 x y 0,则 z = 2x + 4y 的最小值是（)x 3,(A) —6(B) — 10(C)5(D)10 5.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为 60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）（A ）5 种（B ）6 种（C ）7 种（D ）8 种二、填空题7.若不等式|2x + y + m|v 3表示的平面区域包含原点和点（一1,1），则m 的取值范围是x 1,&已知点P （x , y ）的坐标满足条件y 3, 那么z = x — y 的取值范围是 ________ .3x y 3 0,x 6.在平面直角坐标系中，不等式组y0所表示的平面区域内的点位于第 ——象限.x 1,9.已知点P（x, y）的坐标满足条件y 2, 那么丄的取值范围是__________x2x y 2 0,10•方程|x|+ |y|w 1所确定的曲线围成封闭图形的面积是____________ .三、解答题11. 画出下列不等式（组）表示的平面区域：x 1,（1）3x+ 2y+ 6> 0 （2） y 2,x y 1 0.是每袋24kg，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元?川拓展训练题13•商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0. 5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0. 9元. 问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14. 甲、乙两个粮库要向A, B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A镇需大米70吨，B镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：（1）这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少?（2）最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少?测试十四不等式全章综合练习I基础训练题、选择题1.设a, b, c€ R, a>b,则下列不等式中一定正确的是（）(A) ac2> bc21(B) — a 1(C)a —c> b —c (D)|a|> |b| bx y 4 0,2.在平面直角坐标系中，不等式组2x y 4 0,表示的平面区域的面积是（12.某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg,价格为140元；另一种x 2— ，若对x > 0恒有xf(x) + a > 0成立，则实数a 的取值范围是( )x(A)a v 1 - 2 2 (B)a v 2 2 — 1 (C)a > 2 2 — 1 (D)a > 1 — 2 25. 设 a , b € R ，且 b(a + b +1)v 0, b(a + b — 1)v 0，则()(A)a > 1 (B)a v — 1(C) — 1 v a v 1(D)|a|> 1二、填空题a6. ______________________________________________________ 已知1v a v 3, 2v b v 4，那么2a — b 的取值范围是______________________________________________________________ ，—的取值范围是 __________ .b 7•若不等式 x 2— ax — b v 0 的解集为｛x|2v x v 3｝，贝V a + b = _______ .&已知x , y € R ，且x + 4y = 1,贝V xy 的最大值为 ____________ .l' 29•若函数f(x)= I 2x 2ax a 1的定义域为R ，则a 的取值范围为 __________________ .10•三个同学对问题“关于 x 的不等式x 2+ 25+ x 3 — 5x 2|> ax 在［1 , 12］上恒成立，求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路•甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值 .”丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图象.” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 _________ .三、解答题x 811.已知全集 U = R ,集合 A = ｛x| |x — 1|v 6｝ , B = ｛x|> 0｝.2x 1(1)求 A n B ； ⑵求C U A) U B.12.某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过 2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？n 拓展训练题a j ,,13. 已知数集 A = { a 1, a 2,…，a n }(1 <a 1 va 2<・・・va n , n 》2)具有性质 P ：对任意的i , j(1< i < n),a i a j 与 -两3. (A) 32某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场 ( )(A)50m 2(B)3(C)4(D)6.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是(B)100m 2 (C)200m 2(D)250m 24. 2X 设函数f(x) =a i数中至少有一个属于 A.(1)分别判断数集｛1 , 3, 4｝与｛1 , 2, 3, 6｝是否具有性质P,并说明理由;(2)证明：a i= 1,且91i a2i a i n a n.aj a?1a n11 1(A) (2,3)(C)( 2, 3)2 34. 设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,则下列不等式中一定成立的是()(A) a i + a3> 0 (B)a1a3> 0 (C) S1 + S3 v 0 (D) S1S3V 05. 在△ ABC中，三个内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若A : B : C= 1 : 2 : 3,贝U a : b : c等于()(A)1 : . 3 : 2 (B)1 : 2 : 3 (C)2 : 3 : 1 (D)3 : 2 : 16. 已知等差数列｛a n｝的前20项和S20= 340,则a6+ a9 + an+ a16等于()(A)31 (B)34 (C)68 (D)707. 已知正数x、y满足x+ y= 4，贝U log2x+ log2y的最大值是()(A) - 4 (B)4 (C) - 2 (D)2&如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区起点A的距离为0. 08 km ,距测速区终点B的距离为0. 05 km，且/ APB = 60° .现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s,则此车的速度介(A)60 〜70km/h (B)70 〜80km/h(C)80 〜90km/h (D)90 〜100km/h二、填空题9._________________________________ 不等式x(x- 1)v 2的解集为.10 .在△ ABC中，三个内角A, B, C成等差数列，则cos(A+ C)的值为_____________ .、选择题测试十五必修5模块自我检测题1函数y x24的定义域是()(A)( - 2, 2) (B)((C)[ - 2, 2] (D)( -R,2.设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()2) U (2,+^ )2] U [2 ,+^ )a(A) a-b v 0 (B)0 v v 1b(C) 一ab va b2x 1,3.设不等式组y 0,所表示的平面区域是x y 0(D) ab> a + bW,则下列各点中，在区域W内的点是(311.______________________________________________________________________ 已知｛a n｝是公差为一2的等差数列，其前5项的和S5= 0,那么a1等于_____________________________________________2 …12. 在△ ABC 中，BC= 1,角C= 120 °, cosA = ，贝V AB= .320.⑵求证：5x 0,y 0值是 _________ .14. 如图，n 2(n 》4)个正数排成n 行n 列方阵，符号 a j (1 < i < n , 1 < j < n , i , j € N)表示位于第i 行第j 列的正数.11 已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于 q.若an = - , a 24= 1, a 32=-,24贝 y q = ______; a ij = ________ .久如…商“a21…门打II V « « V 9fl.i o ■工 % …a…三、解答题15. 已知函数 f(x)= x 2 + ax + 6.(1) 当a = 5时，解不等式f(x) v 0;(2) 若不等式f(x)> 0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 16. 已知｛a n ｝是等差数列，a 2= 5, a 5= 14.(1) 求｛a n ｝的通项公式；(2) 设｛a n ｝的前n 项和S n = 155，求n 的值.(1) 证明角C = 90°; (2) 求厶ABC 的面积.18•某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大?119.在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，且 cosA =-•3(1)求 sin 2"B C cos2A 的值；2 ⑵若a =3，求bc 的最大值.数列｛a n ｝的前n 项和是S n , (1)求数列｛a n ｝的通项公式；1 1 113.在平面直角坐标系中，不等式组2x y 4 0,所表示的平面区域的面积是________ ;变量z = x + 3y 的最大17.在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，A , B 是锐角,c = 10,且cos A cos Ba 1 = 5，且 a n = S n - 1(n = 2, 3, 4，…).20.⑵求证：5a1a2a3a n2122参考答案第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理一、选择题1. B2. C3. B4. D5. B提示：4. 由正弦定理，得sinC= f，所以C= 60°或C = 120°,当C= 60。

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人教版高中数学（理）必修5（实验班）全册同步练习及答案1.1.1 正弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则c = ( )A ．10B ．1)C ．1)D ．2.在ABC ∆中，下列关系式中一定成立的是（） A ．sin a b A > B ．sin a b A = C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥3. 在ABC ∆中，已知60A =，a =sin sin sin a b cA B C++=++ （）A ．3 B ．3．3D ．4. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则此三角形是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中，已知4AB =，1AC =，ABC S ∆=，则AB AC 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4±D ．2±6. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan tan B C B C +=，则ABC ∆的面积为（）A ．4 B ．．4 D ．34二、填空题7．在ABC ∆中，若1b =，c =C ＝2π3，则a =________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．三、解答题9．根据下列条件，解ABC ∆.（1）已知4b =，8c =，30B =，解此三角形；（2）已知45B =，75C =，2b =，解此三角形.10. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，若2a =，4C π=，cos25B =，求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C 二、填空题 7．1 8. 1三、解答题9. 解：（1）由正弦定理得sin 8sin 30sin 14c B C b === 由c b >知30150C <<，得90C =从而60A = ，a =（2）由180+=A B C + 得60A = ∵sin sin a b A B= ∴sin 2sin 606sin sin 45b A a B ===同理sin 2sin 7531sin sin 45b Cc B === 10. 解：由2cos 2cos 12B B =-知43cos 2155B =⨯-=又0B π<<，得4sin 5B ==sin sin[()]sin()A B C B C π∴=-+=+sin cos cos sin 10B C B C =+=在ABC ∆中，由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.1.1.2 余弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，已知13,34,8===c b a ，则ABC ∆的最小角为（） A ．3π B ．4π C ．4πD ．12π 2．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角A 等于（）A ．030B ．060C ．0120D ．01503．在ABC ∆中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在ABC ∆中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，并有sin 2sin cos A B C =,那么ABC ∆是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 5.在ABC ∆中，60A =，1b =，3ABC S ∆=，则sin sin sin a b cA B C++=++ （）A 83239263396．某班设计了一个八边形的班徽(如右图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 33αα-+C ．3sin 31αα+D ．2sin cos 1αα-+ 二、填空题7．在ABC ∆中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______ .8. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，若(3)cos cos b c A a C -=，则cos A = .三、解答题9．在△ABC 中，已知030,35,5===A c b ，求C B a 、、及面积S .10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知：b ＝2，c ＝4，cos A ＝34.(1)求边a 的值；(2)求cos(A －B )的值．1.1.2余弦定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.A 二、填空题 7．8.三、解答题9. 解由余弦定理，知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+=∴5=a 又∵b a =∴030==A B ∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解：(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝22＋42－2×2×4×34＝8，∴a ＝2 2.(2)∵cos A ＝34，∴sin A ＝74，a sin A ＝bsin B ，即2274＝2sin B .∴sin B ＝148.又∵b <c ，∴B 为锐角．∴cos B ＝528. ∴cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝34×528＋74×148＝11216.1.1.3 正、余弦定理的综合应用一、选择题1．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是（）A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，如果c =，30B =，那么角C等于 ( )A ．120B ．105C ．90D ．753．ABC ∆的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A ．2 B ．4 C ．8D ． 4．在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（） A ．51-B ．61-C ．71-D ．81- 5．在ABC ∆中，A ∠满足条件cm BC cm AB A A 32,2,1cos sin 3===+，ABC ∆的面积等于（）A ．3B ．CD 6．在ABC ∆中，2sin22A c b c-= (a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边)，则ABC ∆的形状为 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形二、填空题7．已知在ABC ∆中，060A =，最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根，那么BC 边长等于________.8．已知锐角ABC ∆的三边a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且222()tan b c a A +-=，则角A 的大小_________.三、解答题9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且满足(2)cos cos a c B b C -=.(1)求角B 的大小；(2)若b =，4a c +=，求ABC ∆的面积．10．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，已知1cos24C =-. (1)求sin C 的值；(2)当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．1.1.3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.C2.A3.C4.C5.C6.B 二、填空题 7．78.60三、解答题9. 解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理，得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A >0，∴2cos B ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝π3. (2)由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .将b ＝7，a ＋c ＝4，B ＝π3代入整理，得ac ＝3. ∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32sin60°＝334.10. 解：(1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，所以sin C ＝±104，又0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，且0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1.2应用举例（二）一、选择题1. 在某测量中，设A 在B 的南偏东3427'，则B 在A 的（） A.北偏西3427'B. 北偏东5533'C. 北偏西5533'D. 南偏西5533'2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为（） A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h3．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC a =，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、()βαβ>，则A 点离地面的高AB 等于（） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ． )cos(cos cos βαβα-a4.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里5. 如右图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103米至D 处，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ的值为 ( )A ．15°B ．10°C ．5°D ．20°6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°西，则这只船的速度是每小时（）A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里° 二、填空题7．我舰在敌岛A 南偏西50相距12n mile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10n mile /h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 .8．在一座20m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为___ ____.三、解答题A B 北 45°°9．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9n mile并以/h的速度航行用多20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile少小时能尽快追上乙船？10.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．1.2应用举例（二）一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.C 二、填空题 7．14nmile/h8. 20（1+3）m三、解答题9. 解：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。

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