人教版勾股定理复习课件ppt
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新人教版八年级下《勾股定理复习》超级经典课件【优质PPT】
160
80
E
100
60
60
100
如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
CD=
C
A
B
直角三角形有哪些特殊的性质
角
边
面积
直角三角形的两锐角互余。
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。
两种计算面积的方法。
符号语言：
在Rt△ABC中
a2+b2=c2
a
b
c
如何判定一个三角形是直角三角形呢？
(1)
(2)
有一个内角为直角的三角形是直角三角形
两个内角互余的三角形是直角三角形
符号语言：
5.若有两条线段分别为3，4，第三条线段为________时，才能组成一个直角三角形
5
4
3
2
1
观察下列图形，正方形1的边长为7，则 正方形2、3、4、5的面积之和为多少？
规律：
S2+S3+S4+S5=
S1
4′
3′
4
3
2′
2
1
如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从 正方形１开始，以它的一边为斜边，向外作 等腰三角形，然后再以其直角边为边，分别 向外作正方形２和２′，……依此类推，若 正方形１的边长为64，则正方形7的边长 为 。
C
A
B
a
b
c
a+b=14
c=10
a2+b2=102=100
80
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如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
CD=
C
A
B
直角三角形有哪些特殊的性质
角
边
面积
直角三角形的两锐角互余。
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。
两种计算面积的方法。
符号语言：
在Rt△ABC中
a2+b2=c2
a
b
c
如何判定一个三角形是直角三角形呢？
(1)
(2)
有一个内角为直角的三角形是直角三角形
两个内角互余的三角形是直角三角形
符号语言：
5.若有两条线段分别为3，4，第三条线段为________时，才能组成一个直角三角形
5
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3
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1
观察下列图形，正方形1的边长为7，则 正方形2、3、4、5的面积之和为多少？
规律：
S2+S3+S4+S5=
S1
4′
3′
4
3
2′
2
1
如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从 正方形１开始，以它的一边为斜边，向外作 等腰三角形，然后再以其直角边为边，分别 向外作正方形２和２′，……依此类推，若 正方形１的边长为64，则正方形7的边长 为 。
C
A
B
a
b
c
a+b=14
c=10
a2+b2=102=100
人教版勾股定理 PPT
B A
C D
勾股树
E
10
H
E
公知道DA 元道许C前和多P 应约 勾大中的载用3股约总高的0B勾0数公结低第0股组年元出差一大高载I 定，，前了．位约就在理古如勾可与2在提《0，巴3股以勾0公出周,0公欧给他比4术说股年“元髀,元几出们伦5，，定，勾前算．前里一还人用禹理大1三经13德个知就来是有禹0、》世0巨勾确世关在股年中纪著股定界的治四，．，《定两上人水、周古几理处有．的弦朝希何的水史实五数腊公 汉明原证位记践学”数元时了本明家，学2期勾》．世商记家，股中纪刘定的徽理东证．
则是“半文圆明A人，”B，，也C必的定面认积识关这系种图为形.
根据勾股定理， a2 + b2=c2，
C c
b B
aA
C
圆的面积公式c：
S=πr2
aA
,
b
得到半圆A，B，C的面积关系 B
为SA+SB=SC．
数形结合
13
从直角三角形的各边向外作正方形能否推广到从 各边向外作等边三角形（正n边形）吗？
C c aA b
后的土地时，也应规作用律出过的了勾证详股明为细定．大注理会释．会和徽证的明图．案．
11
在探索勾股定理的过程中，你有什么感悟和欣赏.
C B
A
H
D C
E
A
P
I B
c
a
b
a bc
ac b
b
c
a
cb a
GQ
F
12
如放眼图未，来以，直华角罗庚三曾角设形想各：边向为太空直发径射向一外种作图半形，圆因，为
这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果外星人
c a2 b2 12 22 5
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
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3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
勾股定理课件(共19张PPT)人教版初中数学八年级下册
1
+2·
2
ab =
即：在Rt△ABC 中，∠C=90 °
c2 = a2 + b2
1 2
c +ab
2
伽
菲
尔
德
证
法
归纳小结
“赵爽弦图”通过图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证实
了命题的正确性，命题与直角三角形的边有关，我国把它称为
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平
方和，等于斜边c的平方。
即：a2+b2 =c2
谢谢观看
哲学家、数学家、天文学家
新知探究
思考
图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系？等腰
直角三角形的三边之间有什么关系？
A
B
a
b
c
C
图17.1-2
三个正方形A、
B、C的面积有
什么关系？
新知探究
探究
等腰直角三角形有上述性质，其他
直角三角形是否也有这个性质？
C
A
B
C'
图1
A'
B'
图17.1-3
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
了解勾股定理文化背景，体验勾股定理的探究过
程。
理解不同勾股定理的证明方法，能够分析
它们的异同。
能够用勾股定理解决直角三角形的相关学习
3
和解决生活中的实际问题。
情景导入
图17.1-1
毕达哥拉斯（Pythagoras,约前
人教版八年级下册 课件 17.1 勾股定理(共46张PPT)
b c b c b cb c
a
a
a
a
勾股定理的证明方法很多，这里重点的介绍面积 证法。
勾股定理的证法（一）
∵( a+b)2=c2+4 ab a2+b2=c2
勾股定理的证法（二）
∵4× ab= c2－(b－a)2 a2+b2=c2
• 学习目标： 1．能运用勾股定理求线段的长度，并解决一些简单的实 际问题； 2．在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能 从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长．
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形， 把两个正方形如图（左）连在一起，通过剪、拼把它拼成 图（右）的样子。你能做到吗？试试看。
b
a
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
练习2 求下列直角三角形中未知边的长度．
C
A
4
x
5
A
10
C
6
B
x
B
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
通过解方程可得．
B
C
A
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
利用勾股定理解决实际问题 的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的 正确理解；
（2）建立对应的数学模型， 运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运 用．
B
C
A
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端 3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计 算树折断前的高度吗？
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
人教版勾股定理复习课件(2)
2.△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边 上的高是___2_._4__。 3.长度分别为3，4，5，12，13的五根木棒能搭成（首 尾连接）直角三角形的个数为（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
5
4.三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、
b、c，且c+a=2b，c 形状是（ A ）
–
a=
─12─
b，则三角形ABC的
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
5.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则
AC= 17 。
A
64 D
49 C
6
6. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为 h，则下列各式中总能成立的是（ D ）
A. ab=h2 B. a2 +b2 =2h2
AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
求三角形ACE的面积。
A
A
A
12-x
8
13
12
x D1 E
x
5
B
D
C
D5 C D5 C
11
12.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄， DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、 D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
直角。
2
互逆命题： 两个命题中， 如果第ห้องสมุดไป่ตู้个命题的题设是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
5
4.三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、
b、c，且c+a=2b，c 形状是（ A ）
–
a=
─12─
b，则三角形ABC的
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
5.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则
AC= 17 。
A
64 D
49 C
6
6. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为 h，则下列各式中总能成立的是（ D ）
A. ab=h2 B. a2 +b2 =2h2
AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
求三角形ACE的面积。
A
A
A
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x D1 E
x
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B
D
C
D5 C D5 C
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12.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄， DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、 D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
直角。
2
互逆命题： 两个命题中， 如果第ห้องสมุดไป่ตู้个命题的题设是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
C C. 49 D. 148
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
第十七章 勾股定理 章末复习 课件(共23张PPT) 2024-2025学年人教版八年级数学下册
巩固练习
1.如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B点，请你算一算梯子最短需多少米？ （ 已知油罐 的底面周长是12米，高是5米）.
解：如图，将油罐侧面展开，
此时AB= 122 52 =13(m).
2.如图，已知在△ABC中，AB=17 ， AC=10 ， BC边上的高AD=8， 求：(1)BC边的长；(2)△ABC的面积.
A
思考：如何判定一个三角形是直角三角形呢？
1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形.
2.两个内角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形.
A
勾股定理的逆定理
c
几何语言：∵a2+b2=c2， b
∴△ABC是直角三角形.
C
a
B
典型例题
S阴影=S△CAD-S△ABC
=
1 2
AC·AD-
1 2
AB·BC
=24
互逆命题
勾股定理
题设：一个三角形 是直角三角形.
勾股定理 的逆定理
题设：一个三角形 的三边长a，b，c
满足a2+b2=c2.
结论：两条直角边的平 方和等于斜边的平方.
(a2+b2=c2)
结论：这个三角形 是直角三角形.
若两个命题的题设、结论正好相反，则这两个命题叫 做互逆命题.
知识框图 勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角形的判定
复习回顾
回顾思考：
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系? 2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法? 3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三 角形? 你作判断的依据是什么? 4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法? 5.一个命题成立，它的逆命题未必成立. 请举例说明.
第17章勾股定理复习-人教版八年级数学下册课件
度为 ( )
A.5
B.6
C.7
D.25
3.在△ABC中,∠B=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边.
(1)如果a=5,c=12,那么b=
;
(2)如果b=61,a=60,那么c=
.
4、如图所示，图中所有三角形是直角三角形，所有
四边形是正方形，s1=9，s3=144，s4=169 ，则 S1
二、勾股定理的逆定理
∴S△AFC= AF•BC=10．
1.勾股定理的逆定理
A
直角三角形两直角边的平方和等于
(2)如果b=61,a=60,那么c=
.
都是数形结合思想的体现。
如果三角形的三边长a，b，c满足
b
c
判断某三角形是否为直角三角形（3种）
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得 证明与平方有关的问题3.
第十七章 勾股定理
章末复习
知识框图
勾股定理 互逆定理 勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角 形的判定
要点梳理
一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方。
B
符号表达： 在Rt△ABC中
c
a
a2+b2=c2
h
面积
S△ABC=
1 2
ab =
1 2
ch
A
b
C
直角三角形的两锐角互余。 符号表达：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90º.
2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、 2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
八年级数学下册课件(人教版)勾股定理
5 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C ′拼在一起，其 中点A′与点A重合，点C ′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B ′ ＝90°，AC＝BC＝3，则B′C 的长为( A )
A．3 3 B．6 C．3 2 D. 21
知识点 2 勾股定理与面积的关系
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们 剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个
17.1 勾股定理
第1课时
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们， 我们也来观察下面的图案， 看看你能发现什么？
A、B、C 的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
知识点 1 勾股定理
正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
C A
B
图2-1
C A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
分“割”成若干个 直角边为整数的三角形
S正方形c
= 4 133 2
=18(单位面积)
C A
B
图2-1
C A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
(2)在图2-2中，正方形A，B， C 中各含有多少个小方格？
A．3 B．4 C．5 D．7
4 如图，已知△ABC 为直角三角形，分别以直角边AC，BC 为直径 作半圆AmC 和BnC，以AB 为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴 影部分的面积之和为S1，△ABC 的面积为S2，则S1与S2的大小关
七年级数学上册 第十八章 勾股定理复习课件 新人教版(共10张PPT)
现旗杆上的绳子垂到地面还多2米； 又向西走了3km，再向北走9km，最后向东一拐，仅走1km就找到了出口B．你能帮他们计算出出口点B与入口点A的直线距离有多远吗？
(如直图角所三示角，形圆边柱长形计玻算璃) 容器的高为18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点A处有一小蚂蚁，它在与自己相对的圆柱形容器的上 如口图外是 侧一距个开机口器1c零m的件点示B意处图发，现∠一AC点D点=9食0°物是碎这屑种．零请件问合：格蚂的蚁一爬项到指食标物．处现的测最得近A路B＝线4是cm多，长B？C＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm， ∠一A长B方C=形90水°．池根的据长这、些宽条、件高，分能别否为知12道dm∠、AC4Ddm等、于39d0m°？，池中有一满池水．小亮把长度为14dm的金属棒放入水中，能否被完全淹没？说说
5.一长方形水池的长、宽、高分别 你的理由．
小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米； 如果一个命题成立,它的逆命题一定成立吗?请举例说明.
为12dm、4dm、3dm，池中有一满池 如图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，
第十八章 勾股定理 (复习课)
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长ห้องสมุดไป่ตู้算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
回顾与思考
1.直角三角形三边的长有什么关系?找一 个实际问题并用勾股定理解决.
2.已知一个三角形的三边,你能判断它 是否直角三角形吗?
3.如果一个命题成立,它的逆命题一定成 立吗?请举例说明.
2.小亮想知道学校旗杆的高度．他发 如直图角是 三一角个形机三器边零的件长示有意什图么，关系∠A?C找D一=9个0°实是际这问种题零并件用合勾格股的定一理项解指决标.．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，
(如直图角所三示角，形圆边柱长形计玻算璃) 容器的高为18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点A处有一小蚂蚁，它在与自己相对的圆柱形容器的上 如口图外是 侧一距个开机口器1c零m的件点示B意处图发，现∠一AC点D点=9食0°物是碎这屑种．零请件问合：格蚂的蚁一爬项到指食标物．处现的测最得近A路B＝线4是cm多，长B？C＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm， ∠一A长B方C=形90水°．池根的据长这、些宽条、件高，分能别否为知12道dm∠、AC4Ddm等、于39d0m°？，池中有一满池水．小亮把长度为14dm的金属棒放入水中，能否被完全淹没？说说
5.一长方形水池的长、宽、高分别 你的理由．
小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米； 如果一个命题成立,它的逆命题一定成立吗?请举例说明.
为12dm、4dm、3dm，池中有一满池 如图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，
第十八章 勾股定理 (复习课)
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长ห้องสมุดไป่ตู้算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
回顾与思考
1.直角三角形三边的长有什么关系?找一 个实际问题并用勾股定理解决.
2.已知一个三角形的三边,你能判断它 是否直角三角形吗?
3.如果一个命题成立,它的逆命题一定成 立吗?请举例说明.
2.小亮想知道学校旗杆的高度．他发 如直图角是 三一角个形机三器边零的件长示有意什图么，关系∠A?C找D一=9个0°实是际这问种题零并件用合勾格股的定一理项解指决标.．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，
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2 3
Ｃ 3 ２ 3 2
B
3
2 Ｂ
如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高 为 20 cm ，点 B 离点 C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A 爬 到点B，需要爬行的最短 距离是多少？
5
C
B
20
15
A
10
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10 20
5
B C
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10
B 5 C
如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径 2cm, 一只蚂蚁从点 A 爬 到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
蛋糕 B
2
O
C
周长的一半 ６
B
8
８
A
A
展开思想
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展 开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
虎 滩 中 学
A
D
郭 凤 芹
A' B
B'
在数学的天地里，重要的不是我们知道 什么，而是我们怎么知道什么。 —毕达哥拉斯
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
a2+ b2=c2
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
形 数
a2+b2=c2 a2+b2=c2 三边a、b、c
Ｒt△
互 逆 命 题
三、展开思想
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长 的吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出 小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米
A
10 8 17
A
17 8 10
B
D
C
B
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
二、方程思想
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米 后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ A
c2 = a2 + b2 △ABC是直角三角形
(2)
(3)
问: (1) 上述解题过程,从哪一步开始出现错误? 3 请写出该步的代号＿＿＿ (2)
2- b2可能是0 a 错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
直角三角形或等腰三角形 (3) 本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿
一、分类思想
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
8-X 8 10 8-X
E
X
B
6
F
4
C
4、如图，一块直角三角形的纸片，两直 角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且 与AE重合，求CD的长．
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
方程思想
构造直角三角形
解题方法(1)实际问题 数学模型 (2)找出边与边的数量关系 (3)设未知数,借助勾股定理列方程 (4)通过解方程解决问题
x米
(X+1)米
C
5米
B
2、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题， 原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引 葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？请用学过的 数学知识回答这个问题。
C
X
5
B X+1
A
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC 边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 1.CF 2.EC. 10 D A
勾股数
构建模型 解决实际问题
动手试一试 1.如图， 把长方形的纸片折叠，使BC边与对角线
BD重合，点C落到点F处，折痕为BE ，已知CD 边长4cm,BC边长3cm，你能求出CE的长吗？ A
B
F
D
E
C
动手试一试
2.小区里有一块四边形的绿化带，其中∠B＝900， AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13, 你能求出绿化带的面积吗?
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆 定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
命题：1、无理数是无限不循环小数的
逆命题是 无限不循环小数是无理数 。
2、等腰三角形两底角相等
有两个相等角的三角形是等腰三角形 的逆命题： 。
勾 股 数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
C
4 12
B
3
D A
13
动手试一试
3.小区里有一块四边形的绿化带，∠B＝900， AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13, 你能求出绿化带的面积吗?
C
412Biblioteka B3D13 转化
A
解题方法：不规则四边形
三角形
再 见
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形 是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个 命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个 命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游， 按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又 往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走 到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A到宝藏点B的直线距离是多少千米？
解:过点B作BC⊥AD于C,得Rt⊿ABC 由题意,有AC=8-3+1=6千米, BC=2+6=8千米 ∴AB= AC2 BC2 62 82
2.2米
1.5米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、 3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
A
２０
20
1 2 5 , , B、2 3 6
C、12、16、20
D、 7、24、25
勾股数的妙用:你能速算吗? 3.已知直角三角形中, 5 (1)a=3,b=4,c=_____ 12 (2)a=9,b=____c=15 (3)a=____,b=40,c=50 30 40 (4)a=24,b=32,c=________ 12 (5)a=5,b=_______,c=13 15 (6)a=_____,b=36,c=39
你 发 现 了 什 么
?
65 (7)a=25,b=60,c=________
已知a.b.c为△ABC的三边,且满足 a2c2 – b2c2=a4 – b4,试判断△ABC的形状. 解 ∵ a2c2- b2c2 = a4 – b4 (1)
∴
∴ ∴
c2(a2 – b2) = (a2+ b2) (a2- b2)
=10(千米) 答:点A到点B的直线距离是10千米
C
D
远洋”号,“海天”号轮船同时离开港口, “远航” 号以每小15时海里的速度向东北方向航行，“海 天”号以一定的速度向西北方向航行，2小时后， 两船相距50海里，求“海天”号的速度？
知识体系梳理
直角三角形
a²+b²=c²
求直角三角形的边长
a²+b²=c²
1.已知Δ ABC中，∠C=90º， 若a=6, b=8, 则c= _________
B a c
C
b
A
3.判断下面以a、b、c 为边的三角形
是不是直角三角形
a=0.5，b=1.3，c=1.2
4.判断下面以a、b、c 为边的三角形
是不是直角三角形
a=2，b=3，c=4
5.下列不是一组勾股数的是（ ） B A、5、12、13
Ｃ 3 ２ 3 2
B
3
2 Ｂ
如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高 为 20 cm ，点 B 离点 C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A 爬 到点B，需要爬行的最短 距离是多少？
5
C
B
20
15
A
10
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10 20
5
B C
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10
B 5 C
如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径 2cm, 一只蚂蚁从点 A 爬 到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
蛋糕 B
2
O
C
周长的一半 ６
B
8
８
A
A
展开思想
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展 开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
虎 滩 中 学
A
D
郭 凤 芹
A' B
B'
在数学的天地里，重要的不是我们知道 什么，而是我们怎么知道什么。 —毕达哥拉斯
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
a2+ b2=c2
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
形 数
a2+b2=c2 a2+b2=c2 三边a、b、c
Ｒt△
互 逆 命 题
三、展开思想
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长 的吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出 小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米
A
10 8 17
A
17 8 10
B
D
C
B
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
二、方程思想
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米 后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ A
c2 = a2 + b2 △ABC是直角三角形
(2)
(3)
问: (1) 上述解题过程,从哪一步开始出现错误? 3 请写出该步的代号＿＿＿ (2)
2- b2可能是0 a 错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
直角三角形或等腰三角形 (3) 本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿
一、分类思想
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
8-X 8 10 8-X
E
X
B
6
F
4
C
4、如图，一块直角三角形的纸片，两直 角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且 与AE重合，求CD的长．
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
方程思想
构造直角三角形
解题方法(1)实际问题 数学模型 (2)找出边与边的数量关系 (3)设未知数,借助勾股定理列方程 (4)通过解方程解决问题
x米
(X+1)米
C
5米
B
2、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题， 原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引 葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？请用学过的 数学知识回答这个问题。
C
X
5
B X+1
A
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC 边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 1.CF 2.EC. 10 D A
勾股数
构建模型 解决实际问题
动手试一试 1.如图， 把长方形的纸片折叠，使BC边与对角线
BD重合，点C落到点F处，折痕为BE ，已知CD 边长4cm,BC边长3cm，你能求出CE的长吗？ A
B
F
D
E
C
动手试一试
2.小区里有一块四边形的绿化带，其中∠B＝900， AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13, 你能求出绿化带的面积吗?
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆 定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
命题：1、无理数是无限不循环小数的
逆命题是 无限不循环小数是无理数 。
2、等腰三角形两底角相等
有两个相等角的三角形是等腰三角形 的逆命题： 。
勾 股 数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
C
4 12
B
3
D A
13
动手试一试
3.小区里有一块四边形的绿化带，∠B＝900， AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13, 你能求出绿化带的面积吗?
C
412Biblioteka B3D13 转化
A
解题方法：不规则四边形
三角形
再 见
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形 是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个 命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个 命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游， 按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又 往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走 到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A到宝藏点B的直线距离是多少千米？
解:过点B作BC⊥AD于C,得Rt⊿ABC 由题意,有AC=8-3+1=6千米, BC=2+6=8千米 ∴AB= AC2 BC2 62 82
2.2米
1.5米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、 3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
A
２０
20
1 2 5 , , B、2 3 6
C、12、16、20
D、 7、24、25
勾股数的妙用:你能速算吗? 3.已知直角三角形中, 5 (1)a=3,b=4,c=_____ 12 (2)a=9,b=____c=15 (3)a=____,b=40,c=50 30 40 (4)a=24,b=32,c=________ 12 (5)a=5,b=_______,c=13 15 (6)a=_____,b=36,c=39
你 发 现 了 什 么
?
65 (7)a=25,b=60,c=________
已知a.b.c为△ABC的三边,且满足 a2c2 – b2c2=a4 – b4,试判断△ABC的形状. 解 ∵ a2c2- b2c2 = a4 – b4 (1)
∴
∴ ∴
c2(a2 – b2) = (a2+ b2) (a2- b2)
=10(千米) 答:点A到点B的直线距离是10千米
C
D
远洋”号,“海天”号轮船同时离开港口, “远航” 号以每小15时海里的速度向东北方向航行，“海 天”号以一定的速度向西北方向航行，2小时后， 两船相距50海里，求“海天”号的速度？
知识体系梳理
直角三角形
a²+b²=c²
求直角三角形的边长
a²+b²=c²
1.已知Δ ABC中，∠C=90º， 若a=6, b=8, 则c= _________
B a c
C
b
A
3.判断下面以a、b、c 为边的三角形
是不是直角三角形
a=0.5，b=1.3，c=1.2
4.判断下面以a、b、c 为边的三角形
是不是直角三角形
a=2，b=3，c=4
5.下列不是一组勾股数的是（ ） B A、5、12、13