勾股定理期末复习课件
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勾股定理期末复习精品PPT课件
勾股定理复习
知识 梳理
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么a2 + b2 = c2
B
c a
AC
b
符号语言：
在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴a2+b2=c2
练习
1、求出下列直角三角形中未知的边．
17
A
B
2
8 C
（1）
1
30°
A
C
3 （2）
2
2
，字母A，B，C分别代表正方形的面积 (1)若B=225个单位面积,C=400个单位面积, 则A=__6_2_5__个单位面积. (2)若A=225个单位面积,B=81个单位面积, 则C=__1_4_4__个单位面积.
知AB=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长
吗？
B
D
A
E
C
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
20
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的 ，所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
2、直角三角形两直角边长分别为5和12， 则它 斜边上的高为__________。
3.如图, AC⊥BC ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长
(2)求 ADC 的面积。 C 12
B 3 D
13 4
A
4、如图，小颖同学折叠一个直角三角形
知识 梳理
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么a2 + b2 = c2
B
c a
AC
b
符号语言：
在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴a2+b2=c2
练习
1、求出下列直角三角形中未知的边．
17
A
B
2
8 C
（1）
1
30°
A
C
3 （2）
2
2
，字母A，B，C分别代表正方形的面积 (1)若B=225个单位面积,C=400个单位面积, 则A=__6_2_5__个单位面积. (2)若A=225个单位面积,B=81个单位面积, 则C=__1_4_4__个单位面积.
知AB=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长
吗？
B
D
A
E
C
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
20
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的 ，所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
2、直角三角形两直角边长分别为5和12， 则它 斜边上的高为__________。
3.如图, AC⊥BC ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长
(2)求 ADC 的面积。 C 12
B 3 D
13 4
A
4、如图，小颖同学折叠一个直角三角形
《勾股定理》复习课件ppt
答案5
根据勾股定理和相似三角形的性质，BD² = AB² - AD² = AC² + BC² - (AC + CD)² = 4² + 6² - (4 + 2)² = 20。 所以 BD = √20 = 2√5。
THANKS
感谢您的观看
勾股定理公式
a² + b² = c²，其中a和b是直角三 角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的证明方法
欧几里得证明法
利用相似三角形的性质和比例关系， 通过一系列的逻辑推理证明勾股定理 。
毕达哥拉斯证明法
利用正方形的性质和勾股定理的关系 ，通过构造两个正方形证明勾股定理 。
勾股定理的应用场景
实际问题求解
要点一
勾股定理在三维空间的应用
要点二
勾股定理在三维空间的应用示例
勾股定理不仅适用于平面图形，还可以应用于三维空间中 的几何体。
在解决三维几何问题时，可以使用勾股定理来计算空间几 何体的边长或体积。
04
勾股定理的解题技
巧和策略
利用勾股定理求边长
总结词
勾股定理是解决直角三角形问题的重要工具 ，通过已知两边长，可以求出第三边长。
详细描述
勾股定理公式为$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$为斜边长，$a$和$b$为直角边长。已知 $a$、$b$和$angle C = 90^circ$，可以通
过勾股定理求出第三边长$c$。
利用勾股定理证明三角形为直角三角形
总结词
勾股定理也可以用来证明一个三角形是否为直角三角形。
详细描述
勾股定理复习课件理的回顾 • 勾股定理的常见题型解析 • 勾股定理的变式和推广 • 勾股定理的解题技巧和策略 • 勾股定理的练习题和答案解析
2024-2025八年数学上册期末复习 勾股定理 考点与训练 课件 新版北师大版
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15
16
17
二、填空题(每题5分，共20分)
9. [教材P3随堂练习T1变式]如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC
＝90°，以直角三角形的 AB 边和 AC 边为边向外作正方
形，其面积分别为5和9，则 BC 的长为
1
2
3
4
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6
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.
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10. [教材P9例题变式]一木工师傅做了一个长方形桌面，量
17
2. 已知三组数据：①0.6，0.8，1；②3，4，5；③9，40，
41.其中是勾股数的是(
D
)
A. ②
B. ①②
C. ①③
D. ②③
1
2
3
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5
6
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3. [教材P17复习题T7变式]在证明勾股定理时，甲、乙两名
同学给出如图所示两种方案，则(
A
)
A. 甲的方案正确
16
17
6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底
面中心有一个小圆孔，则一根长16的直吸管露在罐外部分
a 的长度范围是(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不
计)(
B
)
A. 4≤ a ≤5
B. 3≤ a ≤4
C. 2≤ a ≤3
D. 1≤ a ≤2
1
2
3
4
勾股定理复习课件整理ppt
• 知识点1：（已知两边求第三边) 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，
2cm ，则斜边长为___．斜边上的高为_____.
2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是 ________________．
3、三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线 AD=8,求BC的长？
变式练习： 公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得 BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45度． 请你求出这块草地的面积．
F
知识点4：利用方程思想解决有关问题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
知识点5：勾股定理在立体图形中的应用(二)
（几何体内部最长线段问题）
如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为 5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在 杯子外面的长度是hcm，则h的取值范围是 _____________.
寻找规律性问题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
满足 a2b2c2
称为勾股数。
的三个正整数
，
你能写出常用的勾股数吗？
3，4，5； 5，12，13；
6，8，10； 7，24，25；
8，15，17 ；9，40，41
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
2cm ，则斜边长为___．斜边上的高为_____.
2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是 ________________．
3、三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线 AD=8,求BC的长？
变式练习： 公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得 BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45度． 请你求出这块草地的面积．
F
知识点4：利用方程思想解决有关问题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
知识点5：勾股定理在立体图形中的应用(二)
（几何体内部最长线段问题）
如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为 5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在 杯子外面的长度是hcm，则h的取值范围是 _____________.
寻找规律性问题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
满足 a2b2c2
称为勾股数。
的三个正整数
，
你能写出常用的勾股数吗？
3，4，5； 5，12，13；
6，8，10； 7，24，25；
8，15，17 ；9，40，41
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
勾股定理期末复习课件PPT课件
方法技巧 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题 ；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边 ，这时往往要列出方程求解．
2021/7/27
数学·人教版（R18J）
第十四章 |பைடு நூலகம்习
针对第3题训练 1．已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，
可以判定三角形是直角三角形的有_(2_)_(4_)____．
2021/7/27
7
2021/7/27
8
第十四章 |复习
解：由于 a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝ n4＋2n2＋1，从而 a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC 是直角三角形．
考点三 勾股定理在数学中的应用
已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直 角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三
[解析] 根据勾股定理计算，625－225＝400.
2021/7/27
数学·人教版（R24J）
2021/7/27
图14－7
数学·人教版（R19J）
第十四章 |复习
2．如图14－8所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是 方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格纸中， 找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的点C个 数是____6____．
2021/7/27
[注意] 勾股数都是正整数． 5．勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1)已知 直角 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、 面积的问题； (2)说明线段的平方关系问题；
数学上册第十四章勾股定理章末复习作业课件华东师大版
第十四章 勾股定理
章末复习(四) 勾股定理
知识点一 勾股定理
1．(教材P126复习题T1变式)如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是(D )
A．14 cm2 B．10 cm2 C．48 cm2 D．20 cm2
2．(贵阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交
AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于
解：(1)如答图①，AC1＝ AB2＋BC12 ＝ 52＋（5＋5）2 ＝ 125 (cm)
(2)分两种情况：如答图②，AC1＝ （5＋6）2＋52 ＝ 146 (cm)； 如答图③，AC1＝ （5＋5）2＋62 ＝ 136 (cm). 因为 146 cm> 136 cm，所以最短路程为 136 cm (3)若展开圆柱体，BC为底面圆周长的一半， 如答图④所示：∵底面周长为10 cm，∴AD＝5(cm)， ∴AC＝ AD2＋CD2 ＝ 52＋52 ＝ 50 (cm)
那么该三角形是__直__角___三角形．
7．(中原区校级期末)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分线， 交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F.关于△ABC的形状，小明和小亮展开以下讨 论：
小明：如果△ABC是直角三角形，那么我可以像这样求出AE的长．如图，连结CE， 设AE＝x，则BE＝4－x，因为DE是BC的垂直平分线，所以CE＝BE＝4－x…
10．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250 m．现要为喷泉铺 设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路AC的最短距离．
章末复习(四) 勾股定理
知识点一 勾股定理
1．(教材P126复习题T1变式)如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是(D )
A．14 cm2 B．10 cm2 C．48 cm2 D．20 cm2
2．(贵阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交
AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于
解：(1)如答图①，AC1＝ AB2＋BC12 ＝ 52＋（5＋5）2 ＝ 125 (cm)
(2)分两种情况：如答图②，AC1＝ （5＋6）2＋52 ＝ 146 (cm)； 如答图③，AC1＝ （5＋5）2＋62 ＝ 136 (cm). 因为 146 cm> 136 cm，所以最短路程为 136 cm (3)若展开圆柱体，BC为底面圆周长的一半， 如答图④所示：∵底面周长为10 cm，∴AD＝5(cm)， ∴AC＝ AD2＋CD2 ＝ 52＋52 ＝ 50 (cm)
那么该三角形是__直__角___三角形．
7．(中原区校级期末)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分线， 交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F.关于△ABC的形状，小明和小亮展开以下讨 论：
小明：如果△ABC是直角三角形，那么我可以像这样求出AE的长．如图，连结CE， 设AE＝x，则BE＝4－x，因为DE是BC的垂直平分线，所以CE＝BE＝4－x…
10．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250 m．现要为喷泉铺 设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路AC的最短距离．
《勾股定理复习课》课件
现代数学中使用线性代数 方法来证明勾股定理。
形似三角形及其应用
1
相似三角形的性质
2
相似三角形有相等的角度，但边长与面
积不一定相等。
3
形似三角形的概念
形似三角形是具有相似角的两个三角形。
利用相似三角形解决实际问题
相似三角形可以应用于测量、景观设计 等多个领域。
文化背景
勾股定理的历史
勾股定理是中国、印度、古希腊 等多个文化中独立发现的数学定 理。
《勾股定理复习课》
本PPT课件将复习勾股定理的基本概念、三种形式、直角三角形的判定、定理 的证明、形似三角形及其应用、文化背景，并为学生提供总结与回顾。让我 们理，用于计算直角三角形中的边长关系。它的几何意义是在直角三角形中，最长的 边的平方等于其他两边的平方和。
勾股学派的发展
勾股学派是中国古代数学学派之 一，对勾股定理的发展做出了重 要贡献。
勾股定理在文化交流中的 地位
勾股定理作为数学领域的重要成 果，通过文化交流传播到世界各 地。
总结与回顾
1 总结本次课程的内容
本次课程复习了勾股定理的基本定义、几何意义、三种形式、判定方法、证明方法、相 似三角形和文化背景。
2 回顾本次课程的难点与重点
重点在于理解勾股定理的三种形式和三角形的判定方法。
3 鼓励学生加强练习，提高技能水平
通过多次练习和实际应用，加深对勾股定理的理解和掌握。
1
直角三角形的定义
直角三角形是一个角为90度的三角形。
2
判断方法：勾股定理与勾股数
根据勾股定理可以通过计算三个边的关系来判断一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的证明
1 祖冲之证明
2 欧几里得证明
勾股定理复习课市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
12
ＢＣ２＝１６９
∴ＤＢ２＋ＤＣ２＝ＢＣ２ ∴∠ＢＤＣ＝９００ Ｓ＝Ｓ△ＡＢＤ+Ｓ△ＢＣＤ
D
4 5 13
＝ 1 ×３×４+ 1 ×１２×５＝３６
2
2
答：这个零件旳面积为３６cm2
A3 B
2、有一块菜地,形状如下, 试求它旳面
积.(单位:米)
B
12
C 3 D 13
4
A
6、如图，在正方形ABDC中，E是CD旳中点，
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
即：c
2 =4
1 • 2 ab+
(b-a)
2
C 2 =2ab+ a 2 -2ab+ b 2
a2 + b2= c2
2、分别以直角三角形三边为半径作正方形 则这三个正方形旳面积S1, S2, S3之间旳关 系（S3）= S1 + S2
S3
S1 c a b
S2
AS3 S2
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3 _是___ ∠__B_=_9_0;0
(4) a:b: c=3:4:5
__是___ ∠__C_=_9_0;0
(5)a=2m b=m2-1 c=m2+1是 ∠ C=900
2、小明向东走80m后,又走了60m,再走100m回到
4、特殊三角形旳三边关系：
A
A
c
b
b
c
Ba C
若∠A=30°，则
a :b:c 1: 3 :2
C
a
B
若∠A=45°，则
a :b :c 1:1: 2
考点一
勾股定理全章复习课ppt课件
7.下列线段不能组成直角三角形的是( D )
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c=
D．a:b:c=2:3:4
B
A．锐角三角形 C. 钝角三角形
B. 直角三角形 D. 等边三角形
9
9.如图，在东西方向的海岸线MN上有相距10海里的A、B两艘船，
均收到已触礁搁浅的船C的求救信号， 6分钟后同时到达C地．已
y
E
F
D
C
根据勾股定理列出方程即可解决此
类型问题.
A
x B
13
小结
1、你学到哪些数学知识？
理解原命题、逆命题与逆定理的概念及关系 掌握勾股定理及其逆定理并能运用其解决实际问题
2、你学到哪些数学思想方法？
在运用定理解决问题中，体会分类、方程与转化的思想方法
14
课堂检测
1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( ) A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.下列各组数中，不能作为直角三角形边长的是( )
A
A
利用勾股定理解决 实际问题：先转化 成数学问题， 找到 直角三角形， 最后 利用勾股定理解决 问题。
7
6.如图，长方体的长为6，宽为4，高为8，点B离点C的距离为2，一只妈蚁 如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
展开(分类)
∴最短路径为10 8
知识运用
四、 勾股定理逆定理及其实际应用
型
5
3.已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm，求第三条边的长．
答案： 5 cm或 cm.
4.已知在△ABC中， AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，求BC
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D4∶6∶7
3.如图, AD⊥CD ，AB=13， BC=12 ， CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长
(2)∠ACB的度数。
12
B
C
3
13
D
4A
9．如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇∠QPN=30°， 点A处有一所学校，AP=160米，假设拖拉机行驶时， 周围100米内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝 对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
1．在已知下列三组长度的线段中，
不能构成直角三角形的是 ( )
A 5，12，13 B 2，3， 5
C 4，7，5
D 1， 2 ， 3
2．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的
比为（ ）
A、2∶3∶4
B、3∶4∶6
C、5∶12∶13
那么这个三角形是直角三角形
B
b
c
符号语言： 在△ABC中,
∵a2+b2=c2
C aA
∴ △ABC 是直角三角形， ∠C=90
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
1、说出下列命题的逆命题．并判断逆命 题成立?
(1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平 方相等．
以8米每秒的速度沿PN方向行驶时。
（1）学校是否受到噪音的影响？
(2)如果学校受到影响，那么受影响将 D
N
持续多长时间？
B C
︵
30°
M
P
AQ
10、如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°, ∠C=45°,AD=1,BC=2,求CD的长及四边形ABCD的 面积.
E
D
A
B
C
作业
（一）、填空题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
2、直角三角形两直角边长分别为5和12， 则它 斜边上的高为__________。
3.如图, AC⊥BC ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长
(2)求 ADC 的面积。 C 12
B 3 D
13 4
A
4、如图，小颖同学折叠一个直角三角形
的纸片，使ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与B重合，折痕为DE，若已
例：将矩形ABCD折叠，使点D落BC边上 点D’处，折痕为AE，AD=8，AD=4,求EC 的长。
方程思想
8-x
10
8-x
6
x
4
(8-x)2=x2+42
x=3
知识二、数轴上求无理数点
在数轴上表示 17 的点？
17= 1+16= 12 +42
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，
勾股定理复习
知识 梳理
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么a2 + b2 = c2
B
符号语言：
a
c
在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴a2+b2=c2
AC
b
练习
1、求出下列直角三角形中未知的边．
17
A
B
2
8 C
（1）
1
30°
A
C
3 （2）
2
2
45°B
2
A
（3）
2.如图，字母A，B，C分别代表正方形的面积 (1)若B=225个单位面积,C=400个单位面积, 则A=__6_2_5__个单位面积. (2)若A=225个单位面积,B=81个单位面积, 则C=__1_4_4__个单位面积.
知AB=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长
吗？
B
D
A
E
C
5、如图 CD^ AB于D，AC 9，BC12， AB15，求 ABC 的面积
C
A
D
B
厘米、12厘米，那么斜边上的高
是
（D ）
A、6厘米
B、 8厘米
C、 80/13厘米； D、 60/13厘
米；
直角边×直角边=斜边×斜边上的高
等面积法
5、酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺地毯 ，已知这种地毯每平方米的售价为30元，主楼 梯宽2米，其侧面如图所示，则购买至少需要 504 元
6、△ABC中∠C=900，D是BC上一点， AB=17，AD=10，BD=9，求CD的长。
第2题
3.已知直角三角形ABC中,
ACB
90
(1)若AC=12,BC=9,则AB=__1_5___
(2)若AB=13,BC=5,AC=__1_2____ B
A
C
4．已知一个直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边长的平方是（ D ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
4、直角三角形两直角边分别为5