勾股定理PPT课件

02
PART

勾股定理的内容
The content of the Pythagorean theorem

勾股定理的内容
• 一）勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别
为a,b,斜边为c,那么一定有

c2=a2

+

b2

c

b

• 勾股定理的另一种表述：直角三角形两直角边
的平方和和等于斜边的平方。

• 二）勾股定理的其他表示形式：
PART

勾股定理的探索
Exploration of Pythagorean Theorem

勾股定理的探索
据说古埃及人曾经用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然 后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，他们认为其中 一个角便是直角．你知道为什么吗？

勾股定理的探索

a

勾

股

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称 为“股”，斜边称为“弦”。

为什么？ 能否证明勾股定理？

03
PART

勾股定理的推导
Derivation of Pythagorean Theorem

课堂小结 1.通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在 数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三 角形呢？ 2.请你总结一下，判断一个三角形是否是直角三角 形，都有哪些方法？

思 玛 德 培 训 学 校 / 初 中 数 学 / 勾 股 定 理
主讲老师 伍 星

感谢聆听


三、茄菲尔德的证法
有趣的“总统”证法 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。人们为 了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称 为“总统”证法。

a

1 1 1 2 1 ab ＋ ab ＋ c ＝ (a＋b)(a＋b) 2 2 2 2

c b c
c c b a

c2 =a2+

C

A D
变形练习：如图： CD  AB于D，AC  9，BC  12，AB  15 ， 你能求出ABC的面积吗？

B

勾股定理的应用
例3：如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A点爬到B点，则最少要爬行 cm.

变形练习：如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从A点绕到正上方B点共四 圈,已知易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,那么所需彩带最短的是 。

勾股定理的推导
二、赵爽弦图的证法
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制 了一副“弦图”。后人称其为“赵爽弦图”。

S大正方形=S小正方形+ 4S直角三角形
c2＝(b－a)2＋4× c2 =a2+ b2

1 ab 2

等积变换 数形结合思想
c
b a

c
正方形的面积 2 (b a) -

c

b

c

勾股定理的推导
中国最早的一部数学著作--《周髀算经》的 开章，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话: 周公问:"我听说您对数学非常精通，我想请教一下: 天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段 丈量，那么怎样才能得到关于天地的高度呢?" 商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的 认识。其中有一条原理:当直角三角形的一条直角边 “勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候， 那么它的斜边“弦”就必定是5。这个原理是大禹在 治水的时候就总结出来的啊。"

b2

04
PART

勾股定Biblioteka Baidu的应用
Derivation of Pythagorean Theorem

勾股定理的应用
1.直角三角形的判定
如果三角形的三边长a,b,c满足 ◆符号语言：

c2=a2 + b2 ,那么这个三角形是直角三角形.

在△ABC中，若a2 + b2 = c2，则△ABC是直角三角形。
★注意： • 1、这一命题是勾股定理的逆定理
2.常见的勾股数组
定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组. 常见勾股数组： (1)a=3,b=4,c=_____ (2)a=9,b=____c=15 (3)a=____,b=40,c=50

(4)a=24,b=32,c=________
(5)a=5,b=_______,c=13 (6)a=_____,b=36,c=39 (7)a=25,b=60,c=________

• 2、它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.
• 3、定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为 a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明 定理成立.

勾股定理的应用
初中数学

勾股定理
GOU GU DING 伍星 LI 主讲老师

勾股定理的探索
古代人是如何画直角三角形的？

01 02
03 04

勾股定理的内容
勾股定理表示形式

勾股定理的推导
1.面积证法；2.赵爽弦图证法；3.茄菲尔德证法.

目录
CONTENT

勾股定理的应用
1.直角三角形的判定；2勾股数组；3.例题实练.

01

勾股定理的应用
例1：如图3，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 ．
S2
S3

S1
图1

勾股定理的应用
例2.如图：在RtABC中，ACB  900，CD是斜边上的高， AC  3，BC  4， 则CD的长为多少？

勾股定理的推导
一、面积证法
毕达哥拉斯是2005年前古希腊著名的数 学家，一天发现朋友家的用砖铺成的地面中反 映了等腰直角三角形三边的某种数量关系……

A
A、B、C的面积有什么关系？

B

SA+SB=SC
结论：两条直角边上的正方形面积
之和等于斜边上的正方形的面积。

C

毕达哥拉斯根据勾股定理画出一个可以无限重复的图形，又因为重 复数次后的形状好似一棵树，所以该图形被称为毕达哥拉斯树。