二次根式乘法练习题
二次根式的乘法
解:
∵∠C=90°
AB AC BC
2 2
2
2
B
C
AB
AC BC
2
102 202 500
102 5 10 5 10 5 (cm)
答：AB长
10 5 cm.
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算 术平方根。
a b ab
a≥0,b≥0
ab a b (a 0, b 0)
被开方数有什么特点的二次根式才 能化简呢？
被开方数能写成平方因子和其它因 子相乘形式的二次根式
化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个 平方因子去掉平方后移到根号外。 （注意：移到根号外的数必须是非负数）
例2：化简下列二次根式
1
9a b a 0, b 0
3
2
4b 12ab a 0, b 0
a、b必须都是非负数！
a b ab
例1 : 计算 1 、 3 5 1 2、 3
(a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
3 5 15
1 27 9 3 27 3
练习:计算
(1) 6 7
解:
1 ( 2) 32 2
(1) 6 7 6 7 42
2 3
在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子 全部移到根号外，否则未完成化简。
强化练习
下列二次根式的化简正确吗？
1 32 52 3 5 3 5 15 2 2 正确解法： 32 52 3 5 3 5 15
现在你能用上面的性质说明 8 2 2 吗？
8 4 2 4 2 2 2
八下二次根式的乘法练习题
八下二次根式的乘法练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是二次根式的乘法运算？A. \(\sqrt{2} \times \sqrt{3}\)B. \(\sqrt{4} \times 2\)C. \(\sqrt{9} \times \sqrt{16}\)D. \(\sqrt{2} \times \sqrt{2}\)2. 计算 \(\sqrt{8} \times \sqrt{18}\) 的结果等于：A. 6B. 9C. 12D. 183. 若 \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)，下列哪个选项是错误的？A. \(a = 4, b = 9\)B. \(a = 16, b = 25\)C. \(a = 0, b = 1\)D. \(a = 2, b = 8\)4. 根据二次根式的乘法法则，下列哪个等式是正确的？A. \(\sqrt{6} \times \sqrt{6} = 36\)B. \(\sqrt{12} \times \sqrt{12} = 144\)C. \(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4\)D. \(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 6\)5. 已知 \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)，计算 \(\sqrt{72} \times\sqrt{72}\) 的结果等于：A. 72B. 432C. 144D. 288二、填空题（每题2分，共20分）6. 计算 \(\sqrt{50} \times \sqrt{2}\) 的结果为______。
7. 若 \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = 10\)，且 \(a = 25\)，则\(b\) 等于______。
8. 计算 \(\sqrt{32} \times \sqrt{48}\) 的结果为______。
9. 若 \(\sqrt{m} \times \sqrt{n} = \sqrt{mn}\)，且 \(m = 9\)，求 \(n\) 等于______。
二次根式的计算200 题
1
√6
÷
3
√2
.
1
6.计算：√72 ÷ 3√2 × √2 .
7.计算：√18 × √2.
2
8.计算：√ × √12．
3
1
2
9.计算：√45 ÷ √ × √2 .
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）
2.合并
将同类二次根式进行合并
易错总结：
① 不是最简二次根式的要化成最简二次根式
② 去括号时括号外如果是负号括号里的符号要变号
③ 注意同类二次根式要合并
例题解析：
1
1
3
3√18 − √32 + 4√ + √−8．
8
2
1
解：原式= 3 × 3√2 − × 4√2 + 4 ×
4
3
38.计算：(√48 − 4√ ) − (3√ − 2√0.5)．
39.计算：√8 + 2√3 − (√27 − √2).
2
1
1
40.计算：√125 + 3√ − √24 + 3√ ．
27
5
4
\ 5 /
3
1
41.计算： √4 + 2√ − √ + 2√ ．
2
2
9
1
1
1
42.计算：(√48 − 4√8) − (3√3 − 2 √8)．
3
\ 4 /
1
1
32.计算：3√5 + 2√ − √20 − √32．
2
2
33.计算：√18 − √50 − √8．
1
34.计算：√ + √24 − √600．
二次根式的乘除练习题(含答案)
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．下列二次根式中，最简二次根式是 A 23aB 13C 153D 1432．如果mn >0，n <0，下列等式中成立的有｡ mn m n =1n m m n =m m n n=1m m n mn =-．A ．均不成立B ．1个C ．2个D ．3个3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是 A ab 2abB mn 11m n+ C 22m n +22m n - D 3289a b 3489a b 4．下列等式不成立的是 A ．2×36B 8÷2=4C 1333D 8×2=453x x-3x x -，则x 的取值范围是A ．x <3B ．x ≤3C ．0≤x <3D ．x ≥06结果为A ．B ．C ．D ．7=x 的取值范围是__________．8．计算：=__________．9=__________．10．下列二次根式：． 其中是最简二次根式的是__________．（只填序号）11．计算：-=__________．12．200020012)2)+⋅-=__________． 13．计算：（1；（2）- 14．计算：（123）4）．15．计算（1）1223452533÷⨯；（2）21123(15)3825⨯-÷； （3）282(0)aa b ab a b÷⨯>；（4）27506⨯÷．16．当x <03x y -等于A ．xyB ．xC ．-xy -D ．-xy 179520的结果是 A ．32B 32C 532D ．5218．计算8(223)÷-⨯的结果是A ．26B ．33C ．32D ．6219．下列运算正确的是A 222253535315⨯==⨯=B 22224343431-=-=-=C．2510 5=D．(4)(16)416(2)(4)8-⨯-=-+-=-⨯-=20．若22m n+-和3223m n-+都是最简二次根式，则m=__________，n=__________．21．一个圆锥的底面积是26cm2，高是43cm，那么这个圆锥的体积是__________．22．计算：263⨯+（3-2）2-2（2-6）．23．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是140πcm，宽是35πcm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径．24．（2018·甘肃兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是A．18B．13C．27D．1225．（2018·湖南益阳）123=⨯__________．26．（2018·江苏镇江）计算：182⨯=__________．1．【答案】D【解析】A a |，可化简；B ==C ==，可化简；因此只有D ： =，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D ．2．【答案】C【解析】根据题意，可知mn >0，n <0，所以可得m <0，根据二次根式的乘法的性质，可知m ≥0，n ≥0，=1，故②正确；根据二次根式除法的性质，可知m ≥0，n >0=-m ，故④正确．故选C ． 3．【答案】D【解析】选项A 的被开方数不相同；选项B 的被开方数不相同；选项C ，不能够化简，被开方数不相同；选项D ，=23，23ab D ．4．【答案】B【解析】选项A 、C 、D 正确；选项B 2=，选项B 错误，故选B ． 5．【答案】C【解析】根据题意得：030x x ≥⎧⎨->⎩，解得：03x ≤<．故选C ．6．【答案】B【解析】原式==，故选B ．9．【答案】7120.091960.091960.31470.361440.361440.61212⨯==⨯=⨯．故答案为：712．10．【答案】①⑥【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得①⑥是二次根式，故答案为：①⑥． 11．【答案】-5【解析】原式48332731639495=÷-÷==-=-．故答案为：5-．123+2【解析】原式200020002000(32)(32)(32)[(332)]=-++⋅=⋅2000(1)32)=-⋅+⋅32)+32=32+．13．【解析】（1）25144⨯25144=512=⨯ 60=．（2）13xyz xy⋅－ 13xyz xy=-⋅=-14．【解析】（1==（2==（3）====-．（4）====15．【解析】（1）原式233=⨯23=45==（2）(13()8=⨯-⨯354=-⨯ 154=-．（3）原式===（4）原式15==． 16．【答案】C【解析】∵x <0=|x -C ． 17．【答案】A【解析】原式32，故选A ． 18．【答案】BB ． 19．【答案】A5315==⨯=，故正确；，故不正确；248==⨯=，故不正确．故选A ． 20．【答案】1、2【解析】由题意，知213221m n m n +-=⎧⎨-+=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，因此m 的值为1，n 的值为2．故答案为：1，2．21【解析】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是13⨯==故答案为24．【答案】B【解析】A1832=B13是最简二次根式，正确；C2733=不是最简二次根式，错误；D1223=B．25．【答案】6【解析】原式3×3=6．故答案为：6．26．【答案】218 2182⨯，故答案为：2．。
北师大版八年级数学上册--第二单元 二次根式的乘除运算 练习题(含答案)
冀教版初中数学八年级上册第十五章二次根式15.2《二次根式的乘除》教学设计说明在设计本课时教案时，引导学生通过计算发现规律，从而由特殊到一般地给出二次根式的乘法法则、除法法则．注意引导学生类比积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系．通过例题的讲解，及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力．重视课本例题，适当地对立体进行引申，引发学生自主探寻与思考，突出例题在巩固强化中的作用，有利于学生对知识的串联、积累、加工，从而起到举一反三的效果．在学习过程中，采用小组学习方式，组间竞争，按各组表现评出最优小组，激发学生学习积极性和兴趣．（1）教材分析《二次根式的乘除》是是初中数学的重要内容之一，是《课程标准》“数与代数”的重要内容，是对“实数”、“代数式”等内容的延伸和补充．（2）学情分析本节课的内容是在理解二次根式的定义及相关概念的基础上，进一步研究二次根式的运算，是对二次根式的简便运算．二次根式的乘除这一节的知识构造较为简单，并且是在学生学习了平方根，立方根等内容的基础上进行的．由于学生对算术平方根等概念已经有了初步认识，这为学生学习打下了基础，在和学生一起学习的过程中，我们要创造条件和机会，让学生发表自己的见解，发挥学生学习的主动性和积极性．一、教学目标（1a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简．（2）理解ab=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．（3a b ab a≥0，b≥0）ababa≥0，b>0）并运用它们进行计算；•利用逆向思维，ab a b a≥0，b≥0），a baba≥0，b>0）并运用它们进行解题和化简．（4）培养学生对于事物规律的观察，发现能力，激发学生的学习激情．二、教学重点、难点a b ab a≥0，b≥0）ab a b a≥0，b≥0）abab（a≥0，b>0）ababa≥0，b>0）及运用，最简二次根式的概念．难点：二次根式的乘除法法则的逆用ab=a·b（a≥0，b≥0），a bab(0,0)a b≥>．课时设计两课时教学策略由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此，要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要注意逐步有序的展开，在讲解二次根式的乘除时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系．积的算术平方根的性质及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算具体的例子，引导他们做出一般的结论．由于归纳法是通过一些个别的，特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论．因此，本文采用从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习相结合的方法．这种思维过程，对于初中生认识，研究和发现事物的规律有着重要作用，对于培养思维品质也有重要意义．三、教学过程情境导入，这个长方形的面积是多少？2．【问题探究】这个结果能否化简？如何化简？【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受二次根式的乘除．探索新知探究一1．填空=______；（1（2（3．（4，2．利用计算器计算填空，（2（1（32．（1）=，（2）=，（3）=，（4）=．师：提出问题：观察上面的结果，你发现他们有什么特点吗？小组讨论、抢答．生：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式相乘等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．【归纳总结】反过来【设计意图】由特殊例子出发，由特殊到一般给出二次根式的乘法法则．例1．计算；（2（3（4．（1解析：（1（2=（3（4a≥0，b≥0）计算即可．点评：例2．化简（2（3；（1（4（5×4=12；解析：（1（2（3（4=3xy；（5．（a ≥0，b ≥0）直接化简即可．例3．计算解析：⨯⨯==点评：在（1）中要注意，在被开方数相乘的时候可以考虑因数分解或因式分解，在（2）中0,0)a b =≥≥，即根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；在（3）中要注意x ，y 的符号．【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会二次根式的乘法法则．探究二（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（2=________．（13．利用计算器计算填空:（1答案：1．反过来2．3344(1),;(2),;==.规律：，44663．(1)=(2)=.；【归纳总结】【设计意图】由特殊例子出发，由特殊到一般给出二次根式的乘法法则．例4．计算：（1（2（3（4）．解析：（1=2 ；（2==（3==2；（4．点评：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．例5．化简：（1（2（3（4解析：（1=；（283ba =；（38y =；（413y ．a ≥0，b >0）就可以达到化简之目的． 【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会二次根式的除法法则．例6．计算：（1；（2；（3． 解析：（15；（2=3；（3=a ． 观察上面例6的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是12km,km h h ，那么它们的传播半径的比是_________．．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．（学生分组讨论，到黑板上板书）．2==．【设计意图】巩固二次根式的除法法则，通过观察总结归纳出最简二次根式的特点．例7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．AC解：因为222AB AC BC=+所以AB=132====6.5（cm），因此AB的长为6.5cm．点评：学生掌握最简二次根式概念之后，通过两个例题让学生先尝试的去应用所学的知识，初步体验成功，树立学习的自信心．【设计意图】学生掌握最简二次根式概念之后，通过实际问题的例题讲解，激发学生的兴趣，引导学生体会数学来源于生活，又应用于生活．巩固练习教材对应习题．【设计意图】为学生提供演练机会，加强对二次根式加减运算的理解及掌握．应用拓展1．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4解：（1）不正确．×3=6；（2）不正确．4．a、b的取值范围分别是a≥0，b>0．带分数作为被开放数化简时必须先把带分数化成假分数再化简．2=，且x为偶数，求(1+)x解析：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩．∴6<x≤9．∵x为偶数，∴x=8．∴原式=(1+)x(1+)x=(1+)x 4(1)x x -+=(1)(4)x x +-． ∴当x =8时，原式的值=49⨯=6．点评：式子a b =a b，只有a ≥0，b >0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x -6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x =8．3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2-1，132+=1(32)3232(32)(32)⨯--=-+-=3-2， 同理可得：143+=4-3，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121++132++143++……120122013+）（）的值．解析：原式=（2-1+3-2+4-3+…+2013-2012）×（20131+） =（20131+）（）=2013-1=2012．点评：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．四、课堂小结（学生小组总结展示，师补充）1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．2．二次根式的除法法则a≥0，b>0（a≥0，b>0）及其运用．3．最简二次根式的概念及其运用．【设计意图】梳理本节课的主要知识点，让学生明确重难点．课后作业一、选择题1（y>0）是二次根式，那么它化为最简二次根式是（）A（y>0） By>0） C（y>0） D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（）A．．3．在下列各式中，化简正确的是（）A=±12C 2D ．4的结果是（ ）A ．-3 B ．．-3 D ．5．阅读下列运算过程：3==5==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”） A ．2 B ．6 C ．13 D二、填空题6．（x ≥0）7．_________． 三、综合提高题8，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？9．已知a为实数，-阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：-a·1a=（a-110．若x、y为实数，且y答案:一、1．C 2．D 3．C 4．C 5．C二、6．7．三、8．设：矩形房梁的宽为x（cm）cm，依题意，得：2222);)x x cm x cm+==⋅=．9．不正确，正确解答：因为301aa⎧->⎪⎨->⎪⎩，所以a<0，aa=(1-a10．∵224040xx⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=14∴4====．教学反思本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，要求学生能熟练运用乘法法则和除法法则进行化简和计算．在教学过程中，通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则和除法法则，学生比较容易接受．但是在具体进行化简和计算的过程中，学生对二次根式乘法法则和除法法则理解上问题不大，但常常忘记计算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出现错误，对分母有理化还不够熟练．因此还要加强训练，否则，在下一节二次根式的加减和混合运算时出现的错误会更多．总之，二次根式的乘除运算法则的学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维．。
人教版八年级数学下《二次根式的乘除》拓展练习
《二次根式的乘除》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）下列各式中无意义的是（）A．B．C．D．2．（5分）下列式子中：，，，，2，其中属于最简二次根式的有几个（）A．1B．2C．3D．43．（5分）若成立，则（）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b≤0C．ab≥0D．ab≤04．（5分）下列计算正确的是（）A．﹣|﹣3|＝3B．﹣32＝9C．D．5．（5分）化简等于（）A．B．±C．D．5二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）××＝，÷＝．7．（5分）计算：＝．8．（5分）+的有理化因式是．9．（5分）化简x的结果为．10．（5分）已知＝5﹣x，则x的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn ，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）化简：＝．12．（10分）若要化简我们可以如下做：∵3+2∴＝+1仿照上例化简下列各式：（1）＝（2）＝13．（10分）已知x＝2+，y＝2﹣，试求代数式+的值．14．（10分）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．15．（10分）观察思考：（）2＝，（）2＝，（）2＝，（）2＝…由此得到：（1）（）2＝．（2）计算（）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．《二次根式的乘除》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）下列各式中无意义的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、﹣，有意义；B、，有意义；C、，有意义；D、，无意义．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2．（5分）下列式子中：，，，，2，其中属于最简二次根式的有几个（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：最简二次根式有，2，共2个，故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式的定义、立方根等知识点，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．3．（5分）若成立，则（）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b≤0C．ab≥0D．ab≤0【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．【解答】解：∵成立，∴a≥0，b≤0．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4．（5分）下列计算正确的是（）A．﹣|﹣3|＝3B．﹣32＝9C．D．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、﹣|﹣3|＝﹣3，故此选项错误；B、﹣32＝﹣9，故此选项错误；C、＝3，正确；D、＝3，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．5．（5分）化简等于（）A．B．±C．D．5【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）××＝2，÷＝3．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：××＝2，÷＝＝3．故答案为：2；3．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．7．（5分）计算：＝．【分析】先化简二次根式，再分母有理化即可得．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与分母有理化．8．（5分）+的有理化因式是﹣．【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，据此作答．【解答】解：∵（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，∴+的有理化因式是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．9．（5分）化简x的结果为﹣．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：x＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．10．（5分）已知＝5﹣x，则x的取值范围是x≤5．【分析】直接利用二次根式的性质得出答案．【解答】解：∵＝5﹣x，∴5﹣x≥0，解得：x≤5．故答案为：x≤5．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn ，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4+2＝（1+1）2；（3）化简：＝3+．【分析】（1）模仿例题可以解决问题；（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；（答案不唯一）（3）根据14+6＝（3+）2，即可解决问题；【解答】解：（1）∵a+b＝（m+n）2，∵a+b＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn．（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；∴4+2＝（1+）2故答案为：4，2，1，1；（3）∵14+6＝（3+）2，∴＝3+，故答案为3+．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（10分）若要化简我们可以如下做：∵3+2∴＝+1仿照上例化简下列各式：（1）＝+1（2）＝﹣【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案；（2）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案．【解答】解：（1）∵4+2＝3+1+2＝（）2+2××1+12＝（+1）2，∴＝＝+1；故答案为：+1；（2）∵13﹣2＝7+6﹣2＝（）2﹣2××+（）2＝（﹣）2，∴＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．13．（10分）已知x＝2+，y＝2﹣，试求代数式+的值．【分析】先计算出x+y、xy的值，再代入原式＝＝计算可得．【解答】解：∵x＝2+，y＝2﹣，∴x+y＝2++2﹣＝4、xy＝（2+）×（2﹣）＝1，则原式＝＝＝＝14．【点评】本题主要考查分母有理化与分式的加减运算，解题的关键是掌握分式加减运算法则、完全平方公式与平方差公式及二次根式的运算法则．14．（10分）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2××＝（+）2，∴＝＝+；（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×＝（2﹣）2，∴＝＝2﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．15．（10分）观察思考：（）2＝，（）2＝，（）2＝，（）2＝…由此得到：（1）（）2＝．（2）计算（）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．【分析】（1）根据已知等式即可得；（2）将原式变形为原式＝（3×）2＝32×（）2，利用所得规律计算可得．【解答】解：（1）根据题意知（）2＝，故答案为：；（2）原式＝（3×）2＝32×（）2＝9×＝．【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．。
二次根式乘除练习题带答案
二次根式乘除练习题带答案二次根式乘除练习题带答案二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在学习代数时经常遇到的一个知识点。
在解决实际问题或进行数学推理时，我们经常需要对二次根式进行乘除运算。
为了帮助大家更好地理解和掌握二次根式的乘除运算，下面将给出一些练习题，并附带答案供大家参考。
练习题一：计算下列二次根式的乘积，并将结果化简为最简形式：1. √3 * √52. √6 * √83. √10 * √12答案：1. √3 * √5 = √(3 * 5) = √152. √6 * √8 = √(6 * 8) = √48 = √(16 * 3) = 4√33. √10 * √12 = √(10 * 12) = √120 = √(10 * 12) = √(4 * 3 * 10) = 2√30练习题二：计算下列二次根式的商，并将结果化简为最简形式：1. √20 / √42. √27 / √93. √50 / √10答案：1. √20 / √4 = √(20 / 4) = √52. √27 / √9 = √(27 / 9) = √33. √50 / √10 = √(50 / 10)= √5练习题三：计算下列二次根式的乘积或商，并将结果化简为最简形式：1. (√2 + √3) * (√2 - √3)2. (√5 - √7) * (√5 + √7)3. (√8 + √12) / (√2 + √3)答案：1. (√2 + √3) * (√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -12. (√5 - √7) * (√5 + √7) = (√5)^2 - (√7)^2 = 5 - 7 = -23. (√8 + √12) / (√2 + √3)= (√4 * 2 + √4 * 3) / (√2 + √3) = (2√2 + 2√3) / (√2 + √3) = 2通过以上练习题的解答，我们可以看到二次根式的乘除运算并不复杂。
二次根式的乘除专项练习60题(有答案过程)ok
1． （ 2． 3． （2 +4 ）× +3） （3﹣ ） ．
4． 5． ．
6． 7． 8． ．
9． （1）
； （2）
10．
11． （1）x（2x﹣1）﹣x （2﹣x） ； 2 3 2 3 （2） （2ab ﹣b ） ÷2b ； （3） （4） （5） （6） ； ； ； ．
（2）
．
58．计算：2
×
．
59．
．
60．
．
二次根式的乘除法---
4
参考答案：
1． （ +3） （3﹣ ）=3 ﹣（ ） =9﹣6=3． 2 2 2. 原式=（3 ） ﹣（4 ） =54﹣32=22． 3．原式= 4．原式=（ 5．原式= 6. 原式=（2 7．原式= ） ﹣3 =20﹣9=11． =2﹣9+2 = ．
2
=﹣ =﹣
=﹣ ×10=﹣
．
÷ × × × ×4×
43．原式=﹣（9÷3× ） 44． 45． 46．原式=（2 47．原式=3 48．原式=27 49．原式=4 50．原式= 51．原式= ÷ ×3 = ） +2×2 ÷12= ÷ ×3 ． × × =27
2
×3
×
×
=45
﹣2=24﹣2=22． = × ×3 = ×2a= ． =9 ． ）] =[（ ） ﹣（ ） ] =（5﹣3） =4 +3）=（8﹣2 ） （8+2 ）=64﹣60=4．
=2 ． ×4
÷6
=
÷
2 2
= ÷3
×4 =
×
= ×4× × ．
=1
）=a b
新人教版八年级下二次根式的乘法练习题
16.2.1二次根式的乘法一、选择题1.如果()1010+⋅=+x x x x ，那么（ ）A. x ≥0B. x ≥－10 C .－10≤x ＜0 D. x 为全体实数2.如果m ⋅30是一个整数，则m 的最小正整数是（ ）A.10B.20C.30D.403.对于任意实数a ，下列各式中一定成立的是（ ） A.1112+⋅-=-a a a B. ()662+=+a a C. ()()a a --=-⋅-416 D. 24525a a =4.将根号外的字母移入根号内，则有aa 1-（ ） A. a B. a - C. a -- D. a -5.化简aa 3-（a ＜0）得（ ） A. a - B. a - C. a -- D. a6.一列各组数中的两个代数式相乘后为整式的是（ ）A. y x -2与x y 2-B. 52+x 与x 25-C. x a 与axD. y x 23+与y x 32-7. 下列各等式成立的是（ ）．A ．．×C ．．8.下列化简错误的是（ ） A. 272728=⨯ B. y xy y x 1325232= C. mn m n m =⋅ D. a a 3448=9.化简223b a a +的结果等于（ ）A. ab a +2B. 2b a +C. b a a +D. 2b a a +10.使式子()()x x x x -+=-⋅+3333成立的x 的取值范围是（ ）A. x ≥－3B. x ≤3C. －3≤x ≤3D. －3＜x ＜311.估算75.024⨯的运算结果应在（ ）A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间12.三角形的一边长是42㎝，这边上的高是30㎝，则这个三角形的面积是（ ）A. 356B. 353C.1260 D. 126021 13.若320-=m 则估计m 的值所在的范围是（ ）A.2 ＜m ＜3B.1＜m ＜2C.3＜m ＜4D.4＜m ＜514.在△ABC 中，BC=64，BC 上的高为22，则△ABC 的面积为（ ）A. 123B. 122C. 38D. 316 15.已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m ，则有（ ） A.5＜m ＜6 B.4＜m ＜5 C .－5＜m ＜－4 D .－6＜m ＜－5二、填空题16.使式子44162-⋅+=-a a a 成立的条件是 .17.已知x =16，y =81，则xy 的值是 .18.比较大小：152.19.计算：()185722-⨯= .20.能使得()()1313+⋅-=+-a a a a 成立的整数a 的和是 .21. 自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________． 22. ． 23.如果一个三角形的面积为12，一边长为3，那么这边上的高为 .24. 32⨯-= ，73⨯= .三、解答题25.计算：（1）32⨯ （2）2731⨯ （3）1553⨯⨯（4）()()797-⨯-⨯（5）6958327⨯⨯ （6）x x 24032⨯（8）b a 65136⨯- （9）3015162103⨯⨯ （10）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯a bc ab a 511026.已知a =2，b =3，用含a 、b 的代数式表示下列各数：（1）96 （2）18参考答案1.A ；2.C ；3.D ；4.C ；5.C ；6.B ；7.D ；8.C ；9.D ；10.C ；11.C ；12.B ；13.B ；14. C ；15.A ；16.a ≥4；17.36；18. ＞；19.-360；20.5；21.12；；23.4；24. 6-，21；25.（1）6，（2）3，（3）15，（4）21，（5）60，（7）x 524，（8）ab 2518-，（9）212，（10）c ab 2- 26.（1）4a b ，（2）a 2b .。
二次根式的乘法练习题
16.2.1二次根式的乘法课前预习:1二次根式的乘法法则:= (0,0a b ≥≥)。
即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
2.积的算术平方根: = (0,0a b ≥≥)。
即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
课堂练习：1.= 。
2.下列计算正确的是( )A ．= B. =C. =D. =3.下列各式的化简正确的是( )A 6== B. 18==C 311422==+= D. 36255==⨯= 4.对于任意实数x ，下列各式中一定成立的是( )A.B. 1x =+C. 2=D. 26x =5.0)a ≥的结果是 。
6.的结果是 。
7.=成立的条件是 。
8.计算:（1 （29.化简:（1 （20,0)a b ≥≥(3))0,0,0x y z ≥≥≥ 课后训练:10.的结果是( )A ．-2 B. 2 C.2 D. 211.下列变形正确的是( )A ． B.C. D.12.)0x ≥的结果是( )A ． B. - C. 2x xy + D. 2x y +13.当0,0x y >>时，下列计算正确的是( )A xy = B. 2= C. 2x = D. =14.下列各式的计算正确的是( )A.=2x ==-B. 20,0)a b ==≥≥C. 1====D. 6x =15.小明的作业本有以下四题:（124a =；(2)=；(3) ==(4) -=其中做错的题是( )A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)16.把(1x -根号外面的因式移到根号内得( )A B.C. D17.=则实数x 的取值范围是 。
18.= ()0,0a b ≥≥= ()0,0x y ≥≥.19.cm cm,则矩形的面积是 。
20.有四个实数分别为2332-，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 。
21.计算下列各题.(1) (2) (⎛⨯ ⎝(3) )0,0.x y ⎛⋅>> ⎝22.若b <0,的结果是( )A B. C. - D. -23.已知11m n ==( )A.9B. 3±C.3D.524.一个三角形的一条边长为2，求这个三角形的面积。
人教版八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》 含答案
人教版八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》◆基础知识作业1．计算： =2．长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为（精确到0.01）．3．能使等式成立的x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥24．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．5．化简的结果是（）A．B．C．D．6．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A．B．C．﹣D．﹣7．二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜8．化简：（1）（2）（3）（4）（5）（7）÷．◆能力方法作业9．若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．10．化简﹣÷= ．11．比较大小：﹣﹣．12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C．D．13．下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．14．计算：等于（）A．B．C．D．15．把根号外的因式移入根号内，其结果是（）A．B．﹣C．D．﹣16．化简：（1）（2）（x＞0）17．计算（1）4÷（﹣5）（2）÷（）（a＞0，b＞0，c＞0）18．把根号外的因式移到根号内：（2）．◆能力拓展与探究19．下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2C．D．20．化简：a（a＞b＞0）21．体积为18的长方体的宽为1cm，高为=2cm，求这个长方体的长．人教版八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》解析◆基础知识作业1．计算： =【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的除法法则对二次根式化简即可．【解答】解：原式==．【点评】主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=（a≥0，b≥0）．除法法则=（a＞0，b≥0）．2．长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 2.83 （精确到0.01）．【考点】二次根式的应用．【分析】根据二次根式的相关概念解答．【解答】解：设长方形的长为a，则2=a，a==2≈2.83．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．运算法则：•=（a≥0，b≥0）；=（a≥0，b＞0）．3．能使等式成立的x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【考点】二次根式的乘除法；二次根式有意义的条件．【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围．【解答】解：由题意可得，，解之得x＞2．故本题选C．【点评】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、=|a|，可化简；B、==，可化简；C、==3，可化简；因此只有D： =，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．5．化简的结果是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】原式被开方数利用平方差公式化简，约分后化简即可得到结果．【解答】解：原式====．故选D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二次根式的性质与化简．【分析】二次根式有意义，y＜0，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式．【解答】解：根据题意，xy＞0，得x和y同号，又x中，≥0，得y＜0，故x＜0，y＜0，所以原式====﹣．故答案选D．【点评】主要考查了二次根式的化简，注意开平方的结果为非负数．7．二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜【考点】分母有理化．【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵=， ==，；∴＜＜．故本题选C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．8．化简：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）÷．【考点】二次根式的乘除法．【分析】（1）直接进行化简即可；（2）直接进行化简即可；（3）先进行加法运算，然后进行化简即可；（4）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；（5）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；（6）先进行除法运算，然后进行化简；（7）先进行除法运算，然后进行化简．【解答】解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式==；（4）原式==；（5）原=；（6）原式==2；（7）原式==3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握运算法则以及二次根式的化简．◆能力方法作业9．若和都是最简二次根式，则m= 1 ，n= 2 ．【考点】最简二次根式．【分析】由于两二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n 的方程组，可求出m、n的值．【解答】解：由题意，知：，解得：；因此m的值为1，n的值为2．故答案为：1，2．【点评】本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．10．化简﹣÷= ．【考点】二次根式的乘除法．【分析】运用二次根式的运算性质，结合最简二次根式的概念，对二次根式进行化简．注意约分的运用．【解答】解：原式=﹣•=﹣•=﹣••=﹣2a．【点评】在二次根式的化简中，准确运用二次根式的性质，二次根式的除法法则和最简二次根式的概念，把结果化成最简的形式．11．比较大小：﹣＜﹣．【考点】实数大小比较．【分析】首先把两个数平方，再根据分母大的反而小即可比较两数的大小．【解答】解：∵（﹣）2=，（﹣）2=，又∵＞，∴﹣＜﹣，即﹣＜﹣．故填空答案：＜【点评】此题主要考查了实数的大小比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项错误；B、符合最简二次根式的条件；故本选项正确；B、，被开方数里含有能开得尽方的因式x2；故本选项错误；C、被开方数里含有分母；故本选项错误．D、被开方数里含有能开得尽方的因式a2；故本选项错误；故选；B．【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．13．（2013秋•阆中市期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A、=；B、=2；D、=|b|；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：C．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．14．计算：等于（）A．B．C．D．【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的乘除法法则计算．【解答】解： ==．故选A．【点评】二次根式的乘除法法则：（a≥0，b≥0）；（a≥0，b＞0）．15．把根号外的因式移入根号内，其结果是（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】二次根式的乘除法．【分析】由于被开方数为非负数，可确定1﹣a的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．【解答】解：由已知可得，1﹣a＞0，即a﹣1＜0，所以， =﹣=﹣．故本题选B．【点评】由已知得出1﹣a的取值范围是解答此题的关键．16．化简：（1）（2）（x＞0）【考点】二次根式的乘除法．【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解；（2）直接进行二次根式的化简即可．【解答】解：（1）原式==；（2）原式=．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键．17．计算（1）4÷（﹣5）（2）÷（）（a＞0，b＞0，c＞0）【考点】二次根式的乘除法．【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解即可；（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简求解．【解答】解：（1）原式=﹣4×=﹣；（2）原式==．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键．18．把根号外的因式移到根号内：（1）（2）．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】（1）先变形得到原式=﹣5×，然后利用二次根式的性质化简后约分即可；（2）先变形得到原式=（1﹣x）•，然后利用二次根式的性质化简后约分即可．【解答】解：（1）原式=﹣5×=﹣5×=﹣；（2）原式=（1﹣x）•=（1﹣x）•=﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： =|a|．◆能力拓展与探究19．下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2C．D．【考点】二次根式的乘除法；同底数幂的除法；完全平方公式；分式的基本性质．【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答．【解答】解：A、a12÷a6是同底数幂的除法，指数相减而不是相除，所以a12÷a6=a6，错误；B、（x+y）2为完全平方公式，应该等于x2+y2+2xy，错误；C、===﹣，错误；D、正确．故选D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．运算法则：①a m÷a n=a m﹣n，②÷=（a≥0，b＞0）．20．化简：a（a＞b＞0）【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先利用完全平方公式变形得到原式=a，再利用二次根式的性质得到原式=a•|﹣|，然后利用a＞b＞0去绝对值后进行分式的运算．【解答】解：原式=a=a•|﹣|，∵a＞b＞0，∴原式=a•[﹣（﹣）]=．【点评】本题考查了二次根式的性质和化简： =|a|．也考查了完全平方公式和绝对值的意义．21．体积为18的长方体的宽为1cm，高为=2cm，求这个长方体的长．【考点】二次根式的乘除法．【分析】已知长方体的宽与高，根据二次根式的乘法，即可求得这个长方体的长．【解答】解：长方体的高为=2cm，宽为1cm，则长方体的长为： =9cm，答：长方体的长是9cm．【点评】此题考查了二次根式的乘法．此题比较简单，注意÷=（a＞0，b＞0）。
专题 二次根式的乘除(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练
专题12.6 二次根式的乘除（巩固篇）（专项练习）一、单选题1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列实数中是无理数是（ ）A. B. C. D. ()03π-3. A. 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间4. 若0,0mn m n >+<=（ ）A. m B. -m C. n D. -n5. （ ）A.B. C. D.6. 已知1a b ==+，则,a b 的关系是（ ）A. a b = B. 1ab =- C. 1a b = D. a b=-7. 设a ，b ，用含a ，b （ ）A. 0.3abB. 0.6abC. 2abD. 22a b 8. 已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ）A. C. 2D. 2±9. 下列说法中正确的是（ ）A. 有意义的是x ＞﹣3B. 是正整数的最小整数n 是3C. 若正方形的边长为cm ，则面积为30cm 2D. 计算的结果是310. 在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例称为黄金分割数．设a =b =11111S a b =+++，2221111S a b =+++，3331111S a b=+++，…，1001001001111S a b =+++，则123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A. B. C. 100 D. 5050二、填空题11. 的倒数是______．12. 已知实数1a =，则a 的倒数为________．13. 都是最简二次根式，则m +n ＝_____．14. 已知最简二次根式与0b ≠，则=a ________.15. 不等式0< 的解集是_________．16. 已知m ___________．17.米为单位长度建立数轴，线段AB =17米，点A 在原点，点B 在数轴的正半轴，估计点B 位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．18. 将1按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.三、解答题19. （1）计算：()2023 1-+（220. 比较下列各数的大小（1）（2）3π-21. 计算：（1）)2+-；（22 --；（3）((1 20212022221-+--22. 先化简，再求值：2222a b ab baa a⎛⎫--÷-⎪⎝⎭，其中3,3a b=+=．23. ===，….(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数()1n n ≥的等式表示出来，并给出证明．24. 的大小过程：因为211=，224=，所以12<<；因为21.4 1.96=，21.5 2.25=，所以1.4 1.5<<；因为21.41 1.9881=，21.42 2.0164=，所以1.41 1.42<<；因为21.414 1.999396=，21.415 2.002225=，所以1.414 1.415<<；……的更加精确的近似值．（1的大致范围？（精确到0.01）（2）填空：①比较大小：“>、<或=”）②若a 、b 均为正整数，a >b <a b +的最小值是______．（3）现有一块长4.1dm ，宽为3dm 的长方形木板，要想在这块木板上截出两个面积分别为22dm 和25dm 的正方形木板，张师傅准备采用如图的方式进行，请你帮助分析一下，他的方法可行吗？专题12.6 二次根式的乘除（巩固篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】A ==合题意；B =，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；C 是最简二次根式，本选项符合题意；D 、==选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．【2题答案】【答案】B【解析】32===4=，()031π-=，是无理数，其余的都是有理数，是无理数．故选：B ．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，最简二次根式、立方根、零指数幂，理解相关运算法则是解答关键．【3题答案】【解析】=4+∵3＜4，∴7＜2+8+7和8之间．故选：C．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．【4题答案】【答案】B【解析】【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．【详解】解：由已知条件可得：m<0，n<0，∴原式=|m|=-m，故选：B．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键． 【答案】C【解析】【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高．【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h ）的乘=，∴h ==．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键．【6题答案】【答案】D【解析】【分析】根据a 和b 的值去计算各式是否正确即可．【详解】A. 1a b -=-==B. 1ab =≠-，错误；C. 1ab =≠，错误；D. 10a b +=++==，正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了实数的运算问题，掌握实数运算法则是解题的关键．【7题答案】【答案】B【解析】【分析】根据已知求出ab 的值，即可求出答案．【详解】∵a =b =∴ab ，==2×0.13⨯==0.6ab ．故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，键，是一道基础题．【8题答案】【答案】A【解析】【分析】已知226a b ab +=，变形可得28a b ab +=（），24a b ab -=（），可以得出a b +（）和a b -（）的值，即可得出答案．【详解】解：∵226a b ab +=，∴28a b ab +=（），24a b ab -=（），∵0a b >>，∴a b +=a b -=，∴a b a b +==-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】A 有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；B 是正整数的最小整数n 是3，故此选项正确；C 、若正方形的边长为cm ，则面积为90cm 2，故此选项错误；D 、的结果是1，故此选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算，正确掌握相关定义是解题的关键；【10题答案】【答案】C【解析】【分析】先计算1S ，2S ，3S 的值，找出规律，然后求解即可．【详解】解：a = ，b =，1ab ∴=，11111S a b=+++ (111)1)(b a a b =+++++21a ba b ab++=+++22a b a b++=++1=，2221111S a b =+++222211(1)(1)b a a b +++=++22222221a b a b a b ++=+++2222211a b a b ++=+++222222a b a b ++=++1=，3331111S a b =+++333311(1)(1)b a a b +++=++33333321a b a b a b ++=+++33333321a b a b a b ++=+++3333211a b a b ++=+++333322a b a b ++=++1=，⋯⋯1111n n nS a b =+++1(1)(1)n nn n b a a b ++=++21n nn n n na b a b a b ++=+++211n nn n a b a b ++=+++22n nn na b a b ++=++1=，1001S ∴=，123100S S S S ∴+++⋯+111100=++⋯⋯+=，故选：C【点睛】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．二、填空题【11题答案】【解析】【分析】根据倒数的定义解答即可．【详解】∵1=，【点睛】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键．【12题答案】【解析】【分析】直接利用倒数的定义结合二次根式的性质化简得出答案．【详解】解：∵实数1a=-，∴a=．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．【13题答案】【答案】﹣6．【解析】【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．【详解】由题意可得：31 211mm n+=⎧⎨-+=⎩解得：24 mn=-⎧⎨=-⎩∴m +n ＝﹣6故答案：﹣6．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．【14题答案】【答案】3【解析】【分析】确定与.【详解】解：由题意得3b ab =，解得3a =，故答案为3.【点睛】本题考查了二次根式的概念，明确最简二次根式的被开方数是解题的关键.【15题答案】【答案】>1x 【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法及二次根式的除法即可求得．【详解】解：由原不等式得： 解得>1x 故答案为：>1x ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及二次根式的化简与除法，熟练掌握和运用一元一次不等式的解法及二次根式的化简与除法是解决本题的关键．【16题答案】【答案】2【解析】【分析】根据题意知m -1，将所求式子进行通分化简，再将m 的值代入即可求解．【详解】解：由题意，知m -1，当m -1时，原式=2．故答案为2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的性质．【17题答案】【答案】9和10【解析】【分析】先计算17【详解】17=∵9=10=∴910<<∴这两个相邻整数是9和10．故答案为：9和10．【点睛】此题考查了无理数的估算，正确估算出17÷的大小是解题的关键．【18题答案】【答案】【解析】【详解】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)．故答案为三、解答题【19题答案】【答案】（1）8；（2）0【解析】【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案．【详解】解：（1）计算：()20231-=1-+=19-+=8；（2-+-=0．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．【20题答案】【答案】（1）<（2）3π<-【解析】【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可；（2）根据实数比较大小的方法求解即可．【小问1详解】解：∵((221218=<=，∴<；【小问2详解】解：∵222254544363936πππ⎛⎛⎫==>-== ⎪⎝⎭⎝，∴3π<-．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．【21题答案】【答案】（1）5-；（2）1-；（3【解析】【分析】（1）本题首先需要将二次根式化简，之后进行计算，去括号注意符号变化；（2）先对二次根式进行化简，去括号利用完全平方公式进行运算在进行合并；（3）利用平方差公式对括号进行化简，之后针对绝对值，判断绝对值内符号的正负，再去绝对值，之后进行合并运算．【详解】（1）原式155552=⨯-=-=-；（2）原式(423451=-+-=--+=-；（3）原式((202122221⎛⎡⎤=-+--- ⎣⎦⎝22=+=【点睛】本题重点考查的是二次根式的混合运算，需要用到简便运算，熟练掌握二次根式的化简及运算方法是解此类题型的关键．【22题答案】【答案】a b a b +-【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=()()222a b a b a ab b aa+--+÷()()()2a b a b aa ab +-⨯-=a ba b+-，∴当33a b ==-，时，原式=【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键 ．【23题答案】【答案】=，=，=(答案不唯一)；(2)(1n =+，证明见解析.【解析】【分析】（1）此题应先观察列举出的式子，再根据式子的特点书写.（2）先找出它们的一般规律，用含有n 的式子表示出来即可．【详解】(1)===.(2)(1n =+.==(1n =+【点睛】本题主要考查学生把特殊归纳到一般的能力及二次根式的化简，解题的关键是仔细观察，找出各式的内在联系解决问题．【24题答案】【答案】（1）2.23 2.24<<；（2）①>；②4；（3）他的方法可行，理由见解析．【解析】【分析】（1可；（2）①将两个数进行平方，平方后再进行比较即可；②要使得a b + 有最小值，只需要求得a 和b 的最小值，再进行计算即可得到答案；（3 4.13的大小即可得到答案.【详解】解：（1）∵224=，239=，∴23<<；∵22.2 4.84=，22.3 5.29=，∴2.2 2.3<<；∵22.23 4.9729=，22.24 5.0176=，∴2.23 2.24<<，（2）①∵(218=，(212=∴((22>∴>故答案为：＞.②∵224=，239=，∴23<<；∵a >a 为正整数∴a 的最小值为3∵311=，328=，∴12<<∵b <b 为正整数∴b 的最小值为1∴a b +的最小值为4；（3）∵两个正方形的面积分别为2dm 、5dm<<< 2.2431.42+<+=<2.24 1.423.664.1∴这个方法可行【点睛】本题主要考查了无理数的估值和比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。
二次根式的乘除法练习题
二次根式的乘除法练习题二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
掌握二次根式的乘除法是学好数学的基础，下面将给大家提供一些练习题，帮助大家巩固和提高这方面的能力。
1. 计算下列二次根式的乘法：(√3 + √5) × (√3 - √5)解析：使用公式(a + b) × (a - b) = a^2 - b^2，其中a = √3，b = √5。
根据这个公式，我们可以得到：(√3 + √5) × (√3 - √5) = (√3)^2 - (√5)^2 = 3 - 5 = -2答案：-22. 计算下列二次根式的乘法：(2√2 + 3√3) × (2√2 - 3√3)解析：使用公式(a + b) × (a - b) = a^2 - b^2，其中a = 2√2，b = 3√3。
根据这个公式，我们可以得到：(2√2 + 3√3) × (2√2 - 3√3) = (2√2)^2 - (3√3)^2 = 8 × 2 - 9 × 3 = 16 - 27 = -11答案：-113. 计算下列二次根式的乘法：(√7 + √2) × (√7 - √2)解析：使用公式(a + b) × (a - b) = a^2 - b^2，其中a = √7，b = √2。
根据这个公式，我们可以得到：(√7 + √2) × (√7 - √2) = (√7)^2 - (√2)^2 = 7 - 2 = 5答案：54. 计算下列二次根式的除法：(√10 + √5) ÷ √5解析：我们可以将分子和分母都乘以√5，得到：(√10 + √5) ÷ √5 = (√10 + √5) × (√5 ÷ √5) = (√10 + √5) × 1 = √10 + √5答案：√10 + √55. 计算下列二次根式的除法：(4√6 - 2√3) ÷ 2√3解析：我们可以将分子和分母都乘以2√3，得到：(4√6 - 2√3) ÷ 2√3 = (4√6 - 2√3) × (2√3 ÷ 2√3) = (4√6 - 2√3) × 1 = 4√6 - 2√3答案：4√6 - 2√3通过以上的练习题，我们可以看到，掌握二次根式的乘除法并不难，只需要熟练掌握相关的公式和技巧，就能够快速准确地计算出结果。
八年级数学下册《二次根式的乘除》练习题(附答案解析)
八年级数学下册《二次根式的乘除》练习题(附答案解析)一、选择题1. 下列二次根式是最简二次根式的是( )A. √13B. √8C. √14D. √122. 估计2√3×√12的值应在( )A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间3. 若xy<0，则√x2y化简后的结果是( )A. x√yB. x√−yC. −x√−yD. −x√y4. 若x=√a−√b，y=√a+√b，则xy的值为( )A. 2√aB. 2√bC. a−bD. a+b5. a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a−b|−√a2的结果是( )A. 2a−bB. bC. −bD. −2a+b6. 下列各式中，计算正确的是( )A. √27√3=9 B. √48√16=√3C. √20÷√4=4D. √43÷√19=3√27. 已知m=(−√33)×(−2√21)，则有( )A. 5<m<6B. 4<m<5C. −5<m<−4D. −6<m<−58. 设√2=a，√3=b，用含a、b的式子表示√0.54，则下列表示正确的是( )A. 0.3abB. 3abC. 0.1ab2D. 0.1a2b9. 计算√ba ÷√ab×√1ab(a>0,b>0)的值为( )A. 1ab2√ab B. 1a2b√ab C. 1b√ab D. b√ab10. 下列等式中成立的是( )A. √4+45=4√45B. √3+34=3√34C. √2+23=2√23D. √1+12=√12二、填空题11. 化为最简二次根式：√24=．12. 若√x−23−x =√x−2√3−x成立，则x满足．13. 计算√5×√15√3的结果是．14. 已知最简二次根式√4a+3b与√2a−b+6b+1可以合并，则a+b的值为．三、解答题15. 若二次根式√4m2=5，求m的值．16.计算：2√23m ÷16√6m⋅√8m3．17. 已知y =√x −2+√2−x +38，求√xy 的值．18.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简√a 2−√b 2+√(a −b)2．19. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边的长，化简：√(a +b −c)2+√(a −b −c)2．20. 已知a =√3−√2，b =1√3+√2，(1)求ab ，a +b 的值;(2)求b a +a b 的值．参考答案与解析1.【答案】C【解析】解：√13=√33不是最简二次根式；√8=2√2不是最简二次根式；√14是最简二次根式；√12=2√3不是最简二次根式；故选：C．根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式的概念，(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．【解答】解：∵2√3×√12=√12×12=√6，4<6<9，∴2<2√3×√12<3，故选：B．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，是基础知识要熟练掌握．根据二次根式有意义可得出y≥0，再由xy<0，得出x<0，y>0，从而化简即可．【解答】解：∵x2y≥0，∴y≥0，∵xy<0，∴x<0，y>0，∴√x2y=−x√y．故选D．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则运算即可解决．【解答】解：∵x=√a−√b，y=√a+√b，∴xy=(√a−√b)(√a+√b)=a−b．故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和二次根式的性质．根据数轴得出a<0<b，推出a−b<0，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵a<0<b∴a−b<0∴|a−b|−√a2=b−a+a=b．故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是二次根式的乘除的有关知识，利用二次根式的除法法则将给出的各个选项中的式子进行逐一计算即可求解．【解答】解：A．√27√3=3，故A错误；B√48√16=√3，故B正确；C.√20÷√4=√5，故C错误；D.√43÷√19=√43÷19=√43×9=2√3，故D错误．故选B．7.【答案】A【解析】略8.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的化简以及二次根式的乘除的逆用.先把√0.54化为√2、√3的形式，再把a、b代入计算即可．【解答】解：√0.54=√54100=√2×3×32100=310×√2×√3=0.3ab，故选A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解决本题的关键是熟记二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法，即可解答．【解答】解：√ba ÷√ab×√1ab=√ba×1ab×1ab=√1a3b=√aba2b．故选：B．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二次根式的性质，掌握二次根式的性质是关键．根据最简二次根式的性质进行化简即可判断．【解答】解：A、√4+45≠4√45，不成立；B、√3+34≠3√34，不成立；C、√2+23=√83=2√23，成立；D、√1+12=√32≠√12，不成立．11.【答案】2√6【解析】【分析】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则化简即可．【解答】解：√24=√4×6=2√6，故答案为：2√6．12.【答案】2≤x<3【解析】解：要使√x−23−x =√x−2√3−x成立，必须{x−2≥0 3−x>0，解得：2≤x<3，故答案为：2≤x<3．根据二次根式有意义的条件得出不等式组，求出不等式组的解集即可．本题考查了二次根式的除法，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．13.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的乘除的应用，解题的关键是熟练掌握二次分式的乘除的法则， √5×√15√3的值． √5×√15√3=√5×15√3=√753=√25=5．14.【答案】2【解析】【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a 、b ，再计算即可．本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【解答】解：由题意得，{b +1=24a +3b =2a −b +6， 解得，{a =1b =1， 则a +b =1+1=2，故答案为：2．15.【答案】解：∵二次根式√4m 2=5，∴4m 2=25，∴m 2=254，∴m =±52【解析】本题主要考查的是二次根式的性质的有关知识，根据二次根式的运算法则即可求出答案．16.【答案】解：原式=2×6√23m ×16m×8m 3 =12√8m 9=8√2m ．【解析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．17.【答案】解：根据题意知，{x −2≥02−x ≥0， 解得：x =2，当x =2时，y =38，则√xy =√2×38=√32． 【解析】根据二次根式有意义的条件可得关于x 的不等式组，解不等式组可得x 的值，代入等式得y 的值，继而可得答案．本题考查了二次根式的有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．18.【答案】解：由数轴知，a <0，且b >0，∴a −b <0，∴√a 2−√b 2+√(a −b)2=|a|−|b|+|a −b|=−a −b +(b −a)=−a −b +b −a =−2a ．【解析】本题主要考查二次根式的性质：当a >0时，√a 2=a ；当a <0时，√a 2=−a ；当a =0时，√a 2=0.首先利用数轴确定a ，b ，a −b 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简即可．19.【答案】2b【解析】略20.【答案】解：(1)∵a=√3−√2=√3+√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2，b=√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2，∴ab=(√3+√2)×(√3−√2)=1，a+b=√3+√2+√3−√2=2√3；(2)ba+ab=√3−√2√3+√2+√3+√2√3−√2=(√3−√2)2+(√3+√2)2=5−2√6+5+2√6=10．【解析】此题主要考查了分母有理化，正确得出有理化因式是解题关键．(1)直接利用平方差公式分别化简各式进而计算得出答案；(2)利用(1)中所求，结合分母有理化的概念得出有理化因式，进而化简得出答案．。
二次根式乘法加减法练习题(打印版)
二次根式乘法加减法练习题（打印版）1. 乘法运算- 计算 \(\sqrt{2} \times \sqrt{3}\)- 计算 \(\sqrt{8} \times \sqrt{18}\)- 计算 \(2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2}\)- 计算 \(\sqrt{50} \times \sqrt{32}\)2. 加减法运算- 简化 \(\sqrt{48} + \sqrt{12}\)- 简化 \(5\sqrt{7} - 2\sqrt{7}\)- 简化 \(\sqrt{75} - 3\sqrt{27}\)- 简化 \(4\sqrt{11} + 3\sqrt{11}\)3. 混合运算- 计算 \((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2\)- 计算 \((\sqrt{5} - \sqrt{2}) \times (\sqrt{5} +\sqrt{2})\)- 计算 \(\frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{\sqrt{13} -\sqrt{3}}\)- 计算 \(\sqrt{8} + \sqrt{18} - 2\sqrt{2}\)4. 应用题- 如果一个直角三角形的两条直角边分别为 \(\sqrt{3}\) 米和\(\sqrt{4}\) 米，求斜边的长度。
- 一个长方体的长、宽、高分别为 \(\sqrt{2}\) 米，\(\sqrt{3}\) 米和 \(\sqrt{5}\) 米，求其体积。
5. 拓展练习- 证明 \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\) 对所有正实数 \(a\) 和 \(b\) 成立。
- 如果 \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = 7\) 且 \(\sqrt{a} - \sqrt{b} = 1\)，求 \(a\) 和 \(b\) 的值。
解答提示：- 在进行二次根式的乘法运算时，可以先将根号内的数相乘，然后再开方。
二次根式乘除计算练习题
二次根式乘除估计训练之阳早格格创做一．采用题（共7小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．如果ab＞0，a+b＜0，那么底下各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中精确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．下列等式纷歧定创造的是（）A．=（b≠0）B．a3•a﹣5=（a≠0）C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a6 4．使式子创造的条件是（）A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜55．若，且x+y=5，则x的与值范畴是（）A．x＞B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7 6．下列估计精确的是（）A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5•2a3=6a67．化简的截止是（）A．B．C．D．二．挖空题（共1小题）8．若战皆是最简二次根式，则m=，n=．三．解问题（共32小题）9．．10．（1）÷3×5；（2）﹙﹣﹚÷（）．11．．12．2×÷5．13．估计：．14．（1）（2）（3）．15．（1）化简：•（﹣4）÷（2）已知x=﹣1，供x2+3x﹣1的值．16．估计：2×．17．估计：（2+4）×18．．19．估计：2÷•．20．估计：4÷（﹣）×．21．（1）估计：•（÷）；（2）已知真数x、y谦脚：+（y﹣）2=0，供的值．22．．23．估计：（）2﹣（2016）0+（）﹣1．24．已知x、y为正数，且（+）=3（+5），供的值．25．估计：．26．自习课上，弛玉瞅睹共桌刘敏正在训练本上写的题目是“供二次根式中真数a的与值范畴”，她报告刘敏道：您把题目抄错了，不是“”，而是“”，刘敏道：哎呀，真抄错了，佳正在不做用截止，反正a战a﹣3皆正在根号内．试问：刘敏道得对付吗？便是道，依照解题战依照解题的截止一般吗？27．估计：．28．估计：．29．（x＞0，y＞0）30．化简：3a•（﹣）（a≥0，b≥0）31．估计：（1）（2）．32．估计：2×÷10．33．估计：×（）÷．34．估计：．35．估计：（）﹣||36．化简与估计：（1）÷；（2）3a•（﹣）（b≥0）．37．估计：（1）9×3﹣2+20160﹣×（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2．38．化简：4x2．39．估计：（a≥0，b≥0）．40．估计：×（﹣2）÷．二次根式乘除估计训练参照问案与试题剖析一．采用题（共7小题）1．（2015•锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分解】A、B选项的被启圆数中含有已启尽圆的果数或者果式；C选项的被启圆数中含有分母；果此那三个选项皆不是最简二次根式．【解问】解：A、不是最简二次根式，故本选项过失；B、不是最简二次根式，故本选项过失；C、不是最简二次根式，故本选项过失；D、是最简二次根式，故本选项精确；故选D．【面评】本题考查了对付最简二次根式定义的应用，正在推断最简二次根式的历程中要注意：（1）正在二次根式的被启圆数中，只消含有分数或者小数，便不是最简二次根式；（2）正在二次根式的被启圆数中的每一个果式（或者果数），如果幂的指数等于或者大于2，也不是最简二次根式．2．（2014•济宁）如果ab＞0，a+b＜0，那么底下各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中精确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分解】由ab＞0，a+b＜0先供出a＜0，b＜0，再举止根号内的运算．【解问】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0①=，被启圆数应≥0，a，b不克不迭干被启圆数，（故①过失），②•=1，•===1，（故②精确），③÷=﹣b，÷=÷=×=﹣b，（故③精确）．故选：B．【面评】本题是考查二次根式的乘除法，解问本题的闭键是精确a＜0，b＜0．3．（2015•烟台）下列等式纷歧定创造的是（）A．=（b≠0）B．a3•a﹣5=（a≠0）C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a6【分解】分别利用二次根式的本量以及背整数指数幂的本量战仄圆好公式以及积的乘圆运算规则化简供出即可．【解问】解：A、=（a≥0，b＞0），故此选项过失，切合题意；B、a3•a﹣5=（a≠0），精确，分歧题意；C、a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），精确，分歧题意；D、（﹣2a3）2=4a6，精确，分歧题意．故选：A．【面评】此题主要考查了二次根式的本量以及背整数指数幂的本量战仄圆好公式以及积的乘圆运算规则等知识，精确掌握运算规则是解题闭键．4．（2010•黄山校级一模）使式子创造的条件是（）A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5【分解】根据分式蓄意思分母不为0及二次根式的被启圆数为非背数可得出问案．【解问】解：由题意得：，解得：a＞5．故选B．【面评】本题考查二次根式及分式蓄意思的条件，易度不大，注意掌握分式蓄意思分母不为0及二次根式的被启圆数为非背数．5．（2016•萧山区模拟）若，且x+y=5，则x的与值范畴是（）A．x＞B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7【分解】直交利用二次根式蓄意思的条件，得出y的与值范畴，从而得出问案．【解问】解：∵，∴y+2≥0，2x﹣1＞0，解得：y≥﹣2，x＞，∵x+y=5，∴＜x≤7．故选：D．【面评】此题主要考查了二次根式蓄意思的条件，得出y的与值范畴是解题闭键．6．（2016•少沙）下列估计精确的是（）A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5•2a3=6a6【分解】直交利用二次根式乘法运算规则以及分离共底数幂的乘除运算规则分别化简供出问案．【解问】解：A、×=，精确；B、x8÷x2=x6，故此选项过失；C、（2a）3=8a3，故此选项过失；D、3a5•2a3=6a8，故此选项过失；故选：A．【面评】此题主要考查了二次根式乘法运算以及分离共底数幂的乘除运算、积的乘圆运算等知识，精确掌握相闭本量是解题闭键．7．（2014•新泰市模拟）化简的截止是（）A．B．C．D．【分解】先推断出a的标记，再把二次根式举止化简即可．【解问】解：由可知，a＜0，本式=﹣=﹣．故选C．【面评】将根号中的a移到根号内，要注意自己的标记，把标记留正在根号中，共时注意根号内被启圆数的标记．二．挖空题（共1小题）8．（2013秋•阳谷县期终）若战皆是最简二次根式，则m=1，n=2．【分解】由于二二次根式皆是最简二次根式，果此被启圆数的幂指数均为1，由此可得出闭于m、n的圆程组，可供出m、n的值．【解问】解：由题意，知：，解得：；果此m的值为1，n的值为2．故问案为：1，2．【面评】本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被启圆数（或者果式）的幂指数必为1．三．解问题（共32小题）9．（2015秋•宁乡县期终）．【分解】最先把乘除法混同运算转移成乘法运算，而后举止乘法运算即可．【解问】解：本式=3×（﹣）×2=﹣3××2×=﹣=﹣×10=﹣．【面评】本题考查了分式的乘除混同运算，精确变换成乘法运算是闭键．10．（2013秋•云梦县校级期终）（1）÷3×5；（2）﹙﹣﹚÷（）．【分解】（1）利用二次根式的乘除运算规则将除法形成乘法，根号内的战根号里里相乘除，根号中的与根号中部相乘除，从而化简得出即可；（2）利用二次根式的乘除运算规则将除法形成乘法，根号内的战根号里里相乘除，根号中的与根号中部相乘除，从而化简得出即可．【解问】解：（1）÷3×5=×5=；（2）﹙﹣﹚÷（）=﹣××3=﹣=﹣9x2y．【面评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，精确掌握运算规则是解题闭键．11．（2014秋•苏州期终）．【分解】果为二个果式的第一项真足相共，第二、三项互为好异数，切合仄圆好公式的特性，按仄圆好公式估计即可．【解问】解：本式==2﹣9+2=．【面评】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及仄圆好公式的应用．使用仄圆好公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2估计时，闭键要找相共项战好异项，其截止是相共项的仄圆减来好异项的仄圆．12．（2016秋•黑推特前旗期终）2×÷5．【分解】本题需先根据二次根式的乘除法的规则分别举止估计，即可供出问案．【解问】解：2×÷5=4×==．【面评】本题主要考查了二次根式的乘除法，正在解题时要根据二次根式的乘除法的规则举止估计是本题的闭键．13．（2015秋•湖北校级期中）估计：．【分解】最先化简二次根式，从而利用二次根式的乘除运算规则供出即可．【解问】解：本式=3×5×=15．【面评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，精确化简二次根式是解题闭键．14．（2014秋•赵县期终）（1）（2）（3）．【分解】（1）先将各二次根式化为最简，再使用乘法调配律举止运算，而后再举止二次根式的加减．（2）使用仄圆好公式举止估计即可．（3）直交举止启圆运算即可得出问案．【解问】解：（1）本式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，=6﹣60，=12﹣60；（2）本式=﹣，=18﹣75，=﹣57；（3）==．【面评】本题考查二次根式的乘除运算，易度不大，注意正在运算时公式的使用，更要小心．15．（2011秋•东台市校级期中）（1）化简：•（﹣4）÷（2）已知x=﹣1，供x2+3x﹣1的值．【分解】（1）根据二次根式的定义战已知供出x、y皆是背数，先化成最简根式，再根据二次根式的乘除法规则举止估计即可．（2）把代数式化成（x+1）2+x﹣2，代进后根据二次根式的混同运算规则举止估计即可．【解问】（1）解：本式=﹣•（）÷，=（••），=﹣8x2y．（2）解：x=﹣1，∴x2+3x﹣1，=x2+2x+1+x﹣2，=（x+1）2+x﹣2，=+﹣1﹣2，=2+﹣3，=﹣1+．【面评】本题考查了二次根式的本量战定义，代数式供值，二次根式的乘除法规则等知识面的应用，解此题的闭键是把根式化成最简根式，注意：从题中得出x、y皆是背数，=﹣x，=﹣y，题型较佳，然而是一讲比较简单堕落的题目．16．（2014秋•直阜市期终）估计：2×．【分解】根据二次根式的乘除法规则，系数相乘除，被启圆数相乘除，根指数稳定，如：2×÷3，÷，估计后供出即可．【解问】解：本式=（2××），=．【面评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，闭键是能流利天使用规则举止估计，题目比较典型，易度适中，此题是一讲简单堕落的题目．17．（2014秋•沅陵县校级期终）估计：（2+4）×【分解】用战分别来乘括号里的每一项，而后再举止加法运算，即可得出截止．【解问】解：本式==．【面评】解问本题闭键是要掌握二次根式的混同运算的运算规则．18．（2016秋•凶林期终）．【分解】使用（a≥0，b＞0）直交举止估计．也不妨先分子干减法运算，再分子、分母干除法运算．【解问】解：本式===3﹣2=1．【面评】对付于二次根式的乘除法，应分离给出的算式的特性机动举止估计．19．（2015秋•闸北区期中）估计：2÷•．【分解】直交利用二次根式的乘除运算规则化简供出问案．【解问】解：本式=2×6=12=8．【面评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，精确掌握运算规则是解题闭键．20．（2014秋•门头沟区期终）估计：4÷（﹣）×．【分解】根据二次根式的乘法规则战除法规则供解．【解问】解：本式=﹣2÷×=﹣×=﹣．【面评】本题考查了二次根式的乘除法，解问本题的闭键是掌握二次根式的乘法规则战除法规则．21．（2014秋•孝义市期终）（1）估计：•（÷）；（2）已知真数x、y谦脚：+（y﹣）2=0，供的值．【分解】（1）利用二次根式的乘除法规则供解；（2）利用算术仄圆根战一个数的仄圆等于0供出x，y，再供的值．【解问】解：（1）•（÷）=•===；（2）由+（y﹣）2=0，可知，=0且（y﹣）2=0，即，解得．所以==．【面评】本题主要考查了二次根式的乘除法，非背数的本量及算术仄圆根，解题的闭键是利用算术仄圆根战一个数的仄圆等于0供解．22．（2013秋•岳麓区校级期终）．【分解】先化简，再根据二次根式的乘法举止估计即可．【解问】解：本式=÷×3=××3=9．【面评】本题考查了二次根式的乘除法，化简二次根式是解此题的闭键．23．（2016•祸修模拟）估计：（）2﹣（2016）0+（）﹣1．【分解】直交利用二次根式的本量以及整指数幂的本量战背整数指数幂的本量化简供出问案．【解问】解：本式=5﹣1+3=7．【面评】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及整指数幂的本量战背整数指数幂的本量，精确有闭掌握运算规则是解题闭键．24．（2016秋•宿乡区校级期终）已知x、y为正数，且（+）=3（+5），供的值．【分解】央供代数式的值，要最先将分子分母的字母统一成一种，果此要整治已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，而后代进代数式中，约分即可．【解问】解：由已知条件得x﹣2﹣15y=0，∴（+3）（﹣5）=0，∵+3＞0，∴﹣5=0，∴，x=25y，∴==2．【面评】不妨对付所给条件适合的变形是解题的闭键，对付条件的变形不程序可循，要根据题目需要，使用所教知识适合变形．25．（2016•厦门校级模拟）估计：．【分解】根据有理数的乘圆、来括号规则、二次根式的乘法规则分别估计，再合并即可．【解问】解：本式=﹣1﹣2+5+4=6．【面评】本题考查了二次根式的乘法规则，有理数的乘圆，来括号规则的应用，能供出各个部分的值是解此题的闭键．26．（2015秋•赵县期中）自习课上，弛玉瞅睹共桌刘敏正在训练本上写的题目是“供二次根式中真数a的与值范畴”，她报告刘敏道：您把题目抄错了，不是“”，而是“”，刘敏道：哎呀，真抄错了，佳正在不做用截止，反正a战a﹣3皆正在根号内．试问：刘敏道得对付吗？便是道，依照解题战依照解题的截止一般吗？【分解】本题需注意的是，被启圆数为非背数，按估计，则a战a﹣3可为共号的二个数，即共为正，或者共为背；而按估计，惟有共为正的情况．【解问】解：刘敏道得分歧过失，截止纷歧样．按估计，则a≥0，a﹣3＞0或者a≤0，a﹣3＜0解之得，a＞3或者a≤0；而按估计，则惟有a≥0，a﹣3＞0解之得，a＞3．【面评】二次根式的被启圆数利害背数，分母不为0，是本题决定与值范畴的主要依据．27．（2014秋•专湖县校级月考）估计：．【分解】先将戴分数化为分数，而后而后根据×=举止二次根式的乘法运算即可．【解问】解：本式=××==×4=3．【面评】本题考查了二次根式的乘除法运算，易度不大，将戴分数化简为分数是很闭键的一步．28．（2016秋•夏津县校级月考）估计：．【分解】直交利用二次根式乘除运算规则直交供出即可．【解问】解：=3×（﹣）×2=﹣×5=﹣．【面评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，流利应用运算规则是解题闭键．29．（2014秋•淮阳区校级月考）（x＞0，y＞0）【分解】根据二次根式的乘除法把根号中的相乘除，根号里的相乘除再化简即可．【解问】解：本式=﹣=﹣，∵x＞0，y＞0，∴本式=﹣=﹣3xy．【面评】本题主要考查了二次根式的乘除法，流利掌握运算规则是解题的闭键．30．（2013秋•玄武区期终）化简：3a•（﹣）（a ≥0，b≥0）【分解】根据二次根式的乘法运算规则直交得出即可．【解问】解：本式=﹣2a，=﹣12ab．【面评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，精确化简二次根式是解题闭键．31．（2016秋•咸歉县校级月考）估计：（1）（2）．【分解】（1）根据二次根式的乘法，可得问案；（2）根据二次根式的乘除法，可得问案．【解问】解：（1）本式=﹣12=﹣12×9=﹣108；（2）本式=÷×==1．【面评】本题考查了二次根式的乘除法，•=，÷=．32．（2016秋•端州区期终）估计：2×÷10．【分解】先化简二次根式，再用乘法战除法运算即可．【解问】解：2×÷10=2×2××=【面评】此题是二次根式的乘除法，主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解本题的闭键是分母有理化的使用．33．（2012秋•上海期中）估计：×（）÷．【分解】根据二次根式乘除法及分母有理化的知识解问即可．【解问】解：本式=b2×（﹣a）÷3=2b×（﹣a）×=﹣a2b．【面评】此题考查了二次根式的乘除法，认识二次根式乘除法的规则是解题的闭键．34．（2014秋•弛家港市校级期中）估计：．【分解】最先利用二次根式除法以及乘法规则转移成一个二次根式，而后对付二次根式举止化简即可．【解问】解：本式===×2a=．【面评】本题考查了二次根式的乘除运算，精确明白规则，精确化简二次根式是闭键．35．（2016秋•罗定市期中）估计：（）﹣||【分解】直交利用二次根式乘法运算规则化简从而利用千万于值的本量化简，再合并供出问案．【解问】解：本式=3﹣﹣（2﹣）=3﹣﹣2+，=1．【面评】此题主要考查了二次根式的乘法以及千万于值的本量，精确掌握运算规则是解题闭键．36．（2014秋•吴中区期终）化简与估计：（1）÷；（2）3a•（﹣）（b≥0）．【分解】（1）利用二次根式除法运算规则供出即可；（2）利用二次根式乘法运算规则供出即可．【解问】解：（1）÷=×=；（2）3a•（﹣）（b≥0）=3a×（﹣）=﹣2a=﹣12ab．【面评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，流利掌握二次根式乘除运算规则是解题闭键．37．（2016•海北模拟）估计：（1）9×3﹣2+20160﹣×（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2．【分解】（1）先根据背整数指数幂的意思、整指数幂的意思化简乘圆，再算乘法，而后估计加减；（2）利用仄圆好公式与真足仄圆公式估计乘法与乘圆，再来括号合并共类项即可．【解问】解：（1）9×3﹣2+20160﹣×=9×+1﹣4=1+1﹣4=﹣2；（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2=（a2﹣4）﹣（a2﹣2a+1）=a2﹣4﹣a2+2a﹣1=2a﹣5．【面评】本题考查了整式的混同运算，真数的混同运算，背整数指数幂、整指数幂的意思，二次根式的乘除法，掌握运算程序与运算规则是解题的闭键．38．（2016秋•潮北区月考）化简：4x2．【分解】直交利用二次根式乘除运算规则化简供出问案．【解问】解：4x2=4x2÷12×3=x2=xy．【面评】此题主要考查了二次根式的乘除运算规则，精确化简二次根式是解题闭键．39．（2013秋•北京期终）估计：（a≥0，b≥0）．【分解】根据二次根式的乘法规则供解．【解问】解：本式=2=2=6a．【面评】本题考查了二次根式的乘法，解问本题的闭键是掌握二次根式的乘法规则=．40．（2014秋•闵止区校级期中）估计：×（﹣2）÷．【分解】直交利用二次根式的乘除运算规则化简供出即可．【解问】解：×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣=﹣．【面评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，精确掌握运算规则是解题闭键．。
二次根式的乘除[1]
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二次根式的乘除（第1课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1＝，；（2＝，；（3，；【要点梳理】)0,0a b=≥≥即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．例1计算下列各题：（1（2；（3（4（5）；（6）．【课堂操练】1.计算下列各题：（1）（2（3；（4；（5；（62．等式=成立的条件是.【要点梳理】2．积的算术平方根的性质：)0,0a b=≥≥即：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．例2化简：（1）；（2；（3；（4【课堂操练】１. 化简：（1（2；（3（4【要点梳理】例3化简：（1；（2（3；（4（5）(--．【课堂操练】1．化简：（1；（2（3；（4（5例4比较大小①例5.已知梯形的上底a=,下底b=高h=求面积S.【课后盘点】1.等式=成立的条件是．2＝＝3．＝4．比较大小：-5．把根号-外的因式移到根号内得62=，那么必须满足的条件是（）A．a取全体实数B．0a≥C．a＞０D．a＜０7．计算10253⋅的结果应该是（）A．300B．C．D8．下列计算准确的是( )A==B==C541==-=D==9．在下列运算：=-==()3515==-⨯-=5===中，准确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．已知为正实数，下列等式中，一定成立的是（）A=B22a b=+C．2a b=+D a b=-11．化简：（1；（2（3；（4(5) ；(6) ；(7) ．12．填空（1=（2=（3=（4=（5=（6= （7= （8= （9=（10= （11）×= （12= 13．判断下列各式是否准确，不准确的请改正： （1（2=4×=414．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是 （ ） A ．cm B ．cm C ．9cm D ．27cm15．化简（ ） ABC ．D ．16．等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-117．下列各等式成立的是 （ ） A ．8B ．C ．D ．=18． 自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________． 19．计算下列各式:(2) (--(3)(4) -(5)(6)20．大家都知道当0a ≥时,a =,实质上当0a ≤时,a =-.这是因为a ==-．这个性质反过来同样成立，请使用上述结论，将下列根号外的因式移至根号内．(1) ;(2) -.21．cm,这边上的求此三角形的面积.22.已知矩形的宽为,长为, 求矩形的面积.23．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？(设计人:周海燕)二次根式的乘除（第2课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？（1＝；（2＝，．【要点梳理】1.二次根式的除法法则：=0a≥,b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．例1 计算下列各题：（1；（2；（3；（4）；【课堂操练】1．计算下列各式：（1；（2（3；（4（52.商的算术平方根的性质：=（0a≥，b＞０）例2 化简：；练习：化简下列各式:(1)(2)(3)(4)(5) ；(6) ．例3 观察下列各式及其验证过程:=:(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想;（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且2n≥)表示的等式，并证明它成立.2．最简二次根式满足下列条件：(1) 被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.例4下列二次根式中哪些是最简二次根式，哪些不是?，，(8)a>b)【课后盘点】1）A．27B．27CD2．阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，（）A．2 B．6 C．13D3.如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对4．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）A B．D．5．在下列各式中，化简正确的是（）A B±12C D．6的结果是（）A．－3B．C．－3D．7．分母有理化: (1)66=_________；(2) ；(3) =______．8．已知x=3，y=4，z=5，最后结果是_______．9．（x ≥0）10．化简二次根式号后的结果是___ ．11分母有理化为.12=成立的条件是a b=ab的代数式表示为．14.·（-）÷（m>0，n>0）15.-3÷（）×（a>0）16.若y且x、y为实数，17.=，且x为偶数，求（1+x）的值．18.先化简,再求值.32322222b b ab ba b a a b ab a b+-÷--+-，其中a=，b=19.先将2x-,然后自选一个x合适的值,代入化简后的式子求值.20.已知x为奇数,且=求.21．已知a阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：解：-aa-a·1a=（a-122. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．23.在直角坐标系中,一次函数y kx b=+经过点(和(-,求原点o到该直线的距离.24．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-=-，同理可得：，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……））的值．（设计人:周海燕)BAC。
二次根式基础练习(含答案)63438
二次根式（1）1．当a ______时，23-a 有意义;当x ______时，31-x 有意义． 2．当x ______时，x1有意义；当x ______时，x1的值为1．3．直接写出下列各式的结果： (1)49＝______；(2）2)7(＝______；(3）2)7(-＝______；（4）2)7(-＝______；(5)2)7.0(＝______;（6)22])7([-＝______． 4．下列各式中正确的是( )． （A)416±=(B)2)2(2-=- （C ）24-=- (D)3327= 5．下列各式中，一定是二次根式的是( )． （A ）23- (B)2)3.0(- （C)2- （D ）x6．已知32+x 是二次根式，则x 应满足的条件是( )． (A)x ＞0 （B)x ≤0 (C ）x ≥－3 (D)x ＞－3 7．当x 为何值时，下列式子有意义? (1）x -1;(2)2x -；（3）12+x ； (4).7x +8．计算下列各式： (1)2)23( （2）2)32(⨯ (3)2)53(⨯-(4)2)323( 9．若y x xy ⋅=24成立，则x ,y 必须满足条件______．10． (1）12172⨯______; (2))84)(213(--＝______； (3)62434⨯________．(4)3649⨯＝______；（5)25.081.0⨯＝______；(6）31824a a ⋅＝______． 11．下列计算正确的是（ )． (A ）532=⋅（B ）632=⋅（C)48=（D ）3)3(2-=-12．化简2)2(5-⨯，结果是（ ）．(A)52（B)52- (C ）－10 （D ）1013．如果)3(3-=-⋅x x x x ，那么( )．(A ）x ≥0 （B)x ≥3 (C ）0≤x ≤3 (D ）x 为任意实数 14．当x ＝－3时，2x 的值是（ )． （A)±3 （B)3 （C)－3 (D)915．计算：（1)26⨯（2)123⨯(3)8223⨯ (4)x x 62⋅ (5）aab 131⋅(6）ab a 3162⋅ （7)49)7(2⨯- （8）22513- （9)7272y x16．已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．17．把下列各式化成最简二次根式： (1)12＝______； （2)18＝______； (3）45＝______； (4）x 48＝______；（5)32＝______； （6）214＝______； （7）35b a ＝______； （8)3121+＝______． 18．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式： 如：23与2． (1)32与______；(2)32与______; （3）a 3 与______；（4)38a 与______； (5)26a 与______． 19．xxx x -=-11成立的条件是（ ）． （A ）x ＜1且x ≠0 (B)x ＞0且x ≠1（C)0＜x ≤1 （D)0＜x ＜1 20．下列计算不正确．．．的是（ ）． （A)471613= （B)xy xx y 63132= （C)201)51()41(22=- (D)x x x 3294=21．下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A ．7 B ．3 C ．21 D ．222．（1）2516= (2）972=(3）324= (4）1227=(5)1525=（6）632= （7）211311÷ (8)125.02121÷23．把下列二次根式15,12,18,82,454,125,27,32化简后,与2的被开方数相同的有_________；与3的被开方数相同的有______；与5的被开方数相同的有______．24． (1）31312+＝______;（2）485127-＝______． 25．化简后，与2的被开方数相同的二次根式是（ )． （A ）12 (B ）18 （C)41 （D)6126．下列说法正确的是( )．(A)被开方数相同的二次根式可以合并 （B)8与80可以合并(C)只有根指数为2的根式才能合并(D)2与50不能合并27．可以与a 12合并的二次根式是（ )．（A)a2 （B ）a 54 (C)a 271 (D ）a 328、.48512739-+ 29．.61224-+30．.503238318-++31．).5.04313()81412(---32．.12183127--33．)272(43)32(21--+34．当a ＝______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并． 35．若a ＝7＋2,b ＝7－2,则a ＋b ＝______,ab ＝______．36．合并二次根式：(1))18(50-+＝______；（2）ax xax45+-＝______． 37．下列各式中是最简二次根式的是（ )． (A)a 8 （B)32-b （C ）2y x - (D)y x 2338．下列计算正确的是（ )． （A ）3232=+ （B)b a ab 555+= (C)268=- （D ）x x x =-4539．)32)(23(+-等于( )．（A)7 (B)223366-+- （C)1 （D)22336-+40．⋅⋅-121)2218( 41．).23)(322(-- 42．).3223)(3223(-+ 43．).3218)(8321(-+ 44．.6)1242764810(÷+- 45．.)18212(2-46．.1502963546244-+-47．).32)(23(-- 48．.)12()12(87-+49．).94(323ab ab ab a aba b +-+参考答案1．.3,32>≥x a． 2．x ＞0，x ＝1．3．（1)7;（2）7；（3）7； （4)7；(5)0。
《二次根式》专题专练(一)(4个专题)
分析：本题先根据图形进行计算，再探究规律．
解：（1） ；
（2）依题意： ；
；
；
依此类推 ，所以△ 的周长为 ．
点评：数与形是一个问题的两个方面，数无形不直观，形缺数难入微，数形结合既有助于找到解答思路，也常使解答简捷，数形结合的关键在于几何图形转化为数的知识去探索规律，本题就体现了这种数与形的统一与和谐！
3．考查同类二次根式的概念
例4．(2007年眉山市)下列二次根式中与 是同类二次根式的是( )．
A． B． C． D．
分析：只要将所给式子化成最简二次根式，再看是否与2相同即可．
解：因为 ； ； ； ，故选D．
点评：判断是否与同类二次根式关键是化成最简二次根式以后，被开方数相同那就是同类二次根式，重点考查对概念的理解和把握情况．
点评：判断是否是二次根式的条件是 ≥0），要特别注意 ≥0这个条件，本题重点考查对二次根式概念的理解．
例2．（2007年成都市： ≥0，又 ≥0，再由非负数的性质就可以求出a，b的值．
解：由已知条件可得：a=2，b= -5，所以a+b=2-5= -3．
专练四：
1．写出和为6的两个无理数（只需写出一对）
2．借助计算器可以求出 ， ， ， ，……仔细观察上面几道题中的计算结果，试猜想： =。
3．动手操作题：用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1， ， ，…， ， 。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选个数。
4．阅读下列解题过程，并按要求填空：