复合函数习题及答案
复合函数定义域与值域经典习题及答案
复合函数定义域与值域练习题一、 求函数得定义域1、求下列函数得定义域:⑴ ⑵⑶2、设函数f x ()得定义域为[]01，,则函数f x ()2得定义域为_ ＿ _;函数f x ()-2得定义域为__＿_____;３、若函数得定义域为[]-23，,则函数得定义域就是 ;函数得定义域为 。
4、 知函数f x ()得定义域为,且函数得定义域存在,求实数得取值范围。
二、求函数得值域5、求下列函数得值域:⑴ ⑵⑶ ⑷⑸ ⑹⑺ ⑻⑼ ⑽⑾6、已知函数得值域为［1,3],求得值、三、求函数得解析式1、 已知函数,求函数,得解析式。
2、 已知就是二次函数,且,求得解析式。
３、已知函数满足,则＝ 。
4、设就是Ｒ上得奇函数,且当时, ,则当时=＿___ ＿在R 上得解析式为5、设与得定义域就是, 就是偶函数,就是奇函数,且,求与 得解析表达式四、求函数得单调区间6、求下列函数得单调区间:⑴⑵⑶7、函数在上就是单调递减函数,则得单调递增区间就是8、函数得递减区间就是 ;函数得递减区间就是五、综合题9、判断下列各组中得两个函数就是同一函数得为 ( )⑴, ;⑵ , ;⑶, ;⑷, ;⑸, 。
Ａ、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ ﻩD 、 ⑶、⑸10、若函数= 得定义域为,则实数得取值范围就是ﻩ( )A 、(－∞,+∞)ﻩB 、(０, Ｃ、(,+∞) D 、[0,1１、若函数得定义域为,则实数得取值范围就是( )(Ａ) (B) (C) (D)12、对于,不等式恒成立得得取值范围就是( )(Ａ) (B) 或 (C) 或 (D)１3、函数得定义域就是( )A 、 ﻩB 、C 、D 、1４、函数就是( )Ａ、奇函数,且在(0,1)上就是增函数 B 、奇函数,且在(0,１)上就是减函数Ｃ、偶函数,且在(0,1)上就是增函数 D 、偶函数,且在(０,1)上就是减函数15、函数 ,若,则=16、已知函数f x ()得定义域就是(]01，,则g x fx a fx a a ()()()()=+⋅--<≤120得定义域为 。
高中数学复合函数练习题
第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设 y=f(u)的定义域为A， u=g(x) 的值域为 B，若 A B，则 y 关于x 函数的 y=f ［ g(x) ］叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 . 二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知 f ( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域思路：设函数 f ( x) 的定义域为D，即x D ，所以f的作用范围为 D，又 f 对g( x)作用，作用范围不变，所以g( x) D ，解得x E ，E为f g( x) 的定义域。
例 1.设函数 f (u) 的定义域为（0，1），则函数f (ln x) 的定义域为_____________。
解析：函数 f (u) 的定义域为（0， 1）即u (0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以0ln x1解得 x (1， e) ，故函数 f (ln x) 的定义域为（1， e）例 2.若函数 f ( x)1( x) 的定义域为______________。
x，则函数 f f11解析：先求 f 的作用范围，由f( x)，知 x1x1即 f 的作用范围为x R|x 1 ，又f对f(x)作用所以 f ( x)R且 f ( x)1，即 f f ( x)中 x 应满足x1f ( x)1x1即1，解得 x1且 x2 x11故函数 f f (x) 的定义域为x R|x 1且x2（ 2）、已知f g( x) 的定义域，求 f ( x) 的定义域思路：设 f g( x) 的定义域为D，即x D ，由此得 g( x) E ，所以f的作用范围为E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x E， E 为 f ( x) 的定义域。
例3. 已知f (3 2x)的定义域为x，，则函数 f ( x) 的定义域为_________。
1 2解析： f (3 2 x) 的定义域为1， 2，即 x1， 2 ，由此得 32x1， 5所以 f 的作用范围为1， 5，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x1， 5即函数 f ( x) 的定义域为1， 5例 4. 已知f ( x 24) lgx22，则函数 f ( x) 的定义域为______________。
复合函数的单调性-高中数学知识点讲解(含答案)
复合函数的单调性（北京习题集）（教师版）一．选择题（共8小题）1．（2012秋•朝阳区校级期中）函数221()2x x y -+=的值域为( )A ．RB ．(0,)+∞C ．1[,)2+∞D ．1(0,]22．（2010秋•东城区校级月考）函数222x x y -=的单调递增区间是( ) A ．(-∞，1]B ．(0，1]C ．[1，]+∞D ．[1，2)3．（2010•海淀区校级模拟）函数212log (231)y x x =-+的单调减区间为( )A ．(1,)+∞B ．3(,]4-∞C ．1(,)2+∞D ．1(,]2-∞4．（2010春•东城区校级期末）已知2()(87)f x lg x x =-+-在(,1)m m +上是增函数，则m 取值范围是( ) A ．3mB ．4mC ．13mD ．13m <<5．（2007•石景山区一模）已知函数()()f x x R ∈的图象如图所示，则函数1()()1x g x f x +=-的单调递减区间是( )A ．(-∞，0]，(3,)+∞B ．(1,1)-，(1,2)C ．(,1)-∞，(1,)+∞D ．[1-，1)6．（2006秋•宣武区期末）函数cos 2x y -=的单调递减区间是( ) A ．[k ππ+，2]()k k Z ππ+∈ B ．[2k ππ-，2]()k k Z π∈C ．[2k π，2]()2k k Z ππ+∈D ．[2k π，2]()k k Z ππ+∈7．（2005•海淀区二模）函数()f x 的图象如图所示，则函数()(log )(01)a g x f x a =<<的单调减区间是( )A ．(0，1]2B ．1[,)2+∞C ．[,1]aD ．[,1]a a +8．（2019春•西城区校级月考）若函数y x x =+在(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．2a -B ．2a >-C ．1a -D ．1a >-二．填空题（共6小题）9．（2015春•北京校级期中）函数213()log (56)f x x x =-+的单调递增区间为 ．10．（2015秋•海淀区校级月考）函数|1|1()2x y -=的单调递减区间是 ．11．（2014•海淀区校级模拟）已知函数2()log (3)a f x ax =-在[0，3]上单调递增，则实数a 的取值范围为 ． 12．（2012秋•西城区期末）函数12|log |y x =的单调递减区间是 ．13．（2012秋•西城区期中）已知函数21144()(log )log 5f x x x =-+，[2x ∈，4]，则当x = ，()f x 有最大值．14．（2012秋•西城区期中）函数22log (4)y x x =-的定义域为 ，递增区间是 ． 三．解答题（共1小题）15．（2005•崇文区二模）已知2()2(1)2f x x =-+，2()1g x x =-，求函数[()]f g x 的单调递增区间．复合函数的单调性（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2012秋•朝阳区校级期中）函数221()2x x y -+=的值域为( )A ．RB ．(0,)+∞C ．1[,)2+∞D ．1(0,]2【分析】将指数配方，确定其范围，再利用指数函数的单调性，即可求得函数的值域． 【解答】解：222(1)11x x x -+=--+∴2211()22xxy -+= ∴函数221()2xxy -+=的值域为1[,)2+∞故选：C ．【点评】本题考查复合函数的值域，正确运用函数的单调性是关键． 2．（2010秋•东城区校级月考）函数222x x y -=的单调递增区间是( ) A ．(-∞，1]B ．(0，1]C ．[1，]+∞D ．[1，2)【分析】先求函数2()2g x x x =-的增区间，就是函数函数222x x y -=的单调递增区间． 【解答】解：函数222x x y -=的单调递增区间，就是求函数2()2g x x x =-的增区间 而函数2()2g x x x =-，1x =时取得最大值， 函数222x x y -=的单调递增区间是：(x ∈-∞，1] 故选：A ．【点评】本题考查复合函数的单调性，指数函数的单调性，是基础题． 3．（2010•海淀区校级模拟）函数212log (231)y x x =-+的单调减区间为( )A ．(1,)+∞B ．3(,]4-∞C ．1(,)2+∞D ．1(,]2-∞【分析】首先求出函数212log (231)y x x =-+的定义域为1{|2x x <或1}x >，再令2231t x x =-+，则12log y t =，分析易得12log y t =，在0t >时为减函数，根据复合函数的单调性，只需在1{|2x x <或1}x >中找到2231t x x =-+的增区间即可，由二次函数的性质，易得答案．【解答】解：由对数函数的定义域，可得22310x x -+>，解可得12x <或1x >，令2231t x x =-+，则12log y t =，对于12log y t =，易得当0t >时，为减函数，要求函数212log (231)y x x =-+的递减区间，只需找到2231t x x =-+的递增区间，由二次函数的性质，易得1x >时，2231t x x =-+递增， 则此时212log (231)y x x =-+递减，故选：A ．【点评】本题考查符合函数的单调性，本题容易忽略对数函数的定义域对自变量x 的要求．4．（2010春•东城区校级期末）已知2()(87)f x lg x x =-+-在(,1)m m +上是增函数，则m 取值范围是( ) A ．3mB ．4mC ．13mD ．13m <<【分析】先求出函数()f x 的定义域，在定义域内，根据复合函数单调性的判断方法可求得()f x 的增区间，根据()f x 在(,1)m m +上递增，可知(,1)m m +为()f x 增区间的子集，可得不等式组． 【解答】解：由2870x x -+->，即2870x x -+<，得17x <<，∴函数()f x 的定义域为(1,7)，()f x 可看作由y lgt =，287t x x =-+-复合而成的，287t x x =-+-在(1，4]上递增，在[4，7)上递减，而y lgt =在(0,)+∞上递增， ()f x ∴在(1，4]上递增，在[4，7)上递减，又()f x 在(,1)m m +上是增函数，∴有114m m ⎧⎨+⎩，解得13m ，故选：C ．【点评】本题考查复合函数的单调性，属中档题，若函数()f x 在区间(,)a b 上递增，则(,)a b 为函数()f x 增区间的子集．5．（2007•石景山区一模）已知函数()()f x x R ∈的图象如图所示，则函数1()()1x g x f x +=-的单调递减区间是( )A ．(-∞，0]，(3,)+∞B ．(1,1)-，(1,2)C ．(,1)-∞，(1,)+∞D ．[1-，1)【分析】先判断函数()f x 的单调性，然后将函数()g x 分解成为两个简单函数后根据复合函数的同增异减性可得答案．【解答】解：由图象可知函数()f x 在(,1)-∞-，(2,)+∞上单调递减，在[1-，2]上单调递增， 令12()111x z x x x +==+--，()z x ∴在(,1)-∞，(1,)+∞上单调递减， ()()g x f z =，1()1x z x x +=-， 当01x <<时，1()1x z x x +=-为减函数，此时111x x +<--，则()g z 为减函数，则()g x 在(0,1)为增函数；当0x <时，1()1x z x x +=-为减函数，此时1111x x +-<<-，()g z 为增函数，则()g x 在(,0)-∞为减函数； 当13x <<时，1()1x z x x +=-为减函数，此时121x x +>-，()g z 为减函数，则()g x 在(,0)-∞为增函数； 当3x >时，1()1x z x x +=-为减函数，此时1121x x +<<-，()g z 为增函数，则()g x 在(3,)+∞为减函数； ()()g x f z =，1()1x z x x +=-，根据同增异减可得函数()g x 在(-∞，0]，(3,)+∞上上单调递减． 故选：A ．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，即同增异减的性质． 6．（2006秋•宣武区期末）函数cos 2x y -=的单调递减区间是( ) A ．[k ππ+，2]()k k Z ππ+∈ B ．[2k ππ-，2]()k k Z π∈C ．[2k π，2]()2k k Z ππ+∈D ．[2k π，2]()k k Z ππ+∈【分析】先分解函数：令cos t x =-，2t y =，分别考查函数的单调性：由2t y =在R 上单调递增，故只要考查函数cos t x =-的单调递减区间，然后由复合函数的单调性可求cos 2x y -=单调递减区间【解答】解：令cos t x =-，2t y =2t y =在R 上单调递增cos t x =-在[2k ππ-，2]k π，k Z ∈单调递减，在[2k π，2]k ππ+单调递增由复合函数的单调性可知，cos 2x y -=单调递减区间[2k ππ-，2]k π 故选：B ．【点评】本题考查复合函数的单调性，指数函数及三角函数的单调性，是基础题．7．（2005•海淀区二模）函数()f x 的图象如图所示，则函数()(log )(01)a g x f x a =<<的单调减区间是( )A ．(0，1]2B ．1[,)2+∞C ．D ．【分析】欲求函数()(log )(01)a g x f x a =<<的单调减区间，设log (0)a x x μ=>，即求使函数()f μ为增函数的相应的x 的取值范围，就是解不等式：10log 2a x． 【解答】解：设log a x μ=，0x >．则原函数()(log )(01)a g x f x a =<<是函数：()y f μ=，log a x μ=的复合函数， 因log a x μ=在(0,)+∞上是减函数， 根据复合函数的单调性，得函数()(log )(01)a g x f x a =<<的单调减区间是函数()y f μ=的单调增区间，∴从图象上看，10log 2a x，x ∴∈．故选：C ．【点评】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，是基础题．复合函数的单调性的判断方法是构造基本初等函数（已知单调性的函数）来进行判断．8．（2019春•西城区校级月考）若函数y x =+在(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．2a -B ．2a >-C ．1a -D ．1a >-【分析】根据题意，设t =2y t at =+，由复合函数的单调性判断方法分析可得2y t at =+在(1,)+∞上也是增函数，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设t 2y t at =+，又由1x >，则1t >，则(1,)+∞上为增函数，函数y x =+(1,)+∞上单调递增，则2y t at =+在(1,)+∞上也是增函数， 必有12a-，解可得2a -； 故选：A ．【点评】本题考查复合函数的单调性，关键是掌握复合函数单调性的判定方法，属于基础题． 二．填空题（共6小题）9．（2015春•北京校级期中）函数213()log (56)f x x x =-+的单调递增区间为 (,2)-∞ ．【分析】令2560t x x =-+>，求得函数的定义域，根据13()log f x t =，本题即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间．【解答】解：令2560t x x =-+>，求得函数的定义域为{|2x x <或3}x >，且13()log f x t =，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域{|2x x <或3}x >内的减区间为(,2)-∞， 故答案为：(,2)-∞．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 10．（2015秋•海淀区校级月考）函数|1|1()2x y -=的单调递减区间是 [1，)+∞ ．【分析】利用指数函数的单调性的性质，结合分段函数的单调性的性质即可得到结论． 【解答】解：当1x 时，|1|111()()22x x y --==，此时函数单调递减，当1x <时，|1|(1)111()()222x x x y ----===，此时函数单调递增，故函数的递减区间为[1，)+∞， 故答案为：[1，)+∞．【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据指数函数的性质结合复合函数单调性之间是关系是解决本题的关键．11．（2014•海淀区校级模拟）已知函数2()log (3)a f x ax =-在[0，3]上单调递增，则实数a 的取值范围为 1(0,)3．【分析】将原函数2()log (3)a f x ax =-看作是函数：log a y μ=，23ax μ=-的复合函数，利用对数函数与二次函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0． 【解答】解：设23ax μ=-，则原函数2()log (3)a f x ax =-是函数：log a y μ=，23ax μ=-的复合函数， ①当1a >时，log a y u =在(0,)+∞上是增函数， 而函数23ax μ=-在[0，3]上是减函数，根据复合函数的单调性，得函数()f x 在[0，3]上单调递减，与题意不符； ②当01a <<时，log a y u =在(0,)+∞上是减函数， 函数23ax μ=-在[0，3]上是减函数，根据复合函数的单调性，得函数()f x 在[0，3]上单调递增， 且230ax μ=->在[0，3]上恒成立，所以有201330a a <<⎧⎨->⎩，解得103a <<． 综①②，得实数a 的取值范围为1(0,)3．故答案为：1(0,)3．【点评】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性．是基础题．熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间，理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减． 12．（2012秋•西城区期末）函数12|log |y x =的单调递减区间是 (0，1] ．【分析】先去掉函数12|log |y x =中绝对值符号，根据对数函数单调性即可求得答案．【解答】解：112211222,01,01|log |,1,1log x x log x x y x log x x log x x <⎧<⎧⎪⎪===⎨⎨->⎪⎪>⎩⎩， 所以当01x <时，12y log x =单调递减，当1x >时2log y x =单调递增，所以函数12|log |y x =的单调递减区间是(0，1]．故答案为：(0，1]．【点评】本题考查对数函数的单调性，属中档题，准确把握对数函数的单调性是解决问题的基础．13．（2012秋•西城区期中）已知函数21144()(log )log 5f x x x =-+，[2x ∈，4]，则当x = 4 ，()f x 有最大值．【分析】利用换元法，确定变量的范围，结合配方法，利用二次函数的单调性，即可得到结论． 【解答】解：令14log x t =[2x ∈，4]，[1t ∴∈-，1]2-21144()(log )log 5f x x x =-+，等价于221195()24y t t t =-+=-+∴函数在[1-，1]2-上单调递减1t ∴=-，即4x =时，函数取得最大值故答案为：4【点评】本题考查复合函数的单调性，考查函数的最值，考查换元法的运用，属于中档题． 14．（2012秋•西城区期中）函数22log (4)y x x =-的定义域为 (0,4) ，递增区间是 ． 【分析】利用真数大于0，确定函数的定义域，确定内外函数的单调性，可得结论． 【解答】解：由240x x ->，可得04x <<，∴函数的定义域为(0,4)令224(2)4t x x x =-=--+，∴函数在(0,2)上单调递增 而2log y t =在定义域内为增函数，∴函数的递增区间是(0,2)． 故答案为：(0,4)；(0,2)【点评】本题考查复合函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题． 三．解答题（共1小题）15．（2005•崇文区二模）已知2()2(1)2f x x =-+，2()1g x x =-，求函数[()]f g x 的单调递增区间．【分析】设()[()]F x f g x =，求得它的解析式和它的导数()F x '，再令()0F x '>，求得x 的范围，即可得到函数的增区间．【解答】解：设22242()[()]2[()1]22(2)22810F x f g x g x x x x ==-+=-+=-+，⋯（3分） 则导数3()816F x x x '=-，令3()8160F x x x '=->⋯（6分）解得：0x <<x <+∞，⋯（9分） 由于()F x 是R 上的连续函数，所以，函数[()]f g x 的单调递增区间为(和)+∞．⋯（12分）【点评】本题主要考查求复合函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．。
复合函数练习题附答案
复合函数练习题附答案21、已知函数f的定义域为[0,1]，求函数f的定义域。
析：由已知，x?[0,1],故x?[?1,1]。
所以所求定义域为[?1,1]2、已知函数f的定义域为[?3,3]，求f的定义域析：由已知x的范围为[?1,1],那么3?2x的范围为[1,5],从而f 的定义域为[1,5]3、已知函数y?f的定义域为，求f的定义域。
由f 的定义域可知f的定义域为,则求f的定义域应满足析：132x?1?,解得x??224、设f?x??lg2?x?x??2?，则ff??的定义域为?x?2??x?A. ??4,00,4?B. ??4,?11,4?C. ??2,?11,2?D. ??4,?22,4??x?0，即?0,得?2?x?2.那么由题意应有2?x析：?-2?x??4?x?4??2,解得?,综上x??,选B?2x??1或x?12??2x?5．函数y＝log1的单调递减区间是2A． B．C． D．析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。
对于对数型复合函数，应先求定义域，即x2?3x?2?0,得定义域为?.由于外函数是以0?1?1为底，故为减函数。
则求y的减区间，只需要求内函数的增23区间。
内函数为t?x2?3x?2，其对称轴为x?,在函数y的定义域内，t在上2为增函数，所以选择B6．找出下列函数的单调区间.y?a?x2?3x?2；解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。
令t??x2?3x?2,则y?at,t??x2?3x?2。
由于a?1,则外函数为增函数，由同增异减可知，t的增区间即为y的增区间。
而内函数t的333,即t在上位增函数，在上位减函数，从而函22233数y的增区间为，减区间为22对称轴为x?y?2x2?2x?3.解：设t??x2?2x?3，则y?2t.因?x2?2x?3?0,得?1?x?3.由?x2?2x?3对称轴为x?1.即内函数t的增区间为[?1,1],减区间为[1,3]。
求复合函数的定义域、值域、解析式(集锦)
求复合的定义域、值域、解析式（集锦）一、 基本类型：1、 求下列函数的定义域。
（1）12)(-+=x x x f （2）xx x x f -+=0)1()(（3） 111--=x y （4）()f x =二、复合函数的定义域1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1f xg x x =-的定义域2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法（1）求二次函数232y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法：（1） 求函数y x =+分分式法 求21+-=x x y 的值域。
解：（反解x 法） 四、判别式法（1）求函数22221x x y x x -+=++；的值域2）已知函数21ax by x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。
五：有界性法：（1）求函数1e 1e y xx +-=的值域六、数形结合法---扩展到n 个相加（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？） 求解析式 换元法已知23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式.一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++求()f x 。
令x=0，y=2x 待定系数法设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).课堂练习：1．函数1211)(22+-+++=x x x x x f 的定义域为2．函数()f x =的定义域为3．已知)2(xf 的定义域为[0,8]，则(3)f x 的定义域为4．求函数542+-=x x y ，]4,1(∈x 的值域 5．求函数)(x f ＝xx213+-（x ≥0）的值域 6.求函数322322-++-=x x x x y 的值域7已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 8已知 2f (x )+f (-x )=10x , 求 f (x ).9已知 f {f [f (x )]}=27x +13, 且 f (x ) 是一次式, 求 f (x ). 三、课后训练：1．求函数y ＝()022x x -+要求：选择题要在旁边写出具体过程。
复合函数(习题)
复合函数（习题）1. 若函数2()2f x x =+，21()1x x g x x x -+<⎧=⎨⎩≥，，，则函数(())g f x 的解析式是_______________________．2. 已知2(1)45f x x x -=+-，则(1)f x +=_______________．3. （1）若函数(3)f x +的定义域为[52]--，，则()(1)(1)F x f x f x =++-的定义域为_______________．（2）已知2()4x y f =的定义域为，则1()2x y f += 的定义域为_______________．4. （1）函数()432301x x f x x =-+<⋅≤（）的值域是_______．（2）函数3()1log f x x =+的定义域是(19]，，则函数22()[()]()g x f x f x =+的值域是_______________．5. （1）函数2431()3x x y -+-=的单调递增区间为______________．（2）函数22log (231)y x x =-+的单调递减区间为________．（3）函数4287y x x =--的单调递减区间是_____________．（4）函数222(log )2log 314y x x x =--≤≤（）的单调递增区间是______________．（5）函数1421x x y +=-+-的单调递增区间是____________．6. （1）函数34()24x f x x -=-的单调递增区间是______________．（2）函数()f x =的单调递增区间是____________．（3）函数y =____________．7. 函数y =的单调递减区间是____________．8. 已知函数1()log (2)a f x x =-在其定义域上单调递减，则函数2()log (1)a g x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(10)-，B ．[0)+∞，C ．(0]-∞，D ．[01)，9. 若函数22(1)1()2xa x f x --+=在区间[5)+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(6)+∞，B ．[6)+∞，C ．(6)-∞，D ．(6]-∞，10. 已知函数()log (2)x a f x a =-在区间(1]-∞，上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(12)，B．(01)，C．(01)(12)，，D．(01)(2)+∞，，【参考答案】1.2(())2g f x x=+2.x2+8x+73.（1）[-1，0]；（2）[0，3]4.（1）3[1]4，；（2）(2，7]5.（1）(2，+∞)；（2）1 ()2-∞，；（3）(0，2)，(-∞，-2)；（4）(2，4)；（5）(-∞，0)6.（1）(-∞，2)，(2，+∞)；（2）3(2)4，；（3）(-∞，1)7.(3，+∞)8. A9. D10.A。
(完整版)复合函数定义域与值域经典习题及答案
复合函数定义域和值域练习题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸y = ⑹ 225941x x y x +=-＋⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼ y = ⑽ 4y =⑾y x =-6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++⑵y =⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ；⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ；⑷x x f =)(， ()g x =；⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
复合函数求导练习题重点讲义资料
复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）．设，则f′（2）=（）1．D ．A．BC．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）．+2 Dy=4x﹣8 C．y=2xA．y=4x B．）3．下列式子不正确的是（x2ln2）′=′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2）A．（3x+cosx= ）=2cos2x D．′（C．（2sin2x）′，则=（）=sin2x）4．设f（x D．﹣．B1．C．1A5．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．下列导数运算正确的是（）xx1﹣C．（cosx）′=sinx ）′=x2D．（xlnx）′=lnx+xA．（1+）′=1 +B．（27．下列式子不正确的是（）2A．（3x+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x．．DC12x+8．已知函数f（x）=e﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3．函数的导数是（）9．．BA．．DC10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2xsinx））等于（0y（11．y=ecosxsinx），则′（2．．﹣C1 D1 B．A0 ．121第页（共页）12．下列求导运算正确的是（）．BA ．2x2x2C．（（2x+3））′=2（D．（e）′=e 2x+3）．若，则函数f（x）可以是（13）．AD．C．Blnx．．设14，则f（x）=（）201320122013A．2（cos2x﹣sin2x）B．2（sin2x+cos2x）20122013C．2（cos2x+sin2x）D．2（sin2x+cos2x）2=（）=cos2x），则15．设f（x 21 D2A．B．﹣．C．﹣．函数16的导数为（）．．A B．DC．217．函数y=cos（1+x）的导数是（）2222 x）2cos（1+D．﹣2xsin（1+x）．xA．2xsin（1+）B．﹣sin（1+x）C）x）的导数为（18．函数y=sin﹣（+）x）C．﹣sinsin（（A．﹣cos （+x）x﹣x）DB．cos．﹣（﹣19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）aa A．f（a）＞ef（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜ef（0）220．函数y=sin（2x+x）导数是（）22A．y′=cos（2x+x）B．y′=2xsin（2x+x）22C．y′=（4x+1）cos（2x+x）D．y′=4cos（2x+x）221．函数f（x）=sinx的导数f′（x）=（）2A．2sinx B．2sinx C．2cosx D．sin2x．函数的导函数是（22）2x．B=2e ）．Af'（x．．DC第2页（共12页）．函数的导数为（）23．． A BC ．D．24．y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．下列结论正确的是（），B．若y=cos5x，则yA．若′=﹣sin5x22C．若y=sinx，则y′=2xcosx D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2xy=的导数是（）26．函数．．AB D．C．二．填空题（共4小题）（）的导数为．y=f27．设（x）是可导函数，则y=f2．+．函数28y=cos（2xx）的导数是29．函数的导数为y=ln．，则的值为30．若函数．第3页（共12页）参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）拉萨校级期中）设，则f′（2）=（1．（2015春?）D C．．A ．B ．=ln）（x【解答】解：∵x，令u（）f=，则f（u）=lnu，=，）?=u）=，u′（x∵f′（由复合函数的导数公式得：，? f′（x）===．′（2）∴f故选B．2．（2014?怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）．+2 Dy=4x﹣8 C．y=2xA．y=4x B．，1）=2 ，而【解答】解：由已知g′（所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．3．（2014春?永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）2x ln22）′=sinx ′=6x﹣B．（lnx﹣）（A．3x+cosx= ）′）′=2cos2x D．（（C．2sin2x【解答】解：由复合函数的求导法则2对于选项A，（3x+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确，成立，故BB正确对于选项第4页（共12页）对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确，成立，故D正确对于选项DC 故选），则=（．（2014春?晋江市校级期中）设f（x）=sin2x4 1 ．C．．B1D．﹣A【解答】解：因为f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．×）=﹣（21．则=2cos故选D．5．（2014秋?阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），故选：C6．（2014春?福建月考）下列导数运算正确的是（）xx1﹣C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1A．（x+）′=1．+ B（2）′=x2【解答】解：根据导数的运算公式可得：﹣，故A错误．）′=1A，（x +xx B，（2）′=lnx2，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．故选：D7．（2013春?海曙区校级期末）下列式子不正确的是（）2A．（3x+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x．．DC2【解答】解：因为（3x+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，所以选项B正确；，所以C正确；，所以D不正确．第5页（共12页）故选D．2x1+﹣3x，则f′（0）=（．（2013春?江西期中）已知函数f（x）=e）83 e﹣C．2e﹣3 D．．A0 B．﹣212x+﹣3，∴f′（解：∵【解答】f′（x）=2e0）=2e﹣3．．故选C黔西南州校级月考）函数的导数是（）．（2013春? 9．A B．C ．D．解：∵函数【解答】，，3=+y∴′）×=3cos（3x故选B．10．（2013春?东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x′′′【解答】解：由f（x）=sin2x，则f（x）=（sin2x）=（cos2x）?（2x）=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．故选D．sinx）0）等于（ycosx（sinx），则′（11．（2013秋?惠农区校级月考）y=e2D．C．﹣1 A．0 B．1sinx），cosx（sinx【解答】解：∵y=e sinxsinxsinx′（sinx）+e（cosx）（（sinx）+ecosx）′（sinx））∴y′=（e′cosx2sinxsinx2sinx2）cosx）+e（sin=ecosx（sinx）+e（﹣x1=1 0+=0（0）+∴y′B 故选）秋?珠海期末）下列求导运算正确的是（12．（2012．B．A2x2x2C．（（2x+3）））e′=e ′=2（2x+3）D．（解：因为，所以选项A不正确；【解答】，所以选项B正确；2 C，所以选项不正确；（2x+3）′2x3=23+））′（2x+）?（+3）=42x（（2x2x2x D不正确．=2e（?2x）′，所以选项=e）（e′．故选B126第页（共页）朝阳区期末）若，则函数f（x）可以是（）13．（2012秋?D．lnx．CA．．B解：；【解答】；；．）为．（所以满足的fx故选A．14．（2012秋?庐阳区校级月考）设，则f（x）=（）201320122013A．2（cos2x﹣sin2x）B．2（sin2x+cos2x）20122013C．2（cos2x+sin2x）D．2（sin2x+cos2x）2=2）f，（=x=2（=x）x）（cos2x﹣sin2x），【解答】解：∵f（=sin2x+cos2x ∴f210）﹣cos2x，（﹣sin2x43，…sin2x+cos2x）x，+sin2x）f（）=2=（cos2x （fx）==2（﹣43，∈Nx）满足以下规律，对任意．n通过以上可以看出：f（n20122013（cos2x﹣sin2x=2）．（（∴f（x）=fx）=2fx）1420135031+×．故选：B2=（2xx）=cos），则（201115．（?潜江校级模拟）设f 2．﹣1 ．A2B．C．﹣D2【解答】解：∵f（x）=cos2x==﹣∴2sin4x∴第7页（共12页）故选D．平遥县校级期末）函数的导数为（）（16．2011秋?B．．A．．C D解：∵【解答】∴= ∴D 故选2））的导数是（y=cos（1+x17．（2011春?南湖区校级月考）函数2222）+xD．2cos（1）C．﹣2xsin（1+x）A．2xsin（1+x）B．﹣sin（1+x222）+x﹣2xsin（1?（1+x）′=）【解答】解：y′=﹣sin（1+xC 故选）x）的导数为（（2011春?瑞安市校级月考）函数y=sin﹣（18．）+（xx）﹣x）D．﹣C．﹣sinsin．﹣AcosB（+x）．cos（（﹣′′u=﹣x复合而成且y=（sinu）=cosuy=sin【解答】解：∵函数可看成（﹣x）y=sinu，，u′′′﹣（﹣x）]=﹣﹣x）=﹣sin=﹣x）的导数为y=yu∴函数y=sin﹣（cossin（[xu x）（+故答案选D19．（2011春?龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）aa A．f（a）＞ef（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜ef（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意第8页（共12页）显然选项A成立故选A．2）（2x+x）导数是（20．（2010?永州校级模拟）函数y=sin22）+x′=2xsin（2x（2x+x）B．yA．y′=cos22 x）=4cos（2x++x）D．y′C．y′=（4x+1）cos（2x2 x，，u=2x+解：设【解答】y=sinu 1，′=4x+则y′=cosu，u2，+x）+1）cos（2x4x∴y′=（4x+1）cosu=（．故选C2）x）=（′?祁阳县校级模拟）函数f（x）=sinx的导数f（21．（20102sin2x D．x C．2cosx 2sinA．2sinx B．【解答】解：2 x写成，将y=sin2的形式．y=u，u=sinx ，对外函数求导为y′=2u ，对内函数求导为u′=cosx2的导数为故可以得到y=sinx=2ucosx=2sinxcosx=sin2x ′yD 故选的导函数是（2010春?）朝阳区期末）函数22．（2x BA．f'（x）=2e ．．D C ．解：对于函数，【解答】=；= 对其求导可得：f′（x）= 故选C．的导数为（春23．（2009?）房山区期中）函数．BA．D．．C第9页（共12页））2x﹣﹣）′=3cosy，则′=（3sint）′?（2x【解答】解：令y=3sint，t=2x（﹣?，2= ．故选A）y′=（y=sin春?瑞安市校级期中）（3﹣4x），则24．（2009 ）3﹣4x．﹣D（3﹣4x）4cos （（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos．﹣Asin 4x3﹣），【解答】解：由于y=sin（）﹣4x）=cos（3﹣4x）×（3﹣4x′=﹣4cos（3则y′D 故选）．25（2006春?珠海期末）下列结论正确的是（sin5xA﹣．若y′=，B．若y=cos5x，则222xsin2x ﹣′=y D．若y=xsin2x，则C．若y=sinx，则y′=2xcosx错误【解答】，∴解：函数A的导数为，错误，∴B′=﹣5sin5xy=cos5x 函数的导数为：y2 C正确′y=2xcosx，，∴函数y=sinx的导数为：D错误=sin2x+2xcos2x，∴函数y=xsin2x的导数为：y′C 故选）的导数是（y=26．函数B．．A D．C．2解：由复合函数的求导法则可得，）]′ln2【解答】[?ln（x+12ln2 ′1+x）=（ln2=?A 故选小题）二．填空题（共4）的导数为（x（）是可导函数，则y=f?．27（2013春巨野县校级期中）设y=f（）．′=′yf第10页（共12页）u=，u），【解答】解：设y=f（=，u′′=f'（u），则y（）f′∴y′=（）．y′f=′故答案为：22．）2x+x）的导数是﹣（4x+1）sin（（28．（2013春?吴兴区校级月考）函数y=cos2x+x2，+x）sin﹣（4x+1）（2xy【解答】解：′=2 x）．2x+1）sin （+故答案为﹣（4x洞口县校级模拟）函数的导数为y=ln．29．（2012??=（）′【解答】解：y′=. =?（）′== ?故答案为：，则的值为?雁塔区校级期中）若函数春30．（2009．【解答】解：由故第11页（共12页）=．故答案为：页（共第1212页）。
复合求导练习题
复合求导练习题复合求导练习题在微积分学中，求导是一项基本的技能。
而复合求导则是在求导的过程中，遇到复合函数时所需要掌握的一种求导方法。
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其求导的过程需要运用链式法则。
为了更好地理解和掌握复合求导，我们来进行一些练习题。
1. 设有函数 f(x) = (2x^3 - 5x^2 + 3x - 1)^4，求 f'(x)。
解析：首先，我们可以将 f(x) 看作是一个外层函数和一个内层函数的复合。
外层函数是 g(x) = x^4，内层函数是 h(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1。
根据链式法则，f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)。
我们先来求解 g'(h(x)) 和 h'(x)。
g'(x) = 4x^3，h'(x) = 6x^2 - 10x + 3。
将 g'(h(x)) 和 h'(x) 代入链式法则，得到 f'(x) = 4(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1)^3 *(6x^2 - 10x + 3)。
2. 设有函数 f(x) = sin(3x^2 + 2x + 1)，求 f'(x)。
解析：在这个例子中，我们需要求解 sin 函数的复合求导。
sin 函数的导数是cos 函数，所以我们需要求解 (3x^2 + 2x + 1) 的导数，并将其与 cos 函数相乘。
f'(x) = cos(3x^2 + 2x + 1) * (6x + 2)。
3. 设有函数 f(x) = ln(2x^3 - 4x + 1)，求 f'(x)。
解析：对于 ln 函数的复合求导，我们需要求解 (2x^3 - 4x + 1) 的导数，并将其除以 (2x^3 - 4x + 1)。
f'(x) = (6x^2 - 4) / (2x^3 - 4x + 1)。
复合函数的反函数练习题
复合函数的反函数练习题一、基础题1. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2，求(f ∘ g)(x)的反函数。
2. 已知函数f(x) = 3x 5，求f(f(x))的反函数。
3. 设函数f(x) = 4 x，g(x) = 1/x，求(g ∘ f)(x)的反函数。
4. 已知函数f(x) = 5x + 2，g(x) = 2x 1，求(f ∘ g)(x)的反函数。
5. 设函数f(x) = log_2(x)，g(x) = 2^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
二、提高题1. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
2. 已知函数f(x) = sqrt(x + 1)，g(x) = x^2 1，求(f ∘g)(x)的反函数。
3. 设函数f(x) = sin(x)，g(x) = arccos(x)，求(g ∘ f)(x)的反函数。
4. 已知函数f(x) = cos(x)，g(x) = arctan(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
5. 设函数f(x) = tan(x)，g(x) = arccot(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
三、综合题1. 设函数f(x) = (1/2)^x，g(x) = 2^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
2. 已知函数f(x) = (3/4)x + 7，g(x) = (4/3)x 28/3，求(f∘ g)(x)的反函数。
3. 设函数f(x) = |x 5|，g(x) = x^2，求(f ∘ g)(x)的反函数。
4. 已知函数f(x) = x^3，g(x) = sqrt[3](x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
5. 设函数f(x) = log_3(x)，g(x) = 3^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
四、变换题1. 设函数f(x) = 1/(x+1)，g(x) = 1/x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
三角函数的复合函数与方程练习题
三角函数的复合函数与方程练习题在学习三角函数的过程中，掌握复合函数与方程的解法是非常重要的。
通过练习题的形式来巩固这些知识点，可以更好地理解和应用三角函数的复合函数和方程。
本文将提供一些典型的练习题，并附带详细解答，帮助读者更好地掌握这些概念。
1. 练习题一已知函数sinx与cosx的定义域为[-π/2, π/2]，求下列函数的定义域：a) f(x) = sin(cosx)b) g(x) = cos(sin x)解析：a) 函数f(x) = sin(cosx)是sinx与cosx的复合函数。
根据函数的定义域与值域的关系，cosx的定义域为[-π/2, π/2]，因此cosx的取值范围是[-1, 1]。
而sinx的定义域为[-π/2, π/2]，所以cosx的取值[-1, 1]在sinx的定义域范围内。
因此，f(x) = sin(cosx)的定义域也为[-π/2, π/2]。
b) 函数g(x) = cos(sin x)是sinx与cosx的复合函数。
根据函数的定义域与值域的关系，sinx的定义域为[-π/2, π/2]，所以sinx的取值范围是[-1, 1]。
而cosx的定义域为[-π/2, π/2]，因此sinx的取值[-1, 1]在cosx的定义域范围内。
因此，g(x) = cos(sin x)的定义域也为[-π/2, π/2]。
2. 练习题二已知tanx的定义域为(-π/2, π/2)，求下列函数的定义域：a) h(x) = tan(tanx)b) k(x) = tan(2x)解析：a) 函数h(x) = tan(tanx)是tanx的复合函数。
tanx本身的定义域为(-π/2, π/2)，因此tanx的取值范围也是全体实数。
而tanx的取值范围在tanx的定义域范围内。
因此，h(x) = tan(tanx)的定义域为(-π/2, π/2)。
b) 函数k(x) = tan(2x)是2x的复合函数。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。
?x?xf?f取极限求导数f’?lim?x?0?x求平均变化率2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。
．常用的导数公式及求导法则：公式①C?0，③’??sinx‘②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex⑤’?axlna ⑦?‘11’⑧? xlnax11’’cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]，[fg]’?f’g?g’ff’f’g?g’f [ ]?2gg例：32y?xx?4y???sinxxy?3cosx?4sinx y??2x?3?y?ln?x?2?2复合函数的导数如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且])ˊ= 或记作熟记链式法则若y= f ，u=?? y= f [?]，则f??u?y?x=yuxy?x=f若y= f ，u=?，v=?? y= f [?)]，则?? y?x=f复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例1函数y?1的导数.4解：y?1?4． ?4，u?1?3x，则设y?u?4y’x?y’u?u’x?’u?’x??4u?5??12u?5?12?5?12．例2求y?x的导数． 1?x15解：y???x??， ?1?x??451?x?y’5?1?x??x?1?x1?x51?x????4‘?45?1?x?x21?x5?1?x??45?11?5??x5．56例求下列函数的导数y??2x解：y?3?2x令u=-2x，则有y=u，u=-2x??u??yux由复合函数求导法则y?x 有y′=??u?x=12?2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：yˊ=123?2x1?2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：yˊ=12?2x1?2x例4求下列函数的导数 y=?2xcos x y=ln解：y=由于y=而其中?2x?2xcos x是两个函数?2x与cos x的乘积，又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是yˊ=ˊcos x -?2xsin xcosx-?2xsin x=?cosx?2x2?2x-?2xsin xy=ln )是u= x+?x2与y=ln u复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以1x??x2? [1+ˊ]=1x??x2??1?????? ?2?x2?2x=1x??x2?x??x2?x2=1?x2例设y?ln 求 y?. 解利用复合函数求导法求导，得y??[ln]??1x?x?12??1x?x2?1[1??]?1x?x?12[1?12x?12?]?1x?x?12[1?xx?12]?1x?12.1．求下函数的导数. y?cos y= y=5y=y=y=2xy?3?112y= y=siny=cos363x?1c3； ?y?sinx2；?y?o1．求下列函数的导数y =sinx3+sin33x； y??4?x)； ?y?lnsin．sin2xlogax?1技能演练基础强化1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是 A．y＝un，u ＝cosxn B．y＝t，t＝cosnx C．y＝tn，t＝cosx D．y＝cost，t＝xn 答案 C2．y＝ex2－1的导数是 A．y′＝e22x2－1B．y′＝2xeD．y′＝ex2－1x2－1C．y′＝e解析y′＝e答案 B3．下列函数在x＝0处没有切线的是 A．y＝3x2＋cosx1C．y＝＋2xxx2－1xx2－1′＝e2·2x.B．y＝xsinx 1D．y＝cosx11解析因为y＝2x在x＝0处没定义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．xx答案 C4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是 A．2x－y＋3＝0C．2x－y＋1＝0解析设切点为，则斜率k＝2x0＝2，∴x0＝1，∴切点为．故切线方程为y－1＝2，即2x－y－1＝0. 答案 D5．y＝loga的导数是x?2x－1?lna1?2x－1?lna4xB.2x－12x2－1lnaB．2x－y－3＝0 D．2x－y－1＝0 14x解析y′＝x2－1)′＝?2x－1?lna?2x－1?lna答案 A 6．已知函数f＝ax－1，且f′＝2，则a的值为 A．a ＝1C．a＝11解析f′＝·′22＝＝12ax2ax－1axax－1B．a＝D．a>0由f′＝2，得a＝2，∴a＝2. a－1答案 B7．曲线y＝sin2x在点M处的切线方程是________．解析y′＝′＝cos2x·′＝2cos2x，∴k＝y′|x＝π＝2.又过点，所以切线方程为y＝2．答案 y＝2f′?x?8．f＝e2x－2x，则＝________.e－1解析f′＝′－′＝2e2x－2＝2．f′?x?2?e2x－1?∴2． e－1e－1答案能力提升9．已知函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．解∵函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P， ?2×23＋2a＝0，?∴?得a＝－8,4b＋c＝0，?b×2＋c＝0，?∴f＝2x3－8x，f′＝6x2－8. 又当x＝2时，f′＝16，g′＝4b，∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16. ∴a＝－8，b ＝4，c＝－16.110．已知函数f＝lnx，g＝2＋a，直线l与函数f、g 的图像都相切，2且l与函数f图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．1解∵f＝lnx，∴f′＝，∴f′＝1，x即直线l的斜率为1，切点为．∴直线l的方程为y＝x－1.y＝x－1，??1又l与g的图像也相切，等价于方程组?1x2－x＋1＋a ??y＝22＋a2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝1－4×12＝0，∴a12品味高考11．曲线y＝e－2x＋1在点处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为′e－2x＝－2e－2x，∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2，即y＝－2x＋2.如图，由y＝－2x＋2，?得交点坐标为，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为，∴所求面积为S ＝12×1×2133.答案 A12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点处的切线方程是x－y ＋1＝0，则)A．a＝1，b＝1C．a＝1，b＝－1解析∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a. ∵在点处的切线方程是x－y＋1＝0，∴f′＝a＝1.B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1又0－b＋1＝0，∴b＝1. 答案 A函数求导1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f；?yf?f?。
复合函数(习题及答案)
⎩复合函数（习题）1. 若函数 f (x ) = x 2 + 2 ， g (x ) = ⎧-x + 2 ，x < 1 ，则函数 g ( f (x ))⎨x ， x ≥1 的解析式是 ．2. 已知 f (x -1) = x 2 + 4x - 5 ，则 f (x +1) = ．3. （1）若函数 f (x + 3) 的定义域为[-5，- 2] ，则F (x ) = f (x +1) + f (x -1) 的定义域为 ．x 2 x +1 （2）已知 y = f ( ) 的定义域为[ 2 ，2 2] ，则 y = f ( )4 2的定义域为 ．4. （1）函数 f (x ) = 4x - 3 ⋅2x + 3（0 < x ≤1 ）的值域是 ．（2）函数 f (x ) = 1+ log 3 x 的定义域是(1，9] ，则函数g (x ) = [ f (x )]2 + f (x 2 ) 的值域是 ．125. （1）函数 y = (1)- x 2 + 4 x -3 的单调递增区间为 ．3（2） 函数 y = log (2x 2 - 3x +1) 的单调递减区间为 ．（3） 函数 y = x 4 - 8x 2 - 7 的单调递减区间是 ．（4） 函数 y = (log 2 x )2 - 2log 2 x - 3（1 ≤ x ≤ 4 ）的单调递增区间是 ．（5） 函数 y = -4x + 2x +1 -1 的单调递增区间是．6.（1）函数 f (x ) = 3 - 4x 的单调递增区间是 ．2x - 4（2） 函数 f (x )的单调递增区间是 ．B ． (0，1) D ． (0，1) (2，+ ∞) A ． (1，2)C ． (0，1) (1，2)a a B ．[0，+ ∞)D ．[0，1) A ． (-1，0)C ． (-∞，0] B ．[6，+ ∞)D ． (-∞，6] A ． (6，+ ∞)C ． (-∞，6)（3） 函数 y =的单调递减区间是．7.函数 y 的单调递减区间是 ．8. 已知函数 f (x ) = log 1 (2 - x ) 在其定义域上单调递减，则函数ag (x ) = log (1- x 2 ) 的单调递减区间是（） 9. 若函数 f (x ) = 2x2 -2(a -1) x +1 在区间[5，+ ∞) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）10. 已知函数 f (x ) = log (2 - a x ) 在区间(-∞，1] 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（）【参考答案】1. g( f (x)) =x 2 + 22. x2+8x+73. （1）[-1，0]；（2）[0，3]4. （1）[3，1]；（2）(2，7] 45. （1）(2，+∞)；（2）(-∞ 1 ) ；，2（3）(0，2)，(-∞，-2)；（4）(2，4)；（5）(-∞，0)6. （1）(-∞，2)，(2，+∞)；（2）(3，2)；（3）(-∞，1) 47. (3，+∞)8. A9. D10.A。
第1节(2)复合函数
人口模型 : 设某地某年人口为p0，人口自然 增长率为r，那么t年后的人口p为 p p0 (1 r )t .
马尔萨斯（Malthus，英，1766 — 1834）根 据上述模型提出了他的人口理论，这一模型 只适用于生物种群的生存环境较为优雅宽松 的情况.当生物种群数量增长到一定值时，恶 化的生态环境将抑制种群数量的增长，进而 出现负增长，此时马尔萨斯人口模型就不适 用了.
思考题2
(1)
下列函数能否复合为函数 y f [ g ( x )] ， 若能，写出其解析式、定义域、值域．
y f ( u) u ,
u g( x ) x x 2
( 2)
解答
y f ( u) ln u,
u g( x ) sin x 1
1 f ( D ) [ 0, ] 2
5 反函数的应用
某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元 时，币面值增加12%，回美国后他发现，把加拿大元兑换 成美元时币面值减12%. 1）把这两个函数关系表示出来，并证明这两个函数不互000美元兑换成加拿大元，但因故未能成行，于是他又将 加拿大元兑换成美元，问他是否亏损？
八、复合函数
设y f ( u), u U ; u ( x ), x X
f X 称为 由yx ( u)确定的函数值u ( x )落在 ( x )称为 u 外层函数 函数y f ( u)的定义域U内, 则称 里层函数
y f [ ( x )]为复合函数.
自变量 中间变量
三、函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.
四、函数的分类 初等函数 函数
基本初等函数
(完整版)函数定义域、值域经典习题及答案
复合函数定义域和值域练习题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =（2)01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________;3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸y =三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数,()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236x y x -=+的递减区间是 ;函数y =是 五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y , 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f .A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )A 、(－∞,+∞)B 、(0,43]C 、（43,+∞)D 、［0， 43)11、若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（ ）(A ）04m << （B) 04m ≤≤ （C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 13、函数()f x =的定义域是( ) A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}-14、函数1()(0)f x x x x=+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在（0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数,且在（0，1）上是减函数15、函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,若()3f x =，则x =17、已知函数21mx ny x +=+的最大值为4,最小值为 —1 ，则m = ，n =18、把函数11y x =+的图象沿x 轴向左平移一个单位后，得到图象C ，则C 关于原点对称的图象的解析式为19、求函数12)(2--=ax x x f 在区间［ 0 ， 2 ]上的最值20、若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当∈t [—3，-2]时的最值。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）1．设，则f′（2）=（）A．B．C．D．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．3．下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=4．设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣15．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1 C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 7．下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣39．函数的导数是（）A． B．C．D．10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．212．下列求导运算正确的是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x13．若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx14．设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）15．设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣216．函数的导数为（）A．B．C．D．17．函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）18．函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x22．函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．23．函数的导数为（）A．B．C．D．24．y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2 D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）27．设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为．28．函数y=cos（2x2+x）的导数是．29．函数y=ln的导数为．30．若函数，则的值为．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2015春•拉萨校级期中）设，则f′（2）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=ln，令u（x）=，则f（u）=lnu，∵f′（u）=，u′（x）=•=，由复合函数的导数公式得：f′（x）=•=，∴f′（2）=．故选B．2．（2014•怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．【解答】解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．3．（2014春•永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=【解答】解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确对于选项B，成立，故B正确对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确对于选项D，成立，故D正确故选C4．（2014春•晋江市校级期中）设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：因为f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．则=2cos（2×）=﹣1．故选D．5．（2014秋•阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），故选：C6．（2014春•福建月考）下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1 C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 【解答】解：根据导数的运算公式可得：A，（x+）′=1﹣，故A错误．B，（2x）′=lnx2x，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．故选：D7．（2013春•海曙区校级期末）下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．【解答】解：因为（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，所以选项B正确；，所以C正确；，所以D不正确．故选D．8．（2013春•江西期中）已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3【解答】解：∵f′（x）=2e2x+1﹣3，∴f′（0）=2e﹣3．故选C．9．（2013春•黔西南州校级月考）函数的导数是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数，∴y′=3cos（3x+）×3=，故选B．10．（2013春•东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x【解答】解：由f（x）=sin2x，则f′（x）=（sin2x）′=（cos2x）•（2x）′=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．故选D．11．（2013秋•惠农区校级月考）y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：∵y=e sinx cosx（sinx），∴y′=（e sinx）′cos x（sinx）+e sinx（cosx）′（sinx）+e sinx（cosx）（sinx）′=e sinx cos2x（sinx）+e sinx（﹣sin2x）+e sinx（cos2x）∴y′（0）=0+0+1=1故选B12．（2012秋•珠海期末）下列求导运算正确的是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x【解答】解：因为，所以选项A不正确；，所以选项B正确；（（2x+3）2）′=2（2x+3）•（2x+3）′=4（2x+3），所以选项C不正确；（e2x）′=e2x•（2x）′=2e2x，所以选项D不正确．故选B．13．（2012秋•朝阳区期末）若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx【解答】解：；；；．所以满足的f（x）为．故选A．14．（2012秋•庐阳区校级月考）设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）【解答】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）==2（cos2x﹣sin2x），f2（x）==22（﹣sin2x﹣cos2x），f3（x）==23（﹣cos2x+sin2x），f4（x）==24（sin2x+cos2x），…通过以上可以看出：f n（x）满足以下规律，对任意n∈N，．∴f2013（x）=f503×4+1（x）=22012f1（x）=22013（cos2x﹣sin2x）．故选：B．15．（2011•潜江校级模拟）设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=cos22x=∴=﹣2sin4x∴故选D．16．（2011秋•平遥县校级期末）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴∴=故选D17．（2011春•南湖区校级月考）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）【解答】解：y′=﹣sin（1+x2）•（1+x2）′=﹣2xsin（1+x2）故选C18．（2011春•瑞安市校级月考）函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）【解答】解：∵函数y=sin（﹣x）可看成y=sinu，u=﹣x复合而成且y u′=（sinu）′=cosu，∴函数y=sin（﹣x）的导数为y′=y u′u x′=﹣cos（﹣x）=﹣sin[﹣（﹣x）]=﹣sin（+x）故答案选D19．（2011春•龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f （x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意显然选项A成立故选A．20．（2010•永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．21．（2010•祁阳县校级模拟）函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【解答】解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D22．（2010春•朝阳区期末）函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．【解答】解：对于函数，对其求导可得：f′（x）===；故选C．23．（2009春•房山区期中）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=3sint，t=2x﹣，则y′=（3sint）′•（2x﹣）′=3cos（2x﹣）•2=，故选A．24．（2009春•瑞安市校级期中）y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）【解答】解：由于y=sin（3﹣4x），则y′=cos（3﹣4x）×（3﹣4x）′=﹣4cos（3﹣4x）故选D25．（2006春•珠海期末）下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2 D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x【解答】解：函数的导数为，，∴A错误函数y=cos5x的导数为：y′=﹣5sin5x，∴B错误函数y=sinx2的导数为：y′=2xcosx，，∴C正确函数y=xsin2x的导数为：y′=sin2x+2xcos2x，∴D错误故选C26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．【解答】解：由复合函数的求导法则可得，•[ln（x2+1）]′ln2=（1+x2）′ln2=•ln2故选A二．填空题（共4小题）27．（2013春•巨野县校级期中）设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为y′=f′（）．【解答】解：设y=f（u），u=，则y′=f'（u），u′=，∴y′=f′（）故答案为：y′=f′（）．28．（2013春•吴兴区校级月考）函数y=cos（2x2+x）的导数是﹣（4x+1）sin（2x2+x）．【解答】解：y′=﹣（4x+1）sin（2x2+x），故答案为﹣（4x+1）sin（2x2+x）．29．（2012•洞口县校级模拟）函数y=ln的导数为．【解答】解：y′=（）′=•（）′=•.=•=故答案为：30．（2009春•雁塔区校级期中）若函数，则的值为．【解答】解：由故=故答案为：．。
复合函数练习题
复合函数练习题复合函数是数学中的一个重要概念，它由两个或多个函数组成，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数在解决实际问题中起到了重要的作用。
本文将通过一些练习题来帮助读者进一步理解和应用复合函数。
1. 练习题一设函数f(x) = 2x + 3， g(x) = x^2 - 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解答：首先求f(g(x))：f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3 = 2x^2 - 2 + 3 = 2x^2 + 1然后求g(f(x))：g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 - 1 = 4x^2 + 12x + 9 - 1 = 4x^2 + 12x + 82. 练习题二设函数f(x) = e^x，g(x) = x^2，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解答：首先求f(g(x))：f(g(x)) = f(x^2) = e^(x^2)然后求g(f(x))：g(f(x)) = g(e^x) = (e^x)^2 = e^(2x)3. 练习题三设函数f(x) = sin(x)，g(x) = cos(x)，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解答：首先求f(g(x))：f(g(x)) = f(cos(x)) = sin(cos(x))然后求g(f(x))：g(f(x)) = g(sin(x)) = cos(sin(x))通过以上练习题，我们可以看到复合函数的运算方式是先确定复合函数的形式，然后将内部函数的输出作为外部函数的输入。
这种运算方式在解决实际问题中非常常见。
当我们了解了复合函数的运算规律之后，就可以应用到更复杂的问题中。
通过将多个简单函数进行组合，可以得到更复杂的函数表达式，从而更好地描述问题的本质。
总结：复合函数是由两个或多个函数组成的函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数的求解方式是先确定复合函数的形式，然后将内部函数的输出作为外部函数的输入。
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复合函数练习题
1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域（ ）。
析：由已知，]1,1[]1,1[],1,0[2--∈∈。
所以所求定义域为故x x
2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域（ ） 析：]5,1[)(],5,1[23],1,1[的定义域为从而的范围为那么的范围为由已知x f x x --
3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域（ ）。
析：)23,1()1,21(),2,1(12)12(),2,1()()2(⋃-∈∈--+x x x f x f x f 解得的定义域应满足则求的定义域为的定义域可知由
4、设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 -- 析：⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⋃--∈>-<<<-<<-<<<<->-+>-+B ),4,1()1,4(,1144,222222-.22,0)2)(2(022选综上或解得那么由题意应有得，即由已知，x x x x x x x x x x
x 5．函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，23）
D ．（2
3，＋∞） 析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。
B
),2(,2
32312
10).
,2()1,(,02322为增函数，所以选择上在的定义域内，在函数，其对称轴为区间。
内函数为函数的增的减区间，只需要求内求为底，故为减函数。
则由于外函数是以得定义域为应先求定义域，即对于对数型复合函数，+∞=+-=<<+∞⋃-∞>+-t y x x x t y x x 6．找出下列函数的单调区间.
（1）)1(232>=++-a a y x x ；
解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。
),2
3()23,(),2
3()23,(,23,123,,2322+∞-∞+∞-∞=>++-==++-=，减区间为的增区间为数上位减函数，从而函上位增函数，在在即对称轴为的
函数的增（减）区间。
而内的增（减）区间即为由同增异减可知，则外函数为增函数，。
由于则令y t x t y t a x x t a y x x t t
（2）.2322++-=x x y
].
3,1[],1,1[]3,1[],1,1[.132.31,032.232222区间为减的单调增区间为性可知函数。
则由复合函数的单调减区间为
的增区间为即内函数对称轴为由得因，则解：设--=++-≤≤-≥++-=++-=y t x x x x x x y x x t t
7、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x a 且的单调性。
上为增函数。
在的同增异减，则为减函数，由复合函数上为减函数，又在此时则得时，当上为增函数。
在的同增异减，则为增函数，由复合函数上为增函数，又在此时则得时，当则两种情况讨论。
令和解：由已知可分)1,(log )1,(,10110)2(),1(log ),1(,1011)1(log ,1101-∞=-∞<>-<<+∞=+∞>>->=-=<<>y t y t x a a y t y t x a a t
y a t a a a x a x a x
8．求函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间。
),4(),1,(),4(),1,(,5.2.
,,0log ,049)5.2(45)
,4()1,(,410
45,0.log 45312223
12+∞-∞+∞-∞=∈>=>-
-=+-=+∞⋃-∞><>+->=+-=减区间为的增区间为知函数由复合函数的单调性可增区间为的减区间为则的对称轴为由函数即值域为则为减函数又由的定义域为故函数或解得即的定义域应满足则函数，则解：令y t x t R R y t t y x x x t y x x x x t y t y x x t。