集合与元素

有限集还 有：…？
像自然数集N这样 像自然数集 这样
无限集还 有：…？
含有无限个元素的集合，叫做无限集. 含有无限个元素的集合，叫做无限集
思 考 ： 大于 并且小于 的整数组成的集合是什么样子的呢？ 大于5并且小于 的整数组成的集合是什么样子的呢？ 并且小于2的整数组成的集合是什么样子的呢
显然，大于5并且小于 的数是不存在的， 显然，大于 并且小于2的数是不存在的， 并且小于 的数是不存在的 所以这个集合不含任何一个元素. 所以这个集合不含任何一个元素
x − 2 > 3, 且 x ∈ R }
或 {x
x > 5, 且 x ∈ R }
{ x 是直角三角形 }
所以，（ ）也可以写成 注：当元素都是实数时，也可以省略 x ∈ R 当元素都是实数时， 所以，（2） ，（ 反之， 反之，省略 x{∈ x − 2 > ，也默认元素都是实数。 x R 时 3 } 也默认元素都是实数。 或 {x x > 5 }
{x
x < 5, 且 x ∈ Q }
的解集为： （2） x + 1 < 2 不等式 的解集为： ）
{x
x < 1, 且 x ∈ R } 或写成
{x
x < 1}
（3）所有的正偶数组成的集合为： ）所有的正偶数组成的集合为：
{2n n ∈ N }
+
集合与元素
集合的概念： 集合的概念： 集合的特性： 集合的特性： 所指定的全部对象构成的整体。 所指定的全部对象构成的整体。 确定性、互异性、无序性。 确定性、互异性、无序性。
练一练： 练一练： 填空： 用符号 ∈ 或 ∉ 填空：
4．有限集、无限集 ．有限集、
例如：李明同学的家庭，由爷爷、奶奶、爸爸、 例如：李明同学的家庭，由爷爷、奶奶、爸爸、妈妈和李明 五口人组成一个集合，这个集合的元素有5个 五口人组成一个集合，这个集合的元素有 个. 像这样 含有有限个元素的集合，叫做有限集 含有有限个元素的集合，叫做有限集. 又例如， 又例如，自然数有无穷多个
2、描述法： 、描述法： 思考 ： 比 3小的实数组成的集合怎么样表示？ 小的实数组成的集合怎么样表示？ 小的实数组成的集合怎么样表示
用列举法行吗？ 用列举法行吗？
为了表示这个集合，关键是抓住这个集合的元素具有的特征： 为了表示这个集合，关键是抓住这个集合的元素具有的特征： 显然， 小的实数组成的集合有无数多个元素， 显然，比3小的实数组成的集合有无数多个元素， 小的实数组成的集合有无数多个元素 它们都是实数 而且小于3.于是我们可以将这个集合表示成 都是实数， 它们都是实数，而且小于 于是我们可以将这个集合表示成 无法一一列举出来，不能用列举法来表示这个集合. 无法一一列举出来，不能用列举法来表示这个集合
{x
x ∈ R, 且 x < 3 }
其中， 是集合的代表元素， 其中，大括号内竖线左边的 是集合的代表元素， 像这样， 像这样， 满足的特征性质或者条件. 竖线右边表示的是集合的元素 满足的特征性质或者条件 将集合元素满足的特征性质或者条件用形式 写出来 表示集合的方法，叫做描述法 描述法. 表示集合的方法，叫做描述法 其中， 是集合的代表元素， 其中，大括号内竖线左边的 是集合的代表元素， 满足的特征性质或者条件. 竖线右边的 是集合的元素 满足的特征性质或者条件
集合中的元素具有： 集合中的元素具有： 确定性、 互异性、无序性. 确定性、 互异性、无序性.
互异性也叫无重性 是指集合中的元素 互异性 不能重复出现. 不能重复出现 无序性是指集 无序性 合中的元素不 计较排列次序. 计较排列次序
确定性 确定性是指组 成集合的元素 是确定的. 是确定的
2．常用数集 ．
练一练： 练一练：
用描述法表示下列集合： 用描述法表示下列集合： 的有理数组成的集合； （1）小于 的有理数组成的集合； ）小于5的有理数组成的集合 的解集； （2） x + 1 < 2 不等式 的解集； ）
（3）所有的正偶数组成的集合 ）所有的正偶数组成的集合. 解答： 解答：
解：（1）小于 的有理数组成的集合为： 的有理数组成的集合为： ）小于5的有理数组成的集合为
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记作 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集.记作
例如， 例如，由方程 空集： 有空集： …
2
φ
.
的所有实数解组成的集合是空集. x = −1 的所有实数解组成的集合是空集 空集： 还有空集： …
填空： 用符号 ∈ 或 ∉ 填空： 想一想： 想一想：
0
解： 0
自然数集 整数集
N
N*或N + 或 Z +
正整数集
Z
N *或 N + 或 Z +
有理数集 也就是由所有可以写成 自然数集 N 两个整数之比形式的数 组成的集合… 组成的集合… 整数集
正整数集 有理数集
也就是集合： 也就是集合： { 0，1，2，…}
Q
Q
Z
也就是集合： 也就是集合： { 1，2，3，…}
5是一个自然数，我们就说5属于 N，记作 5 N， 是一个自然数，我们就说 属于 ， 是一个自然数 ， -3不是自然数，我们就说 -3不属于 ，记作 -3 N. 不是自然数， 不属于N 不是自然数 不属于
∈
∉
由此我们给出元素与集合的关系如下： 由此我们给出元素与集合的关系如下： 例如， 例如，设 B = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }， 那么 5
数学课教学
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第七章 集合与简易逻辑
§7－1 集合与元素（第 一 课） － 集合与元素（
单位： 单位：武汉市财政学校 授课人： 授课人：
§ 7－ 1
集合与元素
观察: （）“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋” 观察:（13）使一元一次不等式 印度洋、>北冰洋” 的距离等于3 （2） 平面上到定点 O的距离等于 3 ） 的距离等于 武汉市财政学校全体师生. ( 4） 太平洋、大西洋、 2. + 1 的 )） 武汉市财政学校全体师生 x
R
R
在某集合表示的右上方加上“ ” 是表示由原集合中， 注：在某集合表示的右上方加上“*”的，是表示由原集合中， 所有非零元素构成的集合。 表示非零实数集。 所有非零元素构成的集合。如 R * 表示非零实数集。
3．元素与集合的关系 ． 的元素， 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A ，记作 a∈ A ； 的元素， 如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于A，记作 a ∉ A . 注：a ∉ A 也可以写成 a ∈ A ， a∈ A 也可以写成 A ∋ a 。
成立的一切实数. 组成的地球上的四大海洋. 所有点形成的一个圆. 成立的一切实数 组成的地球上的四大海洋 所有点形成的一个圆
结论： 结论： 由一些我们要研究的指定对组成
的整体，用集合这个词来表示它 的整体，用集合这个词来表示它.
一、集合的概念
1、集合的概念 、
由一些指定的对象组成的整体，叫做集合。 由一些指定的对象组成的整体，叫做集合。 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素. 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素
也就是集合： 也就是集合： { 0，±1，±2，…}
2．常用数集 ．
自然数集 整数集
N
N *或N + 或 Z +
正实数集： 正来自百度文库数集：所有正实 数 + 组成的集合记作 R .
Z Q R
非负实数集： 非负实数集：所有非负实 数组成的集合记作 R+ .
+
实数集
正整数集 有理数集 实数集 正实数集
也就是由我们认识 非负实数集 R+ 的所有数组成的集合。 的所有数组成的集合。
φ ,0
{ 0 } ,1
φ, a
φ.
请学生填空
∉
φ , 0 ∈ { 0 } ,1 ∉ φ , a ∉ φ .
第七章 集合与简易逻辑
§7－1 集合与元素（第 二 课） － 集合与元素（
单位： 单位：武汉市财政学校 授课人： 授课人：
二．集合的表示法
集合的表示方法，常用的有列举法和描述法。 集合的表示方法，常用的有列举法和描述法。 1、列举法： 、列举法： 将集合中的元素一一列举出来， 将集合中的元素一一列举出来， 用一个大括号括起来表示集合的方法. 用一个大括号括起来表示集合的方法 例如，小于1000的自然数用列举法表示为 {0，1，2，…，998，999}.
例2 . 用描述法表示下列集合： 用描述法表示下列集合： （1）大于2的整数组成的集合； ）大于 的整数组成的集合； 的整数组成的集合 （2）不等式 x − 2 > 3 的解集； ） 的解集； （3）所有直角三角形组成的集合. ）所有直角三角形组成的集合 解： 1） {a a > 2, 且 a ∈ Z } （ ） （2）{ x ） （3） ）
我们一般用大括号表示集合， 我们一般用大括号表示集合， 集合的元素常用小写的英文字 为了方便起见，通常也用大写的英文字 为了方便起见， a，B，C， ， 等来表示 A，B， C，… A，b，c，… ，x，y等来表示 ， ， ， 或者，用大写希腊字母 等来表示. 或者， 等来表示
例如， ， “ 武汉市财政学校 例如 ， “ 太平洋 、 大西洋 、 印 又例如， 又例如 太平洋、 大西洋、 度洋、 北冰洋” 组成一个集合。 度洋 、 北冰洋 ” 组成一个集合 。 全体师生”组成一个集合。 全体师生”组成一个集合。 这个集合的元素是： 这个集合的元素是： 学校中的每一位学生或者教师 太平洋、 大西洋、 印度洋、北冰洋 太平洋、 大西洋、 印度洋、 都是这个集合的一个元素. 都是这个集合的一个元素. 这个集合可以表示成： 这个集合就可以表示成： 这个集合可以表示成：： 这个集合就可以表示成 {武汉市财政学校全体师生 武汉市财政学校全体师生} 武汉市财政学校全体师生 {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
当一个集合的元素较多，或者它是一个无限集时， 注：当一个集合的元素较多，或者它是一个无限集时， 如果要用列举法来表示，可以只写出其中几个元素， 如果要用列举法来表示，可以只写出其中几个元素， 其它的元素可以用省略号表示. 其它的元素可以用省略号表示 但要注意的是必须让人明白省略号表示了哪些元素. 但要注意的是必须让人明白省略号表示了哪些元素
用列举法表示下列集合： 例1. 用列举法表示下列集合： (1) 大于 且小于 的自然数组成的集合 大于3且小于 的自然数组成的集合. 且小于9的自然数组成的集合 (2) x 2 = 1 方程 的所有解组成的集合 的所有解组成的集合. (3) 大于 且小于 大于0且小于 且小于100的偶数组成的集合 的偶数组成的集合. 的偶数组成的集合
∈B
，−2 ∉ B 。
0
∈N
2 3
∈
Q
2 3
∉
Z
1 ∈ N , − 4∉ N , 0.5∉ N , 3 ∈ N * , 0 ∉ N + ; 1 1 ∈ Z , − 2 ∈ Z , 0.5 ∉ Z , ∉ Z , 3 ∉ Z ; 3 ∈ Q, − 3 ∈ Q, 0.5 ∈ Q, 2 ∈ Q, 2 ∉ Q; 1 3 * 1 π ∈ R, 5 ∈ R, 3 ∈ R , ∈ R,− 2 ∉ R+ . 3
解：
（1） ） （2） ） （3） ）
{ 4 ，5 ，6 ，7 ，8 } { 1 ，-1 }
{ 2，4 ，6，8， …，96，98 } ， ， ， ， ，
练一练： 练一练：
用列举法表示下列集合： 用列举法表示下列集合： (1) 小于 的自然数组成的集合。 小于5 的自然数组成的集合。 (2) 我校一年级开设的课程组成的 集合。 集合。 (3) 大于 且小于 大于0且小于 且小于100的奇数组成的 的奇数组成的 集合。 集合。 (4) 所有的正偶数组成的集合。 所有的正偶数组成的集合。
解答： 解答：
解： （1）小于 的自然数组成的集合 ）小于5
为：{ 0，1 ，2 ，3， 4 }。 ， ， 。 （2）我校一年级开设的课程组成的 ） 集合为： 集合为： {语文，英语，数学，体育，…}。 语文， 语文 英语，数学，体育， 。 （3）大于 且小于 且小于100的奇数组成的集合 ）大于0且小于 的奇数组成的集合 为：{ 1，3，5，…，97，99 }。 ， ， ， ， ， 。 （4）所有的正偶数组成的集合为： ）所有的正偶数组成的集合为： { 2，4， 6，8 ，… } 。 ， ， ，