信号与系统第九章 (1)

若
X (s) 是有理函数
X (s)
N (s)
M
(s i
i )
D(s)
(s i ) 12
i
零点：分子多项式的根 极点：分母多项式的根 零极点图：将 X (s)的全部零点和极点表示在S平面上 零极点图及其收敛域可以表示一个 X (s)
最多相差一个常数因子
因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
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9.2 拉氏变换的收敛域
的直线的左边。
若x(t)是左边信号，定义于 (,T ,
0 在 ROC 内，1 0，则
T x(t)e1t dt T x(t)e0te(10 )t dt
e(10 )T T x(t)e0t dt
表明 1 也在收敛域内。
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6.双边信号的ROC如果存在，一定是S平面内平行
于 j 轴的带形区域。
The Region of Convergence for Laplace Transforms 可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带形区域。
2. 在ROC内无任何极点。 3. 时限信号且绝对可积，则ROC是整个 S 平面。
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4. 右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 j
0
a j
(a 0)
显然，在 a 0 时，拉氏变换收敛的区域为
Re[s] a ，包括了 0 。
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比较 X (s) 和 X ( j)，显然有
X (s) s j X ( j)
当 a 0时， x(t) eatu(t) u(t)
可知 u(t) 1 s
Re[s] 0
例2. x(t) eatu(t)
X (s) 0 eatestdt 0 e(sa)tdt 1 Re[s] a
sa
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。
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结论: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。 并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平 面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。
2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称 为拉氏变换的收敛域 。
傅里叶变换是以复指数函数的特例 e jt 和 e jn
为基底分解信号的。以一般的复指数函数est和 z n
为基底，也能对信号进行分解。
本章及下一章要讨论的中心问题
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以一般的复指数函数为基底对信号进行分解
e st 为底
拉普拉斯变换
z n为底
Ｚ变换
✓具有与傅里叶变换相同的重要性质
✓能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统
例1. x(t) eat 0
0t T
其它 t
X (s) T eatest dt 0
T e(sa)t dt 1 [1 e(sa)T ]
0
sa
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X (s)有极点 s a 考查零点，令 e(sa)T 1
在 0 或是在 j 轴上的特例。
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由于 X (s) x(t)ete jtdt [x(t)et ]e jtdt
F[x(t)et ]
表明：
✓ x(t) 的拉氏变换就是 x(t)et 的傅里叶变换。
✓ 引入 后，使得有些本来不满足狄里赫利条件
的信号 x(t) 的傅氏变换不收敛，而它的拉氏变换
X (s)
1 s 1
1 s2
2s 3 s2 3s 2 ,
Re[s] 1
2 1
思考：x(t) e2tu(t) et cos(3t)u(t) 的收敛域？
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部
分。ROC总是以平行于 j 轴的直线作为边界的，
ROC的边界总是与 X (s) 的分母的根相对应的。
拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence） 对拉氏变换是非常重要的概念。
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3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达 式，只是它们的收敛域不同。
4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 能和信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有
轴的直线的右边。
若 x(t)是右边信号, T
t
,
在ROC内，
0
则有 x(t)e0t 绝对可积，即：
x(t)e0t dt T
若1 0，则
x(t )e1t dt
T
x(t)e0te(10 )t dt T
e(10 )T x(t)e0t dt
表明 1 也在收敛域内。T
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5.左边信号的ROC位于S平面内一条平行于 j 轴
分析问题
✓还能用于傅里叶分析方法不适用的许多方面
拉普拉斯变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析
法的推广，傅里叶分析是它们的特例。
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9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
复指数信号 est 是一切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t) ，则系统对
est产生的响应是:
存在。 ✓ 拉氏变换是对傅里叶变换的推广
拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。 6
例1. x(t) eatu(t)
X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
在 Re[s] a 时，积分收敛。
当 a 0 时， x(t) 的傅里叶变换存在
X ( j ) eate jtdt 1
第9章 拉普拉斯变换 本章基本内容：
1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图与傅里叶变换几何求值； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 系统函数与LIT系统的拉氏变换分析与表征； 6. 单边拉普拉斯变换；
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9.0 引言 Introduction
✓相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合 ✓复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数
X ( j) X (s) s j
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二. 拉氏变换的ROC及零极点图：
例3. x(t) etu(t) e2tu(t)
X (s) etestdt e2testdt
0
wk.baidu.com
0
1
Q
etu(t) 1 , s 1
Re[s] 1
e2tu(t) 1 , Re[s] 2 2 s2
j
j
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j
y(t) H (s)est ，其中 H (s) h(t)estdt
当s j时，就是连续时间傅里叶变换。
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一.双边拉氏变换的定义：
X (s) x(t)estdt
双边拉氏变换 s j
特例：
若 0 ，s j 则有: X ( j ) x(t)e jtdt
傅里叶变换
表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换