2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之二-数学思维的反思性

2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之二
数学思维的反思性
一、概述
数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。

在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。

本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。

二、思维训练实例
(1)检查思路是否正确，注意发现其中的错误。

例1已知b
x ax x f +=)(，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。

错误解法由条件得
⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303b a b a ②
①
②
×2－①得15
6≤≤a ③①
×2－②得3
2338-≤≤-b ④③+④得
.3
43)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
b
x ax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的。

当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

正确解法
由题意有
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f 解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴把)1(f 和)2(f 的范围代入得.3
37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。

只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

例2证明勾股定理：已知在ABC ∆中，︒=∠90C ，求证.
222b a c +=错误证法在ABC Rt ∆中，,cos ,sin c b A c a A ==而1cos sin 22=+A A ，1)((22=+∴c
b c a ，即.222b a c +=错误分析在现行的中学体系中，1cos sin 22=+A A 这个公式本身是从勾股定理推出来的。

这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。

循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。

因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。

这样才能避免循环论证的错误。

发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。

(2)验算的训练
验算是解题后对结果进行检验的过程。

通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。

例3已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.
n a 错误解法
.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a ，错误原因，没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是).(2N n n ∈≥因此在运用1--=n n n S S a 时，必须检验
1=n 时的情形。

即：⎩⎨⎧∈≥==)
,2()1(1N n n S n S a n
n
例4实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=
有两个公共点。

错误解法
将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
12=联立，消去y ，得
).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a 解之，得.8
17=
a 错误分析（如图2－2－1；2－2－2）显然，当0=a 时，圆与抛物线有两个公共点。

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。

当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.
0102a 解之，得.
11<<-a 因此，当817=
a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
12=有两个公共点。

思考题：实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=
，（1）有一个公共点；
（2）有三个公共点；
x y O 图2－2－1x
y
O 图2－2－
2
（4）没有公共点。

养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。

如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。

(3)独立思考，敢于发表不同见解
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性。

因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。

例530支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？解因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。

因此应安排29场比赛。

思路分析传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15＋7＋4＋2＋1＝29场比赛。

而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。

例6解方程.
cos 322x x x =+-考察方程两端相应的函数x y x y cos ,2)1(2=+-=，它们的图象无交点。

所以此方程无解。

例7设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（）
不存在)(;18)(;8)(;4
49)(D C B A -思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：,
6,2+==+k k αββα.4
4943(42
)(22)(1
212)1()1(222222--=++--+=+-++-=-+-∴k βααββαββααβα有的学生一看到4
49-
，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。

这正是思维缺乏反思性的体现。

如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根βα、，
,0)6(442≥+-=∆∴k k .32≥-≤∴k k 或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18；这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。