(完整word版)二次根式提高培优
培优专题10二次根式化简求值的五种方法-2022-2023学年八年级(五四制)下册初三数学学练测(鲁
培优专题10二次根式化简求值的五种方法一、引言在初三数学学习中，二次根式是一个重要的概念，也是化简和求值的常见题型。
本文介绍了五种方法来化简和求值二次根式，帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、方法一：分解质因数法当二次根式中含有平方数时，分解质因数法是一种很有效的化简方法。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{100}$解析：由于100可以分解为 $2^2 \\times 5^2$，所以 $\\sqrt{100}$ 可以化简为 $2 \\times 5 = 10$。
三、方法二：直接运算法当二次根式中没有平方数时，可以直接进行运算来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{8}$解析：可以发现8可以分解为23，所以 $\\sqrt{8}$ 可以化简为$\\sqrt{2^3} = 2\\sqrt{2}$。
四、方法三：有理化方法有时候，二次根式的分子或分母中含有根号，这时可以使用有理化方法来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}$解析：可以使用有理化的方法，将分母的两个根式的乘积展开，得到$\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}} = \\frac{1}{(\\sqrt{3} +\\sqrt{2})(\\sqrt{3} - \\sqrt{2})} = \\frac{1}{3 - 2} = 1$。
五、方法四：配方法当二次根式中含有两个以上的项时，可以使用配方法来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{18} + \\sqrt{8}$解析：首先，对于 $\\sqrt{18}$，可以将其分解为 $3\\sqrt{2}$。
对于$\\sqrt{8}$，可以将其分解为 $2\\sqrt{2}$。
所以， $\\sqrt{18} +\\sqrt{8}$ 可以化简为 $3\\sqrt{2} + 2\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$。
(完整版)培优专题：二次根式
二次根式培优一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中a 0-a 0。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0，由此我们判断下列式子有 意义的条件：____ ____ ____ 1/ x 1(1 八 x 1 \1 x ; (2)、 -- 2；2V x(3) <1—T J—2； (4) —-; (5) V3—r(x竺x 1Vx 2(1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------⑥ 计算：J (4研&妬5)2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：'a a(a 0)，在此我们可将其拓展为:2、也2的化简 a(a 0) a(a 0)②化简求值:1其中a= 5③已知,3,化简2m4m 2 m 1 .m 2 6m 912am J 2m m2 1,求m的取值范围①若②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值；④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。
.二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x应满足( ).J2x 11 11 1A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 32 2 2 2例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ .(2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为()(A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 .例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为()A. 2B. 0C. —2D.以上都不是⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。
初二数学二次根式提高题与常考题与培优题(含解析)
二次根式提升题与常考题型压轴题(含解读)一．选择题（共13 小题）1．二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3B．x≤3 且 x≠ 0 C．x≤3 D．x＜3 且 x≠02．计算：﹣，正确的选项是（）A．4B．C．2D．3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和 12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣ 12+8C． 8﹣ 4D． 4﹣ 24．若 1＜x＜ 2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣ 2 C． 4﹣ 2x D． 25．以下计算正确的选项是（）A．=2B．=C．=x D．=x6．以下各式变形中，正确的选项是（）A．x2?x3=x6 B．=| x|C．（x2﹣）÷ x=x﹣1D．x2﹣ x+1=（x﹣）2+7．以下二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．8．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2C．﹣ 2D．29．已知， ab＞0，化简二次根式 a的正确结果是（）A．B．C．﹣D．﹣10． a的小数部分，b的小数部分．的（）A．+ 1 B．+1 C．1D．++111．把中根号外面的因式移到根号内的果是（）A．B．C．D．12．假如=2a 1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥13．已知： a=，b=，a与b的关系是（）A．ab=1B．a+b=0 C．a b=0 D．a2=b2二．填空（共17 小）14．假如代数式存心，那么x的取范．15．在数上表示数 a 的点如所示，化+| a 2| 的果．16．算：=．17．察以下等式：第 1个等式： a1=，=1第 2个等式： a2=，=第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4==2，按上述律，回答以下：（1）写出第 n 个等式： a n=；（2） a1+a2+a3+⋯+a n=．18．算 2的果是．19．算（+）（）的果等于．20．化简：（0＜a＜1）=．21．假如最简二次根式与能够归并，那么使存心义的x 的取值范围是．22．已知 a，b 是正整数，且知足是整数，则这样的有序数对（ a，b）共有对．23．对正实数 a，b 作定义 a*b=﹣a，若 2*x=6，则 x=．．已知x+y=， x﹣y=4﹣y4．24，则 x=25．已知=﹣（x，y 为有理数），则 x﹣ y=．26．已知是正整数，则实数 n 的最大值为．27．三角形的三边长分别为3、m、 5，化简﹣=．28．若实数 m 知足=m+1，且 0＜m＜，则m的值为．29．计算以下各式的值：；；；．察看所得结果，总结存在的规律，应用获得的规律可得=．30．察看以下各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3× 3+1，猜想：=．三．解答题（共10 小题）31．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．32．若 1＜ a＜2，求+的值．33．已知 x， y 都是有理数，而且知足，求的值．34．先化简，再求值：，此中x=﹣3﹣（π﹣3）0．35．（ 1）已知 | 2012﹣x|+=x，求 x﹣ 20132的值；（ 2）已知 a＞0，b＞0 且（+）=3（+5）．求的值．36．察看以下各式及其考证过程：（ 1）依据上述两个等式及其考证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行考证；（2）针对上述各式反响的规律，写出用 n（ n 为随意自然数，且 n≥ 2）表示的等式，并说明它建立．37．先化简，再求值：（+）÷，此中a=+1．38．求不等式组的整数解．39．阅读与计算：请阅读以下资料，并达成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《胸怀》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：假如一个三角形的三边长分别为a、 b、c，设p=，则三角形的面积 S=．我国南宋有名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：假如一个三角形的三边长分别为 a、b、c，则三角形的面积 S=．（1）若一个三角形的三边长分别是 5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．40．已知： y=++ ，求﹣的值．二次根式提升题与常考题型压轴题(含解读 )参照答案与试卷解读一．选择题（共13 小题）1．（2017 春?启东市月考）二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3B．x≤3 且 x≠ 0 C．x≤3 D．x＜3 且 x≠0【剖析】依据二次根式存心义的条件和分式存心义的条件得出3﹣x≥0 且 x≠ 0，求出即可．【解答】解：要使存心义，一定3﹣x≥0且x≠ 0，解得： x≤3 且 x≠ 0，应选 B．【评论】本题考察了二次根式存心义的条件和分式存心义的条件等知识点，能根据题意得出 3﹣x≥0 且 x≠ 0 是解本题的重点．2．（2017 春?萧山区校级月考）计算：﹣，正确的选项是（）A．4B．C．2D．【剖析】直接化简二次根式从而归并求出答案．【解答】解：﹣=2﹣=．应选： D．【评论】本题主要考察了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题重点．3．（ 2017 春?嵊州市月考）如图，在长方形 ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和 12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣ 12+8C． 8﹣ 4D． 4﹣ 2【剖析】依据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再依据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和 12cm2，∴它们的边长分别为=4cm，=2 cm，∴AB=4cm，BC=（ 2 +4） cm，∴空白部分的面积 =（ 2 +4）× 4﹣12﹣ 16，=8 +16﹣ 12﹣16，2=（﹣ 12+8）cm．【评论】本题考察了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的重点在于依据正方形的面积求出两个正方形的边长．4．（2016?呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣ 2 C． 4﹣ 2x D． 2【剖析】已知 1＜x＜2，可判断 x﹣3＜0，x﹣1＞0，依据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜x＜2，∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，原式 =| x﹣3|+=| x﹣3|+| x﹣1|=3﹣x+x﹣1=2．【评论】解答本题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0 时，表示 a 的算术平方根；当 a=0 时， =0；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=| a| ．5．（2016?南充）以下计算正确的选项是（）A．=2B．=C．=x D．=x【剖析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A、=2，正确；B、=，故此选项错误；C、=﹣x，故此选项错误；D、=| x| ，故此选项错误；应选： A．【评论】本题主要考察了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题重点．6．（2016?杭州）以下各式变形中，正确的选项是（）A．x2?x3=x6 B．=| x|C．（x2﹣）÷ x=x﹣1D．x2﹣ x+1=（x﹣）2+【剖析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法例和分式的混淆运算法例分别化简求出答案．【解答】解： A、x2?x3=x5，故此选项错误；B、=| x| ，正确；C、（x2﹣）÷ x=x﹣，故此选项错误；D、x2﹣ x+1=（ x﹣）2+，故此选项错误；【评论】本题主要考察了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混淆运算等知识，正确掌握有关运算法例是解题重点．7．（2016?巴中）以下二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【剖析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【解答】解： A、 =3 ，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、 = ，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；应选： B．【评论】本题主要考察了同类二次根式，正确化简二次根式是解题重点．8．（2016?营口）化简+﹣的结果为（）A．0B．2C．﹣ 2D．2【剖析】依据根式的开方，可化简二次根式，依据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，应选： D．【评论】本题考察了二次根式的加减，先化简，再加减运算．9．（2016?安徽校级自主招生）已知， ab＞ 0，化简二次根式a的正确结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【剖析】直接利用二次根式的性质从而化简得出答案．【解答】解：∵ ab＞0，∴ a=a×=﹣．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题重点．10．（2016?邯郸校级自主招生）设 a 为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1B．﹣+1 C．﹣﹣1D．++1【剖析】第一分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b 对应的小数部分，而后辈、化简、运算、求值，即可解决问题．【解答】解：∵﹣=﹣=== ，∴ a 的小数部分 =﹣1；∵﹣===，∴ b 的小数部分 =﹣ 2，∴﹣====．应选 B．【评论】该题主要考察了二次根式的化简与求值问题；解题的重点是灵巧运用二次根式的运算法例来剖析、判断、解答．11．（ 2016?柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A．B．C．D．【剖析】先依据被开方数大于等于 0 判断出 a 是负数，而后平方后移到根号内约分即可得解．【解答】解：依据被开方数非负数得，﹣＞0，解得 a＜0，﹣ a==．应选 A．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，先依据被开方数大于等于0 求出 a 的取值范围是解题的重点，也是本题最简单犯错的地方．12．（ 2016?杨浦区三模）假如=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥【剖析】由二次根式的化简公式获得1﹣ 2a 为非正数，即可求出 a 的范围．【解答】解：∵=| 1﹣ 2a| =2a﹣ 1，∴1﹣ 2a≤0，解得： a≥ ．应选 D【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，娴熟掌握二次根式的化简公式是解本题的重点．13．（2016?临朐县一模）已知： a=，b=，则a与b的关系是（）A．ab=1B．a+b=0C．a﹣b=0 D．a2=b2【剖析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、 a﹣ b、 a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解： a===2+，b===2﹣，A、ab=（ 2+）×（2﹣）=4﹣3=1，故本选项正确；B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本选项错误；C、a﹣b=（2+）﹣（2﹣）=2，故本选项错误；D、∵ a2=（ 2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣4+3=7﹣4，∴a2≠b2，故本选项错误；应选 A．【评论】本题考察了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解本题的重点．二．填空题（共17 小题）14．（2017?静安区一模）假如代数式存心义，那么x的取值范围为x＞﹣2．【剖析】依据二次根式存心义的条件、分式存心义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得， x+2＞0，解得， x＞﹣ 2，故答案为： x＞﹣ 2．【评论】本题考察的是二次根式存心义的条件，掌握二次根式中的被开方数一定是非负数是解题的重点．15．（ 2016?乐山）在数轴上表示实数 a 的点如下图，化简+| a﹣2| 的结果为3．【剖析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a﹣5＜0，a﹣2＞ 0，则+| a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．故答案： 3．【点】此主要考了二次根式的性以及的性，正确掌握掌握有关性是解关．16．（ 2016?聊城）算：=12．【剖析】直接利用二次根式乘除运算法化求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12．故答案： 12．【点】此主要考了二次根式的乘除运算，正确化二次根式是解关．17．（ 2016?黄石）察以下等式：第 1个等式： a1=，=1第 2个等式： a2==，第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4==2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n=；；=（ 2） a1+a2+a3+⋯+a n1．=【剖析】（1）依据意可知， a12=3==1，a =， a ==2，a4==2，⋯由此得出第 n 个等式： a n==；（ 2）将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a1==1，第 2个等式： a2==，第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4==2，∴第 n 个等式： a n==；（ 2） a1+a2+a3+⋯+a n=（1）+（）+（2）+（2）+⋯+（）=1．故答案=；1．【点】此考数字的化律以及分母有理化，要修业生第一剖析意，找到律，并行推得出答案．18．（ 2016?哈）算 2的果是2．【剖析】先将各个二次根式化成最二次根式，再把同二次根式行归并求解即可．【解答】解：原式 =2×3= 3= 2 ，故答案： 2 ．【点】本考了二次根式的加减法，解答本的关在于掌握二次根式的化与同二次根式归并．19．（ 2016?天津）算（+）（）的果等于 2 ．【剖析】先套用平方差公式，再依据二次根式的性算可得．【解答】解：原式 =（）2（）2=5 3=2，故答案为： 2．【评论】本题考察了二次根式的混淆运算的应用，娴熟掌握平方差公式与二次根式的性质是重点．20．（ 2016?博野县校级自主招生）化简：（0＜a＜1）=﹣a．【剖析】联合二次根式的性质进行化简求解即可．【解答】解：==| a﹣| ．∵0＜ a＜1，∴ a2﹣1＜0，∴ a﹣ =＜0，∴原式 =| a﹣| =﹣（ a﹣）=﹣a．故答案为：﹣a．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，解答本题的重点在于娴熟掌握二次根式的性质及二次根式的化简．21．（2016?绵阳校级自主招生）假如最简二次根式与能够归并，那么使存心义的 x 的取值范围是x≤ 10．【剖析】依据二次根式可归并，可得同类二次根式，依据同类二次根式，可得 a 的值，依据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由最简二次根式与能够归并，得3a﹣8=17﹣2a．解得 a=5．由存心义，得20﹣2x≥0，解得 x≤10，故答案为： x≤ 10．【评论】本题考察了同类二次根式，利用同类二次根式得出对于 a 的方程是解题重点．22．（ 2016?温州校级自主招生）已知a，b 是正整数，且知足是整数，则这样的有序数对（ a， b）共有7对．【剖析】 A， B 只好是 15n2，而后分别议论及的取值，最后可确立有序数对的个数．【解答】解： 15 只好约分红3， 5那么 A，B 只好是 15n2先考虑 A 这边：①，那么 B 能够这边能够是 1 或许，此时有：（15，60），（ 15，15），（60，15），②，只好 B 这边也是，此时有：（60，60），③，那么 B 这边也只好是，∴2×（ + ）=1，此时有：（240， 240）④的话，那么 B 这边只好是，那么 2（ + ） =1，此时有：（135， 540），（540，135）．综上可得共有 7 对．故答案为： 7．【评论】本题考察二次根式的化简求值，难度较大，重点是依据题意分别议论及的取值．23．（ 2016?福州自主招生）对正实数a，b 作定义 a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32．【剖析】依据定义把 2*x=6 化为一般方程，求解即可．【解答】解：∵a*b=﹣a，∴2*x=﹣2，∴方程 2*x=6 可化为﹣2=6，解得x=32，故答案为： 32【评论】本题主要考察二次根式的化简，利用新定义把方程化为一般方程是解题的重点．24（．2016?黄冈校级自主招生）已知 x+y=，x﹣y=，则 x4﹣y4=．【剖析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2，再求得 x2﹣y2，可求得答案．【解答】解：∵ x+y=，x﹣y=，∴（ x+y）22+2xy+y2（）2+，（﹣y）2 2﹣2xy+y2=x==x=x=（）2=﹣，∴ x2+y2=，又 x2﹣ y2= （ x+y ）（ x ﹣ y ） = （）（） ==1，∴ x4﹣y4（2+y2）（ x2﹣y2）=，=x故答案为：．【评论】本题主要考察二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和 x2﹣ y2的值是解题的重点．25．（ 2016?黄冈校级自主招生）已知=﹣（x，y为有理数），x y= 1 ．【剖析】把已知条件两平方，整理可获得 x+y 2，合x、y均有理数，可求得 x、y 的，可求得答案．【解答】解：∵=，∴（）2=（）2，即23= x+ y 2，∴ x+y 2=2= +2，∵ x，y 有理数，∴x+y= + ，xy= ×，由条件可知 x＞y，∴x= ，y= ，∴x y=1，故答案： 1．【点】本主要考二次根式的化，由条件求得 x、 y 的是解的关．26．（ 2016 春?固始期末）已知是正整数，数n 的最大11．【剖析】依据二次根式的意可知 12 n≥0，解得 n≤12，且 12 n 开方后是正整数，切合条件的 12 n 的有 1、4、9⋯，此中 1 最小，此 n 的最大．【解答】解：由意可知 12 n是一个完整平方数，且不 0，最小 1，所以 n 的最大 12 1=11．【点】主要考了二次根式存心的条件，二次根式的被开方数是非数．27．（2016?山西模）三角形的三分3、m、5，化=2m 10 ．【剖析】先利用三角形的三关系求出m 的取范，再化求解即可．【解答】解：∵三角形的三分3、m、5，∴2＜ m＜8，∴﹣=m﹣2﹣（ 8﹣m） =2m﹣10．故答案为： 2m﹣10．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的重点是熟记三角形的三边关系．28．（ 2016?武侯区模拟）若实数m知足=m+1，且 0＜m＜，则m的值为．【剖析】直接利用二次根式的性质化简从而得出对于m 的等式即可得出答案．【解答】解：∵=m+1，且 0＜ m＜，∴ 2﹣ m=m+1，解得： m=．故答案为：．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题重点．29．（ 2016?龙岩模拟）计算以下各式的值：；；；．察看所得结果，总结存在的规律，应用获得的规律可得=102016．【剖析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律从而得出答案．【解答】解：=10；=100=102；=1000=103；=10000=104，可得=102016．故答案为： 102016．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题重点．30．（2016?丹东模拟）察看以下各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3×3+1，猜想：= 20112+3×2011+1．【剖析】依据题意得出数字变换规律从而得出答案．【解答】解：由题意可得：=20112+3× 2011+1．故答案为： 20112+3× 2011+1．【评论】本题主要考察了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题重点．三．解答题（共10 小题）31．（ 2017 春?临沭县校级月考）计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．【剖析】（1）先进行二次根式的除法运算，而后化简后归并即可；（2）利用完整平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式 =3 ﹣ 2 +=3 ﹣2 +2=3；（ 2）原式 =1﹣5+1+2+5=2+2．【评论】本题考察了二次根式的混淆运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，而后进行二次根式的乘除运算，再归并即可．32．（ 2017 春?沂源县校级月考）若 1＜ a＜ 2，求+的值．【剖析】依据 a 的范围即可确立a﹣ 2 和 a﹣1 的符号，而后依据算术平根的意义进行化简求值．【解答】解：∵ 1＜a＜2，∴a﹣ 2＜0， a﹣1＞0．则原式=+=+=﹣1+1=0．【评论】本题考察了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解=| a| 是重点．33（．2017 春?启东市月考）已知 x，y 都是有理数，而且知足，求的值．【分析】观察式子，需求出x ， y的值，所以，将已知等式变形：，x，y 都是有理数，可得，求解并使原式存心义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y 都是有理数，∴ x2+2y﹣ 17 与 y+4 也是有理数，∴解得∵存心义的条件是x≥y，∴取 x=5，y=﹣4，∴．【评论】此类问题求解，或是变换式子，求出各个未知数的值，而后辈入求解．或是将所求式子转变为已知值的式子，而后整体代入求解．34．（ 2016?锦州）先化简，再求值：，此中x=﹣3﹣（π﹣ 3）0．【剖析】先依据分式混淆运算的法例把原式进行化简，再把化简后 x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=×4 ﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，=﹣1．把 x=﹣1代入获得：==．即=．【评论】本题考察的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵巧应用．35．（ 2016?湖北校级自主招生）（ 1）已知 | 2012﹣x|+=x，求 x﹣ 20132的值；（ 2）已知 a＞0，b＞0 且（ + ）=3 （ +5）．求的值．【剖析】（ 1）由二次根式存心义的条件可知 x≥2013，而后化简得=2012，由算术平方根的定义可知：x﹣2013=20122，最后联合平方差公式可求得答案．（ 2）依据单项式乘多项式的法例把（ +）=3（+5）进行整理，得出 a﹣2﹣ 15b=0，再进行因式分解得出（﹣5）（+3）=0，而后依据 a＞0，b＞0，得出﹣5 =0，求出 a=25b，最后辈入要求的式子约分即可得出答案．【解答】解：（1）∵ x﹣2013≥0，∴x≥2013．∴ x﹣2012+=x．∴=2012．∴x﹣2013=20122．∴x=20122+2013．∴x﹣20132=20122﹣20132+2013 =﹣（2012+2013）+2013 =﹣2012．（ 2）∵（+ ）=3（+5 ），∴ a+=3+15b，∴a﹣ 2﹣15b=0，∴（﹣5）（+3）=0，∵a＞ 0，b＞ 0，∴ ﹣5 =0，∴ a=25b，∴原式 ===2．【评论】本题主要考察的是二次根式的混淆运算，用到的知识点是二次根式存心义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第（1）题求得 x﹣2013=20122，第（ 2）求出 a=25b 是解题的重点．36．（ 2016?山西模拟）察看以下各式及其考证过程：（ 1）依据上述两个等式及其考证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行考证；（2）针对上述各式反响的规律，写出用 n（ n 为随意自然数，且 n≥ 2）表示的等式，并说明它建立．【剖析】依据察看，可得规律，依据规律，可得答案．【解答】解：（1）5=考证： 5====；（ 2） n=，证明： n====．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，运用n=的规律是解题重点．37．（ 2016?仙游县校级模拟）先化简，再求值：（+）÷，此中a=+1．【剖析】利用通分、平方差公式等将原式化简为，代入 a 的值即可得出结论．【解答】解：原式 =（+）÷，=?，=?，=．当 a= +1 时，原式 ==．【评论】本题考察了分式的化简求值，解题的重点是将原式化简成．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是重点．38．（ 2016?高邮市一模）求不等式组的整数解．【剖析】第一解不等式组，注意系数化“1时”，这两个不等式的系数为负数，不等号的方向要改变．还要注意题目的要求，按要求解题．【解答】解：整理不等式组，得∴∴∴；∴不等式组的整数解为﹣2，﹣ 1，0．【评论】本题考察了一元一次不等式组的解法．要注意系数化“1时”，系数是正仍是负，正不等号的方向不变，负不等号的方向改变．还要注意审题，依据题意解题．39．（ 2016?太原一模）阅读与计算：请阅读以下资料，并达成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《胸怀》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：假如一个三角形的三边长分别为a、 b、c，设p=，则三角形的面积 S=．我国南宋有名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：假如一个三角形的三边长分别为 a、b、c，则三角形的面积 S=．（ 2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【剖析】（1）把 a、 b、 c 的长代入求出 S2，再开方计算即可得解；2（ 2）把 a、b、c 的长代入求出 S ，再开方计算即可得解．【解答】解：（1）p===9，S===6．答：这个三角形的面积等于6．（2） S=====．答：这个三角形的面积是．故答案为： 6．【评论】本题考察了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．40．（ 2016 春?饶平县期末）已知： y=++，求﹣的值．【剖析】第一依据二次根式中的被开方数一定是非负数，求出x 的值是多少，进而求出 y 的值是多少；而后把求出的x、y 的值代入化简后的算式即可．【解答】解：∵+存心义，∴，解得 x=8，∴ y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=【评论】本题主要考察了二次根式存心义的条件，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：二次根式中的被开方数一定是非负数，不然二次根式无心义．。
数学二次根式的专项培优练习题(附解析
数学二次根式的专项培优练习题(附解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B =C =D =2．下列各式计算正确的是（ ）AB ．C =3D ．3．下列运算正确的是（ ）A =B ． 3C ＝﹣2D =4．下列各式中，正确的是（ ）A 2=±B =C 3=-D 2=5．下列计算正确的是（ ）A =B 3=C =D ．21= 6．下列式子中，是二次根式的是( )A B CD ．x7．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ． x ≤48．已知a ( )A ．0B ．3C ．D ．99．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.01)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．912．230x -=成立的x 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．以上都不对二、填空题13．使函数212y x x=+有意义的自变量x 的取值范围为_____________14．已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为______.15．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____．16．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．17．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________．18．()()22223310x y x y ++-+=，则222516x y +=______.19．已知4a2(3)|2|a a +--=_____．20．化简：3222＝_____．三、解答题21．阅读下面问题： 阅读理解：2221(21)(21)==++-1； 323232(32)(32)==++-(55252(52)(52)==-++-．应用计算：（176+（211n n++（n 为正整数）的值．归纳拓展：（3122334989999100++++++【答案】应用计算：（17621n n + 归纳拓展：（3）9． 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（17-6分母利用平方差公式计算即可，（2n 1-n +（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-， =10-1， =9． 【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．计算： 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．（112=3==；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2n=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含n （3）证明：∵n 是正整数，n ．n．故答案为5=25 n；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.24．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a ﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.25．先化简，再求值：a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()23a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.26．先观察下列等式，再回答下列问题： 2211111111121112++=+-=+； 2211111111232216++=+-=+ 22111111113433112++=+-=+ (1)2211145++ (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子． 试题解析：(1)2211145++=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.27．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.28．先化简，再求值：24224x xx x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭，其中2x =．【答案】22x x +-，1 【分析】先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2x x x x x x x x +-+=⋅=---，当2x =时，原式1==.【点睛】本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．29．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2．（2）12a ===，12b ===，2222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．30．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】=3= ， ∴A 、C 、D 均错误，B 正确， 故选：B.此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 2．C解析：C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可．【详解】AB、C，故本选项正确；D、=18，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．3．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【详解】解：AB、＝，故此选项错误；C2，故此选项错误；D，正确；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．4．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．【详解】A，故该选项错误；B===，故该选项错误；C3D11223334=(2)2==，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．5．A解析：A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．【详解】解：======，原式计算错误；D. 2220=-=，原式计算错误；故应选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．【详解】解：A是二次根式，符合题意；B是三次根式，不合题意；C、当x＜0D、x属于整式，不合题意；故选：A．【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．7．B解析：B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|，当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．8．B解析：B【解析】=，可知当（a﹣3）2=0，即a=3故选B．9．C解析：C【解析】试题解析：∵a1，a∴1-a≥0，a≤1，故选C．10．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．解析：A【解析】根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．12．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.【详解】x30-=，=0=，∴x=-2或x=3，又∵2030 xx+≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3，故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题13．【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，解得：①当时，解得：即：①当时，解得：即：故自变量x的取值范围为【点睛】解析：11,0 22x x-≤≤≠利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，220x x +≠解得：0,2x x ≠≠-12||0x -≥①当0x >时，120x -≥ 解得：12x ≤ 即：102x <≤①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-即：102x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -≤≤≠ 【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 14．1【分析】设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值． 【详解】解：设x 2−a 2=y 2−b 2=2008， ∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b ，x−a=y+b∴x=y ，a+b=0，∴， ∴x 2=y 2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系.15．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）= 12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．16．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．17．【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．18．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.19．-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此解析：-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∴a+3<0,2-a>0,-=-a-3-2+a=-5，|2|a故答案为：-5.【点睛】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.20．【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．解析：【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：=．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无27．无28．无29．无30．无。
第十六章 二次根式(培优卷)(原卷版)
第十六章二次根式（培优卷）一、单选题1．（2021·山东河东·七年级期末）2021=0的值为（）A．0B．2021C．-1D．12．（2021·福建南安·九年级期中）若x=y=222x xy y++的值为（）．A．2B．2021C．－D．8 3．（2021·=.=关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错4．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“=中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷5．（2021·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1﹣2，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（）A B C D．20216．（2021·山东青州·八年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下列说法：①当输出值y x为5或25；②当输入值为64时，输出值y③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个．7．（2021·山东河东·八年级期末）我们把形如b（a，b型无理数，如12属于无理数的类型为（）．A型B C型D8．（2021·浙江滨江·八年级期中）对式子m，正确的结果是（）A B．C．D9．（2021·全国·九年级专题练习）=x、y、z为有理数．则xyz＝（）A．34B．56C．712D．131810．（2021·广西钦州·七年级期末）如图是一张正方形的纸片，下列说法：①若正方形纸片的面积是1，则正方形的长为1；②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，设圆形纸片的周长为C圆，正方形纸片的周长为C正，则C圆＜C正；③若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题11．（2021·山东青州·八年级期末）已知2x=，则代数式24x++的值等于___．12．（2021·江西·景德镇一中七年级期中）_______13．（2021·山东商河·八年级期中）计算：）20142）2015＝______．14．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）==a b =______．15．（2021·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：--2-=※________．16．（2021·安徽八年级期中）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为2192cm 的正方形，则原长方形纸片的面积为________2cm ．17．（2020·全国·八年级课时练习）已知x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且+．18．（2021·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论 ．三、解答题19．（2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）（1（2）（3（41)20．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）2）2）＝1a （a≥0）、＋1）﹣1）＝b ﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有22(+2(22+2´22+2＋1﹣1，次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1（2）计算：（3的大小，并说明理由．21．（2021·湖北沙区·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解5的过程．m，与原方程相乘得：×5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，1，与原方程相加得：+5＋1，6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．1．22．（2021·江西）1=-；==2==．试求：（1（2n为正整数）的值．（3）计算：)1L．23．（2021·四川大邑·八年级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+ba，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+（1）若a+，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ．（2）若a，当a，m，n均为正整数时，求a的值．（3．24．（2020·江苏省初二月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．2(1=222(22m m n=+=++2(m=+2(m=+细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：)2＋1＝2，S 1)2＋1＝3，S 2；）２＋1＝4，S 3；…．（1）请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA 10的长；（2）求出的值．25．（2021·北京·八年级单元测试），3，…按下面的方式进行排列：，，那么（1所在的位置应记为；（2）在的位置上的数是，所在的位置应记为；（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为．222123210S S S S +++¼+ 3,M(1,5)(2,3)(4,1)。
中考数学数学二次根式的专项培优练习题(及解析
一、选择题1．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） ABCD2．a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32D ．83．已知x 1x 2，则x₁²＋x₂²等于( ) A ．8 B ．9C ．10D ．114．化简） ABCD5．=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．536．已知a 满足2018a -a ，则a －2 0182＝( ) A ．0B ．1C ．2 018D ．2 0197．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）123A ．BC ．D8．有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．下列说法中正确的是（ ）A ±5B ．两个无理数的和仍是无理数C ．-3没有立方根.D .10．已知，5x y +=-，3xy =则y x x y x y+的结果是（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-二、填空题11．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）514-_______12 12．已知实数,x y 满足()()22200820082008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--的值为______.13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．14．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．15．观察下列等式：第1个等式：a 12112=+， 第2个等式：a 23223=+， 第3个等式：a 332+3， 第4个等式：a 45225=+， …按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________16．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行7223 10 11 233第行13 154173219254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是（用含 n 的代数式表示）． 17．把 18．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13＝_____. 19．3y =，则2xy 的值为__________．20．下列各式：是最简二次根式的是:_____（填序号）三、解答题21．计算及解方程组： （1-1-）（2)2+（3）解方程组：251032x y x y x y -=⎧⎪+-⎨=⎪⎩【答案】（1）2）7；（3）102x y =⎧⎨=⎩．【分析】（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（11-1+（11=1 （22+）=34-=7-=7-（3）251032x y x y x y-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2 ∴原方程组的解是：102x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．22．小明在解决问题：已知a2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a＝2，所以a －2所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：= － .(2)…(3)若a ，求4a 2－8a ＋1的值． 【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】（11==；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2413a --代入求解即可. 【详解】(1)计算：1=； (2)原式)1...11019=++++==-=；(3)1a ===，则原式()()224213413a a a =-+-=--，当1a =时，原式2435=⨯-=.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.23．观察下列各式子，并回答下面问题．（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】解：（1 该式子一定是二次根式，因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式（215=16=，∴1516<<.15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．24．-10 【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．25．计算（11)1)⨯； （2）【答案】（12+；（2）. 【解析】分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.详解：（1)11+；＝()31-2 ；（2）原式＝(22⨯,＝＝3⨯＝＝点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．26．一样的式子，其实我3====，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式2n+++=.考点：分母有理化．27．已知a，b（1）求a2﹣b2的值；（2）求ba+ab的值．【答案】（1）；（2）10【分析】(1)先计算出a+b、a-b的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；(2)先计算ab的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.【详解】(1)∵ab，∴a+ba﹣b＝，∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝＝；(2)∵ab，∴ab＝)×)＝3﹣2＝1，则原式＝22b aab+＝()22a b abab+-＝(2211-⨯＝10．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.28．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）解：原式=4 =+4 =-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A =不是最简二次根式，本选项错误；BC =不是最简二次根式，本选项错误；D =故选：B ． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解题的关键．2．B解析：B 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】∴a ≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意， ∴a 的值可能是2． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．3．C解析：C 【详解】12x x +==12321x x ==-=，所以()2221212122x x x x x x +=+-=(22112210-⨯=-=，故选：C ． 【点睛】对于形如2212x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式，如1211+x x ，1221x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．4．C解析：C 【解析】根据二次根式有意义的条件可知﹣1x＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x. 故选C ．5．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数，∴x ＞0，y ＜0．将x=-y 代入原式得：原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ．【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．6．D解析：D【解析】【分析】根据二次根式的被开数的非负性，求的a 的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次根式的定义进行变形即可．【详解】解：等式2018a -＝a 成立，则a ≥2019，∴，，∴a-2019=20182，∴a-20182=2019．故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a 的取值范围是解题的关键．7．B解析：B【解析】【分析】由图形可知，第n(n =案．【详解】由图形可知，第n (n=∴第8=， 则第9行从左至右第5=， 故选B ．【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个数为8．A解析：A【解析】试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab ＞0，解得a ＞0，b ＞0，因此可知A （a ，b ）在第一象限.故选A9．D解析：D【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．【详解】5=，故A 选项错误；0ππ-+=，故B 选项错误；-3=，故C 选项错误；D 选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．10．B解析：B【分析】由x+y=-5，xy=3可得到x ＜0，y ＜0，再利用二次根式的性质化简得到原式==-，然后把xy=3代入计算即可． 【详解】∵x+y=−5，xy=3，∴x<0，y<0，∴原式===-（x ＜0，y ＜0），当xy=3时,原式=-故选B.【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于先化简.二、填空题11．【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)(2)∵∴∴故答案为： ，．解析：< <【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)<(2)113424-=∵3=∴304<< 12 故答案为：< ，<．【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键． 12．1【分析】设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x −a)=(y+b)(y −b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 13．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．14．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b ．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a ．b 都是数轴上的实数，注意符号的变换．15．【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：=1-【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， ……∴第n==（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-=121n +++=1-；1-．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．﹣【解析】解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣．故答案为：．点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．解析：【解析】解：通过a≤0，，所以故答案为：点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键． 18．5【解析】◇==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则解析：5【解析】32==5. 故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.19．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy =-2×52×3=-15. 20．②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】② ③ 是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解析：②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】是最简二次根式，③4故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
(2021年整理)二次根式提高培优题
二次根式提高培优题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二次根式提高培优题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二次根式提高培优题一．选择题（共13小题)1．已知a为实数,则代数式的最小值为( ）A．0 B．3 C．D．92．若x=﹣，y=+，则xy的值为（）A．2 B．2C．(a+b）D．(a﹣b)3．直线l：y=(m﹣3）x+n﹣2(m,n为常数)的图象如图，化简：|m﹣3｜﹣得（）A．3﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣54．若整数m满足条件=m+1且m＜，则m的值是（)A．0或1 B．﹣1、0或1 C．0或﹣1 D．﹣15．观察下列计算：•（+1）=（﹣1）（+1）=1，(+）（+1）=［(﹣1）+（﹣）］（+1）=2，(++）（+1)=[（﹣1)+（﹣）+(﹣）]（+1）=3，…从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：（+++…+)（+1）的值为（）A．2008 B．2010 C．2011 D．20096．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1﹣a｜+的结果为（)A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣17．若式子有意义，则点P(a，b）在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5;②（）2=a；③若点P（a，b)在第三象限，则点Q(﹣a，﹣b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等,正确的说法是（)A．只有①错误,其他正确 B．①②错误,③④正确C．①④错误，②③正确D．只有④错误,其他正确9．如果，,那么( ）A．a=b B．a＞b C．a＜b D．a•b=1 10．已知:,，则代数式(3a2﹣18a+15）(2b2﹣12b+13)的值是（）A．6 B．24 C．42 D．9611．已知:1＜x＜3，则=（)A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5﹣2x 12．已知整数X,Y满足，那么整数对(X，Y）的个数是（)A．2 B．3 C．4 D．513．计算：=（)A．2+B．C． D．二．填空题（共14小题）14．对于X,Y定义一种新运算“*”：X＊Y=aX+bY，其中a，b为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么2*3= ．15．观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．= ．16．若规定符号“＊”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（)的值是．17．若［x］表示不超过x的最大整数（如［]=3，［﹣π］=﹣4等)，根据定义计算下面算式：[］+［］+…+[]= ．18．已知a、b为有理数,m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．19．设，，，…,．设,则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．20．已知a，b是正整数，且满足也是整数：(1）写出一对符合条件的数对是；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有对．21．计算=．22．若实数a满足|a﹣8|+=a,则a= ．23．观察下列等式：，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：= ．24．若x=，y=，则x+y的值为．25．我们规定运算符号⊗的意义是：当 a＞b时，a⊗b=a+b；当a≤b时，a⊗b=a﹣b,其它运算符号意义不变．按上述规定，计算结果为．26．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+｜a+b｜﹣﹣|b﹣c|= ． 27．已知，则= ．三．解答题（共3小题）28．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如,,一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:（一）==(二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简: ====﹣1(四）（1）请用不同的方法化简．(2) 参照（三)式得= ；参照（四)式得= ．（3）化简：+++…+．29．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①(其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积)．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8,试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②?请试试．30．设的小数部分为b，求证：．。
(完整版)《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试〔一〕判断题：〔每题1分，共5分〕1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………〔〕【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．〔 〕【提示】231-＝4323-+＝－〔3＋2〕．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…〔〕【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1〔x ≥1〕．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…〔 〕【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．〔 〕29x +是最简二次根式．【答案】×．〔二〕填空题：〔每题2分，共20分〕6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法那么和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】〔a －12-a 〕〔________〕＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝〔 〕2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2〔x －1〕＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab 〔ab ＞0〕，∴ ab －c 2d 2＝〔cd ab +〕〔cd ab -〕．12．比拟大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比拟28，48的大小，再比拟281，481的大小，最后比拟－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·〔_________〕[－7－52．] 〔7－52〕·〔－7－52〕＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法那么和平方差公式． 14．假设1+x ＋3-y ＝0，那么(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数局部和小数局部，那么2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，那么其整数局部x ＝？小数局部y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数局部和小数局部时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数局部和小数局部就不难确定了． 〔三〕选择题：〔每题3分，共15分〕16．233x x +＝－x 3+x ，那么………………〔 〕〔A 〕x ≤0 〔B 〕x ≤－3 〔C 〕x ≥－3 〔D 〕－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】此题考查积的算术平方根性质成立的条件，〔A 〕、〔C 〕不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17．假设x ＜y ＜0，那么222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………〔 〕〔A 〕2x 〔B 〕2y 〔C 〕－2x 〔D 〕－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】此题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．假设0＜x ＜1，那么4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………〔〕〔A 〕x 2 〔B 〕－x 2〔C 〕－2x 〔D 〕2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】此题考查完全平方公式和二次根式的性质．〔A 〕不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………〔 〕〔A 〕a - 〔B 〕－a 〔C 〕－a - 〔D 〕a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………〔 〕〔A 〕2)(b a + 〔 B 〕－2)(b a -〔C 〕2)(b a -+-〔D 〕2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】此题考查逆向运用公式2)(a ＝a 〔a ≥0〕和完全平方公式．注意〔A 〕、〔B 〕不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义．〔四〕在实数范围内因式分解：〔每题3分，共6分〕21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】〔3x ＋5y 〕〔3x －5y 〕． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．〔五〕计算题：〔每题6分，共24分〕23．〔235+-〕〔235--〕； 【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．〔a 2m n －m ab mn ＋m n n m 〕÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝〔a 2m n－mab mn ＋mn n m 〕·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．〔a ＋ba abb +-〕÷〔b ab a +＋a ab b -－ab b a +〕〔a ≠b 〕． 【提示】此题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】此题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． 〔六〕求值：〔每题7分，共14分〕27．x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将条件化简，再将分式化简最后将条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】此题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y 〞、“x －y 〞、“xy 〞．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +〔22a x +－x 〕，x 2－x22a x +＝－x 〔22a x +－x 〕．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】此题如果将前两个“分式〞分拆成两个“分式〞之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题：〔每题8分，共16分〕29．计算〔25＋1〕〔211+＋321+＋431+＋…＋100991+〕．【提示】先将每个局部分母有理化后，再计算． 【解】原式＝〔25＋1〕〔1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--〕＝〔25＋1〕[〔12-〕＋〔23-〕＋〔34-〕＋…＋〔99100-〕] ＝〔25＋1〕〔1100-〕 ＝9〔25＋1〕．【点评】此题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．假设x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解此题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
(完整版)二次根式培优
二次根式专题一 二次根式(0)a a ≥非负性的综合应用1。
已知实数,a b 满足120a b -+-=，则a b +=_______。
2。
若3245423y x x =-+-+，求(5)x y 的值。
3。
已知220xy y x +--=，求x 与y 的值。
专题二 利用二次根式的性质将代数式化简4。
把()1a b a b---化成最简二次根式正确的结果是（ ） A 。
a b - B.b a - C.b a --D 。
a b --5.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(3)(5)a a -+-化简后为（ ）A 。
2B 。
-8 C.82a - D.22a --6.化简:222(2)(1)(2)x x x +--+-.7.已知2()1a <，化简：22(1)a a -。
二次根式的乘除运算专题一 二次根式的分母有理化1. 阅读下列运算过程：2323333⨯==⨯2525555⨯==⨯. 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简6的结果是（ ） A ．2 B ．6 C 66 2.化简65+，甲、乙两位同学的解法如下：6565(65)(65)-=++-=6—5；乙：5-6565-656565-6561=++=+=+））（（.下列说法正确的是( )A ．甲、乙的解法都正确B ．甲正确，乙不正确C ．甲、乙的解法都不正确D ．乙正确、甲不正确 3.观察下列各式，通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:121+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2—1， 132+=1(32)3232(32)(32)⨯--=-+-=3—2， 同理可得：143+=4-3,… .从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121++132++143++…+120132012+）（20131+）的值．专题二 二次根式乘除中的规律与方法4. 计算：（1)(21)(21)+-=______；(2）(32)(32)+-=______； （3）(23)(23)+-=______；(4)552)=______；根据以上规律,请写出用n （n 为正整数）表示上述规律的式子：___________。
部编数学八年级下册二次根式材料阅读题大题提升训练(重难点培优30题)【拔尖特训】2023年培优含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.7二次根式材料阅读题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题）1．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x ，y 使x +y ＝a 且xy ＝b ，这样“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．=1+（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如2样的式子，其实我们还可以将其进一=−121．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：（1）化简“和谐二次根式”：+2 ；= 2−（2）已知m =n ，求m−nm n 的值．【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；（2）先根据阅读材料（一）化简m 与n 的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．【解答】（1）解：=2；=2+2；2（2）解：∵m =11n =11=∴m ﹣nm +n =+∴m−n m n ==2．（2022秋•长安区期中）求代数式a +其中a ＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．小芳：解：原式＝a=a+1﹣a＝1小亮：解：原式＝a=a+a﹣1＝﹣4045（1） 小亮 的解法是错误的；（2）求代数式a a＝4【分析】（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2022，∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，1﹣a，∴小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；（2）∵a＝4∴a﹣3＝43＝10，3﹣a，则a＝a＝a+2（3﹣a）＝6﹣a，当a＝46﹣（42+3．（2022秋•仪征市期中）阅读下面材料，回答下列问题：构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决．材料：已知x=，求代数式x2x−1−(1+1x2−x)的值；分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x 代入求值比较困难，观察x 的值，发现x =x =−b 2a ，不难发现x 是方程x 2﹣5x +1＝0的根，所以x 2＝5x ﹣1，x 2+1＝5x ，所以原式=5x−1x−1−5x−1x−1−4x x(x−1)=5x−1x−1−4x−1=5(x−1)x−1=5．（1）以2，﹣3为根的方程可以是 2（x ﹣2）（x +3）＝0 ；（2）已知x =−x 32（3）求代数式32+的值．【分析】（1）写出一个满足条件的方程即可；（2）x 是方程x 2++1=0的根，可得x 2+=−1，把所求式子变形再整体代入即可；（3）设x =x 是方程x 2﹣x +a ＝0的根，可得x 2﹣x ＝﹣a ，再代入可得答案．【解答】解：（1）以2，﹣3为根的方程可以是2（x ﹣2）（x +3）＝0，故答案为：2（x ﹣2）（x +3）＝0，（2）∵x =∴x =∴x 是方程x 2++1=0的根，∴x 2+=−1，∴−x 32=−x(x 2=−x ⋅=（3）设x =∴32+=x 3−x 2+ax−2，∵x =∴x 是方程x 2﹣x +a ＝0的根，∴x 2﹣x ＝﹣a ，∴x 3﹣x 2+ax ﹣2＝x （x 2﹣x ）+ax ﹣2＝﹣ax +ax ﹣2＝﹣2．4．（2022秋•永安市期中）在解决问题“已知a =2a 2﹣8a +1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a =1∴a ﹣2=a ﹣2）2＝3，a 2﹣4a +4＝3∴a 2﹣4a ＝﹣1，∴2a 2﹣8a +1＝2（a 2﹣4a ）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：3；（2）若a2a 2+4a ﹣1的值．【分析】（1，然后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化得到a =1，再移项平方得到a 2+2a ＝1，接着把2a 2+4a ﹣1变形为2（a 2+2a ）﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1+（2）∵a =1==1，∴a +1=∴（a +1）2＝2，即a 2+2a +1＝2，∴a 2+2a ＝1，∴2a 2+4a ﹣1＝2（a 2+2a ）﹣1＝2×1﹣1＝1．5．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个式．（1）下列式子中①aa 21，， ③ 是根分式（填写序号即可）；（2x 的取值范围 x ≥1且x ≠2 ；（3）已知两个根分式M N ①若M 2﹣N 2＝1，求x 的值；②若M 2+N 2是一个整数，且x 为整数，请直接写出x 的值： 1 ．【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．【解答】解：（1）①aa 21不是根分式，故答案为：③；（2）由题意得：x ﹣1≥0，x ﹣2≠0，解得：x ≥1，x ≠2，故x 的取值范围是：x ≥1且x ≠2；故答案为：x ≥1且x ≠2；（3）当M N =①M 2﹣N 2＝1，22＝1，(x−2)−2x−1(x−2)2=1，x 2−8x 8(x−2)2=1，解得：x ＝1，经检验，x ＝1是原方程的解；②M 2+N 22+2=x 2−6x 7(x−2)2+2x−1(x−2)2 =x 2−4x 6(x−2)2(x−2)＝1+2(x−2)2，∵M 2+N 2是一个整数，且x 为整数，∴2(x−2)2是一个整数，∴x ﹣2＝±1，解得：x ＝3或1，经检验，x ＝1符合题意，故答案为：1．6．（2022秋•市中区期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：1）1）＝1，1，1，＝1，（1）根据上面的规律：（2）计算：（1+11⋯1）×1）．（3）若a =1，则求a 3﹣4a 2﹣2a +1的值．【分析】（1）①根据平方差公式得出答案即可；②先分母有理化，再求出答案即可；（2）根据得出的规律进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后根据二次根式的乘法法则和平方差公式进行计算即可；（3）求出a 的值，再求出a 2的值，再代入多项式a 3﹣4a 2﹣2a +1，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）＝5﹣故答案为：5﹣（2）（111+⋯+1）×+1）1++•+×+1）1）×+1）2﹣12＝2022﹣1＝2021；（3）∵a1，∴a 21）2＝2﹣1＝3﹣∴a 3﹣4a 2﹣2a +1＝（3﹣×1）﹣4×（3﹣2×1）+1＝3﹣+2+1＝16．7．（2022秋•隆昌市校级月考）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如2一样的式子，其实我们还可以将其进一步−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a +b ＝2，ab ＝﹣3，求a 2+b 2.我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令x ＝a +b ，y ＝ab ，则a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝x 2﹣2y ＝4+6＝10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1⋯（2）m 是正整数，a =b =2a 2+1823ab +2b 2＝2019，求m ；（31【分析】（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；（2）先利用分母有理化化简a ，b ，从而求出a +b ＝4m +2，ab ＝1，然后根据已知可得a 2+b 2＝98，再利用完全平方公式进行计算即可解答；（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．【解答】解：（1）11+1+⋯+1++...+=12×1++...+（2）∵a b∴a2，b=2，∴a +b 2++2＝2（2m +1）＝4m +2，ab22＝[]2＝（m +1﹣m ）2＝1，∵2a 2+1823ab +2b 2＝2019，∴2a 2+1823+2b 2＝2019，∴2a 2+2b 2＝196，∴a 2+b 2＝98，∴（a +b ）2﹣2ab ＝98，∴（4m +2）2﹣2＝98，∴（4m +2）2＝100，∴4m +2＝±10，∴4m +2＝10或4m +2＝﹣10，∴m 1＝2，m 2＝﹣3（不合题意，舍去），∴m 的值为2；（3=1，2＝1，∴15+x 2﹣+26﹣x 2＝1，=20，22＝12+4×20＝1+80＝81，≥0≥0，+9．8．（2022秋•南海区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a =2a 2﹣8a +1的值．他是这样解答的：∵a =12a ﹣2=∴（a ﹣2）2＝3，a 2﹣4a +4＝3∴a 2﹣4a ＝﹣1，∴2a 2﹣8a +1＝2（a 2﹣4a ）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的解析过程，解决如下问题：（1）1−1 ；（2）化简1+1+1+⋯+1；（3）若aa 4﹣10a 3+a 2﹣20a +5的值．【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．【解答】解：（1）1，1；（2++...+= ＝12﹣1＝11；（3）∵a =1=+5，∴a ﹣5=∴（a ﹣5）2＝26，即a 2﹣10a +25＝26．∴a 2﹣10a ＝1，∴a 4﹣10a 3+a 2﹣20a +5＝a 2（a 2﹣10a +1）﹣20a +5＝a 2×（1+1）﹣20a +5＝2（a 2﹣10a ）+5＝2+5＝7．答：a 4﹣10a 3+a 2﹣20a +5的值为7．9．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a =1．求2a 2﹣8a +1的值，他是这样分析与解的：∵a2a ﹣2=∴（a ﹣2）2＝3，a 2﹣4a +4＝3∴a 2﹣4a ＝﹣1∴2a 2﹣8a +1＝2（a 2﹣4a ）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1⋯+1；（2（填“＞”或“＜”）（3）A 题：若a =+1，则a 2﹣2a +3＝ 4 ．B 题：若a4a 2﹣+7＝ 5 ．【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；（2（3）A 题：由a =+1，可得a ﹣1=（a ﹣1）2＝2，从而可得a 2﹣2a ＝1，进一步求解即可；B 题：由a =1，可得a 2a 1，两边同时作平方，可得4a 2=−2，进一步求解即可．【解答】解：（1⋯=+⋯==；（2=1故答案为：＞；（3）A 题：∵a =1，∴a ﹣1=∴（a ﹣1）2＝2，即a 2﹣2a +1＝2，∴a 2﹣2a ＝1，∴a 2﹣2a +3＝4，故答案为：4；B 题：∵a∴a∴2a 1，∴2=1，即4a 2+3=1，∴4a 2=−2，∴4a 2﹣+7＝5，故答案为：5．10．（2022秋•高新区校级月考）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2（21，3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的=母有理化．解决问题：（1）4 4+ ．（2）计算：①111+⋯1．②已知：x =y 求x 2+y 2的值．【分析】（1）根据有理化因式的定义确定4（2）①先分母有理化，然后合并即可；②先利用分母有理化得到x ＝2y ＝2+x +y ＝4，xy ＝1，然后利用完全平方公式得到x 2+y 2＝（x +y ）2﹣2xy ，最后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）44+=故答案为：4（2）①原式1+•=1＝1；②∵x=2y 2+∴x +y ＝4，xy ＝1，x 2+y 2＝（x +y ）2﹣2xy ＝42﹣2×1＝14．11．（2022秋•揭阳期中）阅读理解题：已知a =小明同学是这样解答的：a =1请你参考小明的化简方法，解决如下问题：（1（2）计算：1+11⋯⋯+1；（3）若a =1，求2a 2+8a +1的值．【分析】（1）直接分母有理化即可；（2）把分式变形，然后裂项相消即可；（3）先对a 进行分母有理化，然后化简2a 2+8a +1，代入求值即可．【解答】解：（1）1=；（2⋯⋯+=+++……+＝﹣1+（3）a =−（2+，2a 2+8a +1＝2（a 2+4a +4）﹣7＝2（a +2）2﹣7，将a ＝﹣（22×2−7＝3．12．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+×=1，×=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：1=7+像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+ 4−（2）已知x =y ，则1x +1y = 10 ．（3+++⋯++【分析】（1）根据有理化因式的概念解答；（2）利用二次根式的乘法法则计算；（3）根据分母有理化、二次根式的加法法则计算．【解答】解：（1）∵（4+（416﹣7＝9，∴44故答案为：4（2）∵x =∴1x2＝5﹣同理，1y =∴1x+1y =5﹣=10，故答案为：10；（3）原式=1++⋯+＝10﹣1＝9．13．（2022秋•新城区校级月考）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：a 2=|a|=a(a ≥0)，−a(a ＜0)来进一步化简．=|x +1|，∴当x +1≥0即x ≥﹣1时，原式＝x +1；当x +1＜0即x ＜﹣1时，原式＝﹣x ﹣1．（1（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a ＝9，求a +”时谁的答案正确，并说明理由．甲的答案：原式=a =a +(1−a)=1；乙的答案：原式=a =a +(a−1)=2a−1=2×9−1=17．（3）化简并求值：|x−1|x =【分析】（1）仿照上面的例子，分类讨论即可化简；（2）根据a ＝9，得1﹣a ＜0，即可判断出答案；（3）根据x =x ﹣1＞0，2﹣x ＜0，即可化简求值．【解答】解：（1=＝|m −12|，∴当m −12≥0即m ≥12时，原式＝m −12，当m −12＜0即m ＜12时，原式＝﹣m +12．（2）∵a ＝9，∴1﹣a ＜0，∴原式=a =a +(a−1)=2a−1=2×9−1=17．∴乙的答案正确．（3）∵x =∴x ﹣1＞0，2﹣x ＜0，∴|x−1|＝x ﹣1+＝x ﹣1+x ﹣2＝2x ﹣3＝3．14．（2022秋•清水县校级月考）阅读下列材料，然后回答问题．①化简：21，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a +b ＝2，ab ＝−3，求a 2+b 2．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令x ＝a +b ，y ＝ab ，则a 2+b 2＝（a +b ）2−2ab ＝x 2−2y ＝4+6＝10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1）计算：1+11⋯⋯+1；（2）m 是正整数，a =b 2a 2+1823ab +2b 2＝2019．求m ．（31【分析】（1）根据阅读材料的方法先进行分母有理化，再提取公因数12，继而两两相消，进一步计算即可；（2）先求出a +b ＝2（2m +1），ab ＝1，再将所求代数式化简为（a +b ）2﹣2ab ＝98，然后代入计算即可；（3）=20，那么2212+4×20＝81，进而求解即可．【解答】解：（1）原式=+⋯⋯+=12（1+⋯⋯+=12（1）（2）∵a 2，b =2，∴a +b 2++2＝2（2m +1），ab ＝1．∵2a 2+1823ab +2b 2＝2019，∴2（a 2+b 2）+1823＝2019，∴a 2+b 2＝98，∴（a +b ）2﹣2ab ＝98，∴4（2m +1）2﹣2＝98，∴m ＝2或﹣3，∵m 是正整数，∴m ＝2；（3=1，2＝1，∴15+x 2﹣+26﹣x 2＝1，20，22=12+4×20＝81，≥0≥0，+9．15．（2022春•东莞市期中）阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．=1解决问题：（1=⑤，①： 9 ，②： 5 ，③ 3 ，④⑤： 3+（2【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可；（2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可．【解答】解：（1===＝3故答案为：①：9，②：5，③：3，④⑤：3（2）原式===＝516．（2022春•交城县期中）阅读下面的材料，并解决问题．1=1；1=…（1（2）观察上述规律并猜想：当n 是正整数时1n 的式子表示）；（3）请利用（2）的结论计算：(11+⋯+1)×+1)．【分析】（1）仿照阅读材料，分母有理化即可；（2）仿照阅读材料，分母有理化即可；（3）先将各二次根式分母有理化，算出括号内的，再用平方差公式计算即可．【解答】解：（1）1（2（31++...+×1）1）×1）＝361﹣1＝360．17．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因11．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘（1）请你写出3+的有理化因式： 3−（2）请仿照上面的方法化简1−b（b ≥0且b ≠1）；（3）已知ab =【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；（3）通过分母有理化可化简a 、b ，从而求出a +b 、ab =a +b ，ab 的值代入即可求解．【解答】解：（1）∵（3+（39﹣11＝﹣2，∴33故答案为：3（2）1−b＝1（3）∵a2，b 2∴a +b ＝﹣ab ＝﹣1，===＝4．18．（2022春•呼和浩特期末）（1+0；（2）已知x =(7+x 2+(2++（3）先化简，再求值：(3−2x 1)÷x =．【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、零指数幂的性质计算；（2）先根据完全平方公式求出x 2，再根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x 的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝1+1（2）∵x＝2∴x2＝（22＝4﹣3＝7﹣则原式＝（（7﹣+（2（2+＝49﹣48+4﹣3+＝2（3）原式＝（3x3x1−2x1）•x1x(3x1)=3x1x1•x1x(3x1)=1 x ，当x+1时，原式=1=19．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+1）1）．（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．题目：已知x x+1−x2x−1的值．原式=(x1)(x−1)−x2x−1⋯第一步=x2−1−x2x−1⋯第二步=−1x−1．…第三步把x原式=−1⋯第四步第五步＝﹣1…第六步任务一：填空：①在化简步骤中，第 一 步是进行分式的通分．②第 五 步开始出错，这一错误的原因是+1） ．任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．【分析】（1）根据平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；（2）任务一：①根据题目中的解答过程可以解答本题；②根据题目中的解答过程可以发现哪一步出错了，并写出错因即可；任务二：根据分式的计算方法和二次根式分母有理化的方法可以解答本题．【解答】解：（1）6++1）1）＝6+5﹣1＝10；（2）任务一：填空：①在化简步骤中，第一步是进行分式的通分．故答案为：一；②+1），+1）；任务二：﹣1计算过程为：原式=(x 1)(x−1)−x 2x−1=x 2−1−x 2x−1=−1x−1．当x =−1==−120．（2022春•章贡区期末）阅读并完成下面问题：==1；②1试求：（1）下列各数中，与2 A ．A ．2+B ．2CD ．2（2+（3）若x =x 2﹣2x 的值．【分析】（1）观察已知等式确定出2（2（3）原式利用完全平方公式化简后，把x 分母有理化代入计算即可求出值．【解答】解：（1）与22+故选：A ；（2+的倒数为1=（3）∵x =1，∴原式＝（x ﹣1）2﹣11﹣1）2﹣1＝2﹣1＝1．21．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．解：设x =x ＞0．由于x 22＝2+2=2．解得x =3【解答】解：设x =x ＜0，由于x 22＝3+3+=2，所以x =所以原式(3＝17﹣＝17﹣22．（2018秋•天河区校级期中）小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如（1+2，善于思考的小明进行了如下探索：设a+=（m+2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+=m2+2+2n2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样，小马找到了把部分a+请你仿照小明的方法探索并解决问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+（m+2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： 13 +=（ 1 +2．（3）设x=x（要写出必要过程）【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；（3）先把已知条件变形得到x x2﹣+2＝3，然后用x【解答】解：（1）∵（m+2＝m2+2+3n2，而a+=（m+2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为m2+3n2，2mn；（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2+3n2＝1+3×4＝13，b＝2mn＝4，∴（2；故答案为13，4，1，2；（3）∵x=∴x=∴（x2＝3，∴x2﹣+2＝3，=x2−1 2．23．先阅读下面的材料．再解答下面的问题．a﹣b，∴a﹣b特别地．×1，∴1当然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，故1+这种变形也是将分母有理化．利用上述的思路方法解答下列问题：（1）计算：1−11−11；（2）计算：5−【分析】（1）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；（2）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=＝3+2＝3﹣2＝1；（2）原式＝43）＝43+＝1．24．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．=1．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较+再例如，求y解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =4．当x ＝2+2．所以y 的最大值是2．利用上面的方法，完成下述两题：（1（2）求y =+3的最大值．【分析】（1）先将两数变形为1、1，再由得出答案；（2）根据二次根式有意义的条件得出x ≥1+y ==2+3的最大值．【解答】解：（11，++（2）∵x +1≥0，x ﹣1≥0，∴x ≥1，∵y +3=2+3，当x ＝1+∴y3．25．（2020秋•吴江区期中）⋅2；=2；=3⋯两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）1=（2=3+勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3解：设x=x＞0．由：x2＝3+2．解得x请你解决下列问题：（1）（2（3【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；（2）原式各式分母有理化，计算即可求出值；（3）设x=x小于0，将左右两边平方求出x的值即可．【解答】解：（1）+故答案为：+（2）原式=1+2=+3；（3）设x=x＜0，由题意得：x2＝6﹣=12﹣6＝6，解得：x=则原式=26．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如（1+2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＝（m+）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+＝m2+2n2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+＝（m+）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+6n2 ，b＝ 2mn ；（2）若a=（m）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m）2＝m2+6n2，从而可用m、n表示a、b；（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）∵（m+）2＝m2+6n2，a＝（m+）2，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为m2+6n2，2mn；（2）∵（m+）2＝m2+3n2，a=（m）2，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3+1，====1．27．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①a﹣2≥0，解得：a≥2；②则需计算1+1n2+1(n1)2，而1+1n2+1(n1)2=n2(n1)2(n1)2n2n2(n1)2=n2(n1)2n22n1n2n2(n1)2=n2(n1)22n22n1n2(n1)2=n2(n1)22n(n1)1n2(n1)2=[n(n1)1]2n2(n1)2，=n(n 1)1n(n 1)=1+1n(n 1)=1+1n −1n 1．（1a 的取值范围；（2）利用①中的提示，请解答：如果b =+1，求a +b 的值；（3）利用②中的结论，⋯【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；（2）根据二次根式成立的条件求出a ，b 的值，进而求解即可；（3）利用②中的结论求解即可．【解答】解：（1）由题意得，a +2≥03−a ＞，∴﹣2≤a ＜3；（2）由题意得，a−2≥02−a ≥0，∴a ＝2，∴b 1＝0+0+1＝1，∴a +b ＝2+1＝3；（3）原式＝（1+11−12）+（1+12−13）+⋯+（1+12020−12021）＝1×2020+1−12021＝202020202021．28．（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比大小．可以先将它们分子有理化．如下1，+再例如：求y解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =当x ＝2+2，所以y 的最大值是2．解决下述问题：（1）比较4和（2）求y =【分析】（1）利用分母有理化得到4=2，2，利用+4＞+可判断4＜（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x ≥0，x ≥0，则x ≥0，利用分母有理化得到y由于x ＝01，从而得到y 的最大值．【解答】解：（1）∵4==2，==2，而4∴+4＞∴4＜（2）由1+x ≥0，x ≥0得x ≥0，而y∵x ＝01，∴y 的最大值为1．29．（2021春•朝阳区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2，那=|a ±b|5±2±2=±2=材料二：在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y '）给出如下定义：若y ′=y(x ≥0)−y(x ＜0)，则称点Q 为点P 的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：（1）点的“横负纵变点”点−2)的“横负纵变点”（2（3）已知a 为常数（1≤a ≤2），点M （m ）且m，点M '是点M的“横负纵变点”，则点M '的坐标是 （−【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义解答；（2）根据材料一，模仿解答；（3）先化简m 得到点M 的坐标，再根据点M '是点M 的“横负纵变点”，求出点M ′的坐标．【解答】解：（1≥0，∴点的“横负纵变点”；∵﹣0，∴点−2)的“横负纵变点”为（﹣2）；故答案为：；（﹣2）．（2==＝=（3）∵1≤a ≤2，∴0≤a ﹣1≤1，∴01，1≤0．∴m =1(+=1（|）+=1×2=∴M（，∵0，∴M′（．故答案为：（．30．（2021秋•高州市期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（1+2．设a+=(m+2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+m2+2n2+2a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+（m+2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a ＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 21 +=（ 1 +2；（3）化简1−1【分析】（1）将（m+2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；（2）设a+=(m+2，则(m+2=m2+25n2，比较完全平方式右边的值与a+可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．【解答】解：（1）∵a+=(m+2，(m+2=m2+23n2∴a＝m2+3n2，b＝2mn故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设a+=(m+2则(m+2=m2+25n2∴a＝m2+5n2，b＝2mn若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4故答案为：21，4，1，2．（3=1−1=32+23=13 6。
人教版八年级下册 第16章《二次根式》单元培优测试卷(解析版)
第16章《二次根式》单元培优测试卷、选择题工.下列各式成立的是正=a D J(-3)〜=3A.7H F=-2【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】A.J（_2）2 =2,故本选项错误；B.（"） =4，故本选项错误；C.J后=同，故本选项错误；D.J（-3『=3，故本选项正确.故选D.【点睛】本题考查了二次根式的基本性质：①〃K）; V^＞（）（双重非负性）.②（&）2%（生0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.③日=a（。
加）（算术平方根的意义）.2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）2B.耳【2题答案】【答案】A【解析】【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案.【详解】A.且是最简二次根式，故此选项正确；2D ・ 阮二xH ，故此选项错误•故选A.【点睛】本题考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题的关键.3 .若二次根式:7有意义，则x 的取值范围是（）A. x> —B. —C. —D. xW5 5 5 5【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.【详解】解：由题意得，5x- 1>0,解得，［,故选人【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键. 4.如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A. 78 cm 2B. + \/30) cm 2C. 12M cm 2 【4题答案】【答案】P【解析】 【分析】根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面积，即可求出阴影 c.D. 24M cm 2故此选项错误;部分的面积进而得出答案.【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为300层和48cm2的两个小正方形，大正方形的边长是同+ A =同+ ，留下部分(即阴影部分)的面积是：2(46 +而)-30-48 = 24V10(c/722)故选：D.【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键.5.已知百砺是正整数，则满足条件的最大负整数m为()A. -10B. -40C. -90D. -160 【5题答案】【答案】A【解析】【详解】依题意可得，T0m>0且是完全平方数，因此可求得mVO,所以满足条件的m的值为TO.故选A.6.已知X=g + 1, —则/+个+)2的值为( )A 4 B. 6 C. 8 D. 1() 【6题答案】【答案】P【解析】【分析】根据f +盯+),2=(工2+2个，+,2)_孙=。
《二次根式》培优专题一
二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如,a （其中a _______ ）的式子叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含_____ 。
3. 同类二次根式：二次根式化成_____________ 后，若____________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：（1）（,a）2= ______ （其中a ____ ）（2）a2〉（其中 a ____ ）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。
届= _______________ （其中a^_ b _______ ）；J a= _____________ （其中a^_ b ______ ）.V b（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3 ,.8的有理化因式可以是也可以是2 , b 的有理化因式就是弋a -乜b.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。
双重二次根式化简的方法是：设x 0, y 0, a 0, y 0,且x y 二a, xy 二b，贝Ua 2、b =（x y） 2xy = （ . x）2（. y）2 2、x y =（ x . y）2如：要化简.5 —2一6，: 2 • 3 =5, 2 3=6 /• .5 —鸟一6 =.（一2 —一3）2= J3 —, 2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是■ 2—、3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A. . 45 B • 、、3-7 C•、、14 D 2、二次根式孕1有意义时的X的取值范围是x-43、已知：y = •. x • 2 x「2 • 1,贝U （x y）2001 = ___ 。
二次根式提高培优(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式典型习题训练一、概念（一）二次根式1x、x>0）1x y+（x≥0，y•≥0）．（二）最简二次根式1y>0）化为最简二次根式结果是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D2．（x≥0）3．_________．4. 已知〉xy0，化简二次根式_________．（三）同类二次根式1是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2、是同类二次根式的有______3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．【最新整理，下载后即可编辑】4.n是同类二次根式，求m、n的值．（四）“分母有理化”与“有理化因式”1.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．-的有理化因式是_______．2.把下列各式的分母有理化（1；（2；（3（4．二、二次根式有意义的条件：1．（1）当x在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，+11x+在实数范围内有意义？（3）当x2在实数范围内有意义？（4）当__________2.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数3．已知，求xy的值．4．5.若11m +有意义，则m 的取值范围是 。
6．要是下列式子有意义求字母的取值范围（1(2) (3)三、二次根式的非负数性1=0，求a 2004+b 2004的值．2，求x y 的3.2440y y -+=，求xy 的值。
四、⎪⎩⎪⎨⎧==a a a 2 的应用 1． a ≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A B C D ．2．先化简再求值：当a=9时，求a ≥0x解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．3．若│1995-a│，求a-19952的值．4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│5．化简）．B C．D．A6．把（a-1a-1）移入根号内得（）．AB C．D．五、求值问题:求x2-xy+y2的值1.当x=2．已知a=3+23.已知4．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x 的值．52.236-（）的值．（结果精确到0.01）6．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．7．当（结果用最简二次根式表示）8. 已知2310-+=x x六、大小的比较的大小。
二次根式(提高-巩固练习)
二次根式（提高） 撰稿： 赵炜 审稿： 杜少波【巩固练习】一、选择题 1.若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为( ) A ．x ＞0 B ．x ≥0 C ．x ≠ 0 D ．x ≥0且x ≠ 12.使式子有意义的未知数x 有( )个A ．0B ．1C ．2D ．无数3.下列说法正确的是（ ）A ．4是一个无理数B ．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是x ≥1 C ．8的立方根是2±D.若点(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4. 已知a,b,c 在数轴上的位置如右图所示，则代数式( )A. 2c a -B.32a b --C. c a --D. a5. 若，则 等于（ ） A ． B ． C ． D ．6.将a a --中的a 移到根号内，结果是（ ）A ．3a -- B. 3a - C.3a - D.3a二. 填空题7.当x_________时，式子31x x --没有意义。
8.若，则____________；若，则____________. 9.已知，求的值为____________10.若，则化简的结果是__________.11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第 n(n ≥1)个等式写出来________________.12.x 取何值时，函数在实数范围内有意义？y=2||12--x x ,_______________________. 三 综合题13. 已知x x y 211221-+-+=，求22y xy x ++的值.14. 若时，试化简.15.已知一次函数(2)1y a x =-+的图象不经过第三象限，化简224496a a a a -+--+的结果是多少？【答案与解析】一、选择题1．【答案】 D. 【解析】 由二次根式和分式的性质可知：被开方数要大于等于0，分母不等于0，即x ≥0，10x -≠， 所以选D.2．【答案】 B.3．【答案】 D.【解析】选项A: 4=2是有理数；选项B: 11y x =-的x 的取值范围是x>1; 选项C: 8的立方根是2；选项D:因为(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，所以3,2a b ==，及5a b +=,所以选D. 4．【答案】C.5．【答案】D.【解析】 因为=22(4)a +222(4)4A a a =+=+. 6．【答案】B.二、填空题7.【答案】10x =或x<1.【解析】因为x-1≥0才有意义，所以x<1时无意义；因为310x -≠，所以10x ≠，即无意义时x=10.8.【答案】m ≤0；a ≥13. 9.5【解析】23100x x x -+=∴≠13,x x ∴+=即21()9x x += 2217x x ∴+=，即原式=725-=. 10.【答案】3 【解析】因为原式=21x x -++=213x x -++=.11．【答案】 11(1)22n n n n +=+++ 12．【答案】 x ≥122x ≠且 【解析】 121020, 2.2x x x x --≠≠≥，∴≥，且.三、解答题13.【解析】因为1+21122y x x =-+-，所以2x-1≥0,1-2x ≥0，即x=12，y=12， 则2234x xy y ++=. 14.【解析】 因为，所以原式==23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-.15.【解析】 因为一次函数(2)1y a x =-+的图象不经过第三象限所以20a -<，即2a <；224496a a a a -+-+23231a a a a ---=--+=-.。
(完整word版)二次根式拓展专题培优
二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=,求x+y 的值4、已知实数a,b ，c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习：1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342-=-+-b a a ,则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a = 二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是2、把a b b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为 练习: 1、化简（1)a a 1- （2）22xx x --2、已知a ，b ，c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x x +=-11，则2)1(-x =三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：1131432112+⨯+=⨯⨯⨯+,1232543212+⨯+=⨯⨯⨯+，1333654312+⨯+=⨯⨯⨯+，猜测=⨯⨯⨯+201720162015201412、计算2201612018201720162015-+⨯⨯⨯的结果为 练习：1、设n,k 为正整数，,, ,已知，则 2、小明做数学题时，发现,，,,按上述规律,第n 个等式是3、设S=++…+，求不超过S 的最大整数四、分母有理化例题:黑白双雄、纵横江湖;双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述,其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子"如:，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：,像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化．解决问题：①的有理化因式是 ,121分母有理化得 ②计算：③计算：． ④已知，,则⑤已知:,,,试比较a 、b 、c 的大小。
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二次根式小结与提高
一、基本概念
（一）二次根式
下列式子，哪些是二次根式，、
1x x>0）
1x y
+（x ≥0，y•≥0）． （二）最简二次根式
1（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）．
A
（y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对
2．（x ≥0）
3．_________． （三）同类二次根式
1．以下二次根式：；是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
2是同类二次根式的有______
3．若最简根式3a a 、b 的值．
（四） “分母有理化”
1.把下列各式的分母有理化
（1
（2； （3； （4．
二、二次根式有意义的条件：
1．（1）当x 在实数范围内有意义？
（2）当x 是多少时，
11x +在实数范围内有意义？
（3）当x
2在实数范围内有意义？
（4）当__________
（5）当__________时，
有意义。
2. x 有（ ）个．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数
3．已知y=，求x y
的值．
4. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
5 ）．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．1
6.已知111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求()()111++b a 的值
三、二次根式的非负数性
1，求x y 的
2.2440y y -+=，求xy 的值。
四、⎪⎩⎪⎨⎧-==a a a a 02
a=0 的应用
1． a ≥0 ）．
A B C D ．2．先化简再求值：当a=9时，求 甲的解答为：原式（1-a ）=1；
乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
3．化简 ）． A B C ． D ．4．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A B C ． D ．5. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│
五、求值问题:
1.当y 求x 2-xy+y 2的值
2．已知a 2b-ab 2=_________．
3. 已知2310x x -+=
a>0 a ＜0
六、计算
（m>0，n>0）
2. 22
-
3.
4.
a b
a b ⎛⎫+--。