二次根式培优习题
数学数学二次根式的专项培优练习题(含答案
一、选择题1． ）A B ．C ．D ．2．若 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >B ．3x ≥C ．3x ≤D ．x 是非负数3．下列运算正确的是（ ）A 2=B 5=-C 2=D 012=4．下列各式中，运算正确的是（ ）A ＝﹣2B ＋C 4D ．＝25．已知44220,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．116．有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列计算正确的是（ ）A 6=±B ．=C ．6=D =（a≥0，b≥0）8．下列计算正确的是（ ）A =B =C 4=D 3=-9．a 的值是（ ） A ．2B ．-1C ．3D ．-1或310．下列运算错误的是（ ）A B2C ．D 1=二、填空题11．能力拓展：1A =2A =；3:A =；4:54A -=________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空． ()2比较大小1A 和2A∵32+________21+∴32+________21+ ∴32-________21-()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：43-________32-；76-________54-；1n n +-________1n n --12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．13．把31a-根号外的因式移入根号内，得________ 14．把1m m-_____________. 15．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行7223 10 11 233第行13 154 1732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）． 16．14(1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x +⋅⋅⋅=+++++的解是______．17．若613x ，小数部分为y ，则(213)x y 的值是___.18．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____．19．n 的最小值为___20．如果0xy >．三、解答题21．计算：（1（2）)((222+-+．【答案】(1) 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】（1==（2）)((222+-+=2223--+ =5-4-3+2 =022．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =.. 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x == 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.23．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如53，231+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一) 553533 333⨯==⨯；(二)2231)=31 31(31)(31)-=-++-（；(三)22231(3)1(31)(31)=31 31313131--+-===-++++.以上这种化简的方法叫分母有理化．(1)请用不同的方法化简25+3：①参照(二)式化简25+3＝__________.②参照(三)式化简5+3＝_____________(2)化简：++++315+37+599+97+.【答案】见解析.【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果；（2）原式各项分母有理化，计算即可.【详解】解:(1)①;②;(2)原式故答案为:(1)①;②【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.24．已知1,2y =. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤188x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12，∴原式532-==1222. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．25．计算②)21-【答案】① 【分析】①根据二次根式的加减法则计算； ②利用平方差、完全平方公式进行计算． 【详解】解：①原式＝②原式＝(5-2-＝ 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．26．计算：（1)11（2【答案】（12+；（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．【详解】11解：)-＝312＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．27．观察下列各式．====……根据上述规律回答下列问题．（1）接着完成第⑤个等式： _____；n n≥的式子写出你发现的规律；（2）请用含(1)（3）证明（2）中的结论．=+3）见解析【答案】（1=2(n【分析】（1）当n=5==+（2(n（3）直接根据二次根式的化简即可证明．【详解】解：（1=（2(n =+（3=(n ==+【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．28．先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中2m =.【答案】22mm-+ 1． 【解析】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =221m m --（）÷241m m --=221m m --（）•122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+=22m m-+当m ﹣2时，原式===﹣1+=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先计算二次根式乘法，再合并同类二次根式即可．【详解】原式=故选：A．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．2．B解析：B【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】有意义的x的取值范围是：x≥3．故选：B．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．3．C解析：C【分析】由二次根式的性质，二次根式的混合运算，分别进行计算，即可得到答案．【详解】解：A A错误；=，故B错误；B5C2==，故C正确；D01213=+=，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，立方根，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．4．C解析：C 【分析】根据二次根式的性质对A 进行判断；根据二次根式的加减法法则对B 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断． 【详解】A 、原式＝2，故该选项错误；B ＝，故该选项错误；C 4，故该选项正确；D 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．5．D解析：D 【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】44180+=配方得22222180⎡⎤+-+⋅=⎣⎦222180⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦222()180x y +-=22162(2)180xy x xy y +-+= 22122()180xy x y ++=将2224x y +=代入得：12224180xy +⨯= 计算得：11xy = 故选：D. 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.6．A解析：A 【解析】试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab＞0，解得a＞0，b＞0，因此可知A（a，b）在第一象限.故选A7．D解析：D6=，故A不正确；=，故B不正确；根据二次根式的除法，可直接得到2根据同类二次根式的性质，可知C不正确；=（a≥0，b≥0）可知D正确.故选：D8．B解析：B【分析】由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A A错误；B=，故B正确；C==C错误；=，故D错误；D3故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．9．C解析：C【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．【详解】由题意可知：a2-3=2a∴解得：a=3或a=-1当a=-1时，该二次根式无意义，故a=3故选C．【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.10．D解析：D【分析】根据二次根式的乘法法则对A 进行判断；根据分母有理化对B 进行判断；根据二次根式的加减法对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．【详解】AB2计算正确，不符合题意；C 、计算正确，不符合题意；D 11=≠符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．二、填空题11．(1)、；(2);(3)【解析】【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1)=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】【分析】（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式； （2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.12．3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a+b ＜0，∴原式＝|解析：3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a +b ＜0，∴原式＝|b |+|a ﹣b |﹣|a +b |＝b ﹣（a ﹣b ）+（a +b ）＝b ﹣a +b +a +b＝3b ， 故答案为：3b【点睛】a =和绝对值的性质是解题的关键．13．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质解析：a【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】 解：∵310a-≥， ∴0a <，∴===故答案为：a ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．14．-【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得： ，即∴故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定解析：【解析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得：1m，即0m∴11mm m mm mm故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m的取值范围.15．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．16．9【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.设y=，则原方程变形为，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴解析：9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设则原方程变形为()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3， ∵， ∴，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用. 17．3【分析】先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2,y=,然后再代入计算即可求解.【详解】因为,所以,因为6－的整数部分为x,小数部分为y,所以x=2,解析：3【分析】先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解.【详解】因为34<,所以263<-<,因为6x ,小数部分为y ,所以x =2, y=4-,所以(2x y =(4416133=-=, 故答案为:3.【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 18．5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得，解得a ＝1，或a ＝﹣解析：5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4，当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3，故答案为5或3．【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．19．5【分析】因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．【详解】∵，且是整数，∴是整数，即5n是完全平方数；∴n的最小正整数值为5．故答案为5．【点睛】主要考查了解析：5【分析】，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．【详解】∴是整数，即5n是完全平方数；∴n的最小正整数值为5．故答案为5．【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．20．【分析】由，且，即知，，据此根据二次根式的性质化简可得．【详解】∵，且，即，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．解析：-【分析】由0xy >，且20xy -≥，即•0y xy -≥知0x <，0y <，据此根据二次根式的性质化简可得．【详解】∵0xy >，且20xy -≥，即•0y xy -≥，∴0x <，0y <，==-故答案为：-【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式(分层练习)(培优练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题2.20二次根式（分层练习）（培优练）一、单选题1．与3(183)-最接近的整数是（）A ．3B ．4C ．5D ．62．化简二次根式22a a a +-的结果是（）A ．2a --B ．－2a --C ．2a -D ．－2a -3．下列计算不正确的是（）A ．35525-=B 236=C 7742=D 363693+==41156+）A ．1130B ．330C ．33030D ．115．下列各式中，不正确的是（）A 233(3)(3)->-B 33648<C 2221a a +>+D 2(5)5-=6．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（233a ；（3642；（422(8)±；（5165-65+）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若a 、b 、c 为有理数，且等式23526a ++2a ＋999b ＋1001c 的值是（）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定8．若a 和b 都是正整数且a b <a b 是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（）①只存在一组a 和b 18a b =②只存在两组a 和b 75a b ；③不存在a 和b 260a b =④若只存在三组a 和b a b c =ca的值为49或64A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如223=-=，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令n A =n 为非负数），则()()22m n m n A A A A m n+-==-=-；1nm A A ===+．则下列选项正确的有（）个①若a 是7A 的小数部分，则3a2；②若54544b cA A A A -=-+（其中bc 、为有理数），则15bc=-；2=6=④122334202220231111123243202320222023A A A A A A A A ++++=-++++ A ．4B．3C ．2D ．110．已知0a ，将0a 的整数部分加上0a 的小数部分的倒数得到1a ，再将1a 的整数部分加上1a 的小数部分的倒数得到2a ，以此类推可得到3a ，4a ，……，n a11，所以111a =+=+）①3932a =；②2022a③2019a a -=47450+=；⑤123401230a a a a ++++=+ ．A ．2个B ．3个C ．4个D．5个二、填空题11．a ，b为有理数，且a +=a b +=．12．若(()22m +的积是有理数，则无理数m的值为．13．已知y =，则()()20222023x y x y +-的值为．14．已知n 是正整数．．．．．，则满足条件的所有n 的值为．15．若2021a a -+，则22021a -的值为．16．化简：23a b =17．把(a -(1)a -移入根号内得．18．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，图中线段上一动点E ，若满足AE CE =，6AB =，30BAC ∠=︒，则以AE 为边长的正方形面积是．三、解答题19．计算：；(2)))2221++-．20．计算(1)⎛÷ ⎝(2)((2⨯-21．已知x =y =，求22x y y x +的值．22．已知x＋y=－8，xy=8，求a=2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：23．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知a==∵2∴2a-=．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：（1；（2（3）若24．阅读下列材料，然后回答问题．①一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：===1)2=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a +b =2，ab =-3，求22a b +．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令x =a +b ，y =ab ，则2222 224610()a b a b ab x y +=+-=-=+=．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．(1)...+(2)m 是正整数，ab 222182322019a ab b ++=．求m ．(3)1=参考答案1．B【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解．解：原式3，∵49<54<64，∴78<<，∵27.556.25=，∴77.5<，7，3-最接近7-3即4，故选：B ．【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．2．B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可解：202a a ∴+<∴<-a a ∴∙-故选B【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．3．D解：根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知=，故正确；=，故正确；=.故选D.4．C30，故选C ．点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.5．B，故A 正确；=4，故B 不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C 5=，可知D 正确.故选B.6．B解：根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1）a =正确，故（2）正确；=8，可知其平方根为±38=，故（4）不正确；=，故（5）正确.故选B.7．B解：== a ++，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．8．C是同类二次根式，进而得出答案．解：①a 和b 都是正整数且a b <可以合并的二次根式，+=+==当2a =时8b =，故该选项①正确；==，当3a =，则48,b =当12a =，则27b =．故选项②正确；==当65a =时，65,b =a b <，所以不存在，故该选项③正确；④=1∴=当49c a =时，17=，6，36b a ∴=，有无数a 和b 满足等式，故该选项④错误．故选：C ．【点拨】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．9．B【分析】先估算出23<，则2a -，然后对3a进行分母有理化即可判断①；根据54544b cA A A A -=-+)()24b c b c -++=，正在由b c 、为有理数，得到方程组82b c b c -=⎧⎨+=⎩，解方程组即可得到答案；只需要根据2=，推出()1022n n A A +-=-，即可判断③1n n =-+，然后对原式裂项即可判断④．解：由题意得7A =，∵479<<，∴23<<，∴2a ，∴)32323274a ==-，故①错误；∵54544b cA A A A -=-+，4=+，4-，∴))22454b c-=+-，)()24b c b c -++=，∵b c 、为有理数，∴82b c b c -=⎧⎨+=⎩，∴53b c =⎧⎨=-⎩，∴15bc =-，故②正确；2=，∴2=∴()1022n n A A +-=-，∴1022n n A A ++=-，6=，故③正确；=(()()22111n n n n n +=+-+(()11n n n +=+1n n =-+，∴1223342022202311112324320232022A A A A A A A A ++++++++=+12023=-，故④正确；故选B ．【点拨】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．10．B【分析】根据定义找到n a 的规律，再逐个判断即可．解：由题意得，111a ==2，小数部分为12；22213a =++=，它的整数部分为41；3194422a =++=，它的整数部分为5，小数部分为12；45516a =++=，它的整数部分为71；51157722a ++==，它的整数部分为868819a =+=，它的整数部分为101；∴n为奇数时，32n n a =，它的整数部分为1312322n n -++⨯=，小数部分为12；n为偶数时，32n a n =，它的整数部分为2324322n n -++⨯=1；∴①3932a =，正确；②2022a1，错误；③201930a a -=-，正确；+ 1113669493503=+++⨯⨯⨯⨯⨯ 41119504590⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，错误；⑤12340a a a a ++++ ()()13392440a a a a a a =++++++)361273660222⎛⎫=+++++ ⎪⎪⎝⎭()()600630=+1230=，正确；综上所述，正确的是①③⑤,共3个；故选：B ．【点拨】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．11．21+，且a ，b 为有理数，求出1,1a b ==，进而得到2a b +=．解：1=+∴1a =+ a ，b 为有理数∴1,1a b ==∴2a b +=故答案为：2．【点拨】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．12．【分析】对(()22m+进行化简，由题意令2m a+=，（a 是有理数）即可求解．解：(()22m +42m =++(()22m +的积是有理数，m 是无理数，2m ∴+是有理数，令2m a +=，（a 是有理数）解得：(()(2264m a a a ==-=+-+当260a +=即3a =-，时m =故答案为：【点拨】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质．13．22【分析】先利用二次根式有意义求得x 与y 的值，然后把x 与y 的值代入变形后的代数式求值即可．解：∵y =+，∴2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得2x =，∴y ==∴()()20222023x y x y +-()()()20222022x y x y x y =+--()()()2022x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦((2022222⎡⎤=⎣⎦2=故答案为：2【点拨】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．14．9或7或1【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数n 的取值范围，然后令182n -等于所有可能的平方数即可求解．解：由题意得1820n -≥，解得9n ≤，∵n 是正整数，∴1n ≥∴19n ≤≤，∴2218n ≤≤，∴018216n ≤-≤，是整数，∴1820n -=或1821n -=或1824n -=或1829n -=或18216n -=，解得9n =或172n =或7n =或92n =或1n =，∵n 是正整数，∴9n =或7n =或1n =，故答案为：9或7或1【点拨】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．15．2022【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a -2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．解：由题意得a -2022≥0，∴a ≥2022，∴|2021-a |=a -2021．∵2021a a -+，∴2021a a -=，2021=，220222021a -=，即22021a -=2022．故答案为2022．【点拨】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a 的取值范围，化简绝对值是解题的关键．16．-【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab <0后，进行二次根式的化简即可．解：要使该二次根式有意义，则有109ab->22033ab a b a b ∴∴===-＜故答案为：-【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab 后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．17．【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a 的取值范围，根据()()11a a -=--，然后根据二次根式的乘法公式将(1)a -移入根号化简即可．解：根据二次根式有意义的条件可得：101a -≥-且1a ≠解得：1a <则10a -<，10a ->((11a a -=--===故答案为：【点拨】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．18．9或72-12【分析】根据题意，点在线段AC 的垂直平分线上，设AC 的中点为M ，根据点E 在,,AC AD AB 上，根据勾股定理解三角形，即可求解．解：在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴1,2BAD DAC BAC BD CD ∠=∠=∠=，∵AE CE=∴E 在线段AC 的垂直平分线上，设AC 的中点为M当点E 在AC 上时，则,E M 重合，∵AE CE =，6AB AC ==，∴以AE 为边长的正方形面积是9，当E 在AD 上时，如图所示，∵AE CE =，6AB AC ==，30BAC ∠=︒，∴230DEC DAC BAC ∠=∠=∠=︒，∴2CE CD =，设AE EC a ==，则12DC a =，DE =，∴1AD AE ED a ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，在Rt ADC 中，222AC AD DC =+，即222162a a ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：272a -= ，∴AE 为边长的正方形面积是72-当E 点在AB 上时，如图所示，则30EAM ECM ∠=∠=︒，∴2EM EC =，∴MC ==，∴EM =EC =，∴AE EC ==∴(2212AE ==，AE 为边长的正方形面积是12，故答案为：9或72-12．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，分类讨论是解题的关键．19．；(2)7-【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，即可解答；（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．（1=((=+=（2）解：))2221++-22221=-+-+5451=-+-7=-【点拨】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．(1)143；(2)8-+【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可解：（1）原式⎛=÷ ⎝143==143=（2）原式()4243272=---+2129=-+8=-+【点拨】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．21．970【分析】首先把x 和y 进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．解：∵5x ===-，5y ===+∴原式245240245240=-+++970=．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x 和y 进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．22．-【分析】根据已知条件可知，x ，y 是负数，再由二次根式的性质化简，把原式用x+y 和xy 表示即可求解．解：∵x ＋y =－8，xy =8，∴x ＜0，y ＜0，∴2==-=-=-【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法法则和加减法法则，先要根据式子，找出题目中的隐含条件，判断所含字母或式子的符号，再结合二次根式的定义和运算法则，把式子用x+y 和xy 表示，再整体代入求值．23．（1（21-；（3）5【分析】（1）利用分母有理化计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先将a 的值化简为1a =，进而可得到1a -=221a a -=，然后利用整体代入的方法计算．解：（1==2==（2）原式1⋯1=-⋯1；（3）1==+ a ，1a ∴-=2(1)2a ∴-=，即2212a a -+=．221a a ∴-=．()22481421a a a a ∴-+=-+411=⨯+5=．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．24．(1)12；(2)m =2；9=【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出2(21),1a b m ab +=+=再由222182322019a ab b ++=进行变形再求值即可；（320=，然后可得2481=+0≥≥，求出结果解：（1）原式=12=12-=，（2）∵a b∴222(21),1a b m ab +==+=，∵222182322019a ab b ++=，∴222()18232019a b ++=，∴2298a b +=，∴24(21)100m +=，∴251m =±-，∵m 是正整数，∴m =2．（31=得出21=，20=，∵2481=+，0≥≥，9=．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。
数学二次根式的专项培优练习题(含答案
数学二次根式的专项培优练习题(含答案一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．916916+=+ B ．2222-=C ．()2236=D ．1515533==2．若3x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ＞－3C ．x≥－3D ．x≤－33．下列各式中，正确的是（ ） A ．42=±B ．822-=C ．()233-=- D ．342=4．要使2020x -有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≥2020B ．x≤2020C ．x> 2020D ．x< 2020 5．下列各式中正确的是（ ） A ．36＝±6B ．2(2)2--=-C ．8＝4D ．2(7)-＝76．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A ．12B ．7C ．4D ．487．已知()()44220,24,180x y x y x yx y>+=++-=、.则xy=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．118．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A ．2xy B ．2ab C ．12D ．422x x y +9．关于代数式12a a ++，有以下几种说法， ①当3a =-时，则12a a ++的值为-4. ②若12a a ++值为2，则3a =. ③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ） A ．① B ．①②C ．①③D ．①②③ 10．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定11．已知m ＝1n ＝1 （ ） A ．±3B ．3C ．5D ．912．下列根式中是最简二次根式的是（ ）A B C D 二、填空题13．若0a >化成最简二次根式为________． 14．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+≤，则()f x n =z ．如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ，试解决下列问题：①f =z __________；②f =z __________；+=__________．15．实数a 、b 10-b 4-b-2=+，则22a b +的最大值为_________．16．3=，且01x <<=______．17．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0=___________18．已知：可用含x =_____． 19．已知整数x ，y 满足y =，则y =__________．20．化简(3+-的结果为_________.三、解答题 21．计算：（1（2）)((222+-+．【答案】(1) 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】（1==（2）)((222+-+=2223--+ =5-4-3+2 =022．计算： 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式2222]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．计算：（1(041--；（2⎛- ⎝【答案】（1；（2）【解析】试题分析：根据二次根式的性质及分母有理化，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可解答.试题解析：（1(041--（2⎛- ⎝-0-=24．先化简，再求值：24224x xx x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭，其中2x =．【答案】22x x +-，1 【分析】先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2x x x x x x x x +-+=⋅=---，当2x =时，原式1==.【点睛】本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．25．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2．（2）a ===b ===2222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭ 【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．26．计算：0(3)|1|π-+．【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答． 【详解】解：原式11=+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．27．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．28．计算：（1 ；（2）))213【答案】（1）2）1-. 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案． （2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-. 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．29．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443． 【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．30．计算：（1）()22131)()2---+（2【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2） 【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】5==，=，(24312=⨯=，选项D正确．2．C解析：C【解析】分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解.详解：根据题意得,x+3≥0,解得x≥-3.故选C.点睛：本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数，这也是解答本题的关键. 3．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．【详解】A，故该选项错误；B==C3=，故该选项错误；D11223334=(2)2==，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．4．A解析：A先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】∴x-2020≥0，解得：x≥2020；故选：A．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．5．D解析：D【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：A，故A错误；B12=，故B错误；C=C错误；D、2(=7，故D正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．6．B解析：B【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】=，故A不是最简二次根式；是最简二次根式，故B正确；，故C不是最简二次根式；=D不是最简二次根式；故选：B．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．解析：D 【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】44180+=配方得22222180⎡⎤+-+⋅=⎣⎦ 222180⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦222()180x y +-=22162(2)180xy x xy y +-+= 22122()180xy x y ++=将2224x y +=代入得：12224180xy +⨯= 计算得：11xy = 故选：D. 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.8．A解析：A 【详解】根据最简二次根式的意义，可知=. 故选A.9．C解析：C 【分析】①将3a =-代入12a a ++计算验证即可；②根据题意12a a ++=2，解得a 的值即可作出判断；③若a ＞-2，则a+2＞0，则对12a a ++配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】解：①当3a =-时，1134232a a +=-+=-+-+．故①正确； ②若12a a ++值为2， 则122a a +=+， ∴a 2+2a+1=2a+4， ∴a 2=3，∴3a =±． 故②错误；③若a ＞-2，则a+2＞0， ∴12a a ++=1222a a ++-+ =2211(2)()2222a a a a ++-•+•++ =21(2)2a a +-+≥0． ∴若a ＞-2，则12a a ++存在最小值且最小值为0． 故③正确．综上，正确的有①③． 故选：C ． 【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．10．B解析：B 【解析】因=，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．11．B解析：B 【分析】由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-，223m n mn +-2()5m n mn +-【详解】由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-，原式3===故选B【点睛】考核知识点：二次根式运算.配方是关键.12．B解析：B【分析】根据最简二次根式的条件：①根号下不含能开得尽方的因数或因式；②根号下不含分母，据此逐项判断即可．【详解】解：A、被开方数含分母，故A不符合题意；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．，故B符合题意；C被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件．二、填空题13．【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵∴∴所以答案是：【点睛】本题考查了二次根式的性质.解析：【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵40,0 aab-≥>∴0b<2a b b b b=--所以答案是： 【点睛】a =.14．3【解析】1、；2、根据题意，先推导出等于什么，（1）∵，∴，（2）再比较与的大小关系，①当n=0时，；②当为正整数时，∵， ∴，∴，综合（1）、（2）可得：，解析：320172018【解析】1、(1.732)2z z f f ==；2、根据题意，先推导出f 等于什么，（1）∵2221142n n n n n ⎛⎫+<++=+ ⎪⎝⎭，12n <+， （2）12n -的大小关系，①当n=012n >-； ②当n 为正整数时，∵2212n n n ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭1204n =->， ∴2212n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，12n >-，综合（1）、（2）可得：1122n n -<+，∴f n =z ，∴3f =z ．3、∵f n =z ，∴(2017z f +111112233420172018=++++⨯⨯-⨯ 111111112233420172018=-+-+-++- 112018=-20172018=． 故答案为（1）2；（2）3；（3）20172018. 点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n 为非负整数时，1122n n -<+，从而得到f n =z ；（2）解题③的要点是：当n 为正整数时，111(1)1n n n n =-++. 15．【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】 解析：【分析】10-b 4-b-2=+，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出22a b +的最大值．【详解】10-b 4-b-2=+，1042b b =-+--，∴261042a a b b -+-=-+--，∴264210a a b b -+-+++-=， ∵264a a -+-≥，426b b ++-≥，∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-，∴2≤a≤6，-4≤b≤2，∴22a b +的最大值为()226452+-=，故答案为52．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 16．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运解析：12． 【分析】，再把它们相乘得到1x x-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．【详解】3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x<<，=，∴1xx=-=-∴原式====．．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．17．【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b＞0时，=；当b＜0时，=.故答案为：.解析：22babb当时当时>⎨⎪-<⎪⎩根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b ＞0= 当b ＜0=故答案为：00b b ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩当时当时. 18．【解析】∵=，∴=== -==﹣x3+x ，故答案为：﹣x3+x. 解析：211166x x -+ 【解析】∵x =-==123=146+= -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=311166-+=﹣16x 3+116x ， 故答案为：﹣16x 3+116x. 19．2018【解析】试题解析：，令，，显然，∴，∴，∵与奇偶数相同，∴，∴．故答案为：2018.解析：2018【解析】 试题解析：y ===令a =b = 显然0a b >≥，∴224036a b -=，∴()()4036a b a b +-=，∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，∴20182a b a b +=⎧⎨-=⎩， ∴10101008a b =⎧⎨=⎩， ∴2018y a b =+=．故答案为：2018.20．1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 解析：1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(223981-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
(完整word)二次根式培优题
二次根式培优题1. 若02=+a a ,则a 的取值范围是___________.2. 若代数式1681222+-++-x x x x 的结果是5—2x ，则x 的取值范围是__________.3. 已知ABC ∆的边长为c b a 、、(c b a 、、为整数),且满足04412=+-+-b b a ，求ABC ∆的周长.4. 若x 满足23)31(2x x --=-，则x 的整数解的个数有_____个.5. 在实数范围内分解因式: (1) 32-a ; （2)742-a ； （3))0,0(2>>++y x y xy x 。
6. 已知实数a 满足()a a a =-+-220072006，那么2006-a 的值是_______.7. 若m 满足等式y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253，试确定m 的值.8. 要使代数式2113----x x 有意义，实数x 的取值范围是_______________。
9. 比较大小：25 , 32 , 23---.10.化简:(1) )0(48342>+-y y y ;（2)()()()0222222>--+ab b a b a(2)161213b -； （4）23322-; (5）b a 3--;(6) )0(12122>>+-b a bab a a ;(7）32416++⨯。
11。
把下列各式中根号外的因式移到根式内：(1) x y xy -； （2)aa --⋅-11)1(。
12。
计算:(1)3232245-；（2）3612-;(3）)5131(15-÷（3）()()201220112323-⨯+；（4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212；(5)()()()()13132131322+--++-(6) ()()632632+--+(7) ba b a aba b a a a +----;(8）()()233623346++++13。
二次根式培优试卷
第一章二次根式好题精选一．选择题1．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8 B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7 D．＝2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确3．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．4．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a5．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥36．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．7．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x8．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间9．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠010．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．二．填空题（共10小题） 11．已知：x ＝，计算x 2﹣x +1的值是 ．12．化简：()()23352325-+-+的结果为____________________13．在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，如果这个正方形的面积为m ，△ABE 的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE 的长用含m 的代数式表示为 ． 14．化简：2＜x ＜4时，﹣＝ ．15．已知a ，b 均为正整数，如果0＜﹣b ＜1，我们称b 是的“主要值”，那么的主要值是 ．三．解答题（共15小题） 16．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）217．．18．先化简，再求值 （1）（﹣），其中a ＝17﹣12，b ＝3+2（2）（a +）（a ﹣）﹣（﹣a ）2，其中a ＝2﹣1．（3）+，其中x＝19．观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）20．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．21．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．22．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值23．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列计算正确的是（）A．＝±4 B．2×32＝62＝36C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝﹣5 D．﹣2×+2×（3+）+4＝10【分析】根据实数与二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【解答】解：A．＝4，此选项错误；B．2×32＝2×9＝18，此选项错误；C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝×（﹣）＝﹣，此选项错误；D．﹣2×+2×（3+）+4＝﹣2+6+2+4＝10，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分．【解答】解：甲的解法：＝＝﹣，利用平方差公式进行分母有理化，正确；乙的解法：＝＝﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确；故选：C．【点评】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，分母有理化是指把分母中的根号化去．3．下列计算正确的是（）A．＝±15 B．＝﹣3 C．＝D．＝【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝15，故此选项错误；B、＝3，故此选项错误；C、＝，故此选项错误；D、＝，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．【分析】先根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式﹣a3≥0，再根据公式＝|a|及有理数的乘法法则得出a、b的取值范围，然后化简即可．【解答】解：由题意，得﹣a3≥0，又∵＝b2≥0，b为任意数，∴﹣a3≥0，∴a≤0，∴＝＝•＝．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的性质及二次根式的化简．用到的知识点有：①二次根式的被开方数是非负数；②两个公式：＝（a≥0，b≥0），＝|a|．5．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7D．＝【分析】根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．【解答】解：A．、没有意义，此选项错误；B．＝2a（a＞0），此选项错误；C．＝＝5，此选项错误；D．＝，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是二次根式的定义和性质．6．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a＝0时，＝0．绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1…f（）+f（）＝1，所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．故选：A．【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．8．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3【分析】等式左边为算术平方根，其结果3﹣a应该为非负数．【解答】解：∵＝3﹣a∴3﹣a≥0∴a≤3故选：B．【点评】注意：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键．9．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得，a＝3，b＝2，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．10．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．11．的整数部分是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于＝﹣1，＝﹣，…，＝﹣+，于是可得原式＝﹣1+﹣+…﹣+，计算即可．【解答】解：∵＝﹣1，＝﹣…＝﹣+，∴原式＝﹣1+﹣+…﹣+＝﹣1+10＝9．【点评】本题考查了二次根式的加减法．解题的关键是对每一个分式分母有理化．12．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先化成最简二次根式，再合并，最后求出的范围即可．【解答】解：+＝+＝2＝，∵2＜＜3，∴代数式+的运算结果在2到3之间，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数大小的应用，主要考查学生的计算能力．13．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．【解答】解：∵＝10，x，y为正整数，∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：+3＝+9＝4+6＝7+3＝10．∴，，，共有三组解．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．14．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠0【分析】先判断结果的情况，再判断ab积的情况．【解答】解：∵＝≥0又∵＝﹣，∴﹣≥0∴ab≤0且b≠0故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题需着眼于整体．本题易忽略b≠0而出错．15．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．【分析】求出S1，S2，S3，…的值，代入后根据二次根式的性质求出每一部分的值，再求出最后结果即可．【解答】解：∵S1＝1，S2＝1+3＝4，S3＝1+3+5＝9，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），∴S＝++••+，＝+++…+＝1+2+3+…+n＝，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：1+2+3+…n＝．二．填空题（共10小题）16．计算（）＝．【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可得．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝×＝，故答案为：【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．17．如果（a，b为有理数），则a＝6，b＝4．【分析】先计算出（2+）2，再根据可得答案．【解答】解：∵（2+）2＝4+4+2＝6+4，∴a＝6、b＝4．故答案为：6、4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．18．计算：（3+1）（3﹣1）＝17．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝（3）2﹣12＝18﹣1＝17故答案为：17．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．19．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是+4．【分析】先将x的值分母有理化得出x＝+1，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：∵x＝＝＝＝+1，∴x2﹣x+1＝（+1）2﹣（+1）+1＝4+2﹣﹣1+1＝+4．故答案为：+4．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．20．当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝2030．【分析】将x的值代入x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027，根据二次根式的运算法则计算可得．【解答】解：当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027＝（1﹣﹣1）2+2027＝（﹣）2+2027，＝3+2027＝2030，故答案为：2030．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及完全平方公式．21．若x＝﹣1，则＝2．【分析】将x的值代入原式＝，计算可得．【解答】解：当x＝﹣1时，原式＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．22．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝±．【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，∴（）2＝＝＝＝，∴＝±．故答案是：．【点评】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．23．在正方形ABCD中，E是边BC上一点，如果这个正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE的长用含m的代数式表示为．【分析】首先根据正方形的面积，表示出△ABE的面积，然后利用三角形的面积的公式表示出线段BE的长即可．【解答】解：∵正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，∴正方形的边长AB＝，△ABE的面积为，∵S△ABE＝AB•BE＝BE＝，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是表示出正方形的边长及直角三角形的面积．24．化简：2＜x＜4时，﹣＝2x﹣6．【分析】首先根据x的范围确定x﹣2与x﹣4的符号，然后利用算术平方根的定义，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，∴原式＝﹣＝|x﹣2|﹣|x﹣4|＝x﹣2﹣（4﹣x）＝x﹣2﹣4+x＝2x﹣6．故答案为：2x﹣6．【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的性质是关键．25．已知a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是4．【分析】根据a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，可以求得的主要值．【解答】解：∵0＜﹣4＜1，∴的主要值是4，故答案为：4．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，可以估算出处于哪两个整数之间．三．解答题（共15小题）26．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝﹣2+10＝；（2）原式＝2﹣6﹣（2﹣2+）＝﹣4﹣＝﹣4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．27．当t＝2时，求二次根式的值．【分析】将t的值代入＝＝|3﹣t|计算可得．【解答】解：当t＝2时，＝＝|3﹣t|＝|3﹣2|＝3﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的基本性质．28．已知a，b，c为△ABC三边，化简+|b﹣a﹣c|．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定a﹣b﹣c以及绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解∵a，b，c为△ABC三边，∴原式＝|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝b+c﹣a+a+c﹣b＝2c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．29．．【分析】根据二次根式的定义得出x﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x，代入求出y，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y＝++9有意义，必须x﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x＝8，把x＝8代入得：y＝0+0+9＝9，∴＝，＝+，＝+，＝．【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x、y的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．30．计算：（1）﹣+（2）（﹣）（+）+（﹣1）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．31．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．【解答】解：当x＝＝＝，y＝＝＝时，原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9＝×+3×（+）+9＝+3×+9＝+3+9＝+3．【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．32．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a＝17﹣12＝（3﹣2）2、b＝3+2＝（+1）2，代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）•＝[﹣]•＝•＝，∵a＝17﹣12＝32﹣2××（2）2＝（3﹣2）2，b＝3+2＝（）2+2+1＝（+1）2，∴原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．33．先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣（﹣a）2，其中a＝2﹣1．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可化简二次根式，最后将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝a2﹣5﹣3﹣a2+2a＝2a﹣8．∵a＝2﹣1，∴原式＝2×（2﹣1）﹣8＝4﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和二次根式的性质．34．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．【解答】解：∵x＝＝3﹣2，∴x﹣2＝1﹣2＜0，则原式＝x﹣1+＝x﹣1﹣1＝x﹣2＝1﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．35．观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝1（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：＝1+；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；（2）根据规律，写出等式；（3）根据（2）的规律，即可解答．【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．36．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2××＝（+）2，∴＝＝+；（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×＝（2﹣）2，∴＝＝2﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．37．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．38．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值【分析】先由a、b的值计算出a+b、a﹣b、ab的值，再代入到原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab．【解答】解：∵a＝，b＝，∴a+b＝2，a﹣b＝﹣2，ab＝1，∴原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝a2+2ab+b2﹣a+b+ab，＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab＝（2）2﹣（﹣2）+1＝13+2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在解答此题类目时要根据各题的特点灵活解答．39．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．【分析】根据两边之和大于第三边可将各二次根式求出，从而可得出化简后的答案．【解答】解：由三边关系得：a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．【点评】本题考查二次根式的化简及三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是关键．40．现有一组有规律的数：1，﹣1，，﹣，，﹣，1，﹣1，，﹣，，﹣…其中1，﹣1，，﹣，，﹣这六个数按此规律重复出现．（1）第50个数是什么数？（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？【分析】（1）首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；（2）首先用2017除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；（3）首先求出1，﹣1，，﹣，，﹣六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．【解答】解：（1）这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，∴50÷6＝8…2，∴第50个数是﹣1．（2）∵2017÷6＝336…1，且1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，∴从第1个数开始的前2017个数的和是：336×0+1＝1．（3）∵12+（﹣1）2+（）2+（﹣）2+（）2+（﹣）2＝12，520÷12＝43…4，而且12+（﹣1）2+（）2＝4，∴43×6+3＝261，即共有261个数的平方相加．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，而且每个循环的6个数的和是0．。
数学二次根式的专项培优练习题(附解析
数学二次根式的专项培优练习题(附解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B =C =D =2．下列各式计算正确的是（ ）AB ．C =3D ．3．下列运算正确的是（ ）A =B ． 3C ＝﹣2D =4．下列各式中，正确的是（ ）A 2=±B =C 3=-D 2=5．下列计算正确的是（ ）A =B 3=C =D ．21= 6．下列式子中，是二次根式的是( )A B CD ．x7．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ． x ≤48．已知a ( )A ．0B ．3C ．D ．99．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.01)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．912．230x -=成立的x 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．以上都不对二、填空题13．使函数212y x x=+有意义的自变量x 的取值范围为_____________14．已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为______.15．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____．16．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．17．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________．18．()()22223310x y x y ++-+=，则222516x y +=______.19．已知4a2(3)|2|a a +--=_____．20．化简：3222＝_____．三、解答题21．阅读下面问题： 阅读理解：2221(21)(21)==++-1； 323232(32)(32)==++-(55252(52)(52)==-++-．应用计算：（176+（211n n++（n 为正整数）的值．归纳拓展：（3122334989999100++++++【答案】应用计算：（17621n n + 归纳拓展：（3）9． 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（17-6分母利用平方差公式计算即可，（2n 1-n +（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-， =10-1， =9． 【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．计算： 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．（112=3==；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2n=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含n （3）证明：∵n 是正整数，n ．n．故答案为5=25 n；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.24．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a ﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.25．先化简，再求值：a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()23a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.26．先观察下列等式，再回答下列问题： 2211111111121112++=+-=+； 2211111111232216++=+-=+ 22111111113433112++=+-=+ (1)2211145++ (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子． 试题解析：(1)2211145++=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.27．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.28．先化简，再求值：24224x xx x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭，其中2x =．【答案】22x x +-，1 【分析】先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2x x x x x x x x +-+=⋅=---，当2x =时，原式1==.【点睛】本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．29．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2．（2）12a ===，12b ===，2222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．30．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】=3= ， ∴A 、C 、D 均错误，B 正确， 故选：B.此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 2．C解析：C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可．【详解】AB、C，故本选项正确；D、=18，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．3．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【详解】解：AB、＝，故此选项错误；C2，故此选项错误；D，正确；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．4．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．【详解】A，故该选项错误；B===，故该选项错误；C3D11223334=(2)2==，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．5．A解析：A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．【详解】解：======，原式计算错误；D. 2220=-=，原式计算错误；故应选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．【详解】解：A是二次根式，符合题意；B是三次根式，不合题意；C、当x＜0D、x属于整式，不合题意；故选：A．【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．7．B解析：B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|，当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．8．B解析：B【解析】=，可知当（a﹣3）2=0，即a=3故选B．9．C解析：C【解析】试题解析：∵a1，a∴1-a≥0，a≤1，故选C．10．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．解析：A【解析】根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．12．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.【详解】x30-=，=0=，∴x=-2或x=3，又∵2030 xx+≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3，故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题13．【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，解得：①当时，解得：即：①当时，解得：即：故自变量x的取值范围为【点睛】解析：11,0 22x x-≤≤≠利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，220x x +≠解得：0,2x x ≠≠-12||0x -≥①当0x >时，120x -≥ 解得：12x ≤ 即：102x <≤①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-即：102x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -≤≤≠ 【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 14．1【分析】设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值． 【详解】解：设x 2−a 2=y 2−b 2=2008， ∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b ，x−a=y+b∴x=y ，a+b=0，∴， ∴x 2=y 2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系.15．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）= 12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．16．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．17．【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．18．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.19．-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此解析：-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∴a+3<0,2-a>0,-=-a-3-2+a=-5，|2|a故答案为：-5.【点睛】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.20．【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．解析：【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：=．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无27．无28．无29．无30．无。
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试(一）判断题:（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（)【提示】2)2(-＝｜－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（ )【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2)．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1｜,2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．( ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二)填空题:（每小题2分，共20分)6．当x __________时,式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义?分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】(a －12-a )(________)＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数? x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1)＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少?12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd ｜＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0)，∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）(cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：（7－52）2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52）2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．］ （7－52）·（－7－52）＝？［1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则（x －1)2＋（y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4,∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？［x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． (三）选择题:（每小题3分,共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ )（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 (C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件,（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C)－2x (D)－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0,∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y ｜＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝｜x ＋y ｜＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝｜a ｜．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B)－x 2(C ）－2x （D ）2x【提示】（x －x 1）2＋4＝(x ＋x 1）2，(x ＋x 1）2－4＝（x －x 1）2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ）(A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D)a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ )（A)2)(b a + （B ）－2)(b a - （C)2)(b a -+- （D)2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0)和完全平方公式．注意（A ）、(B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时,a 、b 都没有意义．（四）在实数范围内因式分解:（每小题3分,共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式,再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2（2x －1)2．（五）计算题：(每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--); 【提示】将35-看成一个整体,先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-）2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．(a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2m n－mab mn ＋mn n m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）(a ≠b ）． 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． (六)求值：(每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26）2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x ＋y ”、“x －y "、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +,∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题:（每小题8分，共16分）29．计算(25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后,再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）［（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）］ ＝（25＋1）（1100-） ＝9（25＋1）． 【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗?].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -｜∵ x ＝41，y ＝21,∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41,y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
二次根式除法课时培优习题(答案版)
二次根式除法课时培优习题1. (2020·济宁)下列各式是最简二次根式的是(A)A. 13B. 12C. a3D. 5 32．【中考·绵阳】等式x－3x＋1＝x－3x＋1成立的x的取值范围在数轴上可表示为(B)3．计算34÷16的结果是(C)A.22 B.24 C.322 D.324．【中考·包头】下列计算结果正确的是(B) A．2＋3＝2 3 B.8÷2＝2C．(－2a2)3＝－6a6D．(a＋1)2＝a2＋15. 计算46x3÷2x3的结果是(C)A. 22xB.32x C. 62x D.22x6．小明的作业本上有以下四题：①16a4＝4a2；②5a·10a＝52a；③a 1a＝a2·1a＝a；④8a÷2a＝4.做错的题是(D)A．①B．②C．③D．④7.【2020·聊城】计算45÷33×35的结果正确的是(A)A．1 B.53C．5 D．9【点拨】结合二次根式的性质，按从左到右的顺序进行计算．方法1：原式＝3533×35＝1；方法2：原式＝45÷27×35＝45÷27×35＝1.8. (2019·达州)下列判断正确的是(D)A. 5－12<0. 5B.若ab＝0，则a＝b＝0C. ab＝abD. 3a可以表示边长为a的等边三角形的周长*9. 如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab；②ab·ba＝1；③ab÷ab＝－b.其中正确的是(C)A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①②【点拨】∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0.①ab＝ab，被开方数应大于等于0，a，b不能作被开方数，故①错误；②ab·ba＝ab×ba＝1＝1，故②正确；③ab÷ab＝ab÷ab－b＝ab×－bab＝－b，故③正确．故选C.10．若1－aa2＝1－aa，则a的取值范围是(D)A．a≤0 B．a<0C．a>0 D．0<a≤1【点拨】由题意得1－a≥0且a＞0，解得0＜a≤1.此题容易忽略1－a≥0这个条件．11. 若a＞0，把－4ab化成最简二次根式为(C)A. 2b－ab B. －2b abC. －2b－ab D. 2b－ab【点拨】由a＞0，－4ab＞0知b＜0，故－4ab＝4a－b＝4a·－b－b·－b＝－2b－ab.12..设5＝a，6＝b，用含a，b的式子表示 2.7，则下列表示正确的是(A)A．0.3ab B．3ab C．0.1ab2D．0.1a2b【点拨】 2.7＝270100＝5×6×32100＝310×5×6＝0.3ab.13.已知xy＜0，化简二次根式x－yx2的正确结果为(B)A.yB.－y C．－y D．－－y 【点拨】∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0.又∵x－yx2有意义，∴y＜0.∴x＞0，y＜0.当x＞0，y＜0时，x－yx2＝－y.14.计算：(1)3213×⎝⎛⎭⎪⎫－1815÷1225.＝(－3×18÷12)73×15÷25＝－347×5×52＝－15814.(2)x·x－2x－2÷xx3－2x2＝x·x－2x－2÷1x2－2x＝x·x－2x－2·x－2·x＝(x )2·（x －2）2x －2＝x(3)【2020·福建】先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋2÷x 2－1x ＋2，其中x ＝2＋1.解：原式＝x ＋2－1x ＋2·x ＋2（x ＋1）（x －1）＝1x －1. 当x ＝2＋1时，原式＝12＋1－1＝22.15. 已知x －69－x ＝x －69－x ，且x 为奇数，求(1＋x )·x 2－5x ＋4x 2－1的值.解：∵x －69－x ＝x －69－x ，∴⎩⎨⎧x －6≥0，9－x ＞0， ∴6≤x ＜9. 又∵x 是奇数， ∴x ＝7.∴(1＋x )·x 2－5x ＋4x 2－1＝(1＋x )·（x －1）（x －4）（x ＋1）（x －1）＝(1＋x )x －4x ＋1＝（x ＋1）（x －4）.当x ＝7时，原式＝（7＋1）×（7－4）＝2 6. 16．阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题．化简：ab －ab 3－2ab 2＋a 2ba(b <a <0)．解：原式＝ab －a b （b －a ）2a① ＝a （b －a ）b －aba ②＝a ·1a ab ③ ＝ab .④(1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号：__②______； (2)错误的原因是什么？ 解：∵b ＜a ，∴b －a<0. ∴(b －a)2的算术平方根为a －b. (3)请你写出正确的解法．解：原式＝ab －a b （b －a ）2a＝a b －a·(a －b )b a＝－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ab ＝ab .17. 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如53，23，23＋1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53＝5×33×3＝53 3. (一) 23＝2×33×3＝63. (二)23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）（3）2－12＝3－1. (三)以上这种化简的方法叫做分母有理化.23＋1还可以用如下方法化简：23＋1＝3－13＋1＝（3）2－123＋1＝（3＋1）（3－1）3＋1＝3－1.(四)(1)请用不同的方法化简25＋3.①参照(三)式化简；②参照(四)式化简.(2)化简：13＋1＋15＋3＋17＋5＋…＋12n＋1＋2n－1.【思路点拨】(一)、(二)、(三)式的关键是找分母的有理化因式，常见的互为有理化因式的代数式：a与a，a＋b与a－b，a＋b与a－b，a＋b c与a－b c，a b＋c d与a b－c d. (四)式用的是约分法.(1)①原式＝2（5－3）（5＋3）（5－3）＝2（5－3）（5）2－（3）2＝5－ 3.②原式＝5－35＋3＝（5）2－（3）25＋3＝（5＋3）（5－3）5＋3＝5－ 3.(2)原式＝3－1（3＋1）（3－1）＋5－3（5＋3）（5－3）＋7－5（7＋5）（7－5）＋…＋2n＋1－2n－1（2n＋1＋2n－1）（2n＋1－2n－1）＝12(3－1)＋12(5－3)＋12(7－5)＋…＋12(2n＋1－2n－1)＝12(3－1＋5－3＋7－5＋…＋2n＋1－2n－1)＝122n＋1－12.。
初中数学数学二次根式的专项培优练习题(附解析
一、选择题1．若实数m 、n 满足等式402n m -+=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6 2．计算12718483--的结果是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．32-- D ．23-3．下列根式中，最简二次根式是（ ）A ．13B ．0.3C ．3D ．84．给出下列结论：①101+在3和4之间；②1x +中x 的取值范围是1x ≥-；③81的平方根是3；④31255--=-；⑤51528->．其中正确的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）. A ．4B ．5C ．6D ．7 6．若实数a ，b 满足+=3，﹣=3k ，则k 的取值范围是（ ）A ．﹣3≤k ≤2B ．﹣3≤k ≤3C ．﹣1≤k ≤1D ．k ≥﹣1 7．已知0xy <，化简二次根式2y x -） A y B y - C ．y -D ．y -- 8．()23- A ．﹣3 B ．3 C ．﹣9 D ．99．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）A 3x +B 13x -C 13x +D 3x -10．下列运算中正确的是（ ）A ．27?3767=B 442323333===C 3313939===D 155315151==二、填空题11．2215x 19x 2+-=2219x 215x -+=________．12．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________．13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则2b c +=________．14．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．15．已知函数1x f x x ，那么21f _____．16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.17．计算：652015·652016＝________． 18．已知4a2(3)|2|a a +--=_____． 19．25523y x x =--，则2xy 的值为__________．20．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=ab ．三、解答题21．11231242313722831-+- 533121【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.【详解】1123124231372831-+-=48132331)32(337228+⨯⨯⨯=121. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.22．计算：（1（2）)((222+-+．【答案】(1)【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.【详解】（1==（2）)((222+-+=2223--+ =5-4-3+2=023．计算：（1﹣（2） （3）244x -﹣12x -．【答案】（1）2（3）-12x + 【解析】 分析：（1）根据二次根式的运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据乘法的分配律以及二次根式的性质进行计算即可；（3）根据异分母的分式的加减，先因式分解，再通分，然后按同分母的分式进行加减计算，再约分即可.详解：（1（2）（3）24142x x --- =41(2)(2)2x x x -+-- =42(2)(2)(2)(2)x x x x x +-+-+- =2(2)(2)x x x -+- =12x -+ 点睛：此题主要考查了二次根式的运算和分式的加减运算，熟练应用运算法则和运算律以及二次根式的性质进行计算是解题关键.24．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x -【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案．【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x -∴ 3,4x y ==当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．25．计算②)21-【答案】① 【分析】 ①根据二次根式的加减法则计算；②利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：①原式＝②原式＝(5-2-＝【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．26．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)．【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.27．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】 （1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．28．计算下列各题：（1（2）2-．【答案】（1）2）2--【分析】（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：（1）原式==；（2）原式22(5=--+525=---2=--【点睛】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先根据绝对值的非负性、二次根式的非负性求出m 、n 的值，再根据三角形的三边关系、等腰三角形的定义求出第三边长，然后根据三角形的周长公式即可得．【详解】由题意得：20,40m n -=-=，解得2,4m n ==，设等腰ABC 的第三边长为a ，,m n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，n m a n m ∴-<<+，即26a <<，又ABC 是等腰三角形，4a n ∴==，则ABC 的周长为24410++=，故选：B ．【点睛】 本题考查了绝对值的非负性、二次根式的非负性、三角形的三边关系、等腰三角形的定义等知识点，根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义求出第三边长是解题关键．2．C解析：C【解析】解：原式=故选C ．3．C解析：C【分析】根据最简二次根式的定义，可得答案．【详解】A 、被开方数含分母，故选项A 不符合题意；B 、被开方数是小数，故选项B 不符合题意；C 、被开方数不含开的尽的因数，被开方数不含分母，故C 符合题意；D 、被开方数含开得尽的因数，故D 错误不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了最简二次根式，被开方数不含开的尽的因数或因式，被开方数不含分母．4．A解析：A【分析】答．【详解】 解：①3104<<，415∴<<，故①错误；x 的取值范围是1x ≥-，故②正确；③819=，9的平方根是3±，故③错误； ④31255--=，故④错误；⑤∵5154598---=，()22459<， ∴51508--<，即5158-<，故⑤错误； 综上所述：正确的有②，共1个，故选：A ．【点睛】本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．5．C解析：C【解析】【分析】利用分母有理化进行计算即可.【详解】由原式得：所以，因为，,所以. 故选：C【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化. 6．C解析：C【解析】依据二次根式有意义的条件即可求得k 的范围．解：若实数a ，b 满足+=3，又有≥0，≥0， 故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则 ﹣3≤-≤0 ②+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k ， 即﹣3≤3k ≤3，化简可得﹣1≤k ≤1．故选C ． 点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a ≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k 的不等式组，求出k 的取值范围.7．B解析：B【分析】先根据xy ＜0，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定x 、y 的取值，最后再化简即可．【详解】解：0xy <，0x ∴>，0y <或0x <，0y >， 又2y x x -有意义， 0y ∴<，0x ∴>，0y <，当0x >，0y <时， 故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是能根据已知条件以及所跟二次根式来确定x 、y 的取值． 8．B解析：B【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.【详解】﹣3|=3. 故选B.9．D 解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．10．B解析：B【分析】根据二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．【详解】解: A. 67=⨯=＝42，故本选项不符合题意；===，故本选项，符合题意；===3，故本选项不符合题意；D. ==3，故本选项不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能灵活运用二次根式的乘除法则进行计算是解题关键．二、填空题11．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m 、n 的关系式，解方程组求m 、n 的值即可．【详解】设m ＝，n ＝，那么m −n ＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m ＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m 、n 的关系式，解方程组求m 、n 的值即可．【详解】设m n那么m−n ＝2①，m 2＋n 2＝2＋2＝34②．由①得，m ＝2＋n ③，将③代入②得：n 2＋2n−15＝0，解得：n ＝−5（舍去）或n ＝3，因此可得出，m ＝5，n ＝3（m≥0，n≥0）．n ＋2m ＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．12．3【解析】设，则 可化为：，∴，两边同时平方得：，即：，∴，解得：，∴.故答案为：.点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形解析：【解析】设24x a -====两边同时平方得：128a a +=++4=，∴3216a =，解得：12a =，===故答案为： 点睛：本题的解题要点是：设原式中的24x a -=，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a 的值，使问题得到解决.13．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123=== ∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．14．-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|＝解析：-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，0c a b ＜＜＜∴00.a c c b ＞，＜|a ﹣c ﹣|﹣b |＝||()||a ac c b b =()aa cbc b =aa cbc b =-2a .【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.15．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时， ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f xx ，所以当1x =时， 211()2221f x ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.16．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为17．【解析】原式=.故答案为.【解析】原式=20152015=18．-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此解析：-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵4a ,∴a+3<0,2-a>0,|2|a -=-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.19．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy =-2×52×3=-15. 20．【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵∴∴∴∵∴解得：a=-4，b=-2∴=故答案为：．【点睛解析：【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵2222480a ab b a -+++=∴222448160a ab b a -+++=∴()()222448160a ab ba a -+++=+ ∴()()22240ab a +-+=∵()()2220,40a b a +-≥≥∴20,40a b a +-==解得：a=-4，b=-2=故答案为：【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析)
二次根式竞赛培优题（含解析）一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．39940002．计算：=（）A．B．C．D．3．的结果是（）A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．1D．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共24小题）6.已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为．7．化简=．8．化简．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为．10．方程的解是x=11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=．12．计算：=（其中a＞0）13．的值为．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=．15．若n为整数，且是自然数，则n=．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：．20．计算﹣20062的结果是．21．设=．22．若，，则x6+y6的值是．23．当时，的值为．24．已知，，则k=．25．当1≤x≤2时，经化简等于．26．计算=．27．已知x=，那么+1的值是．28．化简：，得到．29．=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．二次根式竞赛培优题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．3994000【分析】设1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算后，加上a2再减去a2，前三项结合提取a2，剩下的三项利用完全平方公式化简，接着三项合并后提取2a，整体再利用完全平方公式化简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果．【解答】解：设1998=a，则1997×1998×1999×2000+1=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1=[a（a+1）﹣1]2，所以==1998×1999﹣1=3994001．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用．2．计算：=（）A．B．C．D．【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．【解答】解：∵=（）=（）=（）=（﹣）∴分别取n=1，2，3， (40)原式=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．3．的结果是（）A．B．C．D．【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可．【解答】解：=（）=．故选：D．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．4．的值是（）A．B．C．1D．【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．【解答】解：由题意可知第k项是∴原式=（++=1﹣=1﹣=．故选：B．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6【分析】找到1000＜5×x2＜2000中符合x的整数值即可得出答案．【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定为5，由此及题意可：1000＜5×x2＜2000，x可取15、16、17、18、19，共5个．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足．二．填空题（共24小题）6．已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000．【分析】由等式可知=x1，=x2，…解得x1=x2=x3=…=x1999=2，由此代入求得数值即可．【解答】解：∵，∴=x1，=x2，…∴x1=x2=x3=…=x1999=2，∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×（1+2+3+ (1999)=2×（1999+1）×1999÷2=3998000．故答案为：3998000．【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应关系，求出x1、x2、x3、…、x1999的值．7．化简=2011．【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=，然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案．【解答】解：∵=，∴原式=======2011．故答案为2011．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了平方差公式．8．化简后2．【分析】由于===﹣1，其他根式也可以进行同样的化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为10．【分析】利用不等式≤，结合S1+S2+S3+…+S n ＞10，解不等式即可．【解答】解：∵S i表示第i个三角形的面积，由不等式≤n，得≤n=n，而S1+S2+S3+…+S n=，S1+S2+S3+…+S n＞10，∴n＞10，即n2（n+1）＞800，n为正整数，n的最小值为9．但n=9时，代入S1+S2+S3+…+S n＜10，不符合题意，故n=10．【点评】本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．10．方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各分式的分母有理化，寻找抵消规律．11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=﹣．【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化，再求出N式的值，代入代数式求值即可解答．【解答】解：将M分母有理化可得M=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1．N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+（1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．12．计算：=4（其中a＞0）【分析】仔细观察会发现有以下规律：第1项加上第8项等于1，第2项加上第7项等于1，依此类推最后求得的结果4．【解答】解：第一项与最后一项相加得：+，=+，=，=1，同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；所以原式=1+1+1+1=4．故应填：4．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑思维能力，是一道不错的规律型问题．13．的值为1998999.5．【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设k=2000，将所求算式转化为关于k的算式，将被开方数配成完全平方式，开平方，再将k的值代入即可．【解答】解：设k=2000，原式=====，当k=2000时，原式=1998999.5．故本题答案为：1998999.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k=8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．15．若n为整数，且是自然数，则n=﹣14或﹣7或﹣2或5．【分析】设=p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n 的值即可．【解答】解：∵设=p（P为非负整数），则n2+9n+30=p2，∴4n2+36n+120=4p2，∴（2n+9）2+39=4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，∴或或或，解得或或或，∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为2012.5．【分析】根据新定理得f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1；f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1，由此得到f（）+f（）=1（n≥2的整数），所以原式=+．【解答】解：f（）=，∵f（）==，f（）=，则f（）+f（）=1，f（）==，f（）==，则f（）+f（）=1，∴f（）+f（）=1，∴=+=2012.5．故答案为2012.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【分析】由是正整数可得，a是含﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，据此确定a的值．【解答】解：∵是正整数，∴a是含﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，∴a=或．故答案为：或．【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）．【分析】由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是﹣1，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的a，b，c的值．【解答】解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设==x+y﹣2，（x，y为正整数，x＞y），所以有=x+y，﹣=﹣2．∴a+1=（x+y）2，a=4xy，∴（x﹣y）2=1，即x﹣y=1．则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后为﹣1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为．最后正好为﹣=1．所以=（﹣1）2=3﹣=3﹣，则a=8，同理得b=24，c=48．故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．故答案为8，24，48．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．20．计算﹣20062的结果是2005．【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【解答】解：∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）+3×2005+1=2005；故答案为：2005．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）的值．21．设=．【分析】把已知条件的左边相乘得，这样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式，逐步变形，消去x、y，即可求得z．【解答】解：据条件式令=z，则（1）式化为：z+xy+=9，即有9﹣z=xy+，平方得，81﹣18z+z2=x2y2+（x2+1）（y2+4）+2xy（2），又由z2==x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy，代入（2）得，81﹣18z=4，所以．即=，故答案为：．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条件求解．22．若，，则x6+y6的值是40．【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解答】解：由题意得：x2+y2=2++2﹣=4，x2﹣y2=2+﹣（2﹣）=2，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=8，又（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6+x2y4+y2x4，∴可得：x6+y6=32﹣x2y2（x2+y2）=32+2×4=40．故答案为：40．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练运用平方差及完全平方公式．23．当时，的值为．【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可．【解答】解：原式=﹣，∵，∴=2005，∴x＜，∴原式=﹣+x，=x，当时，原式=．故答案为．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a（a≥0）的应用．24．已知，，则k=﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，∴4+=+2，依此类推得：=+2，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．25．当1≤x≤2时，经化简等于2．【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】解：∵1≤x≤2，∴=+=+1+1﹣=2．故答案为：2．【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式．26．计算=2010．【分析】因为=，=，=，…，可发现=1+=1+1﹣，=1+=1+﹣…，依此类推再把1+1﹣，1+﹣…相加可得问题答案．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律．27．已知x=，那么+1的值是2．【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1，所以x+1=，然后将代数式化为含有（x+1）2的形式，把x+1的值代入求出代数式的值．【解答】解：∵x==﹣1，∴x+1=．原式=（3x3+10x2+5x+4）=[（3x3+6x2+3x）+3x2+（x2+2x+1）+3]=[3x（x+1）2+3x2+（x+1）2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[（3x2+6x+3）+2]=[3（x+1）2+2]=（3×2+2）=2．故答案是：2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，先根据分母有理化把x的值化简，得到x+1=，再把代数式化成含有x+1的形式，然后代入代数式可以求出代数式的值．28．化简：，得到1．【分析】将被开方数的分子、分母提公因式，约分，再开平方，约分即可．【解答】解：原式=（）1004=（）1004（）1004=1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是将被开方数的分子、分母提公因式，约分．29．=﹣3．【分析】因为=，代入并通分计算即可．【解答】解：原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设=a，=b，=c，从而可将原式化简，继而可得出答案．【解答】解：（1）设n=1999，则原式===n2+3n+1，故原式=20002+1999；（2）原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣，=﹣1，=3﹣1，=2；（3）原式=，=，=+，=﹣；（4）设=a，=b，=c，则原式=++，=，=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度较大，注意换元法及完全平方知识的运用．。
初中数学数学二次根式的专项培优练习题(附解析
一、选择题1．下列计算正确的为（ ）． A ．2(5)5-=- B ．257+=C ．64322+=+D ．3622=2．在实数范围内，若22xx +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x≠2B ．x >-2C ．x <-2D ．x≠-23．下列各式中,正确的是（ ） A ．16=±4 B ．±16=4C ．26628⨯= D ．42783+⨯=- 4 4．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.A ．4B ．5C ．6D ．75．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：23(23)(23)74323(23)(23)+++==+--+，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3535+--，设3535x =+--，易知3535+>-，故0x >，由22(3535)35352(35)(35)2x =+--=++--+-=，解得2x =，即35352+--=．根据以上方法，化简3263363332-+--++后的结果为（ ） A ．536+B ．56+C ．56-D ．536-6．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．43-33=1 C ．2333=63⨯ D ．123=2÷7．若实数a ，b 满足+=3，﹣=3k ，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤k ≤2B ．﹣3≤k ≤3C ．﹣1≤k ≤1D ．k ≥﹣18．下列计算正确的是（ ） A 235=B 236=C 2434=D ()233-=-9．如果12与最简二次根式72a -是同类二次根式，那么a 的值是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．210．下面计算正确的是（ ） A ．3+3=33B ．273=3÷C ．2?3=5D ．()22=2--二、填空题11．设42-的整数部分为 a,小数部分为 b.则1a b- = __________________________. 12．化简322+=___________．13．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 14．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．15．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.16222a a ++的最小值是______．17．已知：5+22可用含x 2=_____．18．4102541025-+++=_______． 19．已知x 51-，y 51+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 20．2a ·8a (a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式a =，)111=11互为有理化因式．（1）1的有理化因式是；（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：==24====进行分母有理化．（3）利用所需知识判断：若a=，2b=a b，的关系是．（4）直接写结果：)1=．【答案】（1）1；（2）7-；（3）互为相反数；（4）2019【分析】（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；（3）将a=（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）∵()()1111=，∴1的有理化因式是1；（22243743--==--（3）∵2a===，2b=-，∴a和b互为相反数；（4）)1++⨯=)11⨯=)11=20201- =2019， 故原式的值为2019. 【点睛】本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．22．计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b ；（3）1.【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab abbc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ =1113a a --+-=()()()()3113a a a a -++-+-=22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ； （3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11a ab ab a ++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.23．（112===；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=55==；（2=3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，6，（2）如果n 为正整数，用含n （3）证明：∵n 是正整数，n ．n．故答案为5=25 n；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.24．像2)＝1＝a (a ≥0)、﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)；(2)+；(3)的大小，并说明理由．【答案】（1（2）（3）＜ 【解析】分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可；（3与，，然后比较即可.详解：(1) 原式；（2）原式=2+=2+ （3）根据题意，-==，><，>点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.25．先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．试题解析：(1)=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.26．计算（11)1)⨯； （2）【答案】（12+；（2）. 【解析】分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.详解：（1)11+；＝()31-2 ；（2）原式＝(22⨯,＝＝3⨯＝＝点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．27．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．28．已知长方形的长a =b =. (1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．【答案】（1）2）长方形的周长大. 【解析】试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝∴长方形的周长为 .(2)114.23=⨯⨯=正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.⨯=8.>∴长方形的周长大于正方形的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可． 【详解】A 5=，故A 选项错误；B B 选项错误；C ．++=222，故C 选项错误；D =，正确， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案． 【详解】由2x+有意义，得：20x+>，解得：2x>-．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．3．C解析：C【分析】根据算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法逐项判断即可．【详解】A、164=，此项错误B、164±=±，此项错误C、262628262⨯⨯==，此项正确D、42227833322366333+⨯=+⨯=+，此项错误故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法，掌握二次根式的运算法则是解题关键．4．C解析：C【解析】【分析】利用分母有理化进行计算即可.【详解】由原式得：所以，因为，,所以.故选：C【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.5．D解析：D【分析】 根据题中给的方法分别对633633--+和3232-+进行化简，然后再进行合并即可.【详解】 设633633x =--+，且633633-<+，∴0x <，∴26332(633)(633)633x =---+++，∴212236x =-⨯=，∴6x =-，∵3252632-=-+， ∴原式5266=--536=-，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.6．D解析：D【解析】试题分析：根据同类二次根式，可知2与3不是同类二次根式，因此不能计算，故不正确.根据同类二次根式，可知4333-=3，故不正确；根据二次根式的性质，可知2333⨯=18，故不正确；根据二次根式除法的性质，可知2733333÷=÷=，故正确.故选D.7．C解析：C【解析】依据二次根式有意义的条件即可求得k 的范围．解：若实数a ，b 满足+=3，又有≥0，≥0， 故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则 ﹣3≤-≤0 ②+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k ，即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1．故选C．点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k的不等式组，求出k的取值范围.8．B解析：B【分析】由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A23A错误；B236=，故B正确；C243822==C错误；-=，故D错误；D()233故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．9．D解析：D【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．【详解】123由题意，得7-2a=3，解得a=2，故选D．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．10．B解析：B【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．【详解】解：A3A选项错误；B ==＝3，故B 选项正确；C ==C 选项错误；D ．2(2)2-==，故D 选项错误；故选B ．【点睛】考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．二、填空题11．【分析】根据实数的估算求出a,b ，再代入即可求解.【详解】∵1＜＜2，∴-2＜-＜-1，∴2＜＜3∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，∴==故填：. 【点睛】此题主要考查无理解析：12-【分析】根据实数的估算求出a,b ，再代入1a b -即可求解. 【详解】∵1＜2，∴-2＜＜-1，∴2＜43∴整数部分a=2,小数部分为4，∴1ab -=2222=-=1故填：12-. 【点睛】 此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.12．+1【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 13．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m 、n 的关系式，解方程组求m 、n 的值即可．【详解】设m ＝，n ＝，那么m−n ＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m ＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m n那么m−n＝2①，m2＋n2＝2＋2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．14．3b【分析】先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，∴原式＝|解析：3b【分析】先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，∴原式＝|b|+|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣（a﹣b）+（a+b）＝b﹣a+b+a+b＝3b，故答案为：3b【点睛】=和绝对值的性质是解题的关a键．15．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a＞0+3.=aa+3.【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.16．0【解析】【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解。
(完整版)二次根式培优
二次根式专题一 二次根式(0)a a ≥非负性的综合应用1。
已知实数,a b 满足120a b -+-=，则a b +=_______。
2。
若3245423y x x =-+-+，求(5)x y 的值。
3。
已知220xy y x +--=，求x 与y 的值。
专题二 利用二次根式的性质将代数式化简4。
把()1a b a b---化成最简二次根式正确的结果是（ ） A 。
a b - B.b a - C.b a --D 。
a b --5.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(3)(5)a a -+-化简后为（ ）A 。
2B 。
-8 C.82a - D.22a --6.化简:222(2)(1)(2)x x x +--+-.7.已知2()1a <，化简：22(1)a a -。
二次根式的乘除运算专题一 二次根式的分母有理化1. 阅读下列运算过程：2323333⨯==⨯2525555⨯==⨯. 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简6的结果是（ ） A ．2 B ．6 C 66 2.化简65+，甲、乙两位同学的解法如下：6565(65)(65)-=++-=6—5；乙：5-6565-656565-6561=++=+=+））（（.下列说法正确的是( )A ．甲、乙的解法都正确B ．甲正确，乙不正确C ．甲、乙的解法都不正确D ．乙正确、甲不正确 3.观察下列各式，通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:121+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2—1， 132+=1(32)3232(32)(32)⨯--=-+-=3—2， 同理可得：143+=4-3,… .从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121++132++143++…+120132012+）（20131+）的值．专题二 二次根式乘除中的规律与方法4. 计算：（1)(21)(21)+-=______；(2）(32)(32)+-=______； （3）(23)(23)+-=______；(4)552)=______；根据以上规律,请写出用n （n 为正整数）表示上述规律的式子：___________。
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二次根式培优练习题一．选择题（共14 小题）1．使代数式有意义的自变量 x 的取值范围是（）A． x≥ 3 B． x＞3 且 x≠4 C． x≥ 3 且 x≠4 D．x＞32．若=3﹣a，则 a 与 3 的大小关系是（）A． a＜ 3B． a≤3 C．a＞3 D．a≥33．如果等式（ x+1）0=1 和=2﹣3x 同时成立，那么需要的条件是（）A． x≠﹣ 1 B． x＜且 x≠﹣ 1 C．x≤或 x≠1 D．x≤且 x≠﹣ 14．若 ab＜0，则代数式可化简为（）A． a B．a C．﹣ a D．﹣ a5．已知 xy＜0，则化简后为（）A．B．C．D．6．如果实数 a、b 满足，那么点（ a， b）在（）A．第一象限B．第二象限 C．第二象限或坐标轴上D．第四象限或坐标轴上7．化简二次根式，结果正确的是（）A．B．C．D．8．若 a+ =0 成立，则 a 的取值范围是（）A．a≥0 B．a＞0 C．a≤0 D．a＜ 0 9．如果 ab＞ 0， a+b＜0，那么下面各式：①= ，②× =1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．下列各式中正确的是（）A．B．=±3 C．（﹣）2=4 D．3 ﹣ =2 11．在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A． 2 个 B．3 个 C．4 个 D． 5 个12．若是一个实数，则满足这个条件的 a 的值有（）A． 0 个 B．1 个 C．3 个 D．无数个13．当 a＜0 时，化简的结果是（）A．B．C．D．14 ．下列计算正确的是（） A ．B．C．D．二．填空（共13 小）15．二次根式与的和是一个二次根式，正整数 a 的最小；其和．16．已知 a、b 足=a b+1， ab 的．17．已知 | a 2007|+ =a， a 20072的是．18．如果的是一个整数，且是大于 1 的数，那么足条件的最小的整数a= ．19．已知 mn=5， m +n = ．20．已知 a＜0，那么 | 2a| 可化．21．算：的果．22．若最二次根式与是同二次根式， x= ．．若，x= ；若 2 2， x= ；若（ x 1）2 ，．23 x =（ 3）=16 x=24．化 a 的最后果．25．察分析，探求出律，然后填空：，2，，2 ，，，⋯，（第n 个数）．26．把根号外的因式移到根号内：=27．若 a 是的小数部分， a（a+6）= ．三．解答（共7 小）28．下列解程：= = = = 2；===．回答下列：（1）察上面的解程，直接写出式子=；（2）察上面的解程，直接写出式子=；（3）利用上面所提供的解法，求++++⋯+的．29．一个三角形的三分、、（1）求它的周（要求果化）；（2）你一个适当的x ，使它的周整数，并求出此三角形周的．30．如，数 a、b 在数上的位置，化：．31．先下列的解答程，然后作答：形如的化，只要我找到两个数a、b 使 a+b=m，ab=n，（）2+（）2=m，? = ，那么便有= = ±（ a＞ b）例如：化解：首先把化，里 m=7， n=12；由于 4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，? =，∴===2+由上述例的方法化：（1）；（2）；（3）．．已知x=2 ，求代数式（2+（2+ ）x+ 的．32 7+4 ）x33．数 a、b 在数上的位置如所示，化：| a| ．34．察下列各式：；；⋯，你猜想：（1）=，=．（2）算（写出推程）：（3）你将猜想到的律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来．参考答案一．选择题（共14 小题）1．C；2．B；3．D；4．C；5．B；6．C；7．D；8．C；9．B；10．A；11．B；12．B；13．A；14．D；二．填空题（共13 小题）15．6；﹣；16．±；17．2008；18．1；19．±2；20．﹣3a；21．1；22．0；23．±5；± 3；5 或﹣ 3； 24．﹣ 2；25．2；；26．；27．2；三．解答题（共7 小题）28．﹣；﹣；29．；30．；31．；32．；33．；34．5；6；；。
二次根式12套培优练习题及答案
二次根式练习（03）一、选择题（每小题2分，共30分） 1、25的平方根是（ ）A 、5B 、–5C 、5±D 、5± 2、2)3(-的算术平方根是（ ）A 、9B 、–3C 、3±D 、3 3、下列叙述正确的是（ ）A 、0．4的平方根是2.0±B 、32）（--的立方根不存在 C 、6±是36的算术平方根 D 、–27的立方根是–3 4、下列等式中，错误的是（ ） A 、864±=±B 、1511225121±= C 、62163-=- D 、1.0001.03-=-5、下列各数中，无理数的个数有（ ） 10.1010017231642π--，， ， ，， 0, - A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果x -2有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、2≥xB 、2<xC 、2≤xD 、2>x7、化简1|21|+-的结果是（ ） A 、22-B 、22+C 、2D 、28、下列各式比较大小正确的是（ ） A 、32-<-B 、6655->- C 、14.3-<-π D 、310->-9、用计算器求得333+的结果（保留4个有效数字）是（ ）A 、3．1742B 、3．174C 、3．175D 、3．1743 10、如果mm m m -=-33成立，则实数m 的取值范围是（ ）A 、3≥mB 、0≤mC 、30≤<mD 、30≤≤m 11、计算5155⨯÷，所得结果正确的是（ ）A 、5B 、25C 、1D 、5512、若0<x ，则xx x 2-的结果为（ ）A 、2B 、0C 、0或–2D 、–213、a 、b 为实数，在数轴上的位置如图所示，则2a b a +-的值是（ ） A ．－b B ．b C ．b －2a D ．2a －b 14、下列算式中正确的是( )A 、333n m n m -=-B 、ab b a 835=+C 、1037=+x xD 、52523521=+15、在二次根式：①1281827中，与3是同类二次根式的是（ ）A 、①和③B 、②和③C 、①和④D 、③和④ 二、填空题（每小题2分，共20分）16、–125的立方根是_____． 17、如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________．18、要使53-x 有意义，则x 可以取的最小整数是 ． 19、平方根等于本身的数是________；立方根等于本身的数是_______ 20、x 是实数，且02122=-x ，则.____=x 21、若b a 、是实数，012|1|=++-b a ，则._____22=-b a 22、计算：①____;)32(2=-②._____1964522=-23 2.645=== ．24、计算：._____1882=++25、已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若2=+b a ，则ab ≤1 （2）若3=+b a ，则ab ≤23 （3）若6=+b a ，则ab ≤3根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤________． 三、解答题（共50分） 26、直接写出答案（10分）② ④⑦348- ⑧()225+ ⑨27、计算、化简：（要求有必要的解答过程）（18分） ①8612⨯ ②)7533(3-③32 －321+2④123127+- ⑤(2⑥2363327⨯-+28、探究题（10=____，，=______． 根据计算结果，回答：（1a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算 ①若2x 〈②=_____29、（6分）已知一个正方形边长为3cm ，另一个正方形的面积是它的面积的4倍，求第二个正方形的边长。
二次根式培优训练
二次根式培优训练第I卷（选择题）一、单选题1）A．6 B C．D．【答案】D.=======故选D【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.2．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）．A B C D【答案】C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n （n-1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n （n-1）+n-3＝n 2-3， ∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3故选：C ．【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．第II 卷（非选择题）二、填空题3．若a ，b ，c是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________． 【答案】21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案． 【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123==∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 4．12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，，22111(1)n a n n =+++，其中n 为正2020a +__________．【答案】202020202021【分析】根据题目条件，先求出1a ，2a ，3a ，n a 的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式()11111n n n n =-++进行化简与计算，即可求解．【详解】解：21221131122a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，22221171236a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，2322111313412a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，⋯⋯()()()2221111111n n n a n n n n ⎡⎤++=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，··，3713202020211 (261220202021)⨯+=++++⨯， 1111111?··112233*********=++++++++⨯⨯⨯⨯， 111111120201?··2233420202021⎛⎫=+-+-+-++- ⎪⎝⎭，1202012021=+-， 202020202021=．故答案为202020202021．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出1a ，2a ，3a ，na 的值的规律，再用裂项法求出结果．5．已知y18的值为_____．【答案】【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x ＝8，则y ＝18，然后代入化简后的代数式求值． 【详解】解：由题意得，x ﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x ＝8，则y ＝18， ∵x＞0，y ＞0，∴把x ＝8， y ＝18【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x 、y 的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．6．已知y x +3，当x 分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y 值的总和是_____． 【答案】2023．【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到y ＝|x ﹣2|﹣x +3，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y 值的总和．【详解】解：∵33|2|3y x x x x +=+=--+， ∴当x ＜2时，y ＝2﹣x ﹣x +3＝5﹣2x ， 即当x ＝1时，y ＝5﹣2＝3； 当x ≥2时，y ＝x ﹣2﹣x +3＝1，即当x 分别取2，3，…，2021时，y 的值均为1，综上所述，当x 分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y 值的总和是3+2020×1＝2023，故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．7．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．1==== ……==由此，我们可以解决下面这个问题：1S =+++⋅⋅⋅+，求出S 的整数部分． 解：2111S =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++211<++⋅⋅⋅++1110019=++-=2111S =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++ ∴S 的整数部分是________． 【答案】见解析；18【分析】把各分母中第二个被开方数都加上1，增大分母，减小分数的值，构造大于的不等式，变形确定s 的整数界点值，根据夹逼法确定整数值 【详解】 ∵2111S =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++>⋅⋅⋅+1=；1)18=>；∴18＜S ＜19， ∴S 整数部分为18， 故答案为：>+⋅⋅⋅+；1=；1)18=>；18；【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，不等式的性质，估算的思想，熟练确定S 位于哪两个整数之间是解题的关键．8．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若()0a a ≥不是某个有理数的平方，则方程2x a =在有理数范围内无解；若b 不是某个有理数的立方，则方程3x b =在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________．①93x =在实数范围内有解；②202050x -=在实数范围内的解不止一个；③245x x +=在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的()0a a ≥≥【答案】①②【分析】根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④．【详解】①93x =，则()333x =，即3x =∴93x =，在实数范围内有解，故选项①正确； ②202050x -=，则()210105x =，∴202050x -=在实数范围内的解有两个，故选项②正确； ③245x x +=，整理得：4250x x +-=，配方得：2212124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，开方得：212x +=或212x +=(舍去)，∴212x ==， ∴原方程在在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误； ④当0a =0； 当8a =2>=； 当18a =12<=；故选项④错误；综上，①②正确， 故答案为：①②．【点睛】本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三、解答题91=【答案】2 【分析】.【详解】22212(12+)(10)2x x x +∴⨯∴-+==【点睛】本题考查二次根式的化简求值，注意利用平方差公式和整体带入求得答案.10．有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程。
第十六章 二次根式(培优卷)(解析版)
第十六章二次根式（培优卷）一、单选题1．（2021·山东河东·七年级期末）2021=0的值为（）A．0B．2021C．-1D．1【答案】D【分析】根据二次根式与绝对值的非负性，求出a，b的值，再代入求值，即可．2021=0≥0，2021b+≥0，=0，2021b+=0，∴a=2020，b=-20211=，故选D．【点睛】本题主要考查二次根式求值，掌握二次根式与绝对值的非负性，是解题的关键．2．（2021·福建南安·九年级期中）若x=y=222x xy y++的值为（）．A．2B．2021C．－D．8【答案】B【分析】先计算出x y+的值，再利用完全平方公式对222x xy y++进行分解，整体代入求值即可得出结论．【详解】解：∵x=，y=，∴x y+=．∴2222()22021x xy y x y=++==+．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式计算是解决问题的关键．3．（2021·=.=关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错【答案】B¹¹，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；乙分子因式分解，再与分母约分，故乙的做法是正确的．故选B．¹.4．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“=中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷【答案】B===，=18=，23=，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．5．（2021·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣12，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（）A BCD．2021【答案】A【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数．【详解】解：∵一列实数：﹣12，…，∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根，∵2021÷3＝673…2，∴这一列数中的第2021A．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．6．（2021·山东青州·八年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下列说法：①当输出值y x为5或25；②当输入值为64时，输出值y③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个．【答案】B【分析】根据运算规则以及无理数的定义即可求解．【详解】解：①当输出值y x =5或x =25或625等，故①说法错误；②输入值x 为648y =③对于任意的正无理数y ，都存在正整数x ，使得输入x 后能够输出y ，如输入π2，故③说法错误；④当x =1时，始终输不出y 值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①②③，共3个．故选：B ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义、算术平方根以及二次根式的性质与化简，注意：初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．7．（2021·山东河东·八年级期末）我们把形如b （a ，b型无理数，如12属于无理数的类型为（）．A 型BC 型D 【答案】B【分析】将代数式化简即可判断．【详解】2222=-62=-8=-B【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．8．（2021·浙江滨江·八年级期中）对式子m ，正确的结果是（）AB．C．D【答案】C【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：由题意可得：30m -³，∴0m £∴=故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．9．（2021·全国·九年级专题练习）=x 、y 、z 为有理数．则xyz ＝（ ）A ．34B ．56C ．712D ．1318【答案】A【分析】将已知式子两侧平方后，根据x 、y 、z 的对称性，列出对应等式，进而求出x 、y 、z 的值即可求解．=∴3x y z +=+++x+y+z=3==，,x+y+z=31=23yz=43xz=2xy ìïïïï\íïïïïî()29xyz ,0,0,016x y z \=³³³，∴xyz ＝34，故选择：A ．【点睛】本题考查二次根式的加减法，x 、y 、z 对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键．10．（2021·广西钦州·七年级期末）如图是一张正方形的纸片，下列说法：①若正方形纸片的面积是1，则正方形的长为1；②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，设圆形纸片的周长为C 圆，正方形纸片的周长为C 正，则C 圆＜C 正；③若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，其中正确的是（ ）A ．①②B．①③C ．②③D ．①②③【答案】A【分析】利用算术平方根的概念判断①，由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法，从而判断②，采用方程思想求出长方形的长与宽，从而判断③．【详解】解：∵正方形纸片的面积是1，则AB 2=1，∴正方形的长AB∵一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，∴圆的半径r =，∴圆的周长C 圆为，正方形的周长C 正为C C 圆正1，∴C 圆＜C 正，故②正确；设长方形长为3a ，宽为2a ，由题意可得：3a •2a =12，解得：a （负值已舍去），∴长方形的长为16，又∵＞4，∴若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向不可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，故③错误；故选：A ．【点睛】本题考查算术平方根的应用，实数的大小比较，掌握算术平方根的概念和二次根式的除法运算法=（a ≥0，b ＞0）是解题关键．二、填空题11．（2021·山东青州·八年级期末）已知2x =，则代数式24x ++的值等于 ___．【答案】5【分析】根据完全平方公式把原式变形，吧ax 的值代入计算即可．【详解】解：24x ++=231x +++=(21x +当2x =时，原式=(221+=4+1=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，灵活运用完全平方公式是解题的关键．12．（2021·江西·景德镇一中七年级期中）_______【答案】=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2021·山东商河·八年级期中）计算：）20142）2015＝______．2【分析】由平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．【详解】解：201420152)2)，201420142)2)2)=+，20142)]2)=-，2014(1)2)=-，2=2-．【点睛】本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握平方差公式、以及积的乘方性质进行化简．14．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）==a b =______．【答案】92a =，3b =，代入计算即可．=3=∴2a =，3b = ∴23=9a b =故答案为：9【点睛】本题考查二次根式的加减，根据知识点解题是重点．15．（2021·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：--2-=※________．【答案】1-【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可．【详解】解：2※=2--=2--2--=43--=1-故答案为：1-【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．16．（2021·安徽八年级期中）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为2192cm 的正方形，则原长方形纸片的面积为________2cm ．【答案】18【分析】由题意可求得正方形的边长，从而可求得原长方形的长和宽，故可求得原长方形的面积．【详解】∵正方形纸片的面积为2192cm=，∴原长方形的长为=（cm ），宽为=cm ），∴原长方形纸片的面积为18=（2cm ）．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的运算，关键是由正方形的面积求得正方形的边长．17．（2020·全国·八年级课时练习）已知x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且+．．【分析】把已知的等式变形分解后，得到xy 的值．【详解】∵+，=0）=0，∵1＜x ＜y ＜100【点睛】本题主要考查因式分解和二次根式的加减法，分解因式是解本题的关键．18．（2021·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．【详解】解：（1），，∴＞，，，∴＞，，22(+2(22+2´22+2222a b ab +³225(32=+=+2(=-22(+2(´22181230==++=2´==22+2´´2221+=212=∴=，故答案为：＞，＞，=；（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．三、解答题19．（2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）（1（2）（3（41)【答案】（1）1；（2）2-；（3）4（4）3．【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简，先算乘法，再化简二次根式，去绝对值，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（3）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（4）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，先算乘除，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：（13212=-312122=--+=1；（2）62-2=--=2 --；（3=4=4=；（41)+131=+-21231=+-+-3=．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．20．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）2）2）＝1a（a≥0）、＋1）﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有1﹣1，22+2222a b ab+³次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1（2）计算：3的大小，并说明理由．2）2＋；（3，理由见解析【分析】（1）根据题意可知，题目中思想为利用平方差公式进行二次根式的化简，根据化简方法，进行化简即可；（2）将二次根式的分母进行有理数因式，去除分母中的根号进行计算即可；（3）将代数式化为有理化因式的形式，进行大小的比较．【详解】（1（222＋；（3，，．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练利用有理化因式是解题关键．21．（2021·湖北沙区·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解5的过程．m，与原方程相乘得：×5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，1，与原方程相加得：+5＋1，6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．1．【答案】x＝7【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．m，与原方程相乘得：）×）＝m ，x ﹣3﹣（x ﹣6）＝m ，解之得m ＝3，＝3，与原方程相加得：）+）＝3＋1，4，解之得，x ＝7，经检验，x ＝7是原方程的根．22．（2021·江西）===2=．试求：（1（2n 为正整数）的值．（3）计算：)1L ．【答案】（1（2（3）2020【分析】（1）用平方差公式计算即可；（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式，最后利用平方差公式即可得出答案．【详解】解：解：（1==；（2===（3）原式)11=++L)11=-20211=-2020=．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．23．（2021·四川大邑·八年级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设a +b2(1=a ，b ，m ，n 均为整数），则有a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ，这样小明就找到一种把类似a +（1）若a +，当a ，b ，m ，n 均为整数时，用含m ，n 的式子分别表示a ，b，得：a ＝ ，b ＝ ．（2）若a，当a ，m ，n 均为正整数时，求a 的值．（3．【答案】（1）m 2+7n 2，2mn ；（2）a ＝28或12；（3【分析】（1）仿照例题计算即可得；（2）仿照例题计算即可得；（3）先计算＝7﹣＝， 再计算即可．【详解】解：（1）∵a +，∴a +＝m 2+2n 2（a，b ，m ，n 均为整数），∴a ＝m 2+7n 2，b ＝2mn ，故答案为：m 2+7n 2，2mn ；（2）∵a ，∴a m 2+2n 2（a ，b ，m ，n 均为整数），∴a ＝m 2+3n2，2mn ＝6，∴mn ＝3，①m ＝1，n ＝3，a ＝28，②m ＝3，n＝1，a ＝12，综上所述：a ＝28或12；（3）∵＝4﹣＝7﹣ ＝+3＝，2，∴．【点睛】此题考查二次根式的计算，完全平方公式的计算法则，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．24．（2020·江苏省初二月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1．细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：222(22m m n =+=++2(m =+2(m =+2==2(222(m =+2(m =+2(222==)2＋1＝2，S 1)2＋1＝3，S 2；）２＋1＝4，S 3；…．（1）请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA 10的长；（2）求出的值．【答案】（1）含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA 10；（2）【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA 22、OA 32，OA 42及OA 2、OA 3、OA 4得到OA n 2及OA n 对应的S 值，再计算得到OA 10；（2）由（1）知S 1、S 2、S 3、、S 10，将结果代入代数式计算即可.【解析】（1）∵OA 1，OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，∴OA 22==1+1=2，∴OA 2，，∵OA 32=)2＋1＝3，∴， ∵OA 42==２＋1＝4，∴OA 4=2，，，∴，， ∴OA 102==10，∴OA 10，∴含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律为：，OA 10；（2）由（1）知：，， ，，， ∴==.【点睛】此题考查图形类规律的探究，勾股定理计算线段长度，能依据图形得到线段的计算方法，并总结规律运用解题是关键.25．（2021·北京·八年级单元测试），3，…按下面的方式进行排列：222123210S S S S +++¼+21n +=554n S =L 22112OA A A +111211122S OA A A =××==22223OA A A +3OA =222311122S OA A A =××==22334OA A A +334311122OA A A S =××==L 2221121n n n n OA A A OA n --+===＋111122n n n n S OA A A +=××==21+21n +=n S =1S =2S =3S =L 10S =222123210S S S S +++¼+2222+++¼+554，，那么（1所在的位置应记为；（2）在的位置上的数是，所在的位置应记为；（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为．【答案】（1）；（2）（5，4）；（3）（6，2）【分析】观察这组数字的规律为被开方数为从3开始的3的自然倍数，将30个数按题干方式排列后，依据题意表示即可：（1）（2）每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为5个数，找出规律，位置即可确定；（3）由于最大得有理数为，依据每行有5个数，找出规律，位置即可确定．【详解】解：（1，故答案为：；（2）由题意得，每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为∴（4，1）位置上的数是，每行有5个数，∴5，4），故答案为：（5，4）；（3，它所在的位置记为第6行第2列，∴这组数中最大的有理数所在的位置应记为：（6，2），故答案为：（6，2）．【点睛】题目主要考查二次根式的应用，坐标位置的确定，理解题意，确定被开方数存在的规律是解题的关键．3,M(1,5)(2,3)(4,1)()2,5=9=()2,5()2,572324¸=9=。
二次根式培优练习题.doc
5.己知xy<0,则山弓化简后为（ ）A.B.-xVy C. D.6.如果实数a 、b 满足后兵-北咨，那么点（a ， b)A.第一象限B.第二象限C.第二象限或坐标轴上 7.化简二次根式」二^,结果正确的是（ ）A. &D.第四象限或坐标轴上 B. & C. 右8.若a+J^=O 成立，则a 的取值范围是（ ）A. a 》0 B. a>0 C. aWO D. a<09.如果ab>0, a+bVO,那么下面各式：①13.当aVO 时，化简」芋的结果是（)A ・C.D. -p/b二次根式培优练习题%1. 选择题（共14小题）1. 使代数式还玉有意义的自变量x 的取值范围是（）x-4 A. xN3 B. x>3 且 x 乂4C. xN3 且 xU4D ・ x>3 2. 若Jg_6a+ "=3・a,则a 与3的大小关系是（ ）A. a<3B. aW3C. a>3D. a 》3 3.如果等式（x+1） °=1和7（3X -2） 2=2" 3x同时成立，那么需要的条件是（）A. - 1B. x<—且 xK-lC. x<—或 x/lD.3 34.若ab<0,则代数式可化简为( )A. aVbB. a\/-bC. - aVbD. - aV~b 中正确的是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③10.下列各式中正确的是（ ）A.寸（一7）2二］B.V9=±3 C.（ - 梃）2=4 D. 3^2 - V2=2义、底罕中与、奇是同类二次根式的有（ ）V abA. 2个B. 3个C.4个D.5个12.若是一个实数,则满足这个条件的a 的值有（ ）A. 0个B. 1个C. 3个D.无数个X=1, - b,其11.在二次根式J 克、14 .下列计算正确的是（)A . J(-16)X (-9)二二-4X (-3)二1218.19. 21.如果施的值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数*. 20-己知a<0,那么l"-2a|可化简为计算:3^V3><22.若最简二次根式2奴亦与-折卢是同类二次根式，则后23. 若=5，则 x=；若）<2二（-3）之，则 x=；若（x - 1） 2=16, x=. 24. 化简的最后结果为.25. 观察分析，探求出规律，然后填空：血,2,2匝,而，，…， （第n 个数）.26.把根号外的因式移到根号内：（z ）JX=-后V l~a27.若a 是的小数部分，则a （a+6） =.三.解答题（共7小题）28.阅读下列解题过程:_I_=_*（抵*）__=_（蚯-也）_=扼《=诉-2- V5+V4 （膜 + 折）（鹏 M ） ，1 _ IX ( &)V~6 +V5(V6 +V~5)(V6 ~V5)（V6）2-（V5）2=76^5.请回答下列问题:(1)(2)观察上面的解题过程，请直接写出式子亍、二V7+V6 _ 观察上面的解题过程，请直接写出式子=；V n+V n-1(3) —1—+ __ ± __ + __ k _ + _ ± _ + + __ ± __ 的值.V2+1 V3+V2 V4+V3 V5+V4V100+V99利用上面所提供的解法，请求1 X 1 X 1 X X 1B ・ 78a 4b 2=4a 2b c - V^+5^8+5= 13 D - 7252-242=7(25+24)(25-24)=749=7 %1. 填空题（共13小题）15. 二次根式-3/云与J 疝的和是一个二次根式，则正整数a 的最小值为；其和 为・ 16. 巳知 a 、b 满足寸(2-&) 2二&+3,且\/a-b+l =a 一 b+1,则 ab 的值为 17. 已矢口 | a - 20071 +Va-2008=a,则 a - 20072 的值是 己知mn=5,二的结果为V329.一个三角形的三边长分别为建、奇声、言脂（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.30.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：后」^项（壶）2.a b_j ------ _i——e-J -------- 1_►-2 -1 0 1 231.先阅读下列的解答过程，然后作答：形如唇疝的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m, ab=n,这样（仲24- <Vb）2=m, 揭•展二Vii，那么便有2\^=V （Va ± Vb）2=Va±Vb（a>b）例如：化简寸7+4必解：首先把J7+4必化为顼7+2/丘,这里m=7, n=12；由于4+3=7, 4X3=12,即（V4）2+ （如）2=7, V4*V3=V12，二顼7+4扼二寸7+2顶12=/ （折+扼）2=2+扼由上述例题的方法化简：（1）713-2V42；（2）J7-J如；（3 ） V 2^/3，32.己知x=2-如，求代数式（7+4扼）X2+ （2+如）x+如的值.33.实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：沽|-府-后・1 1 « > a 0 b请你猜想:（2）计算（请写出推导过程）:法、《）口异k 1<月7山刃上寸以q王/：V ]3+（3）请你将猜想到的规律用含有自然数n （n^l）的代数式表达出来参考答案%1.选择题（共14小题）1. C；2. B；3. D；4. C；5. B；6. C；7. D；8. C；9. B； 10. A； 11. B； 12. B； 13. A；14.D；%1.填空题（共13小题）15.6； - V3x； 16. ±【；17. 2008； 18. 1； 19. ±2^5； 20. - 3a； 21. 1； 22. 0； 23. ±— A 一5； ±3； 5 或-3； 24.二1V7京；25. 2^3;底;26.； 27. 2；%1.解答题（共7小题）28. W - V6; Vn - Vn-1; 29.；。
二次根式培优
1、.设a为的小数部分，b为的小数部分.则的值为().A．+-1B．-+1C．--1 D．++12、已知，且a>b>0，则的值为()A．B．±C．2D．±23、设，，，则a，b，c之间的大小关系是（）A．B．C．D．4、化简的结果为（）A．B．30C．D．305、已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．3D．96、把根号外的因式移到根号内，得（）A．B．C．D．7、已知：是整数，则满足条件的最小正整数为() A．2B．3C．4D．58、把根号外的因式移入根号内的结果是A．B．C．D．9、已知是正整数，则满足条件的最大负整数m为（）A．-10B．-40C．-90D．-16010、下列计算不正确的是（）A．B．C．D．11、下列运算正确的是（）A．+=B．3﹣2=1C．2+=2D．a﹣b=（a﹣b）12、化简的结果为（）A．B．30C．D．3013、下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）；（3）的平方根是2；（4）；（5），其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个14、已知x1＝＋，x2＝－，则x₁²＋x₂²等于() A．8B．9C．10D．1115、下列各式中，不正确的是（）A．B．C．D．16、若有意义，那么直角坐标系系中点A在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限17、如果（x﹣）（y﹣）=2008，求3x2﹣2y2+3x ﹣3y﹣2007=________．18、若m=，则=_____．19、已知a，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有____对．20、能力拓展：；；；________．…：________．请观察，，的规律，按照规律完成填空．比较大小和∵________∴________∴________同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________21、化简___________．22、化简a后的结果是_______．23、若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________24、计算=________________ .25、对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72[]="8"[]="2"[]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．26、已知：x=，则可用含x的有理系数三次多项式来表示为：=_____．27、已知a、b分别为6－的整数部分和小数部分，那么2a－b＝_________28、已知，则________．29、如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．30、已知整数，满足，则__________．31、已知实数、、满足等式，则__________．32、计算：=_____________。
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《二次根式》复习
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一、 二次根式的有关概念
1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0.
2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式.
例:二次根式b a x x ++22,40,2,30,12,2
1中,是最简二次根式的有____________________ ________.
下列各式中是最简二次根式的是 ( )
(A )a 18 (B )2
x (C )22n m + (D )y x 23 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
例:下面与2是同类二次根式的是 ( )
(A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( )
(A )a 2 (B )23a (C )a
1 (D )4a 二、 二次根式的性质
1. 非负性：二次根式a 中被开方数a ≥0，且a ≥0.
2. ()=2a (a ≥0).
3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算
1. 乘法公式: =⋅b a (a ≥0,b ≥0).
2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0).
(a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: ==÷b a
b a (a ≥0,b ﹥0).
4. 商的算术平方根: =b
a (a ≥0,
b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并.
四、 典例研习
【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义?
；
.
【变式探究】
1.1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 .
2.使式子x -4无意义的x 的取值是 .
3.使式子有意义的x 的取值范围是 .
4.能使式子x
x -+-41
2有意义的x 的取值范围是 . 5.若
()0312=++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2
11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3
【例2】若a <1,化简()112--a 等于 ( )
(A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a -
【变式探究】
7.计算:()=+-3232 =+3 .
8.已知a <b ,化简二次根式b a 3-正确的结果是 ( )
(A )ab a -- (B )ab a - (C )ab a (D )ab a -
9.若()0222
=-+-a a ,则a 的取值范围为_____________________. 10.实数c b a ,,在数轴上的点如图所示, 化简()()=---++222c b c b a a _____________.
12)1(+x 1
1)2(-x
11.若,03442
=-++-b a a 则=b a 2
_____________. 【例3】计算(1)12183127--
； (2)⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1223246132.
【变式探究】 12.下列计算中:①632=⨯,②2
221
=,③12223=-,④27714=⨯, ⑤552332=+,⑥32560=÷,⑦a a a 8259=+
,⑧39±=,正确的是_____________________________________.(填写序号即可)
13.计算=⋅a a 82 (a ≥0).
14.化简: (1)312- (2) (3)()3515+÷ (4)
(5)29328+- (6)28182122--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⨯
15.计算:
(1)
12233
-+ (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷1213115 (3)27124148÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+
2818-m m 1-
【综合训练】
1. 实数c b a ,,在数轴上的点如图所示, 化简()=---222b a b a _____________.
2.如图所示,数轴上表示2、5的对应点分别是C 、B ,
点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是 （ ） (A )5- (B )52- (C )54- (D )25- 3.已知6的整数部分为a ,小数部分为b ,则代数式的 值为____________. 4.如果123+-=+a a a a 那么实数a 的取值范围是 ( )
(A )1-<a (B )0>a (C )0≤a ≤1 (D )1-≤a ≤0 6.已知
,求 的值.
5.化简:
(1)()2
2244x x x -++- (2)2510322+-+++-x x x x (其中2-≤x ≤2)
6.设c b a ,,是△ABC 三边的长,化简
()()22c a b c b a --+++的结果.
2222b
ab ab a ++321+=a a a a a a a a -+---+-22212121。