数学二次根式的专项培优练习题(附解析
【八下】二次根式的混合运算【专题培优卷】(含答案)
二次根式的混合运算专题培优姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（海珠区校级期中）计算：（1）（√3+1）（√3−1）；（2）√18−√2√82+（√5−1）0．2．（南岗区期末）计算：（1）√18−√32+√2；（2）(5√3+2√5)2．3．（肃州区期末）计算（1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）（2）（√6−2√15）×√3−6√1 2．4．（绿园区期末）计算：5√15+√20−√40÷√85．（绿园区期末）计算：（√24−√6）÷√3+√1 2．6．（浦东新区期末）计算：√3（√6+2）√3−1．7．（太原期末）计算：（1）√18−√50+3√1 2．（2）(√5+1)(3−√5)−√20．8．（九龙县期末）计算．（1）（√2+√3）（√2−√3）；（2）（√6−2√15）×√3−6√12+2√12．9．（荔湾区月考）计算：（1）√12+√27−√3×√16；（2）（12√24−3√8）÷√2．10．（郫都区期末）计算：（1）√6÷√2+√24×√12；（2）(2−√3)2+(2+√3)(2−√3)．11．（叶县期中）计算：（1）√163−√13+√27−√12；（2）√27−|−2√3|−√3×(2−π)0+(−1)2020；（3）(√48−√27)÷√3+√6×2√13；（4）(3+√2)2−(2−√3)(2+√3)．12．（浦东新区月考）计算：√3×（√3−√6）+√8÷2√2．13．（金牛区校级月考）计算：（1）√8+|1−√2|+（12）﹣1﹣20200；（2）√27×√23−（√2−1）2．14．（渝中区校级月考）计算：（1）√3+√8−√2−√12；（2）﹣22+（13）﹣2+（π−√5）0+√−1253；（3）6√45÷（﹣3√15）×（−32√23）；（4）√12×√2√3−√3−√6√3+√√2 15．（双流区校级月考）计算： （1）2√18−√50+12√32； （2）（√5+√6）（√5−√6）﹣（√5−1）2．16．（莱芜区月考）计算 （1）√8+2√3−（√27−√2）；（2）√23÷√223×√25；（3）√12+√27√3−（√3+√2）（√3−√2）．17．（雁塔区校级月考）计算题（1）（1−√2+√3）（1−√2−√3）；（2）3√8+2√32−√50；（3）（π﹣3）0+（12）﹣1﹣|1−√3|−√3+√12；（4）3√40−√25−2√110．18．（青羊区校级月考）计算．（1）√2−√8+√18．（2）√2×√6−√15√5（√3−1）0．（3）√24÷√3−4√12+√(−2)2．（4）（√5−2）2+（15）﹣1﹣（√5）2．19．（沙坪坝区校级月考）计算：（1）﹣12020+3（π﹣3.14）0﹣（13）﹣2+|﹣3|；（2）√2×√6−2√24÷√3+（1−√3）2−√16；（3）√932−12√8+√(3√2−20)2；（4）（4√2+√18）÷√2+（2√2+√3）（2√2−√3）．20．（武侯区校级月考）计算：（1）√18÷√23×√43．（2）√48÷√3−√12×√12+√24．（3）（1+√5）（1−√5）+（1+√5）2．（4）√12+|√3−2|+（π﹣3.14）0√3−1．二次根式的混合运算专题培优姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（海珠区校级期中）计算：（1）（√3+1）（√3−1）；（2）√18−√2√82+（√5−1）0．【分析】（1）利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，再利用零指数幂的意义计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解析】（1）原式＝（√3）2﹣12＝3﹣1＝2；（2）原式＝3√2−√2−2√22+1＝3√2−√2−√2+1=√2+1．2．（南岗区期末）计算：（1）√18−√32+√2；（2）(5√3+2√5)2．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解析】（1）√18−√32+√2=3√2−4√2+√2=0（2）(5√3+2√5)2=(5√3)2+2×5√3×2√5+(2√5)2=75+20√15+20=95+20√153．（肃州区期末）计算（1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）（2）（√6−2√15）×√3−6√1 2．【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解析】（1）原式＝12﹣4√3+1+3﹣4＝12﹣4√3（2）原式=√6×3−2√15×3−3√2＝3√2−6√5−3√2＝﹣6√5．4．（绿园区期末）计算：5√15+√20−√40÷√8【分析】先进行二次根式的除法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解析】原式=√5+2√5−√40÷8=√5+2√5−√5＝2√5．5．（绿园区期末）计算：（√24−√6）÷√3+√1 2．【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．【解析】原式=√24÷3−√6÷3+√2 2＝2√2−√2+√2 2=3√22．6．（浦东新区期末）计算：√3（√6+2）4√3−1．【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案．【解析】原式＝3√2+2√3−2√3−2＝3√2−2．7．（太原期末）计算：（1）√18−√50+3√1 2．（2）(√5+1)(3−√5)−√20．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用多项式乘多项式展开，然后合并即可．【解析】（1）原式＝3√2−5√2+3√22=−√22；（2）原式＝3√5−5+3−√5−2√5＝﹣2．8．（九龙县期末）计算．（1）（√2+√3）（√2−√3）；（2）（√6−2√15）×√3−6√12+2√12．【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解析】（1）原式＝2﹣3＝﹣1．（2）原式＝3√2−6√5−3√2+6√2＝6√2−6√5．9．（荔湾区月考）计算：（1）√12+√27−√3×√16；（2）（12√24−3√8）÷√2．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的除法法则运算．【解析】（1）原式＝2√3+3√3−4√3=√3；（2）原式＝（12√24−3√8）×1√2=12√242−3√82=√3−6．10．（郫都区期末）计算：（1）√6÷√2+√24×√12；（2）(2−√3)2+(2+√3)(2−√3) （2）原式＝4﹣4√3+3+4﹣3＝8﹣4√3．11．（叶县期中）计算：（1）√163−√13+√27−√12；（2）√27−|−2√3|−√3×(2−π)0+(−1)2020；（3）(√48−√27)÷√3+√6×2√13；（4）(3+√2)2−(2−√3)(2+√3)．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用绝对值、零指数幂、乘方的定义进行计算；（3）利用二次根式的乘除法法则计算；（4）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解析】（1）原式=4√33−√33+3√3−2√3＝2√3；（2）原式＝3√3−2√3−√3×1+1＝1；（3）原式=√48÷3−√27÷3−2√6×13＝4﹣3+2√2＝1+2√2；（4）原式＝9+6√2+2﹣（4﹣3）＝11+6√2−1＝10+6√2．12．（浦东新区月考）计算：√3×（√3−√6）+√8÷2√2．【分析】根据二次根式的乘除法则运算．【解析】原式=√3×3−√3×6+12√8÷2＝3﹣3√2+1＝4﹣3√2．13．（金牛区校级月考）计算：（1）√8+|1−√2|+（12）﹣1﹣20200；（2）√27×√23−（√2−1）2．【分析】（1）先利用绝对值、负整数指数幂、零指数幂的意义计算，然后√8化简后合并即可；（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．【解析】（1）原式＝2√2+√2−1+2﹣1＝3√2；（2）原式=√27×23−（2﹣2√2+1）＝3√2−3+2√2＝5√2−3．14．（渝中区校级月考）计算：（1）√3+√8−√2−√12；（2）﹣22+（13）﹣2+（π−√5）0+√−1253；（3）6√45÷（﹣3√15）×（−32√23）；（4）√12×√2√3−√3−√6√3+√√2【分析】（1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）依据立方根、负整数指数幂以及零指数幂进行计算即可；（3）先将系数和被开方数分别相乘，再化简计算即可； （4）先分母有理化，再合并同类二次根式的即可． 【解析】（1）√3+√8−√2−√12=√3+2√2−√2−2√3=√2−√3；（2）﹣22+（13）﹣2+（π−√5）0+√−1253＝﹣4+9+1+（﹣5）＝5+1﹣5＝1；（3）6√45÷（﹣3√15）×（−32√23）＝[6÷（﹣3）×（−32）]√45÷15×23＝3√2；（4）√12×√2√3−√3−√6√3+√√2=√3×2√2√3√3(1−√2)√3+|1−√2|＝2√2−（1−√2）+（﹣1+√2） ＝2√2−1+√2−1+√2＝4√2−2． 15．（双流区校级月考）计算： （1）2√18−√50+12√32； （2）（√5+√6）（√5−√6）﹣（√5−1）2．【分析】（1）先化为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案．（2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．【解析】（1）原式＝6√2−5√2+2√2＝3√2．（2）原式＝5﹣6﹣（5﹣2√5+1）＝﹣1﹣（6﹣2√5）＝﹣1﹣6+2√5＝﹣7+2√5．16．（莱芜区月考）计算 （1）√8+2√3−（√27−√2）；（2）√23÷√223×√25；（3）√12+√27√3−（√3+√2）（√3−√2）．【分析】（1）先化为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案．（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．（3）根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解析】（1）原式＝2√2+2√3−3√3+√2＝3√2−√3．（2）原式=√23÷83×25=√110=√1010．（3）原式=√4+√9−（3﹣2）＝2+3﹣3+2＝4．17．（雁塔区校级月考）计算题（1）（1−√2+√3）（1−√2−√3）；（2）3√8+2√32−√50；（3）（π﹣3）0+（12）﹣1﹣|1−√3|−√3+√12；（4）3√40−√25−2√110．【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案．（2）先化为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案．（3）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，以及实数的运算法则即可求出答案．（4）先化为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解析】（1）原式＝[（1−√2）+√3][（1−√2）−√3]＝（1−√2）2﹣3＝1﹣2√2+2﹣3＝﹣2√2．（2）原式＝6√2+8√2−5√2＝9√2．（3）原式＝1+2﹣（√3−1）−√3+2√3＝3−√3+1−√3+2√3＝4．（4）原式＝6√10−√105−2√1010=285√10．18．（青羊区校级月考）计算．（1）√2−√8+√18．（2）√2×√6−√15√5（√3−1）0．（3）√24÷√3−4√12+√(−2)2．（4）（√5−2）2+（15）﹣1﹣（√5）2．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先根据二次根式的乘除法则和零指数幂的意义计算，然后化简后合并即可；（3）先利用二次根式的除法法则和二次根式的性质计算，然后化简后合并即可；（4）利用完全平方公式、负整数指数幂和二次根式的性质计算．【解析】（1）原式=√2−2√2+3√2 ＝2√2；（2）原式=√2×6−√155+1 ＝2√3−√3+1=√3+1；（3）原式=√24÷3−2√2+2 ＝2√2−2√2+2＝2；（4）原式＝5﹣4√5+4+5﹣5＝9﹣4√5．19．（沙坪坝区校级月考）计算：（1）﹣12020+3（π﹣3.14）0﹣（13）﹣2+|﹣3|；（2）√2×√6−2√24÷√3+（1−√3）2−√16；（3）√932−12√8+√(3√2−20)2；（4）（4√2+√18）÷√2+（2√2+√3）（2√2−√3）．【分析】（1）根据乘方、零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算；（2）先根据二次根式的乘除法则和完全平方公式计算；（3）先利用二次根式的性质计算，然后化简后合并即可；（4）根据二次根式的除法法则和平方差公式计算．【解析】（1）原式＝﹣1+3×1﹣9+3＝﹣1+3﹣9+3＝﹣4；（2）原式=√2×6−2√24÷3+1﹣2√3+3﹣4＝2√3−4√2+1﹣2√3+3﹣4＝﹣4√2；（3）原式=3√28−√2+20﹣3√2＝20−29√2 8；（4）原式＝4+3+8﹣3＝12．20．（武侯区校级月考）计算：（1）√18÷√23×√43．（2）√48÷√3−√12×√12+√24．（3）（1+√5）（1−√5）+（1+√5）2．（4）√12+|√3−2|+（π﹣3.14）0√3−1．【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；（2）利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；（3）利用平方差公式和完全平方公式计算；（4）先根据绝对值、零指数幂的意义进行计算，然后分母有理化后合并即可．【解析】（1）原式=√18×32×43＝6；（2）原式=√48÷3−√12×12+2√6＝4−√6+2√6＝4+√6；（3）原式＝1﹣5+1+2√5+5＝2+2√5；（4）原式＝2√3+2−√3+1﹣（√3+1）＝2√3+2−√3+1−√3−1＝2．。
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试4. . ab 、1 . a 3b'次根式•…（3 xF b简二次根式后再判断.［答案】".= _.［答案】—2a Ji .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性12a 3质的运用.8 . a — .. a 2 -1 的有理化因式是(a 2 —1) . a + Ja —1 .【答案】a +9 .当 1<x < 4 时，|x — 4|+ ; X 2 —2X 1 【提示】x 2— 2x + 1=( ) 2，x — 1 .当 x — 4是负数，x — 1是正数.【答案】3 . .【提示】(a — fa 2—1 )( a 2 -1 ._________ AAA【答案】< .【点评】先比较.28，■. 48的大小，再比较， 的大小，最后比较—V28 J48J281与 ------- 的大小.4813.化简：(7 —2 ) 2000 • — 7 — 5、2 ) 2001= ___________ .［提示】(—7 — 5 恋 2)2°01= ( — 7— 5j2)2°°°( _____________ ) ［ — 7 — 5应.］(7 —5 2 ) •(— 7— 5、2 )=? ［1.］［答案】—7— 5 2 .［点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式.14•若.x 1 + , y 一3 = 0,则(x — 1)2 + (y + 3)2 = ________________ •［答案】40. ［点评】、兴 1 > o, . y — 3 > 0.当.x 1 + y — 3 = 0 时，x +1 = 0, y — 3 = 0.1 < x v 4时，x — 4, x — 1是正数还是负数?（一）判断题: （每小题1分，共5 分） 1. .(-2) ab = — 2Jab . 2. )【提示】 (-2)2 =| — 2|= 2.【答案】X .= 73 + 2 =.3-2 3 - 4.(x-1)2 = ("-1)2.-( )【提示】(x-1)2 = x — 1|，.3 — 2的倒数是.、3 + 2 .（ ）【提示】 (y ［3 + 2).【答案】X.3. 式相等，必须x > 1•但等式左边x 可取任何数.【答案】X. (• x -1)2 =x — 1 (x > 1).两5 . 8x ，、.. 3， （二）填空题：（每小题 9 x 2都不是最简二次根式.（） 9 x 2是最简二次根式.【答案】x.6.当x 不等于零. 2分，共20分）时，式子——1 有意义.【提示】•、x 何时有意义？ x > 0.分式何时有意义？分母 Vx -3【答案】x > 0且X K 9 .J2 (x —1 )= X + 1的解是 ______________ .【提示】把方程整理成 ax = b 的形式后，a 、b 分别 ,2 -1， :. 2 1.［答案】x = 3+ 22 .ab -c 2d 2a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 -----------------J0E&c 2d 2_【答案】I ab + cd .［点评】T ab = ( , ab)2 (ab >0)，二 ab — c 2d 2= (、. ab cd ) ( , ab - cd ).——尸.［提示】2空7 = J 28，4^3 = v 48 .4”310•方程 是多少？ 11.已知112.比较大小：— -------2J7.【提示】c2d 2 = |cd|=— cd .）【提示】 —v a 3b 、— — f a化成最3 x '\ b7•化简一)=a 215. _________________________________________________________________ x , y 分别为8— •. 11的整数部分和小数部分，则 2xy — y 2= _______________________________________ -【提示】； 3v V 4,二 ___________ V 8—卯 V ____________ . ［4, 5］.由于8—介于4与5之间，则其整数部分 x =?小数部分y =? ［x = 4, y = 4—、. 11 ］【答案】5.【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算•在明确了二次根式的取值范围 后，其整数部分和小数部分就不难确定了.（三）选择题：（每小题3分，共15分）3216. 已知 x 3x =— x . x 3，则 ..................... （）（A ） x <0 （B ） x < — 3 （ C ） x >— 3 （ D ）— 3< x < 0【答案】D . 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件， （A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平 方根的意义.仃.若 x v y v 0,贝寸.x 2_2xy y 2+x 2 2xy - y 2= ................. ( )(A ) 2x ( B ) 2y ( C )— 2x( D )— 2y【提示】T x v y v 0,「. x — y v 0, x + y v 0.'一 x2-2xy y 2 = . (x -y)2 = |x — y|=y —x .x 2 2xy y 2 = . （x y ）2 = |x + y|= — x —y .［答案】C .【点评】本题考查二次根式的性质 ..a 2 =|a|.1 1 ••• x +>0, x — v 0 .［答案】D .xx 【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质. （A ）不正确是因为用性质时没有注意当0v x v 1时,1 x — v 0.x:3a19•化简(a v 0)得 ................................................ ()a(A ). - a( B ) —、.a( C )— ：, - a( D )■■. a［提示】 -a 3 =-a a 2 =V — a • a 2 = |a| U — a = — a 、； 一 a .［答案】C .20. ........................................................................................................................................... 当 a v 0, b v 0 时，一a + 2 ab — b 可变形为 ............................................................ ()—2［答案】C .［点评】本题考查逆向运用公式 （Ja ） = a （a > 0）和完全平方公式.注意（A ）、（B ）不 正确是因为a v 0, b v 0时，..a 、b 都没有意义.（四） 在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21.9x 2— 5y 2;［提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2= （ . 5y ）2 .［答案】（3x + ■■ 5 y ） （3x —-.5y ）._x )2422(A )(B )-(C )— 2x(D ) 2xx x【提示】（x1 2——)2+ 4 = (x +丄)2,1 2(x +)2 — 4= (x 丄）2.又Tx xx x0v x v 1,(A )(：.a ■ ： br (B ) — (：：：a - i br 【提示】T a v 0, b v 0,— a > 0, — b >0.并且—a = (•一 ~ a) (C ) (.-a . -b)2 (D ) C - a -.-b)2—b = C 、- b)2, .. ab = ：a)(~b).-4等于 ..................18 .若 O v x v 1则22. 4x4—4x2+ 1 .［提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解. ［答案】（,2 x+ 1）2（2 x—1）2. （五）计算题：（每小题6分，共24分）23. （5 - 3 ■ 2 ）（ ■■- 5 —73 - ' 2 ）；［提示】将•.一5 - .3看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式.【解】原式=(..,5 _ .、3)2— ( .、2)2= 5— 2、、15 + 3— 2 = 6— 2、. 15 .5 4 224. ________ — __________ —;【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式. 4 - . 11. 11 -「73、75(4⑴—4( 117)—2(3「7)= 4「11「11 「7 — 3 + 7 = 1.【解】原式=16—1111-125. (a 2n ab —— mn m m9-7n m 2 2 n + ― a b 、j — m b nV m【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式.【解】原式=2 n ab —— n ma— —mn +.— m mm n mab26.( a +=丄 1 =J b - ab ) ab1+ ----2^2a bm ■ mnna 2 -ab 1b 2ab b . ab - aa b —、ab )(a z b ).【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分.【解】原式=a+Jab +b-了乔 亠 a 扁(掐-裕)-bJb(Ua + Vb) - (a + b)(a- b) va +屈2亠a,ab(、. a 、b)(. a -、b)- a ab - b ab - b 2 - a 2 b 2 .ab(、. a " b)(. a - i. b)J ab(.. a - b)C. a -： b)-.ab(a b)【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐. (六)求值：(每小题7分，共14分) ■-■■3 - < 2 七 y= 3-2，求 3x -xy 3 2 【提示】先将已知条件化简， 3 2【解】丁 x= ---------------占-、，;2「2 (，- ..2)2= 5-2*6 . 27.已知x4, 3 2 23 的值.x y 2x y x y再将分式化简最后将已知条件代入求值.y = .3 .2x + y = 10，x — y = 4 6， xy =5 2— (^.. 6 ) 2= 1.3 2x _xy x(x y)(x- y)4、6 x 4y+2x 3y 2+x 2y 3 x 2y(x + y)2xy(x + y) 1X 10【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x + y ”、“x —y ”、程更简捷.二〈6 .5 “xy ”.从而使求值的过28.当 x = 1 —— x■■- 2 时，求 -------------------- +2 4 2 I 2 4 2 x a 一 x 、x a2x -； x 2 a 2 ------------------------------------------------------2 2 2 x 一 x • x a1------- 的值.2 . 2x a【提示】注意:x 2+ a 2 — xx 2 + a 2= C- x 2a 2 )2，J x 2 +a 2 = J x 2 +a 2(J x 2 +a 2 — x )，x 2-x *；x 2+a 2 = —x ( J x 2 + a 2 — x ).原式=21=屁•【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求岀y 的值.2 2【解】原式= ____________________________ __ _2x …x . a_ + ______ 1_ A /X 2+a 2 (Jx 2+a 2 _x) x(Jx 2 +a 2 _x) w'x 2+a 2 x 2_ x 2 a 2 (2x _ . x 2 a 2) x( . x 2 a 2 - x) x . x 2 a 2 C x 2 a 2"x)2 - a 2 ■ ( ,x 2 a 2 )2 x . x 2 a 2-x =(x 2-.-a 2)2 —x x^.-a 2 = x 2C x ' a -'X )xjx 2 +a 2 (Jx 2 十 a 2 -x)x 2 —2x x x J x 2 +a 2 (Jx 2 +a 2 _x) x = 1- 2时，原式=一1=- 1- . 2 •【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分1 -V2 1 .当 x式”之差, 那么化简会更简便•即原式= •、x 2vx 2 +a 七、解答题：(每小题8分，共16分) — 1 29 •计算(2 5 + 1) ( ---------- +1+V2 x x 2 a 2( i x 2 a 2 _x) 1 1 2 a -x x. x 2 a 2 J 2 + J 3【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算. — ，2 — 1 【解】原式=(2 ,5 + 1)( 2x —：：x 2 -a 2 +x(・ x 亠a —x)1 .x2 a 2V99、 2 -1 3-2 4 -3 100 -99 )[(-1)+( V3 - J2) +(- J3) +…+( J100 )]=(2 “七 + 1 =(2 ,5 + 1) ( .100 -1) =9 (2 •：”； 5 + 1).【点评】本题第二个括号内有 99个不同分母，不可能通分•这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消•这种方法也叫做裂项相消法. 30.若 x ，y 为实数，且 y = .. 1- 4x + 4x -1 + — •求2【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件?14^0］你能求出x ，y 的值吗? 4X — 1 -0.13]1 2.【解】要使y 有意义，必须［ 1 一 4x -4x -1 一 0又；x2 y - x _2 ■ yy x y x原式=X . y - J y Y x 耳xJ4x 一丄4 x = 1 .当 x41时, 1 y =2yy1 x =—4/ x -y 1 y =，-22 .x 当■ yx=— 4y = x<y 1时，2。
二次根式培优试卷
第一章二次根式好题精选一．选择题1．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8 B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7 D．＝2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确3．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．4．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a5．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥36．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．7．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x8．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间9．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠010．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．二．填空题（共10小题） 11．已知：x ＝，计算x 2﹣x +1的值是 ．12．化简：()()23352325-+-+的结果为____________________13．在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，如果这个正方形的面积为m ，△ABE 的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE 的长用含m 的代数式表示为 ． 14．化简：2＜x ＜4时，﹣＝ ．15．已知a ，b 均为正整数，如果0＜﹣b ＜1，我们称b 是的“主要值”，那么的主要值是 ．三．解答题（共15小题） 16．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）217．．18．先化简，再求值 （1）（﹣），其中a ＝17﹣12，b ＝3+2（2）（a +）（a ﹣）﹣（﹣a ）2，其中a ＝2﹣1．（3）+，其中x＝19．观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）20．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．21．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．22．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值23．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列计算正确的是（）A．＝±4 B．2×32＝62＝36C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝﹣5 D．﹣2×+2×（3+）+4＝10【分析】根据实数与二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【解答】解：A．＝4，此选项错误；B．2×32＝2×9＝18，此选项错误；C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝×（﹣）＝﹣，此选项错误；D．﹣2×+2×（3+）+4＝﹣2+6+2+4＝10，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分．【解答】解：甲的解法：＝＝﹣，利用平方差公式进行分母有理化，正确；乙的解法：＝＝﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确；故选：C．【点评】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，分母有理化是指把分母中的根号化去．3．下列计算正确的是（）A．＝±15 B．＝﹣3 C．＝D．＝【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝15，故此选项错误；B、＝3，故此选项错误；C、＝，故此选项错误；D、＝，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．【分析】先根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式﹣a3≥0，再根据公式＝|a|及有理数的乘法法则得出a、b的取值范围，然后化简即可．【解答】解：由题意，得﹣a3≥0，又∵＝b2≥0，b为任意数，∴﹣a3≥0，∴a≤0，∴＝＝•＝．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的性质及二次根式的化简．用到的知识点有：①二次根式的被开方数是非负数；②两个公式：＝（a≥0，b≥0），＝|a|．5．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7D．＝【分析】根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．【解答】解：A．、没有意义，此选项错误；B．＝2a（a＞0），此选项错误；C．＝＝5，此选项错误；D．＝，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是二次根式的定义和性质．6．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a＝0时，＝0．绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1…f（）+f（）＝1，所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．故选：A．【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．8．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3【分析】等式左边为算术平方根，其结果3﹣a应该为非负数．【解答】解：∵＝3﹣a∴3﹣a≥0∴a≤3故选：B．【点评】注意：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键．9．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得，a＝3，b＝2，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．10．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．11．的整数部分是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于＝﹣1，＝﹣，…，＝﹣+，于是可得原式＝﹣1+﹣+…﹣+，计算即可．【解答】解：∵＝﹣1，＝﹣…＝﹣+，∴原式＝﹣1+﹣+…﹣+＝﹣1+10＝9．【点评】本题考查了二次根式的加减法．解题的关键是对每一个分式分母有理化．12．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先化成最简二次根式，再合并，最后求出的范围即可．【解答】解：+＝+＝2＝，∵2＜＜3，∴代数式+的运算结果在2到3之间，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数大小的应用，主要考查学生的计算能力．13．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．【解答】解：∵＝10，x，y为正整数，∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：+3＝+9＝4+6＝7+3＝10．∴，，，共有三组解．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．14．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠0【分析】先判断结果的情况，再判断ab积的情况．【解答】解：∵＝≥0又∵＝﹣，∴﹣≥0∴ab≤0且b≠0故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题需着眼于整体．本题易忽略b≠0而出错．15．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．【分析】求出S1，S2，S3，…的值，代入后根据二次根式的性质求出每一部分的值，再求出最后结果即可．【解答】解：∵S1＝1，S2＝1+3＝4，S3＝1+3+5＝9，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），∴S＝++••+，＝+++…+＝1+2+3+…+n＝，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：1+2+3+…n＝．二．填空题（共10小题）16．计算（）＝．【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可得．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝×＝，故答案为：【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．17．如果（a，b为有理数），则a＝6，b＝4．【分析】先计算出（2+）2，再根据可得答案．【解答】解：∵（2+）2＝4+4+2＝6+4，∴a＝6、b＝4．故答案为：6、4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．18．计算：（3+1）（3﹣1）＝17．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝（3）2﹣12＝18﹣1＝17故答案为：17．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．19．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是+4．【分析】先将x的值分母有理化得出x＝+1，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：∵x＝＝＝＝+1，∴x2﹣x+1＝（+1）2﹣（+1）+1＝4+2﹣﹣1+1＝+4．故答案为：+4．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．20．当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝2030．【分析】将x的值代入x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027，根据二次根式的运算法则计算可得．【解答】解：当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027＝（1﹣﹣1）2+2027＝（﹣）2+2027，＝3+2027＝2030，故答案为：2030．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及完全平方公式．21．若x＝﹣1，则＝2．【分析】将x的值代入原式＝，计算可得．【解答】解：当x＝﹣1时，原式＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．22．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝±．【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，∴（）2＝＝＝＝，∴＝±．故答案是：．【点评】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．23．在正方形ABCD中，E是边BC上一点，如果这个正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE的长用含m的代数式表示为．【分析】首先根据正方形的面积，表示出△ABE的面积，然后利用三角形的面积的公式表示出线段BE的长即可．【解答】解：∵正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，∴正方形的边长AB＝，△ABE的面积为，∵S△ABE＝AB•BE＝BE＝，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是表示出正方形的边长及直角三角形的面积．24．化简：2＜x＜4时，﹣＝2x﹣6．【分析】首先根据x的范围确定x﹣2与x﹣4的符号，然后利用算术平方根的定义，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，∴原式＝﹣＝|x﹣2|﹣|x﹣4|＝x﹣2﹣（4﹣x）＝x﹣2﹣4+x＝2x﹣6．故答案为：2x﹣6．【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的性质是关键．25．已知a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是4．【分析】根据a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，可以求得的主要值．【解答】解：∵0＜﹣4＜1，∴的主要值是4，故答案为：4．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，可以估算出处于哪两个整数之间．三．解答题（共15小题）26．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝﹣2+10＝；（2）原式＝2﹣6﹣（2﹣2+）＝﹣4﹣＝﹣4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．27．当t＝2时，求二次根式的值．【分析】将t的值代入＝＝|3﹣t|计算可得．【解答】解：当t＝2时，＝＝|3﹣t|＝|3﹣2|＝3﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的基本性质．28．已知a，b，c为△ABC三边，化简+|b﹣a﹣c|．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定a﹣b﹣c以及绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解∵a，b，c为△ABC三边，∴原式＝|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝b+c﹣a+a+c﹣b＝2c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．29．．【分析】根据二次根式的定义得出x﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x，代入求出y，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y＝++9有意义，必须x﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x＝8，把x＝8代入得：y＝0+0+9＝9，∴＝，＝+，＝+，＝．【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x、y的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．30．计算：（1）﹣+（2）（﹣）（+）+（﹣1）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．31．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．【解答】解：当x＝＝＝，y＝＝＝时，原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9＝×+3×（+）+9＝+3×+9＝+3+9＝+3．【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．32．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a＝17﹣12＝（3﹣2）2、b＝3+2＝（+1）2，代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）•＝[﹣]•＝•＝，∵a＝17﹣12＝32﹣2××（2）2＝（3﹣2）2，b＝3+2＝（）2+2+1＝（+1）2，∴原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．33．先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣（﹣a）2，其中a＝2﹣1．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可化简二次根式，最后将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝a2﹣5﹣3﹣a2+2a＝2a﹣8．∵a＝2﹣1，∴原式＝2×（2﹣1）﹣8＝4﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和二次根式的性质．34．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．【解答】解：∵x＝＝3﹣2，∴x﹣2＝1﹣2＜0，则原式＝x﹣1+＝x﹣1﹣1＝x﹣2＝1﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．35．观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝1（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：＝1+；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；（2）根据规律，写出等式；（3）根据（2）的规律，即可解答．【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．36．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2××＝（+）2，∴＝＝+；（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×＝（2﹣）2，∴＝＝2﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．37．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．38．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值【分析】先由a、b的值计算出a+b、a﹣b、ab的值，再代入到原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab．【解答】解：∵a＝，b＝，∴a+b＝2，a﹣b＝﹣2，ab＝1，∴原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝a2+2ab+b2﹣a+b+ab，＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab＝（2）2﹣（﹣2）+1＝13+2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在解答此题类目时要根据各题的特点灵活解答．39．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．【分析】根据两边之和大于第三边可将各二次根式求出，从而可得出化简后的答案．【解答】解：由三边关系得：a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．【点评】本题考查二次根式的化简及三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是关键．40．现有一组有规律的数：1，﹣1，，﹣，，﹣，1，﹣1，，﹣，，﹣…其中1，﹣1，，﹣，，﹣这六个数按此规律重复出现．（1）第50个数是什么数？（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？【分析】（1）首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；（2）首先用2017除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；（3）首先求出1，﹣1，，﹣，，﹣六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．【解答】解：（1）这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，∴50÷6＝8…2，∴第50个数是﹣1．（2）∵2017÷6＝336…1，且1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，∴从第1个数开始的前2017个数的和是：336×0+1＝1．（3）∵12+（﹣1）2+（）2+（﹣）2+（）2+（﹣）2＝12，520÷12＝43…4，而且12+（﹣1）2+（）2＝4，∴43×6+3＝261，即共有261个数的平方相加．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，而且每个循环的6个数的和是0．。
中考数学一轮复习数学二次根式的专项培优练习题(含答案
中考数学一轮复习数学二次根式的专项培优练习题(含答案一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ）A ．2+3=5B ．43﹣33=1C ．27÷3=3D ．23×33=62．当0x =时，二次根式42x -的值是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．03．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．2(2)-＝﹣2B ．2＋8＝10C ．2×8＝4D ．22﹣2＝24．下列各式中，正确的是（ ）A ．32 >23B ．a 3 • a 2=a 6C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2D ．5m + 2m = 7m 2 5．化简x 1x -，正确的是（ ） A ．x - B ．x C ．﹣x - D ．﹣x6．给出下列结论：①101+在3和4之间；②1x +中x 的取值范围是1x ≥-；③81的平方根是3；④31255--=-；⑤51528->．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．下列各式中，不正确的是（ ）A ．233(3)(3)->-B ．33648<C ．2221a a +>+D ．2(5)5-= 8．若实数a ，b 满足+=3，﹣=3k ，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤k ≤2 B ．﹣3≤k ≤3 C ．﹣1≤k ≤1 D ．k ≥﹣19．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.013323)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那么n ＝1，其中假命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知实数x 、y 满足222y x x =--，则yx 值是（ ） A ．﹣2B ．4C ．﹣4D ．无法确定 11．23(2,1(2(3,1,2x x y y x x x x y >+=-->++中，二次根式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 12．下列运算正确的是（ ） A 826=B 222=C 3515=D 2739= 二、填空题13．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．14．14(1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x +⋅⋅⋅=+++++的解是______． 15．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为 ________．16．20n n 的最小值为___17．化简：3222＝_____．18．若实数23a =-，则代数式244a a -+的值为___. 19．4x -x 的取值范围是_____． 20．已知23x =243x x --的值为_______． 三、解答题21．观察下列等式：212121(21)(21)-==++-；323232(32)(32)==++-434343(43)(43)==++- 回答下列问题：（12322+ （2）计算：12+23+34+99100+ 【答案】（12322（2）9【分析】（1）根据已知的3111n n n n =+-++n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．【详解】解：（1= （2+99+=1100++-=1=10-1=9.22．计算：（1)11（2【答案】（12+；（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同； （2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同． 【详解】解：)1131-＝2＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．23．先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中，b=1．【答案】原式=a b a b-=+【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.【详解】原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a aa b a b -+- =a b a b-+， 当，b=1时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.24．先化简，再求值：2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y，其中x y ==． 【答案】原式x y x-=-，把x y ==代入得，原式1=-. 【详解】试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析： 2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y ()()()222=x y x y x x x x x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭ =y x x y x x y---⋅+ x y x-=-把x y ==代入得：原式1==-+考点：分式的化简求值．25．计算下列各式：（1；（2【答案】（12；（2）【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.【详解】（1）原式2=-2 =；（2）原式==.【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩，)0,0a b=≥≥=（a≥0，b>0）.26．一样的式子，其实我3==3==，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n +++【答案】（1-2. 【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）===== （2）原式2n +++=. 考点：分母有理化．27．（1）计算)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭（2）已知,,a b c 为实数且2c =2c ab -的值【答案】（1）13；（2）12-【分析】（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可；（2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可． 【详解】（1）)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭31=+⨯=4+9=13；（2）根据二次根式有意义的条件可得：∵()2303010a a b ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-+≥⎪⎩，∴3a =，1b =-，∴2c =∴(()2223112c ab -=-⨯-=-【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．28．计算：（1（2）（)()2221- 【答案】2）1443【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可；(2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可．【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443．【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．29．计算下列各题：（1（2）2-．【答案】（1）2）2--【分析】（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：（1）原式==；（2）原式22(5=--+525=---2=--【点睛】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．30．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =，由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===..【答案】见解析【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可．【详解】AB、C，故本选项正确；D、=18，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．2．B解析：B【分析】把x=0【详解】解：当x=0时，=2，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【详解】A、原式＝2，故该选项错误；B＝，故该选项错误；C4，故该选项正确；D故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．4．A解析：A【分析】比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误．【详解】A 、=，=∵1812>，∴>，故该选项正确；B 、3a •25a a =，故该选项错误；C 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误； D 、527m m m +=，故该选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5．C解析：C【解析】 根据二次根式有意义的条件可知﹣1x＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x. 故选C ．6．A解析：A【分析】答．【详解】 解：①3104<<，415∴<<，故①错误；x 的取值范围是1x ≥-，故②正确；③819=，9的平方根是3±，故③错误； ④31255--=，故④错误； ⑤∵5154598---=，()22459<， ∴51508--<，即5158-<，故⑤错误； 综上所述：正确的有②，共1个，故选：A ．【点睛】本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．7．B解析：B【解析】根据二次根式的性质和立方根的性质，逐一判断为：()23-=3，()333-=-3，故A 正确；364=4，38=2，故B 不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C 正确；()255-=，可知D 正确. 故选B.8．C 解析：C【解析】依据二次根式有意义的条件即可求得k 的范围．解：若实数a ，b 满足+=3，又有≥0，≥0， 故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则 ﹣3≤-≤0 ②+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k ， 即﹣3≤3k ≤3，化简可得﹣1≤k ≤1．故选C ． 点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a ≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k 的不等式组，求出k 的取值范围.9．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．10．C解析：C【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．【详解】∵实数x、y满足2y=，∴x＝2，y＝﹣2，∴yx＝22-⨯＝-4．故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．11．B解析：B【解析】解：当y=﹣2时，y+1=﹣2+1=﹣1，∴y=－2）无意义；当x＞0无意义；x＞0共3个．故选B．12．C解析：C【分析】根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A=，所以A选项错误；B=B选项错误；C =C 选项正确；D 3=，所以D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．二、填空题13．-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，∴∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|＝解析：-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，0c a b ＜＜＜∴00.a c c b ＞，＜|a ﹣c ﹣|﹣b |＝||()||a ac c b b =()aa cbc b =aa cbc b =-2a .【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号. 14．9【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设y=，则原方程变形为，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴解析：9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设则原方程变形为()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3， ∵， ∴，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用. 15．3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3解析：3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：35302302x y mx y mx y+--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得：x=1，y=1，m＝5，∴==3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．16．5【分析】因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．【详解】∵，且是整数，∴是整数，即5n是完全平方数；∴n的最小正整数值为5．故答案为5．【点睛】主要考查了解析：5【分析】，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．【详解】∴是整数，即5n是完全平方数；∴n的最小正整数值为5．故答案为5．【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．17．【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变． 解析：【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：=．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变． 18．3【解析】∵ =，∴=（a-2）2==3，故答案为3.解析：3【解析】∵a =∴244a a -+=（a-2）2=()222+=3， 故答案为3.19．x ＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x ﹣4＞0，解得，x ＞4，故答案为：x ＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根解析：x ＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x ﹣4＞0，解得，x ＞4，故答案为：x ＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．20．-4【分析】把代入计算即可求解．【详解】解：当时，=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题解析：-4【分析】把2x =243x x --计算即可求解．【详解】解：当2x =243x x --((22423=---4383=--+=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及答案
一、选择题1．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2B ．0C ．12-D ．-12．下列计算正确的是（ ） A ．2+3=5B ．8=42C ．32﹣2=3D ．23⋅=63．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣14．下列各式计算正确的是（ ）A 532=B 1236=C ．3232+=D 222()-=-5．若2019202120192020a =⨯-⨯，2202242021b =-⨯，2202020c +a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．下列计算正确的是（ ） A ．531883+=B ．()322326a ba b -=-C ．222()a b a b -=-D ．2422a ab a a b a -+⋅=-++7．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，2b a +b |+|a -c |-222c bc b -+（ ）A ．2c -bB ．2c -2aC ．-bD ．b8．32的结果是（ ） A ．±3B ．﹣3C ．3D ．99．下列计算正确的是（ ） A 235=B ．332-= C ．222= D 393=10．下列运算一定正确的是( ) A 2a a =B ab a b =C ．222()a b a b ⋅=⋅D ()0n mnaa m=≥ 二、填空题11．将2(3)(0)3a a a a-<-化简的结果是___________________.12．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 13．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________． 14．当x =2+3时，式子x 2﹣4x +2017=________．15．已知a ＝﹣73+，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．16．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行722310 11 233第行 131541732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）． 17．已知|a ﹣2007|+2008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____．18．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：若2的位置记为（2，3），7的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______． 19．使式子32xx -+有意义的x 的取值范围是______． 20．28n n 为________．三、解答题21．阅读下面问题： 阅读理解：2221(21)(21)==++-1；==2==-．应用计算：（1（21（n 为正整数）的值．归纳拓展：（398++【答案】应用计算：（12 归纳拓展：（3）9． 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1分母利用平方差公式计算即可，（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-， =10-1， =9． 【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．先阅读材料，再回答问题：因为)111=1=；因为1=，所以=1== （1= ，= ； （2⋅⋅⋅+的值．【答案】（12）9 【分析】（1）仿照例子，由1+=的值；由1+=1的值；（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】解：（1）因为1-=；因为1=1（2⋅⋅⋅+1=+⋅⋅⋅1=1019=-=．【点睛】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．23．先观察下列等式，再回答问题：=1+1=2；12=2 12；=3+13=313；… （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n++=，证明见解析． 【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，=414+=414；（2=n 211n n n++=”，再利用222112n n n n++=+（）（）开方即可证出结论成立．【详解】（1=1+1=2=212+=212；=313+=313；里面的数字分别为1、2、3，= 144+= 144．（2=1+1=2，=212+=212=313+=313=414+=414= 211n n n n++=．证明：等式左边==n 211n n n++==右边．=n 211n n n++=成立． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律=n211nn n++=”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．24．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．25．计算(2)2；(4)【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．【详解】解：==(2)2=22-=63-=9-=1；(4)===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．26．先化简，再求值：2222212⎛⎫----÷⎪-+⎝⎭x y x yxx x xy y，其中x y==．【答案】原式x yx-=-，把x y==代入得，原式1=-.【详解】试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可．试题解析：2222212⎛⎫----÷⎪-+⎝⎭x y x yxx x xy y()()()222=x yx y x xx x x x y x y-⎛⎫---⋅⎪+-⎝⎭=y x x yx x y---⋅+x yx-=-把x y==代入得：原式1==-+考点：分式的化简求值．27．计算：（1（2|a﹣1|，其中1＜a【答案】（1）1；（2）1 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简． 【详解】解：（1－1＝2－1＝1（2）∵1＜a ，a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1． 【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．28．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443． 【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项．解：由题意得： x-1≥0 解之：x≥1.1>． 故选：A ． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．2．D解析：D 【解析】解：A A 错误；B ==，所以B 错误；C ．=C 错误；D ==D 正确．故选D ．3．A解析：A 【分析】先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】由数轴可知0＜a ＜1，所以，||1a a a =+-＝1，选A ． 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小4．B解析：B 【分析】根据二次根式的加减法对A 、C 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据a =对D 进行判断 ．【详解】解：A 不能合并，所以A 选项错误；B 6=，正确，所以B 选项正确；C 、3不能合并，所以C 选项错误；D 22=--=()，所以D 选项错误．故选：B ．本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减计算法则．5．A解析：A 【分析】利用平方差公式计算a ，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b ，利用二次根式大小的比较办法，比较b 、c 得结论． 【详解】解：a=2019×2021-2019×2020=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020 =20202-1-20202+2020 =2019； ∵20222-4×2021 =（2021+1）2-4×2021 =20212+2×2021+1-4×2021 =20212-2×2021+1 =（2021-1）2 =20202， ∴b=2020；> ∴c ＞b ＞a ． 故选：A ． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020解决本题的关键．6．D解析：D 【分析】分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可． 【详解】解：A. =A 选项错误； B. ()()()33322363228a ba b a b -=-=-，故B 选项错误；C. 222()2a b a ab b -=-+，故C 选项错误；D. ()()2224222a a a ab a b a a b a a b a +--++⋅=⋅=-++++，故D 选项正确． 故答案为D ．【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．7．D解析：D【解析】解：∵|a|+a=0，∴|a|=﹣a，∴﹣a≥0，∴a≤0，∵|ab|=ab，∴ab≥0，∴b≤0，∵|c|﹣c=0，∴| c|=c，∴c≥0，∴原式=﹣b+（a+b）﹣（a﹣c）﹣（c﹣b）=b．故选D．8．C解析：C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】原式＝3，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．9．C解析：C【分析】根据立方根、二次根式的加减乘除运算法则计算．【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误；B、=C、22=，正确；D故选C．【点睛】本题考查二次根式、立方根的运算法则，熟练掌握基本法则是关键．10．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A|a|，故此选项错误；B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；C．a2•b2=（a•b）2，正确；D m n a（a≥0），故此选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．二、填空题11．．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．解析：【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．12．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m＝，n＝，那么m−n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m 、n 的关系式，解方程组求m 、n 的值即可．【详解】设m n那么m−n ＝2①，m 2＋n 2＝2＋2＝34②．由①得，m ＝2＋n ③，将③代入②得：n 2＋2n−15＝0，解得：n ＝−5（舍去）或n ＝3，因此可得出，m ＝5，n ＝3（m≥0，n≥0）．n ＋2m ＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．13．3【解析】设，则 可化为：，∴，两边同时平方得：，即：，∴，解得：，∴.故答案为：.点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形解析：【解析】设24x a -====两边同时平方得：128a a +=++4=，∴3216a =，解得：12a =，===故答案为： 点睛：本题的解题要点是：设原式中的24x a -=，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a的值，使问题得到解决.14．2016【解析】把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013 =（）2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．解析：2016【解析】把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013 =2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因. 15．-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】－3时，解：当a原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a﹣2007|+=a，∴a≥2008，解析：2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a﹣2007=a，∴a≥2008，∴a﹣2007=a，=2007，两边同平方，得：a﹣2008=20072，∴a﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．18．（17,6）【解析】观察、分析这组数据可发现：第一个数是的积；第二个数是的积；第三个数是的积，的积.∵这组数据中最大的数：，∴是这组数据中的第102个数.∵每一行排列了6个数，而∴是第1解析：（17,6）【解析】的积，.∵这组数据中最大的数： ∴102个数.∵每一行排列了6个数，而1026=17÷ ∴17行第6个数，∴这组数据中最大的一个数应记为（17，6）.点睛：（1）这组数据组中的第n 2）该组数据是按从左到右，从小到大，每行6个数进行排列的；（3）6n ÷6n ÷的余数是所在的列数.19．且【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：，解得且，故答案为：且．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分解析：3x ≤且2x ≠-【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：2030x x +≠⎧⎨-≥⎩， 解得3x ≤且2x ≠-，故答案为：3x ≤且2x ≠-．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．20．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
八年级初二数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及解析
一、选择题1．（ ）A ．1B ．﹣1C ．D -2．下列各式中，运算正确的是（ ）A ＝﹣2B ＋C 4D ．＝23．下列运算中，正确的是( )A =B 1=C =D 2=4．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2；（32；（4；（5） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．已知：，，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等 6．以下运算错误的是（ ）A =B ．2= CD 2=a ＞0）7．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．98．设0a >，0b >=的值是（ ） A ．2 B ．14 C ．12D ．3158 9．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A B CD 10．下列运算错误的是（ ）A BC ．D 1=二、填空题11．已知x =()21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________12．将(0)a a -<化简的结果是___________________.13．2==________．14．观察下列等式：第1个等式：a 11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， …按上述规律,回答以下问题：(1)请写出第n 个等式：a n =__________.(2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________15．已知函数1x f x x ，那么1f _____．16．已知：可用含x =_____．17．已知，n=1的值________．18_____．19．已知x ，y ，则x 2＋xy ＋y 2的值为______．20．已知2x =243x x --的值为_______．三、解答题21．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭． 【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．22．计算：（1)11（233÷【答案】（12+；（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．【详解】解：)1131-＝233÷3＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．23．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y x x y+ 【答案】(1)72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xy xy+-，然后利用整体代入的方法计算. 【详解】∵x =，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+=（x+y ）2-3xy,=2132-⨯=72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy -⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．24．（1|5-+；（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；（2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可．【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -=3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．25．先化简，再求值：221()a b a b a b b a -÷-+-，其中a =2b =- 【答案】1a b -+，12-． 【分析】先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a 、b 的值代入计算，即可得到答案．【详解】 解：原式1()()a b a b a a b a b b a b b --=⨯-⨯+-+ ()()a b a b a b b a b -=--++ ()b b b a =-+1a b=-+，当a =2b = 原式12==-． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．26．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.27．（1）计算)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭（2）已知,,a b c 为实数且2c =2c ab -的值【答案】（1）13；（2）12-【分析】（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可；（2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可．【详解】（1）)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭31=+⨯=4+9=13；（2）根据二次根式有意义的条件可得：∵()2303010a a b ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-+≥⎪⎩，∴3a =，1b =-，∴2c =∴(()2223112c ab -=-⨯-=-【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．28．计算：（1；（2）))213 【答案】（1）2）1-.【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案．（2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算．【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】解：原式=故选C ．2．C【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【详解】A、原式＝2，故该选项错误；B＝，故该选项错误；C4，故该选项正确；D故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．3．C解析：C【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果．【详解】不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；==，故此选项错误；D2故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键．4．B解析：B【解析】根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1a=正确，故（2）正=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知=，故=，故（48（5）正确.故选B.5．C【解析】 因为1a b ⨯==,故选C. 6．C解析：C【分析】利用二次根式的乘法法则对A 、B 进行判断；利用二次根式的化简对C 、D 进行判断．【详解】A ．原式=所以A 选项的运算正确；B ．原式＝所以，B 选项的运算正确；C ．原式==5，所以C 选项的运算错误；D ．原式＝2，所以D 选项的运算正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．A解析：A【解析】根据题意得:|x 2–4x ，所以|x 2–4x +4|=0，即（x –2）2=0，2x –y –3=0，所以x =2，y =1，所以x +y =3．故选A ．8．C解析：C【分析】= 变形后可分解为：）＝0，从而根据a ＞0，b ＞0可得出a 和b 的关系，代入即可得出答案．【详解】由题意得：a ＝＋15b ，∴＋）＝0，＝，a ＝25b ，12． 故选C ．本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a和b的关系是关键．9．A解析：A【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】A是最简二次公式，故本选项正确；BCD=故选A．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【详解】AB计算正确，不符合题意；C、计算正确，不符合题意；D11=≠符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．二、填空题11．【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.【详解】将代入得：故答案为：【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在解析：1-【分析】利用完全平方公式化简x =1x =；化简分式，最后将1x =代入化简后的分式，计算即可.【详解】1x =====()211422(2)(2)2221(2)(2)2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-⎛⎫+⋅= ⎪-+--+-⎝⎭ 1x x =-将1x =1=-故答案为：1-【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =熟练掌握相关知识点是解题关键. 12．．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a ＜0．∴a －3＜0，∴==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．解析：【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．13．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m＝，n＝，那么m−n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m n那么m−n＝2①，m2＋n2＝2＋2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．14．【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：=1-【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a 11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， ……∴第n==（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-=121n +++=1-；1-．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题15．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时， ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f xx ，所以当1x =时， 211()2221f x ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 16．【解析】 ∵=，∴=== -==﹣x3+x ，故答案为：﹣x3+x.解析：211166x x -+ 【解析】∵x =-3==123=146+= -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=311166-+=﹣16x 3+116x ， 故答案为：﹣16x 3+116x. 17．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====． 故答案是：．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得．18．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可． 【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键． 19．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y +－xy=251515151)222=5－1=4． 20．-4【分析】把代入计算即可求解．【详解】解：当时，=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题解析：-4【分析】把2x =243x x --计算即可求解．【详解】解：当2x =243x x --((22423=---4383=--+=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
中考数学数学二次根式的专项培优练习题(及解析
一、选择题1．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） ABCD2．a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32D ．83．已知x 1x 2，则x₁²＋x₂²等于( ) A ．8 B ．9C ．10D ．114．化简） ABCD5．=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．536．已知a 满足2018a -a ，则a －2 0182＝( ) A ．0B ．1C ．2 018D ．2 0197．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）123A ．BC ．D8．有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．下列说法中正确的是（ ）A ±5B ．两个无理数的和仍是无理数C ．-3没有立方根.D .10．已知，5x y +=-，3xy =则y x x y x y+的结果是（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-二、填空题11．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）514-_______12 12．已知实数,x y 满足()()22200820082008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--的值为______.13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．14．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．15．观察下列等式：第1个等式：a 12112=+， 第2个等式：a 23223=+， 第3个等式：a 332+3， 第4个等式：a 45225=+， …按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________16．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行7223 10 11 233第行13 154173219254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是（用含 n 的代数式表示）． 17．把 18．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13＝_____. 19．3y =，则2xy 的值为__________．20．下列各式：是最简二次根式的是:_____（填序号）三、解答题21．计算及解方程组： （1-1-）（2)2+（3）解方程组：251032x y x y x y -=⎧⎪+-⎨=⎪⎩【答案】（1）2）7；（3）102x y =⎧⎨=⎩．【分析】（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（11-1+（11=1 （22+）=34-=7-=7-（3）251032x y x y x y-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2 ∴原方程组的解是：102x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．22．小明在解决问题：已知a2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a＝2，所以a －2所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：= － .(2)…(3)若a ，求4a 2－8a ＋1的值． 【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】（11==；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2413a --代入求解即可. 【详解】(1)计算：1=； (2)原式)1...11019=++++==-=；(3)1a ===，则原式()()224213413a a a =-+-=--，当1a =时，原式2435=⨯-=.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.23．观察下列各式子，并回答下面问题．（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】解：（1 该式子一定是二次根式，因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式（215=16=，∴1516<<.15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．24．-10 【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．25．计算（11)1)⨯； （2）【答案】（12+；（2）. 【解析】分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.详解：（1)11+；＝()31-2 ；（2）原式＝(22⨯,＝＝3⨯＝＝点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．26．一样的式子，其实我3====，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式2n+++=.考点：分母有理化．27．已知a，b（1）求a2﹣b2的值；（2）求ba+ab的值．【答案】（1）；（2）10【分析】(1)先计算出a+b、a-b的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；(2)先计算ab的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.【详解】(1)∵ab，∴a+ba﹣b＝，∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝＝；(2)∵ab，∴ab＝)×)＝3﹣2＝1，则原式＝22b aab+＝()22a b abab+-＝(2211-⨯＝10．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.28．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）解：原式=4 =+4 =-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A =不是最简二次根式，本选项错误；BC =不是最简二次根式，本选项错误；D =故选：B ． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解题的关键．2．B解析：B 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】∴a ≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意， ∴a 的值可能是2． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．3．C解析：C 【详解】12x x +==12321x x ==-=，所以()2221212122x x x x x x +=+-=(22112210-⨯=-=，故选：C ． 【点睛】对于形如2212x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式，如1211+x x ，1221x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．4．C解析：C 【解析】根据二次根式有意义的条件可知﹣1x＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x. 故选C ．5．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数，∴x ＞0，y ＜0．将x=-y 代入原式得：原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ．【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．6．D解析：D【解析】【分析】根据二次根式的被开数的非负性，求的a 的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次根式的定义进行变形即可．【详解】解：等式2018a -＝a 成立，则a ≥2019，∴，，∴a-2019=20182，∴a-20182=2019．故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a 的取值范围是解题的关键．7．B解析：B【解析】【分析】由图形可知，第n(n =案．【详解】由图形可知，第n (n=∴第8=， 则第9行从左至右第5=， 故选B ．【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个数为8．A解析：A【解析】试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab ＞0，解得a ＞0，b ＞0，因此可知A （a ，b ）在第一象限.故选A9．D解析：D【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．【详解】5=，故A 选项错误；0ππ-+=，故B 选项错误；-3=，故C 选项错误；D 选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．10．B解析：B【分析】由x+y=-5，xy=3可得到x ＜0，y ＜0，再利用二次根式的性质化简得到原式==-，然后把xy=3代入计算即可． 【详解】∵x+y=−5，xy=3，∴x<0，y<0，∴原式===-（x ＜0，y ＜0），当xy=3时,原式=-故选B.【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于先化简.二、填空题11．【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)(2)∵∴∴故答案为： ，．解析：< <【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)<(2)113424-=∵3=∴304<< 12 故答案为：< ，<．【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键． 12．1【分析】设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x −a)=(y+b)(y −b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 13．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．14．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b ．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a ．b 都是数轴上的实数，注意符号的变换．15．【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：=1-【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， ……∴第n==（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-=121n +++=1-；1-．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．﹣【解析】解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣．故答案为：．点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．解析：【解析】解：通过a≤0，，所以故答案为：点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键． 18．5【解析】◇==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则解析：5【解析】32==5. 故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.19．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy =-2×52×3=-15. 20．②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】② ③ 是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解析：②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】是最简二次根式，③4故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式计算专题-30题(教师版含答案解析)
完美WORD格式二次根式计算专题1．计算：⑴ 3 6 4 2 3 6 4 2 ⑵ 2 0( 3) ( 3) 27 3 2 【答案】(1)22; (2) 6 4 3【解析】试题分析：(1) 根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案.(2) 分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案. 试题解析：(1) 3 6 4 2 3 6 4 22 2(3 6) (4 2)=54－32=22.（2） 2 0( 3) ( 3) 27 3 23 1 3 3 2 36 4 3考点: 实数的混合运算.2．计算（1）﹣×（2）（6 ﹣2x ）÷ 3 ．【答案】（1）1；（2）【解析】1 3试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案. 试题解析：(1)20 5 15 3122 5 5 35 32 33 21；（2）(6 2 1 ) 3xx x 4x6 x 2x x( ) 32 xx(3 x 2 x) 3 xx 3 x专业知识分享13.考点: 二次根式的混合运算.3．计算：13 12 2 48 2 33．【答案】【解析】14 3．试题分析：先将二次根式化成最简二次根式, 再算括号里面的, 最后算除法．试题解析：13 12 2 48 2 332=(6 3 3 4 3) 2 332833 2 3143．考点：二次根式运算．64．计算： 3 6 2 32【答案】 2 2 .【解析】试题分析：先算乘除、去绝对值符号, 再算加减.试题解析：原式=3 2 3 3 2= 2 2考点：二次根式运算.5．计算： 2 18 3( 3 2)【答案】 3 3．【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式, 再化简．试题解析： 2 18 3( 3 2)= 2 3 2 3 3 6 3 3．考点：二次根式化简．6．计算：1 4 323 ．22 2【答案】．2【解析】试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可.试题解析：1 4 32 2 3234 2 2 22 2 2 2．考点：二次根式的计算.试卷第 2 页，总10 页完美WORD格式7．计算：1262(31)(31)．【答案】32．【解析】试题分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用公式简化计算过程．试题解析：1262(31)(31)=23331=32．考点：二次根式的化简．8．计算：12236322【答案】0.【解析】试题分析：根据二次根式运算法则计算即可.试题解析：36331 12226660.2222考点：二次根式计算.9．计算：0+1123.【答案】13．【解析】试题分析：任何非零数的零次方都为1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根式进行化简即可．试题解析：0+1123123313．考点：二次根式的化简．10．计算：83130.53433【答案】3222【解析】．试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．试题解析：原式=2333223=232222．考点：二次根式的化简．11．计算：（1）2712451 3（2）020141182014223专业知识分享【答案】（1）1 15; （2） 3 2 .【解析】试题分析：（1）根据二次根式的运算法则计算即可;（2）针对有理数的乘方，零指数幂，二次根式化简，. 绝对值 4 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.试题解析：（ 1 ）1 1 127 12 45 3 3 2 3 3 5 3 3 3 5 3 1 153 3 3.（2）020141 18 20142 23 1 3 2 1 2 2 3 3 2 .考点：1. 实数的运算;2. 有理数的乘方;3. 零指数幂;4. 二次根式化简;5. 绝对值.12．计算：( 3 2)( 3 2) (1 03) 2 1 2【答案】 2 .【解析】试题分析：本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．本题中先根据平方差公式计算乘法以及零指数幂的意义，去掉括号后，计算加减法．试题解析：解：原式= 3 2 1 2= 2考点：二次根式的混合运算．13．计算：327 ( 2013) | 2 3 |3．【答案】4 3 1. 【解析】试题分析：解：327 ( 2013) | 2 3 |33 3 3 1 2 34 3 1.考点：二次根式化简.214．计算(3 24 8) 123【答案】2 6- + .2 3试卷第 4 页，总10 页完美WORD格式【解析】试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.试题解析：2(3 - 24 + 8) ? 12 ( 6 - 2 6 +22) ? 2 3 (2 2 - 6) ? 2 332 6= - +2 3考点: 二次根式的混合运算.15．计算：12 1 2 1- -2 3【答案】4 3 2- .3 2【解析】试题分析：把二次根式化简，再合并同类二次根式即可求出答案.试题解析：1 12 234 3 2 12 - - 2 = 2 3 - - = -2 3 2 3 3 2考点: 二次根式的运算.50 32 16．化简：（1）8（2）( 6 2 15) 3 6 1 2【答案】（1）【解析】92；（2） 6 5 ．试题分析：（1）先去分母，再把各二次根式化为最简二次根式，进行计算；（2）直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可．试题解析：（1）原式= 5 2 4 2 922 2；（2）原式= 6 3 2 15 3 3 2 3 2 6 5 3 2 6 5 ．考点：二次根式的混合运算；17．计算（1）27 3 3 22 12 3（2）【答案】（1）3 3 ; （2）3.【解析】试题分析：（1）根据运算顺序计算即可;专业知识分享（2）将括号内化为最简二次根式后合并再平方运算即可.试题解析：（1）27 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 .（2）2 2 212 3 2 3 3 3 3 .考点：二次根式化简.18．计算：18(3 2 1)(1 3 2)2 4【答案】17. 【解析】试题分析：先化简12和84，运用平方差公式计算(3 2 1)(1 3 2) ，再进行计算求解 .试题解析：原式＝＝172 218 12 2考点: 实数的运算.119．计算：( 3) 27 |1 2 |32【答案】 2 3 ．【解析】试题分析：本题涉及零指数幂、二次根式的化简、分母有理化、绝对值化简 4 个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：原式=1 3 3 2 1 3 2 2 3考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．分母有理化．20．计算：1 2 0②16 3 2 48 123①8 2③2 a 1 2a3a 32 2 3【答案】① 2 1；②【解析】143；③a3.试题分析：①针对算术平方根，绝对值，零指数 3 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；②根据二次根式运算法则计算即可；③根据二次根式运算法则计算即可.试题解析：①18 2 =2 2 2 1 2 1.2试卷第 6 页，总10 页完美WORD格式②1 2 28 14 6 3 2 48 12 6 3 3 4 3 2 3 3 2 33 3 3 3.③ 2 a 1 2a 1 2 2 2a 1 2 1 a3a 3 = 3a = 4a 2a2 23 6 a 3 6 6 3. 考点：1. 二次根式计算； 2. 绝对值； 3.0 指数幂.21．计算：（1）2012 1 1 3 0( 1) 5 ( ) 27 ( 2 1)2（2）1 13 12 3 48 273 2【答案】（1）0；（2）43．【解析】试题分析：（1）原式=1 5 2 3 1 0；（2）原式=6 3 3 2 3 3 3 4 3 ．考点：1．实数的运算；2．二次根式的加减法．22．计算与化简（1）327 33（2） 2(3 5) (4 7)(4 7)【答案】（1）2 3 1；（2）6 5 5 .【解析】试题分析：（1）将前两项化为最简二次根式，第三项根据0 指数幂定义计算，再合并同类二次根式即可；（2）应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类二次根式即可.试题解析：（1）3 027 3 3 3- 3 1 2 3 1.3（2）23 54 7 4 7 9 65 5 167 6 5 5 .考点：1. 二次根式化简； 2.0 指数幂； 3. 完全平方公式和平方差公式. 23．（1） 2 8 2 18（2）1212713（3）212 33(1 03)（4）(2 3 3 2 )(2 3 3 2)【答案】（1） 3 2 ；(2) 16 39【解析】；（3）6；（4） 6试题分析：本题主要考查根式的根式的混合运算和0 次幂运算. 根据运算法则先算乘除专业知识分享法，是分式应该先将分式转化为整式，再按运算法则计算。
初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析)
二次根式竞赛培优题（含解析）一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．39940002．计算：=（）A．B．C．D．3．的结果是（）A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．1D．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共24小题）6.已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为．7．化简=．8．化简．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为．10．方程的解是x=11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=．12．计算：=（其中a＞0）13．的值为．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=．15．若n为整数，且是自然数，则n=．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：．20．计算﹣20062的结果是．21．设=．22．若，，则x6+y6的值是．23．当时，的值为．24．已知，，则k=．25．当1≤x≤2时，经化简等于．26．计算=．27．已知x=，那么+1的值是．28．化简：，得到．29．=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．二次根式竞赛培优题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．3994000【分析】设1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算后，加上a2再减去a2，前三项结合提取a2，剩下的三项利用完全平方公式化简，接着三项合并后提取2a，整体再利用完全平方公式化简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果．【解答】解：设1998=a，则1997×1998×1999×2000+1=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1=[a（a+1）﹣1]2，所以==1998×1999﹣1=3994001．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用．2．计算：=（）A．B．C．D．【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．【解答】解：∵=（）=（）=（）=（﹣）∴分别取n=1，2，3， (40)原式=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．3．的结果是（）A．B．C．D．【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可．【解答】解：=（）=．故选：D．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．4．的值是（）A．B．C．1D．【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．【解答】解：由题意可知第k项是∴原式=（++=1﹣=1﹣=．故选：B．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6【分析】找到1000＜5×x2＜2000中符合x的整数值即可得出答案．【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定为5，由此及题意可：1000＜5×x2＜2000，x可取15、16、17、18、19，共5个．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足．二．填空题（共24小题）6．已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000．【分析】由等式可知=x1，=x2，…解得x1=x2=x3=…=x1999=2，由此代入求得数值即可．【解答】解：∵，∴=x1，=x2，…∴x1=x2=x3=…=x1999=2，∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×（1+2+3+ (1999)=2×（1999+1）×1999÷2=3998000．故答案为：3998000．【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应关系，求出x1、x2、x3、…、x1999的值．7．化简=2011．【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=，然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案．【解答】解：∵=，∴原式=======2011．故答案为2011．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了平方差公式．8．化简后2．【分析】由于===﹣1，其他根式也可以进行同样的化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为10．【分析】利用不等式≤，结合S1+S2+S3+…+S n ＞10，解不等式即可．【解答】解：∵S i表示第i个三角形的面积，由不等式≤n，得≤n=n，而S1+S2+S3+…+S n=，S1+S2+S3+…+S n＞10，∴n＞10，即n2（n+1）＞800，n为正整数，n的最小值为9．但n=9时，代入S1+S2+S3+…+S n＜10，不符合题意，故n=10．【点评】本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．10．方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各分式的分母有理化，寻找抵消规律．11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=﹣．【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化，再求出N式的值，代入代数式求值即可解答．【解答】解：将M分母有理化可得M=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1．N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+（1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．12．计算：=4（其中a＞0）【分析】仔细观察会发现有以下规律：第1项加上第8项等于1，第2项加上第7项等于1，依此类推最后求得的结果4．【解答】解：第一项与最后一项相加得：+，=+，=，=1，同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；所以原式=1+1+1+1=4．故应填：4．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑思维能力，是一道不错的规律型问题．13．的值为1998999.5．【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设k=2000，将所求算式转化为关于k的算式，将被开方数配成完全平方式，开平方，再将k的值代入即可．【解答】解：设k=2000，原式=====，当k=2000时，原式=1998999.5．故本题答案为：1998999.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k=8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．15．若n为整数，且是自然数，则n=﹣14或﹣7或﹣2或5．【分析】设=p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n 的值即可．【解答】解：∵设=p（P为非负整数），则n2+9n+30=p2，∴4n2+36n+120=4p2，∴（2n+9）2+39=4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，∴或或或，解得或或或，∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为2012.5．【分析】根据新定理得f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1；f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1，由此得到f（）+f（）=1（n≥2的整数），所以原式=+．【解答】解：f（）=，∵f（）==，f（）=，则f（）+f（）=1，f（）==，f（）==，则f（）+f（）=1，∴f（）+f（）=1，∴=+=2012.5．故答案为2012.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【分析】由是正整数可得，a是含﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，据此确定a的值．【解答】解：∵是正整数，∴a是含﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，∴a=或．故答案为：或．【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）．【分析】由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是﹣1，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的a，b，c的值．【解答】解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设==x+y﹣2，（x，y为正整数，x＞y），所以有=x+y，﹣=﹣2．∴a+1=（x+y）2，a=4xy，∴（x﹣y）2=1，即x﹣y=1．则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后为﹣1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为．最后正好为﹣=1．所以=（﹣1）2=3﹣=3﹣，则a=8，同理得b=24，c=48．故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．故答案为8，24，48．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．20．计算﹣20062的结果是2005．【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【解答】解：∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）+3×2005+1=2005；故答案为：2005．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）的值．21．设=．【分析】把已知条件的左边相乘得，这样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式，逐步变形，消去x、y，即可求得z．【解答】解：据条件式令=z，则（1）式化为：z+xy+=9，即有9﹣z=xy+，平方得，81﹣18z+z2=x2y2+（x2+1）（y2+4）+2xy（2），又由z2==x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy，代入（2）得，81﹣18z=4，所以．即=，故答案为：．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条件求解．22．若，，则x6+y6的值是40．【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解答】解：由题意得：x2+y2=2++2﹣=4，x2﹣y2=2+﹣（2﹣）=2，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=8，又（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6+x2y4+y2x4，∴可得：x6+y6=32﹣x2y2（x2+y2）=32+2×4=40．故答案为：40．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练运用平方差及完全平方公式．23．当时，的值为．【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可．【解答】解：原式=﹣，∵，∴=2005，∴x＜，∴原式=﹣+x，=x，当时，原式=．故答案为．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a（a≥0）的应用．24．已知，，则k=﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，∴4+=+2，依此类推得：=+2，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．25．当1≤x≤2时，经化简等于2．【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】解：∵1≤x≤2，∴=+=+1+1﹣=2．故答案为：2．【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式．26．计算=2010．【分析】因为=，=，=，…，可发现=1+=1+1﹣，=1+=1+﹣…，依此类推再把1+1﹣，1+﹣…相加可得问题答案．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律．27．已知x=，那么+1的值是2．【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1，所以x+1=，然后将代数式化为含有（x+1）2的形式，把x+1的值代入求出代数式的值．【解答】解：∵x==﹣1，∴x+1=．原式=（3x3+10x2+5x+4）=[（3x3+6x2+3x）+3x2+（x2+2x+1）+3]=[3x（x+1）2+3x2+（x+1）2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[（3x2+6x+3）+2]=[3（x+1）2+2]=（3×2+2）=2．故答案是：2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，先根据分母有理化把x的值化简，得到x+1=，再把代数式化成含有x+1的形式，然后代入代数式可以求出代数式的值．28．化简：，得到1．【分析】将被开方数的分子、分母提公因式，约分，再开平方，约分即可．【解答】解：原式=（）1004=（）1004（）1004=1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是将被开方数的分子、分母提公因式，约分．29．=﹣3．【分析】因为=，代入并通分计算即可．【解答】解：原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设=a，=b，=c，从而可将原式化简，继而可得出答案．【解答】解：（1）设n=1999，则原式===n2+3n+1，故原式=20002+1999；（2）原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣，=﹣1，=3﹣1，=2；（3）原式=，=，=+，=﹣；（4）设=a，=b，=c，则原式=++，=，=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度较大，注意换元法及完全平方知识的运用．。
(完整版)《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试〔一〕判断题：〔每题1分，共5分〕1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………〔〕【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．〔 〕【提示】231-＝4323-+＝－〔3＋2〕．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…〔〕【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1〔x ≥1〕．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…〔 〕【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．〔 〕29x +是最简二次根式．【答案】×．〔二〕填空题：〔每题2分，共20分〕6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法那么和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】〔a －12-a 〕〔________〕＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝〔 〕2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2〔x －1〕＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab 〔ab ＞0〕，∴ ab －c 2d 2＝〔cd ab +〕〔cd ab -〕．12．比拟大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比拟28，48的大小，再比拟281，481的大小，最后比拟－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·〔_________〕[－7－52．] 〔7－52〕·〔－7－52〕＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法那么和平方差公式． 14．假设1+x ＋3-y ＝0，那么(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数局部和小数局部，那么2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，那么其整数局部x ＝？小数局部y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数局部和小数局部时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数局部和小数局部就不难确定了． 〔三〕选择题：〔每题3分，共15分〕16．233x x +＝－x 3+x ，那么………………〔 〕〔A 〕x ≤0 〔B 〕x ≤－3 〔C 〕x ≥－3 〔D 〕－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】此题考查积的算术平方根性质成立的条件，〔A 〕、〔C 〕不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17．假设x ＜y ＜0，那么222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………〔 〕〔A 〕2x 〔B 〕2y 〔C 〕－2x 〔D 〕－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】此题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．假设0＜x ＜1，那么4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………〔〕〔A 〕x 2 〔B 〕－x 2〔C 〕－2x 〔D 〕2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】此题考查完全平方公式和二次根式的性质．〔A 〕不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………〔 〕〔A 〕a - 〔B 〕－a 〔C 〕－a - 〔D 〕a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………〔 〕〔A 〕2)(b a + 〔 B 〕－2)(b a -〔C 〕2)(b a -+-〔D 〕2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】此题考查逆向运用公式2)(a ＝a 〔a ≥0〕和完全平方公式．注意〔A 〕、〔B 〕不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义．〔四〕在实数范围内因式分解：〔每题3分，共6分〕21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】〔3x ＋5y 〕〔3x －5y 〕． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．〔五〕计算题：〔每题6分，共24分〕23．〔235+-〕〔235--〕； 【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．〔a 2m n －m ab mn ＋m n n m 〕÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝〔a 2m n－mab mn ＋mn n m 〕·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．〔a ＋ba abb +-〕÷〔b ab a +＋a ab b -－ab b a +〕〔a ≠b 〕． 【提示】此题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】此题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． 〔六〕求值：〔每题7分，共14分〕27．x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将条件化简，再将分式化简最后将条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】此题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y 〞、“x －y 〞、“xy 〞．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +〔22a x +－x 〕，x 2－x22a x +＝－x 〔22a x +－x 〕．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】此题如果将前两个“分式〞分拆成两个“分式〞之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题：〔每题8分，共16分〕29．计算〔25＋1〕〔211+＋321+＋431+＋…＋100991+〕．【提示】先将每个局部分母有理化后，再计算． 【解】原式＝〔25＋1〕〔1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--〕＝〔25＋1〕[〔12-〕＋〔23-〕＋〔34-〕＋…＋〔99100-〕] ＝〔25＋1〕〔1100-〕 ＝9〔25＋1〕．【点评】此题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．假设x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解此题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(含答案
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(含答案一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B ．2=C ．(26=D==2．下列运算结果正确的是（ ）A 9=-B 3=C ．(22= D 5=-3．下列计算正确的为（ ）．A 5=-B =C =+D =4．下列运算中，正确的是 ( )A ． 3B ．×=6C ． 3D ．5．下列计算正确的是（ ）A =BC D =6．下列各式计算正确的是（ ）A B ．C =3 D ．7．下列计算正确的是（ ）A =B 1-=C =D 6==8．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x ==-=，解得x=结果为（ ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-9．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数B ．1≤x≤4C ．x≥1D ．x≤410．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18B ．13C 24D 0.311．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A 3x +B 13x - C 13x +D 3x -12．下列运算错误的是（ ） A 23=6B 222 C ．22+32=52D ()21-212=二、填空题13．设42 a,小数部分为 b.则1a b- = __________________________. 14．已知112a b +=，求535a ab b a ab b++=-+_____． 15．化简并计算：()()()()()()()...112231920xx x x x x x x +=+++++++________．（结果中分母不含根式） 16．把31a-根号外的因式移入根号内，得________ 17．(623÷=________________ .18．已知：5+22可用含x 2=_____． 19．化简：3222＝_____．20．如果0xy >2xy -．三、解答题21．先阅读下列解答过程，然后再解答：2m n +,a b ，使a b m +=，ab n =，使得22)a b m +=a b n =22())m n a b a b a b ±=±=>+=⨯=，==，由于437,43127,12m n+=，=即：227===+。
二次根式12套培优练习题及答案
二次根式练习（03）一、选择题（每小题2分，共30分） 1、25的平方根是（ ）A 、5B 、–5C 、5±D 、5± 2、2)3(-的算术平方根是（ ）A 、9B 、–3C 、3±D 、3 3、下列叙述正确的是（ ）A 、0．4的平方根是2.0±B 、32）（--的立方根不存在 C 、6±是36的算术平方根 D 、–27的立方根是–3 4、下列等式中，错误的是（ ） A 、864±=±B 、1511225121±= C 、62163-=- D 、1.0001.03-=-5、下列各数中，无理数的个数有（ ） 10.1010017231642π--，， ， ，， 0, - A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果x -2有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、2≥xB 、2<xC 、2≤xD 、2>x7、化简1|21|+-的结果是（ ） A 、22-B 、22+C 、2D 、28、下列各式比较大小正确的是（ ） A 、32-<-B 、6655->- C 、14.3-<-π D 、310->-9、用计算器求得333+的结果（保留4个有效数字）是（ ）A 、3．1742B 、3．174C 、3．175D 、3．1743 10、如果mm m m -=-33成立，则实数m 的取值范围是（ ）A 、3≥mB 、0≤mC 、30≤<mD 、30≤≤m 11、计算5155⨯÷，所得结果正确的是（ ）A 、5B 、25C 、1D 、5512、若0<x ，则xx x 2-的结果为（ ）A 、2B 、0C 、0或–2D 、–213、a 、b 为实数，在数轴上的位置如图所示，则2a b a +-的值是（ ） A ．－b B ．b C ．b －2a D ．2a －b 14、下列算式中正确的是( )A 、333n m n m -=-B 、ab b a 835=+C 、1037=+x xD 、52523521=+15、在二次根式：①1281827中，与3是同类二次根式的是（ ）A 、①和③B 、②和③C 、①和④D 、③和④ 二、填空题（每小题2分，共20分）16、–125的立方根是_____． 17、如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________．18、要使53-x 有意义，则x 可以取的最小整数是 ． 19、平方根等于本身的数是________；立方根等于本身的数是_______ 20、x 是实数，且02122=-x ，则.____=x 21、若b a 、是实数，012|1|=++-b a ，则._____22=-b a 22、计算：①____;)32(2=-②._____1964522=-23 2.645=== ．24、计算：._____1882=++25、已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若2=+b a ，则ab ≤1 （2）若3=+b a ，则ab ≤23 （3）若6=+b a ，则ab ≤3根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤________． 三、解答题（共50分） 26、直接写出答案（10分）② ④⑦348- ⑧()225+ ⑨27、计算、化简：（要求有必要的解答过程）（18分） ①8612⨯ ②)7533(3-③32 －321+2④123127+- ⑤(2⑥2363327⨯-+28、探究题（10=____，，=______． 根据计算结果，回答：（1a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算 ①若2x 〈②=_____29、（6分）已知一个正方形边长为3cm ，另一个正方形的面积是它的面积的4倍，求第二个正方形的边长。
中考数学一轮复习数学二次根式的专项培优练习题(含答案
一、选择题1．下列计算正确的是( ) A ．235+= B ．3223-= C ．623÷=D ．(4)(2)22-⨯-=2．如果0,0a b <<，且6a b -=，则22a b -的值是（ ） A ．6B ．6-C ．6或6-D ．无法确定3．计算32782-⨯的结果是（ ） A ．3B ．3-C ．23D ．534．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A ．12B ．30C ．8D ．125．若a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32D ．86．下列各式计算正确的是（ ） A ．1222= B ．362÷=C ．2(3)3=D ．222()-=-7．当4x =时，22232343124312x x x x x x -+--+++的值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．38．设S=2222222211111111111112233499100++++++++++++，则不大于S 的最大整数[S]等于( ) A ．98 B ．99C ．100D ．1019．将1、、、按图2所示的方式排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ）A ．1B ．2C ．D ．610．若a b >3a b - ）A ．a ab --B ．-a abC ．a abD ．-a ab二、填空题11．计算（π-3）02-211(223)-4--22--（）的结果为_____． 12．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 13．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--++-=+----，则m+4的算术平方根为________．14．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0化简43252a cb=___________ 15．计算：(6＋5)2015·(6－5)2016＝________． 16．已知m=1+ 2，n=1﹣2，则代数式22m n mn +-的值________． 17．25523y x x =-+--，则2xy 的值为__________．18．最简二次根式2m 1-与1343n m --是同类二次根式，则mn ＝________． 19．若28n 是整数，则满足条件的最小正整数n 为________．20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b cp ++=，那么三角形的面积()()()S p p a p b p c =---．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题21．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，31+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一3533333==⨯； (二33131(31)(31)=++-（； (三22(3)1(31)(31)3131313131-+-===++++.以上这种化简的方法叫分母有理化．(1)请用不同的方法化简25+3： ①参照(二)式化简25+3＝__________. ②参照(三)式化简5+3＝_____________ (2)化简：++++315+37+599+97+.【答案】见解析. 【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 解:(1)①;②; (2)原式故答案为:(1)①;②【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.22．阅读下列材料，然后回答问题： 33+153533333⨯⨯2(3(3313+1(3+1)(31)(3)1==-- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.3+122(3)(3+1)(3313+13+13+13+1===. （1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.23．（1）计算：1153208105（2）先化简，再求值：(()228a a a a +--，其中134a =． 【答案】（1）5-2）82-a ，3【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）1415320581054525545=5=-；（2）(()228a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．24．计算（11)1)⨯； （2）【答案】（12+；（2）. 【解析】分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.详解：（1)11+；＝()31-2 ；（2）原式＝(22⨯,＝＝3⨯＝＝点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．25．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)． 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可. 【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.26．在一个边长为（cm 的正方形的内部挖去一个长为（）cm ，cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】 【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（）=（）﹣（﹣）=（cm 2）． 考点：二次根式的应用27．计算：0(3)|1|π-+．【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答． 【详解】解：原式11=+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．28．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+ 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断. 【详解】解：AB 、C 2÷=，故错误；D ，故正确.故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的四则运算.2．B解析：B 【解析】=-a-(-b)=b-a=-6.故选B 3．A解析：A先计算二次根式乘法，再合并同类二次根式即可．【详解】原式=故选：A．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．4．B解析：B【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】解：A=不是最简二次根式，本选项错误；BC=不是最简二次根式，本选项错误；D2=故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解题的关键．5．B解析：B【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】∴a≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意，∴a的值可能是2．故选：B．【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．6．C【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】2，故选项A错误；=B错误；C.23=，故选项C正确；2=，故选项D错误；故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．7．A解析：A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式2223232323x xx x112323x x将4x=代入得，原式114234232211131331133331131=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．8．B解析：B 【分析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99． 【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n-+， ∴=1111111+11122399100-++-+++- =199+1100- =100-1100，∴不大于S 的最大整数为99． 故选B. 【点睛】1111n n =+-+是解答本题的基础．9．D解析：D【解析】（4，2）表示第4排从左向右第2个数是：，（21，2）表示第21排从左向右第2个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 第21排是奇数排，最中间的也就是这排的第1个数是1，那么第2个就是：， •=6,故选D10．D解析：D【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可；【详解】 3a b -∴-a 3b≥0∵a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0 23=a b ab a a ab --=-，故选：D ．【点睛】此题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．二、填空题11．﹣6【解析】根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.故答案为﹣6．解析：﹣6【解析】根据零指数幂的性质01(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质1(0)p p a a a -=≠，可知（π-3）0()2-211223-4--22-（）=1﹣（3﹣2）﹣4×22﹣4=1﹣2﹣2﹣4=﹣6.故答案为﹣6．12．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．13．3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3解析：3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：35302302x y mx y mx y+--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得：x=1，y=1，m＝5，∴==3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．14．【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b＞0时，=；当b＜0时，=.故答案为：.解析：00b b 当时当时>⎨⎪<⎪⎩【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b ＞0= 当b ＜0=故答案为：00b b ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩当时当时. 15．【解析】原式=.故答案为.【解析】原式=20152015=16．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====． 故答案是：．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得．17．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy=-2×52×3=-15.18．21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案. 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴ ，解得，，∴故答案为21.解析：21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴7321.mn=⨯=故答案为21.19．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．解:∵28=4×7，4是平方数，n 的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．20．【分析】根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可．【详解】解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8．所以三角形的面积S ＝＝＝4．故答案为：4．【点睛】本题主解析：【分析】根据a ，b ，c 的值求得p ＝2a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝【详解】解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝2a b c ++＝4572++＝8．所以三角形的面积S ．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 三、解答题21．无22．无23．无25．无26．无27．无28．无。
专题42 二次根式 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．二、二次根式分母有理化【典例】已知x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，则x y +y x = ．【解答】解：把x 、y 进行分母有理化可得：x =√3+√2√3−√2=√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6， y =√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6， ∴x y +y x =x 2+y 2xy =√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．32√3+2√2−√3−2√2）A．√2B．−√2C．2D．﹣23．如果实数x，y满足（√x2+1+x）（√y2+1+y）＝1，那么x+y值为（）A．0B．﹣1C．1D．24．小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5√8−x=3，将√24−x=5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（1）已知√22−a2−√10−a2=3√2，则√22−a2+√10−a2的值为．（2）解方程√4x2+6x−5+√4x2−2x−5=4x，得方程的解为．5．已知整数x、y满足：1＜x＜y＜100，且x√y+y√x−√2009x−√2009y+√2009xy=2009则：√x+y+10=．6．已知x=b−√b2−4122（b＞21），则x2﹣bx+103＝．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．10．若m满足关系√3x+5y−2−m+√2x+3y−m=√x−199+y⋅√199−x−y，试求m的值．11．已知x =√n+1−√n√n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．【解答】解：∵√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|+|b +4|+|b ﹣2|＝10，∵|a ﹣1|+|a ﹣5|≥4，|b +4|+|b ﹣2|≥6，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝4，|b +4|+|b ﹣2|＝6，∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，∴a2+b2的最大值为：52+（﹣4）2＝41．故答案为：41．二、二次根式分母有理化【典例】已知x=√3+√2√3−√2，y=√3−√2√3+√2，则xy+yx=．【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：x=√3+√2√3−√2=(√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6，y=√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6，∴xy +yx=x2+y2xy=√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020【解答】解：∵x=√2020−√2019=√2020+√2019，∴x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020＝x5（x﹣2√2019）﹣x4+x2（x﹣2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020+√2019−2√2019）﹣x4+x2（√2020+√2019−2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020−√2019）﹣x4+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝x4[x（√2020−√2019）﹣1]+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝0+x（√2020+√2019）（√2019−√2020）+2x−√2020＝﹣x+2x−√2020＝x−√2020=√2019．故选：C．三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．【解答】解：∵√3+√5−√3−√5=√6+2√52−√6−2√52=√5+1√2√5−1√2=√2，∴a的小数部分=√2−1；∵√6+3√3−√6−3√3=√12+6√32−√12−6√32=√3+3√23−√3√2=√6，∴b的小数部分=√6−2，∴2b −1a=√6−2−√2−1=√6+2−√2−1=√6−√2+1．故答案为：√6−√2+1．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由两个已知等式可得，√a=35(c+3)，|b|=25(2−c)，而|b|≥0，所以c≤2．当c ＝2时，可得a ＝9，b ＝0，满足已知等式．所以c 可能取的最大值为2．故选：C ．2．化简√3+2√2√17+12√2−√3−2√2√17−12√2的结果是（ ） A ．√2 B ．−√2C ．2D ．﹣2 【解答】解：3+2√2=(√2+1)2，3−2√2=(√2−1)2；17+12√2=(3+2√2)2，17−12√2=(3−2√2)2，因此，原式=√3+2√2√3−2√2=√2+1√2−1=−2． 故选：D ．3．如果实数x ，y 满足（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，那么x +y 值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2 【解答】解：∵（√x 2+1+x ）（√x 2+1−x ）＝x 2+1﹣x 2＝1，（√y 2+1+y ）（√y 2+1−y ）＝y 2+1﹣y 2＝1又∵（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，∴{√x 2+1−x =√y 2+1+y①√y 2+1−y =√x 2+1+x②， ①+②得：﹣x ﹣y ＝x +y ，∴2（x +y ）＝0，∴x +y ＝0．故选：A ．4．小明在解方程√24−x −√8−x =2时采用了下面的方法：由(√24−x −√8−x)(√24−x +√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x ）﹣（8﹣x ）＝16，又有√24−x −√8−x =2，可得√24−x +√8−x =8，将这两式相加可得{√24−x =5√8−x =3，将√24−x =5两边平方可解得x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： （1）已知√22−a 2−√10−a 2=3√2，则√22−a 2+√10−a 2的值为 ．（2）解方程√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，得方程的解为 ．【解答】解：（1）（√22−a 2+√10−a 2）（√22−a 2−√10−a 2）＝22﹣a 2﹣（10﹣a 2）＝12，∵√22−a 2−√10−a 2=3√2，∴√22−a 2+√10−a 2=2√2，故答案为：2√2；（2）（√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5）（√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5）＝（4x 2+6x ﹣5）﹣（4x 2﹣2x ﹣5）＝8x ，∵√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，∴√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5=2，将这两式相加可得√4x 2+6x −5=2x +1，解得x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解．∴原方程的解为：x ＝3，故答案为：x ＝3．5．已知整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 则：√x +y +10= ．【解答】解：∵x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 ∴√xy （√x +√y ）−√2009（√x +√y ）+√2009xy −√20092=0 （√x +√y +√2009）（√xy −√2009）＝0∵1＜x ＜y ＜100∴√xy −√2009=0∴xy ＝2009＝7×7×41＝49×41∵整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100∴x ＝41，y ＝49∴√x +y +10=√41+49+10=√100=10． 故本题答案为：10．6．已知x =b−√b 2−4122（b ＞21），则x 2﹣bx +103＝ ． 【解答】解：将x =b−√b 2−4122代入x 2﹣bx +103， x 2﹣bx +103＝（b−√b 2−4122）2﹣b •b−√b 2−4122+103 =b 2−2b √b 2−412+b 2−4124−b 2−2b √b 2−412+b 2−4124＝0，故答案为0．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．【解答】解：原式＝x2+2+1x2+6（x+1x）+5＝（x+1x）2+6（x+1x）+5＝（x+1x+1）（x+1x+5），∵x＝3+2√2，∴1x =3+2√2=3﹣2√2，∴x+1x=3+2√2+3﹣2√2=6．∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|【解答】解：（1）原式＝2√5（8√5−9√5+2√5）＝2√5×√5＝10；（2）原式=√3+1+3√3−1+1 9＝4√3+1 9；（3）∵a=√5+1，b=√5−1，∴a+b＝2√5，ab＝4，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2√5＝8√5；（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．∴√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．【解答】解：∵x ﹣y ＝6，∴(√x +√y)(√x −√y)=6，∴√x +√y =√x−√y ， ∵√x 2−xy +√xy −y 2=√x •√x −y +√y •√x −y=√x −y （√x +√y ）＝9， ∴√6√x−√y =9， 即√x −√y =6√69， ∴√x 2−xy −√xy −y 2=√x −y （√x −√y ）=√6×6√69 ＝4．10．若m 满足关系√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =√x −199+y ⋅√199−x −y ，试求m 的值．【解答】解：根据题意得：{x −199+y ≥0199−x −y ≥0， 则x +y ﹣199＝0，即√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =0，则{x +y −199=03x +5y −2−m =02x +3y −m =0，解得{x =396y =−197m =201．故m ＝201．11．已知x =√n+1−√n √n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1 998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由． 【解答】解：不存在．∵x +y =√n+1−√n√n+1+√n √n+1+√n√n+1−√n =(√n +1−√n)2+(√n +1+√n)2＝n +1﹣2√n(n +1)+n +n +1+n +2√n(n +1)=4n +2．xy =√n+1−√n√n+1+√n •√n+1+√n=1．假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．即19x2+36xy+19y2＝1998．19x2+19y2＝1962，（x2+y2）=1962 19．（x+y）2=196219+3819=200019.x+y=√200019=20√9519．由已知条件，得x+y＝2（2n+1）．∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，∴x+y=20√9519不为整数．∴不存在这样的自然数n．。
人教版八年级下册 第16章《二次根式》单元培优测试卷(解析版)
第16章《二次根式》单元培优测试卷、选择题工.下列各式成立的是正=a D J(-3)〜=3A.7H F=-2【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】A.J（_2）2 =2,故本选项错误；B.（"） =4，故本选项错误；C.J后=同，故本选项错误；D.J（-3『=3，故本选项正确.故选D.【点睛】本题考查了二次根式的基本性质：①〃K）; V^＞（）（双重非负性）.②（&）2%（生0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.③日=a（。
加）（算术平方根的意义）.2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）2B.耳【2题答案】【答案】A【解析】【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案.【详解】A.且是最简二次根式，故此选项正确；2D ・ 阮二xH ，故此选项错误•故选A.【点睛】本题考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题的关键.3 .若二次根式:7有意义，则x 的取值范围是（）A. x> —B. —C. —D. xW5 5 5 5【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.【详解】解：由题意得，5x- 1>0,解得，［,故选人【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键. 4.如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A. 78 cm 2B. + \/30) cm 2C. 12M cm 2 【4题答案】【答案】P【解析】 【分析】根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面积，即可求出阴影 c.D. 24M cm 2故此选项错误;部分的面积进而得出答案.【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为300层和48cm2的两个小正方形，大正方形的边长是同+ A =同+ ，留下部分(即阴影部分)的面积是：2(46 +而)-30-48 = 24V10(c/722)故选：D.【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键.5.已知百砺是正整数，则满足条件的最大负整数m为()A. -10B. -40C. -90D. -160 【5题答案】【答案】A【解析】【详解】依题意可得，T0m>0且是完全平方数，因此可求得mVO,所以满足条件的m的值为TO.故选A.6.已知X=g + 1, —则/+个+)2的值为( )A 4 B. 6 C. 8 D. 1() 【6题答案】【答案】P【解析】【分析】根据f +盯+),2=(工2+2个，+,2)_孙=。
初中数学数学二次根式的专项培优练习题(含答案
一、选择题1．下列计算正确的是（）A 5 B＝2y Ca=D= 2．下列计算正确的为（）．A5=-B=C=+D=3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）AB C．D4．下列运算正确的是（）A=B． 3 C＝﹣2 D=5．）A B C D6．下列运算正确的是（）A=B=C．3=D2= 7．下列各式计算正确的是（）A．6232126()ba b a ba---⋅=B．（3xy）2÷（xy）=3xyC=D．2x•3x5=6x68．下列二次根式是最简二次根式的是（）A B C D9．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）.A．B C D10．下列各式计算正确的是（）A+=B．26=（C4=D=二、填空题11．能力拓展：11:2121A -=+；21:3232A -=+；31:4343A -=+；4:54A -=________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A∵32+________21+∴132+________121+∴32-________21-()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：43-________32-；76-________54-；1n n +-________1n n --12．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____．13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=22]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 14．3x x=，且01x <<2691x x x =+-______．15．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________． 16．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为________． 17．把1a- 18．4x -x 的取值范围是_____． 19．2a ·8a (a ≥0)的结果是_________. 20．已知23x =243x x --的值为_______．三、解答题21．3535+-解：设x 3535+-222(35)(35)2(35)(35)x =++-++-235354x =+，x 2=10∴x =10．0．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x两边平方得：x 2=2+2+即x 2=4+4+6， x 2=14∴x =．0，∴x ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．22．已知1,2y =. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤188x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12，∴原式532-==1222. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．23．计算：（1）+（2(33+-【答案】（1）2） -10 【分析】（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可． 【详解】解：（1）+===（2(33+-=5+9-24=14-24 =-10． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．24．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y xx y+ 【答案】(1) 72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xyxy+-，然后利用整体代入的方法计算.【详解】∵x =2，y =3∴xy=12, (1)22x xy y -+ =（x+y ）2-3xy,=2132-⨯ =72; (2)y x x y +=2212()22812x y xyxy-⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．25．（1|5-+； （2）已知实数a 、b 、c满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4 【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可． 【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩,解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -= 3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．26．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．27．计算：（1）-（2）【答案】（1）21 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可． 【详解】解：（1）原式==（2）原式3+21==．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．28．计算：（1）13⎛+-⨯ ⎝⎭（2）)()2221+．【答案】（1）6-；（2）12-【分析】（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式＝1(233⨯⨯-⨯＝-⨯＝3⎫⨯⎪⎪⎭＝6-；（2）原式＝3﹣4+12﹣＝12﹣． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二次根式的性质对A 、B 进行判断；利用分母有理化对C 进行判断；利用二次根式的加减法对D 进行判断． 【详解】解：A 、原式＝5，所以A 选项错误；B 、原式＝，所以B 选项错误；Ca =，所以C 选项正确；D D 选项错误．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及合并同类项法则，正确化简各式是解题的关键．2．D解析：D 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可． 【详解】A 5=，故A 选项错误；B B 选项错误；C ．++=222，故C 选项错误；D 2=，正确， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．3．D解析：D 【分析】根据最简二次根式的特点解答即可. 【详解】A ，故该选项不符合题意；B =C 、D 不能化简，即为最简二次根式， 故选：D . 【点睛】此题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能再开方的因式或因数，牢记特点是解题的关键.4．D解析：D 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：AB、＝，故此选项错误；C2，故此选项错误；D，正确；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．5．A解析：A【分析】根据二次根式的性质把每一项都化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．【详解】解：A＝B3C不是同类二次根式，不合题意；D3故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．6．D解析：D【分析】利用二次根式的加减法对A、C进行判断；利用二次根式的性质对B进行判断；利用二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A A选项错误；B=B选项错误；C、=C选项错误；=，所以D选项正确．D2故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．D解析：D 【分析】依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果． 【详解】A. 2321526()b a b a b a---⋅=，故选项A 错误；B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；C 错误； D. 2x •3x 5=6x 6，正确． 故选：D ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．A解析：A 【分析】根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】A 是最简二次根式，此项符合题意B =C 、当0x <D=不是最简二次根式，此项不符题意 故选：A ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键．9．A解析：A 【详解】根据最简二次根式的意义，可知2=. 故选A.10．D解析：D【分析】根据二次根式的运算法则一一判断即可．【详解】AB 、错误，212=（；C ==D ==故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则，属于中考常考题型． 二、填空题11．(1)、；(2);(3)【解析】【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1)=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】【分析】（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.12．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y ）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x 2+xy+y 2=（x+y ）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10． 13．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．14．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运．【分析】，再把它们相乘得到1xx-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．【详解】3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x<<，=，∴1xx=-=-∴原式====．．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．15．【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m-≤确定m的取值范围，再根据m a+=32a≤≤，最后利用78<<来确定a的取值范围．【详解】解：()230m m--≤23m∴≤≤m a+=a m∴=32a∴≤≤7528<<46a∴<<a为整数a∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．16．3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3解析：3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：35302302x y mx y mx y+--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得：x=1，y=1，m＝5，∴==3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．17．﹣【解析】解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣．故答案为：．点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．解析：【解析】解：通过a≤0，，所以故答案为：点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．18．x＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根解析：x＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．19．4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.【详解】===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.解析：4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.)0a≥===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键. 20．-4【分析】把代入计算即可求解．【详解】解：当时，=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题解析：-4【分析】把2x=243x x--计算即可求解．【详解】解：当2x=243x x--((22423=---4383=--+=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
(完整word版)二次根式拓展专题培优
二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=,求x+y 的值4、已知实数a,b ，c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习：1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342-=-+-b a a ,则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a = 二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是2、把a b b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为 练习: 1、化简（1)a a 1- （2）22xx x --2、已知a ，b ，c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x x +=-11，则2)1(-x =三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：1131432112+⨯+=⨯⨯⨯+,1232543212+⨯+=⨯⨯⨯+，1333654312+⨯+=⨯⨯⨯+，猜测=⨯⨯⨯+201720162015201412、计算2201612018201720162015-+⨯⨯⨯的结果为 练习：1、设n,k 为正整数，,, ,已知，则 2、小明做数学题时，发现,，,,按上述规律,第n 个等式是3、设S=++…+，求不超过S 的最大整数四、分母有理化例题:黑白双雄、纵横江湖;双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述,其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子"如:，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：,像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化．解决问题：①的有理化因式是 ,121分母有理化得 ②计算：③计算：． ④已知，,则⑤已知:,,,试比较a 、b 、c 的大小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学二次根式的专项培优练习题(附解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B =C =D =2．下列各式计算正确的是（ ）AB ．C =3D ．3．下列运算正确的是（ ）A =B ． 3C ＝﹣2D =4．下列各式中，正确的是（ ）A 2=±B =C 3=-D 2=5．下列计算正确的是（ ）A =B 3=C =D ．21= 6．下列式子中，是二次根式的是( )A B CD ．x7．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ． x ≤48．已知a ( )A ．0B ．3C ．D ．99．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.01)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．912．230x -=成立的x 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．以上都不对二、填空题13．使函数212y x x=+有意义的自变量x 的取值范围为_____________14．已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为______.15．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____．16．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．17．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________．18．()()22223310x y x y ++-+=，则222516x y +=______.19．已知4a2(3)|2|a a +--=_____．20．化简：3222＝_____．三、解答题21．阅读下面问题： 阅读理解：2221(21)(21)==++-1； 323232(32)(32)==++-(55252(52)(52)==-++-．应用计算：（176+（211n n++（n 为正整数）的值．归纳拓展：（3122334989999100++++++【答案】应用计算：（17621n n + 归纳拓展：（3）9． 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（17-6分母利用平方差公式计算即可，（2n 1-n +（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-， =10-1， =9． 【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．计算： 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．（112=3==；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2n=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含n （3）证明：∵n 是正整数，n ．n．故答案为5=25 n；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.24．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a ﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.25．先化简，再求值：a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()23a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.26．先观察下列等式，再回答下列问题： 2211111111121112++=+-=+； 2211111111232216++=+-=+ 22111111113433112++=+-=+ (1)2211145++ (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子． 试题解析：(1)2211145++=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.27．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.28．先化简，再求值：24224x xx x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭，其中2x =．【答案】22x x +-，1 【分析】先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2x x x x x x x x +-+=⋅=---，当2x =时，原式1==.【点睛】本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．29．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2．（2）12a ===，12b ===，2222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．30．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】=3= ， ∴A 、C 、D 均错误，B 正确， 故选：B.此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 2．C解析：C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可．【详解】AB、C，故本选项正确；D、=18，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．3．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【详解】解：AB、＝，故此选项错误；C2，故此选项错误；D，正确；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．4．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．【详解】A，故该选项错误；B===，故该选项错误；C3D11223334=(2)2==，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．5．A解析：A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．【详解】解：======，原式计算错误；D. 2220=-=，原式计算错误；故应选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．【详解】解：A是二次根式，符合题意；B是三次根式，不合题意；C、当x＜0D、x属于整式，不合题意；故选：A．【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．7．B解析：B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|，当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．8．B解析：B【解析】=，可知当（a﹣3）2=0，即a=3故选B．9．C解析：C【解析】试题解析：∵a1，a∴1-a≥0，a≤1，故选C．10．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．解析：A【解析】根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．12．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.【详解】x30-=，=0=，∴x=-2或x=3，又∵2030 xx+≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3，故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题13．【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，解得：①当时，解得：即：①当时，解得：即：故自变量x的取值范围为【点睛】解析：11,0 22x x-≤≤≠利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，220x x +≠解得：0,2x x ≠≠-12||0x -≥①当0x >时，120x -≥ 解得：12x ≤ 即：102x <≤①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-即：102x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -≤≤≠ 【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 14．1【分析】设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值． 【详解】解：设x 2−a 2=y 2−b 2=2008， ∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b ，x−a=y+b∴x=y ，a+b=0，∴， ∴x 2=y 2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系.15．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）= 12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．16．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．17．【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．18．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.19．-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此解析：-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∴a+3<0,2-a>0,-=-a-3-2+a=-5，|2|a故答案为：-5.【点睛】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.20．【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．解析：【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：=．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无27．无28．无29．无30．无。