第三节随机误差的正态分布

——总体平均值，表示无限次测量数据的平均值。
图3-4 正态分布曲线－ N ( ，2）
（μ相同，σ2>σ1） 曲线的形状取决于 和2， 和2确定了正态分布曲线 N( ，2）也就定了。
正态分布曲线关于直线x=μ呈钟形对称，反映随机误 差具有以下特点： 1.对称性 绝对值大小相等的正负误差出现的概率相等， 因此它们常可能部分或完全相互低消。
1、算出极差
R = 1.74%－1.49% = 0.25%，
2、确定组数和组距 组数： 容量大时分为10-20组，容量小（n<50）分为5-7组，
本例分为9组。 组距：极差除以组数， 组距 组 极＝ 数 差 1.7 9 41.49 0.0)3; ３、统计频数和计算频率
测定值落在每组内的个数，称为频数；
第三节 随机误差的正态分布
一、 频率分布
在相同条件下对某样品中镍的质量分数（%） 进行重复测定，得到90个测定值如下：
1.60 1.67 1.67 1.64 1.58 1.64 1.67 1.62 1.57 1.60 1.59 1.64 1.74 1.65 1.64 1.61 1.65 1.69 1.64 1.63 1.65 1.70 1.63 1.62 1.70 1.65 1.68 1.66 1.69 1.70 1.70 1.63 1.67 1.70 1.70 1.63 1.57 1.59 1.62 1.60 1.53 1.56 1.58 1.60 1.58 1.59 1.61 1.62 1.55 1.52 1.49 1.56 1.57 1.61 1.61 1.61 1.50 1.53 1.53 1.59 1.66 1.63 1.54 1.66 1.64 1.64 1.64 1.62 1.62 1.65 1.60 1.63 1.62 1.61 1.65 1.61 1.64 1.63 1.54 1.61 1.60 1.64 1.65 1.59 1.58 1.59 1.60 1.67 1.68 1.69
概率
0.3413×2=0.6826 0.4773×2=0.9546 0.4987×2=0.9974
同一总体的全部测定值或随机误差在上述区间出现
概率的总和为100%，即为1。
1
(u)du
u2
e 2du1 （3-16）
2
欲求测定值或随机误差在某区间出现的概率P， 可取不同的u值对式（3-16）积分求面积而得到。例 如随机误差在±σ区间（u=±1），即测定值在μ±σ 区间出现的概率是：
P(1u1) 1
y f (x)
1
u2
e2
2
y(u)
1
u2
e2
2
u称为标准正态变量，上式就只有变量u的函数表达式
总体平均值为μ的任一正态分布均可化为μ=0，σ2=1的 标准正态分布，以 N（0，1）表示。
图3-5 标准正态分布曲线
四、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积，就
等于概率密度函数从-∞至+∞的积分值。它表示来自
数据出现在各组内的频率，即相对频数
相对频数＝频数／样本容量总数
分组（%）
1.485-1.515 1.515-1.545 1.545-1.575 1.575-1.605 1.605-1.635 1.635-1.665 1.665-1.695 1.695-1.725 1.725-1.755
∑
频数
2 6 6 17 22 20 10 6 1 90
2.单峰性 峰形曲线最高点对应的横坐标x-μ值等于0，表 明随机误差为0的测定值出现的概率密度最大。
3.有界性 一般认为，误差大于 3 的测定值并非是由随
机误差所引起的。也就是说，随机误差的分布具有有限的 范围，其值大小是界的。
三、标准正态分布
x
定义： u
代入
yf(x)
1
(x)2
e 22
2
则：
u2 1
e2du 0.683
21
按此法求出不同u值时的积分面积，制成相应 的概率积分表可供直接查用。
表 3-1 中 列 出 的 面 积 对 应 于 图 中 的 阴 影 部 分 。 若区间为±|u|值,则应将所查得的值乘以2。例如：
随机误差出现的区间
u=±1 u=±2 u=±3
测定值出现的区间
x=μ±σ x=μ±2σ x=μ±3σ
频率
0.022 0.067 0.067 0.189 0.244 0.222 0.111 0.067 0.011 1.00
平均值1.62
二、正态分布
正态分布，又称高斯分布，它的数学表达式即正态分
布函数式为：
yf(x)
1
(x)2
e 22
2
y —— 概率密度
Leabharlann Baidu
X—— 个别测量值
x- ——随机误差 —— 总体标准偏差，表示无限次测量分散的程度。