第三节随机误差的正态分布
简述随机误差正态分布的主要规律
简述随机误差正态分布的主要规律
随机误差正态分布是指测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律。
其主要规律包括以下几点:
1. 平均数和方差呈正态分布：随机误差的正态分布以测量平均值为重心，其分布形状类似于一个钟形曲线。
随着测量次数的增加，随机误差的方差会趋近于平均值，使得正态分布的曲线更加平缓。
2. 极端值的出现概率较小：正态分布的规律表明，测量结果中极端值的出现概率较小，而大多数测量结果都分布在平均值附近。
3. 误差分布的离散程度与测量次数有关：随着测量次数的增加，随机误差的分布形状不变，但是其离散程度会越来越大。
这主要是因为多次测量的结果会趋近于平均值，使得随机误差的分布更加集中。
4. 误差分布的形状与测量方法有关：不同的测量方法可能会导致误差分布的形状不同。
例如，在回归分析中，残差的正态分布形状取决于回归模型的准确度。
随机误差正态分布的主要规律表明，测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律，而随机误差的分布形状、离散程度和形状取决于测量方法和测量次数等因素。
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
§1—2随机误差的正态分布
b.
-
0
+
x
X -
2.正态分布曲线的讨论
特点:
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准偏差
（1）y极大值在 x = μ 处；
于x = μ 对称；
x 轴为渐近线.
（2）拐点在 x = μ ± σ 处.
表示为N(, 2)
（1）测定值的正态分布
(u )du 1
同理，由标准正态分布曲线方程还 可求得在无限多次测量中，某一范围内测 量值或随机误差出现的机会（概率）的最 终趋势是多少. 2 u 即 u2 1
P
u1
2
e 2 du
标准正态分布曲线 N (0,1)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3 -2 - -3 -2 -
对称性: 曲线以x =这条直线为对称轴.
表明测量数据具有明显的向 总体平均值集中的趋势；
决定正态分布曲线的中心位置。
测量值出现正,负误差的机会相等. 单峰性:
1 y 2π
x =时,y值最大,表现为一个峰形.
σ决定正态分布曲线的形状；
σ越小，数据越集中，测定值落在
附近的概率越大。
当 σ ，µ 确定，正态分布曲线的位置和形状也确定，
P=95.5% ½ a
=0.47%
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
u
α=4.5%
P 置信度
a 显著性水平
P+ a = 1
-3
-2
-1
0
68.3% 95.5% 99.7%
0
2 3 + +2 +3
随机误差的正态分布.
测量值出现的区间
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
概率
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在 (1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于 2.00%的概率。
解：(1)
u x x 1.75% 0.15% 1.5
0.10% 0.10%
(2) 属于单边检验问题： u x 2.00% 1.75% 2.5
0.10%
阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率 为 0.5000 ， 故 阴 影 部 分 以 外 的 概 率 为 0.5000 － 0.4938=0.62% ， 即 分 析 结 果 大 于 2.00% 的 概 率 为 0.62%。
概率P为： p
(u) du
1
eu2 / 2du
2
大多数测量值集中在算术平均值的附近； 小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，
特大误差出现的几率极小； 绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相
等。
表3-2 正态分布概率积分表
图 7-5 正态分布概率积分图
y f (x)
1
e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系 统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。
σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差
概率
随机误差的正态分布特点
随机误差的正态分布特点1.均值：正态分布的均值为μ，表示数据的中心位置。
在随机误差中，均值可以理解为误差的总体偏差。
如果误差呈现正态分布，均值为0，则表示误差的总体平均值接近于真值，没有系统性偏差。
2.方差：正态分布的方差为σ^2，表示数据的分布范围。
在随机误差中，方差可以理解为误差的离散程度。
方差越大，数据点越分散，说明误差范围更广，反之亦然。
随机误差的正态分布特点是方差相等，即具有同一水平的离散程度。
3.形状：正态分布的形状呈钟形曲线，两侧对称。
随机误差的正态分布特点是呈正态分布曲线，即误差集中在均值附近，偏离均值的概率较小。
该特点反映了随机误差的分布规律，即大部分误差相对较小，极端误差的发生概率较低。
4.中心极限定理：中心极限定理指出，当样本容量足够大时，不论总体分布形态如何，样本的均值分布将近似服从正态分布。
这意味着随机误差的正态分布特点成为了统计学中很重要的前提条件。
由于中心极限定理的存在，可以使用正态分布来进行统计推断和置信区间估计等分析。
在实际应用中，随机误差的正态分布特点有着重要的意义：1.基于随机误差的正态分布特点，可以进行参数估计和假设检验等统计推断。
通过对误差进行统计分析，可以对总体特征进行估计，并利用置信区间判断总体特征是否显著。
2.正态分布的特点使得随机误差具有较好的可控性和可预测性。
通过对误差的分布特征的研究，可以提供对误差的限制和控制方法，从而提高实验的精度。
3.正态分布假设简化了许多统计模型的建立和推断过程。
在许多情况下，我们可以假设随机误差符合正态分布，从而简化了模型的复杂度和计算的难度。
然而，需要注意的是，随机误差的正态分布特点并不意味着所有数据都遵循正态分布。
实际数据可能会受到多种因素的影响，导致偏离正态分布。
因此，在实际应用中，需要通过实际数据分布的分析和统计检验来验证数据是否符合正态分布。
同时，也需要对数据进行预处理和适当的转换，以满足正态分布的假设前提条件。
第三节 正态分布
主要内容： 主要内容： 一、正态分布概念 二、正态分布的特点 三、应用
一、正态分布概念
正态分布又称高斯分布，常态分布，是一种数据的 波动规律的表达，主要反映了试验的随机误差。
强度分组为横坐标，以频数为纵坐标,绘成强 度—频数直方图
12 10 8 6 4 2 0 18 20 22 24 26 3 7 5 2 10
应用
1．可疑数据的舍弃； A. 莱 特 准 则 （ 3σ 原 则 ） ： 由 于 落 在 (u3σ,u+3σ)的概率为99.73％，处在3σ之外的 概率(即误差概率)仅为0.27％，接近0，对于 常规一般仅进行几十次的测量，如处在3σ之 外则说明属于随机误差，应剔除。 由于次判据是建立在n趋向于无穷得基础上得， 所以当n有限时，尤其是n较小时这一判据并不 十分可靠。但是由于其使用方便，故常常被使 用。
（一）正交设计的基本方法
试验设计包括三方面的内容： 1. 因素和水平选择 2. 误差控制：试验方案的制定 3. 数据处理：分析试验结果
一般来说,为保证结论的可靠性，在选取因素时 应把所有影响较大的因素选入试验，某些因素 之间可能还有交互作用，所谓交互作用，就是 这些因素在同时改变水平时，其效果会超过单 独改变某一因素水平时的效果。影响较大的因 素还应包括那些单独变化水平时效果可能不太， 大与其他因素同时变化时交互作用较大的因素， 这样才能保证试验的代表性。因素变化越多越 好，取值不能少于3个，这样才能看出曲线，看 出其变化的趋势。某一因素取值变化的次数即 水平数，为了减少试验次数，往往取两水平(现 行工艺水平和新工艺水平)或三水平(低于现行 工艺水平或理论值、现行工艺水平、高于现行 工艺水平)。 水平变化的范围不宜太大。
且从图12－2还可以看出，按趋势，增加 水分与碾压料重、抗折强度，还有可能 提高，因此还应扩大试验范围，试探其 强度趋势。
大学物理实验理论课2
③ 人为方面的因素
二、正态分布 例如：用秒表测单摆的周期T，将各测量 值出现的次数列表如下。
测量值xi
次 数 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1 1 2 8 8 5 2 2 1.09 1.10 1 0
一、粗大误差产生的原因
产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为： ① 测量人员的主观原因 测量者工作责任感不强、工作过于
疲劳、缺乏经验操作不当，或在测 量时不小心、不耐心、不仔细等， 造成错误的读书或记录。
② 客观外界条件的原因
测量条件意外地改变（如机械冲击、 外界振动、电磁干扰等）。
二、判别粗大误差的准则
算术平均值的标准差
标准差的估值
x
Sx
n
(li x ) 2
i 1 n
n( n 1)
x
n
即在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为 单次测量标准差的 1 / n ，当n愈大，算术平均值越接近被测量 的真值，测量精度也愈高。 增加测量次数，可以提高测量 精度，但测量精度是与n的平方根成 反比，因此要显著提高测量精度， 必须付出较大的劳动。由图2-3可知, σ一定时，当n>10以后， x 的减小很 慢。此外，由于增加测量次数难以 保证测量条件的恒定，从而引入新的 误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测 量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。
算术平均值是真值的最佳估值
下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。
i li Lo
1 2 n (l1 l 2 l n ) nLo
第3章 分析化学中的误差及数据处理
b：如何确定滴定体积消耗？(滴定的相对误差
小于0.1% )
0～10ml； 20～30ml； 40～50ml
万分之一的分析天平可称准至±0.1mg
常量滴定管可估计到±0.01mL
一般常量分析中，分析结果的精密度以平均相 对偏差来衡量，要求小于0.3%；准确度以相对误差 来表示，要求小于0.3%。
误差传递，每一个测定步骤应控制相对误差更小 如，称量相对误差小于0.1%
使用计算器作连续运算时，过程中可不必对每一步 的计算结果进行修约，但要注意根据准确度要求，正确 保留最后结果的有效数字位数。
四、有效数字在分析化学中的应用
1. 正确地记录数据 2. 正确地选取用量和适当的仪器 3. 正确表示分析结果
问题: 分析煤中含硫量时，称样量为3.5g，甲、乙 两人各测2次，甲报结果为0.042％和0.041％，乙报结 果为0.04201％和0.04199％，谁报的结果合理？
5. 大多数情况下，表示误差或偏差时，结果取一位 有效数字，最多取两位有效数字。
6. 对于组分含量＞10%的，一般要求分析结果保留4 位有效数字；对于组分含量1%～10%的，一般要求分析 结果保留3位有效数字；对于组分含量＜1%的，一般要 求分析结果保留2位有效数字。
7. 为提高计算的准确性，在计算过程中每个数据可 暂时多保留一位有效数字，计算完后再修约。
3）pH，lgK等对数值 有效数字的位数仅取决于小数部分数字（尾数）的位数。
4）不是测量得到的倍数、比率、原子量、化合价、 π、e等可看作无限多位有效数字。
5）不能因为变换单位而改变有效数字的位数。
二、有效数字的修约规则
应保留的有效数字位数确定之后，舍弃多余数字的 过程称为数字修约
修约规则：“四舍六入五成双”
随机误差的正态分布特点
随机误差的正态分布特点随机误差是指在测量或实验中出现的不可预测的偶然性误差，通常表现为数据点在期望值周围上下波动，呈现出一种无规律的分布。
而正态分布则是一种常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特征，其均值、中位数和众数重合，且对称分布。
正态分布的特点是具有明显的中心对称性，即均值位于分布的中心，而标准差决定了分布的扁平程度。
在正态分布中，68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这种特性使得正态分布在统计学中应用广泛，特别适合描述大量独立测量所得数据的分布情况。
当随机误差服从正态分布时，意味着在测量或实验中产生的误差是无偏的，即随机误差在正负方向上等概率出现，不会对结果产生系统性的影响。
这种误差分布的特性有助于科学家们更好地理解和评估实验数据的可靠性，从而提高实验的准确性和可重复性。
在实际应用中，随机误差的正态分布特点常常体现在各种测量和调查中。
例如，在物理实验中，测量仪器的精度限制和环境因素的干扰可能导致随机误差的产生，而这些误差往往呈现出正态分布的特征。
在社会调查中，由于受访者个体差异和调查方法的局限性，随机误差也会以正态分布的形式存在，影响着统计数据的准确性和可信度。
中心扩展是指正态分布曲线在均值处向两侧逐渐变陡，形成一个逐渐扩展的中心区域。
这种特点表明大多数数据点集中在均值附近，而远离均值的数据点数量逐渐减少。
中心扩展的特性使得正态分布在描述数据集中心趋势和变异程度时具有重要意义，有助于科学家们更好地分析和解释数据的分布规律。
在实际应用中，中心扩展的特点常常被用于判断数据的离群值和异常情况。
当数据点偏离均值较远时，可能表明存在异常情况或特殊情形，需要进一步检查和验证。
通过观察正态分布曲线的中心扩展情况，可以更直观地了解数据的分布情况，从而有效识别异常值并减少误判的可能性。
总的来说，随机误差的正态分布特点体现了数据分布的一种普遍规律，具有中心对称和中心扩展的特性。
误差函数 正态分布
误差函数正态分布
误差函数正态分布是一种常见的概率分布，它在统计学和机器学习中被广泛应用。
误差函数正态分布通常用于描述随机变量的分布，它的形状类似于钟形曲线，因此也被称为钟形曲线分布。
误差函数正态分布的概率密度函数可以表示为：
f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/2σ²)
其中，μ是分布的均值，σ是标准差。
这个公式描述了随机变量x 的概率密度函数，即在给定的均值和标准差下，x取某个值的概率。
误差函数正态分布在机器学习中的应用非常广泛，特别是在神经网络中。
在神经网络中，误差函数通常用于衡量模型的预测结果与真实结果之间的差异。
误差函数正态分布可以用来描述这种差异的分布情况，从而帮助我们更好地理解模型的性能。
误差函数正态分布还可以用于模型的优化。
在训练神经网络时，我们通常使用梯度下降算法来最小化误差函数。
误差函数正态分布可以帮助我们更好地理解梯度下降算法的收敛性和稳定性，从而更好地优化模型。
误差函数正态分布是一种非常重要的概率分布，它在统计学和机器学习中都有广泛的应用。
通过对误差函数正态分布的研究，我们可以更好地理解模型的性能和优化方法，从而提高模型的准确性和稳
定性。
随机误差的正态分布曲线
误差的表示方法
• 绝对误差：测量值与真实值间的差值
xL
• 相对误差：绝对误差与真实值（或测量值）之比 定义：＝ 100% 实际：＝ 100% L x • 引用误差：绝对误差与仪表满量程之比
= 100% xm
9
仪表精度等级的确定
• 依据引用误差，如0.5级表代表其引用误差最大为 0.5% • 我国的仪表等级分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、 2.5和5.0共七个等级。 • 选用仪表时，一般使其最好能工作在不小于满刻 度值2/3的区域。
• 由于2.0%＞1.5%，因此，该电流表已不合格，但 可做精度为2.5级表使用。
11
18.2 测量误差的处理 18.2.1随机误差的统计处理
• 1、随机误差的正态分布曲线
– 单峰性：绝对值小的随机误差出现的概率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于绝对值大的随机误差出现
的概率。
– 有界性：随机误差的绝对值是有限的。 – 对称性：随着测量次数的增加，绝对值相等、符号相反的随机误差的出
• 若总的误差已确定，要确定各环节的误差大小以保证总的 误差不超过允许值，这一过程称为误差的分配 • 误差分配有助于在进行测量工作前，根据给定的允许测量 总误差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各环节 误差，以保证测量精度。误差分配应考虑测量过程中所有 误差组成项的分配问题。 • 误差的分配一般地说有无穷多个方案，因此往往在某些假 设条件下进行分配。
– 理论真值是在理想情况下表征一个物理量真实状态或属性的值， 它通常客观存在但不能实际测量得到，或者是根据一定的理论所 定义的数值（如三角形三内角之和为180度）。 – 约定真值是为了达到某种目的按照约定的办法所确定的值（如光 速为30万公里每秒），或以高精度等级仪器的测量值约定为低精 度等级仪器测量值的真值。
随机误差的正态分布
x)2
S i1
n 1
式中（n-1）为自由度，它说明在 n 次测定中， 只有（n-1）个可变偏差，引入（n-1），主要 是为了校正以样本平均值代替总体平均值所 引起的误差。
20
即
lim (xi x)2 (xi )2
n n 1
n
而
S
（3）样本的相对标准偏差——变异系数
1 n
n
xi
i 1
平均值虽然不是真值，但比单次测量结果更接 近真值。所以在日常工作中，总是重复测定次 数，然后求得平均值。数理统计方法证明，在 没有系统误差时，一组测量数据的算术平均值 为最佳值。
3
3．中位值
一组测量数据按大小顺序排列，中间一个数即为中 位数。 当测量值的个数为偶数时，中位数为中间相邻两个 测量值的平均值。 优点是能简便直观地说明一组测量数据的结果，且 不受两端具有过大误差的数据的影响； 缺点是不能充分利用数据，因而不如平均值准确。
R
A RA
4、对数关系
若R=mlgA,
则
SR=0.434m
SA A
31
（三）极值误差----最大可能误差
在分析化学中，通常考虑在最不利的情况下，各步骤带 来的误差互相累加在一起，这种误差称为极值误差。
加减法
若 R=A+B-C, 则 ER EA EB EC
乘除法 若 R AB , 则
精密度的高低用偏差来衡量其大小，偏差越小， 分析结果的精密度越高。
14
常用的几种偏差表示方法为： 1. 绝对偏差和相对偏差
绝对偏差 相对偏差
d xi x
x
1 n
n i 1
xi
dr
随机误差的正态分布PPT课件
3、根据随机误差的标准正态分布，可求得随机误差出现在某一区间
的概率，根据u的定义，也可求出x出现在某一区间的概率。
第25页/共54页
例4-2、测定某试样中SiO2质量分数得s = 0.05%。 若测定的精密度保持不变，当P= 0.95时，欲使置信 区间的置信限 ，问至少应对试样平行测定多少次？
解： x tP, f
第4页/共54页
5.平均值的标准偏差 n个容量相同的样本的平均值的偏差
x n
sx s n
(n )
6.极差：R＝xmax－xmin
第5页/共54页
三、准确度与精密度
准确度与精密度的关系
例：甲、乙、丙、丁 四个分析工作者对同一铁标样
（WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图示，比较
68.3 95.0 95.5 99.0 99.7
例题4-3：
某土壤样品，总体平均值为2.64%，测得 = 0.10,% 求结果落 在（1）2.640.2% 概率是多少？
（1）解：
u x 0.2% 2.0
0.10%
查表：u=2 时，概率为：2 0.4773 = 0.955 = 95.5%
测 定 次 数 较 少 时 ， 测x定 值 或 随 机 误 差 也 不
呈正态分布，这就给少量测定数据的统计
处理带来了困难。此时若用s代替σ从而对μ
作出估计必然会引起偏离，而且测定次数
越少，偏离就越大。
t
x
s
n
x ta，f
s n
第24页/共54页
（三）区间概率的概念
25.0
0.40
20.0
0.30
• 定量分析：准确获取试样中物质的含量
分析方法 仪器和试剂 工作环境 分析者等
分析化学课件-第二章 定量分析误差与分析数据的处理
解 平均值
x 0.1022 0.1029 0.1025 0.1020 0.1027 0.1025(mol / L) 5
1.116..643695-111..65.3666115..5547
1.61 1.66
1.61 1.64
11..66241011..6540
1.53 1.62
1.53 1.62
011...2655922
1.16.6605-11.6.36915.62 1.61 1.65 1.61101.64 1.63 1.54 01..16111
d 0.0003 0.0004 0.0000 0.0005 0.0002 0.0003(mol / L) 5
dr
d x
100 %
0.0003 0.1025
100 %
0.29%
2020年6月6日
分析化学
第二章 定量分析误差与分析数据的处理
第二节 准确度与精密度 相对平均偏差
dr
d x
100 %
0.0003 0.1025
100 %
0.29%
标准偏差
0.00032 0.00042 0.00002 0.00052 0.00022
s 5 -1
0.000（4 mol / L)
相对标准偏差
sr
0.0004 100% 0.1025
0.39%
2020年6月6日
分析化学
第二章 定量分析误差与分析数据的处理
又称为：偶然误差、不定误差 产生原因：非人为的不确定因素引起的
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1、算出极差
R = 1.74%－1.49% = 0.25%，
2、确定组数和组距 组数： 容量大时分为10-20组，容量小（n<50）分为5-7组，
本例分为9组。 组距：极差除以组数， 组距 组 极＝ 数 差 1.7 9 41.49 0.0)3; ３、统计频数和计算频率
测定值落在每组内的个数，称为频数；
2.单峰性 峰形曲线最高点对应的横坐标x-μ值等于0，表 明随机误差为0的测定值出现的概率密度最大。
3.有界性 一般认为，误差大于 3 的测定值并非是由随
机误差所引起的。也就是说，随机误差的分布具有有限的 范围，其值大小是界的。
三、标准正态分布
x
定义： u
代入
yf(x)
1
(x)2
e 22
2
则：
u2 1
e2du 0.683
21
按此法求出不同u值时的积分面积，制成相应 的概率积分表可供直接查用。
表 3-1 中 列 出 的 面 积 对 应 于 图 中 的 阴 影 部 分 。 若区间为±|u|值,则应将的区间
u=±1 u=±2 u=±3
测定值出现的区间
x=μ±σ x=μ±2σ x=μ±3σ
频率
0.022 0.067 0.067 0.189 0.244 0.222 0.111 0.067 0.011 1.00
平均值1.62
二、正态分布
正态分布，又称高斯分布，它的数学表达式即正态分
布函数式为：
yf(x)
1
(x)2
e 22
2
y —— 概率密度
X—— 个别测量值
x- ——随机误差 —— 总体标准偏差，表示无限次测量分散的程度。
第三节 随机误差的正态分布
一、 频率分布
在相同条件下对某样品中镍的质量分数（%） 进行重复测定，得到90个测定值如下：
1.60 1.67 1.67 1.64 1.58 1.64 1.67 1.62 1.57 1.60 1.59 1.64 1.74 1.65 1.64 1.61 1.65 1.69 1.64 1.63 1.65 1.70 1.63 1.62 1.70 1.65 1.68 1.66 1.69 1.70 1.70 1.63 1.67 1.70 1.70 1.63 1.57 1.59 1.62 1.60 1.53 1.56 1.58 1.60 1.58 1.59 1.61 1.62 1.55 1.52 1.49 1.56 1.57 1.61 1.61 1.61 1.50 1.53 1.53 1.59 1.66 1.63 1.54 1.66 1.64 1.64 1.64 1.62 1.62 1.65 1.60 1.63 1.62 1.61 1.65 1.61 1.64 1.63 1.54 1.61 1.60 1.64 1.65 1.59 1.58 1.59 1.60 1.67 1.68 1.69
数据出现在各组内的频率，即相对频数
相对频数＝频数／样本容量总数
分组（%）
1.485-1.515 1.515-1.545 1.545-1.575 1.575-1.605 1.605-1.635 1.635-1.665 1.665-1.695 1.695-1.725 1.725-1.755
∑
频数
2 6 6 17 22 20 10 6 1 90
概率
0.3413×2=0.6826 0.4773×2=0.9546 0.4987×2=0.9974
y f (x)
1
u2
e2
2
y(u)
1
u2
e2
2
u称为标准正态变量，上式就只有变量u的函数表达式
总体平均值为μ的任一正态分布均可化为μ=0，σ2=1的 标准正态分布，以 N（0，1）表示。
图3-5 标准正态分布曲线
四、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积，就
等于概率密度函数从-∞至+∞的积分值。它表示来自
——总体平均值，表示无限次测量数据的平均值。
图3-4 正态分布曲线－ N ( ，2）
（μ相同，σ2>σ1） 曲线的形状取决于 和2， 和2确定了正态分布曲线 N( ，2）也就定了。
正态分布曲线关于直线x=μ呈钟形对称，反映随机误 差具有以下特点： 1.对称性 绝对值大小相等的正负误差出现的概率相等， 因此它们常可能部分或完全相互低消。
同一总体的全部测定值或随机误差在上述区间出现
概率的总和为100%，即为1。
1
(u)du
u2
e 2du1 （3-16）
2
欲求测定值或随机误差在某区间出现的概率P， 可取不同的u值对式（3-16）积分求面积而得到。例 如随机误差在±σ区间（u=±1），即测定值在μ±σ 区间出现的概率是：
P(1u1) 1