时间测量中随机误差的分布规律
精准测量时间的实验技术与误差分析
精准测量时间的实验技术与误差分析时间是我们生活中非常重要的一个概念，精准测量时间对于各个领域的科研和工程技术都至关重要。
然而，在实际测量中，由于各种因素的影响，时间测量结果往往会产生误差。
因此，精准测量时间的实验技术与误差分析显得尤为重要。
首先，我们来看看常用的实验技术。
在现代科技的支持下，我们可以利用过程控制技术来测量时间。
例如，利用原子钟，我们可以获得非常精确的时间测量结果。
原子钟利用原子的振荡特性，通过测量振荡的频率和周期，可以计算出时间。
这样，我们就可以实现时间的精准测量。
此外，时间信号的传输和接收也是精准测量时间的重要环节。
无线电波是一种常用的传输时间信号的方式。
我们可以通过接收无线电波的时间信号来同步我们的时钟，从而获得精确的时间。
通过与原子钟的同步，我们可以校准误差，并确保测量结果的精准性。
然而，在时间测量中，误差也是无法避免的。
误差是由于各种因素的影响而导致测量结果与真值之间的差异。
在时间测量中，主要存在着系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验系统本身的问题而产生的误差。
例如，实验装置的稳定性和精度等因素会对测量结果产生影响。
对于系统误差，我们可以通过校准和调整实验装置，尽量减小其影响。
然而，随机误差是一种不可预测的误差，其产生是由于测量条件的不确定性导致的。
例如，温度的变化、气压的变化等都会对时间测量结果产生影响。
对于随机误差，我们可以采用多次测量的方法，通过对测量结果进行统计，从而减小其影响。
另外，还存在着人为误差。
人为误差是由于操作人员的操作不准确或不规范而引起的误差。
这种误差在实验中很难避免，但我们可以通过规范操作、加强培训等方式来减小其影响。
除了误差分析，我们还需要关注时间测量的不确定度。
不确定度是对测量结果的可信度的度量。
通过对不确定度的分析，我们可以评估测量结果的精确性和可靠性。
同时，不确定度也可以帮助我们确定测量过程中存在的问题和改进的方向。
总之，精准测量时间的实验技术与误差分析对于各个领域的科研和工程技术都具有重要意义。
不确定度与数据处理
待测物理量(平均值或真值）处在
置信区间的置信概率为68.3%
置信区间的置信概率为99.7%
置信区间的置信概率为95.4%
一 、直接测量量的不确定度
2、直接测量量B类 标准不确定度：
二 、间接测量量的不确定度
——间接测量量的不确定度传递与合成
直接、
有效数字的处理原则
（1）直接测量量：测量结果的有效数字与测量仪器的最小分度值密切相关，读数规则： 1)对于能连续读数仪器，必须估读到最小分度值的下一位：例如，用米尺测长度：130.5mm，130.0mm 长度为130mm 与130.0mm代表不同的测量精度。 2)对于不能连续读数的仪器，读到仪器最小分度值。如，游标类仪器，数字式仪表等。
作图法:用坐标纸或计算机
1)坐标的选择：最常用的是直角坐标，对数坐标、半对数坐标 2)确定坐标轴和标注坐标分度： 选取坐标轴并标出各坐标轴所代表的物理量，即坐标轴名称及物理量的单位。 一般自变量作为横轴， 坐标分度：原则上数据中的可靠数字在图中也应可靠，可疑位在图中应是估计。 3)适当选取x轴和y轴的比例和坐标的起点，使图线比较对称的充满整个图纸 4)标明实验点：根据所测得的数据，选用符号标明实验点。 5)连接实验图线：根据不同函数关系的实验数据点的分布，将点连成直线和光滑的曲线，数据点均匀地分布在图线两侧。作为校准曲线，将各校准点连成折线。 6)标明图名称
2.00
3.00
4.00
5.00
6பைடு நூலகம்00
7.00
8.00
9.00
10.00
l(mm)
47.0
56.9
66.8
76.4
86.4
96.0
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律 (2)
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表，频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验器材及规格：秒表0.01s实验原理：1常用时间测量仪器的简要原理：机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置来连续调节。
电子节拍器：由石英晶体震荡器，计数器，译码器，电源，分档控制及显示部分组成。
按一定频率发出有规律的声音和闪光。
电子秒表：机心由CMOS集成电路组成，石英晶体震荡器做时标，一般用6位液晶数字显示。
连续累积时间59min,59.99s,分辨频率为0.01s。
V AFN多用数字测试仪：由PMOS集成元件和100kHs石英晶体震荡器构成。
可测量记数，震动，累计，速度，加速度，碰撞，频率，转速，角速，脉宽等。
时标由DC10集成电路和100kHs石英晶体震荡器构成。
2在不考虑系统误差的前提下，用时间测量仪器，测量同一时间N次，统计时间分布规律，并且分析误差。
当N趋于无穷时，各测量值出现的概率密度可用正态分布的概率密度函数表示：221()/21()niiX Xf x eσ=⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑=平均值计算公式：1/niiX X n==∑标准差计算公式：Xσ=（1）统计直方图方法在一组等精度测量的N个结果中，找出最大最小值，再有此得到极差max minR X X=-。
将极差分为K 个部分。
每个区间长度x ∆MAX MINX X R x K K-∆==将落在每个区间的次数称为频数，i n N 称为频率。
最后以X 为横轴i nN为纵轴做图。
（2）密度分布曲线利用直方图中得到的概率密度值，以概率密度值为纵坐标，x 为横坐标可的密度分布曲线，数据处理:最小值min 2.84X s=最大值max 3.64X s=平均值 3.23X s=标准差0.15sσ=A 类不确定度0.01s Ua σ==因为人反应时间约为0.2s,秒表仪器误差约为0.01s,所以取 B 类不确定度 0.20Ub s =误差合成0.25s ∆== P ≥0.95 测量结果为(3.230.25)T s =± 置信概率 0.95P ≥图表统计如下:取区间数K=17，区间长0.05s 。
时间测量中随机误差的分布规律~
时间测量中随即误差的分布规律
生命科学院 PB05207009 王一莘
实验内容：
1． 时间间隔测量：用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期
2． 统计规律的研究
实验步骤：
将电子节拍器的声节拍频率设定为3个周期，旋紧发条。
实验组两位成员：一为手持秒表，从上一周期结束开始计时直至节拍器鸣响结束计时，将实验数据报告另一成员，由另一成员记录数据。
重复上述实验步骤200次。
数据处理：
做统计直方图，并对此图做高斯拟合。
5
注：区间长度经计算应取0.023s ，此直方图取0.025s
=)(σP 0.677
=)2(σP 0.940
=)3(σP 0.989
实验结论： 统计直方图与概率密度分布曲线拟合较好，测量值基本符合正态分布。
误差分析及思考题：
实验中，秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异都将引入误差特别是人为误差因人而已。
1． 答：主要误差为秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异
2． 答：基本符合正态分布规律。
01时间测量中随机误差的分布规律
实验报告：时间测量中随机误差的分布规律张贺PB07210001一、实验题目：时间测量中随机误差的分布规律二、实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1.常用时间测量仪表的简要原理：（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，]2)(exp[21)(22--=σπσx x x f （1）式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，nxx ni i∑==1（2）1)(12--=∑=n x x ni i σ （3）⎰-=aadx x f a P )()( （4）式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
时间测量中随机误差的分布规律
实验报告实验名称 时间测量中随机误差的分布规律实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器 机械节拍器，电子秒表。
实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理（1）机械节拍器（2）电子节拍器 （3）电子秒表（4）VAFN 多用数字测试仪用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为59min59.99s,分辨率为0.01s,平均日差0.5s 。
2.统计分布规律的研究假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，]2)x -(x ex p[-21)(22σπσ=x f （1） 其中 nxx n1i i∑==（2）1-n )x -(xn1i 2i∑==σ （3）⎰=aa-f(x)dx P(a) （4）式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。
（1）统计直方图方法用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。
在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（△x ）的大小就等于Kx -x K R minmax =。
统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，Nni 为频率，Nni∑为累计频率，称为频率密度。
以测量值x 值为横坐标，以xN n i∆⋅为纵坐标，便可得到统计直方图。
（2）概率密度分布曲线利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
实验报告—时间测量中随机误差的分布规律
时间测量中随机误差的分布规律PB06210273 张成实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率的测量的随机误差分布，学习用统计法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验原理：1、 常用时间测量仪器的简要原理：① 机械节拍器由齿轮带动摆动作周期性运动。
② 电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。
③ 电子秒表机芯有CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标。
④ VAFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100KHz 石英晶体振荡器构成，可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速脉宽等物理量。
2、 统计分布规律的研究正态分布概率密度函数：()]2exp[21)(22σπσxx x f --=nxx ni i∑==1，()112--=∑=n x x ni iσ ， ⎰-=aadx x f a P )()(① 统计直方图法：计算试验数据的极差min max x x R -=，每小区域的间隔：Kx x K R x minmax -==∆ 频数i n ，相对频数%/)/(N n i ，累计频数%/)/(∑N n i ，频率密度xN n i∆⋅ ② 概率密度分布曲线：以)(x f 为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
实验内容：用电子秒表测量电子节拍器的周期，共测量150次，每次测量3个周期的时长。
数据处理：s nxx ni i213.415091.6311===∑= s n x xni i0.0981)(12=--=∑=σ 测量结果的不确定度：A 类不确定度（95.0=p ）s nu a 008.0==σ95.0=p ，96.1=t ，s u t a p 016.0008.096.1=⨯=B 类不确定度：s s s B 2.001.02.0＝，，＝，＝估仪估仪估∆=∆∴∆>>∆∆∆12.03=∆=BB u 测量值的合成标准不确定度：s u u U B A 12.022=+=数据中93.3min =x ，44.4max =x ，所以级差51.0min max =-=x x R 。
测量技术基础
测量技术基础机械加工车间工作的机械加工工人必须掌握的多种测量技术，量具、量仪以游标卡尺、千分尺、和百分表为主。
对于某一测量对象，一般有多种测量技术可供选择，而某一种测量技术又往往可用于不同的测量对象。
用于同一测量对象，不同测量技术的效果可能大致相同，也可能大不相同。
按照测量的进行方式，测量技术可分为以下两种。
①直接比较测量技术：在测量中，将被测量与已和其值的同一种量相比较。
其测量不确定度主要取决于标准量值的不确定度和比较器的灵敏度和分辨力，它可克服由于测量装置的动态范围不够和频率响应不好所引入的非线性误差。
替代法、换位法等属于这一类。
②非直接比较测量技术：不是将被测量的全值与标准量值相比较的比较测量。
微差法、符合法、补偿法、谐振法、衡消法等属于这一类。
在建立计量标准的测量中，经常采用基本测量技术，即绝对测量技术。
这是通过对有关的基本量的测量来确定被测量值。
其测量不确定度一般是通过实验、分析和计算得出，精度高，但所需装置复杂。
第一讲概述课题：1. 测量技术的概念2. 长度基准与尺寸传递3．量块的基本知识4．形位公差值及有关规定课堂类型：讲授教学目的：1.了解测量技术的基本概念及尺寸传递2.重点掌握量块的使用方法。
教学重点：量块的使用方法。
教具：量块教学方法：例举习题讲解量块的使用，使学生掌握其主要内容教学过程：一、引入新课题由提问学生长度单位的意义引入新课.二、教学内容4.1 概述4.1.1测量技术的概念1.测量是指为确定被测量值而进行的一组操作过程。
其实质是将被测的量L与具有计量单位的标准量E进行比较，从而确定比值q的过程，即q= L/E测量过程包括以下四个要素:（1）测量对象主要指几何量，包括长度、角度、表面形状和位置误差、表面粗糙度以及螺纹、齿轮的各种参数等。
（2）计量单位长度单位为米（m），在机械制造中常用单位为毫米（mm）、微米（μm）;角度单位是弧度（rad），实用中常以度（°）、分（′）、秒（″）为单位。
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
自动检测原理复习题 (1)
1、测量的概念测量是借助专门的技术和仪表设备，采用一定的方法取得某一客观事物定量数据资料的实践过程。
2、测量方法的分类（1）根据被测量是否随时间变化，可分为静态测量和动态测量。
（2）根据测量的手段不同，可分为直接测量和间接测量。
（3）根据测量时是否与被测对象接触，可分为接触式测量和非接触式测量。
（4）根据测量的具体手段来分，可分为偏位式测量，零位式测量和微差式测量。
偏位式测量：在测量过程中，被测量作用于仪表内部的比较装置，使该比较装置产生偏移量，直接以仪表的偏移量表示被测量的测量方式称为偏位式测量。
零位式测量：在测量过程中，被测量与仪表内部的标准量相比较，当测量系统达到平衡时，用已知标准量的值决定被测量的值，这种测量方式称为零位式测量。
微差式测量：微差式测量法是综合了偏位式测量法速度快和零位式测量法准确度高的优点的一种测量方法。
3、测量误差的表示方法绝对误差和相对误差相对误差又包括示值（标称）相对误差和引用误差（也叫满度相对误差）4、我国工业模拟仪表有下列常用的7种等级:0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。
准确度等级对应基本误差：eg：0.1对应±0.1% 5、测量误差的分类粗大误差、系统误差、随机误差、静态误差和动态误差。
静态误差：在被测量不随时间变化时所产生的误差称为静态误差。
动态误差：当被测量随时间迅速变化时，系统的输出量在时间上不能与被测量的变化精确吻合，这种误差称为动态误差。
6、随机误差的正态分布曲线的三个规律集中性、对称性、有界性7、不确定度的概念由于测量误差的存在，对被测量值不能肯定的程度，也表明该结果的可信赖程度。
8、测量系统静态误差的合成方法绝对值合成法和方均根合成法9、传感器的定义组合以及每一部分能完成的功能、起到的作用传感器是一种检测装置，能感受规定的被测量，并能将检测感受到的信息，按一定的规律变换成为电信号或其他所需要形式的信息输出。
以满足信息的传输、处理、存储、显示、记录和控制等要求传感器主要包括敏感元件、传感元件和测量转换电路三个部分敏感元件是在传感器中直接感受被测量的元件，即被测量通过传感器的敏感元件转换成与被测量有确定关系、更易于转换的非电量。
随机误差与系统误差
二、随机误差和系统误差1.随机误差是指“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差”(5.19条)。
这是1993年由BIPM、IEC、ISO、OIML等国际组织做了原则修改后的新定义。
它表明测量结果是真值、系统误差与随机误差这三者的代数和；而测量结果与无限多次测量所得结果的平均值(即总体均值)差，则是这一测量结果的随机误差分量。
随机误差等于误差减去系统误差。
1993年前，随机误差被定义为在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
老定义中这个以不可预知方式变化的分量，是指相同条件下多次测量时误差的绝对值和符号变化不定的分量，它时大时小、时正时负、不可预定。
例如:天平的变动性、测微仪的示值变化等，都是随机误差分量的反映。
事实上，多次测量时的条件不可能绝对地完全相同，多种因素的起伏变化或微小差异综合在一起，共同影响而致使每个测得值的误差以不可预定的方式变化。
现在，随机误差是按其本质进行定义的，但可能确定的只是其估计值，因为测量只能进行有限次数，重复测量也是在“重复性条件”下进行的(见5.6条)。
就单个随机误差估计值而言，它没有确定的规律；但就整体而言，却服从一定的统计规律，故可用统计方法估计其界限或它对测量结果的影响。
随机误差大抵来源于影响量的变化，这种变化在时间上和空间上是不可预知的或随机的，它会引起被测量重复观测值的变化，故称之为“随机效应”。
可以认为正是这种随机效应导致了重复观测中的分散性，我们用统计方法得到的实验标准[偏]差是分散性，确切地说是来源于测量过程中的随机效应，而并非来源于测量结果中的随机误差分量。
随机误差的统计规律性，主要可归纳为对称性、有界性和单峰性三条:1.对称性是指绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
由于所有误差的代数和趋近于零，故随机误差又具有抵偿性，这个统计特性是最为本质的；换言之，凡具有抵偿性的误差，原则上均可按随机误差处理。
第四章 随机误差与系统误差
2.1残差观察法
将观察值按测量时的先后顺序排队，分别计算出它们的 残差，再将残差按测量先后顺序排队，然后列表或作图 （横轴为测量顺序，以次数表示；纵轴用残差表示）判 断有无变值系差。
1）当残差符号大致正负相间出现，且无明显的变化规律 时，则可认为不存在变值系统误差；
1）对比检验法
由定义可知，期望值与真值之差就是系统误差。如果用算术平均值 代替期望值，则算术平均值与真值之差可近似为系统误差。因此我们 用某一计量器具对某一量进行多次测量后，取得算是平均值，然后再 用准确度等级更高的计量器具对同一量仍进行多次测量，并把他的平 均值当作约定真值，则前后两次测量的算术平均值之差就可认为是系 统误差；
修正的方法来减小系统误差。 例如：测量结果为30℃，用计量标准测得的
结果是30.1℃，则已知系统误差的估计值 为-0.1℃。也就是修正值为：+0.1℃，已 修正测量结果等于未修正测量结果加修正 值，即已修正测量结果为 30℃+0.1℃=30.1℃。
2、在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系 统误差的因素
等概率分布
p(x)
a
1
a
..........
........
a
x
a
0.......... .......... ...xa , xa
标准偏差
a-
a+
（x） a a a 12 3
.......... ....... a表示分布区间的半宽度 a a 2
2、三角分布
p(x)
a a
解：从表中计算结果中可以看出，残差有规律地由大到小，由正到负。 说明测量结果中有线性变化的系统误差。
用残差核算法解：前5次测量残差之和为2.85，后5次测量残差之和为2.58.两者之差⊿=2.85-（-2.58）显著不为零。所以可以认为有可变线 性误差存在。
误差分布
方差
(随机变量或概率分布的)方差用符号 表 示 (x )
n 2
lim
2
i 1
i
n
n
测量值与期望之差是随机误差，方差就 是随机误差平方的期望值
V ( X ) E X E ( X )
2
2
( x )2 p( x)dx
方差说明了随机误差的大小和测量值的 分散程度。但由于方差的量纲是单位的 平方，使用不方便，因此引出了标准偏 差这个术语
概率(probability)
概率是一个0和1之间隶属于随机事件的实 数
概率与在一段较长时间内的事件发生的相对频
率有关 或与事件发生的可信程度(degree of belief)有关
-----------GBT 3358.1-2009 统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与 用于概率的术语
4
4 3 4 4 , 4 4 , 4 表征了测量 4
协方差
定义
Cov( x, y)
( x x )( y y ) f ( x, y)dxdy
式中
x
y
xf ( x, y)dxdy
标准偏差
概率分布或随机变量的标准偏差是方差的 正平方根值，用符号表示
V (X )
标准偏差是无穷多次测量的随机误差平方 n 的算术平均值的正平方根值的极限， ( xi ) 2 lim i 1 n n
标准偏差
时间测量中随机误差的分布规律
实验报告实验名称 时间测量中随机误差的分布规律实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器 机械节拍器，电子秒表。
实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理（1）机械节拍器（2）电子节拍器 （3）电子秒表（4）VAFN 多用数字测试仪用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为,分辨率为,平均日差。
2.统计分布规律的研究假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，]2)x -(x ex p[-21)(22σπσ=x f （1）其中nxx n1i i∑==（2）1-n )x -(xn1i 2i∑==σ（3）⎰=aa-f(x)dx P(a)（4）式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。
（1）统计直方图方法用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。
在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（△x ）的大小就等于Kx -x K R minmax =。
统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，Nni 为频率，Nni∑为累计频率，称为频率密度。
以测量值x 值为横坐标，以xN n i∆⋅为纵坐标，便可得到统计直方图。
（2）概率密度分布曲线利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
随机误差——精选推荐
[编辑][编辑][编辑]随机误差什么是随机误差[1] 随机误差随机误差也称为偶然误差偶然误差和不定误差不定误差，是由于在测定过程中⼀系列有关因素微⼩的随机波动⽽形成的具有相互抵偿性的误差。
它的特点：⼤⼩和⽅向都不固定，也⽆法测量或校正。
随机误差的性质是：随着测定次数的增加，正负误差可以相互低偿，误差的平均值将逐渐趋向于零。
随机误差的原因[1] 产⽣随机误差的原因有许多。
例如，在测量过程中由于温度、湿度以及灰尘等的影响都可能引起数据的波动。
再⽐如在读取滴定管数据时，估计的⼩数点后第⼆位的数值，⼏次读数不⼀致。
这类误差在操作中不能完全避免。
随机误差的⼤⼩、正负在同⼀个实验室中不是恒定的，并很难找到产⽣的确切原因，所以⼜称不定误差。
随机误差的规律性 从表⾯上看，它的出现似乎没有规律，即在单次测定过程中，其⼤⼩及符号⽆法预⾔，没有任何规律性，具有⾮单向性的特点。
但是，如果进⾏反复多次测定，就会发现随机误差的出现还是有⼀定的规律的，即具有统计规律性。
总的来说，⼤⼩相等的正、负误差出现的⼏率相等，⼩误差出现的机会多，⼤误差出现的机会少，特⼤的正、负误差出现的机会更⼩。
这⼀规律可以⽤正态分布曲线（图1）表⽰。
[1]随机误差 图中横轴代表误差的⼤⼩，以总体标准差σ为单位,纵轴代表误差发⽣的频率。
随机误差是由随机因素引起的，可⼤可⼩，可正可负，粗看起来，⽆规律可循，但经过⼤量实验可以发现，随机误差的分布也有⼀定规律性： 1、⼤⼩相近的正误差和负误差出现的机率相等，即绝对值相近 ( 或相等 ) ⽽符号相反的误差以同等的机率出现。
2、⼩误差出现的频率⾼，⽽⼤误差出现的频数较低，很⼤误差出现的机率近于零或极少。
即：偶然误差的规律符合正态分布。
在消除系统误差的情况下，增加测定次数，取其平均值，可减少偶然误差。
实际⼯作中测定次数为4～6次已经⾜够了。
⼀般情况下，很少有超过4次平⾏测定的。
随机误差的注意点[1] 应该指出的是，系统误差与随机误差的划分也不是绝对的，有时很难区分某种误差是系统误差还是随机误差。
时间测量中随机误差的分布规律~~
时间测量中随机误差的分布规律~~PB05007302 地空学院杨柳春实验3.2.1实验题⽬: 时间测量中随机误差的分布规律实验⽬的:⽤常规仪器(如电⼦秒表,频率计等)测量时间间隔,通过对时间和频率测量的随机误差分布,学习⽤统计⽅法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律.实验原理:1.时间测量仪表的简要原理(1)机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节，其外部结构如图。
(2)电⼦秒表是兼有数种测时功能，便于携带和测量的常⽤电⼦计时器。
电⼦秒表机芯由表及⾥CMOS集成电路组成，⽤⽯英晶体振荡器作时标，⼀般⽤六位液晶数字显⽰，其累积时间数为59分59.59秒分辨率为0.01秒，平均⽇差0.5秒。
其外部结构如图2.假设在近似消除了系统误差(或系统误差很⼩,可忽略不计,或系统误差为⼀恒定值)的条件下,对某物理量x 进⾏N 次等精度测量.当测量值出现的概率分布可⽤正态分布的概率密度函数表⽰.式中为测量的算术平均值, σ为测量列的标准差P aaa实验仪器:机械节拍器(原理:由齿轮带动摆作周期性运动,摆动周期可通过改变摆锤的位置连续调节),秒表(精度:0.01秒)实验步骤:以2～3个周期为⼀次实验,重复做200～300次实验（这⾥取2个周期，300次实验）,记录每次秒表的⽰数,做出统计直⽅图和频数频率分布表实验结果和分析：222/)(21)(σσπx x e x x y --=-nx x ni i∑==11)(12--=∑=n x xni iσ1．由统计结果，和以下公式可得：平均值为 2.852s 测量列的标准差为 0.12 测量结果平均值的标准差为 0.007 2．机械节拍器的频数和频率的密度分布nxx ni i∑==11)(12--=∑=n x xni iσnn n x x u ni i A σ=--=∑=)1()(122．频率统计直⽅图（EXECEL && ORIGIN）01020304050607080n i3.若测量结果偏离正态分布，则产⽣这种偏离的原因可能是：①测量者的⼼理因素，测量时的反应程度，即测量者当时的状态使测量者对时间的记录产⽣误差；②测量的次数远远不够，理论上来说，只有当测量次数为⽆限多时，测量结果才是正态分布，⽽有限次的测量只可能近似符合正态分布；③测量仪器的陈旧或是其它原因使得节拍器的摆不做等周期运动，或者电⼦秒表测时不准也可能导致测量出现误差4．最后，可以得到测量结果的各项数据为(每两个同期)：平均值 2.852s测量列的标准差 0.12测量结果平均值的标准差0.007即测量结果的完整表达式为：2．852±0.007s P=0.68。
误差均分原理
误差均分原理
误差均分原理是指在测量过程中，由于各种因素的影响，所产生的误差应当在各个测量结果中平均分配。
这个原理在科学研究和工程实践中具有重要的意义，它可以帮助我们更准确地了解测量结果的可靠性和精确度。
在实际的测量中，误差是不可避免的。
无论是人为因素还是仪器设备的限制，都会对测量结果产生一定程度的影响。
为了更好地理解误差均分原理，我们可以通过以下几个方面来进行分析。
首先，误差均分原理要求我们在进行多次测量时，应该尽量减小每次测量的误差，并且要保证误差的正负方向是均匀分布的。
这样做的目的是为了确保最终的测量结果更加可靠，不会受到某一次测量的偶然误差的影响。
其次，误差均分原理还要求我们在进行数据处理时，应该采用合适的方法来对测量结果进行平均处理。
这样做可以有效地降低由于误差引起的数据波动，使得最终的结果更加稳定和可信。
此外，误差均分原理还要求我们在进行实验设计时，应该尽量减小各种因素对测量结果的影响。
这包括在实验过程中控制实验条件、选择合适的测量方法和仪器设备等方面。
只有这样，我们才能够更好地满足误差均分原理的要求，确保测量结果的准确性和可靠性。
总的来说，误差均分原理是科学研究和工程实践中非常重要的一个原理。
它要求我们在进行测量和数据处理时，应该尽量减小误差的影响，并且要采用合适的方法来对测量结果进行处理，以确保最终的结果更加可靠和准确。
只有这样，我们才能够更好地理解和应用误差均分原理，提高科研和工程实践的水平和质量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验报告
实验名称 时间测量中随机误差的分布规律
实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通
过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器 机械节拍器，电子秒表。
实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理
（1）机械节拍器 （2）电子节拍器 （3）电子秒表
（4）VAFN 多用数字测试仪
用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为,分辨率为,平均日差。
2.统计分布规律的研究
假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，
]2)x -(x ex p[-21
)(2
2
σπ
σ=x f （1） 其中 n
x
x n
1
i i
∑==
（2）
1
-n )x -(x
n
1
i 2
i
∑==σ
（3）
⎰
=a
a
-f(x)dx P(a)
（4）
式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。
（1）统计直方图方法
用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。
在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每
个小区域的间隔（△x ）的大小就等于
K
x -x K R min
max =。
统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，N
n
i 为频率，
N
n
i
∑为累计频率，称为
频率密度。
以测量值x 值为横坐标，以
x
N n i
∆⋅为纵坐标，便可得到统计直方
图。
（2）概率密度分布曲线
利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
若概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量值是基本符合正态分布的。
实际测量中，受测试者的心理因素，外界环境，仪器系统误差，测量次数不可能无穷多等影响，二者不完全重合是很常见的，因此测量值仅是基本符合正态分布。
实验内容 1.时间间隔测量
用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期，测量次数要在200次以上。
2.统计规律研究 (时间测量要求在相同的条件下，重复测量200次以上)。
（1）利用式（2）和式（3）计算x 和σ。
（2）利用式（1）计算各区中点的f （x ）值。
（3）根据测量结果的离散程度，极限差R 的大小，合理划分小区间数K ，确定其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率，以频率密度为纵坐标，测量值x 为横坐标，作统计直方图，并将f （x ）—x 中曲线绘在统计直方图中，检验测量值分布是否符合正态分布。
（4）利用式（4）计算测量列误差出现在±σ，±2σ，±3σ范围内的概率。
（5）计算测量平均值的标准差，并正确写出测量结果完整的表达式。
测量记录 原始数据记录如下表：
单位:秒（s ）
数据处理
对原始数据进行处理，最大值x max=，最小值x min=，平均值x=，标准差
σ=，Array R=，取
K=10，
则△
x=，得
下表：
利用
作图如下：
x
N n i
∆⋅time x/s
P(σ)=，P(2σ)=，P(3σ)=
（理论值 P(σ)=，P(2σ)=，P(3σ)=）
由上述计算和图表，在一定误差范围内，该测量列基本符合正态分布。
算术平均值的标准差u A =
n
σ
=，即为A 类不确定度。
考虑置信概率P=的情况, 电子秒表误差分布为正态分布，可取
95.0t =1
仪∆= c=3
B 类不确定度在的置信概率下置信因子为k= 由不确定度合成公式得
2
2
95095.0()）
（仪。
c
k
u t U At ∆+== P= 误差分析 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，结果会偏离正态分布。
2.测量仪器本身存在系统误差，结果不能十分精确。
3.受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响。
4.测量200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，按钮超前或延后，导致测量结果偏离。
思考题 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，测量仪器本身
存在系统误差，测量200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响等很多因素，都会产生偏离。
2.若不考虑系统误差的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量时随机误差的分布规律理论上呈正态分布，得到一条连续光滑的曲线，并且P(σ)=，P(2σ)=，P(3σ)=。
具有对称性，单峰性，有界性和抵偿性（即误差的算术平均值随着n 趋向无穷而趋于零）。