随机误差统计分布规律

实验题目：时间测量中的随机误差分布规律

实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分

布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。

实验原理：1、常用时间测量仪表的简要原理

（1）机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动。

（2）电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。

（3）电子秒表兼有数种测时功能。电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器

作时标，一般用六位夜晶数字显示。

（4）V AFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。六档方波脉冲

作为时标信号和闸门时间。

2、统计分布规律和研究

(1)假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）

的条件下，对时间t 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：

2

22)(21

)(σπ

σx x e

x f --

=

其中n

x

x n

i i

∑==

1

为测量的算术平均值，

1

)(1

2

--=∑=n x x

n

i i

σ为测量列的标准差，

⎰-=a a

dx x f a P )()( 式中σσσ3,2,=a

(2)概率密度分布曲线

求出各小区间中点的正态分布的概率密度值f(x),以f(x)为纵坐标，t 为横坐标，可得概率

密度分布曲线。若此概率密度分布曲线与统计直方图上断相吻合，则可认为测量值是基本符合正态分布的。

实验步骤：1、时间测量

（1）用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期（以3个周期为一测量周期）。

（2）将机械节拍器上好发条使其摆动，在等精度条件下重复测量150，记录每次的测量结果。 2、数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）及统计规律研究。

实验器材：电子秒表、机械节拍器

实验桌号：6号

数据处理：

实验所测的原始数据如下（单位：秒）：

表一：原始数据

数据分析如下：

最小值：x min =5.03s 最大值：x max =5.24s

平均值：

s

x i i

x

12.5150

150

1

==

∑=

标准差：

s

x i i

x 047.01

150)

(1501

=--=

∑=σ

统计频数得下表：

表二：节拍器的频数和频率分布表

5.18 5.15 5.07 5.18 5.10 5.16 5.13 5.18 5.04 5.145.24 5.18 5.18 5.08 5.16 5.18 5.11 5.19 5.05 5.165.20 5.18 5.10 5.09 5.18 5.17 5.14 5.18 5.12 5.135.18 5.13 5.16 5.12 5.14 5.09 5.09 5.14 5.15 5.095.15 5.10 5.14 5.13 5.13 5.15 5.16 5.13 5.05 5.165.15 5.13 5.13 5.05 5.09 5.17 5.10 5.11 5.06 5.155.22 5.10 5.15 5.12 5.10 5.17 5.08 5.08 5.13 5.075.11 5.09 5.11 5.08 5.14 5.13 5.13 5.05 5.09 5.065.17 5.18 5.14 5.15 5.05 5.14 5.23 5.12 5.11 5.085.16 5.19 5.12 5.12 5.13 5.15 5.13 5.06 5.08 5.135.15 5.24 5.16 5.14 5.10 5.05 5.08 5.09 5.17 5.125.09 5.09 5.10 5.08 5.09 5.14 5.03 5.04 5.18 5.045.19 5.17 5.15 5.09 5.13 5.19 5.10 5.07 5.18 5.085.20 5.18 5.10 5.06 5.10 5.19 5.09 5.05 5.05 5.175.13 5.16 5.13 5.08 5.03 5.05 5.05 5.19 5.12 5.10

区域起始/s 区域末尾/s 区域中点/s 频数频率

5.020 5.045

5.032550.0335.045 5.070 5.0575140.0935.070 5.095 5.0825260.1735.095 5.120

5.1075170.1135.120 5.145 5.1325350.2335.145 5.170 5.1575200.1335.170 5.195 5.1825270.1805.195 5.220

5.207520.0135.220 5.245

5.232540.027

根据上表作出统计直方图，并拟合一条高斯曲线：

节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

n/N

图一：节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线

由公式：

2

22)(21

)(σπ

σx x e

x f --

=

⎰-=a

a

dx x f a P )()(以及σ=0.047s 得

P(σ)=0.683； P(2σ)=0.954； P(3σ)=0.997；

所以考虑测试者的心理因素、外界环境和仪器系统误差等因素的影响，该测量结果基本符合正态分布。

测量结果平均值的标准差可计算得： A 类不确定度为：

s s

n

A u x

004.0150

047.0==

=

=σ

σ

B 类不确定度为u B =Δ估/C=0.2s/3=0.067s ； 合成不确定度68.0,067.0067

.0004.02

222

==+=

+=

P s U u

u B

A

那么结果最后可表成：t=(5.12±0.07)s P=0.68