椭圆知识点及经典例题汇总
椭圆知识点总结及练习
椭圆知识点总结及典型方法知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记ac a c e ==22。
知识点四：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系知识点五: 椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。
椭圆知识点与例题
椭圆 （一）椭圆及其性质1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1 F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率2、椭圆的标准方程3、椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1a b e -= 10<<e 椭圆的准线方程: 左准线ca x l 21:-= 右准线c a x l 22:= （二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r += （右焦半径）02ex a r -= 其中e 是离心率 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF （ 21,F F 分别是椭圆的下上焦点）（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-=2121x x k -+=2122124)(1x x x x k-++= 例1. 已知椭圆及直线y ＝x ＋m 。
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。
2、已知弦AB 的中点，研究AB 的斜率和方程AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦，中点M 坐标为(x 0，y 0)， 则AB 的斜率为－b 2x 0a 2y 0.运用点差法求AB 的斜率，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．A 、B 都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1 2a 2＋y 1 2b 2＝1，x 22a 2＋y 2 2b 2＝1，两式相减得x 1 2－x 2 2a 2＋y 1 2－y 2 2b 2＝0，∴x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－b 2x 0a 2y 0.故k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 例、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆的基本知识1 •椭圆的定义：把平面内与两个定点 F 「F 2的距离之和等于常数(大于 F ,F 2)的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 (设为2c ).2.椭圆的标准方程：焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图，已知一个圆的圆心为坐 标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线的解:段PP ,求线段PP 中点M 的轨迹•关点法)设点Mx , y ), 点Rx o , y o ), 贝 y x =x o , y = 匹 得 x o =x , y o = 2y.2x o 2+ y o 2= 4,得 x 2+ (2 y ) 2= 4,即- y 21.所以点M 的轨迹是一个椭圆42 2 2 24.范围.x < a , y < b ,••• | x| < a , | y| < b . 椭圆位于直线x =± a 和y =± b 围成的矩形里.5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6.顶点 只须令x = 0,得y =± b ,点Bi(0, — b )、R(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令 y = 0,得x =± a ,点A ( —a ,0)、A(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点：A ( — a , 0)、A(a , 0)、B(0, — b )、B(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段AA 、BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴 . 长轴的长等于2a .短轴的长等于2b . a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长.y| BH | = |BF 2| = | BH| = | BF 2| = a .在 Rt △ OBF 2中，|OF |2= | BaF 2| 2 — | 0团 2, AZ b即 c 2 = a 2 — b 2.x7.椭圆的几何性质:mx2+ny2=1(m>0 n>0)不必考2 2a b2 2a b椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐和召Hi¥厂1,J /1 .PjAJ4j对 关T r 轴・，、轴・燮标原点荊称荒于J 鞋*孑轴・坐肺腺点时称(K 点Ai ( —Un 0 ) a HI O) fihCOi —At tO-B — a J » A* a }(CXr-CI) a几点说明:(1)长轴：线段 AA ，长为2a ；短轴：线段B 1B 2，长为2b ；焦点在长轴上。
椭圆知识点总结及经典习题
圆锥曲线与方程-－椭圆知识点一．椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两定点Ｆ1,Ｆ2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a,2a ＞|F 1F 2｜=2c};这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹）。
2．标准方程: 222ca b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （ａ＞ｂ＞0）; 焦点F(±ｃ，０）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞０）;焦点F(０, ±ｃ）注意：①在两种标准方程中,总有a>ｂ＞０，并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围(１)椭圆12222=+by a x （ａ＞ｂ>0） 横坐标-a ≤x ≤a ，纵坐标-b ≤ｘ≤b(2)椭圆12222=+bx a y (a>b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a２．对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 ３.顶点（1）椭圆的顶点：A 1(-a,0)，A 2(ａ，0),B １（０,-b)，B 2（0，b ）(2）线段A 1A ２，B １B ２ 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b ，ａ和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率(1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca,即a c 称为椭圆的离心率，ﻫ记作e （10<<e )，22221()be a a==-ce 0=是圆；e 越接近于0 （ｅ越小)，椭圆就越接近于圆;e 越接近于１ （e 越大）,椭圆越扁;注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
椭圆的复习(基本知识+常考题型)
椭圆基本知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点12,F F 距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集2121{||||2,2||2}M P PF PF a a F F c =+=>=，这里两个定点12,F F 叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（若1212||||||PF PF F F +=时，P 的轨迹为线段21F F ；若1212||||||PF PF F F +<，则无轨迹）。
2．标准方程： ①焦点在x 轴上：22221(0)x y a b a b+=>>； 焦点12(,0),(,0)F c F c -②焦点在y 轴上：22221(0)y x a b a b+=>>； 焦点12(0,),(0,)F c F c -注意：①在两种标准方程中，总有0a b >>，且222ca b =-；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或221mx ny += 二．椭圆的简单几何性质：1.范围：（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>横坐标a x a -≤≤ ,纵坐标b y b -≤≤（2）椭圆22221(0)y x a b a b+=>> 横坐标b x b -≤≤，纵坐标a y a -≤≤2.对称性：椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.椭圆的顶点：椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率：我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即ac称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），2221()c b e aa==-0e =是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆； e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
椭圆知识点总结附例题
圆锥曲线与方程椭 圆知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的概念：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；那个地址两个定点F 1，F 2叫椭圆的核心，两核心间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程： 222c a b =-①核心在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 核心F （±c ，0） ②核心在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 核心F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，而且椭圆的核心总在长轴上； ②两种标准方程可用一样形式表示：221x y m n+= 或 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，那个地址，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.极点（1）椭圆的极点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 别离叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 别离叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）咱们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），22221()b e a a==-c e 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
椭圆知识点总结附例题
知识点- •椭圆及其标准方程1 •椭圆的定义：平面内与两定点F i , F 2距离的和等于常数2a ■ F1F 2的点的轨迹叫做椭 圆，即点集 M={P| |PF i |+|PF 2|=2a ，2a > |F i F 2|=2c};这里两个定点F i , F 2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
(2a TF1F 2时为线段F 1F 2, 2a c F 1F 2无轨迹) 2.标准方程： c = a - b2 2②两种标准方程可用一般形式表示：——=1或者mx 2+ny 2=1m n椭圆的简单几何性质： 1•范围横坐标-b <x W b,纵坐标-a <x <a2. 对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心2 2(2) 椭圆笃冷=1 (a >b >0)a b圆锥曲线与方程椭 圆(1)2 2椭圆廿右=1 (a > b > 0) 横坐标-a mwa ,纵坐标-b <x<b① 焦点在x 轴上:② 焦点在y 轴上:2 2x_ y_ 二b 2(a > b > 0)b 2(a > b > 0)焦点 F (土c , 0)注意：①在两种标准方程中 ，总有a >b >0,并且椭圆的焦点总在长轴上3. 顶点(1) 椭圆的顶点：A i (-a , 0), A2 (a, 0), B i (0, -b ), B2 (0, b)(2) 线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4. 离心率(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c,即-称为椭圆的离心率，2a a2 c b 2记作e ( 0 ：e ： 1) , e 2 = 1 一(—)・ a ae = 0是圆;e越接近于0 (e越小)，椭圆就越接近于圆；e越接近于1 (e越大)，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
“椭圆”知识点及配套练习
《椭圆》知识点及配套练习【知识点1】椭圆上任一点到两焦点距离之和为常量（椭圆的长轴长）1、已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 2、椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．3、设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129PF PF a a+=+（0a >），则点P 的轨迹是 A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在D ．椭圆或线段4、椭圆13622=+y x 中，1F 、2F 为左、右焦点，弦AB 过左焦点F 1，则2ABF ∆的周长为 5、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是 【知识点2】（1）当椭圆的焦点在x 轴上，则其标准方程为22221x y a b +=（0a b >>），焦点坐标为(,0)c ±（2）当椭圆的焦点在y 轴上，则其标准方程为22221y x a b+=（0a b >>），焦点坐标为(0,)c ±以上,,a b c 满足222a b c =+6、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2），则m 的值为7、如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是8、椭圆2214x y m+=的焦距为2，则实数m 的值为【知识点3】（1）椭圆2222221x y a t b t +=++（0a b >>）与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）共焦点； （2）椭圆方程的一般式：221Ax By +=（0,0,A B A B >>≠）9、过点(3,2)-，且与椭圆224936x y +=有相同的焦点的椭圆的标准方程是10、求经过点1(4,P 和2P 的椭圆的标准方程.点P 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F 、2F 为其两个焦点，（1）若12F PF θ∠=，则12PF F ∆的面积为2tan2θb ； （2）若点P 在长轴上的射影为椭圆的焦点，且点P 到长轴的距离为2b a.11、椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△12PF F 的面积为 12、1F 、2F 是椭圆22197x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠124πAF F =，则Δ12AF F 的面积为13、已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为 .14、点P 为椭圆221123x y +=上一点，椭圆焦点为1F 和2F ，，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍.15、已知椭圆221259x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为16、椭圆22194x y +=的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠12F PF 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是17、已知动圆C 过点(3,0)A -，且在定圆B ：22(3)64x y -+=的内部与定圆相切，求动圆圆心C 的轨迹方程.（1）直线与椭圆的位置关系：相交、相切、相离 （2）直线与椭圆位置关系的判断方法：把直线方程与椭圆方程联立方程组，消去一个未知数，转化成关于x （或y ）的二元一次方程，再利用“∆”来判断.0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆=⇔直线与椭圆相切； 0∆<⇔直线与椭圆相离.18、直线230x y -+=与椭圆13422=+y x 的位置关系是19、直线1y kx =+与焦点在x 轴上的椭圆1522=+m y x 恒有公共点，则实数m 的取范围是 20、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系.【知识点6】直线与椭圆相交时，研究弦长. （1）当直线的斜率存在时，弦AB 的长212212111y y k x x k AB -+=-+=（其中k 表示直线的斜率）或者，A B =或AB =（其中k 为直线的斜率，m 为二次项系数）（2）直线的斜率不存在时，弦AB 的长12AB y y =-如果直线过焦点，还可以利用焦半径公式求弦长.1P c P F ax a =+，2P cP F a x a=- 21、直线1y =被椭圆12422=+y x 截得的线段长为 22、过椭圆4222=+y x 的左焦点且倾角为3π的弦AB ，则AB =23、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．【知识点7】研究与弦中点有关的问题，常用方法：（1）韦达定理；（2）“点差法”24、椭圆12422=+y x 中过(1,1)P 的弦恰好被点P 平分，则此弦的直线方程 25、中心在原点，焦点坐标为（0, 25±）的椭圆被直线320x y --=截得的弦中点的横坐标为21，求椭圆方程.26、已知椭圆221164x y +=，求过点(1,1)M 的弦的中点的轨迹方程.。
椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆典型例题例1已知椭圆mx 2 3y 2 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m 的值.2解：方程变形为— 6 2— 1 .因为焦点在y 轴上，所以2m 6，解得m 3 .2m又c 2，所以2m 6 22 , m 5适合.故m 5 .例2已知椭圆的中心在原点，且经过点 P3,0, a 3b ，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运 用待定系数法，求出参数a 和b （或a 2和b 2）的值，即可求得椭圆的标准方程.2解：当焦点在x 轴上时，设其方程为笃a由椭圆过点P3,0，知92 02 1 .又a 3b ，联立解得a 2 81，b 2 9，故椭圆a b2 2的方程为y X 1 .81 9例3 ABC 的底边BC 16 , AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心 G 的轨迹和顶点A 的轨迹.分析：（1）由已知可得GC GB 20 ,再利用椭圆定义求解.（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求 A 的轨迹方程.2由椭圆过点b 2 1 .又a 3b ，代入得b 2 * 1，a 2 9，故椭y 2 1.当焦点在y 轴上时，设其方程为 2 2y x 2 ,2ab2a sin 设两焦点为F ,、F 2 ,且PF ,PF 1I PF 22亦.即 a .从PF ,PF ,F 2可求出 于，PF 2竽.从椭圆定义知PF2I 知|PF 』垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt PF 2F ,中,PF 2PF 1PF 1F 2石，2C I PF1Icos— 6口，从而b 2、、3 a 2 c 210 3•••所求椭圆方程为3y 2 101或眩102例5已知椭圆方程笃 a2 yb 2b 0，长轴端点为A , A 2, 焦点为F ,,P 是椭圆上一点,A , PA 2F 1PF 2例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为 4总和3罟，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设 G 点B 、C 为焦点的椭圆，且解：坐标为x , y ，由GC GB 20，知G 点的轨迹是以 除去轴上两点.因a 10, c 8，有 b 6 ,2故其方程为— 100 2y361y(2)设 Ax , y2，则— 100 2y361yxx由题意有y3椭圆（除去x 轴上两点）.3'代入①，得A 的轨迹方程为 y 2 x 900 2y 3241 y 0 ,其轨迹是 .求：F 1PF 2的面积（用b 、示)•1分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用S -absinC 求2面积.解：如图，设P x , y ,由椭圆的对称性，不妨设 P x , y ，由椭圆的对称性， 不妨设 P 在第一象限.由余弦定理知：2 2 2 2F I F 2 PF I PF 22PF 1 ・PF 2 cos4c 2 3 •①2例6已知椭圆育寸12x 4y 32 求过点P 1 ,丄且被P 平分的弦所在直线的方程；2 23求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；由椭圆定义知:PR PF ? 2a ②，则②2—①得PF i PF 22b 2 1 cos故 S F .,PF 21PF . PF 2 sin 212b 2sin2 1 cos解: 设弦两端点分别为M X i , y . , N x ?, y ?,线段MN 的中点R x ,2 X i2 X 2 X i y i 2y f 2, 2y ； 2, x 2 2X , y 2y,① ② ③ ④①一②得 x . x 2 x . x 2 2 y . y 2 y .由题意知X . X 2，则上式两端同除以X . y i y ? X i X 2 2 y i y ?0,X i X 2将③④代入得X 2yh^ 0 .⑤x . x 21代入⑤，得也汇2x . x 2y ?X 2，有i ，故所求直线方程为：455m ——2将⑥代入椭圆方程X 22寸O I2得6y 2 6y n 0,360符合题意,2x 4y 3 0为所求.(2)将 匹上 2代入⑤得所求轨迹方程为: 捲x 2内部分)x 4y 0 .(椭圆(3) 将里上 口 代入⑤得所求轨迹方程为:X i x 2 x 2 圆内部分)x 2 2y 2 2x 2y 0.(椭例7已知椭圆4x 2 y 2 1及直线y x m .(1) 当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？(2) 若直线被椭圆截得的弦长为 2卫，求直线的方程.5解：(1 )把直线方程y x m 代入椭圆方程4x 2 y 21得4x 2 x m 21 ,即5x 22mxm 2 1 02m 2 45 m 2 1216m 220(2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为X 1 , X 2，由 (1 )得 x. X 22m T ，x-|x 2m 2 15根据弦长公式得 ：.1 1222m m 2 1 5¥ .解得m0 .方程为y x.451313例8求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 A （、、3, 2）和B （ 2.、3,1）两点的椭 圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确， 椭圆标准方程有两种情形，为了计算 简便起见，可设其方程为mx 2 ny 21（ m 0，n 0），且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为mx 2 ny 2 1（m 0，n 0）.由AC ，3 , 2）和B （2..3,1） 两点在椭圆上可得m炯：n （ 2）2 1,即3m 4n 1,所以m - , n —故所求的椭圆方m （ 2..3）2 n 121, 12m n315 52 2程为x_仝1.155例9已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,分析：可以利用弦长公式 AB V 1 k 2|x 1 x 2| v （1 k 2）［（ x 1 x 2）2 4x 1x 2］求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：（法 1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB J 1 k 2|x 1 X 2J (1 k 2)[(X 1 X 2)2 4x 1X 2].因为 a 6 , b 3 ,所以c 3 3.因为焦点在x 轴上，2 2所以椭圆方程为——1，左焦点F ( 3 •. 3 , 0)，从而直线方程为y 3x 9 .36 9 1313x 272...3x 36 8 0 .设洛,X 2为方程两根,斜解为-的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.过它对的左焦点F 1作倾由直线方程与椭圆方程联立得: 所以X 1 x 272. 3 X 1 X 2 36 84（法2）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x 2 72... 3x 36 8 0求出方程的两根X i , X 2, 它们分别是A ，B 的横坐标.再根据焦半径 AF i a ex , BF i a ex ?，从而求出 AB AF i BF i2 2例10已知椭圆C 吟才1，试确定m 的取值范围，使得对于直线1: y 4x m ，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上A , B 两点关于直线I 对称，则已知条件等价于：（1）直线AB l ; ⑵弦AB 的中点M 在I 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解：（法1）设椭圆上A （x 1 , y 1）， B （x 2 , y 2）两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于M （X 。
椭圆 知识点+例题 分类全面
点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________________．答案 (1)y 220＋x 24＝1 (2)x 2＋32y 2＝1解析 (1)方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(2)设点B 的坐标为(x 0，y 0)． ∵x 2＋y 2b 2＝1， ∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y2b2＝1， 得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型二：椭圆的几何性质[例] (2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .（1）若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； （2）若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝bc 2－a 2a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性， 可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b a 2－c 2a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为ba 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－－c ＝b a 2－c 23a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b a 2－c 23a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.[巩固]（1）已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是_______.（2）(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 (1)2 (2)57解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ， 由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′， 由对称性，得|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14. ∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.题型三：直线与椭圆位置关系的相关问题[例]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长．(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)， 由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即得Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得x 1＋x 2x 1－x 220＋y 1＋y 2y 1－y 216＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.[巩固](2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M (c ，b 2a)，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆．夯实基础训练则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为__________.解析 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1. 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 3．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是_______.解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0， 解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_______.解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.5．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为__________.解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.6．(2013·福建)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a＝3－1. 7．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3. 如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.8．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 (－263，263) 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )．∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263)． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m 3， ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±355. 10．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为_______________.解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 11．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是___________.解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a，由于OP ∥AB ， ∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a， 把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得－c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1，而⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22. 12．已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．答案 33 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2. 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝ 3.∴离心率e ＝2c 2a ＝33. 能力提升训练13．点P 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为________．答案 83解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝6，S △PF 1F 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·1＝8 ＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P .所以y P ＝83. 14．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案 15解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.15．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0，所以k 1>－12.又x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4]·(1＋k 21) ＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1>－12，所以k 1＝12. 于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
椭圆知识点总结及经典习题练习
椭圆知识点总结及经典习题练习椭圆知识点总结及经典习题练习知识点⼀：1、平⾯内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数（⼤于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
注意：若)(2121 F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ；这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距．注意：椭圆122=+b y a x ,122=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、⼤⼩都相同；参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ac e ,222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
知识点⼆：椭圆的标准⽅程1．当焦点在x 轴上时,椭圆的标准⽅程：12222=+b y a x )0(>>b a ,其中222ba c -=2．当焦点在y 轴上时,椭圆的标准⽅程：12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中⼼为坐标原点,对称轴为坐标轴建⽴直⾓坐标系时, 才能得到椭圆的标准⽅程；2．在椭圆的两种标准⽅程中,都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为)0,(c ,)0,(c -；当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c - 知识点三：椭圆的简单⼏何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单⼏何性质（1）对称性：对于椭圆标准⽅程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原⽅程都不变,所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中⼼的中⼼对称图形,这个对称中⼼称为椭圆的中⼼。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。
若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。
同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22222222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222a cb =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。
椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。
椭圆知识点归纳汇总和经典例题
椭圆知识点归纳汇总和经典例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：椭圆的基本知识1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝ 20y得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆.4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长．|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2．7.椭圆的几何性质：a A 1yO F 1F 2x B 2B 1A 2c b yO F 1F 2xMc cxF 2F 1O y Mc cy xPO P 'M椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b+=>>的有关性质。
高中数学-椭圆-超经典-知识点+典型例题讲解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间２0１４年12月１3日 第( )次课 共( ）次课课时: 课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义ﻫ 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(）,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.ﻫ 注意：若,则动点的轨迹为线段;若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二:椭圆的标准方程ﻫ １.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:，其中;注意:ﻫ １.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；ﻫ 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；ﻫ ３．椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=１（１）表示圆，则实数ｋ的取值是 .(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． (4)表示椭圆，则实数ｋ的取值范围是 ．2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 ， 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ，３.椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
讲练结合三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。
椭圆 知识点+例题+练习
教学内容椭圆教学目标掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．重点椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质难点椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质教学准备教学过程椭圆知识梳理1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b教学效果分析教学过程考点二椭圆的几何性质【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．规律方法(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．【训练2】(1)(2013·四川卷改编)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．(2)(2012·安徽卷)如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A教学效果分析教学过程设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．【训练3】(2014·山东省实验中学诊断)设F1，F2分别是椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|＝43a.(1)求该椭圆的离心率；(2)设点M(0，－1)满足|MP|＝|MQ|，求该椭圆的方程．1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，教学效果分析|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．6．(2014·无锡模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________． 7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 8．(2013·福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．二、解答题9．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．10．(2014·绍兴模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，22在椭圆上，且点M 到两焦点距离之和为4. (1)求椭圆的方程；。
椭圆知识点总结加例题
椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。
1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。
（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。
（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。
（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。
（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。
1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。
通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。
1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。
椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。
二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。
2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。
椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。
高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题
椭 圆1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆轨迹叫做椭圆..这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距((设为2c).2.2.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+b x a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2+ny 2=1(m>0=1(m>0，，n>0)n>0)不必考虑焦点位置，求出方程不必考虑焦点位置，求出方程不必考虑焦点位置，求出方程3.3.求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法: : 定义法、待定系数法、相关点法、直接法定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ¢¢解:(:(相关点法相关点法相关点法))设点M(x, y),点P(x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝20y 得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得x 2＋(2y)2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆的轨迹是一个椭圆..4.范围范围范围. x . x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴，∴|x||x||x|≤≤a ，|y||y|≤≤b ．椭圆位于直线x ＝±＝±a a 和y ＝±＝±b b 围成的矩形里．围成的矩形里．5.5.椭圆的对称性椭圆的对称性椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、轴、x x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.6.顶点顶点顶点 只须令x ＝0，得y ＝±＝±b b ，点B 1(0,(0,－－b)b)、、B 2(0, b)b)是椭圆和是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±＝±a a ，点A 1(－a,0)a,0)、、A 2(a,0)(a,0)是椭圆和是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)b)、、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴分别叫做椭圆的长轴和短轴. . 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的叫做椭圆的 长半轴长．长半轴长．b b 叫做椭圆的短半轴长．叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt Rt△△OB 2F 2中，中，|OF |OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．a A 1yO F 1F 2x B 2B 1A 2c b yO F 1F 2xMc c xF 2F 1O y MccyxPO P ¢M）的离心率为（轴分成三等份，则椭圆若椭圆的连个焦点把长 .1无法确定 D.32C. 31 B. 61 A..7),0()0,()0,()0(1 .2112222=-->>=+e bAB F b B a A c F b a by a x ，则椭圆的离心率的距离为到直线如果是两个顶点，、，的左焦点为椭圆.1612)2,1( .322的标准方程有相同的离心率的椭圆，且与椭圆求经过点=+y x M越小，因此椭圆越扁；，从而越接近时，越接近当221)1(c a b a c e -=因此椭圆越接近于圆；，越接近，从而越接近时，越接近当a b c e 00)2( .0)3(222a y x c b a =+==为圆，方程成为，两焦点重合，图形变时，当且仅当.)2(; )1(12045.222121221点坐标求求，为左右焦点，，上的点，为椭圆已知P S PF PF F F y x P F PF D ^=+yO x椭圆典型例题椭圆典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（的一个焦点为（00，2）求m 的值．的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222222c b a +=可求出m 的值．的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以22262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．，求椭圆的标准方程．分析：分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数根据题设条件，运用待定系数法，法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b y a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b x a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC D 的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为3030，，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022¹=+y y x ．（2）设()y x A ，，()y x G ¢¢，，则()013610022¹¢=¢+¢y y x ． ① 由题意有ïïîïïíì=¢=¢33y y x x，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022¹=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt D 中，21s i n1221==ÐPF PF F PF ，可求出621p=ÐF PF ，3526cos 21=×=pPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，q =Ð21PA A ，a=Ð21PF F ．求：21PF F D 的面积（用a 、b 、a 表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a 的两邻边，从而利用C ab S sin 21=D求面积．解：如图，如图，设设()y x P ，，由椭圆的对称性，由椭圆的对称性，不妨设不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，由椭圆的对称性，不妨设不妨设P 在第一象限．由余弦定理知：第一象限．由余弦定理知：221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =a ．①．① 由椭圆定义知：由椭圆定义知： a PFPF221=+②，则－①②2得 acos 12221+=×b PF PF ．故a sin 212121PF PF S PF F ×=D a asin cos 12212+=b 2tan 2a b =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 例7 已知椭圆1222=+y x（1）求过点÷øöçèæ2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=×OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则，则ïïîïïíì=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ¹，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y y x ．⑤．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，416436>´´-=D 符合题意，0342=-+y x 为所求．为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为：代入⑤得所求轨迹方程为：04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为：代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）部分）（4）由①＋②得）由①＋②得： ()2222212221=+++y y x x ，⑦，⑦，⑦， 将③④平方并整理得将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧，⑧， 212222124y y y y y -=+，⑨ 将⑧⑨代入⑦得：将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩再将212121x x y y -=代入⑩式得：代入⑩式得： 221242212212=÷øöçèæ--+-x x y x x x ， 即12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*******22³+-=-´´-=D m m m ，解得2525££-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得根据弦长公式得 ：51025145211222=-´-÷øöçèæ-×+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式一般考虑判别式D ；解决弦长问题，一般应用弦长公式．公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．，可大大简化运算过程． 例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－的坐标为（－99，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组îíì=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－的坐标为（－55，4）．此时21MF MF +最小．最小． 所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为136452222=+y x ．例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．的取值范围．解：由ïîïíì-¹-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4¹k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4¹k ．说明：本题易出现如下错解：由îíì<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．椭圆．例11 已知1cos sin 22=-a a y x )0(p a ££表示焦点在y 轴上的椭圆，求a 的取值范围．围．分析：依据已知条件确定a 的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出a 的取值范围．取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+aa y x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-aa ． 因此0sin >a 且1tan -<a 从而)43,2(p p a Î．说明：说明：(1)(1)(1)由椭圆的标准方程知由椭圆的标准方程知0sin 1>a ，0cos 1>-a，这是容易忽视的地方．，这是容易忽视的地方． (2)(2)由焦点在由焦点在y 轴上，知a cos 12-=a ，asin 12=b ． (3)求a 的取值范围时，应注意题目中的条件p a <£0．例12 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得在椭圆上可得îïíì=×+-×=-×+×,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即îíì=+=+,112,143n m n m所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 已知长轴为1212，，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3p的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：解：((法1)1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，轴上， 所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=´++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621´=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．利用椭圆的定义及余弦定理求解．利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，nBF -=122．在21F AF D 中，3cos22112212122pF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22×××-×+=-m m m ； 所以346-=m ．同理在21F BF D 中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)3)利用焦半径求解．利用焦半径求解．利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=´++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例14 14 椭圆椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 4 B ．2 2 C ．8 8D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ， 又因为ON 为21F MF D 的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ．说明：说明：(1)(1)(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．椭圆．(2)(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即aMFMF221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．圆上的点与焦点的有关距离．例15 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：对称，则已知条件等价于：(1)(1)(1)直线直线l AB ^；(2)弦AB 的中点M 在l 上．上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．的取值范围．解：解：((法1)1)设椭圆上设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点．点．∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组ïïîïïíì=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
椭圆知识点及例题
四.直线和椭圆的位置关系
1.位置关系的判断：判别式法
2.相交弦：
（1）弦长公式：
（2）中点弦问题：点差法
3、点M(x0,y0)与椭圆 的位置关系：
点M在椭圆内：
点M在椭圆外：
五、例题
1、椭圆定义的应用
（1）椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4,则|PF2|=？；求cos∠F1PF2
(1)2-(2)得：|PF1| | PF2| =2b2/(1+cosθ)
∴S=b2tanθ/2
二、椭圆的标准方程
三、椭圆的几何性质
以焦点在X轴的标准方程为例
1、范围：
|x| a,|y| b 即椭圆位于直线x= a、y= b围成的矩形里。
2、对称性
对称中心：O (0,0)，对称轴方程：x=0，y=0.
∠F1PF2=60º，则∆PF1F2的面积是？
2、椭圆几何性质的应用
（1）过椭圆 （a>b>0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆与点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=600,则椭圆的离心率为？
（2）已知椭圆C： （a>b>0）的离心率e= ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 ，求椭圆C的方程。
（3）已知椭圆 +y2=1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，由 =0，则点M到y轴的距离为？
（2）已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，p是椭圆上的点，A(1,1)是一定点，则|PA|+|PF|的最大值和最小值分别为？
（3）一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=1内切，则动圆圆心的轨迹方程为？
（4）已知椭圆x2+9y2=9的两个焦点分别为F1，F2,
(完整版)椭圆的基本知识
椭圆的基本知识一、基本知识点知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义，简称和比积1、定义1:（和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距,定值为________.2、定义2：（比)到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。
定点为焦点，定直线为准线，定值为______。
3、定义3：（积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.两定点是长轴端点,定值为)01(12＜＜m e m --=. 知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为_______________，其中222b a c -=。
2、当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为_______________,其中222b a c -=. 知识点三:椭圆的参数方程)0(12222＞＞b a b y a x =+的参数方程为________________。
知识点四：椭圆的一些重要性质(1）对称性：椭圆的标准方程是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心就是椭圆的中心。
（2)范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足b y a x ≤≤,。
(3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点；②椭圆)0(12222＞＞b a b y a x =+与坐标轴的四个顶点分别为___________________________。
③椭圆的长轴和短轴.（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
②因为0＞＞c a ,所以e 的取值范围是10＜＜e .（5）焦半径：椭圆上任一点),(00y x P 到焦点的连线段叫做焦半径.对于焦点在x 轴上的椭圆,左焦半径01ex a r +=，右焦半径02ex a r -=.（6）准线方程:ca x 2±=（7）焦准距：焦点到准线的距离，用p 表示，记作cb p 2=。
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椭圆知识点知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。
e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+22。
注意： 椭圆12222=+by a x 的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）)2(21a PF PF =+；e PM PF PM PF ==2211；)2(221ca PM PM =+；)(21a BF BF ==；)(21c OF OF ==；2221b a B A B A +==；（3）c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；知识点四：椭圆第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率左准线ca x l 21:-= 右准线c a x l 22:=知识点五：椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r += （右焦半径）02ex a r -= 其中e 是离心率焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点）知识点六：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）弦长公式：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=2122124)(1x x x x k -++=知识点七：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+by a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221=范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=注意：椭圆12222=+b y a x ，12222=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ace ，222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。
当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。
此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。
可借助右图理解记忆：显然：c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax =+22可化为122=+CBy C Ax ，即122=+BC By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。
当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。
与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称；③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 2121PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方法进行计算解题。
将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建立21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率)10(<<=e ace ，因为222b a c -=，0>>c a ，用b a 、表示为)10()(12<<-=e ab e 。
显然：当a b 越小时，)10(<<e e 越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(<<e e 越小，椭圆形状越趋近于圆。
经典例题：一、椭圆的定义例1、已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为( )A 圆B 椭圆C 线段D 直线例2、椭圆221169x y -=左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，则⊿CDF2的周长为______ 二、椭圆的标准方程例3、已知方程22111x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A -1<k<1 B k>0 C k ≥0 D k>1或k<-1例4、已知方程12-m x +my -22=1，表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 .例5、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)例6、若⊿ABC 顶点B 、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，求⊿ABC 的重心G 的轨迹方程。
例7、 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．例8、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．三、离心率例9、椭圆22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点。