数据结构第7章 图2

在存储图的结构时，至少要保存两类信息： 顶点的数据 顶点之间的关系 数组表示法：使用两个数组，其中一个用来存储顶 点的数据，另一个用来存储顶点之间的关系(弧)， 表示弧的矩阵被称为邻接矩阵（二维数组）。 具有n个顶点的图G的邻接矩阵是具有如下性质的n 阶矩阵： 1 Vi邻接Vj （0≤i，j≤n-1） A[i][j]= 0 Vi与Vj不邻接
第七章 图
7.1 图的类型定义 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历 7.4 最小生成树 7.5 有向无环图及其应用 7.6 最短路径
1
7.1 图的类型定义
图 是由一个顶点集 V 和一个关系集 R构成的数据结构。 Graph = ( V , R ) 其中： V = { ei | ei∈ElemSet, i = 1, 2, … , n }
14
数组元素结点
图的邻接表存储表示
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef struct ArcNode { //边链表结点 int adjvex; // 该弧所指向的顶点的位置 struct ArcNode *nextarc; // 指向下一条弧的指针 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcNode;
typedef struct ArcCell { //存储弧/边的信息，即邻接矩阵 VRType adj; // VRType是顶点关系类型。 //对无权图，用1或0表示相邻否； // 对带权图，则为权值类型。 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcCell, 9 AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
4
V1
V2
V1 V3
V2
V3
v1 v2 v3 v4
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
V4
V4
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
V5
0 1 1 0 0
v1 v2 v3 v4
有向图G1 的邻接矩阵
无向图G2 的邻接矩阵
5
无向图邻接矩阵表示法特点：
R = { VR }
VR = { <v, w> | v, w∈V 且 P(v, w) } 谓词 P(v, w) 定义了 <v, w>之间关系的意义或信息。
2
7.2 图的存储表示
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示 二、图的邻接表存储表示
三、有向图的十字链表存储表示 四、无向图的邻接多重表存储表示
3
一、邻接矩阵
13
顶点数据结点（数组元素）由两个域组成：
数据域（data）: 存储顶点名称或其他信息。 链域（firstarc）: 指向链表中第一个结点 (边)。
边链表的每个结点由3个域组成：
邻接点域（adjvex）：指示与顶点 vi 邻接的顶点 在图中的位置。 链域（nextarc）: 指示下一条边或弧的结点。 数据域（info）: 存储和边或弧相关的信息。 data firstarc adjvex nextarc info 链表结点
1
4 5
2
6 8
A=
3
2
4
∞5 4 6 5 ∞∞ 8 4 ∞∞ 2 6 8 2 ∞
8
图的数组存储表示
#define INFINITY INT_MAX // 最大值∞ #define MAX_VERTEX_NUM 20 // 最大顶点个数 typedef enum {DG, DN, AG, AN} GraphKind; //{有向图,有向网,无向图,无向网}
A ∧ B C D E F 0 3 ∧ 5 ∧ 0 2 ∧
21
5 ∧
4
单链表中的结点表示 以该顶点为头的弧 5
1 ∧
vexnum = 6, arcnum = 7
网的邻接表的数据类型定义：
#define MaxV 100 typedef struct node{ //边链表的结点类型 int adjvex; // 该弧所指向的顶点的位置 float weight; //边的权值 struct node *next; // 指向下一条弧的指针 }Enode; typedef struct{ //表头结点类型 VertexType data; // 顶点信息 Enode *firste; // 指向第一条依附该顶点的弧 } Vnode;
10
邻接矩阵的数据类型定义 #define MaxV 100 //定义最大顶点数 typedef struct{ int vexes[MaxV]; //顶点表 int edges[MaxV][MaxV]; //邻接矩阵 int n,e; //顶点数n和边数e }MGraph;
11
二、邻接表
邻接表是图（包括有向图和无向图）的链式存储结 构。 对于图中的每个顶点vi，把所有邻接于vi的各个顶点 链成一个单链表，称为边链表。
无向图的邻接矩阵为对称矩阵。
B A F
C D E
0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0
7
有向图邻接矩阵表示法特点： 有向图邻接矩阵不一定是对称矩阵； 有向图的弧数是矩阵中1的个数。 顶点v的出度：等于二维数组对应行中1的个数； 顶点v的入度：等于二维数组对应列中1的个数； 有向图的总弧数为非0元素个数。 网的邻接矩阵: wij Vi邻接Vj,权值是Wij （0≤i，j≤n-1） A[i][j]= ∞ Vi与Vj不邻接

无向图中顶点vi的边链表中每个结点都对应一个与 vi关联的边； 有向图中顶点vi的边链表中每个结点都对应一个以 vi为始顶点的弧，因此称为出边表。
12

为每个顶点vi的边链表建立一个头结点，存储在一维 数组中(即顶点表)，以便随机访问任一顶点的边链表。 因此，在邻接表中有两种结点： 链表结点 和 顶点结点 邻接表是一种顺序+ 链式存储结构。用顺序表存放顶 点，为每个顶点建立一个单链表，单链表中的结点表 示依附于该顶点的边或以该顶点为尾的弧。
typedef struct VexNode { // 顶点的结构表示 VertexType data; ArcBox *firstin, *firstout; // 指向以该顶点为头和尾 // 的两个链表 25 } VexNode;
typedef struct { //图结构 VexNode xlist[20]; // 顶点结点向量 int vexnum, arcnum; //顶点数和弧数 } OLGraph; 顶点结点 0 V1 1 V2 2 V3 3 V4 ^
逆邻接表
V0 V1 V2 V3
邻接表
3 0
19
有向图的邻接表
data firstarc
B A F
C D E
0 1
A
1
4 ∧
B
C D E ∧
4 ∧
5 ∧ 2 ∧
2
3
4
5
F
1
3 ∧
20
vexnum = 6, arcnum = 7
有向图的逆邻接表
data firstarc
B A F
C D E
0 1 2 3
typedef struct VNode { //头结点 VertexType data; // 顶点信息 ArcNode *firstarc; // 指向第一条依附该顶点的弧 15 } VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
图的邻接表存储表示
typedef struct { AdjList vertices; int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数和弧数 int kind; // 图的种类标志 } ALGraph;
22
网的邻接表的数据类型定义：
typedef struct{ Vnode adjlist[MaxV]; int n,e; }ALGraph; //邻接表 //顶点数和边数
23
三、十字链表(有向图)
十字链表是有向图的另一种链式存储结构。 将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来的结构。 在十字链表中有两种结点： 弧结点：存储每一条弧的信息，用链表链接在一 起。
16
无向图的邻接表示例
V0 V2 V3 V4 V1
0 V0 1 V1 2 V2 3 V3
4 V4
1 0
3 2
4 4
1
0
3
2 2
1
注意：没有画出链表结点的info域 。
17
无向图的邻接表的特点
⑴边链表中结点总数是图中边数的2倍； ⑵顶点v的度：等于v对应链表的长度 ⑶判定两顶点v ，u是否邻接：要看v对应链表中 有无对应的结点； ⑷在图中增减边：要在两个单链表插入、删除结 点； ⑸设存储顶点的一维数组大小为m(m≥图的顶点数 n), 图的边数为e，图占用存储空间为：m+2*e。 ⑹图占用存储空间与图的顶点数、边数均有关； ⑺适用于边稀疏的图。
无向图邻接矩阵是对称矩阵，同一条边表示了两次,无 向图的总边数为非0元素个数的一半； 顶点v的度:等于二维数组对应行（或列）中1的个数； 判断两顶点v、u是否为邻接点:只需判断二维数组对应 分量是否为1； 顶点不变，在图中增加、删除边:只需对二维数组对应 分量赋值1或清0；
设图的顶点数为 n ,存储图用一维数组, 数组元素有m （m>=n)个,则G占用存储空间：m+n2；G占用存储空 间只与它的顶点数有关，与边数无关；适用于边稠密 6 的图；
5 1、邻接多重表(无向图)
邻接多重表是无向图的另一种链式表示结构。 和十字链表类似。邻接多重表中，每一条边用一 个结点表示。 在邻接多重表中有两种结点： 边结点：存储每一条边的信息，用链表链接在 一起。