《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(B 卷)
11-12(下)高数B参考答案及评分标准
高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。
()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。
)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。
)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
2020-2021某大学《高等代数》期末课程考试试卷合集(含答案)
【解】
（1） 方法一：数学归纳法证明 Dn = (n +1)an ． k = 1时， D1 = 2a ，
假设 k n −1时， Dk = (n +1)ak ．则当 k = n 时，
Dn = 2aDn−1 − a2Dn−2 = 2anan−1 − a2 (n −1)an−2 = (n +1)an.
方法二：递推法．
5、在
中，
是 的维数 则 在基
下的矩阵为_________________。
6. 元实二次型
是正定的充分必要条件是它的正惯
性指数等于___________________.
7.对于线性空间 V 中向量
,若在数域 P 中有 个
不全为零的数
,使
,则向量
称为_________.
8.相似矩阵的特征值__________.
（D） 1 + 22 ,2 + 23,3 + 21 . 3 线性方程组 Ax = b 的系数矩阵式 45 矩阵，且 A 的行向量线性无关，则错误的命题是
（ D ）.
(A) 齐次方程组 AT x = 0 只有零解；
（B）齐次方程组 AT Ax = 0 必有非零解； (C) 对任意的 b ，方程组 Ax = b 必有无穷多解； (D) 对任意的 b ，方程组 AT x = b 必有唯一解.
考试日期：
考试时间：120 分钟
试卷总分：100 分
一、填空（共 50 分，每小题 5 分）
1、设矩阵
与
相似，则
。
2、已知
是矩阵
的一个特征向量，则
特征向量 对应的特征值
。
3、 满足________时，二次型
《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)
6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
高代下试卷期末
2014-2015学年第二学期《几何与高等代数（下）》期末试卷(2014级数学类专业)班级 学号 姓名 得分一、判断题（每小题3分，满分15分）1．线性变换A )(V End K ∈可对角化，当且仅当V 是A 的特征子空间的 直和。
（ ）2．n 阶多项式矩阵)(λA 可逆的充分必要条件是)(λA 满秩。
（ ）3．设A 为欧氏空间V 上的对称变换，则A 的特征值都为实数，且属于A 的不同特征值的特征向量必正交。
（ ）4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000003B ，则A 与B 相合且相似。
（ ） 5．设n 阶矩阵B A 、相似，则B A 、具有相同的不变因子组，但反之 不成立。
（ ）二、填空题（每小题3分，满分15分）1．以原点为顶点，准线为⎩⎨⎧0102=--=--z y z y x 的锥面方程是 。
2．设()()3213213,,,,,,y y y x x x R V ===βα，则V 上双线性函数3323322111322),(y x y x y x y x y x f +-+-=βα关于自然基321,,εεε的度量矩阵为 。
3．设3阶方阵A 的三个特征值为1，3，31， 则=+*||E A ____ 。
4．设1)(23-+-=x x x x f ，1)(4-=x x g ，则它们的最大公因式 ()=)(),(x g x f 。
5． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=32)1(0000001)(λλλλA 的初等因子组为。
三、计算题（每小题10分，共40分）1. 化简二次曲线方程：012241254222=+--++y x y xy x ， 并写出对应的坐标变换公式。
2．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111tt A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000020001B 相似，（1）求t 的值；（2）求正交矩阵T，使得BT=AT-1。
3．设对称多项式：322232321221231221321),,(x x x x x x x x x x x x x x x f +++++=（1）将),,(321x x x f 按字典序重新排列；（2）用初等对称多项式表示),,(321x x x f 。
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
高等代数下期终考试题及答案B卷
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分）1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 .3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A()-n P[x]=,的核(0)=1A A A4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+⎝⎭，则A （λ）的不变因子________________________；3阶行列式因子D 3 =_______________.5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形J=6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二. 选择题( 每小题2分，共10 分)1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 42. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C)A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -34.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ，若β与2α正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R 3的子空间(A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w (C) }|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=(D) }|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)1.( )设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.2.( ）12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ijn nA a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵.3．( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．4．（）在线性空间R 2中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是R 2的一个线性变换. 5.（ ）设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
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三．解答题：（共 80 分）
1．（15 分）
λ − 3 −2 1 解： χA (λ) = λE − A = 2 λ + 2 −2 = (λ − 2)2 (λ + 4) ，
−3 −6 λ +1
故特征向量为 2 和-4.
………………5 分
⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞
当 λ1
=
2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟
,η2
三．解答题：（共 80 分）
⎛ 3 2 −1⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−2 3
−2 6
−21⎟⎟⎟⎠ ，问矩阵 A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
命题共 2 页第 1 页
2．(10
分)求圆
⎧⎪ x 2
⎨ ⎪⎩
x
2
+ +
y2 y2
+ +
《高等代数与解析几何（下）》期末考试试卷（B 卷）
一．填空题：（每小题 2 分，共 10 分）
1. 线性变换σ 的属于不同特征值的特征向量是
.
2. 如果 (x − 3) | f (x), 则 f (3) =
.
3. 实二次型正定的充分必要条件是它的矩阵 A
.
4. 在实数域上, 不可约多项式有
.
5．在几何空间中,一个不含 y 的方程 F (x, z) = 0 表示的曲面是
⎜ ⎜
−1
0
−2
⎟ ⎟
，使
T
−1
AT
=
⎜ ⎜
0
2
0 ⎟⎟.
⎜⎝ 0 1 3 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 −4⎟⎠
………………4 分
2．(10 分) 解：两方程相减，得 x + y + z − 3 = 0 ，故已知圆是球面 S1 : x2 + y2 + z2 = 4
答案共 3 页第 1 页
与平面 Π1 : x + y + z − 3 = 0 .球面半径 R1 = 2 ，球心 0 到 Π1 的距离
d=
−3 = 1+1+1
3 ， 故圆半径 …5 分
过球心 O 且垂直于 Π1 的直线 L：x = y = z ，它与平面 Π1 的交点即为圆心（1,1,1）. …………5 分
3．(12 分) 解：原点 O 在旋转轴上，且轴的方向向量是ξ = (1,1,1) .可得方程组：
………………6 分
令
⎧ ⎪ ⎨
y1 y2
= =
x1 + 2 x2
x2 − + x3
2
x3
,
⎪⎩ y3 = 3x3
答案共 3 页第 2 页
⎧ ⎪
x1
⎪
=
y1
−
1 2
y2
+
5 6
y3
即
⎪ ⎨
x2
⎪
=
1 2
y2
−
1 6
y3
．
⎪ ⎪⎩ x3
=
1 3
y3
………………5 分
则有： q(x1, x2 , x3 ) = y12 + y2 2 − y32 ．
=
⎜ ⎜
0
⎟⎟ .
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛1⎞
当 λ2
=
−4 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−2 ⎟⎟ .
⎜⎝ 3 ⎟⎠
………………2 分
∵dim(V2 ) + dim(V−4 ) = 3，故A可以相似于一个对角矩阵.
………………2 分
⎛2 1 1⎞
⎛2 0 0 ⎞
取可逆矩阵 T
=
………………2 分
7．（10 分）证明：（反证）如果ξ1 + ξ2 是σ 的属于某个特征值 λ0 的特征向量，则
σ (ξ1 + ξ2 ) = λ0 (ξ1 + ξ2 ) ．
………4 分
又σ (ξ1 + ξ2 ) = σξ1 + σξ2 = λ1ξ1 + λ2ξ2 ，所以 (λ1 − λ0 )ξ1 + (λ2 − λ0 )ξ2 = 0 ．
(A) π ； 2
(B) π ； 4
(C) π ； 3
(D) π . 6
5. 直线 x −1 = y +1 = z + 2 与平面 4x + 5y − 3z − 7 = 0 的交点坐标为（ ）. 3 −4 −2
(A) (−2,3, 0) ； （B） (2,3, 0) ； （C） (−2,3,1) ； （D） (1,3, −2) .
z2 z2
= +
4 x+
y
+
z
−
7
=
0
的圆心及半径.
3．(12 分) 求直线 x = y = z −1 绕直线 x = y = z 旋转所得旋转曲面的方程. 21 0
4．(10 分) λ 取何值时,下列二次型是正定的：
f (x1, x2 , x3 ) = 5x12 + x22 + λ x32 + 4x1x2 − 2x1x3 − 2x2 x3 . 5．（10 分）证明：如果 (x2 + x +1) | f (x3 ) + xg(x3 ) ，则 f (1) = g(1) = 0 .
⎛ 5 2 −1⎞
4．(10 分)
解：二次型的矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 −1
1 −1
−λ1⎟⎟⎟⎠ ，
………………3 分
它的顺序主子式 D1 = 5 > 0, D2 = 1 > 0, D3 = λ − 2 . 故当 λ > 2 时原二次型正定.
………………4 分 ………………3 分
5．（10 分）解：设 ε = −1+ 3i ，则 ε ,ε 都是 x2 + x +1的根. 2
3. 设 3 阶方阵 A 的特征值为1, 1 , 1 , 则 A−1 等于( ). 23
(A) 9；
(B) 1 ； 9
(C) 6；
(D) 1 . 6
∫ 4. 在 R[x] 中，定义内积 ( f (x), g(x)) =
1
f (x)g(x)dx,
则 f (x) = 1, g(x) = x 的夹角
0
是（ ）.
由 λ1 ≠ λ2 可得ξ1,ξ2 线性无关，因此 (λ1 − λ0 ) = 0, (λ2 − λ0 ) = 0 ．
………4 分
得到 λ1 = λ0 = λ2 ，矛盾．故ξ1 + ξ2 不是σ 的特征向量．
………2 分
答案共 3 页第 3 页
6．(13 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 5x22 − 4x32 + 2x1x2 − 4x1x3
7．（10 分）设 λ1, λ2 是线性变换σ 的两个不同的特征值，ξ1,ξ2 分别是σ 的属于特 征值 λ1, λ2 的特征向量． 证明：ξ1 + ξ2 不是σ 的特征向量．
命题共 2 页第 2 页
参考答案及评分细则
一．填空题：（每小题 2 分，共 10 分）
1. 线性无关的
2. 0 3. 的所有顺序主子式全大于 0
4. 一次多项式与部分二次多项式
5． 母线平行于 y 轴的柱面
二、单项选择题：（每小题 2 分,共 10 分）
1． B 2． D 3． C 4． D 5． A
………3 分
由于 (x2 + x +1) | f (x3 ) + xg(x3 ) ，所以 f (1) + ε g(1) = 0, f (1) + ε g(1) = 0 .
…………5 分
因此得 f (1) = g(1) = 0 .
………………2 分
6．(13 分) 解：
q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 5x22 − 4x32 + 2x1x2 − 4x1x3 = ( x1 + x2 − 2x3 )2 + (2x2 + x3 )2 − (3x3 )2 ．
⎧⎪(x − x′) + ( y − y′) + (z − z′) = 0 ,
⎪ ⎨
x
2
+
y2
+
z2
=
x′2
+
y′2
+
z′2 ,
⎪ ⎪
x′
=
y′
=
z′ −1.
⎩2 1 0
在方程组中消去 x′, y′, z′ ，可得
……………7 分
2(x2 + y2 + z2 ) − 5(xy + xz + yz) + 5(x + y + z) − 7 = 0. ……………5 分
.
二、单项选择题：（每小题 2 分,共 10 分）
1. 设方阵 A 满足 A2 = 4A ,则 A 的特征值为( ).
(A) 0 或 1； (B) 0 或 4；
(C) 1 或 4；
(D) 无法确定.
2. 在下列曲面中,( )是直纹面.
(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 双叶双曲面； (D) 双曲抛物面.