第五讲数的读写(二年级奥数)

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高斯小学奥数二年级(上)第05讲图形规律进阶

第五讲图形规律进阶前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲萱萱萱萱墨莫墨莫萱萱萱萱墨莫墨莫萱萱把里面的人物换成相应红字标明的人物．找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力．本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应该从哪些方面来观察思考．【提示】这些图形不仅在田字格中旋转，它们自身也在旋转哦！观察图中的规律，请按照这种规律，画出所有空格中的图形．旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，不仅可以提高观察能力，加快解题速度，而且对于许多问题的解决，也有事半功倍的效果．找图形规律，除了可以单一地从图形的数量、大小、形状、方向等因素考虑，还可以从图形的具体位置考虑．观察图中的规律，请按照这种规律，画出所有空格中的图形．例题1练习1【提示】第一个里面有2个“○”哦！根据下列前三幅图的变化规律，在第四幅图中画出阴影部分．对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分成几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化．请按照已有图形的规律，画出下一个图形．例题2练习2【提示】注意图形规律中形状和数量结合．观察各图形规律，画出“□”处的图形．观察各图形规律，画出“□”处的图形．例题3练习3【提示】图形中不仅有形状、颜色、规律，还有移动的规律，需要考虑多种规律．练习4 根据图中的规律，选出图中第4行的图形．ABC D根据图中的规律，选出图中第4列其余三个图形．例题4A B C D【提示】图形中数形结合的规律．下面一组图形的阴影变化是有规律的，请根据这个规律把第四幅图的阴影部分画出来．【提示】分别找出每一块阴影部分的位置变化规律．课堂内外例题6观察各图形与它下面的数之间的关系，写出“？”处的数．例题56☆8 9☆1 1☆1 8☆6 1☆8 ？门萨门萨的英文名称是“MENSA”，是拉丁语中“圆桌”的意思．门萨取自圆桌的意思就是希望人们能够平等的坐在一起，当然前提是智商相近．门萨是世界顶级智商俱乐部的名称，于1946年成立于英国牛津，创始人是律师罗兰德·贝里尔和科学家兼律师兰斯·韦林．当时，这两位自认聪明异常的人突发奇想，编制出一些高难试题以测试智商，受到广泛追捧．兴奋之余，贝里尔和韦林干脆成立一个俱乐部，号召高智商的人士加入．今天，门萨俱乐部拥有10万多名会员，遍及世界100多个国家和地区．门萨测试试卷一般有30题，答对23题，换算成智商是148，也就是可以加入门萨俱乐部的标准．门萨测试一般从注意力、观察力、逻辑思维、想象力和记忆力这几个方面出题，这三十道题中分布比例大致相当，你会发现这些题目中有你更为擅长的，也就是哪一方面更为突出．门萨智商测试只能帮助个人对自己的智商水平做粗略的评估，因为影响得分的偶然因素很多．门萨智商测试只有利于那些兴趣偏重自然科学的人，而不有利于那些偏重语言文字方面的人，也不利于具有较强记忆能力的人．门萨智商测试适合青少年和成年人自测，对于小学生，可以适当加分．作业1.观察图中的规律，请按照这种规律，画出空格中的图形．2.请按照已有图形的规律，画出第四个图形．3.观察下面的规律，接下去再画10颗珠子．4.根据图中的规律，选出图中第4行的图形．5. 观察各图形与它下面的汉字之间的关系，画出“□”处的图形．开心快乐开快心乐A．B． CD ．第五讲图形规律进阶1.例题1答案：如图所示：详解：首先根据前三个图形判断规律，方法一：分步看．先固定观察一个图形，例如三角形，每个三角形都是上一个三角形逆时针旋转得到的．每个小图形的位置在逆时针旋转，而且小图形本身也在逆时针旋转．方法二：整体看．整个图形整体是逆时针旋转的规律．2.例题2答案：如图所示：详解：○在大的图形里在顺时针旋转，并且每个图形的旋转里面包括数量，第一幅图中是两个“○”重叠在一起了．在做复杂找规律的题目时，一定要会简化，即每次只看一个“○”，其中的一个“○”每次顺时针移动一个格，另一个“○”每次顺时针移动2个格．3.例题3答案：如图所示：详解：脸是按照□，○的规律，同时第一个图形的眼睛是实心的正方形，第二个图形的眼睛是空心的○……所以最后一个小人的脸是○，眼睛是空心的○；小人的面部表情是笑，僵硬，哭，那么最后一个正好应该是哭的表情；海盗脸的标志是按照顺时针的方向转动的，最后一幅图应该在右上；头发是按照数量依次增多的．4.例题4答案：D详解：观察竖式发现，图形的规律是两个一组往下移动的，颜色的规律是下一列第一个的颜色是上一列最后一个的颜色．通过这样的规律判断出，第4列图形应该是“□”、“十”、“△”、“○”；颜色应该是点状、空心、方格、实心．5.例题5答案：9☆9详解：通过观察，○＝1，那么从其它的图形可以知道△＝6，□＝8，▽＝9，而且是小图形代表☆后面的数字，所以最后一个图形都是9☆9．6.例题6答案：如图所示：详解：本题四个小阴影图形可以单独去看，首先看第一个小正方形，发现它往右每次移动一个格子，最后它到了第四个格子里；再看第二个又发现，它也是每次往右移动一个格子，那么到最后后，它会重新回到第一个格子中；同理第三个、第四个也是往右移动，那么第三个应该到了第二个格子里；第四个移动到第三个格子里．7.练习1答案：如图所示：简答：通过观察发现，小图形在田字格里顺时针旋转．8.练习2答案：如图所示：简答：通过观察发现，阴影的小正方在大的图形里是顺时针旋转的．9.练习3答案：如图所示：简答：头是按照○、▽、□的规律，那么第六个图形里的头是□；眼睛是按笑形、哭形的规律，那么第六个图形里的眼睛是哭形；肚子上的纽扣每次增加1，腿也是每次增加1．10.练习4答案：B简答：观察发现，图形是每次往后移动一个，而颜色不变．通过这样的规律，第4行应该是“○”、“太阳”、“五边形”、“爱心”；图形颜色应该是斜线，横线，实心，竖线．11.作业1答案：如图所示：简答：这道题是旋转的规律：方格里相同图形的位置在逆时针旋转，图形本身也在逆时针旋转．12.作业2答案：如图所示：简答：这是移动的规律：大图形里的小图形分别在沿着顺时针移动．13.作业3答案：如图所示：简答：这道题是形状＋数量＋颜色的规律，形状都是按一个△，两个○和三个◇循环，颜色是按照一个空心，一个实心，两个空心，两个实心依次递增的规律．14.作业4答案：B简答：这道题是移动的规律：其中每行第三个都是实心圆，第一个图形移动到最后面，其他图形向前移．15.作业5答案：如图所示：简答：这是文字与图形组合的规律：“开”代表大长方形，“心”代表小圆形，“快”代表小五角星，“乐”代表大三角形．。

二年级奥数教材

二年级奥数目录第一章：算一算第一讲巧填竖式★★★★〔通过分析算式的特点，运用加、减的运算法那么算出每一个数字〕第二讲简便运算〔一〕★★★〔通过把数字整十整百地加减，快速地算出结果。

多加了再减、少加了要补；多减了要补，少减了要减。

口算很重要，一定要过关〕第三讲简便运算〔二〕★★★★〔可以把运算后能得到整百、整十的先算较简便。

求几个连续数的和，可以取一个数为基准数进展计算较简便先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。

〕第四讲简单数的分解★★〔读懂题意，根据题意把数字进展拆分成对应的份数。

〕第五讲数的读写★★〔将两个数进展比拟，比拟数的大小时先看数位是否一样，一样时从高位依次进展比拟〕第二章：实践与应用〔一〕应用题★★★★(弄清要求，找出题目中的条件和未知条件，然后再进展列式计算，应用题的单位和答都不能遗忘)第三章：合理推算★★★★〔根据的条件，一个一个地推理，推出一个再推下一个。

推理时逻辑很重要〕第四章：趣味数学与游戏第一讲巧填数★★★★〔有利于开发思维，运用推理，根据条件从数字多的一方着手〕第二讲数学游戏★★〔一个关于求和的游戏，运用简单的除数和余数的关系〕第五章：实践与应用〔二〕第一讲余数的妙用〔二〕★★★〔总数除以重复的数的个数得出的结果有余数，那么余数是几，就是这组中的第几个〕第二讲年龄问题★★★★〔每过一年，每人都要长大一岁。

今年两个差几岁，再过几年，两人还相差几岁。

这是小朋友易错的题型，一定要注意〕第四讲画画凑凑★★★〔求动物的腿，每种动物腿的只数不一样〕第五讲排队问题★★★〔以一个人为标准，前后左右数他排在第几，然后求出所有的人数〕第六章：认识时间★★★★〔这是一个重点也是一个难点，分清时针、分针、秒针，并弄清它们之间的关系以及每一根针走一格表示的含义〕第一章算一算第一讲巧填竖式【专题导引】“算式谜〞是一种常见的猜谜游戏。

通常是给出一个式子，但式子中却含有一些用汉字、字母等表示的特定的数字。

奥数二年级讲义小二教案212第五讲枚举法(2)

在我们所学的很多重要知识中，解决问题的方法就是一一列举，这种方法也就是枚举.枚举法在解决数学问题中，经常会被用到.在这节课中我们就把以往所学的一些需要通过枚举法来解答的问题进行整合（如付钱问题、数字拆分问题、排列组合问题等）.一是为了让学生对难点进一步巩固，二是让学生学会这种数学方法，为以后解决问题所用.1、教学点为老师提供本节课的挂图.有一天，小兔去小猴家找小猴一起去图书馆看书，而从小兔家到小猴家不能直接到达，必须要经过公园或小田鼠家（如下图），小朋友们找一找，从小兔家到小猴家共有几条路可以走？【教学思路】首先我们可以把几条路标上序号，这样我们更容易来观察.我们可以把这些路线一一列举出来，具体情况如下：从小兔家到公园然后到小猴家的路线有6条：（1）－(3); （1）－(4); （1）－(5);（2）－(3); （2）－(4); （2）－(5);从小兔家到小田鼠家然后到小猴家的路线有2条：（6）－(8); （7）－(8);这样通过枚举总共得出8条从小兔家到小猴家的路线.课前通过解决这个问题，让学生初步感知到枚举在生活中的用途.小朋友们，我们常常遇到一些问题会出现很多种的情况（如：数字的拆分，付钱等），解决这些问题的时候需要我们把每一种情况都考虑周全，怎样才能做到不遗漏不重复呢？这就需要我们把每一种情况按一定的顺序一一列举出来，这种方法就是“枚举法”，枚举法可以帮助我们解决很多数学问题，今天这节课我们就一起来体会枚举法的妙用吧！动物学校今天正在进行数学竞赛，大象老师给各位小动物们出了很多难题，现在让我们也去试试吧！小熊维尼买回了7个一样的苹果，准备放在三个同样的盘子里，如果允许有的盘子空着不放．共有多少种不同的放法?【教学思路】在这里因为强调是完全一样的苹果和同样的盘子，我们就不考虑苹果和盘子的顺序.在解决这个问题时，用数字代表盘子里的苹果数，用由3个数字组成的数组表示不同的放置方式．这时候，问题转化成把7拆分成3个数的和的形式.如(7，0，0)表示：一个盘子里放7个苹果，而另外两个盘子里都空着不放．各种可能的放置情况如下：(7，0，0)(6，1，0)(5，2，0)，(5，1，1)(4，3，0)，(4，2，1)(3，3，1)，(3，2，2)数一数，共有8种不同的放法．Hello kitty最近迷上了集邮，一天她收集到了4张3角邮票和3张5角邮票，请你帮她算一算，她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资?【教学思路】这道题的情况非常多，此题跟付钱问题类似，我们可以把组成的不同邮资一一枚举出来.(1)只用3角的邮票可以组成4种不同的邮资：3角(1张)，6角(2张)，9角(3张)，1元2角(4张)．(2)只用5角的邮票可以组成3种不同的邮资：5角(1张)，1元(2张)，l元5角(3张)．(3)两种邮票搭配可以组成12种不同的邮资：所以，共有4+3+12=19种不同的邮资．另外这道题我们也可以通过表格的方法进行枚举.小兔妮妮在家做寒假作业，其中有一道题是要从1写到100，你知道当她写完时一共写了多少个数字“9”吗?【教学思路】小兔共写了20个数字“9”.我们可以用枚举的方法来进行统计.方法一：因为从1到100的数中有18个数含有一个数字“9”，它们是：9、19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、98，另外自然数99含有两个数字9.共20个9.法二：分类数，“9”出现在个位上的数有：9、19、29、39、49、59、69、79、89、99，共10个；“9”出现在十位上的数有：90、91、92、93、94、95、96、97、98、99，共10个共20个.用分别写着0、5、6、9的四张卡片，可以组成多少个不同的三位数?【教学思路】0不能在百位，那么百位的数只能是5、6、9.百位上是5的三位数有：506、509、569、560、596、590；百位上是6的三位数有605、609、650、659、695、690；百位上是9的三位数有905、906、965、960、956、950.这样用0、5、6、9四张卡片，可以组成6×3==18个不同的三位数.小蜜蜂家门前共有5级台阶．她发现每天上楼梯的方法都不相同，小蜜蜂很想研究一下这个问题.如果规定一步只能登上一级或两级台阶，小朋友帮她算一算上这个台阶共有多少种不同的上法?【教学思路】如下图，我们可以按顺序把这些方法用数对比较出来，具体分析如下：见上图（1），用数组表示不同的上法.（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法.见上图（2），①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有4种上法.见上图（3），①（2，2，1）②（1，2，2）③（2，1，2）表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种上法共有3种.因此，上台阶共有1+4+3=8种不同的上法.【教学思路】小兔在以树为圆心，2米为半径的圆以外围着树跑，狗看见小兔就追，跑了几圈绳子就会绕在树上，绳子越绕越短，小兔就可以放心地把萝卜拔走了.生活中交通跟我们密不可分，大象老师出了一道跟交通有关的题，你能帮助解决吗？北京到广州的火车中途经过天津、武汉，如果只考虑北京到广州中的北京、天津、武汉、广州这4个车站，那么这4个车站间的往返火车票共需多少种?【教学思路】这里要注意，题目要求在这4个车站间有多少种往返车票．“往返车票”指在这4个车站中，任何一个车站既可以作起点站也可以作终点站，因此，可以任取1个站作起点站，则其余3个站就是终点站了．即一个起点和一个终点间都应设一种车票，因此需要准备3×4=12(种)不同的车票．小猪欢欢喜欢吃披萨、汉堡和薯条三种快餐.她在相邻的两天不会吃同一种.如果她第一天吃的是披萨，第五天也是吃的披萨，那么在这五天里她的食谱有多少种安排方案?小兔饿了，到处寻找食物.它来到一棵大树下，看到离树1米远的地方有个大萝卜，满心欢喜.但这棵树下拴了一条狗，绳长2米.小兔要吃萝卜，狗就会咬它.小兔想了个好办法既能吃到萝卜，又不会被狗咬.你知道是什么办法吗?【教学思路】可以用树形图分析：这样我们发现，小猪的食谱一共有6种安排的方法，具体情况如下：（1）披萨－汉堡－披萨－汉堡－披萨；（2）披萨－汉堡－披萨－薯条－披萨； (3) 披萨－汉堡－薯条－汉堡－披萨； (4) 披萨－薯条－披萨－汉堡－披萨； (5) 披萨－薯条－披萨－薯条－披萨； (6) 披萨－薯条－汉堡－薯条－披萨；【教学思路】把4封信编号：1，2，3，4；把小朋友编号，友1,友2,友3，友4.并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3写的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：所以，共有9种可能．拓展与提高小鸡咪咪给4个好朋友写信．由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了．4个好朋友收到的都是给别人的信．问咪咪装错的情况共有多少种可能?附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中，如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有多少种不同的钱数?【教学思路】我们仍按照一定的顺序来考虑，我们先从取最小硬币开始考虑．(1)先取1枚1分的，第2枚取时有4种情况．分别为：1分，5分，10分，50分．两枚硬币的币值分别为：2分，6分，11分，51分；(2)如果第l 枚取的是5分的币值，第2枚取时有3种情况：5分，10分，50分．两枚硬币的币值分别为：10分，15分，55分；(3)如果第1枚取的是1角的币值，第2枚取时有2种情况：1角，5角．两枚硬币的币值分别为：20分，60分．这样共有4+3+2=9(种)不同的钱数．有一个大长方形的周长是20厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的不同的长方形有多少？【教学思路】由于长方形的周长是20厘米，所以它的长和宽之和为10厘米，下面列举出符合这个条件的各种长方形．(注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形)．所以有5个.两个整数之积为144，差为10，求这两个数?【教学思路】列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来： 1 2 3 4 6 8 9 12144 72 48 36 24 18 16 12可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求．1. 从2张5元人民币、5张2元人民币、lO张1元人民币中取10元钱，共多少种不同的取法?【答案】画表分析可得10种.2. 用3、7、5、0这四个数字，可以组成（18）个不同的三位数。

二年级奥数(排队问题)

第五讲排队问题【1】【专题导引】在排队问题中，中间这一人既不能遗漏，也不能重复，如：小玲从队伍的右边数起是第4个，从左边数起是第8个，这里小玲重复数了两次，所以在计算总人数时一定要把重复的人数去掉。

同学们排队，以某一个人为标准来数人数，知道他左边、右边人数或从左、从右数他排第几，这类问题就是排队问题。

排队问题的关键是要找出重复的部分再解答。

【典型例题】【例1】操场上有一排小朋友，从左起报数小林报8，从右起报数小林也是报8，这一排一共有多少个小朋友？【试一试】1、有一队小朋友，从左往右数小强是第7个，从右往左数是第6个，你知道这一队小朋友一共多少人吗？2、操场上有一排小朋友，从左起报数小雨报4，从右起报数小雨报8，这一排一共有多少个小朋友？【例2】小英坐在教室的第2小组，已经知道小英前面有3人，后面也有3人，你知道第2小组共有多少人吗？【试一试】1、体育课上正进行跑步比赛，小明前面有1个小朋友，后面有3个小朋友，你知道一共有几个小朋友为一组赛跑的吗？2、20个小朋友排队，从左边数小花是第11个，从右边数小花是第几个？【例3】25个小朋友排队，从左边数起小林是第12个，从右边数起小刚是第9个，小林和小刚之间隔着几个小朋友？【试一试】1、同学们排队做操，第一排有18个小朋友，从前面数起青青是第6个，从后面数起兰兰是第7个，青青和兰兰中间有几个小朋友？2、有30个工人排成一行，其中有两个工人戴帽子，从左往右数，第7个戴红帽子，从右往左数，第8个是戴蓝帽子，戴帽子的两个工人中间有几个人？【例4】12个小朋友排队，从左面数小军排在第4个，小乐排在小军右面第5个，那小乐从右往左数排第几个？【试一试】1、10个小朋友排一队，从前面数小张排在第2个，小王排在小张后面第4个，那么小王排在从后往前数第几个？2、两位老师带40位同学去看电影，他们正好坐在同一排，从左边起何老师是第9个，张老师排在何老师右面20个，那么张老师从右往左数是第几个？【例5】某小学（1）班人人都参加课外活动，有20人参加数学兴趣组，有25人参加合唱组，其中5人两项都参加，问二（1）班共有多少人？【试一试】1、二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38人，订《中国儿童报》的有30人，其中8人这两种都订，问二（2）班共有多少人？2、老师出了两组题给全班45名同学做，做对第一组有38人，做对第二组的有42人，两组题全做对的有多少名同学？【※例6】二（7）班同学排成6列做操，每列人数同样多。

二年级奥数教案第5讲：移多补少

答：甲给乙3支后,甲比乙还多4支。
三、火星漫步［5分钟］
移多补少问题,如果两组数目相等,那么移动后相差的数目是移动数目的2倍。
四、决战太空城［见PPT］
家庭作业：
主管评价
主管评分
课后反思
［不少于60字］
整体效果
设计不足之处
设计优秀之处
生：多6个。
师：你是怎么算的？
生：米德只有多出2个3才能给阿派1个3,所以米德原来比阿派多6个。
板书：
2×3＝6［个］
答：原来米德比阿派多6个小贝壳。
［一］太空探险1［5分钟］
二年级有60名同学排两队做操,第一队调4人到第二队,两队人数同样多。原来第二队比第一队少多少人？
分析：
根据题意,第一队调4人到第二队,两队人数同样多,说明第一队原来比第二队多两个4,第一队自己留了一个4,再给第二队一个4,两队人数就会同样多,所以第二队比第一队少8人。即4×2=8［人］。
卡尔有10枝铅笔,欧拉有6枝铅笔,卡尔给欧拉几枝后,两人的铅笔数相等？
分析：
卡尔比欧拉多10－6＝4［枝］铅笔,4枝铅笔平均分后是每人2枝,也就是卡尔给欧拉2枝后两人的铅笔数相等。
板书：
10－6＝4［枝］
4÷2＝2［枝］
答：卡尔给欧拉2枝后,两人的铅笔数相等。
（二）星海遨游2［8分钟］
米德有22张邮票,米德给阿尔法4张后,两人的邮票数同样多,阿尔法原来有几张邮票？
三、教学难点：
学生掌握“移多补少”的含义,以及不同的解题方法。
四、教学准备：
PPT、绳子、红包
五、教学过程：
第一课时［40分钟］
一、外星游记［10分钟］
游戏名称：拔河比赛
游戏规则：1.全班学员分成两组进行拔河比赛。

二年级下册数学试题-奥数习题讲练：第五讲数字谜(解析版)全国通用

第五讲数字谜数学乐园小红在家做计算题，不小心碰倒了墨水瓶，把这两道题弄得残缺不全.认真观察一下，你能将墨迹破坏的数字找回来吗？【说明】开课的时候，可用这道题来做引题，在学完例1后，可做为巩固练习来做.我们经常会看到一些残缺不全的算式，要求我们在方格内填上合适的数字，使算式成立.我们也经常看到在一个算式里面有很多的汉字或字母，要我们猜猜它们代表几，像这样的问题都是数字谜问题.在填数字时，要认真分析数字的特点，充分运在这一节课中，教材内容中主要是通过不同的符号，汉字或字母来组成各种不同的竖式数字谜，让学生根据竖式的结构来计算（求出）这些未知的数字.弄清楚加减法各部分之间的数量关系是我们学习数字谜的基础.解答数字谜的关键是找准突破口.通过这节课的学习，要使学生掌握解答竖式数字谜的一般技巧.先要观察数字的特点，然后找出“关键位置”认真分析，一般可以引导学生从各个不同的数位进行考虑.解答完题目以后，教师还要培养学生验算的好习惯.用加、减法之间的关系，巧妙地安排每一个数，很快就能求出方格里应填的数字.今天这节课我们就一起来解答数字谜问题.巧填方框里面的数【例1】在“庆元旦”晚会上，主持人小丽出了这样两道题目：请大家想一想，被纸片盖住的是什么数字?【分析】1、先填个位，已知6＋口的个位为1，所以口=5，且个位向十位进1．再填十位，由于个位向十位进1，十位上数□＋7＋1的个位数为1，所以十位数□应填3，且十位向百位进1．最后填百位，由十位进1，可知百位□填1．2、我们可以从位数入手．被减数是一个三位数，减数是一个两位数，差是一个一位数，应能推出它的被减数应尽可能的小，减数应尽可能大．再从个位入手，可知，被减数的个位是2，且个位向十位借1，而差的百位、十位上均无数字，说明被减数的百位是1，而减数十位上的数字是9．当然此题也可反着想：□6+6=□0□，也可推出答案．由上面的解题过程可以看到，解这种题应按三个步骤分析思考：（1）审题审题就是找出算式中数字之间的关系和特征，挖掘题目中的隐含条件，它是确定各空格内应该填什么数字的主要依据．（2）选择解题突破口在审题的基础上，认真思考找出算式中容易填出或关键性的空格，做为解题的突破口．这一步是填空格的关键．（3）确定各空格填什么数字从突破口开始，依据竖式的已知条件，逐个填出各空格中的数字．【例2】用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出3个数字，请把这个算式补齐．【分析】解题关键：由算式知，和的千位数字只能是百位上数字之和向前进的数，因此把确定千位数字做为突破口（1）填千位据上分析，千位上只能填1．（2）确定百位为了能使百位向千位进l，所以第一个加数的百位可能是9或7．(因为8已用过) 试验：若百位上填9，则和的百位只可能是1或2，而1和2都已用过，因此百位上不能填9，只能填7．则和的百位为0，且十位向百位进1，这时竖式为：（3）确定剩下的4个空格现在只剩下四个数字没有用，它们是9、6、5、3.试验：若第二个加数的个位填5，和的个位为9，剩下的数字6、3不能满足十位上的要求. 若第二个加数的个位填9，和的个位为3，剩下的数字5、6正好满足十位上的要求，即第一个加数的十位填6，和的十位填5．此题的答案为【例3】在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立．【分析】解题关键：这是一道四位数减去三位数差为两位数的减法，所以选择被减数的千位做为解题突破口．又由于个位上已知两个数字，因此先从个位入手填．①填个位由于个位这一列只有一个待定的数，减数的个位应为9，且个位向十位借1．②填千位四位数减去三位数差为两位数，所以被减数的千位数字是1，且百位向千位借1．③填百位由于差是两位数，所以被减数的百位数字为0，十位也向百位借1．这样百位向千位借1当10，十位又向百位借1，还剩9，9-9=0，因此减数的百位应填9．④填十位由于十位向百位借1，所以被减数的十位数字不得超过减数的十位数字，即被减数的十位数字是0或1，那么差的十位数字为8或9．此题有两个答案.【例4】把数字1～5分别填写在下面算式中的口里．【分析】这题限制了所需要填的五个数字，且个位这一列只有一个空格，因此把确定个位数字做为解题突破口．①填个位显然，差的个位上填1．②填百位由差的十位数字8知，十位上数相减时，要向被减数的百位借1，这样百位上有9-1-口=口知，减数的百位填3或5，相应的差的百位上填5或3.○3填十位现在只剩下2、4两个数，分别填在被减数和减数的十位上，正好满足题目要求．【例5】下面的算式里四个小纸片各盖住一个数字，问被盖住的四个数字的和是多少?【分析】求被盖住的四个数字的和，对于这四个数具体是几并不十分重要．而和149的个位是9，所以个位数相加没有进位，即个位上两个数的和是9．十位上两个数的和是14．因此，被盖住的四个数字的和是14＋9=23．拓展练习下面方框可以填什么数？【分析】这道题两个加数都不知道，只知道两个数的和，我们要知道这两个加数是多少，就要先找到解决问题的突破口.两个两位数的和是191，两个加数十位上数字都必须是9，而个位上两个数字的和要进位才能使十位数字的和是9，这样个位上两个数字和应该是11.因为2+9=11，3+8=11，4+7=11，5+6=11，所以答案有：（答案不唯一，两个加数的顺序也可以颠倒写）【例6】在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立．【分析】这是一道加减法混合运算的填空格题，我们把加法、减法分开考虑，使问题简化：1．加法①填十位从算式可以看出，第二个加数与和的十位上都是9，所以个位上数字之和一定向十位进了1，十位数字之和也向百位进了1，因此算式中十位上应是□＋9＋1=19，故第一个加数的十位上填9．②填个位由于个位上1＋口的和向十位进1，所以口中只能填9，和的个位就为0．③填百位和千位由于两位数加三位数，和是四位数，所以百位上数相加后必向千位进1．这样第二个加数的百位应填9，和的千位填1，和的百位填0.2．减法①填个位由于被减数的个位是0，差的个位是4，因此减数的个位应填6.②填十位、百位由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位必须是9，同时十位相减时必须向百位借1，这样减数与差的十位也只能填9．拓展练习下面的方框各应该填几？【分析】在这个题目中，我们要从低位开始考虑，而且一定要注意进位和退位的问题，除了方法更考察学生的口算能力.数字、符号代表几？【例7】算下面竖式中的汉字各代表多少?我=( ) 爱=( )数=( ) 学=( )【分析】先看千位数，两个相同数相加，不可能是9，那么一定是百位向千位进了1，所以千位上是4，由于百位向千位进了1，因此，爱+爱=10，则爱=5，十位没有向百位进1.再看十位数，和是5，肯定个位进上了1，所以十位上数=2，个位上的数，学+学=16，则学=8，即：4528+4528=9056.我=(4)，爱=(5)数=(2)，学=(8)拓展练习下面的符号和汉字各代表几？△=（ 8 ）迎=（ 1 ）奥=（ 9 ）我=（ 2 ）爱=（ 6 ）运=（ 4 ）北=（ 3 ）京=（ 5 ）【例8】求当它们各代表什么数字时，能够使算式成立?【分析】被减数是一个四位数，减数是个三位数，所得的差是一个三位数，说明百位要向千位借l，千位借走后无剩余，说明“儿”=1．因为百位上减1需要借位，所以“童”就只能取0，而十位上“节-童”肯定够减，不用向百位借位，这样从百位可得出“节”=9的结论．个位上分析可得出“乐”=8．即如上式所示．【例9】请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几?【分析】首先我们可以确定百位的“数”=1，看个位，“爱”+5=2，所以“爱”=7；再来观察上面的减法算式：“学”4-67=17，可见“学”=8；再来观察下面的加法算式：17+“我”5=112，可得“我”=9.答案如上.拓展练习相同的汉字代表相同的数字，这些汉字各代表几？泰=（ 8 ）山=（ 9 ）福=（ 1 ）永=（ 7 ）寿=（ 0 ）【例10】相同的英文字母代表相同的数字，你知道下面A、B、C代表几？【分析】这道题的突破口是要从百位上的B进行思考，一个两位数加两位数，得数是一个三位数.那么这个三位数百位可能是1或者2.假设B=2，那么十位A+2+A=22，这种情况不存在.因此可以肯定B=1，十位上A+1+A=11，如果个位向十位进一，那么2个A=9，也不可能，因此2个A=10，A=5.当A=5时，看个位1+C+C=5，C=2.答案如下：拓展练习下面竖式中的字母和符号各代表多少?A=（ 4 ） B=（ 5 ）□=（ 2 ）△=（ 9 ） C=（ 1 ）○=（ 5 ）【例11】已知下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么满足下列算式的A+B+C+D+E=?【分析】从右边的算式中我们马上可以看出C=1，再看左边算式的个位，C+E=1+E=4，可推出E=3．由右边算式的十位上B+E=7，即B+3=7，推出B=4．从左边算式十位上B+D=6，即4+D=6，所以D=2，再推右边算式个位A+D=A+2=8，所以A=6．于是得到两个算式：A=6，B=4，C=1，D=2，E=3，所以，A+B+C+D+E=6+4+1+2+3=16．附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）请你算一算，下面竖式中每个字各代表几？+ 兵炮马卒兵炮车卒车卒马兵卒兵=( 5 ) 炮=( 2 ) 马=( 4 ) 车=( 1 ) 卒=( 0 )【分析】我们从个位开始观察，卒+卒=卒，只有0+0=0，所以卒=0；再看和是一个五位数，所以车=1；再看千位，兵+兵=10，所以兵=5；然后看十位，马+车=兵，也就是马+1=5，所以马=4；最后看百位炮+炮=4，所以炮=2.下面各数字表示几？【分析】从个位看“宵”+“宵”+“宵”= 4，可见“宵”=8，向十位进2.“元”+“元”+“元”= 9-2= 7，可见“元”=9，向百位进2.“度”+“度”=8-2=6，因此“度”=3，“欢”=1.在下面的加法算式中，第—个加数的各位数字之和恰好是和的各位数字之和的2倍．则第一个加数是多少?【分析】第一个加数是：169，和是170，1+6+9=16，1+7+0=8，16是8的2倍.下面的算式里，每个方框代表一个数字，问：这6个方框中数字的总和是多少?【分析】这6个方框中数字的总和是47．练习五1．在下列竖式的空格内，各填入一个合适的数字，使竖式成立.【答案】2.下面的符号各表示几？3．下面的汉字各代表几？4.下面的符号代表几？5.下边的加法算式中，□内这四个数字之和是多少?【答案】□内的数字之和是30．一只新组装好的小钟放在了两只旧钟当中.两只旧钟“滴答”、“滴答”一分一秒地走着.其中一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了.但我又有点担心，你走完三千二百万次以后，恐怕就吃不消了.”“天哪！三千二百万次.”小钟吃惊不已.“要我做这么大的事？办不到，办不到.”另一只旧钟说：“别听他胡说八道.不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了.”“天下哪有这样简单的事情.”小钟将信将疑.“如果这样，我就试试吧.”小钟很轻松地每秒钟“滴答”摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千二百万次.。

奥数第五讲

第五讲-计数应用1.抽屉里有黑色小球13只，红色小球7只，现在要选3个球出来，至少要有2只红球的不同选法共有多少种？A.308B.378C.616D.4582.用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？A.20B.30C.40D.503.一条马路上有编号为l、2、…、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？A.10B.20C.35D.844.用0、1、2、3、4、5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数？A.120B.300C.600D.7205.7个人排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边的情况有几种？A.3120B.3720C.3600D.72006.7个人站成一排，要求甲乙丙三人相邻的排法有几种？A.120B.300C.600D.7207.将“PROBABILKIY”11个字母排成一列，排列数有多少种？A.9979200B.9979201C.9979202D.99792038.将“PROBABILlIY”11个字母排成一列，若保持P,R,O次序，则排列数有（）种？A.90720B.90721C.90729D.907269.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作。

若这三人中至少有1名女生，则选派方案共有多少种？A.144B.192C.186D.15010.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个？A.72B.76C.78D.8411.甲，乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人，问有多少种不同的选法？【2011年国考】A.67B.63C.53D.5112.有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？【2008浙江】A.24B.48C.64D.7213.如图，圆被三条线段分成四个部分。

小学二年级奥数下册第五讲一笔画问题习题+答案

第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图）（1）两个点，一条线.每个点都只与一条线相连.（2）三个点.两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.第一组的两个图都能一笔画出来.（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）（1）五个点，五条线.A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.（2）六个点，七条线.（“日”字图）A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.第三组（见下图）（1）四个点，三条线.三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.（2）四个点，六条线.每个点都与三条线相连.（3）五个点，八条线.点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.第三组的三个图形都不能一笔画出来.第四组（见下图）（1）这个图通常叫五角星.五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.（2）由一个圆及一个内接三角形构成.三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）.（3）一个正方形和一个内切圆构成.正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.（四条线是两条线段和两条弧线）.第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点.提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形.②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）.③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见：①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.习题五1.下面的各个小图形都是由点和线组成的.请你仔细观察后回答：①与一条线相连的有哪些点？②与二条线相连的有哪些点？③与三条线相连的有哪些点？④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？2.若把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连的点叫偶点，那么请你回答：①有0个奇点（即全部是偶点）的图形有哪些？②有2个奇点的图形有哪些？③有4个或4个以上奇点的图形有哪些？④连通图形有哪些？不连通图形有哪些？3.如果笔在纸上连续不断、又不重复地一笔画成的图形叫一笔画，自己动笔实际画画看，然后回答：①哪些图形能够一笔画成？②哪些图形不能一笔画成？4.把以上各向联系起来看，进行归纳，找出规律然后回答：①如果把各部分连结在一起的图形叫做连通图形，那么能一笔画出的图形必定是连通图形；而不是连通图形必定不能一笔画出.这句话说得对吗？②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图形一定可以一笔画出来（画时可以以任一点为起点，最后必能回到该点），这句话对吗？③只有两个奇点的连通图形也能一笔画出来，但要注意画时必须以一个奇点为起点，而以另一个奇点为终点，这句话对吗？④奇点个数超过两个的图形不能一笔画出来.这句话对吗？5.从画图过程的角度，进一步理解所发现的一些规律.习题五解答1.解：见下图①与一条线相连的点有：（在图中画成黑点，下同.）②与两条线相连的点有：③与三条线相连的点有：④与四条及四条以上的线相连的点有：2.解：①有0个奇点（即全部是偶点）的图形是：（1）、（5）、（10）；②有2个奇点的图形是：（2）、（3）、（6）、（7）；③有4个奇点的图形是：（4）、（9）有6个奇点的图形是：（8）.④（1）～（10）是连通图形，（11）不是连通图形.3.解：①一笔画有：（1）、（5）、（10）、（2）、（3）、（6）、（7）.②不能一笔画出的图形是：（4）、（8）、（9）、（11）.4.解：①对；②对；③对；④对.5.解：（略）请看书.。

奥数讲座(2年级-下)(15讲)

二年级奥数讲座（二）目录第一讲机智与顿悟第二讲数数与计数第三讲速算与巧算第四讲数与形相映第五讲一笔画问题第六讲七座桥问题第七讲数字游戏问题（一）第八讲数字游戏问题（二）第九讲整数的分拆第十讲枚举法第十一讲找规律法第十二讲逆序推理法第十三讲画图显示法第十四讲等量代换法第十五讲等式加减法第一讲机智与顿悟数学需要踏实与严谨，也含有机智与顿悟．例1 在美国把5月2日写成5/2，而在英国把5月2日写成2/5．问在一年之中，在两国的写法中，符号相同的有多少天？解：一年中两国符号相同的日子共有12天．它们是：一月一日 1/1 七月七日 7/7二月二日 2/2 八月八日 8/8三月三日 3/3 九月九日 9/9四月四日 4/4 十月十日 10/10五月五日 5/5 十一月十一日 11/11六月六日 6/6 十二月十二日 12/12注意由差异应当想到统一，有差异就必须有统一，仔细想一想这道题就会有所领悟．例2 有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口人？解：全家共有5口人．妹妹的年龄最小，她是每一个男孩的妹妹．如果你列出算式：1个妈妈+3个男孩+3个妹妹=7口人那就错了．为什么呢？请你想一想．例3 小明给了小刚2支铅笔，他们俩的铅笔数就一样多了，问小明比小刚多几支铅笔？解：小明比小刚多4支铅笔．注意，可不是多2支；如果只多2支的话，小明给小刚后，小刚就反而比小明多2支，不会一样多了．例4 小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一遍，便说道，车里没买票的人数是买票的人数的2倍．你知道车上买了票的乘客最少有几人吗？解：最少1人．因为售票员和司机是永远不必买票的，这是题目的“隐含条件”．有时发现“隐含条件”会使解题形势豁然开朗．例5 大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，如2+3+4比2×3×4小．那么请你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几个数相加的和大还是相乘的积大？解：和大．注意：“0”是个很有特点的数．①0加到任何数上仍等于这个数本身；②0乘以任何数时积都等于0；把它们写出来就是：0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=450×1×2×3×4×5×6×7×8×9=0所以，应当重视特例．例6 两个数的和比其中一个数大17，比另一个数大15，你知道这两个数都是几？你由此想到一般关系式吗？解：这两个数就是17和15．因为它们的和比15大17，又比17大15．由一个特例联想、推广到一般，是数学思维的特点之一．此题可能引起你如下联想：和-15=17，那么和=15+17．一般和=一个数+另一个加数，或写成：和-一个加数=另一个加数，或写成：被减数-减数=差，也可写成：被减数-差=减数．以上这些都是你从课本上学过的内容，这里不过是把它们联想到一起罢了．学数学要注意联想，学会联想才能融会贯通．例7 小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买的是数学本．已知小英买的数学本的本数是小明买的作文本的2倍．又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价钱的2倍，请问他俩谁用的钱多？解：他俩花的钱一样多．可以这样想：因为作文本的价钱是数学本的2倍，所以把买作文本的钱用来买数学本，同样多的钱所买到的本数应该是作文本的2倍，这刚好与题意相符．可见两人花的钱一样多．结论是隐含着的，推理就是要把它明明白白地想通，写出来的推理过程就叫“证明”，这是同学们现在就可以知道的．例8 中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天．小明对小英说：“已经连续三天下雨了，你说再过36小时会出太阳吗？”小朋友你说呢？解：不会出太阳．因为从中午起再过36个小时正好是半夜．而阴雨天和夜里是不会出太阳的．注意：解题的第一要义是首先明确“问什么”，而且要紧紧抓住“问什么”？“问什么”是思考目标，这就好比小朋友走着来上学，学校是你走路的目的，试想，如果你走路没有目标，结果会怎样？本题迷惑人的地方就是想用阴天下雨把你的注意力从应当思考的目标引开，给你的思维活动造成干扰．学会删繁就简，抓住目标，将会大大地提高你的解题效率．例9 一位画家想订做一个像框，用来装进他的立体画．他画了一张像框的尺寸图拿给你看（右图），请你帮他算算，需要多长的材料才能做好？（画家说，材料粗细要求一样，形状尺寸一定要按图示加工，拐角部分都要做成直角）．解：不管多长的材料，像框也无法做成．从每一部分来说，这个图看来是合理的，但从整体上看，这个图是“荒谬的”、“失调的”．用一句普通的话说，就是“有点不对劲的”．请你注意，对现实生活觉得有点不对劲的感觉是创造性的起因．习题一1．如右图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁？2．一个课外小组活动日，老师进教室一看，来参加活动的学生只占教室里全体人数的一半．老师很生气．你知道这天共来了多少学生吗？3．小林和小蓉两人口袋里各有10元钱．两人去书店买书．买完书后发现，小林花去的钱正好和小蓉剩下的钱数一样多．请问，现在他们两人一共还有多少钱？4．满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完．请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水？5．小黄和小兰想买同一本书．小黄缺一分钱，小兰缺4角2分钱．若用他俩的钱合买这本书，钱还是不够．请问这本书的价钱是多少？他俩各有多少钱？6．一个骑自行车的人以每小时10公里的速度从一个城镇出发去一个村庄；与此同时，另一个人步行，以每小时5公里的速度从那个村庄出发去那个城镇．经过一小时后他们相遇．问这时谁离城镇较远，是骑车的人还是步行的人？7．有人去买葱，他问多少钱一斤．卖葱的说：“1角钱1斤．”买葱的说：“我要都买了．不过要切开称．从中间切断，葱叶那段每斤2分，葱白那部分每斤8分．你卖不卖？”卖葱的一想：“8分+2分就是1角”．他就同意全部卖了．但是卖后一算账，发现赔了不少钱．小朋友，你知道为什么吗？8．一天鲍勃用赛车送海伦回家．汽车在快车道上急驶．鲍勃看到前面有辆大卡车．灵机一动，突然向海伦提出了一个巧妙的问题．鲍勃说：“海伦，你看！前面那辆大卡车开得多快！但是我们可以超过它．假定现在我们在它后面正好是1500米，它以每分钟1000米的速度前进，而我用每分钟1100米的速度追赶它，我们这样一直开下去，到时候肯定会从后面撞上它．但是，海伦，请你告诉我，在相撞前一分钟，我们与它相距多少米？”聪明的海伦略加思考立刻回答了鲍勃的问题．小朋友，你也能回答吗？9．小明家附近有个梯形公园，公园中有4棵树排成了一行，如图所示．小明每天放学回家都要到公园里去玩一会儿．有一天，他玩着玩着突然想出了一个问题：“能不能把公园分成大小和形状都相同的4块，而且每一块上保留一棵树？”回到家以后，他又和爸爸妈妈一块儿讨论，终于像小明想的那样分好了，小明非常高兴．小朋友，你也回家与爸爸妈妈讨论讨论，看能不能分好？10．小莉在少年宫学画油画．一天，他找到了一块中间有个圆孔的纸板．他想把这块板分成两块，重新组合成一块调色板，如下图，小朋友看该怎么切才好呢？注意：回顾由第9题到第10题的解题思路，这里有一个克服“思维定势”的问题．在做第9题时，你可能费了很大劲，把大梯形这样划分，那样划分，试来试去，最终得到了满意的结果．做完了第9题后这种思考问题的方式方法就可能深深地在你的头脑中扎根了．当你着手解第10题时，你可能还是沿着原来的思路，按原来的思维方式处理面临的新问题，这种情况心理学上就叫做“思维定势”．思维定势不利于创造性的发挥，从这个意义上讲，有人说学习的最大障碍是头脑中已有的东西，是有一定道理的，你在做第10题时，对此大概也有体会了吧！今后要以此为训．对本讲其它各题，在你做完以后也希望你做一些回顾和总结，以便发现些更有价值的东西，使自己变得更聪明起来．习题一解答1．解：一共只有5只蚂蚁．如右图所示，每一个圆圈里都有五只蚂蚁．2．解：只来了一名学生．教室里共有两人，另一个人是老师，所以说学生占教室里全体人数的一半．3．解：他们两人此时一共还有10元．如下图所示．4．解：小明共喝了一杯牛奶和一杯水．因为原来就有一杯牛奶，最后喝光了；后来又加了两次水，每次半杯，合起来是一杯水，最后也喝光了．5．解：这本书的价钱就是4角2分钱．小黄有4角1分钱（所以买书还差1分），小兰1分钱都没有，所以他若买这本书，还差4角2分钱；小兰若是有1分钱的话，他俩的钱合起来也就够买这本书了．6．解：相遇后，两人就在一处了，此时二人离城自然一样远．7．解：按照买葱人的说法，葱叶那段每斤2分，葱白那段每斤8分，合起来确是1角．但是这样合起来后是2斤卖1角，不再是一斤1角钱，所以卖葱的人赔了钱．8．解：相撞前一分钟赛车落后卡车100米．海伦思考的窍门是倒着想．鲍勃的赛车比卡车每分钟快100米（即1100米-1000米=100米），所以碰车前的1分钟它们相距100米．9．解：划分方法如右图所示．每一块都是个小梯形，四个小梯形大小相等，形状相同．小梯形和大梯形之间是大小不等、形状相似．10．解：方法不止一种．①从中切下一条，倒换个位置放进去．（见图）②在需要开孔的位上开一个小圆孔，把切下的部分填到中间的孔中去．（见图）第二讲数数与计数从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．例1 数一数，下面图形中有多少个点？解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．点的总数是：5+5+5+5=5×4．方法2：从左至右一列一列地数，见下图．点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：5×4=4×5从这个等式中，我们不难发现这样的事实：两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变．这就是乘法交换律．正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．方法3：分成两块数，见右图．前一块4行，每行3个点，共3×4个点．后一块4行，每行2个点，共2×4个点．两块的总点数=3×4+2×4．因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：3×4+2×4=5×4．仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：3+2=5所以上面的等式可以写成：3×4+2×4=（3+2）×4也可以把这个等式调过头来写成：（3+2）×4=3×4+2×4．这就是乘法对加法的分配律．如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：（a+b）×c=a×c+b×c分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和．进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢？请看下面的例子：计算（3-2）×4和3×4-2×4．解：（3-2）×4=1×4=43×4-2×4=12-8=4．两式的计算结果都是4，从而可知：（3-2）×4=3×4-2×4这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况．如果用字母a、b、c（假设a>b）表示三个数，那么上述事实可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为乘法分配律．例2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图．第一层4×2个第二层4×2个第三层4×2个三层小长方体的总个数（4×2）×3个．方法2：从左至右一排一排地数，见下图．第一排2×3个第二排2×3个第三排2×3个第四排2×3个四排小长方体的总个数为（2×3）×4．若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写成下面的形式：4×（2×3）．因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．把两种方法连起来看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同．或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律．如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速．从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式．例3 数一数，下图中有多少个点？解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．方法2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立（见下图）：三角形点数=长方形点数÷2因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9而长方形点数=10×9=（1+9）×9代入上面的文字公式可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2=45．进一步把两种方法联系起来看：方法1是老老实实地直接数数．方法2可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了．即1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2．这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了．这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了．习题二下列各题至少用两种方法数数与计数．1．数一数，下图中有多少个点？2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？3．数一数，下图中有多少个小正方形？4．数一数，下图中共有多少个小三角形？习题二解答1．解：方法1：从上至下一行一行地数，共4行每行5个点，得5×4=20．方法2：分成两个三角形后再数，见下图．得：（1+2+3+4）×2=20．发现一个等式：1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．2．解：方法1：从上至下一行一行地数，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．方法2：用拼补法，如图所示：11×10÷2=55．发现一个等式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．3．解：方法1：从上至下一层一层地数，得：5×4=20．方法2：做阶梯形切割，分两部分数，见右图．（1+2+3+4）×2=20．发现一个等式：1+2+3+4=（1+4）×4÷2．4：解：方法1：从上至下一层一层地数（图略）得：20×10=200．方法2：分成两个三角形来数：（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2=200．发现一个等式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19第三讲速算与巧算利用上一讲得到的乘法运算定律和等差数列求和公式，可以使计算变得巧妙而迅速．例1 2×4×5×25×54=（2×5）×（4×25）×54 （利用了交换=10×100×54 律和结合律）=54000例2 54×125×16×8×625=54×（125×8）×（625×16）（利用了=54×1000×10000 交换律和结合律）=540000000例3 5×64×25×125 将64分解为2、4、8=5×（2×4×8）×25×125 的连乘积是关键一=（5×2）×（4×25）×（8×125）步．=10×100×1000=1000000例5 37×48×625=37×（3×16）×625 注意37×3=111=（37×3）×（16×625）=111×10000=1110000例6 27×25+13×25 逆用乘法分配律，=（27+13）×25 这样做叫提公因数=40×25=1000例7 123×23+123+123×76 注意123=123×1；再=123×23+123×1+123×76 提公因数123=123×（23×1+76）=123×100=12300例8 81+991×9 把81改写（叫分解因=9×9+991×9 数）为9×9是为了下=（9+991）×9 一步提出公因数9=1000×9=9000例9 111×99=111×（100-1）=111×100-111=11100-111=10989例10 23×57-48×23+23=23×（57-48+1）=23×10=230例11 求1+2+3+…+24+25的和．解：此题是求自然数列前25项的和．方法1：利用上一讲得出的公式和=（首项+末项）×项数÷21+2+3+…+24+25=（1+25）×25÷2=26×25÷2=325方法2：把两个和式头尾相加（注意此法多么巧妙！）想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗？例12 求8+16+24+32+…+792+800的和．解：可先提公因数8+16+24+32+…+792+800=8×（1+2+3+4+…+99+100）=8×（1+100）×100÷2=8×5050=40400例13 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位？解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列．那么第1排有多少个座位呢？因为：第2排比第1排多2个座位，2=2×1第3排就比第1排多4个座位，4=2×2第4排就比第1排多6个座位，6=2×3这样，第25排就比第1排多48个座位，48=2×24．所以第1排的座位数是：70-48=22．再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=（22+70）×25÷2=92×25÷2=1150．习题三计算下列各题：1．4×135×252．38×25×63．124×254．132476×1115．35×53+47×356．53×46+71×54+82×547．①11×11 ②111×111③1111×1111 ④11111×11111⑤111111111×1111111118．①12×14 ②13×17③15×17 ④17×18⑤19×15 ⑥16×129．①11×11 ②12×12③13×13 ④14×14⑤15×15 ⑥16×16⑦17×17 ⑧18×18⑨19×1910．计算下列各题，并牢记答案，以备后用．①15×15 ②25×25③35×35 ④45×45⑤55×55 ⑥65×65⑦75×75 ⑧85×85⑨95×9511．求1+2+3+…+（n-1）+n之和，并牢记结果．12．求下列各题之和．把四道题联系起来看，你能发现具有规律性的东西吗？①1+2+3+…+10②1+2+3+…+100③1+2+3+…+1000④1+2+3+…+1000013．求下表中所有数的和．你能想出多少种不同的计算方法？习题三解答1．解：4×135×25=（4×25）×135=100×135=13500．2．解：38×25×6=19×2×25×2×3=19×（2×25×2）×3=19×100×3=1900×3=5700．3．解：124×25=（124÷4）×（25×4）=31×100=3100．4．解：132476×111=132476×（100+10+1）=13247600+1324760+132476=14704836．或用错位相加的方法：5．解：35×53+47×35=35×（53+47）=35×100=3500．6．解：53×46+71×54+82×54=（54-1）×46+71×54+82×54=54×46-46+71×54+82×54=54×（46+71+82）-46=54×199-46=54×（200-1）-46=54×200-54-46=10800-100=10700．7．解：①11×11=121②111×111=12321③1111×1111=1234321④11111×11111=123454321⑤111111111×111111111=12345678987654321．8．解：①12×14=12×（10+4）=12×10+12×4=12×10+（10+2）×4=12×10+10×4+2×4 多次运用乘法分配=（12+4）×10+2×4 律（或提公因数）=160+8=168②13×17=13×（10+7）=13×10+13×7 多次运用乘法分配=13×10+（10+3）×7 律（或提公因数）=13×10+10×7+3×7=（13+7）×10+3×7=200+21=221发现规律：求十几乘以十几的积的速算方法是：用一个数加上另一个数的个位数，乘以10（即接着添个“0”），再加上它们个位数字的积．用这个方法计算下列各题：③15×17=（15+7）×10+5×7=220+35=255④17×18=（17+8）×10+7×8=250+56=306⑤19×15=240+45=285⑥16×12=180+12=192．9．解：作为十几乘以十几的特例，以下各小题的结果请牢牢记住：10．解：①15×15 注意矩形框中=15×（10+5）式子=15×10+15×5=15×10+（10+5）×5=15×10+10×5+5×5=（15+5）×10+5×5==225②25×25=25×（20+5）=25×20+25×5=25×20+（20＋5）×5=25×20+20×5+5×5=（25+5）×20+5×5 注意矩形框中= 式子=625发现规律：几十五的自乘积就是十位数字和十位数字加1的积，再在其后写上25．如15×15的积就是1×2再写上25得225．25×25的积就是2×3再写上25得625．用这个方法写出其他各题的答案如下：③35×35=3×4×100+25=1225④45×45=4×5×100+25=2025⑤55×55=5×6×100+25=3025⑥65×65=6×7×100+25=4225⑦75×75=7×8×100+25=5625⑧85×85=8×9×100+25=7225⑨95×95=9×10×100+25=9025要牢记以上方法和结果．要知道，孤立的一道题不好记，但有规律的一整套的东西反而容易记住！11．解：有的同学问：“n是几？”老师告诉你：“n就是末项，你说是几就是几”．用头尾相加法求，自然数列的前n项之和．12．解：请注意规律性的东西．①1+2+3+…+10=（1+10）×10÷2=55②1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050③1+2+3+…+1000=（1+1000）×1000÷2=500500④1+2+3+…+10000=（1+10000）×10000÷2=50005000．13．解：方法1：仔细观察不难发现把每列（或每行）的10个数相加之和按顺序排列起来构成一个等差数列，它就是：55，65，75，85，95，105，115，125，135，145∴总和=（55+145）×10÷2=1000．方法2：首先各行都按第一行计数，得10行10列数字方阵的所有数之和为55×10=550．但第二行比第一行多10，第三行比第一行多20，…，第十行比第一行多90．总计共多：10+20+30+40+50+60+70+80+90=450．所以原题数字方阵的所有数相加之和为：550+450=1000．方法3：仔细观察可发现，若以数字10所在的对角线为分界线，将该数字方阵折叠之后，它就变成下述的三角形阵（多么巧妙！）20 20 20 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 1020 20 20 20 1020 20 20 1020 20 1020 1010总和=20×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-100=20×55-100=1000．方法4：找规律，先从简单情况开始可见原来数字方阵的所有数的和=10×10×10=1000．看！方法多么简捷；数学多么微妙！第四讲数与形相映形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．例1 最初的数和最简的图相对应．这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”（见下图）．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图．例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n 个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数．第一个数：1=1第二个数：3=1+2第三个数：6=1+2+3第四个数：10=1+2+3+4第五个数：15=1+2+3+4+5…第n个数：1+2+3+4+5+…+n指定的三角形数．比如第100个三角形数是：例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第一个数：1=12=1第二个数：4=22=1+3第三个数：9=32=1+3+5第四个数：16=42=1+3+5+7第五个数：25=52=1+3+5+7+9…第n个数：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）．四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和．奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数．例5 类似地，还有四面体数见下图．仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数．因此四面体数可由几个三角形数相加得到：第一个数：1第二个数：4=1+3第三个数：10=1+3+6第四个数：20=1+3+6+10第五个数：35=1+3+6+10+15．例6 五面体数，见下图．仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：第一个数：1=1第二个数：5=1+4第三个数：14=1+4+9第四个数：30=1+4+9+16第五个数：55=1+4+9+16+25．例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．方法1：先算空心点，再算实心点：22+2×2+1．方法2：把点图看作一个整体来算32．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：22+2×2+1=32．方法1：先算空心点，再算实心点：32+2×3+1．方法2：把点图看成一个整体来算：42．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：32+2×3+1=42．方法1：先算空心点，再算实心点：42+2×4+1．方法2：把点图看成一个整体来算52．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：42+2×4+1=52．把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：22+2×2+1=3232+2×3+1=4242+2×4+1=52…n2+2×n+1=（n+1）2．利用这个公式，也可用于速算与巧算．如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100992+2×99+1=（99+1）2=1002=10000．习题四1．第25个三角形数是几？2．第50个三角形数是几？3．第1000个三角形数是几？4．三角形数的奇偶性是很有规律的，想一想，这是为什么？5．观察下列图形，你能发现什么？6．第99个与第100个三角形数的和等于多少？7．每一个四角形数（或叫正方形数）（除1外）都能拆成两个三角形数吗？比如，100是哪两个三角形数的和？8．第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为你还能试着找到一个这样的例子吗？（这事比较困难）9．请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第n个五（六）角形数拆成以1为首页、有n项的等差数列之和的形式．10．写出前10个四面体数．11．写出前10个五面体数．12．按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一个公式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：请你照此继续做下去．（可参考本讲例7）13．模仿例7，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公式．习题四解答1．解：1+2+3+…+25=（1+25）×25÷2=325．2．解：1+2+3+…+50=（1+50）×50÷2=1275．3．解：1+2+3+…+1000=（1+1000）×1000÷2=500500．4．解：观察前几个三角形数的构成，就可以发现其中的规律：第1个数=1…奇数；第2个数=第1个数+2…奇数+偶数=奇数；第3个数=第2个数+3…奇数+奇数=偶数；第4个数=第3个数+4…偶数+偶数=偶数；第5个数=第4个数+5…偶数+奇数=奇数．5．解：相邻的两个三角形之和是一个四角形数（或叫正方形数），或是说，一个四角形数，可以拆成两个三角形数之和．或者根据第6题，=第100个四角形数=100×100=10000．7．解：能拆．100=55+45．8．解：寻找这样的例子比较困难．有人找到第49个三角形数是第35个四角形数，因为：（49+1）×49÷2=1225=352．9．解：五角形数如下图所示：第一个数：1=l第二个数：5=1+4第三个数：12=1+4+7第四个数：22=1+4+7+10第五个数：35=1+4+7+10+13 六角形数如下图所示：第一个数 1=1第二个数 6=1+5第三个数 15=1+5+9第四个数 28=1+5+9+13第五个数 45=1+5+9+13+17．第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？。

小学奥数第五讲：图形的计数

小学奥林匹克数学第一集：第五讲：图形的计数一、数一数小朋友，你知道中有多少个三角形吗？我们可以这样想，图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以一共有5个三角形。

在数数时，要做到有次序，有条理，不遗漏也不重复，这样才能正确地数数。

例1：数一数下图各有几条线段？分析：我们可以照下面的方法数：解：共有线段4+3+2+1=10（条）例2：图中有多少个小正方体？分析：这个图形是由小正方体组成的。

可以采用数数的方法，按顺序数。

也可以根据图形的组成规律进行计算，如果每2个一摞，一共有4摞。

解：方法一：一个一个地数出8个正方体。

方法二：2×4=8（个）答：共有8个小正方体。

例3：将9个小正方体组成如图所示的“十”字形，再将表面涂成红色，然后将小正方体分开。

问（1）2面涂成红色的有几个？（2）4面涂成红色的有几个？（3）5面涂成红色的有几个？分析：整个图形表面涂成红色。

只有“粘在一起的”面没有涂色。

中间的一个小正方体2面涂色，四端的4个小正方体都是5面涂色，剩下的四个小正方体都是4面涂色。

解：（1）2面涂成红色的小正方体只有1个。

（2）4面涂成红色的小正方体有4个。

（3）5面涂成红色的小正方体有4个。

例4：亮亮从1写到100，他一共写了多少数字“1”？分析：在1到100这100个数中，“1”可能出现在个位、十位或百位上。

应分三种情况计数：“1”在个位上的数有：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；“1”在十位上的数有：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；“1”在百位上的数有：100 只有1个。

解：10+10+1=21（个）答：共写21个。

例5：27个小方块堆成一个正方体。

如果将表面涂成黄色，求：（1）3面涂成黄色的小方块有几块？（2）1面涂成黄色的小方块有几块？（3）2面涂成黄色的小方块有几块？分析：涂色的有26个小方块。

3面涂色的只有顶点上的8个小方块；1面涂色的只有六个面上中间的小方块；其余的必然是2面涂色的小方块。

二年级奥数5第五讲方向与位置

第五讲方向与位置知识点：同学们在看电影或做操排队时，常常要知道自己所在的位置；我们在生活、工作中还要明确方向。

本讲我们就来学习和研究与位置、方向有关的问题。

例1、“我”、哥哥、妈妈、姐姐、妹妹、姑姑、爸爸七个人做游戏，爸爸、姑姑、姐姐、哥哥都已经站好了。

现在，“我”、妈妈、妹妹还没有站在位置上。

妹妹想站在哥哥的西北面，“我”准备站在妹妹的南边，妈妈准备站在“我”的北面。

请问：“我”、妈妈、妹妹各站在什么位置？这三个人各在哥哥的什么方向？同步练习1、1个小区内三幢楼房的一楼住着12户居民，请你在下面的平面图上帮助他们其中的4户找到自己的住处，在□里写上他们的名字。

（1）李华家在第二排第二家（2）小祥家在李华家的东南面（3）晨晨家在李华家南面2、（1）中山公园在人民英雄纪念碑的（）面，在劳动人民文化宫的（）面。

（2）毛主席纪念堂在人民大会堂的（）面，在天安门的（）面。

（3）劳动人民文化宫的南面是（）。

（4）天安门在人民大会堂的（）面，天安门的西面是（）3、（1）小兔向（）走（）米可以到游泳池。

（2）小马向（）走（）米可以到餐厅，再向（）走（）米，要到游泳池，还要向（）走（）米，才能到公园。

（3）小鹿要到小马家一共要走（）米，走的路线是先向（）走（）米到（），再向（）走（）米到（），再向（）走（）米到（），最后再向（）走（）米到小马家。

例2、小方和同学坐成一排做游戏，从左向右数，他是第八个，从右向左数，他还是第八个，请用实心○画出小方坐的位置，其他同学用空心○表示，一共有几个同学坐在一排做游戏。

同步练习1、小云到电影院看电影，她的座位在四排，她的西面有10个位置，她的东面有12个位置，小云坐的这一排一共有几个位置？2、二年级同学排队做早操，站在中间的小明的左面，右面，前面，后面都各有4名同学。

二年级做操的这个方阵队伍一共有多少同学？3、全班35位同学炸成一横排，小荣站在左起第20位，小龙站在从右数起第21位，小荣和小龙中间有几位同学？例3、一个大会议室，偶很多位置，用（a,b）来表示某一个位置在a排的第b个位置。

二年级奥数-第二学期-005三阶幻方(二)

二年级创新思维春季班讲义：第五讲三阶幻方（二）姓名：【例1】在下图的33⨯的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。

现在另有一个33⨯的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。

4923578162013141618191217图1 图2【例2】在33⨯的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。

56B C D EFG56图3图4【例3】将1～9这九个数字分别填入图中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。

【例4】写出一个三阶幻方，使其幻和为24。

【例5】从1～13这13个数中挑出12个数，填入图中的方格中，使每一横行，四数之和相等，每一竖列三个数之和相等。

练习1．下图是一个三阶幻方。

求“？”是多少？2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一数列的3个数的和也相等。

这时所选的12个数是哪12个数？，每一行的和是多少？每一列的和是多少？3．填好第2题的图。

4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7。

带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36。

如果总和为37、38、39，你还能填吗？6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使得每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10。

二年级下册数学试题-奥数思维训练第五讲数数游戏解析版全国通用

第五讲数数游戏本节课主要是给学生介绍一些不规则图形的计数方法，比如跳棋孔有多少个，蜘蛛网上有多少个点等问题.把数数和生活联系起来，让学生在练习的过程中，能根据不同的情况，找到最简便的计数方法，这里也巧妙的巩固了前面所学的乘法，让学生进一步理解了乘法的意义.考考你小朋友们，请你数一数下面的图形里面有多少个.【教学思路】这两个题属于之前学习过的图形计数.课前可以做为思考题让学生来思考.第一个图中可以先横着数，再竖着数，合起来一共有12个.第二个图中第一个看不见的有4个，第二个看不见的有3个.猜一猜下图看不见的有几块?数一数，下面一共有多少个正方形？【教学思路】一共有4+9+5+4+1=23（个）正方形.小朋友们都是数数的小能手，在生活中有很多需要我们通过数数来解决的问题，数数的方法有很多，你会哪一种呢？今天这节课就让我们大显身手吧！基础篇猜谜语：一树五枝丫，不长叶和花，会写会画画.劳动都靠它.这是（）.一只手有( )手指：3个人共有多少个手指?【教学思路】人体有数字5的器官有手和脚，但脚不会拿笔画画，所以谜底是手.3个人共有6只手.所以3个人共有手指：5+5+5+5+5+5=30(个)，用乘法：5×6=30（个）或6×5=30（个）.在这里要引导学生用简便方法来计算.拓展练习还记得这首诗吗?请你数数，去掉标点后，有几个字?【答案】第一排有3个字，后面的三排每排有5个字，我们这样数比较简单：5×3+3=18（个）或3×5+3=18（个）.还可以把第一排也看成5个，然后把多数的两个减掉.5×4-2=18（个）或4×5-2=18（个）像下图这样摆出一个长方形，一共用了多少根小棒?摆出一个正方形，一共用了多少根小棒？【教学思路】摆出一个长方形，一共用了多少根小棒?可以这样数横着的小棒有8×2=16（根）竖着的小棒一共有9根，合起来一共有16+9=25（根）.摆出一个正方形，一共用了多少根小棒？可以这样数，横着的小棒一共有3×4=12（根），竖着的小棒一共有3×4=12（根），合起来一共有12+12=24（根）拓展练习一黑一白两海龟，全用三角形来拼.小朋友们数一数，两只海龟共用几个三角形？【答案】我们先思考一个小海龟用了几个三角形，可以拿白色的海龟来观察.方法一：把中间的正方形分成三角形然后来数一数.分层数：第一层有6个小三角形；第二层有10个小三角形；第三层有2个小三角形.一共有6+10+2=18(个)小三角形.方法二：数一数，这个小海龟是由6个正方形和6个三角形组成.一个正方形可以分成两个三角形，那么6个正方形就是12个小三角形，一共有多少个小三角形可以列式：6×2+6=18（个）一只小海龟用了18个小三角形，两只小海龟就用了18+18=36（个）小三角形.小圆圈拼图形，数一数有几个？【教学思路】在这个正六边形的图形中，一共有几个圆圈呢？方法一：最基本的方法，可以一层一层的数，5+6+7+8+9+8+7+6+5=61（个）.方法二：发现规律，分组数.第一排和最后一排都是5个，共5×2=10个；第二排和倒数第二排都是6个，共6×2=12个；第三排和倒数第三排都是7个，共7×2=14个；第四排和倒数第四排都是8个，共8×2=16个，只有第五排是9个.可以用简便方法来计算：5×2+6×2+7×2+8×2+9=10+12+14+16+9=61（个）.方法三：把较大的图形分成若干个小图形.如下图：可以把这个图形分成相同的6个三角形来计算.一个三角形里有10个，6个三角形就是60个.再加上中间的一个就是61个.列式6×10+1=61（个）小朋友们都玩过跳棋吧！你知道跳棋棋盘上有多少个圆洞吗?数一数.【教学思路】首先老师要对跳棋这种游戏做一下介绍.这道题是上一题的拓展，跳棋棋盘上的圆洞排列是有一定规律的，如果学生一个一个数容易数错，我们应该找规律，把这个不规则的图形分成若干个小块来数.方法一：如右图来分割，分成外面6个一样的三角形和里面一个正六边形，里面正六边形在上一题中我们已经数过了是61个，外面每个三角形有10个洞，6个三角形一共有60个洞.合起来一共是61+60=121（个）方法二：如右图来分割，六个平行四边形一共有16×6=96（个）合起来一共是96+4×6+1=121（个）方法三：如右图，分成6个平行四边形，把它们的个数加起来.25+20+20+20+20+16=121（个）小新用圆片摆了“中国”两个字，你知道一共用了多少个“○”?【答案】每个字我们都可以分组来数：“中”一共有：7×2+11+11+12=48（个）或13+13++5×2+12=48（个）“国”一共有：11+11+10+10+8×3+7=73（（个）或12+12+9×2+8×3+7=73（个）一共用了48+73=121（个）.在这个题中有几个相同的数，如果这个数字超过了10，我们就直接加，不用乘法计算.小朋友们，你能用圆片摆出“北京”两个字吗？回家试一试，然后数一数一共用了多少个圆片.【教学思路】老师在头一天布置学生回家自己摆，然后贴在白纸上.第二天上课时在班上交流，选择部分较好的作品，让大家一起数一数.猜谜语，再填数.小小飞天王，吐丝织罗网，摆开八卦阵，蚊蝇美美尝.这是（）.①蜘蛛网中心有一个点.织到第一层一共有（）个点.织到第二层一共有（）个点……现在这个蜘蛛网上一共有（）个点？②如果蜘蛛网织到第八层，一共有（）个点？【教学思路】这道题要引导学生找蜘蛛网的规律.①蜘蛛网中心有一个点，再数第一层有8个点，算织到第一层一共有多少个点，就还要算上原来中心的一个点，一共是8+1=9（个）.如下图1.再数一数，第二层也有八个点，那么织到第二层一共就有8×2+1=17（个），如下图2.图1 图2这个蜘蛛网上一共有多少个点呢？方法一：继续往下数我们发现第3层有8个点，第4层有8个点，第5层也有8个点.于是我们发现每层点的个数是不变的，只是两个点之间的距离越来越大.一共有5层，每层都有8个，就是40个点，再加上中间的一个，一共就是41个点.列式：一共有8×5+1=41（个）方法二：我们发现每个点都是在一条直线上.我们可以先计算每条直线上的点，再用乘法求总数.列式：5×8+1=41（个）.②如果蜘蛛网织到第八层，一共有多少个点呢？因为每层都是8个点，8层就是64个点，再加上正中心的一个点，蜘蛛网织到第八层一共就有65个点.列式：8×8+1=65（个）附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）你认识象棋的棋盘吗？整个象棋的大小一共有多少个方格子？【教学思路】数一数，每层有8个方格，整个有9层（算大小还要包括中间的河界部分），这样这个象棋的大小就有8×9=72（个）方格子.数数看，下边这张床是由多少个小正方体组成的?【教学思路】我们可以一部分一部分的来数，先数床头部分，一共有4×7=28（个）；再数床身中间部分有4×8+4×8=64（个）；最后数床尾有4×3=12（个）.合起来这张床一共有28+64+12=104（个）小正方体.练习五1.数一数.【答案】（1）5×6=30（个）或6×5=30（个）（2）5×7=35（个）或7×5=35（个）2.下图一共有多少个小方块？有几个看不见？【答案】一共有10个小方块，有4个看不见.3. 数一数，下图有多少个△?【答案】一共有15+15+8=38（个）.4.下面的长方形是用多少根小棒摆成的？【答案】横着数一共有8×4=32（根），竖着数一共有3×9=27（根），一共有32+27=59（根）.5. 数一数，一共有多少个正方形?【答案】一共有6个正方形.小敏很喜欢画.她家的墙上挂着许多画，其中有一幅是“带有数字的小狗”.狗尾巴上的数是几呢？我们分析下面一只狗所带的数字，便可以得到启发.噢！原来狗的前腿圈中的两个数相加正好等于后腿与尾巴圈中的三个数字之和.小朋友，现在你该知道狗尾巴上的数是几了吧！。

二年级奥数教案第5讲：方向与位置

【探究新知,引入新课：学生已经初步认识东南西北这四个方位,只是还没有清楚概念,本节课内容就是帮助学生建立初步的方向感。

】【板书课题：方向与位置】二、探索发现授课［40分］［一］例题1：［10分］看图回答下面问题。

［1］从阿派家往哪个方向走能到达健身馆？［2］超市在阿派家的什么方向？［3］阿派从图书馆一直向西走,能否到达科技馆？讲解重点：加深对东、南、西、北四个方位的认识,确立基本的位置与方向之间的关系。

师：［出示课件］这个小路痴是谁？生：阿派！师：因为阿派老是因为迷路而迟到,所以博士就帮他画好了地图,不过阿派好像连地图都看不懂,你们看懂了吗？生：看懂了！师：那你们来说说,在这幅地图中你得到了什么信息？生：健身馆在阿派家的北方,图书馆在阿派家的东方,超市在阿派家的南方, 科技馆在阿派家的西方。

师：可是这里有告诉了你方位吗？生：在地图的右上角,有方向指标！师：哦！真棒,一般来说,是地图都要有方向指标,有可能像这样的,但也有可能只给你一个方向的,但是也有的地图是不给方向指标的,这个时候我们怎么判断方向呢？生：上北下南,左西右东！师：你怎么都知道的,老师还想考考你们呢！［1］校门的西面是实验室,东面是食堂。

［2］体育馆的南面是1号教学楼,校门的南面是花坛。

［3］花坛的南面是2号教学楼。

［4］储物室的北面是蝶湖。

讲解重点：认识观测点与位置之间的关系,知道根据观测点的不同,相对的位置也会不一样,但是方向不会改变。

师：观察地图,你知道了什么？生：校门在最北方……师：这里需要我们解决什么问题？生：把平面图补充完整。

师：一共有4条信息,我们一步一步的来,第一条信息,我们能确定谁的位置？生：实验室和食堂。

师：这里谁是中心点？生：校门。

师：很好,校门的西面是实验室,东面是食堂。

中心点,我们也可以叫做观察点,观测点。

第二条信息中有没有观测点？生：有,而且有2个！一个是体育馆,一个是校门！师：两个观测点？怎么确定位置呢？生：这里有2个信息,根据体育馆的南面是1号教学楼,我们知道1号教学楼的位置,根据校门南面是花坛,我们可以确定花坛的位置。

第五讲---数-的-读-写(二年级奥数)

第五讲数的读写小朋友都知道，数是由数字组成的。

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字，可以组成许许多多的数。

我们的生活中，少不了数和数字。

数字组成的数有许多有趣的练习。

比较数的大小，先要从最高位起，一位一位地比较，把不同的几个数字按照不同的方法排列，就可以组成不同的数。

把几个数字按从大到小顺序排列，可以组成最大的数；把几个数字从小到大排列（注意：0不能排在最高位），可以组成最小的数。

如果要知道一共可以组成几个数，那就将几个数字依次排在最高位，然后确定其余各位上是什么数字。

【例1】381由（）个百，（）个十和（）个一组成。

【试一试】1、492由（）个百，（）个十和（）个一组成。

2、500是一个（）位数，它的最高位是（），表示（）。

【例2】将下面的数按从大到小的顺序排列：502 205 242 424。

【试一试】1、将下面的数按从大到小的顺序排列：740 741 697 976。

2、将下面的数按从小到大的顺序排列：876 867 768 786。

【例3】下面每题的□里能填哪些数？（1）74□＜741 （2）47□＜478 （3） 510＜5□9 【试一试】1.□里只能填几？（1）4132＞4□33 （2）□578＞88652、在□里能填哪些数?（1）3□0＞370 （2）□48＞790 （3）524＜5□5（4）□83＜382（5）97□＞975 （6）305＞□50【例4】从5位数48975中划去3个数字，使剩下的2个数字（先后顺序不改变）组成的两位数最大，这个两位数是多少？【试一试】1、从5位数89432中划去3个数字，使剩下的2个数字（先后顺序不改变）组成的两位数最大，这个两位数是多少？2、从6位数496321中划去3个数字，使剩下的3个数字（先后顺序不改变）组成的三位数最大，这个三位数是多少？【例5】用7，6，9这三个数字，可以排成几个不同的三位数。

【试一试】1、用2，5，3三个数字排三位数，你能排出几个？2、用8，2，6这三个数可以组成几个不同的三位数，并把它们从大到小排列。

二年级下册奥数教材含试卷

二年级奥数教材含试卷目录第一章：算一算第一讲巧填竖式（二）第二讲简便运算（一）第三讲简便运算（二）第四讲简单数的分解用第五讲数的读写单元练习（一）（另附）第二章：实践与应用（一）第一讲应用题（一）第二讲应用题（二）第三讲应用题（三）单元练习（二）（另附）第三章：合理推算第一讲简单推理（一）第二讲简单推理（二）第三讲简单推理（三）第四讲合理安排单元练习（三）（另附）第四章：趣味数学与游戏第一讲巧填数第二讲数学游戏第三讲杂题单元练习（四）（另附）第五章：实践与应用（二）第一讲余数的妙用（二）第二讲年龄问题第三讲间隔趣谈（三）第四讲画画凑凑第五讲排队问题单元练习（五）（另附）第六章：认识时间第一讲时钟问题（一）第二讲时钟问题（二）单元练习（六）（另附）综合练习（一）（另附）综合练习（二）（另附）第一章算一算第一讲巧填竖式（二）【专题导引】“算式谜”是一种常见的猜谜游戏。

通常是给出一个式子，但式子中却含有一些用汉字、字母等表示的特定的数字。

要求我们根据一定的法则和逻辑推理的方法，找到要填的数字。

解答这类题目，要分析算式的特点，运用加、减的运算法则来安排每一个数。

一个算式中填几个数时，要选好先填什么，再填什么，选准“突破口”，其他就好填了。

【典型例题】【例1】在下面竖式中的空白处填入适当的数，使算式成立。

□４＋７９□【试一试】在下面竖式中的空白处填入适当的数，使算式成立。

８□＋４□０□３＋□９０【例2】在下面竖式中的空白处填入适当的数，使算式成立。

６□－９□２５□－７□１□７－□４９□□＋□□【试一试】１９１＋□□１４９2、在下边的算式里，空格里的四个数字总和是（）。

□□＋□□１７５【例4】在下面算式的空格里填上数字，使竖式成立。

□８１＋□５□□９４□【试一试】在□里填上适当的数，使算式成立。

【例5】请计算下面竖式中的字母各代表多少？【试一试】下面竖式中的汉字和字母各代表多少？车卒马兵卒马=（）车=（）卒=（）【例6】下面竖式中的□、○、△各代表一个数字，你能求出来吗？【试一试】下面各竖式中的图形和字母分别代表什么数字？【※例7】请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几？【※试一试】下面竖式中的汉字各代表多少？课外作业□３＋□９０2、□４－□７７3、请猜一猜，竖式中的汉字各代表几？学生+生学6 64、在下面竖式中的空白处填入适当的数，使算式成立。

(完整版)二年级奥数(排队问题)

第五讲排队问题【专题导引】在排队问题中，中间这一人既不能遗漏，也不能重复，如：小玲从队伍的右边数起是第4个，从左边数起是第8个，这里小玲重复数了两次，所以在计算总人数时一定要把重复的人数去掉。

同学们排队，以某一个人为标准来数人数，知道他左边、右边人数或从左、从右数他排第几，这类问题就是排队问题。

排队问题的关键是要找出重复的部分再解答。

奥数二年级讲义小二教案提高第五讲和差问题(教师)

第五讲和差问题课前复习1.二(1)班有学生52人，二(2)班有学生48人，要使这两个班学生人数一样多，应该从二(1)班中调几个学生到二（2）班？【答案】二(1)班比二(2)班多几人?52-48=4(人)二(1)班调几人到二(2)班，使两班人数相等?4÷2=2(人)答：应该从二(1)班调2人到二(2)班，两个班学生人数才会一样多.2. 小华比小荣多12张画片，要使两人的画片一样多，小华应给小荣几张画片?【答案】12÷2=6（张），小华应给小荣6张画片.我们先来认识一下和差问题：甲乙两数的和是16，差是2，求甲乙两数各是多少?类似这样的问题，就叫做和差问题.搞清楚两个数的和与差是解决和差问题的关键，在解题过程中，有些题目往往不直接告诉我们这两个数的和或差.当我们熟悉了和差问题的特点和解法后，应当有意识地把题目中的数量关系，转化为直接已知的两个量的和与差.解题的基本公式是：(两数的和一两数的差)÷2=较小的数较小的数+两数的差=较大的数(两数的和+两数的差)÷2=较大的数较大的数一两数的差=较小的数解答完后，将得到的结果放回原题中，看是否符合题意，你就清楚自己做得对不对了.实践应用【例1】二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人.问一班、二班各有多少人?【分析】本题是和差问题的基本题型，已知两个数的和与两个数的差，然后求大小两个数各是多少.和差问题一般可以借助线段图来进行分析.方法一：一班人数：(85+3)÷2=44(人) ，二班人数：44-3=41（人）方法二：二班人数：(85-3)÷2=41(人) ，一班人数：41+3=44（人）【例2】王大伯家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多.王大伯家养的白兔和黑兔各多少只?方法一：黑兔有多少只?(22+4)÷２=13(只)白兔有多少只?22-13=9(只) 或 13-4=9(只)方法二：白兔有多少只?(22-4)÷２=9(只)黑兔有多少只?22-9=13(只) 或9+4=13(只)答：白兔有9只，黑兔有13只.【例3】图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放人下层，则两层书架上书数相等.求原来上、下层各存书多少本?【分析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本，如果从上层书架中减去10×2=20(本)，就和下层书架上的书同样多，那么上、下两层书架上书的总数减少了20本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于下层书架上书的2倍.方法一：下层：(220-20)÷2=100(本) 上层： 220-100=120(本)方法二：上层；（220+20）÷2=120（本）下层：220-120=100（本）拓展训练1、陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米?【分析】陈红和李玲平均身高为130厘米，她们身高的和为：130×２=260(厘米)方法一：陈红：(260+8)÷2 =134(厘米) 李玲：134-8=126(厘米)方法二：李玲：（260-8）÷2 =126(厘米) 陈红：126+8=134（厘米）2、二(1)班平均分成两组做游戏，如果从第一组调3人到第二组，两组的人数同样多，都是12人，原来两组各有多少人?【分析】二(1)班一共有学生12×2=24（人），如果从第一组调3人到第二组，两组的人数同样多，那么可以看出第一组比第二组多3×2=6（人），分析到这里就是一道典型的和差应用题了.方法一：一组：（24+6）÷2=15（人）二组：15-6=9（人）方法二：一组：（24-6）÷2=9（人）二组：24-9=15（人）【例4】长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？【分析】一周有两个长和两个宽，由条件可知长与宽的和为400÷２=200(米)长是(200+80)÷2=140(米) 宽是(200-80)÷2=60(米)拓展训练甲、乙两人同时打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字.问甲、乙两人每分钟各打多少个?【分析】2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了240÷2=120（个）.方法一：甲(240÷2+10)÷2=65(个) 乙 65-10=55(个)方法二：乙(240÷２-10)÷2=55(个) 甲 55+10=65（个）【例5】有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克.问：原来大、小两个油桶各装油多少千克?【分析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是说大桶比小桶多4千克的油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，这道题就变成了典型的和差问题的应用题了.方法一：大桶：（24+4）÷2=14（千克）小桶：14-4=10（千克）方法二：小桶：（24-4）÷2=10（千克）大桶：10+4=14（千克）【例6】甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克?【分析】如果把初始状态中乙筐的苹果看作0千克，那么甲筐相当于有19千克苹果．同时相当于甲、乙两筐共有苹果19千克．重新取放后问题可改变为：甲、乙两筐共有苹果19千克，其中乙筐中的苹果比甲筐的多3千克，求乙筐中有苹果多少千克．解：根据分析，从甲筐中取出苹果：(19+3)÷2=11(千克)．【例7】甲、乙两校共有学生1262人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校25人，这样甲校比乙校还多12人，求两校原来有学生多少人?【分析】由甲校转入乙校25人，这样甲校比乙校还多12人，实际上甲校比乙校多25×2+12=62(人)，乙：(1262-62)÷2=600(人) 甲：1262-600=662(人)解答和差应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式．有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”．本题就是经过转换变形后，成为一个基本的和差问题．拓展训练小华和小敏共有铅笔25枝，如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，小华和小敏原来各有多少枝铅笔？【分析】如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3枝.找到了这个暗差，这道题就简单了.方法一：小华：（25+3）÷2=14（枝）小敏：14-3=11（枝）方法二：小敏：（25-3）÷2=11（枝）小华：11+3=14（枝）【例8】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米.每块布料各长多少米?【分析】先画线段图从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少20(米)，第三块减少20+30=50(米)，总和减少20+50=70(米)，即190-70=120 (米).120米相当于第一块布料长的3倍，求出第一块布料的长度，第二块、第三块就可以求出.解(1)第一块布料长度的3倍是：190-(20+20+30)=120(米)(2)第一块布料的长度是：120÷3=40(米)(3)第二块布料的长度是： 40+20=60(米)(4)第三块布料的长度是： 60+30=90(米)【例9】有一个盒子里装满了球，第一次拿出1只，第二次比第一次多拿了2只，第三次比第二次多拿了2只……８次刚好拿完.这盒球共有多少只?【分析】第一次拿1只，第二次拿(1+2)只，比第一次多1个2，第三次拿(1+2+2)只，比第一次多2个2，第四次拿(1+2+2+2)只，比第一次多3个2，第八次拿(1+2+2+2+2+2+2+2)只，比第一次多7个2.解：8+2×(1+2+3+4+5+6+7)=8+2×28=8+56=64(只)答：这盒球一共有64只.知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，这类和差问题的应用题可用下面的公式计算.(和+差)÷２=大数和-大数=数(和-差)÷２=小数和-小数=大数附加题（以下提供的内容，供老师参考使用）1.【例3】解答后，可将条件改为：如果从上层拿出10本放入下层后，上层比下层还多6本.问题不变.一方面是【例3】的扩展题，另一方面为【例6】的解题思路作铺垫.10×2+6=26（本）(220-26)÷2=97(本) 上层 220-97=123(本)2. 两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少?【分析】两个连续奇数的差是 2.较小数：(36-2)÷2=17 较大数：36-17=193.某一服装厂做童装，甲乙两人共做36件，乙丙两人共做34件，甲丙两人共做38件.三人各做多少件? 评注：本题的最佳解法为解法一.【分析】：此题关键在于转化为求两个数的和与差.因此，解法较多.解法一：甲乙36件，乙丙34件，甲丙38件，共36+34+38=108(件)这正好是甲乙丙和的2倍.因此，甲乙丙和108÷2=54(件)甲：54-34=20(件) 乙：54-38=16(件) 丙：54-36=18(件)解法二：甲和丙同样与乙相加，结果甲乙和是36件，乙丙和是34件，说明甲比丙多36-34=2(件)，又知甲丙的和是38件，所以，甲：(38+2)÷2=20(件) 乙：36-20=16(件) 丙：38-20=18(件)解法三：甲乙36件加上乙丙34件，就是甲丙与乙的2倍的和，减去甲丙38件，剩下就是乙的2倍乙：(36+34-38)÷2 =32÷2=16(件) 甲：36-16=20(件) 丙：38-20=18(件)练习五1.果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵.桃树和梨树各有多少棵?【答案】方法一：桃树：（260+20）÷2=140（棵）梨树：140-20=120（棵）方法二：梨树：（260-20）÷2=120（棵）桃树：120+20=140（棵）答：桃树有140棵，梨树有120棵.2．小华和小林一起做花，小华把自己做的花送给小林5朵，两人做的花的朵数一样多，这时小林有12朵花，原来小华做了几朵花?【答案】一共的花：12×2=24（朵），小华比小林多5×2=10（朵）方法一：小华：（24+10）÷2=17（朵）小林：17-10=7（朵）方法二：小林：（24-10）÷2=7（朵）小华：7+10=17（朵）答：原来小华做了17朵花.3. 甲乙两个仓库共存大米56包，从第乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包?【答案】乙比甲多8×2=16（包）甲：（56-16）÷2=20（包）乙：56-20=16（包）答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米16包.4．书架上有故事书45本，比连环画少10本，科技书比连环画多10本，问：故事书多，还是科技书多?多几本?【答案】科技书多，多10+10=20（本）5．有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米.每段各长多少米?【答案】第一段：(12-2)÷２=5(米) 第二段：12-5=7(米)答：第一段长5米，第二段长7米.6. 兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁?【答案】3年前哥哥比弟弟大2岁，现在哥哥仍比弟弟大2岁，他们的年龄差不变.哥哥：(28+2)÷2=15(岁) 弟弟：28-15=13(岁)答：哥哥现在15岁，弟弟现在13岁.数学故事报效祖国宏愿------ 华罗庚的故事同学们都知道，华罗庚是一位靠自学成才的世界一流的数学家.他仅有初中文凭，因一篇论文在《科学》杂志上发表，得到数学家熊庆来的赏识，从此华罗庚北上清华园，开始了他的数学生涯.1936年，经熊庆来教授推荐，华罗庚前往英国，留学剑桥.20世纪声名显赫的数学家哈代，早就听说华罗庚很有才气，他说：“你可以在两年之内获得博士学位.”可是华罗庚却说：“我不想获得博士学位，我只要求做一个访问者.”“我来剑桥是求学问的，不是为了学位.”两年中，他集中精力研究堆垒素数论，并就华林问题、他利问题、奇数哥德巴赫问题发表18篇论文，得出了著名的“华氏定理”，向全世界显示了中国数学家出众的智慧与能力.1946年，华罗庚应邀去美国讲学，并被伊利诺大学高薪聘为终身教授，他的家属也随同到美国定居，有洋房和汽车，生活十分优裕.当时，不少人认为华罗庚是不会回来了.新中国的诞生，牵动着热爱祖国的华罗庚的心.1950年，他毅然放弃在美国的优裕生活，回到了祖国，而且还给留美的中国学生写了一封公开信，动员大家回国参加社会主义建设.他在信中袒露出了一颗爱中华的赤子之心：“朋友们！梁园虽好，非久居之乡.归去来兮……为了国家民族，我们应当回去……”虽然数学没有国界，但数学家却有自己的祖国.华罗庚从海外归来，受到党和人民的热烈欢迎，他回到清华园，被委任为数学系主任，不久又被任命为中国科学院数学研究所所长.从此，开始了他数学研究真正的黄金时期.他不但连续做出了令世界瞩目的突出成绩，同时满腔热情地关心、培养了一大批数学人才.为摘取数学王冠上的明珠，为应用数学研究、试验和推广，他倾注了大量心血.据不完全统计，数十年间，华罗庚共发表了152篇重要的数学论文，出版了9部数学著作、11本数学科普著作.他还被选为科学院的国外院士和第三世界科学家的院士.从初中毕业到人民数学家，华罗庚走过了一条曲折而辉煌的人生道路，为祖国争得了极大的荣誉.。

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