量子力学的基本原理

第二个内积中 再应用本征方程 4.14 得
∑ ∑ ∫ ∫ H = (ψ , Hˆϕ n )(ϕn ,ψ ) =
ψ * (rv)Hˆϕ n (rv)d 3rv
ϕ
* n
(rv
′)ψ
(rv
′)d
3
rv
′
n
n
∫∫ ∑ =
ψ
*
(rv
)
Hˆ

n
ϕ
n
(rv
)ϕ
* n
(rv
′)ψ
(rv
′)d
3
rvd
3
rv
一 厄米共轭算符和厄米算符
设 Fˆ 是一个线性算符 见 2.3 节
与 Fˆ 对应 存在唯一的一个算符 Fˆ + 使下式
1
(Fˆ +ψ ,ϕ) = (ψ , Fˆϕ )
4.1
对任意两个态函数ψ 和ϕ 都成立 内积定义见 2.10 称 Fˆ + 为 Fˆ 的厄米共轭算符 4.1
用积分表示
( ) ∫ Fˆψ *ϕdτ = ∫ψ *Fˆϕdτ
4.21
易见
− ih∇ψ pv (rv) = pvψ pv (rv)
4.22
因此动量算符为
pvˆ = −ih∇
4.23
动量本征函数 平面波 的归一化
1 箱归一化 如果空间为无穷大 4.21 定义的平面波不能归一化 克服这个困难的办法
是假想粒子所在的空间是有限的 它的运动限制在边长为 a 的箱子里 由于动量是 与空间平移不变性相联系的守恒量 箱子的边界条件必须保持系统的平移不变性 因此必须选择周期性边界条件
6
rv
=
(ϕ, rvϕ ) (ϕ , ϕ )
对 rv 的函数 f (rv) 的平均值 有类似的表达式
f (rv)
=
(ϕ
,f (ϕ
(rv)ϕ ,ϕ)
)
4.24 4.20
五
动量算符和平均动量 根据得布罗意的思想
具有确定动量 pv 的态函数为平面波
ψ pv (rv) = Aexp(ipv ⋅ rv / h)
常的实际情况下 概率密度是有限的 因此当 a → 0 时 测得粒子在某一格点位置的 绝对概率 ψ (qv) 2 必须等于零 因此连续变量的绝对概率幅ψ (qv) 并不是一个有用的量
而应该使用概率密度幅ϕ (qv)
因为在体积微元 dτ 中测量到粒子的概率由 4.21 给出 测量粒子位置的平均值
rv = ∫ rv ϕ(rv) 2 dτ
小结 可观测物理量对应一个厄米 自伴 算符 设其本征方程为
Fˆϕ ni = λnϕ ni
在它的本征态ϕ ni 上测量该物理量必定得到相应的本征值 λn 本征态组是完备的 任意态ψ 可表示为
dn
∑∑ ψ =
cniϕ ni
n i=1
在ψ 中测量该物理量 结果必是该算符的本征值之一 得到测量值 λn 的概率等于
并且是相互正交的 我们还假定以对本征态进行了归一化 因此
(ϕ m ,ϕ n ) = δ mn
4.7
2
数学上可以证明 态空间中的一个任意态函数ψ 都可以写成
∑ ψ = cnϕ n
4.8
n
也就是说 本征态组 {ϕ n }构成态空间的一套完备基
取 4.8 式与ϕ m 的内积 易得展开系数
cm = (ϕ m ,ψ )
ψ pv (x = 0, y, z) = ψ pv (x = a, y, z)
4.24
ψ pv (x, y = 0, z) = ψ pv (x, y = a, z)
4.25
ψ pv (x, y, z = 0) = ψ pv (x, y, z = a)
4.26
把 4.21 代入上式 得
px
=
m
2πh a
其中 d n 为简并度 {ϕ ni }假定已正交归一化
由物理的考虑 与可测量的物理量 F 对应的算符 Fˆ 的本征态组必须是态空间
完备的基底 因而 Fˆ 应该是一个厄米 自伴 算符 理由如下
假如 Fˆ 的本征态组不完备 则会存在一个态函数ψ
∑ ψ = cnϕ n + χ n
其中 χ 和 Fˆ 的任何本征态正交 据叠加原理 χ 也是一种可能的态函数 但在 χ 态中测量物理量 F 得到任何可能结果的概率都等于零 这种后果在物理上是不 合理的 因此 Fˆ 的本征态组必须完备
第四章 量子力学的基本原理
态Ψ 演化方程 ih∂t Ψ = HˆΨ
z 从态函数能知道什么 如何和物理结果 关于力学量的测量 联系起来 z 量子力学的数学结构
4.1 动力学变量的算符表示和量子力学的基本假设
基本假设之一 单粒子的空间运动状态由一个复函数 ψ (rv) 描述
基本假设之二 ψ (rv) 2 d 3r 正比于在 rv 处体积微元 d 3r 中观察到粒子的概率
在第二章关于叠加原理的讨论中曾经猜想展系数具有概率幅的意义 在此 我们对玻恩解释作一推广
基本假设之二的推广 设任意态ψ 的展开式 4.8 中 {ϕ n }是正交归一的 在态
ϕ n 中测量某物理量 记为 F 的结果有确定的值 记为 λn 如果与 λn 对应的线
性独立的态一共有 dn 个 dn 度简并 {ϕ ni | i = 1,2,L, dn } 那么在ψ 中测量 F
记测量位置的可能取值为 qv δ 函数有等式
rvδ rv,qv = qvδ rv,qv
4.19
可见 位置算符 rvˆ = rv 的本征态为 δ rv,qv 相应的本征值为 qv 设ψ (rv) 是任意一个
态函数
∑ ψ (rv) = qv ψ (qv)δ rv,qv
4.20
根据推广的假设二 测得粒子位置为 qv 的概率形式上为 ψ (qv) 2 以上为了表述简单 假定了位置取值是分立的 实际上 qv 是可连续变化的矢量
基本假设之三
1 如果ψ 1 和ψ 2 是粒子的可能状态的态函数 则
ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2
2.8
也是一个可能的态函数 其中 c1 和 c2 为任意常数
2 设在某时刻 t0 态函数ψ 由ψ 1 和ψ 2 按 2.8 线性叠加而成 则在大于 t0 的时刻
t 这种叠加关系不变 也就是说 如果到 t 时刻 三个状态ψ 1 ψ 2 和ψ 分别演化成
4.13
n
n
n
给定任意一个ψ cn 可由 4.9 确定 因此 Fˆ 对任意态ψ 的作用完全由它
的本征值 测量 F 的可能值 和本征态 在其中测量 F 一定得到相应的本征值 定义
对有简并的情形 可以增加一个下标以区分简并态 把 4.13 写成
∑ ∑ Fˆψ =
dn
λn cniϕ ni
4.13
n
i =1
为了将上述结论推广到连续谱的情形 让我们把空间离散化 认为粒子的位置只能在
正立方点阵的格点上取值 点阵的格距设为 a 当 a 趋于零时便得到连续的结论 在
体积为 dτ 的一小区域内 格点的数目为 ∆τ = a −3dτ 因为此区域很小 可以认为在
区域内态函数为常数 因此在这小区域内测量到粒子的概率为
4.ห้องสมุดไป่ตู้2
另一种做法 由基本假设二 位置平均值
rv
=
∫ rvρ(rv)dτ ∫ ρ(rv)dτ
=
∫ rvϕ * (rv)ϕ (rv)dτ ∫ϕ * (rv)ϕ (rv)dτ
4.23
如果态函数ϕ (rv) 是归一化的 如 4.22 的前题假设 则 4.22 和 4.23 一
致 位置平均值可用内积符号简捷地表示为
二 厄米算符本征函数组的性质 课本 4.4 节
设 Fˆ 是一个厄米算符 即 Fˆ + = Fˆ 记它的本征方程为
Fˆϕ n = λnϕ n
4.6
若指标 n 取分立值 如 n = 1,2,3,L 则称算符有分立谱 若指标 n 取连续值 则称算符有
连续谱 有分立谱的算符 有连续谱的算符 也有混和着分立谱和连续谱的算符 为了表 述方便 以下我们假设算符的谱是分立的 物理上连续谱通常可以用足够密的分立谱来近 似 大部分关于分立谱的数学结论可以简单的推广到连续谱的情形 也有连续谱使问题复 杂化的个别情形 遇到时将会说明
可见
∑ϕ
* n
(rv′)ϕ
n
(rv)
=
δ
(rv
−
rv′)
4.12
n
此式称为厄米算符本征态组的封闭性 它和完备性是等价的
对连续谱 情况复杂一点 首先 连续谱的本征态常常不能归一化 另外 仅是厄米算符这一条件还不足以保证算符的本征态组构成态空间的完备基 数学 上严格地说 自伴算符 必定是厄米算符 分立谱的厄米算符必定是自伴算符 但连续谱的厄米算符未必是自伴算符 的本征态组一定是完备的 但证明一个算 符是自伴算符相当困难 对一般的物理应用 人们常常默认物理量对应的算符也 是自伴算符
∑ ψ (qv) 2 = ψ (qv) 2 ∆τ = a −3/ 2ψ (qv) 2 dτ
4.21
qv∈∆τ
定义ϕ (qv) ≡ a −3/ 2ψ (qv) 对 a 有限 ϕ (qv) 和ψ (qv) 仅相差一个常数 因此是描写同一
量子态的态函数 显然 ϕ (qv) 具有概率密度幅的意义 即 ϕ (qv) 2 为概率密度 在通
以下我们设ψ 也是归一化的 即 (ψ ,ψ ) = 1
4.9 4.10
把 4.8 代入得
∑ cn 2 = 1
4.11
n
把 4.9 代入 4.8 得
∑ ∫ ∑ ∫ ψ (rv) = (ϕn ,ψ )ϕn (rv) = n

n
ϕ
* n
(rv
′)ϕ
n
(rv)ψ
(rv′)d
3
rr
′
=
δ (rv − rv′)ψ (rv′)d 3rv′
′
应用封闭性 4.12 得
∫∫ H = ψ * (rv)Hˆδ (rv − rv′)ψ (rv)d 3rvd 3rv′ ∫= ψ * (rv)Hˆψ (rv)d 3rv = (ψ , Hˆψ )
4.17
如果ψ (rv) 没有归一化 上式改为
( ) H
=
ψ , Hˆψ
(ψ ,ψ )
4.18
5
四 位置平均值
ψ1′ ψ 2′ 和ψ ′ 则他们仍然存在关系
ψ ′ = c1ψ 1′ + c2ψ 2′
2.9
基本假设之四 单粒子的态函数满足演化方程
ih∂t Ψ(rv,t) = HˆΨ(rv,t)
2.28
其中 Hˆ 为哈密顿量算符 在势场V (rv,t) 中的单粒子哈密顿量算符为
Hˆ
=
−
h2 2M
∇2
+ V (rv,t)
dn
2
∑ 得到结果 λn 的概率为 cni
i =1
3
由展式 4.8 和上述关于基本假设之二的推广 可以定义一个与物理量 F 相
应的线性算符 Fˆ 使它的本征态为 {ϕ n } 其相应于ϕ n 的本征值为 λn 即本征方
程为 4.6 Fˆ 对任意态ψ 的作用如下
∑ ∑ ∑ Fˆψ = Fˆ cnϕ n = cn Fˆϕ n = cnλnϕ n
1 厄米算符的本征值为实数 2 厄米算符的不同本征值对应的本征函数正交
若有多于一个线性独立的本征函数对应同一个本征值 即所谓简并的情形 显 然也可以通过适当的组合使线性独立的简并态函数互相正交 通常都是这样约定 的 3 厄米算符本征函数组构成态空间 希尔伯特空间 的完备基底
记厄米算符 Fˆ 的本征态函数组为{ϕ n } 其中包括简并和非简并的所有本征态
4.15
可见圆频率为ωn = En / h 按照德布罗意的思想 En 就是粒子的能量 反过来也可
以说 如果粒子具有确定的能量 En 则按照德布罗意的思想 态函数具有 4.15 的
形式 把 4.15 代入含时的薛定谔方程 2.28 可见态函数 Ψn 满足 4.14 即是哈
密顿量的本征态
下面求在任意态ψ (rv) 中测量能量的平均值 由于 Hˆ 的本征态组是完备的 有
如果一个算符等于它的厄米算符 即 Fˆ + = Fˆ 则称其为厄米算符
厄米共轭的几条规则
( ) 1. Fˆ + + = Fˆ
2. ( Aˆ + Bˆ )+ = Aˆ + + Bˆ +
( ) 3. Aˆ Bˆ + = Bˆ + Aˆ +
4. 若 c 为常数 则 c + = c*
4.2 4.3
4.4 4.5
∑ ψ = cnϕ n n
其中 cn 为测得能量等于 En 的概率幅 由 4.9 给出 因此能量平均值等于
∑ ∑ ∑ H = cn 2 En = (ϕ n ,ψ )* (ϕ n ,ψ )En = (ψ ,ϕ n )(ϕ n ,ψ )En
4.16
n
n
n
其中最后一式利用了 (ϕ n ,ψ )* = (ψ ,ϕ n ) 把 4.16 最右边一项的 En 放进倒数
∑ c dn
2
ni
i =1
4
三 能量的平均值
第二章讨论过哈密顿量的物理意义 当 Hˆ 不显含时间时 它的本征值就是测量系
统能量可能得到的值 Hˆ 的本征方程 Hˆϕ n (rv) = Enϕ n (rv)
(4.14)
设 t=0 时 态函数为ϕ n 它与时间的依赖关系由 2.28 给出
Ψn (rv,t) = ϕ n (rv) exp(−iEnt / h)
py
=l
2πh a
pz
=
n
2πh a
4.27
m,l, n = 0,±1,±2,±3,L
4.28
动量只能取分立值 归一化的动量本征态为
ψ
pv (rv)
=
1 a3/2