2018届静安区高三一模数学Word版(附解析)
上海市静安区达标名校2018年高考一月数学模拟试卷含解析
上海市静安区达标名校2018年高考一月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．2 B ．3 C ．21+ D ．31+ 2．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为 A ．π8B ．π4C ．12π+ D 2π+4．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 5．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．157．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B 等于( )A ．[)5,7-B ．[)3,7-C ．()3,7-D ．()5,7-8．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]9．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，1810．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ） A 131 B 132 C 151D 15211．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =12．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌 （块） 银牌（块） 铜牌（块） 奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新上海市2018届高三一模数学试卷(含答案)
高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 方程lg(34)1x +=的解x =2. 若关于x 的不等式0x a x b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示）9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}n nb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞ 16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ） A. 恒为偶数 B. 恒为奇数 C. 不超过2017 D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小；（用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2A n A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m =⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费 用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214yx+=的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为25，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点；（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标M y的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；。
静安区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
解得：1＜a≤4． 故实数 a 的取值范围为（1，4]． 故选：A． 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题 p，q 的等价条件是解决本题的 关键．
15．命题“ x (0, ) ， sin x 1 ”的否定是 ▲ ． 2 16．直线 x 2 y t 0 与抛物线 y 2 16 x 交于 A ， B 两点，且与 x 轴负半轴相交，若 O 为坐标原点，则
OAB 面积的最大值为
问题的能力.
.
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决 17．【南通中学 2018 届高三 10 月月考】已知函数 f x x 2 x ，若曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线经
静安区第一中学 2018-2019 学年高三上学期 11 月月考数学试卷含答案 一、选择题
1． 给出函数 f ( x) ， g ( x) 如下表，则 f ( g ( x)) 的值域为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________
三、解答题
19．已知 f（x）=| ﹣ x|﹣| + x| （Ⅰ）关于 x 的不等式 f（x）≥a2﹣3a 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若 f（m）+f（n）=4，且 m＜n，求 m+n 的取值范围．
ax 1 2 是定义在（-1，1）上的函数, f ( ) 2 1 x 2 5 （1）求 a 的值并判断函数 f (x) 的奇偶性
上海静安区高中教学质量检测高三数学
静安区 2018 年第一学期高中教课质量检测高三数学试卷本试卷共有20 道试题，满分150 分．考试时间120 分钟．一、填空题（ 50 分）本大题共有10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 5 分，不然一律得零分．1．“x 0”是“x a ”的充分非必需条件，则 a 的取值范围是．2．函数f ( x) 1 3sin 2x4的最小正周期为．3．若复数z为纯虚数，且满足 ( 2 i) z a i (i为虚数单位)，则实数a的值为．154．二项式x2的睁开式中，x 的系数为．x5．用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．已知为锐角，且 cos()3，则 sin________ ．547．依据相关规定，灵活车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20 毫克 /100 毫升的行为属于喝酒驾车 . 假设喝酒后，血液中的酒精含量为p0毫克 /100 毫升，经过 x 个小时，酒精含量降为 p 毫克 /100 毫升，且满足关系式p p0e r x（r为常数）.若某人喝酒后血液中的酒精含量为89 毫克 /100 毫升， 2 小时后，测得其血液中酒精含量降为 61 毫克 /100 毫升，则这人喝酒后需经过小时方可驾车． (精确到小时 ) 8．已知奇函数 f (x) 是定义在R上的增函数，数列x n是一个公差为 2 的等差数列，满足f ( x7 ) f ( x8 )0 ，则 x2017的值为．9．直角三角形ABC 中， AB3，AC 4， BC5，点 M 是三角形ABC外接圆上任意一点，则AB AM 的最大值为________．10．已知f ( x) a x b(a0 且a 1 ， b R )，g( x) x 1 ，若对任意实数x 均有f ( x)g( x)140 ，则的最小值为 ________．a b二、选择题（ 25 分）本大题共有 5 题，每题都给出四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，不然一律得零分. 11．若空间三条直线a、b、c 满足a b, b c ，则直线a与c【】A．必定平行；B．必定订交；C．必定是异面直线；D．平行、订交、是异面直线都有可能．12．在无量等比数列a n 中， lim ( a 1 a 2 a n )1 ，则 a 1的取值范围是【】2n1B ．1， ；A ．0，；122C ． 0，1 ；1 1， ．D ． 0，12213．某班班会准备从含甲、 乙的 6 名学生中采用4 人发言，要求甲、 乙两人最少有一人参加，那么不一样的发言序次有【】A ． 336 种；B ． 320 种；C ． 192 种；D ．144 种.14．已知椭圆 C 1 ，抛物线 C 2 焦点均在 x 轴上， C 1 的x中心和 C 2 极点均为原点 O ，从每条曲线上各取32 42两个点，将其坐标志录于表中，则C 1 的左焦点到y2 3422C 2 的准线之间的距离为【 】A ． 2 1 ；B ．31；C ． 1；D ． 2．15．已知 yg( x) 与 y h( x) 都是定义在 ( ,0) (0, ) 上的奇函数，且当 x 0 时，g(x)x 2 , 0 x1,k log 2 x （ x0 ），若 y g (x) h(x) 恰有 4 个零， h( x)g(x 1), x 1.点，则正实数 k 的取值范围是【】A ．[ 1,1]；B ．(1,1]；22C ． (1,log 3 2] ；D ． [ 1, log 32] ．22三、解答题（本题满分 75 分）本大题共有 5 题，解答以下各题一定在答题纸的规定地域（对应的题号）内写出必需的步骤 ．16．（本题满分 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）设双曲线 C ：x 2y 2 1 ， F 1, F 2 为其左右两个焦点．23(1) 设 O 为坐标原点， M 为双曲线 C 右支上任意一点，求OM F 1 M 的取值范围；(2) 若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F 1 , F 2 的距离之和为定值， 且 cosF 1 PF 2 的最小值1为，求动点 P 的轨迹方程．917．（本题满分14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）在某海滨城市周边海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向 cos 2，300 km 的海面 P 处，并以 20km / h 的速度向西偏北 45°方向移10动．台风侵袭的范围为圆形地域，当前半径为60 km ，并以 10km / h 的速度不停增大．(1) 问 10 小时后，该台风能否开始侵袭城市A，并说明原由；(2)城市 A 遇到该台风侵袭的连续时间为多久？18．（本题满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）设会集 M a{ f ( x) |存在正实数 a ，使得定义域内任意 x 都有 f (x a) f ( x)} ．(1)若 f (x)2x x2，试判断 f ( x) 能否为 M 1中的元素，并说明原由；(2)若 g( x)x3 1 x 3 ，且 g( x) M a，求 a 的取值范围；4k), x [1,(3)若 h( x)log 3(x) （k R ），且h(x)M 2，求 h(x) 的最小值．x19．（本题满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 7 分，第 3 小题 7 分）由 n(n2) 个不一样的数构成的数列a1, a2 ,a n中，若 1 i j n 时， a j a i（即后面的项 a j小于前方项 a i），则称 a i与 a j构成一个逆序，一个有穷数列的所有逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，因为在第一项 3 后边比 3 小的项有 2 个，在第二项 2后边比 2 小的项有 1 个，在第三项 1 后边比 1 小的项没有，所以，数列3，2，1 的逆序数为2 103；同理，等比数列1114 ．1,, ,的逆序数为248(1)计算数列 a n2n19(1 n100, n N * ) 的逆序数；1n为奇数3, n*（ 1 n(2) 算数列a n k, n N ）的逆序数；n, n为偶数n 1(3) 已知数列a1, a2,a n的逆序数 a ，求 a n , a n 1 ,a1的逆序数．静安区 2018 年第一学期高中教课质量检测高三数学试卷答案与评分标准一、0，;2．;14． 10;3; 3． ;5．2242;7． 8;8． 4019;9．12;10． 4 6．10二、11. D;12. D;13. A;14.B;15.C.16．（ 1）M x, y， x 2 ，左焦点 F1 (5,0)，OM FM( x, y) (x5, y)1x 25x y2x25x3x22 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分5x25x 3 （ x 2 ）称 x5225OM F1M210,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）由定得：P点迹x 2y2221， F1F225，PF1PF2 2aa b2PF224a2 2 PF1PF2 20PF120cos F1 PF22 PF1PF22 PF1 PF24a 2201⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2 PF1PF2由基本不等式得 2a PF1PF2 2 PF1 PF2，当且 当 PFPF 等号建立1224a 220122PF 1 PF 2acos F 1 PF 22a 2 19a 9 ，b 4所求 点 P 的 迹方程x 2y 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分9417．解：（ 1）如 建立直角坐 系，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分城市 A 0,0 ，当前台 中心 P 30 2, 210 2 ，t小 后台 中心P 的坐x, y，x30 210 2t，此 台 的半径y210 2 102t60 10t ，10 小 后， PA 184.4 km ，台 的半径 r160km,r PA ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分故， 10 小 后， 台 没有开始侵 城市A. ⋯⋯⋯1 分（ 2）所以， t 小 后台 侵 的范 可 以P 30 2 10 2t , 210 2 10 2t 心， 60 10t 半径的 ，若城市 A 遇到台 侵 ，2230 2 10 2t 0 210 2 10 2t0 60 10t300t 2 10800t 86400 0 ，即 t 2 36t288 0 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分解得 12t 24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分答： 城市受台 侵 的持12 小 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分18．解：（ 1）∵ f (1) f (0) 1，∴ f ( x) M 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）由 g(xa) g(x)(x a) 3x31(x a) 1 x 3ax 23a 2x a 31a 0 ⋯2 分1a)4 44∴ 9a 4 12a(a 30 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分故 a1 .4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（3）由 h( x2) h( x) log 3[( x2)k ] log 3 (xk ) 0 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分x 2x即： log 3 [( x2)k ] log 3 ( x k )x 2x∴ x 2k k[1,) 都建立x 2x0 任意 xx∴k x( x2)k31k3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分k x2k1当1k0，h(x)min h(1)log 3 (1k ) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当 0k 1 ，h( x)min h(1)log 3 (1k) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当 1k 3 ，()min (k)log( 2k).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分h x h3上： h(x)min log 3 (1k ),1k1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分log 3 (2k ),1k 3.19．（ 1）因{ a n}减数列，所以逆序数99981(991)994950 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2（2）当n奇数，a1a3a2 n 10 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当 n 偶数，a n an 2n n2(n4)n1n12n212( n 1)(n1)所以 0 a2a4a2n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分当 k 奇数，逆序数( k 1) (k 3)k 3k 53k24k 1221⋯⋯⋯⋯⋯2分28当 k 偶数，逆序数( k 1) (k 3)k2k43k22k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分12218（3）在数列a1, a2,a n中，若 a1与后边n1个数构成p1个逆序，有 ( n 1)p1不构成逆序，所以在数列a n , a n1,a1中，逆序数 (n1)p1(n2)p2(n n)p n n( n 1) a．⋯7分2。
2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)
2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。
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2（2018崇明一模）. 抛物线24y x =的焦点坐标是3（2018静安一模）. 与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是5（2018闵行一模）. 已知直线l 的一个法向量是1)n =-r ，则l 的倾斜角的大小是5（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过椭圆2214y x +=右顶点的双曲线的标准方程是5（2018金山一模）. 已知1F 、2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一个动点，则12||||PF PF ⨯的最大值是6（2018黄浦一模）. 过点(2,1)P -作圆225x y +=的切线，则该切线的点法向式方程是 6（2018徐汇一模）. 已知圆22:1O x y +=与圆O '关于直线5x y +=对称，则圆O '的方程是 7（2018静安一模）. 已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是8（2018金山一模）. 已知点(2,3)A ，点(B -，直线l 过点(1,0)P -，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是8（2018松江一模）. 若直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且AB =a =8（2018虹口一模）. 在平面直角坐标系中，双曲线2221x y a-=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为9（2018宝山一模）. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线22125144x y -=的右焦点是C 的焦点F ，若斜率为1-，且过F 的直线与C 交于A 、B 两点，则||AB =9（2018普陀一模）. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为9（2018奉贤一模）. 已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足PA PB =，则P 到原点的距离为10（2018奉贤一模）. 设焦点为1F 、2F 的椭圆22213x y a +=(0)a >上的一点P 也在抛物线294y x =上，抛物线焦点为3F ，若32516PF =，则△12PF F 的面积为10（2018虹口一模）. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=10（2018杨浦一模）. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为11（2018闵行一模）. 已知1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，过1F 且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P ，若212PF F F ⊥，则该双曲线的渐近线方程是12（2018杨浦一模）. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=u u u u r u u u u r，则实数λ的取值范围为12（2018普陀一模）. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函数()f x 有如下四个命题： ① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3)2或3)2-； ③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞U ；④ 函数()y f x x =-有两个零点； 则其中所有真命题的序号为12（2018浦东一模）. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-u u u r u u u u r u u u r，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为16（2018松江一模）. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A. (,1][0,1)-∞-UB. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞U 16（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为(3,1)-，M 、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个16（2018崇明一模）. 直线2x =与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,a b R ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 221a b +≥ B. ||1ab ≥ C. ||1a b +≥ D. ||2a b -≥16（2018静安一模）. 若曲线||2y x =+与22:144x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（ ）A. (,1](1,)-∞-+∞UB. (,1]-∞-C. (1,)+∞D. [1,0)(1,)-+∞U18（2018青浦一模）. 已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，过点1(0,)2D 作直线l 与抛物线C 交于不同两点M 、N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.19（2018黄浦一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.（1）求实数a 、b 的值；（2）过点F 作直线l 交椭圆E 于M 、N 两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.20（2018松江一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）经过点3(1,)2，其左焦点为(3,0)F -，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且与l 垂直的直线交椭圆于C 、D 两点，若四边形ACBD 的面积为43，求直线l 的方程； （3）设1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求证：12λλ+为定值.20（2018虹口一模）. 已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于p （0p >），动圆M 过点F 且与直线l 相切，记圆心M 的轨迹为曲线C ，在曲线C 上任取一点A ，过A 作l 的垂线，垂足为E .（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）记点A 到直线l 的距离为d ，且3443p pd ≤≤，求EAF ∠的取值范围； （3）判断EAF ∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.20（2018杨浦一模）. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点. （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=u u u r u u u r，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.20（2018金山一模）. 给出定理：在圆锥曲线中，AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），则ADB ∆的面积316ADB a S p∆=，试运用上述定理求解以下各题：（1）若2p =，AB 所在直线的方程为24y x =-，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的 直线与抛物线Γ的交点为D ，求ADB S ∆；（2）已知AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线2:2y px Γ=（0p >）分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），求AMD S ∆和BND S ∆； （3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：22y px =（0p >）与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积.20（2018普陀一模）. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量1F M u u u u r与向量2F N u u u u r 平行. （1）求椭圆C 的方程；（2）当120F N F N ⋅=u u u u r u u u u r时，求1F MN ∆的面积；（3）当21||||F N F M -=u u u u r u u u u r时，求直线2F N 的方程.20（2018徐汇一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，且1F 、2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点22P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：直线MB 过定点2(,0)3R ；（3）求2MNF ∆面积的最大值.20（2018浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y a b Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为4+（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP ∆面积S 的 不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.20（2018闵行一模）. 已知椭圆221109x y +=的右焦点是抛物线2:2y px Γ=的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y .（1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点(2,0)P ，求OAB ∆的面积的最小值（O 为坐标原点）；（3）已知点(1,2)C ，直线l 经过点(5,2)Q -，D 为线段AB 的中点，求证：||2||AB CD =.20（2018崇明一模）. 在平面直角坐标系中，已知椭圆222:1x C y a+=（0a >，1a ≠）的两个焦点分别是1F 、2F ，直线:l y kx m =+（,k m R ∈）与椭圆交于A 、B 两点. （1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值；（2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值.20（2018奉贤一模）. 设22{(,)|||1}M x y x y =-=，22{(,)|1}N x y x y =-=，设任意一点00(,)P x y M ∈，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l .（1）判断M 和N 的关系并说明理由；（2）设01x ≠±，1(1,0)A -，2(1,0)A ，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ，求12k k 的取值范围；（3）过P 点作1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于Q 、R ，求证：PQR ∆的面积为定值.20（2018静安一模）. 如图，已知满足条件|3||3|z i i -=-（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数z x yi =+（x R ∈，y R ∈）对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直； （2）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.。
2018届静安区高三一模数学Word版(附解析)(可编辑修改word版)
上海市静安区 2018 届高三一模数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 计算lim(1 -n →∞nn +11 - i ) 的结果是2 2. 计算行列式x 23i +1 1 + iy 2的值是 （其中i 为虚数单位）3. 与双曲线- = 1有公共的渐近线，且经过点 A (-3, 2 3) 的双曲线方程是9 164. 从 5 名志愿者中选出 3 名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案有种（用数值作答）5. 已知函数 f (x ) = a ⋅ 2x + 3 - a （ a ∈ R ）的反函数为 y = f -1(x ) ，则函数 y = f -1(x ) 的图像经过的定点的坐标为6. 在(x - a )10 的展开式中， x 7 的系数是 15，则实数 a =7. 已知点 A (2,3) 到直线 ax + (a -1) y + 3 = 0 的距离不小于 3，则实数 a 的取值范围是8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系 xOy 中，若OP = xe 1 + ye 2（其中e 1 、e 2 分别为斜坐标系的 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量， x , y ∈ R ），则点 P 的坐标为(x , y ) ，若在斜坐标系 xOy 中， ∠xOy = 60︒ ，点 M 的坐标为(1, 2) ，则点 M 到原点O 的距离为9. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为8，则该圆锥的侧面积等于3⎧(5 - a )x +1 x < 110. 已知函数 f (x ) = ⎨ x⎩ a取值范围为（ a > 0 ， a ≠ 1）是 R 上的增函数，则实数 a 的 x ≥ 111. 已知函数 f (x ) =| sin 2x - 3 cos x cos(3- x ) - 1| ，若将函数 y = f (x ) 的图像向左平移 2 2a 个单位（ 0 < a < ），所得图像关于 y 轴对称，则实数 a 的取值集合为12. 已知函数 f (x ) = ax 2 + 4x +1，若对任意 x ∈ R ，都有 f ( f (x )) ≥ 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知无穷等比数列{a } 的各项之和为 3，首项 a = 1 ，则该数列的公比为（）n212A. 1B.2C. - 1D.1或 23 33 3 314. 设全集U = R ， A = {x | y = log 3 (1 - x )}， B = {x || x -1 |< 1} ，则(C U A ) B = （）A. (0,1]B. (0,1)C. (1, 2)D. [1, 2)15. 两条相交直线l 、 m 都在平面内，且都不在平面内，若有甲： l 和 m 中至少有一条直线与相交，乙：平面与平面相交，则甲是乙的（）16. 取值范围为（）三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1 = 4 ，异面直线 BC 1 与 AA 1 所成角的大小为 3.（1） 求正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积； （2） 求直线 BC 1 与平面 AA 1C 1C 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）A.C. 充分非必要条件充要条件B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件若曲线| y |= x + 2 与C : x 2 + y 2= 1 恰有两个不同交点，则实数A. (-∞, -1] (1, +∞) 4 4B. (-∞, -1]C. (1, +∞)D. [-1,0) (1, +∞)18.在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，设向量m = (a,cos B) ，n = (b,cos A) ，且 m ∥ n ， m ≠n .（1）求证：A +B =；2（2）若x ⋅ sin A sin B = sin A + sin B ，试确定实数x 的取值范围.19.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°（其中点P、Q 分别在边BC 、CD 上），设∠PAB =，tan=t.（1）当三点C 、P 、Q 不共线时，求直角∆CPQ 的周长；（2）设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面积为S （平方百米），试求S 的最大值.3 = ⋅20. 如图，已知满足条件| z - 3i |=| - i | （其中i 为虚数单位）的复数 z 在复平面 xOy 对应 点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面 xOy 上的复数 z = x + yi （ x ∈ R ， y ∈ R ）对应的点为(x , y ) ，定直线 m 的方程为 x + 3y + 6 = 0 ，过 A (-1,0) 的一条动直线l 与直线 m 相交于N 点，与圆C 相交于 P 、Q 两点， M 是弦 PQ 中点.（1）若直线l 经过圆心C ，求证： l 与 m 垂直； （2）当| PQ |= 2 时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN ，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.321.已知数列{a } 的通项公式为a =n（n, a∈N *）.n n n +a（1）若a1 、a2 、a4 成等差数列，求a 的值；（2）是否存在k （k ≥ 10 且k ∈N *）与a ，使得a 、a 、a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合，若不存在，请说明理由；1 3 k（3）求证：数列{a n } 中的任意一项a n 总可以表示成数列{a n } 中的其它两项之积.7B 1AC7 [ , - =参考答案一. 填空题1. 02.-6i x 2 y 2 1 3. 4. 60 5. (3,0)6. - 129 16 4 7. (-∞,3] U 3+∞) 77 58. 9.4 210. [3,5)11. { , , , } 12 3 12 612. a ≥ 3二. 选择题 13. B14. D15. C16. A三. 解答题17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） A 1C 1B解：（1） ∠BBC 是异面直线 BC 与 AA 所成的角，所以∠BBC = ………2 分1 1 1 11 1 3因为 BB 1 = AA 1 = 4 ，所以B 1C 1 = 4 ，................4 分于是，三棱柱体积V = SH = S AA = 3 ⋅16 ⋅ 3⋅ 4 = 48………6 分∆ABC 1 4（2） 过 B 作 BD ⊥ AC ，D 为垂足，则 BD ⊥ 平面 AA 1C 1C ，∠B C 1D 是直线 BC 1 与平面 AA 1C 1C 所成的角， ............................................... 8 分BD = 6,B C 1 = 8 ，（ DC 1 = 2 ），所以直线 BC 与平面 AAC C 所成的角为arcsin 3 ………………14 分1 1 1 4( arctan 3 7 ， arccos 7)7 418．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）3 32 = = ) ∴ t 1 -∈= =解：（1） m = (a , cos B ), n = (b , cos A ), 且m // n ， ∴ a cos A - b cos B = 0 ………2 分又 a sin A = b sin B= 2R ∴sin A cos A = sin B cos B , 即sin 2 A = sin 2B又∆ABC 中0 < 2 A , 2B < 2∴ 2 A = 2B 或2 A + 2B = 即 A = B 或 A + B = ……5 分2若 A B ，则 a = b 且cos A = cos B ， m n ，m ≠ n∴ A + B = 2………………………………6 分 （2）由 x ⋅sin A sin B = sin A + sin B 可得 x = sin A + sin B =sin A + cos A………………8 分sin A sin B sin A c os A设sin A + cos A = t ，则t = 2 sin( A + ，34.................................................................. 10 分0 < A < 2 ∴ 4< A + 4 < 4∴1 < 2 sin( A + ) ≤4∴t 2 = 1+ 2 s in A c os A 2 - sin A ⋅ cos A =……………11 分22t21x ， t在t (1, 2] 上单调增 ∴ x = t = 2 ≥2 = 2t 2-1 t - 1t tt 2 -12t - 1 -t∴实数 x 的取值范围为[2 2, +∞) ............................................ 14 分19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）Q CDPAB解：（1）∠PAB =, tan = t ，所以 BP = t ， CP = 1- t ； 因为点C 、P 、Q 不共线，所以0 < t < 1 ， DQ = tan(45︒ -) = 1- t , CQ = 1- 1- t;PQ =1+ t 2 =;… ................... 5 分1+ t1+ t 1+ t直角△ CPQ 的周长= (1- t ) + (1- 1- t ) + 1+ t 1+ t 2 1+ t=2… ...................6 分 (2) S =1- t - 1 ⋅ 1- t2 2 1+ t ………………8 分=2 - 1 (t +1+ 2 ) ≤ 2 -………………12 分2 t +1212245CP 2 + CQ 2 2= ⋅ = - ⎩ ylCM Q P AOxNm当t +1 = 时，等号成立． ......................... 13 分探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为2 - 平方百米．……14 分 20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）解: (1) 由已知，圆心C (0,3) , k m= - 3, ................................ 2 分则 k l =3 - 0 = 30 + 1.故 k m ⋅ k l = -1 ，所以直线l 与m 垂直 ........................................ 4 分 （直线l 经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为3x - y + 3 = 0 ） (2) 当直线l 与 x 轴垂直时,易知 x = -1符合题意; ....................................... 5 分当直线与 x 轴不垂直时,设直线l 的方程为 y = k (x + 1) ....................... 6 分由于 PQ = 2 ,所以 CM = 1....................... 7 分由 CM == 1 ,解得 k =4 .................................................. 9 分3故直线l 的方程为 x = -1或4x - 3y + 4 = 0 ......................................10 分(3)当l 与 x 轴垂直时,易得 M (-1,3) , N (-1,- 5) ,又 A (-1,0) ，则 AM 3= (0,3),AN = (0,- 5) ,故t AM AN5 ....................................... 11 分 3当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = k (x + 1) ,代入圆的方程 x 2 + ( y - 3)2 = 4 得2222x + x - k 2 + 3k(1 + k )x + (2k - 6k )x + k - 6k + 5 = 0 .则 x M = 1 2 = 2 1 + k 2 ,y M = k (x M + 1) = 3k 2 + k 1 + k 2 ,即 M ( - k 2 + 3k 1 + k 23k 2+ k , 1 + k 2) ,………13 分 3k +1 3k 2 + k 3k +1⎧ y = k (x + 1), AM = (1+ k 2 , 1+ k 2 )= 1+ k 2（1, k ) .又由⎨x + 3y + 6 = 0, - 3k - 6 - 5k -5 -5k -5得 N (, ) ,则 AN = ( , )= (1, k ) . 1 + 3k 1 + 3k 1+ 3k 1+ 3k 1+ 3k2 23 - k + 3 k 2 + 1AM AN AM ⋅ AN = - AM l1 3 k 3 1 k -15k - 5 -5k (3k2 + k ) -5(1+ 3k )(1+ k 2 )故t = AM ⋅ AN =（ (1+ k 2 )(1+ + 3k ) (1 =） + k 2 )(1+ 3k ) (1+ 3k )(1+ k 2 )= -5 . 综上, t 的值与直线l 的斜率无关,且t = ⋅= -5 . ……16 分（3） 另解:连结CA 并延长交直线m 于点 B ,连结CM , CN , 由(1)知 AC ⊥ m , 又CM ⊥ l ,所以四点 M , C , N , B 都在以CN 为直径的圆上,由相交弦定理得t =21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 7 分）124解：(1) a 1 =1 + a ， a2 =2 + a ， a 4 =4 + a ，∵ a 1 ， a 2 ， a 4 成等差数列，∴ a 1 + a 4 = 2a 2 ， ............................... 2 分 化简得 a 2 = 2a ，∵ a ∈N *，∴ a = 2 ．................................................. 4 分(2) 假设存在这样的k ， a 满足条件， a 1 =1 1 + a ， a 3 = 3 3 + a， a k = k ， k + a∵ a ， a ， a 成等比数列，∴ (a )2 = a a ， ................................... 6 分去分母,展开得9a 2 + 9ka + 9a = ka 2 + 6ka ,化简得(3k + 9)a = (k - 9)a 2 , ∵ a ∈N *，∴ (k - 9)a = 3k + 9,(a - 3)k = 9 + 9a ，当 k = 10 时, a = 39 ;当k = 11 时, a = 21；等等． .................................8 分 一般的,设t = k - 9 ∈ N *, l = a - 3∈ N * ,则 a = 3 +36 , k = 9 +36 . ……9 分tl∵ a ∈N *，∴ l , t 需为 36 的公约数, k 的取值集合为⎧k k = 9 + 36 , l = 1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18, 36⎫⎨ ⎬⎩ ⎭(或者列举{10，11，12，13，15，18，21，27，45} ) ........................................... 11 分(3) 即证存在k ， t ≠ n ，使得 a n = a k a t……………………12 分即证：⇔k - n = k + a ⇔ k - n =k + an (k + a ) ， t = …………15 分 nk ktn t k - n令 k = n + 1，则t = n (k + a ) = n (n + 1 + a ) ∴对任意n ， a n = a n +1a n (n +1+a ) , 即数列中的任意一项 a n 总可以表示成数列中的其它两项之积．………18 分 n 2n 2n 2n + a注:直接构造出 a k 与 a t 亦可，例如：n + a =2n + 2a = 2n + a ⋅(2n ， + a ) + a⋅ AN = - AC ⋅ AB = -5............................ 16 分 n = k ⋅ t ⇔ 1 + a = (1 + a )(1 + a ) ⇔1 = 1 + 1 + an + a k + a t + a n k tn k t kt所以 a n =a2n ⋅a2n+a .。
2018届静安区高三一模数学Word版(附解析)
上海市静安区2018届高三一模数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 计算lim(1)1n nn →∞-+的结果是 2. 计算行列式12311i i i-++的值是 （其中i 为虚数单位）3. 与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是 4. 从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工 作，则不同的选派方案有 种（用数值作答）5. 已知函数()23x f x a a =⋅+-（a R ∈）的反函数为1()y f x -=，则函数1()y f x -=的图像经过的定点的坐标为6. 在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =7. 已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是 8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系xOy 中，若12OP xe ye =+（其中1e 、2e 分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，,x y R ∈），则点P 的坐标为(,)x y ，若在斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，点M 的坐标为(1,2)，则点M 到原点O 的距离为9. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83π，则该圆锥的侧面积等于 10. 已知函数(5)11()1xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩（0a >，1a ≠）是R 上的增函数，则实数a 的 取值范围为11. 已知函数231()|sin cos()|22f x x x x π=--，若将函数()y f x =的图像向左平移 a 个单位（0a π<<），所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合为12. 已知函数2()41f x ax x =++，若对任意x R ∈，都有(())0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知无穷等比数列{}n a 的各项之和为32，首项112a =，则该数列的公比为（ ） A.13 B. 23 C. 13- D. 13或2314. 设全集U R =，3{|log (1)}A x y x ==-，{||1|1}B x x =-<，则()U C A B =（ ）A. (0,1]B. (0,1)C. (1,2)D. [1,2)15. 两条相交直线l 、m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16. 若曲线||2y x =+与22:144x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（ ） A. (,1](1,)-∞-+∞ B. (,1]-∞-C. (1,)+∞D. [1,0)(1,)-+∞三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为3π. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求直线1BC 与平面11AAC C 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，设向量(,cos )m a B =，(,cos )n b A =， 且m ∥n ，m n ≠. （1）求证：2A B π+=；（2）若sin sin sin sin x A B A B ⋅=+，试确定实数x 的取值范围.19. 如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，tan t θ=.（1）当三点C 、P 、Q 不共线时，求直角CPQ ∆的周长； （2）设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面 积为S （平方百米），试求S 的最大值.20. 如图，已知满足条件|3|||z i i -=（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数z x yi =+（x R ∈，y R ∈）对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点.（1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直；（2）当||PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =⋅，试问t 是否为定值？若为定值， 请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.21. 已知数列{}n a 的通项公式为n na n a=+（*,n a N ∈）. （1）若1a 、2a 、4a 成等差数列，求a 的值；（2）是否存在k （10k ≥且*k N ∈）与a ，使得1a 、3a 、k a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列{}n a 中的任意一项n a 总可以表示成数列{}n a 中的其它两项之积.参考答案一. 填空题1. 02. 6i -3.2219164x y -= 4. 60 5. (3,0) 6. 12- 7. 3(,3][,)7-∞+∞U8.9.10. [3,5) 11. 75{,,,}123126ππππ12. 3a ≥二. 选择题13. B 14. D 15. C 16. A三. 解答题17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）11BC B ∠是异面直线1BC 与1AA 所成的角，所以11BC B ∠=3π………2分 因为114BB AA ==，所以3411=C B ， …………4分于是，三棱柱体积11634ABC V SH S AA ∆===⋅⋅=6分 （2）过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ⊥平面11AAC C ，D BC 1∠是直线1BC 与平面11AAC C 所成的角， ………………8分8,61==BC BD ，（1DC =，所以直线1BC 与平面11AAC C 所成的角为43arcsin………………14分(arctan7，arc cos 4)18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）(,cos ),(,cos ),m a B n b A ==且//m n ， cos cos 0a A b B ∴-= ………2分B 1A 1C 1ACB又2sin sin ==a b R A B sin cos sin cos A A B B ∴=, 即sin 2sin 2A B = 又ABC ∆中02,22A B π<<22A B ∴=或22A B π+=即A B =或2A B π+=……5分 若A B =，则a b =且cos cos A B =，m n =，m n ≠ 2A B π∴+= ………………………………6分（2）由sin sin sin sin x A B A B ⋅=+可得sin sin sin cos sin sin sin cos A B A Ax A B A A ++==………………8分 设sin cos A A t +=，则)4t A π=+，02A π<<3444A πππ∴<+<1s i n (24A π∴+分 212sin cos t A A ∴=+ 21sin cos 2t A A -∴⋅= ……………11分22211t x t t t ==--，1t t -在(1t ∈上单调增2221112t x t t t ∴==≥=-- ∴实数x的取值范围为)+∞………………………………14分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）,tan PAB t θθ∠==，所以BP t =，1CP t =-； 因为点C P Q 、、不共线，所以01t <<，1tan(45)1t DQ t θ︒-=-=+,111t CQ t-=-+; PQ =211t t++;………………5分直角△CPQ 的周长=211(1)(1)11t t t t t-+-+-+++=2………………6分 (2)11=1221t tS t ---⋅+ ………………8分12=2(1)221t t -++≤+分当1t += ………………13分D45θ探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S最大为2……14分 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解: (1) 由已知，圆心C )3,0(,31-=m k , ……………………2分 则31003=+-=l k .故1-=⋅l m k k ，所以直线l 与m 垂直. …………………4分 （直线l 经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为330x y -+=）(2) 当直线l 与x 轴垂直时,易知1-=x 符合题意; ………………5分当直线与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为)1(+=x k y . …………6分 由于32=PQ ,所以.1=CM ………………7分由1132=++-=k k CM ,解得34=k . ………………9分 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x . ………………10分(3)当l 与x 轴垂直时,易得)3,1(-M ,)35,1(--N ,又)0,1(-A ，则),3,0(=AM)35,0(-=,故5t AM AN =⋅=-. ………………11分当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,代入圆的方程22(3)4x y +-=得056)62()1(2222=+-+-++k k x k k x k .则,1322221kkk x x x M ++-=+= 2213)1(k k k x k y M M ++=+=,即)13,13(2222kkk k k k M ++++-,………13分 =222231331(,)=1,)111k k k k k k k k ++++++（.又由⎩⎨⎧=+++=,063),1(y x x k y 得)315,3163(k k k k N +-+--,则555(,)=(1,)131313k AN k k k k---=+++.故=t 222221555(3)5(13)(1)5(1)(13)(1)(13)(13)(1)k k k k k k AM AN k k k k k k ---+-++⋅=+==-++++++（）.综上,t 的值与直线l 的斜率无关,且5t AM AN =⋅=-. ……16分（3）另解:连结CA 并延长交直线m 于点B ,连结,,CN CM 由(1)知,m AC ⊥又l CM ⊥,所以四点B N C M ,,,都在以CN 为直径的圆上,由相交弦定理得5t AM AN AM AN AC AB =⋅=-⋅=-⋅=-. ……………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）解：(1) a a +=111，a a +=222，444a a=+， ∵1a ，2a ，4a 成等差数列，∴1422a a a +=， …………2分 化简得22a a =，∵∈a N *，∴2=a ． ……………………4分(2) 假设存在这样的k ，a 满足条件，a a +=111，a a +=333，ak ka k +=， ∵1a ，3a ，k a 成等比数列，∴231()k a a a =， ………………6分 去分母,展开得229996++=+a ka a ka ka ,化简得2(39)(9)+=-k a k a , ∵∈a N *，∴(9)39,(3)99k a k a k a -=+-=+，当10k =时, 39a =;当11k =时, 21a =；等等． ………………8分 一般的,设9*t k N =-∈,3*=-∈l a N ,则363a t =+,369k l=+. ……9分 ∵∈a N *，∴,l t 需为36的公约数, k 的取值集合为369,1,2,3,4,6,9,12,18,36k k l l ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭(或者列举{}101112131518212745，，，，，，，，) ……………………11分 (3) 即证存在k ，t n ≠，使得t k n a a a = ……………………12分 即证：n k t n a k a t a =⋅⇔+++ )1)(1(1t a k a n a ++=+ ⇔ kt a t k n ++=111 ⇔kt a k nk n k +=- ⇔ t a k n n k +=- ，()n k a t k n+=- …………15分 令1+=n k ，则)1()(a n n a k n t ++=+=∴对任意n ，)1(1a n n n n a a a +++=, 即数列中的任意一项n a 总可以表示成数列中的其它两项之积．………18分 注:直接构造出k a 与t a 亦可，例如：222222(2)n n n n an a n a n a n a a+==⋅+++++， 所以22n n n a a a a +=⋅.。
2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案
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第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上
2018年上海市高三一模数学试题完整解析
2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。
静安区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
静安区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．22． 实数x ，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）A ．（1，1）B ．（0，3） C．（，2） D．（，0）3． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，4 4． 若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ） A ．0B ．1C ．D ．35． 过抛物线y=x 2上的点的切线的倾斜角（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°6． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不能被5整除 D ．a ，b 有1个不能被5整除7． 已知直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=1交于不同的两点A 、B ，O是坐标原点，且，那么实数a 的取值范围是（ ） A．B．C ．D．8． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i9． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β11．设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37 12．已知复数z 满足zi=1﹣i ，（i 为虚数单位），则|z|=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．二、填空题13．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是．15．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．16．设α为锐角，若sin （α﹣）=，则cos2α= ．17．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）． 18．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．三、解答题19．20．已知函数f （x ）=x 3+ax+2．（Ⅰ）求证：曲线=f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．21．2014年“五一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速（可用中值代替各组数据平均值）；（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．22．已知函数，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．23．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,45a b a b x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.24．在等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=27，a 2+a 4=30试求：（1）a 1和公比q ；（2）前6项的和S 6．静安区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．考点：几何体的结构特征．2．【答案】D【解析】解：由题意作出其平面区域，将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距，故由图象可知，使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内，故（1，1），（0，3），（，2）成立，而点（，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，故不成立；故选D．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．3．【答案】C【解析】考点：茎叶图，频率分布直方图．4．【答案】B【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数，∴函数y=3x的反函数为y=f（x）=log3x，所以f（9）=log33=1．故选：B．【点评】本题给出f（x）是函数y=3x（x∈R）的反函数，求f（3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．5．【答案】B【解析】解：y=x2的导数为y′=2x，在点的切线的斜率为k=2×=1，设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由k=tanα=1，解得α=45°．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．6．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．7．【答案】A【解析】解：设AB的中点为C，则因为，所以|OC|≥|AC|，因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2，所以2（）2≥1，所以a≤﹣1或a≥1，因为＜1，所以﹣＜a＜，所以实数a的取值范围是，故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．8．【答案】A【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，故选A．【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．9．【答案】A【解析】进行简单的合情推理．【专题】规律型；探究型．【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的a i，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．【解答】因为=（a1×103+a2×102+a3×10+a4），括号内表示的10进制数，其最大值为9999；从大到小排列，第2013个数为9999﹣2013+1=7987所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7则第2013个数是故选A．【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可．10．【答案】D【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．【答案】D【解析】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．【解答】解：由于多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n中含x 一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16，可得2m+5n=16 ①．再根据m 、n 为正整数，可得m=3、n=2，故含x 2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37，故选：D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 12．【答案】D【解析】解：∵复数z 满足zi=1﹣i ，（i 为虚数单位），∴z==﹣i ﹣1，∴|z|==．故选：D ．【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．二、填空题13．【答案】12-考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．14．【答案】.【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，函数()()ln f x x x mx =-有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点， 等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，，时，直线y=2mx−1与y=ln x的图象相切，当m=12由图可知,当0<m<1时，y=ln x与y=2mx−1的图象有两个交点，2），则实数m的取值范围是（0,12故答案为：（0,1）.215．【答案】3．【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．点（4，）化为．∴点到直线l的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．16．【答案】﹣．【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，∴cos（α﹣）=，∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．17．【答案】180【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r可知r=2，所以系数为C102×4=180，故答案为：180．【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．18．【答案】0.6．【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴曲线关于x=2对称，∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6，故答案为：0.6．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．三、解答题19．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可．（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可．【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：即E（X）=0×=．【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力20．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），令x=0，得y=为定值；（Ⅱ）解：由xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，得xe x+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，即e x+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，则（e x+mx﹣m2）min≥0，记g（x）=e x+mx﹣m2，g′（x）=e x+m，由x≥0，e x≥1，若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，∴，则有﹣1≤m≤1，若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，∴，∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．21．【答案】【解析】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5…这40辆小型车辆的平均车速为：（km/t）…（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆）车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f）（e，f）共15种其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共14种所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．…【点评】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．22．【答案】【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，所以，解得，所以．（Ⅱ）由，得，因为，所以对于任意，都有．设，则．令，解得．当x变化时，与的变化情况如下表：所以当时，．因为对于任意，都有成立，所以 ． 所以的最小值为．（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，即要证， 所以只要证．由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）． 所以只要证明当时，即可．设，所以， 令，解得． 由，得，所以在上为增函数．所以，即．所以．故函数的图象在直线的下方．23．【答案】（1）在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b e ⎛⎫∞⎪⎝⎭上单调递增.（2）7b e a ≤<【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不等式()'0h x >得b x e >求出单调增区间；解不等式()'0h x <得bx e<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()m in 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤、4b a b e +<、35b a be +>三种情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围7be a≤<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,b e ⎛⎫∞⎪⎝⎭上单调递增. （2）由345a b a b ++<得7ba<，由条件得()min 0h x ≤.①当345a b b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，由0b a e -+≤得 3,5b b e e e a a e≥∴≤≤-. ②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,45a b a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b ae ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43?3044e b ba b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0ba e-+≤得.③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,45a b a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b ae ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭52?2230553e b ba b e e b e----=>=>，∴当35b e a e >-时恒成立，综上所述，7b e a ≤<. 24．【答案】【解析】解：（1）在等比数列{a n }中，由已知可得：…（3分）解得：或…（6分） （2）∵∴当时，．…（10分）当时，…（14分）【点评】本题主要考查了利用等比数列的通项公式求解等比数列的基本量，及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是熟练应用公式．。
静安区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
静安区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）A ．点A 处B ．线段AD 的中点处C ．线段AB 的中点处D ．点D 处2． （理）已知tan α=2，则=（ ）A．B．C．D．3． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 4． 在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，,则等于（ ）A ．B ．C ．D ．25． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 6． 已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不正确7． 已知函数f （x ）=log 2（x 2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ ）A ．8B ．5C ．9D ．278． 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100米到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）A ．50米B ．60米C ．80米D ．100米9． 已知一元二次不等式f （x ）＜0的解集为{x|x ＜﹣1或x＞}，则f （10x ）＞0的解集为（ ） A ．{x|x ＜﹣1或x ＞﹣lg2} B ．{x|﹣1＜x ＜﹣lg2} C ．{x|x ＞﹣lg2} D ．{x|x ＜﹣lg2}10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，若﹣+1=0，则角B 的度数是（ ）A ．60°B ．120°C ．150°D ．60°或120°11．命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数12．给出下列函数： ①f （x ）=xsinx ； ②f （x ）=e x +x ；③f （x ）=ln （﹣x ）；∃a ＞0，使f （x ）dx=0的函数是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题13．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．14．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填A B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．15．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．16．方程（x+y ﹣1）=0所表示的曲线是 ．17．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．18．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin2，则该数列的前16项和为 ．三、解答题19．在平面直角坐标系xOy 中，经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量与共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20．（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件（2）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件+=1．21．已知在△ABC 中，A （2，4），B （﹣1，﹣2），C （4，3），BC 边上的高为AD ．（1）求证：AB ⊥AC ；（2）求向量．22． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线⊥AF 平面ABCD ，AB EF //，12,2====EF AF AB AD ，点P 在棱DF 上. （1）求证：BF AD ⊥；（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （3）若FD FP 31=，求二面角C AP D --的余弦值.23．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．24．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．静安区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题13．x﹣y﹣2=0．14．2715．416．两条射线和一个圆．17．118．546．三、解答题19．20．21．22．23．24．。
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上海市静安区2018届高三一模数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 计算lim(1)1n nn →∞-+的结果是 2. 计算行列式12311i i i-++的值是 （其中i 为虚数单位）3. 与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是4. 从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工 作，则不同的选派方案有 种（用数值作答）5. 已知函数()23x f x a a =⋅+-（a R ∈）的反函数为1()y f x -=，则函数1()y f x -=的图像经过的定点的坐标为6. 在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =7. 已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是 8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系xOy 中，若12OP xe ye =+（其中1e 、2e 分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，,x y R ∈），则点P 的坐标为(,)x y ，若在斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，点M 的坐标为(1,2)，则点M 到原点O 的距离为9. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83π，则该圆锥的侧面积等于 10. 已知函数(5)11()1xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩（0a >，1a ≠）是R 上的增函数，则实数a 的 取值范围为11. 已知函数231()|sin cos()|22f x x x x π=--，若将函数()y f x =的图像向左平移 a 个单位（0a π<<），所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合为12. 已知函数2()41f x ax x =++，若对任意x R ∈，都有(())0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知无穷等比数列{}n a 的各项之和为32，首项112a =，则该数列的公比为（ ） A.13 B. 23 C. 13- D. 13或2314. 设全集U R =，3{|log (1)}A x y x ==-，{||1|1}B x x =-<，则()U C A B =（ ）A. (0,1]B. (0,1)C. (1,2)D. [1,2)15. 两条相交直线l 、m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16. 若曲线||2y x =+与22:144x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（ ） A. (,1](1,)-∞-+∞ B. (,1]-∞-C. (1,)+∞D. [1,0)(1,)-+∞三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为3π. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求直线1BC 与平面11AAC C 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，设向量(,cos )m a B =，(,cos )n b A =， 且m ∥n ，m n ≠. （1）求证：2A B π+=；（2）若sin sin sin sin x A B A B ⋅=+，试确定实数x 的取值范围.19. 如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，tan t θ=.（1）当三点C 、P 、Q 不共线时，求直角CPQ ∆的周长； （2）设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面 积为S （平方百米），试求S 的最大值.20. 如图，已知满足条件|3||3|z i i -=-（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数z x yi =+（x R ∈，y R ∈）对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点.（1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直； （2）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =⋅，试问t 是否为定值？若为定值， 请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.21. 已知数列{}n a 的通项公式为n na n a=+（*,n a N ∈）. （1）若1a 、2a 、4a 成等差数列，求a 的值；（2）是否存在k （10k ≥且*k N ∈）与a ，使得1a 、3a 、k a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列{}n a 中的任意一项n a 总可以表示成数列{}n a 中的其它两项之积.参考答案一. 填空题1. 02. 6i -3. 2219164x y -= 4. 60 5. (3,0)6. 12- 7. 3(,3][,)7-∞+∞8.9.10. [3,5) 11. 75{,,,}123126ππππ12. 3a ≥二. 选择题13. B 14. D 15. C 16. A三. 解答题17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）11BC B ∠是异面直线1BC 与1AA 所成的角，所以11BC B ∠=3π………2分 因为114BB AA ==，所以3411=C B ，…………4分于是，三棱柱体积116344ABC V SH S AA ∆===⋅⋅=6分 （2）过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ⊥平面11AAC C ，D BC 1∠是直线1BC 与平面11AAC C 所成的角， ………………8分8,61==BC BD ，（1DC =），所以直线1BC 与平面11AAC C 所成的角为43arcsin………………14分(arctan7，arc cos 4)18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）(,cos ),(,cos ),m a B n b A ==且//m n ， cos cos 0a A b B ∴-= ………2分B 1A 1C 1ACB又2sin sin ==a b R A B sin cos sin cos A A B B ∴=, 即sin 2sin 2A B = 又ABC ∆中02,22A B π<<22A B ∴=或22A B π+=即A B =或2A B π+=……5分 若A B =，则a b =且cos cos A B =，m n =，m n ≠ 2A B π∴+= ………………………………6分（2）由sin sin sin sin x A B A B ⋅=+可得sin sin sin cos sin sin sin cos A B A Ax A B A A++==………………8分 设sin cos A A t +=，则)4t A π+，02A π<<3444A πππ∴<+<1)4A π∴+分212sin cos t A A ∴=+ 21sin cos 2t A A -∴⋅= ……………11分22211t x t t t ==--，1t t -在t ∈上单调增2221112t x t t t ∴==≥=-- ∴实数x的取值范围为)+∞………………………………14分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）,tan PAB t θθ∠==，所以BP t =，1CP t =-； 因为点C P Q 、、不共线，所以01t <<，1tan(45)1t DQ t θ︒-=-=+,111tCQ t-=-+; PQ =211t t++;………………5分 直角△CPQ 的周长=211(1)(1)11t t t t t-+-+-+++=2………………6分 (2)11=1221t tS t ---⋅+ ………………8分12=2(1)221t t -++≤+分当1t +=………………13分D45θ探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S最大为2平方百米．……14分 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解: (1) 由已知，圆心C )3,0(,31-=m k , ……………………2分 则31003=+-=l k .故1-=⋅l m k k ，所以直线l 与m 垂直. …………………4分 （直线l 经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为330x y -+=）(2) 当直线l 与x 轴垂直时,易知1-=x 符合题意; ………………5分当直线与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为)1(+=x k y . …………6分 由于32=PQ ,所以.1=CM ………………7分 由1132=++-=k k CM ,解得34=k . ………………9分 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x . ………………10分(3)当l 与x 轴垂直时,易得)3,1(-M ,)35,1(--N ,又)0,1(-A ，则),3,0(=AM)35,0(-=AN ,故5t AM AN =⋅=-. ………………11分当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,代入圆的方程22(3)4x y +-=得056)62()1(2222=+-+-++k k x k k x k .则,1322221kk k x x x M++-=+= 2213)1(k k k x k y M M++=+=,即)13,13(2222kkk k k k M ++++-,………13分 =AM 222231331(,)=1,)111k k k k k k k k ++++++（.又由⎩⎨⎧=+++=,063),1(y x x k y 得)315,3163(k k k k N +-+--,则555(,)=(1,)131313k AN k k k k---=+++.故=t 222221555(3)5(13)(1)5(1)(13)(1)(13)(13)(1)k k k k k k AM AN k k k k k k ---+-++⋅=+==-++++++（）.综上,t 的值与直线l 的斜率无关,且5t AM AN =⋅=-. ……16分（3）另解:连结CA 并延长交直线m 于点B ,连结,,CN CM 由(1)知,m AC ⊥又l CM ⊥,所以四点B N C M ,,,都在以CN 为直径的圆上,由相交弦定理得5t AM AN AM AN AC AB =⋅=-⋅=-⋅=-. ……………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）解：(1) a a +=111，a a +=222，444a a=+， ∵1a ，2a ，4a 成等差数列，∴1422a a a +=， …………2分 化简得22a a =，∵∈a N *，∴2=a ． ……………………4分(2) 假设存在这样的k ，a 满足条件，a a +=111，a a +=333，ak ka k +=， ∵1a ，3a ，k a 成等比数列，∴231()k a a a =， ………………6分去分母,展开得229996++=+a ka a ka ka ,化简得2(39)(9)+=-k a k a , ∵∈a N *，∴(9)39,(3)99k a k a k a -=+-=+，当10k =时, 39a =;当11k =时, 21a =；等等． ………………8分 一般的,设9*t k N =-∈,3*=-∈l a N ,则363a t =+,369k l=+. ……9分 ∵∈a N *，∴,l t 需为36的公约数, k 的取值集合为369,1,2,3,4,6,9,12,18,36k k l l ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭(或者列举{}101112131518212745，，，，，，，，) ……………………11分 (3) 即证存在k ，t n ≠，使得t k n a a a = ……………………12分 即证：n k t n a k a t a =⋅⇔+++ )1)(1(1t a k a n a ++=+ ⇔ kt a t k n ++=111 ⇔kt a k nk n k +=- ⇔ t a k n n k +=- ，()n k a t k n+=- …………15分 令1+=n k ，则)1()(a n n a k n t ++=+=∴对任意n ，)1(1a n n n n a a a +++=, 即数列中的任意一项n a 总可以表示成数列中的其它两项之积．………18分 注:直接构造出k a 与t a 亦可，例如：222222(2)n n n n an a n a n a n a a+==⋅+++++， 所以22n n n a a a a +=⋅.。