湖南省长沙市长郡中学2020届高三数学实验班选拔考试试题 理(含解析)

一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的
试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
8. 若二项式
展开式的各项系数之和为 ，则含 项的系数为
A. 560 B. 【答案】A
C. 280 D.
【解析】因为二项式
展开式的各项系数之和为 ，所以
画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为
的
交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.
第Ⅱ卷（90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 若实数 满足
，则
的最小值为__________．
【答案】 【解析】画出
表示的可行域如图，
为整数）上递增，则 不满足；对
于 .函数为奇函数，由于
，则在 上递增，则 满足；对于 .函数为偶函数，则 不
满足；对于 .函数既不是奇函数，也不是偶函数，则 不满足，故选 C.
7. 执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的结果为
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】执行程序框图，第一次循环，
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，所以
，设
，令
,当且 时取等号，
，即 的最大值为
，故答案为
.
三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在锐角
中， 分别为角
的对边，且
．
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
14. 设
，
，且
，则
__________．
【答案】
【解析】由
，可得
，故答案为 .
15. 已知
，
，则
__________．
【答案】
【解析】
，
，
故答案为 .
16. 在数列 中，首项不为零，且
， 为 的前 项
和．令 【答案】 【解析】数列
，则 的最大值为__________．
首项 ，
，所以数列
是公比为 的等比数列， ，
高为 ，所以该几何体的体积为
，故选 C.
10. 已知椭圆
，若直线经过
则直线的方程为
A.
B.
【答案】B
【解析】设直线斜率为 ，
，与椭圆交于 C. ，
两点，且 D.
， ，由
与
联立可得，
，则
，解得
，故选 B.
11. 已知三棱锥
的每个顶点都在球 的表面上，
底面
，且二面角
的正切值为 4，则球 的表面积为
A.
B.
；第二次循环，
；
第三次循环，
；第四次循环，
；结束循环，输出
，
故选 B.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时
一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构
还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时
长郡中学 2020～2020 学年新高三实验班选拔考试
理科数学试卷
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分，时量 120 分钟，满分 150 分 第Ⅰ卷（60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，毎小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数
（其中
，为虚数单位）的虚部为 1，则
，
的通项为
，
令
项的系数为
，故选 A.
9. 某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组
合体，且直三棱柱底面为两直角边为 和 的直角三角形，高为 ，半圆柱的底面半径为 ，
的对称点在另一条渐近线上，则双曲线 的离心率为
A.
B.
C. 2 D.
【答案】C
【解析】设右焦点
关于渐近线：
的对称点为 ，则 在
上 交于
，由点到直线距离公式可得
，
为直角三角形，三边分别为
，由
对称性知，
，
，故选 C.
6. 下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】对于 .函数是奇函数，在
A. 1 B. 2 C.
D.
【答案】C
【解析】
, 的虚部为 ，
，故选 C.
2. 已知集合
A.
B.
C.
【答案】B
【解析】
，集合 D.
，则 ,
,故选 B.
3. 长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的 3 位男教师和 2 名女教师中，任选 2 人参加 说课比赛，则选取的 2 人恰为一男一女的概率为
A.
B.
C.
C.
D.
【答案】D
【解析】设 中点为 ，可得
，则
是“二面角
” 的平面角，由于
“二面角
” 的正切值为 ，
，由余弦定理知，
，由正弦定理知，
外接圆直径
，设
外接球半径为 ，则
，
球 的表面积为
，故选 D.
【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和 体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用
由图知，直线
平移经过点
时， 有最小值为
，故答
案为 .
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函
数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或
最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
D.
【答案】B
【解析】由古典概型概率公式，可得选取的 人恰为一男一女的概率为
，
故选 B.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若
，则
A. 23 B. 96 【答案】D
C. 224
D. 276
【解析】
是等差数列，可设首项为 ，公差为 ，由
，
可得
，
，故选 D.
5. 已知 为双曲线
的一个焦点，其关于双曲线 的一条渐近线
与
有两个交点，
，故选 A.
【方法点睛】判断方程
零点个数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负
直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数
零点个数就是方程
根
的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点
个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，
（ 为三棱的长）；②若
面（
），则
（为
外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可
以直接找出球心和半径.
12. 已知函数
在区间
上有两个零点，则实数 的
取值范围为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】函数
在区间
上有两个零点，等价于
与 的图象有两个交点，设
与 的图象相切，切点为
，则
，解得
，因为关于 的方程，