空间中直线与直线之间的位置关系经典例题
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12.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝ AD，BE∥FA，BE＝ FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH∥AD，GH＝ AD.又BC∥AD，
AA1＝2AB，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．
解连接A1C1，BC1，
由A1B1綉D1C1，A1B1綉AB，得AB綉D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1綉AD1，
∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．
如右图所示，过B，C1分别作BM⊥A1C1，垂足为M，
C1N⊥A1B，垂足为N.
∴CE与HF共面，又D∈FH，
∴C，D，F，E四点共面．
13.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且 ＝ ＝ ＝ .
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求 的值．
(1)证明∵AA′∩BB′＝O，
且 ＝ ＝ ，
∴AB∥A′B′，
A．①②③B．①③④
C．②③D．①④
答案D
解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．
3．(2014·郑州高一检测)下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()
答案C
解析易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．
6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：
①∠BAC＝∠B′A′C′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
一定成立的是________．
答案③
解析∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，
∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系
一、基础达标
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()
A．一定平行B．一定相交
C．一定异面D．相交wenku.baidu.com异面
答案D
解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．
2．a、b为异面直线是指
①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．()
由已知可设A1B1＝1，
则AA1＝BB1＝2，
∴A1B＝BC1＝ ，
A1C1＝ .∴点M是A1C1中点，
∴A1M＝ .
∴cos∠BA1C1＝ ＝ ＝ .
∵在Rt△A1NC1中，
A1N＝A1C1cos∠BA1C1＝ ，
∴BN＝A1B－A1N＝ － ＝ .
∴cos∠A1BC1＝ ＝ × ＝ .
三、探究与创新
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.
9．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于()
A．15°B．30°
C．75°D．15°或75°
4．下面四种说法：
①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；
②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；
③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()
A．4B．3
C．2D．1
答案D
解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确．
∵∠A1BD是锐角，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，
∴A1B与B1D1所成的角为60°.
二、能力提升
8.(2014·信阳高一检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案C
解析连接BC1、A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
5.(2014·威海高一检测)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE，B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
答案C
解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.
答案D
解析如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綉 AB，FG綉 CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角．
∵AB＝CD，∴EG＝GF.
当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.
10．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′且 ＝ ＝ ，
∴ ＝ 2＝ .
BC＝ AD，∴GH∥BC，GH＝BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解C，D，F，E四点共面．证明如下：
由BE∥FA，BE＝ FA，G为FA中点知，
BE∥FG，BE＝FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG，EF＝BG.
由(1)知BG∥CH，BG＝CH，
∴EF∥CH，EF＝CH，
∴四边形EFHC是平行四边形，
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号)．
答案①③
解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
11．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．
解如图，连接BD、A1D，
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴DD1綉BB1，
∴四边形DBB1D1为平行四边形，
∴BD∥B1D1.
∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，
∴A1B＝BD＝A1D，
△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD＝60°.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH∥AD，GH＝ AD.又BC∥AD，
AA1＝2AB，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．
解连接A1C1，BC1，
由A1B1綉D1C1，A1B1綉AB，得AB綉D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1綉AD1，
∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．
如右图所示，过B，C1分别作BM⊥A1C1，垂足为M，
C1N⊥A1B，垂足为N.
∴CE与HF共面，又D∈FH，
∴C，D，F，E四点共面．
13.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且 ＝ ＝ ＝ .
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求 的值．
(1)证明∵AA′∩BB′＝O，
且 ＝ ＝ ，
∴AB∥A′B′，
A．①②③B．①③④
C．②③D．①④
答案D
解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．
3．(2014·郑州高一检测)下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()
答案C
解析易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．
6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：
①∠BAC＝∠B′A′C′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
一定成立的是________．
答案③
解析∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，
∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系
一、基础达标
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()
A．一定平行B．一定相交
C．一定异面D．相交wenku.baidu.com异面
答案D
解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．
2．a、b为异面直线是指
①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．()
由已知可设A1B1＝1，
则AA1＝BB1＝2，
∴A1B＝BC1＝ ，
A1C1＝ .∴点M是A1C1中点，
∴A1M＝ .
∴cos∠BA1C1＝ ＝ ＝ .
∵在Rt△A1NC1中，
A1N＝A1C1cos∠BA1C1＝ ，
∴BN＝A1B－A1N＝ － ＝ .
∴cos∠A1BC1＝ ＝ × ＝ .
三、探究与创新
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.
9．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于()
A．15°B．30°
C．75°D．15°或75°
4．下面四种说法：
①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；
②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；
③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()
A．4B．3
C．2D．1
答案D
解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确．
∵∠A1BD是锐角，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，
∴A1B与B1D1所成的角为60°.
二、能力提升
8.(2014·信阳高一检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案C
解析连接BC1、A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
5.(2014·威海高一检测)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE，B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
答案C
解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.
答案D
解析如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綉 AB，FG綉 CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角．
∵AB＝CD，∴EG＝GF.
当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.
10．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′且 ＝ ＝ ，
∴ ＝ 2＝ .
BC＝ AD，∴GH∥BC，GH＝BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解C，D，F，E四点共面．证明如下：
由BE∥FA，BE＝ FA，G为FA中点知，
BE∥FG，BE＝FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG，EF＝BG.
由(1)知BG∥CH，BG＝CH，
∴EF∥CH，EF＝CH，
∴四边形EFHC是平行四边形，
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号)．
答案①③
解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
11．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．
解如图，连接BD、A1D，
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴DD1綉BB1，
∴四边形DBB1D1为平行四边形，
∴BD∥B1D1.
∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，
∴A1B＝BD＝A1D，
△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD＝60°.