《量子力学》试卷二

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量子力学试卷

量子力学试卷

量子力学试卷(总22页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除05级2学分A一、回答下列问题(每题5分,共30分)1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象?2 什么是束缚态什么是定态3 试述电子具有自旋的实验证据。

4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。

5 表示力学量的厄米算符有哪些特性?6一维空间两粒子体系的归一化波函数为),(21x x ψ,写出下列概率: 发现粒子1的位置介于x 和dx x +之间(不对粒子2进行观测) 二、本题满分10分设单粒子定态波函数为 )(1)(ikr ikrk be e rr +=-ψ,试利用薛定谔方程确定其势场。

三、本题满分12分利用厄米多项式的递推关系和求导公式:()()()02211=+--+x nH x xH x H n n n ,()()x nH x H n n12-=' 证明:一维谐振子波函数满足下列关系:)](21)(2[1)(11x n x n x x n n n +-++=ψψαψ /)],(21)(2[)(11ωαψψαψm x n x n dx x d n n n =+-=+-已知一维谐振子的波函数为:()()21212!2,22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-n N x H eN x n n n xn n πααψα四、本题满分12分一粒子在一维无限深势阱⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,0,0,0,)( 中运动,求粒子的能级和相应的归一化波函数。

五、本题满分12分已知氢原子的电子波函数为)(),()(41),,,(2/11131z z nlmm s Y r R s r sχϕθϕθψ=)(),()(432/12032z s Y r R -+χϕθ。

求在ψ态中测量氢原子能量E 、2L 、z L 、2s 、z s 的可能值和这些力学量的平均值。

中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)

中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)

1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称: 量子力学(理论型),00分。

、在,氢原子波函数为说明:共五道大题无选择题,计分在题尾标出,满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。

忽略自旋和辐射跃迁。

投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少?nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少? 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系,证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量,相应的本征态为n 。

求出该常数。

、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。

利用测不准关系估算其(束缚态)类似于氢原子,只是用一个正电子代替质子作为核,在非基态的能量。

四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下,其能量和波函数与氢原子类似。

今设在电子偶素的基态里,存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差,决定哪一个能量更低。

对普通的氢原子,基态波函数: 。

利用一级微扰论,计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射,用一级玻恩近似计算微分散射截面。

五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称:量子力学(实验型)分。

光电效应实验指出:当光照射到金属上,说明:共五道大题,无选择题,计分在题尾标出,满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时,才有光电子发射出;b) 光电子的能量只与光的频率有关,而与光的强度无关;c) 只要光的频率大于0ν,光子立即产生。

试述:a) 经典理论为何不能解释上述现象,或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。

浙江大学2020—2021学年第 二 学期《 量子力学 》(A卷)考试试题参考答案及评分标准

浙江大学2020—2021学年第 二 学期《 量子力学 》(A卷)考试试题参考答案及评分标准

浙江大学2020—2021学年第二学期《量子力学》(A卷)考试试题参考答案及评分标准一、简答题(每小题5分,共10分)1. 二电子体系中,总自旋,写出()的归一化本征态(即自旋单态与三重态)。

解:()的归一化本征态记为,则自旋单态为自旋三重态为2. 何谓正常塞曼效应?何谓反常塞曼效应?何谓斯塔克效应?解:在强磁场中,原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。

在弱磁场中,原子发出的每条光谱线都分裂为条(偶数)的现象称为反常塞曼效应。

原子置于外电场中,它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

二、填空题(每小题5分,共30分)3. 一粒子的波函数,则粒子位于间的几率为。

4. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动,其状态波函数为,能级表达式为。

5. 粒子在一维势阱中运动,波函数为,则的跃变条件为。

若势阱改为势垒,则的跃变条件为。

6. 给出如下对易关系:7. 一个电子运动的旋量波函数为,则表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式为,表示电子自旋向下的几率的表达式为。

8. 一维谐振子升、降算符的对易关系式为;粒子数算符与的关系是;哈密顿量用或表示的式子是;(亦即)的归一化本征态为。

三、证明题(每小题8分,共16分)9. 设力学量不显含时间,证明在束缚定态下,。

证:设束缚定态为,即有,,。

因不显含时间,所以,因而。

10. 已知、分别为电子的轨道角动量和自旋角动量,为电子的总角动量。

的共同本征态为。

证明是的本征态,并就和两种情况分别求出其相应的本征值。

解:四、计算题11. 一维运动中,哈密顿量,求(8分)解:,。

12. 一个质量为的粒子在势作用下作一维运动。

假定它处在的能量本征态,①求粒子的平均位置;②求粒子的平均动量;③求;④求粒子的动量在间的几率。

(12分)解:①。

②。

③由S.eq:,(1)而,(2)注意到,(3)将式(2)、(3)代入(1),可解得。

(4)④,——波函数的动量表象(5)粒子的动量在间的几率为(6)13. 一质量为的粒子在一维势箱中运动,其量子态为①该量子态是否为能量算符的本征态?②对该系统进行能量测量,其可能的结果及其所对应的概率为何?③处于该量子态粒子能量的平均值为多少?(12分)解:①在此一维势箱中运动的粒子,其波函数和能量表达式为对波函数的分析可知即粒子处在和的叠加态,该量子态不是能量算符的本征态。

河西学院量子力学试题及答案 2

河西学院量子力学试题及答案 2

第1页 共2页河西学院2011—2012学年第二学期期末考试试卷一、选择题1.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为( ,2,1,0=n )A.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 2.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 3.几率流密度矢量的表达式为A. J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ B. J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C. J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.4.质量流密度矢量的表达式为A. J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ. B. J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C. J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ. D. J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.5. 电流密度矢量的表达式为A. J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C. J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 6.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.7.在一维无限深势阱中运动的粒子,其体系的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.8.线性谐振子的能级为 A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012 ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω. 9.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 10.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E .B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 11.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ. B.-μ22222e n s . C.242ne s μ -. D. -μe n s 4222 . 12.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2.B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.13. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FG GF ( )-必为厄密算符. 14.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.15.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.16.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π 17.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 18.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小. 19一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的.专业:物理学课程:量子力学第2页 共2页C.奏力场特有的.D.普遍具有的.20.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .二、填空题1. 对易关系[, ]x px 等于 2. 对易关系[, ]L zy 等于 3. 对易关系[, ]x p y 等于 4. 对易关系[ , ]LL xz等于 5. 对易关系[ , ]L L x2等于 6. 对易关系[, ]L p x y 等于 7. 对易关系[ , ]Lp zy等于 8. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数)三、计算题1.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是2.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是3.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为。

量子力学期末试题及答案

量子力学期末试题及答案

(11)
⎛−i⎞
1⎜ ⎟
ψ1
=
2
⎜ ⎜

2 ⎟;
i
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1
⎜⎟ ⎜ 0 ⎟;
2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎛i⎞
1⎜ ⎟
ψ3
=
2
⎜ ⎜

2⎟

i
⎟ ⎠
(12)
Lˆ x 满足的本征方程为
相应的久期方程为 将其化为
ℏ 2
⎛ ⎜
⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0 ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎛ c1 ⎞
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
c2
c1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
c1
⎞ ⎟
0 − i⎟ ⎜ c2 ⎟ = λ ⎜ c2 ⎟
i
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
iℏ
−λ −
0
2
iℏ
−λ
− iℏ = 0
2
2
0
iℏ
−λ
2
(8) (9)
λ3 − ℏ 2λ = 0
(10)
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程,得到相应的本征矢为
Wˆ ψ 0
显然,求和号中不为零的矩阵元只有
ψ 0 Wˆ ψ 23
= ψ 23 Wˆ ψ 0
λ =−
2α 2
于是得到基态能量的二级修正为
E0(2)
=
E00
1 − E20
λ2 4α 4
λ2ℏ =−
8µ 2ω 3

0607量子力学试卷解答(b)

0607量子力学试卷解答(b)

200
学院
学号_______________姓名_____________
题号



四五总分来自得分阅卷人一.完成下列填空题(共50分):
1.(6分)设一粒子在球面上运动,它处于状态 。则在 区间中测得粒子的概率 ;在( )区间中测得粒子的概率为 。
2.(5分)一维x势,写出x=0处波函数及其导数的连接条件: , 。
解:自旋为 时,为反对称态,有3个:
, ,
自旋为 时,反对称态,有6个:
(1)(2),(1)(2),(1)(2);

空间部分态为反对称态时,自旋为对称三重态:
故简并度=4。
三.(10分)证明:Hermite(厄米)算符的本征值为实数。
证明:设 为厄米算符F的属于不同本征值 的本征函数,于是:
,取共轭:
于是: (1)
另一方面,注意F是厄米算符:
(2)
比较,即得: //
四.(分)证明: ,式中x为描写电子自旋的泡利矩阵。
3.(5分)放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来,可以解释此现象的量子效应是势垒穿透效应。
4.(5分)费米黄金规则(Gold rule)公式为 ;其中各项意义解释为Wtot为总跃迁率, 为从初态|i>到末态|f>的微扰矩阵元,i为初态附近的能量密度。
5.(9分)一维谐振子 ,能量、动量和宇称三个量中,守恒的是:能量和宇称,理由是 , ;不守恒的是动量,理由是 ;能量和动量是否能同时测得确定值?不能(因为 )。
6.(20分)自由粒子t=0处于状态 ,写出t时刻粒子的状态 = , 粒子不是(填:是/否)处于定态;动量测值/概率分别为: ,动量平均值0;能量测值/概率分别为: ,能量平均值 。

量子力学期末考试题库含答案22套

量子力学期末考试题库含答案22套

量子力学期末考试题库含答案22套量子力学自测题(1)一、简答与证明:(共25分)1、什么是德布罗意波?并写出德布罗意波的表达式。

(4分)2、什么样的状态是定态,其性质是什么?(6分)3、全同费米子的波函数有什么特点?并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

(4分)4、证明)??(22x x p x x p i -是厄密算符(5分) 5、简述测不准关系的主要内容,并写出坐标x 和动量x p之间的测不准关系。

(6分)二、(15分)已知厄密算符B A ?,?,满足1??22==B A,且0=+A B B A ,求 1、在A 表象中算符A、B ?的矩阵表示; 2、在B 表象中算符A的本征值和本征函数; 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

三、(15分)设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ,求1、0=t 时氢原子的E 、2L和z L ?的取值几率和平均值;2、0>t 时体系的波函数,并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。

四、(15分)考虑一个三维状态空间的问题,在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出+????? ??-=C C C H000000200030001? 这里,H H H'+=)0(,C 是一个常数,1<<="">五、(10分)令y x iS S S +=+,y x iS S S -=-,分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态???? ??=+0121和=-1021的结果,并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么?量子力学自测题(1)参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波;其表达式:)(Et r p i Ae -?=ρρηψ2、定态:定态是能量取确定值的状态。

量子力学试题含答案

量子力学试题含答案

一、填空题:(每题 4 分,共 40 分)1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2.德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系,其表达式为:E=h ν, p=/h λ 。

3.根据波函数的统计解释,dx t x 2),(ψ的物理意义为:粒子在x —dx 范围内的几率 。

4.量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5.坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为:[],x p i = 。

6.量子力学关于测量的假设认为:当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时,测量某力学量F 所得的数值,必定是算符Fˆ的 本征值 。

7.定态波函数的形式为: t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8.一个力学量A 为守恒量的条件是:A 不显含时间,且与哈密顿算符对易 。

9.根据全同性原理,全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性,费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10.每个电子具有自旋角动量S ,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为: 2± 。

二、证明题:(每题10分,共20分)1、(10分)利用坐标和动量算符的对易关系,证明轨道角动量算符的对易关系:证明:zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、(10分)由Schr ödinger 方程证明几率守恒:其中几率密度 几率流密度 证明:考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式:2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分,则有:三、计算题:(共40分)1、(10分)设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

南昌大学大三物理专业量子力学试卷及答案

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南昌大学20XX —20XX 学年度第2学期期终考试卷量子力学 试题 物理 学院 应用物理、电子科技 专业2001级( 答案及评分标准 )一、 简答题(每小题5分,共40分)1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=,写出粒子位于dx x x +~间的几率。

解: ⎰⎰+∞∞-+∞∞-2)(r dz dy dxψ。

2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动,波函数为)(x ψ,写出)(x ψ'的跃变条件。

解: )0(2)0()0(2ψγψψm -='-'-+。

3. 量子力学中,体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开:∑=nn n x c x )()(ψψ,写出展开式系数n c 的表达式。

解: ()dx x x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。

4. 给出如下对易关系:[][][]?,?,?,===z xy z L Lp x p z[][]?,?,2==y zx s s σσ解: [][][]y z xyz L i L Lp x i p z-===,0,,[][]x y zx i s sσσσ2,0,2-==5. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ,写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式,以及表示电子自旋向下的几率的表达式。

解: ()()r d r r 3222,,2,⎰-ψψ6. 何谓几率流密度?写出几率流密度),(t r j的表达式。

解:单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。

()**2),(ψψψψ∇-∇-=mi t r j7. 散射问题中,高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理?解:高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理;低能粒子散射宜采用分波法处理。

8. 一维运动中,哈密顿量)(22x V mp H +=,求[][]?,?,==H p H x解:[][])(,,,x V dxdi H p mpi H x-==二、计算题(共60分。

武汉理工大学量子力学历年试卷

武汉理工大学量子力学历年试卷

武汉理工大学考试试题纸( A 卷)课程名称《量子力学》 专业班级光信科0701-03一、填空题。

(8×3’=24’)1、Born 给波函数的统计诠释,认为量子力学中波函数所描述的,不是经典波那样代表什么实在物理量的波动,而是 。

2、根据波函数的统计要求,波函数要求 、 、 。

3、一般情况下薛定諤方程为: ,定态薛定諤方为: , 从数学的角度看,从一般情况下薛定諤方程变化到定态薛定諤方程的条件是薛定諤方程可以采用 方法求解。

4、中心力场中粒子能级的简并度最低为 ,三维各向同性谐振子的能级简并度为 ,其中 。

(写出量子数之间的关系式)5、=102Y l , 11Y l z = 。

6、设波函数,求=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ22)(dx d x x dx d 。

7、全同玻色子体系波函数特点是 ,全同费米子体系波函数特点是 。

8、=],[x p x ,=],[z p y 。

二、选择题。

(5×3’=15’)1、关于全同性原理,下列哪种说法正确? ( )A )、所有的微观粒子都是全同的;B)、所有的微观粒子都是不可分辨的; C)、全同粒子组成的体系,交换其中任何两个粒子不改变体系的物理量; D)、以上说法没有正确的;2、下列哪个函数不是22dxd 的本征函数,请指出来。

( )A )x sin B)2x C) x x sin cos + D)xe3、关于两个算符之间的对易关系,下列哪种说法正确? ( )A)、如果它们有共同的本征函数φn ,且φn 组成完备系,则它们对易,反之亦然; B)、只要这两个算符都是厄密算符,它们就对易,反之亦然;C)、只要这两个算符在经典物理中有相应得力学量,它们就对易,反之亦然;D)、以上三种说法的根本错误在于没弄清楚算符的基本意义。

4、设A 为对应力学量A 的算符,其本征值为一系列分立值k a 。

现在对量子态()x ψ的大量复制品进行了关于A 的重复测量,所得A 的实测值: ( )A ) 必为分立的; B) 不一定是分立的。

量子力学考试试题

量子力学考试试题

郑州轻工业学院2008—2009学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷A卷一、简答题(每小题8分,共32分)1.态叠加原理2.波函数的统计解释及波函数的标准条件3. 全同性原理和泡利不相容原理4. 量子力学五个基本假设是什么?二、计算题(共68分)1. 假设一平面转子角速度为ω,转动惯量为I ,试用波尔-索莫非条件求其能量可能值 (8分)2. 证明对易关系(8分)3. 设氢原子处于归一化状态 211021111(,,)()(,)()(,)22r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=-ˆˆˆ[,]x L y i z=求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

(15分)4. 二元矩阵A ,B 满足20,1,A AA A A B A A +++=+==, (1)证明2B B =(2)在B 表象中求出A 的矩阵 (共15分)5.在某一选定的一组正交基下哈米顿算符由下列矩阵给出(1)设c << 1,应用微扰论求H 本征值到二级近似; (2)求H 的精确本征值;(3)在怎样条件下,上面二结果一致。

(共22分)郑州轻工业学院2008—2009学年度 第二学期《量子力学》课程期末试卷B 卷一、简答题(每小题8分,共32分)1. 德布罗意关系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c c cH2.波函数的统计解释及波函数的标准条件3. 全同性原理和泡利不相容原理4. 试描述史特恩-盖拉赫实验二、计算题(共68分)1.证明:如果算符ˆA和ˆB均是厄米算符,则(ˆˆ)也是厄米算符A B(8分)2. 试求算符ˆixd Fie dx=-的本征函数 (8分)3. 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动,已知粒子的波函数为求粒子能量取值的几率分布与其平均值。

(14分)24()cosx x x aaππψ=4. 有一粒子,其 Hamilton 量的矩阵形式为:H = H 0 + H ’,其中求能级的一级近似和波函数的0级近似。

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题(每题3分共36分)1.黑体辐射中的紫外灾难表明:CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B. 黑体在紫外线部分不辐射能量;C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2.关于波函数Ψ的含义,正确的是:BA。

Ψ代表微观粒子的几率密度;B. Ψ归一化后,代表微观粒子出现的几率密度;C. Ψ一定是实数;D。

Ψ一定不连续.3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释是:DA. 偏振光子的一部分通过偏振片;B。

偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的;D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4.对于一维的薛定谔方程,如果Ψ是该方程的一个解,则:A A. 一定也是该方程的一个解;B。

一定不是该方程的解;C。

Ψ与一定等价;D。

无任何结论。

5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:C A。

粒子在势垒中有确定的轨迹;B。

粒子在势垒中有负的动能;C.粒子以一定的几率穿过势垒;D粒子不能穿过势垒。

6.如果以表示角动量算符,则对易运算为:BA。

ihB。

ihC。

iD.h7.如果算符、对易,且=A,则:BA. 一定不是的本征态;B. 一定是的本征态;C。

一定是的本征态;D。

∣Ψ∣一定是的本征态。

8.如果一个力学量与对易,则意味着:CA。

一定处于其本征态;B.一定不处于本征态;C。

一定守恒;D.其本征值出现的几率会变化。

9.与空间平移对称性相对应的是:BA。

能量守恒;B。

动量守恒;C。

角动量守恒;D.宇称守恒。

10.如果已知氢原子的n=2能级的能量值为—3。

4ev,则n=5能级能量为:DA。

-1。

51ev;B.—0。

85ev;C。

-0。

378ev;D. -0.544ev11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为,且l=N—2n,则在一确定的能量(N+)h下,简并度为:B A。

;B. ;C。

N(N+1);D.(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数是什么性质:CA。

量子力学练习题

量子力学练习题

量子力学练习题随着科学技术的不断进步,量子力学作为近代物理学的基石,在我们生活中扮演着越来越重要的角色。

量子力学的概念和理论模型不仅用于解释微观世界的现象,还应用于信息处理、材料科学等领域。

为了加深对量子力学的理解,本文将为读者提供一些量子力学练习题,请认真思考并尽力解答。

题目一:平面上的单粒子态考虑一个二维平面上的单粒子,其波函数为Ψ(x, y)。

假设该波函数可以展开为以下形式:Ψ(x, y) = A(xe^(-λx) + ye^(-λy))其中,A和λ均为实常数。

1. 请计算波函数Ψ(x, y)的归一化常数A。

2. 求解波函数Ψ(x, y)对应的概率密度函数|Ψ(x, y)|^2。

3. 计算算符x和y对该波函数的期望值<x>和<y>。

题目二:自旋1/2粒子的测量考虑一个自旋1/2粒子,其自旋算符的本征态为|+⟩和|-⟩,对应自旋向上和向下的状态。

现在进行如下测量:1. 如果对该粒子的自旋以z方向为测量方向,求测量得到自旋向上状态的概率。

2. 假设在z方向上测量得到自旋向上状态后,立即进行对z方向自旋的再次测量,求再次测量得到自旋向上状态的概率。

3. 如果对该粒子的自旋以任意方向为测量方向,求测量得到自旋向上状态的概率。

题目三:简谐振子的能量本征态考虑一个一维简谐振子,其能量本征态可由波函数Ψ_n(x)表示,n 为非负整数。

波函数Ψ_n(x)的表达式为:Ψ_n(x) = N_n H_n(x) e^(-x^2/2)其中,N_n为归一化常数,H_n(x)为Hermite多项式。

1. 请计算波函数Ψ_0(x)的归一化常数N_0。

2. 求解波函数Ψ_1(x)对应的薛定谔方程解,并给出其归一化常数N_1。

3. 计算简谐振子的能量本征值E_n,其中n = 0, 1, 2。

题目四:双缝干涉实验考虑一个双缝干涉实验,光源发射频率为f,波速为v。

光通过双缝后形成干涉条纹,条纹之间的间距为d。

2021年理论物理专业研究生入学考试《量子力学》试题(试卷二)

2021年理论物理专业研究生入学考试《量子力学》试题(试卷二)

2021年理论物理专业 研究生入学考试《量子力学》试题(试卷二)一、(10分)。

设粒子(能量E>0)由左入射,碰到势场⎩⎨⎧<->=0)(0x V x x V ,其中V 0>0,求粒子在势壁x=0处的透射系数。

二、每题10分,共计30分。

1.假定矢量算符A ˆ和B ˆ都与Pauli 算符σˆ对易,试证明:)ˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(B A i B A B A ⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ;2.试证明轨道角动量算符l ˆ和动量算符pˆ满足关系: pi l p p l ˆ2ˆˆˆˆ =⨯+⨯;3.假定有两个电子,自旋态分别是:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01α;⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-)2/()2/(2/2/θθβϕϕSin e Cos e i i ;试证明由这两个电子组成的体系处于自旋单态和三重态时的几率分别是:)21(2120θCos W S -==和)21(2121θCos W S +==;三、选择题(每题5分,共6题,共计30分。

说明:每题有一个或多个选项是正确的,请给出所有正确的选项)。

1.表明电子有自旋的现象有。

(a)、塞曼效应;(b)、光谱的精细结构;(c)、斯特恩-革拉赫实验;(d)、戴维孙-革末实验;(e)、康普顿散射;2.对于在辏力场中运动的粒子,守恒量有。

(a)、动量;(b)、能量;(c)、角动量;(d)、角动量的平方;(e)、宇称;3.在不同表象中,不变的量有。

(a)、力学量的表示;(b)、体系的状态;(c)、力学量的本征值;(d)、两个波函数的内积;(e)、力学量的平均值;4.下列说法正确的有 。

(a)、若两个厄米算符有共同的本征态,则它们必定彼此对易。

(b)、若两个厄米算符不对易,则它们一定没有共同的本征态。

(c)、若两个厄米算符对易,则它们在所有态下都同时具有确定的值。

(d)、若两个厄米算符在某个态下不能同时取确定的值,则它们必定对易。

(e)、若两个厄米算符对易,它们必具有共同的本征函数系,并且任意一个量子态都可以用它们的本征函数作线性展开。

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题(每题3分共36分)1.黑体辐射中的紫外灾难表明:CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B. 黑体在紫外线部分不辐射能量;C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2.关于波函数Ψ 的含义,正确的是:B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度;B. Ψ归一化后,ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度;C. Ψ一定是实数;D. Ψ一定不连续。

3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释是:D A. 偏振光子的一部分通过偏振片;B.偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的;D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4.对于一维的薛定谔方程,如果 Ψ是该方程的一个解,则:AA. *ψ 一定也是该方程的一个解;B. *ψ一定不是该方程的解;C. Ψ 与*ψ 一定等价;D.无任何结论。

5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹; B.粒子在势垒中有负的动能; C.粒子以一定的几率穿过势垒; D 粒子不能穿过势垒。

6.如果以∧l 表示角动量算符,则对易运算],[y x l l 为:BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7.如果算符∧A 、∧B 对易,且∧A ψ=Aψ,则:BA. ψ 一定不是∧B 的本征态;B. ψ一定是 ∧B 的本征态;C.*ψ一定是∧B 的本征态;D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。

8.如果一个力学量 ∧A 与H∧对易,则意味着∧A :C A. 一定处于其本征态; B.一定不处于本征态; C.一定守恒;D.其本征值出现的几率会变化。

9.与空间平移对称性相对应的是:B A. 能量守恒; B.动量守恒; C.角动量守恒; D.宇称守恒。

10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ,则 n=5能级能量为:D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ,且 l=N-2n ,则在一确定的能量 (N+23)h ω下,简并度为:BA. )1(21+N N ; B. )2)(1(21++N N ;C.N(N+1);D.(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质:CA. 自旋单态;B.自旋反对称态;C.自旋三态;D. z σ本征值为1.二 填空题(每题4分共24分)1.如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:———————————,光的波长为———— ————————。

量子力学试题

量子力学试题

中国海洋大学命题专用纸(首页)2005-2006学年第 2 学期试题名称:量子力学(A卷)共 2 页第 1 页中国海洋大学命题专用纸(附页)中国海洋大学命题专用纸(首页)2005-2006学年第 2 学期试题名称:量子力学(B卷)共 2 页第 1 页中国海洋大学命题专用纸(附页)中国海洋大学命题专用纸(首页)06-07学年第 2 学期试题名称:量子力学(A卷) 共 2 页第 1 页1)写出在t >0时刻的波函数;(2)在t >0时刻振子能量的可能测值及其相应的概率是多少?能量平均值是多少?11. 设()θϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin =n 是(ϕθ,)方向的单位矢量,则n ⋅σ是自旋σ在该方向的分量,z y x σσσ,,是它的三个特例。

(1)写出n ⋅σ在z σ表象中的矩阵表示;(2)求n⋅σ的本征态。

12.有一个电子受到沿x 方向的均匀磁场的作用,不考虑轨道运动,Hamilton 量表为x mceB H σ2=,设t =0时电子自旋向上(2/ +=z s ), (1)由Schrodinger 方程求出t 时刻的自旋波函数;(2)t 时刻电子自旋是否一定向上?自旋向上的概率是多少? 13.把传导电子限制在金属内部的是金属内的一种平均势,对于下列一维模型(如图):⎩⎨⎧><-=0,00,)(0x x V x V 试计算接近金属表面的传导电子(能量E >0)的反射率。

学年第 2 学期试题名称:量子力学(B卷) 共 2 页第 1 页中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷ψ连续否?其一阶导数'(xr t的结构。

,)的测值如何?中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷 信息科学与工程 学院《量子力学》课程试题(B 卷) 共 2 页 第 1 页时刻氢原子的波函数、平均能量、能量为)r 为定态波函数,其对应的能量为分别为电子的轨道角动量和自旋角动量,的共同本征态为φ两种情况分别求出其相应的本征值。

11-12学年度量子力学试题AA

11-12学年度量子力学试题AA

湖北文理学院2011—2012学年度下学期物理系物理学专业《量子力学》期末考试试卷课程类别:专业课 适用专业: 09物理学 试卷编号:A系 别 专业 学号 姓名一、填空题(每空1分,共20分。

)1、,德布罗意关系表达为__________、__________,它反映了微观粒子的__________性。

2、波函数必须满足的条件是 、有限、 。

3、在坐标表象中,=x ˆ ,=p ˆ ,用δ符号表示的对易关系为_______________。

4、表示力学量的算符是_____________算符,力学量算符的本征函数具有 、完备性、 性,本征函数系构成希尔伯特空间的一组完备的基矢组,任一量子态被视为该空间的一个________。

;5、定态薛定谔方程表示成_______________,它也是能量算符的本征方程。

6、电子自旋也称为电子的______角动量,其本征值在任何方向上均取____个值。

7、自旋为2的奇数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是反对称的,这类粒子称为 。

8、玻尔 索末菲理论应用于氢原子,只能求出谱线的频率,而不能求出谱线的 。

9、设粒子处于态2021103121cY Y Y ++=ψ,ψ为归一化波函数,lm Y 为球谐函数,则系数c 的取值为 ,的可能值为 。

10、处于独态的氦称为 。

二、选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个或几个正确答案,并将其代号写在题干前面的括号内,答案选错或未选全者,该题不得分。

每小题2分,共6分。

)1、泡利不相容原理说:[ ]A、自旋为整数和半整数的粒子不能处于同一态中。

B、自旋为整数的粒子不能处于同一态中。

C、自旋为整数的粒子能处于同一态中。

D、自旋为半整数的粒子能处于同一态中。

E、自旋为半整数的粒子不能处于同一态中。

2、康普顿效应指出:[ ]A、电子可以穿透原子核。

B、X射线可以与电子相互作用。

C、中子的净电荷为零。

D、氢离子是一个质子。

E、质子有自旋磁矩。

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A) 选择题(每题3分共36分)1.黑体辐射中的紫外灾难表明:CA、黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B、黑体在紫外线部分不辐射能量;C、经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D、黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2.关于波函数Ψ的含义,正确的就是:BA、Ψ代表微观粒子的几率密度;B、Ψ归一化后,ψψ*代表微观粒子出现的几率密度;C、Ψ一定就是实数;D、Ψ一定不连续。

3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释就是:DA、偏振光子的一部分通过偏振片;B、偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C、偏振光子通过偏振片的几率就是不可知的;D、每个光子以一定的几率通过偏振片。

4.对于一维的薛定谔方程,如果Ψ就是该方程的一个解,则:AA、*ψ一定也就是该方程的一个解;B、*ψ一定不就是该方程的解;C、Ψ与*ψ一定等价;D、无任何结论。

5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的就是:CA、粒子在势垒中有确定的轨迹;B、粒子在势垒中有负的动能;C、粒子以一定的几率穿过势垒;D粒子不能穿过势垒。

6.如果以∧l表示角动量算符,则对易运算],[yxll为:BA、ih∧z lB 、 ih ∧zlC 、i∧x l D 、h∧xl7.如果算符∧A 、∧B 对易,且∧A ψ=Aψ,则:BA 、ψ 一定不就是∧B 的本征态; B 、ψ一定就是 ∧B 的本征态;C 、*ψ一定就是∧B 的本征态;D 、 ∣Ψ∣一定就是∧B 的本征态。

8.如果一个力学量∧A 与H∧对易,则意味着∧A :CA 、 一定处于其本征态;B 、一定不处于本征态;C 、一定守恒;D 、其本征值出现的几率会变化。

9.与空间平移对称性相对应的就是:B A 、 能量守恒; B 、动量守恒; C 、角动量守恒; D 、宇称守恒。

10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3、4ev,则 n=5能级能量为:D A 、 -1、51ev; B 、-0、85ev; C 、-0、378ev; D 、 -0、544ev11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ,且 l=N-2n,则在一确定的能量 (N+23)h ω下,简并度为:BA 、)1(21+N N ;B 、)2)(1(21++N N ;C 、N(N+1);D 、(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 就是什么性质:CA 、 自旋单态;B 、自旋反对称态;C 、自旋三态;D 、z σ本征值为1、二 填空题(每题4分共24分)1.如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:———————————,光的波长为———— ————————。

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题:1、波函数的标准条件:单值、连续性、有限性;2、|Ψr,t|^2的物理意义:t时刻粒子出现在r处的概率密度;3、一个量的本征值对应多个本征态,这样的态称为简并;4、两个力学量对应的算符对易,它们具有共同的确定值;二、简答题:1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的;答:力学量的观测值应为实数,力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值,量子力学中,可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符;量子力学中还必须满足态叠加原理,而要满足态叠加原理,算符必须是线性算符;综上所述,在量子力学中,能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符;2、一个量子态分为本征态和非本征态,这种说法确切吗答:不确切;针对某个特定的力学量,对应算符为A,它的本征态对另一个力学量对应算符为B就不是它的本征态,它们有各自的本征值,只有两个算符彼此对易,它们才有共同的本征态;3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素答:某一单色光辐射的话可能吸收,也可能受激跃迁;谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度;谱线强度取决于始末态的能量差;三、证明题;2、证明概率流密度J 不显含时间;四、计算题;1、 第二题: 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正;解:这种分布只对0r r <的区域有影响,对0r r ≥的区域无影响;据题意知 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布,即)(r U 为考虑这种效应后的势能分布,在0r r ≥区域,在0r r <区域,)(r U 可由下式得出,由于0r 很小,所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ,可视为一种微扰,由它引起 一级修正为基态03(0)1/210030()Zr a Z e a ψπ-= ∵0a r <<,故102≈-r a Z e; ∴ ⎰⎰+--=00030024042203030024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E πεπε第三题其相应的久期方程:即: 由归一化条件得: 0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγλ 0422=- λ1cos 1cos cos 222=+++a i a γβα。

武汉理工大学量子力学试卷及答案

武汉理工大学量子力学试卷及答案

ˆz L (B )ˆy i L (C )、如果原子本身处于激发态,在没有外界光照时,也可能跃迁到某些较低能级而放出光来,(B )自发和受激吸收(C )光的吸收、电子气的按能量分布的态密度与能级关系正确的是((B )正比于(C )反比于)r ,一般要求波函数满足三个条件即 ;(、根据态叠加原理的要求,表示力学量的算符必须是 是可观测量,应为实数,表示力学量的算符必须是 量对易的不显含时间的力学量,称为守恒量,其时,有ˆˆi x p μωμω+⎪⎪⎭和ˆˆi a x p μωμω-⎪⎪⎭,对于一维谐振子,证明:1=- (2),a a a +⎡⎤⎣⎦,a a a a +++⎤=⎦(3)ˆH ω、2题各15分,第3、,要求有具体计算步骤)设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用:4x x ππn σ的本征态,已知下,求n σ的可能测值及相应的几率。

的矩阵为: (0)1(0)b a E ⎤⎥<⎥⎥⎦、设质量为μ的带电粒子在相互垂直的均匀电场和磁场中运动,设电场沿(0,,0E ε=(0,0,B B =(,0,0A By =-(1)写出运动粒子的哈密顿算符(2)证明:为守恒量,写出它们的本征值和本征函数 (3)写出守恒量完全集 (10试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称—量子力学—— ( A 卷) | 一、选择题(每题3分,共15分) 装 1.B 2.C 3. A 4.D 5.B | 二、填空题 (每空2分,共20分)1. 单值的,平方可积的2. 线性算符,厄米算符3. 平均值 几率分布4. 4 200ψ,211ψ,210ψ,211ψ-5. 平均场 积三、 证明题(共15分)证明:(1)[][]1ˆˆˆˆ,,21111ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,2222ˆˆˆˆ,,122i ia a x p x p i i i ix x x p p x p p i i x p p x μωμωμωμωμωμωμωμωμωμωμωμω+⎡⎤⎫⎛⎫⎡⎤=-+⎥⎪ ⎪⎣⎦⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎤=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-=- 其中利益[]ˆˆ,xp i = (6分) (2)[],,,a a a a a a a a a a +++⎡⎤⎡⎤=+=-⎣⎦⎣⎦ ,,,a a a a a a a a a a +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4分) (3)可以求得:()ˆxa a μω+=+ ()ˆpa a μω+=-系统Hamilton 为 ()()()()22222ˆ1111ˆˆ2222211121222p H x a a a a a a aa a a a a μωωμωωω++++++⎡⎤=+=--++⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭ (5分)四 计算题(第1、2题各15分,第3、4题各10分,要求有具体计算步骤)1、解:(1)一维无限深势阱的本征态波函数是()n n xx aπψ=(2分) 利用三角函数积化和、差,将()x ψ改写 ()2cos x x xa a ππψ=21cos x x a a ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦22sin 2sin cos x x xa a a πππ⎤=+⎥⎦3sin sin xx a a ππ⎤=+⎥⎦3x x a a ππ⎤=+⎥⎦()()13x x ψψ=+⎤⎦ (4分)()x ψ是非本征态,它可以有二种本征态,部分处在()1xx aπψ=出现几率为12,能量为22122E ma π=部分处在()33xx aπψ=,出现几率为12,能量为223292E ma π= (2分) (2)处于这种状态下粒子的能量平均值22132115222E E E maπ=+= (3分) (3)粒子随时间变化的波函数为()2222922123,sin2n i i iE tt t ma ma nnx x x t C ee e a a ππππψψ---⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎭∑ (4分) 2、解:(1)在z σ表象中,0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭ 00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭(3分) cos sin sin cos i x x y y z z i e n n n n eϕϕθθσσσσθθ-⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭,其本征方程为cos sin cos sin 0sin cos sin cos i i i i a a a e e b b b e eϕϕϕϕθθθλθλθθθθλ--⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭有非零解的条件为cos sin 01sin cos i i e eϕϕθλθλθθλ--=⇒=±-- (4分)当1λ=时,对应的本征态为()()1cos /2sin /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 当1λ=-时,对应的本征态为()()2sin /2cos /2i e ϕθψθ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭(2分) (2)在ˆz s本征态1/2χ下,n σ的可能测值为1± 故n σ的可能测值为1+的几率为()()()()22211/21cos /2,sin /2cos /20i e ϕψχθθθ⎛⎫== ⎪⎝⎭(3分)故n σ的可能测值为1-的几率为()()()()22221/21sin /2,cos /2sin /20i e ϕψχθθθ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(3分)3、解:微扰算符的的矩阵是'''111213'''212223'''31323300'000H H H b H H H H a H H H ba **⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (1) 根据无简并微扰论,一级能量修正量是: kk H从(1)中看出,对角位置的矩阵元全是零,因此一级修正量0)0(3)0(2)0(1===E E E (2分)又二级能量公式是: 2'(2)(0)(0)nkknk nn kH E E E ≠=-∑(2分)所需的矩阵元'nk H 已经直接由式(1)表示出,毋需再加计算,因而有:2222'''12131(2)1(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1121313n nnH H H b E EEEEEEEE ==+=----∑(2分)2222'''21232(2)2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2312123n nnH H H aE EE E E E E E E ==+=----∑ (2分)22222'''32313(2)3(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)332313132n nnH H H baE E E E E E E E E E E ==+=+-----∑(2分)4.解:(1)利用21ˆˆ2q H P A q c φμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得系统的哈密顿量为 222222211ˆˆˆˆˆ221ˆˆˆ2x x y y zz x y z q q q q H P A q P A P A P A q y c c c c q P By P P q yc φεμμεμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(4分)(2)证明:2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222x x y z x x x y x z x x q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222z x y z z x z y z z z z q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ˆx P 的本征函数为()/x x ip x P x e ψπ=,本征值为x p -∞<<∞ ˆz P 的本征函数为()/z zip z P x e ψπ=,本征值为z p -∞<<∞ (4分) (3)选守恒量完全集为()ˆˆˆ,,x zH P P (2分)。

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一、判断题(共10分,每题2分)
1.对于定态而言,几率密度ω不随时间变化。

( ) 2.若0]ˆ
,ˆ[=G F ,则在其共同本征态上,力学量F 和G 必同时具有确定值。

( ) 3.所有的波函数都可以按下列式子进行归一化:
1
|),(|2=ψ⎰∞
τd t r 。

( )
4.在辏力场中运动的粒子,其角动量必守恒。

( ) ( )
二、填充题(共10分,每题2分)
1.根据波函数的统计解释,波函数在空间中某一点的强度和 成比例。

2.厄密算符在其自身表象中是一个 矩阵,且 为相应的本征值。

3.第一玻尔轨道半径=0a 。

4.在非简并定态微扰的情况下,微扰的引入使能级发生 ,在简并定态微扰的情况下,微扰的引入使能级发生 。

5.能量为100电子伏特的自由电子的德布罗意波长为 0
A 。

试说明算符F
ˆ和它所表示的力学量F 之间的关系。

四、证明题(共24分,每题8分)
1.若厄密算符F
ˆ和G ˆ相互对易,且F ˆ、G ˆ的本征值是非简并的,试证这两个算符有组成完全系的共同本征函数。

2.已知体系的哈密顿算符)(2ˆˆ2x u p H x +=μ,试证:
μ2
]],ˆ[,[ =x H x 。

3.试证算符x dx d i F +-= ˆ的本征函数为)2
(2
)(x x i Ae x -=λψ ,其中A 为常数,λ为相应的
本征值。

五、计算题(共48分,每题 12分)
1.粒子在一维无限深势阱
中运动,求其定态能量和定态波函数。

2.一约束在平面上沿一定半径绕z 轴(垂直平面)转动的平面转子(转动惯量为I )处于
ϕ2sin A =Φ态中,试确定在此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几率,并求平均
值。

3.设哈密顿量在能量表象中的矩阵形式为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a E b b a E H 0
201, 其中a 、b 为小的实数,且0201
E E >,求 (1)用微扰公式求能量至二级修正; (2)直接求能量,并和(1)所得结果比较。

[提示:当c << 1时,
21122
c c +
≈+]
4.考虑由三个玻色子组成的全同粒子体系,限定单粒子状态只能是i ψ、j ψ和k ψ,试写出体系的所有可能状态波函数。

《量子力学》试卷答案二
一、判断题 每小题2分,共10分。

(在每小题后的括号内对的打“√”,错的打“×”) 1.√
2.√
3.×
4.√
5.×
二、填空题 每小题2分,共10分 1.在该点找到粒子的几率 2.对角,其对角元
3.2
2
s e μ (或0.50A )
4.移动,分裂 5.1.2250
A
三、说明题 每小题8分,共8分
①若体系处在F
ˆ的本征态n φ中,测量力学量F ,有确定值,即F ˆ在n φ态中的本征值n λ(n n n F φλφ=ˆ
); (4分)
②若体系处在任意态)(x ψ中,测量力学量F ,有好多种可能值,每次测得的结果不能预先
确定,但只能是F
ˆ的本征值中的一个,而且测得结果为n λ的几率为2||n C 。

[∑=n n
n C x φψ)(,波函数已归一化] (4分) 四、证明题 每小题8分,共24分
1.
设n n n F φλφ=ˆ

∵0]ˆ
,ˆ[=G F ,
∴n n n n G F G G F φλφφˆˆˆˆ
ˆ==, (4分)
∵n λ不简并,∴n G φˆ
与n φ最多只能相差一个常数因子,
∴n n n G φμφ=ˆ
, (2分) ∴n φ也是G
ˆ的本征函数,而n φ是厄密算符F ˆ的本征函数系,
∴n φ组成完全系。

(2分) 2.
]),([],2ˆ[2x x u x p
x +=μ (3分)
x p
i ˆμ
-
=, (3分)

]ˆ,[]ˆ,[]],ˆ[,[x x p x i p i x x H
x μ
μ -=-=
μ2
=。

(2分)
3.
设F
ˆ的本征函数为)(x ψ,相应的本征值为λ,则 )()()ˆ(x x x P λψψ=+ (4分) )
()(x x dx d i ψλψ-=- ,dx x i d )(-=λψψ ,
∴)2
(2
)(x x i Ae
x -=λψ , (4分)
对所有的实数值λ,)(x ψ均满足标准条件。

五、计算题 每小题12分,共48分
1.
0=I ψ,x < 0;
0=III ψ,x > a ;
II II E dx d ψψμ=-2222 ,a x ≤≤0; (4分)

222 E
k μ=
,则kx B kx A II sin cos +=ψ,
∵0||00====x I x II ψψ,∴A = 0,kx B II sin =ψ,
0||====a x III a x II ψψ,0sin =ka B ,
∵0≠B ,∴0sin =ka ,
a n k π
=
,n = 1,2,… (3分)
由归一化条件
1
||0
2
=⎰a
II
dx ψ
,求得
a B 2
=
, (2分)
∴所求的定态能量和定态波函数为
22
222a n E n μπ =
,n = 1,2,…
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤><=a x x a n a a x x n 0),sin(2,0,

ψ。

(3分)
2.
)(4222220-Φ+Φ-Φ=
ππA A ,

1
||2=∑n
n C ,求得
π34
=
A ,

320=
C ,61
22-==-C C , (6分)
∴能量的可能取值为00=E ,
I E 2
2
2 =
±,
相应几率为 ,
32 31,
平均值为
I E 322
=
; (3分) 角动量的可能取值为0=z L , 2, 2-,
相应几率为 ,
32 61, 61,
平均值为 02
=∑=z n z
L C L 。

(3分)
3.
(1)⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b b a E E H 020
10
0, (2分)
201E E ≠,属于非简并情形,
2
1201
1E E b a E E -++=, (2分)
010
22
02
2E E b a E E -++=; (2分)
(2)
00
201=-+-+λλ
a E
b b
a E ,
2
4)(22
2
020102011b E E a E E +-+++=
λ,
2
4)(22
2020102012b E E a E E +--++=
λ, (4分)
当c << 1时,取
2112
2
c c +
≈+,则 1E =; (1分) 2E =。

(1分) 4.
共有10种可能态,设),(N N N
s r q
=, (2分) )()()(321)1(q q q i i i s ψψψ=Φ; (1分)
)()()(321)2(q q q j j j s ψψψ=Φ; (1分)
)()()(321)3(q q q k k k s ψψψ=Φ; (1分) )]
()()()()()()()()([3
1321321321)4(q q q q q q q q q i i j i j i j i i s ψψψψψψψψψ++=
Φ;
(1分)
)]
()()()()()()()()([3
1321321321)5(q q q q q q q q q i i k i k i k i i s ψψψψψψψψψ++=
Φ;
(1分)
)]
()()()()()()()()([3
1321321321)6(q q q q q q q q q j j i j i j i j j s ψψψψψψψψψ++=
Φ;
(1分)
)]
()()()()()()()()([3
1321321321)7(q q q q q q q q q j j k j k j k j j s ψψψψψψψψψ++=
Φ;
(1分)
)]
()()()()()()()()([3
1321321321)8(q q q q q q q q q k k i k i k i k k s ψψψψψψψψψ++=
Φ;
(1分)
)]
()()()()()()()()([3
1321321321)9(q q q q q q q q q k k j k j k j k k s ψψψψψψψψψ++=
Φ;
(1分) )]()()()()()()()()(321321321q q q q q q q q q i j k j i k i k j ψψψψψψψψψ++。

(1分)。

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