近世代数引论-003
近世代数-文档资料
06.09.2020
11:21
数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形 来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号，
2
由于每一颗珠子的颜色有n种选
ห้องสมุดไป่ตู้
择，因而用乘法原理，这些有标 3
号的项链共有nm种。
图。 问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？
06.09.2020
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5.开关线路的构造与计数问题 一个有两种状态的电子元件称为一个开关，
例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关 组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路 的两端也只有两种状态：通与不通。
问题：用n个开关可以构造出多少种不同的 开关线路？
了几十年。
06.09.2020
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伽利略死后，直到19世纪末期，他的理 论才由别的数学家加以进一步的发展和系统 的阐述。
这样一门具有悠久历史、充满许多有趣 问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬 勃发展和广发应用，出现了许多应用与某一 领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和 学生来学习和掌握它。
利用近世代数的方法可得到更高效的检 错码与纠错码。
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7. 几何作图问题
古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题：用 圆规和直尺能做出哪些图形？
而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上 做记号。为什么会提出这样的问题呢？
一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是 丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度 的；另一方面，从几何学观点看，古人认为直线与 圆弧是构成一切平面图形的要素。据说，古人还认 为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且 整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。
近世代数引论-002
与a的周期为m矛盾.
Zhang Aili
（5）设k | m.
近世代数引论
当0 r m / k时, (a k )r e :
若不然的话 , a kr e, kr k (m / k ) m
(a k )m / k a m e.
这与 | a | m矛盾. k | a | m / k.
设Q n / m , 其中n / m是有理数 .
Q n / m {r (n / m) | r Z}
但1 /(2m) Q,1 /(2m) {r (n / m) | r Z}
这是一个矛盾 .故Q不是一个循环群 .
2015-1-18
Zhang Aili
13
例3 设G是个阶大于 1的群. 若对于G中的任意元素 g及任意自然数 n, 方程x n g在G中
2015-1-18 Zhang Aili 3
定理2 加法群Z的每个子群 H都是循环群 .
近世代数引论
H 0 或H m , 其中m是H中的最小正整数 . 如果H 0 , 则H是无限群 . 证明 若H 0 , 则H显然是循环群 . 若H 0 , 则H包含一个最小的正整数 m. H是Z的一个子群且 m H m {km | k Z } H 反之, 如果h H , 则h qm r, q, r Z ,0 r m. r h qm H r 0(根据m是H中的最小的正整数 ) H m h qm, 故H m
证明 A, B a d , 这里的d是s, t的最大公因数 .
证明 a (a )
s
d s/d
a , a (a )
d t
d t/d
近世代数导引_答案
i目录第１章集合与运算 (1)1.集合 (1)2.运算 (1)第２章群 (4)1.群的定义 (4)2.子群 (7)3.置换群 (9)4.陪集和商群 (11)5.同构与同态 (14)6.循环群 (17)1集合1第１章集合与运算1.集合本节无习题2.运算1.设f 是有限集A 的变换。
证明f 是单射当且仅当f 是满射。
因为f 是单射，所以()f A A =且()f A A ⊆，又因集合A 是有限集，所以()f A A =，由此得出f 是满射。
若f 是满射，则()f A A =，因为集合A 是有限集，所以f 是单射。
2.设f 是有限维线性空间V 上的线性变换。
证明f 是单射当且仅当f 是满射。
在n 维线性空间V 中任选一组基底{}1,,n E e e = ，则对任意一个向量x V ∈，有唯一的坐标1,,n ξξ 使得1n i i i x e ξ==∑。
只需讨论f 对基底的作用，因为()()()11n ni i i i i i f x f e f e ξξ====∑∑。
设()f E F =，若F n <，总可从V 中另外选出n F -个线性无关的向量，使得它们与F 中的向量一起，组成线性空间V 的一组基底F '，此时有F n '=，F F '⊆。
f 是从E 到F '的映射，重复类似上一题目的讨论即可。
3.设A 和B 均是有限集，A m =，B n =。
问从A 到B 有多少个映射？有多少个单射？A 有多少个二元运算？由基本计数法则，从A 到B 的映射的个数有m n 个。
若m n >，则不存在从A 到B 的单射。
如果m n ，从A 到B 的单射有第１章集合与运算2()!!!n n m m n m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭个。
2A A m ⨯=，集合A 上的二元运算即从A A ⨯到A 的映射，有2m m 个。
4.考虑()n M R 上的相抵关系 ：A B 当且仅当存在n 阶可逆矩阵P 和Q 使得=B PAQ 。
近世代数第三章
R [ 3 ]中， 14 2 (2 3)(2 3) 是 14 的唯一因子分解式。证明留作练习。
定理 3.1.3. 在唯一分解环 R 中，每个既约元均为素元。 证明. 设 p R 为 R 的既约元。设 p | ab ，则存在 c R 使 pc ab 。 （1）如果 a, b, c 中有一个为单位，则结论显然成立。 （2）如果 a, b, c 均不是为单位，则 a, b, c 分别有分解式：
N ( ) 2或 N ( ) 4 ，N ( ) 1 。因为对任意 [ 3] ，N ( ) 2 ，故 N () 4 ， N ( ) 1 。从而易知 为单位。即 2 ~ ，因而 2 是既约元。
（2） 断言： 2 不是素元。 因为 2 | 4 ，而 4 (1 3)(1 3) ，所以， 2 | (1 3)(1 3)。但
第一节
唯一分解环
要想在一个整环里讨论因子分解，首先需要把整数环的整除、素数、因数与倍数等概念 推广到一般的整环上去。 1. 素元与既约元 定义 3.1.1. 设 R 是交换环，非零元 a R 称为整除元素 b R ，记为 a | b ，如果存在 x R 使得 b ax 。这时也称 a 是 b 的因子（Divisor） 。如果 a 不是 b 的因子，则称 b 不能被 a 整 除，或 a 不整除 b ，记为 a b 。元素 a, b 称为相伴的，记为 a ~ b ，如果 a | b 且 b | a 。 注.1. 如果 a 是环 R 的元素，u 为 R 的单位，则 u 与 au 均是 a 的因子。这两类因子统称为 a 的平凡因子 （Trivial divisor） 。a 的非平凡因子 （如果存在的话） 称为 a 的真因子 （Proper divisor） 。 2. R 中元素的相伴关系是等价关系。 例 1. R 为整数环，则 1 与 1 均是单位， 5 只有平凡因子 1 与 5 ， 12 有真因子 2 ， 3 ， 4 ， 6 。 例 2. 在 高 斯 环
近世代数(3-3)
商域(分式域)
要点 从一个无零因子的交换环获得域的另一 种方法是求商域. 定理3.10.1 每一个无零因子的交换环都是一个 域的子环. 定义1 由于一个无零因子的交换R都是一个域 的子环,把含R的最小域F称为R的商域,则 F={ a | a,bR,b0},因此商域也称分式域. b 定理3.10.4 同构的环R的商域也同构. 例 整数环Z的商域是有理数域Q.
5
商域(续)
定理3.10.1证明主要步骤: (1) A={(a,b)|a,bR,b0},定义上等价关系(a,b) a (c,d)ad=bc.商集记为F,F的元表为 . b (2)F上定义加法与乘法: ac ad bc a c a c + = , = bd bd b d b d (3)证明F在上面运算之下成为一个域. (4)证明F包含一个与R同构的子环 R*={a/1|aR}.
张广祥辅导课程十2第三章环与域3最大理想?要点利用最大理想作剩余类环是由交换环获得域的重要方法
近世代数
辅导课程十
主讲教师：最大理想
要点 利用最大理想作剩余类环是由交换环获 得域的重要方法. 定义1 设R是一个环,R也是它自身的理想,这种 理想称为单位理想.如果R的一个非单位理想A 不含在任何一个更大的非单位理想中,则称A为 R的最大理想. 例 整数环Z的主理想(n)=nZ={nx|xZ}. (6)(2),(3). (ab)(a),(b).于是(n)是Z的最大理 想当且仅当n=p是素数.
6
3
最大理想(续)
定理3.9.1 设R是一个有单位元的交换环，A是 R的理想，则剩余类环R/A是域当且仅当A是R 的最大理想. 证 必要性:若R/A是域,因为域只有平凡理想,故 由定理3.8.3A是R的最大理想. 充分性:若A是R的最大理想,则K=R/A只有零理 想与单位理想,要证K是域.设0aK,则(a)=K.说 明1=a*a,a*K,K是域. 例 Zn是域当且仅当n是素数.
近世代数引论PPT课件
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
伯克霍夫的《近世代数概论》-概述说明以及解释
伯克霍夫的《近世代数概论》-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章的开头，用于引入伯克霍夫的《近世代数概论》一书的背景和主题。
这部分内容可以包括以下方面的描述：伯克霍夫的《近世代数概论》是一本经典的数学著作，该书是近现代代数学的里程碑之一。
它首次详细系统地介绍了近世代数的基本概念、原理和理论。
该书的出版填补了当时代数学发展中的空白，为后来代数学的研究和应用奠定了基础。
近世代数是数学中重要的分支领域，它主要研究代数结构、群论、环论、域论等概念和性质。
迄今为止，这些代数思想和理论在科学研究和工程技术中都发挥着不可替代的作用。
在伯克霍夫的《近世代数概论》中，他以其独特的写作风格和逻辑思维，系统地阐述了近世代数的发展历程、基本概念和主要原理。
通过对代数学思想的深入剖析和清晰的逻辑推导，伯克霍夫帮助读者理解和掌握了这些抽象的数学概念，并将它们应用到实际问题中。
此外，《近世代数概论》也为后来代数学的研究提供了广阔的发展空间，其深远的影响力也体现在数学教育和学术交流中。
无论是对于数学学生还是专业研究人员，这本著作都是不可或缺的参考书。
正因为如此，《近世代数概论》一书在数学学术界享有极高的声誉和影响力。
综上所述，伯克霍夫的《近世代数概论》阐述了近世代数的基本理论和概念，填补了代数学发展中的空白，对于后来代数学的研究和应用起到了重要的推动作用。
它的出版不仅对于数学学术界具有深远的意义，也为广大数学爱好者提供了重要的学习资料。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面：1.2 文章结构《近世代数概论》是伯克霍夫在19世纪中叶撰写的一部重要著作，该书分为引言、正文和结论三个主要部分。
接下来，我将为您逐一介绍这些章节的内容和主要讨论点。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个小节。
首先，在概述中，伯克霍夫对近世代数的背景和研究现状进行了简要介绍，引出了他撰写此书的动机和重要性。
其次，在文章结构部分，伯克霍夫详细列出了本书的章节和内容安排，让读者能够清晰地了解整个书籍的组织架构。
大学课程课件 近世代数教学课件
A1 , A2 ,, An
和
A1 A2 An 我们有
A1 A2 An
( x A1 A2 A) ( x至少属于某一Ai , i 1, 2,, n)
( x A1 A2 A) ( x属于每一Ai , i 1, 2,, n)
全体复数的集合，表示为C
设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的
元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 作 ，或记
. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集当且仅当
A B
.
BA 对于每一个元素 x，如果
，就有
x A
A是B的子集，记作：
xB
( A B) (x : x A x B)
f :x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 . f (x )
例1 设
A B {1,2,3,4}
这是A到B的一个映射.
f : 1 2,2 3,3 4,4 1
例2 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合. 对于每 一 与它对应. f 不是A到B的映射， x ，令 A f ( x) x 因为当 时， 不能由x唯一确定.
设 f :AB 如果对于每一 x A 与g是相等的. 记作
，B g:A ，都有
f ( x) g ( x)
都是A到B的映射， ，那么就说映射f
f g
例3
令
f : R R, x | x |
2 g : R R , x x 那么 .
f g
定义4： 设 是A到B 的一个映射， g : B C f :AB 是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个 ， x A g ( f ( x)) 是C中的一个元素. 因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定 x A 的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映 g ( f ( x和 )) 射是由 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 f : A . B 于是有 g:BC
近世代数主要知识点
[5] x [3] x [2] x [6] x [5] x x [2] x [4] x [5]
5 4 3 3 2 2
[5] x [3] x ([2] [6]) x ([5] [2]) x ([4] 1) x [5]
5 4 3 2
等价关系与等价类
集合的等价关系 假如～满足以下规律Ⅰ反射律；a～a， 不管a是A的哪个元。Ⅱ， 对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～ c 同余关系
群的定义
群的第一定义 一个不空集合G对于乘法的代数运 算来说做成一个群，假如 ⅰG对于这个乘法来说是闭的 ⅱ结合律成立：a（bc）=（ab）c 对于G的任意的三个元a，b，c 都对； ⅲ对于G的任意两个元a，b来说， 方程ax=b 和ya=b都在G里有 解
子集
若集合b的每一个元 素都属于集合a，我们说，b是a 的子集 交集 集合a和集合b的所有共 同元所组成的集合就叫做a和b 的交集 并集 由至少属于集合a和b之一 的一切元素组成的集合就叫做a 和b的并集
映射 映射的定义 假如通过一个法则Ф ，对于任何一个
A1×A2×· · ×An的元都能得到一个唯一的D的元d， ·· ·· 那么这个法则叫做集合A1×A2×· · ×An到集合D的 ·· ·· 一个映射 像 逆象， 映射的相同 效果相同就行
代数运算
定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个 代数运算我们用。来表示
二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭 的 二元运算
近世代数课件
包括群、环、域等基本概念，以及这 些概念在抽象代数、几何学、拓扑学 等领域的应用。
近世代数的发展历程
19世纪初
随着代数学的发展，人们开始研究代数的结 构，近世代数逐渐形成。
20世纪初
环论和域论的建立进一步丰富了近世代数的 内容。
19世纪中叶
群论的创立为近世代数的发展奠定了基础。
20世纪中叶至今
近世代数课件
目录
• 引言 • 群论基础 • 环论基础 • 域论基础 • 应用举例
01
引言
代数与近世代数
代数
研究数、量、结构、变换以及结构等 概念的数学分支。
近世代数
研究代数的结构、性质和分类的分支 ，是现代数学的重要分支之一。
近世代数的研究对象与内容
研究对象
代数的结构、性质和分类，以及代数 与其他数学分支的联系。
多项式的基本概念
01
多项式是由若干个单项式通过加减运算组成的代数式
。
多项式的因式分解
02 将一个多项式分解为若干个因式的乘积，这些因式称
为多项式的因子。
多项式因式分解的应用
03
在数学、物理、工程等领域中，多项式因式分解被广
泛应用于解决各种问题，如计算、建模、优化等。
分式域的构造与应用
分式域的基本概念
域的扩张与分解
扩张
如果一个域K包含另一个域F作为其子集，并且K在F上连续，则称K是F的扩张，或称F是 K的子域。
分解
如果一个域K可以分解为若干个子域的乘积，即K=F1×F2×…×Fn，则称K是可分解的 。如果域K没有除了单位元以外的公因子，则称K是素数域。
05
应用举例
线性方程组的解法
线性方程组的基本概念
代数学引论（近世代数）答案
代数学引论（近世代数）答案第⼀章代数基本概念习题解答与提⽰(P54)1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.证明:对任意a,b G,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群G为交换群.2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.证明: [⽅法1]对任意a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G为交换群.[⽅法2]对任意a,b G,a2b2=e=(ab)2,由上⼀题的结论可知G为交换群.3.设G是⼀⾮空的有限集合,其中定义了⼀个乘法ab,适合条件:(1)a(bc)=(ab)c;(2)由ab=ac推出a=c;(3)由ac=bc推出a=b;证明G在该乘法下成⼀群.证明:[⽅法1]设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某⼀个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有a k a i a k a j------------<1>a i a k a j a k------------<2>再由乘法的封闭性可知G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3>G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4>由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得a k a m=a t.由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得a s a k=a t.由下⼀题的结论可知G在该乘法下成⼀群.下⾯⽤另⼀种⽅法证明,这种⽅法看起来有些长但思路⽐较清楚。
《近世代数》PPT课件
例2 设 A 1 { 东} ， A 2 { 西 南 } ， B { 高} ，低
则 1 :A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ） 高 不是映射.
因为映射要满足每一个元 (a1,a2) 都要有一个像．
而 2 : A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ） 高 ； ( 东 , 南 ） 低 是一个映射． 7
A 1A 2 A n{a1 (,a2, an)ai A i}.
即由一切从 A1,A2, ,An 里顺序取出元素组成的元素 组 (a1,a2, an)，ai Ai 组成的集合．
例 A={1,2,3}， B={4,5}, 则
AB={(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}，
A称为 的定义域，B称为 的值域.
注: (1) 映射定义中 “b”的唯一性：映射不能“一对多”，
但可以“多对一”．
(2) 记法： ：A B ;ab (a )，aA ．
(3) 一般情形，将A换成集合 A 1A 2.. .A n 的积，则
对 ( a 1 ,a 2 ,.a n .) .A ,1 A 2 . .A .n有 : A 1 A 2 . . . A n B ; ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) b ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) . 6
2. 元素（或元）: 组成一个集合的事物.
如果a是集合A中的元素，记作a A ； 如果a不是集合A的元 素，记作 a A 或a A .
2
3．空集：没有元素的集合，记作 .
4．子集：设A,B是集合，则
B A (B是A的子集)是指 b B b A . 真子集：B是A的真子集是指 B A 且 aA，但aB .
近世代数课件--3.3. 除环、域
( a1 ， 2 是 实 数 ） a
这个环叫做四元数除环
i,
0 i , 0 o ,
i
i,
0 0, 1 0, 1 i , 0
定义 一个交换除环叫做一个域。 例3 R=｛所以复数对（ , ）｝。这里 1 , 1 2 , 2 ，当而且只当 1 2 , 1 2 的时候。R的加法和乘法是
这里 表示的是共轭数：
1 , 1 2 , 2 1 2 , 1 2 1 , 1 2 , 2 1 2 1 2 , 1 2 , 1 2
这个环叫做四元数除环
§3. 除环和域
3.1 除环与域的定义 3.2 例子 3.3 四元除环(Quaternions)
3.1 除环与域的定义 例1 全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法 来说显 然是一个环。这个环的一个任意元非 零元a可逆.除环和域就是刻画这一类代数系统. 例2 R只包括一个元a，加法和乘法是： a+a=a, aa=a R显然是一个环。这个环R的唯一的元有一个逆 元，就是的本身。除环和域的定义要排除这一 种极端情况.
3.1 除环与域的定义 定义 1 一个环R叫做一个除环，假如 1. R至少包含一个不等于零的元； 2. R有一个单位元； 3. R的每一个不等于零的元有一个逆元。 注: 这个定义的起点是环,如果以集合为起点呢? 定义 1’ 一个至少含两个元素的集合R叫做一 个除环，假如:R上有加法和乘法两种运算,且 1. R是一个加法群； 2. R*=R/{0}是乘法群； 3. 两个分配律成立。
近世代数--第三章小结
第三章环与域总结第一节加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群。
⑴一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。
⑵元a的唯一的逆元叫做a的负元，记作-a，简称负a。
环的定义：(R, ,?)◎ ( R +)是交换群(R对+封闭)；②•：R R R满足结合律，即a,b, c R, ab c a bc③+和•都满足分配律：即对a,b,c R满足a b c ab acb c a ba ca称R在+和•运算下是环。
①.R是一个加群；②•R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；③.这个乘法适合结合律：a bc ab c，不管a,b, c是R的哪三个元；④.两个分配律都成立：a b c ab ac, b c a ba bc，不管a, b,c是R的哪三个元。
环满足如下运算：① 0a a0，对a R②a b c ab aca b c ac bc③a c a c ac, a c ac④a1a2 a n b1 b2 b nm n m na ib j a i b j i 1 j 1 i 1 j 1定义：(R, ,?)，若对a,b R,有ab ba,即满足交换律的环是交换环。
(R, ,?)，若e R,对a R,ea ae a则称e为R的一个单位元。
一般地，一个环不一定有单位元。
(R, ,?),含有单位元e , , a R若b R，使得ab ba e,则称b是a的逆丿元。
（R, ,? ）, a b,b 0,若ab 0,则称a为左零因子，b为右零因子。
既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。
在交换群中无左右零因子，只有零因子。
定理：无零因子环里两个消去律都成立：a 0,ab ac be （左消去）a 0,ba cab e （右消去）在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。
推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。
整环的定义：一个环R叫做一个整环，假如满足：①R是交换环：ab ba②R是单位环，有单位元1: 1a al a③R是无零因子环（满足消去律）：ab 0 a 0或b 0这里a, b可以是R中的任意元。
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近世代数引论
(1)如果ab1 H , 称a模H右同余于b, 记为a r b(modH ).
(2)如果a1b H , 称a模H左同余于 b, 记为a l b(modH ).
命题 假如 G是Abel群, 则模H的右同余和左同余是一 致的.
证明 ab1 H (ab1 )1 H (ab1 )1 ba1 a 1b H
当H e 时, a G有Ha {a}, 故[G : H ] | G | .
近世代数引论
子群H在群G中的右陪集完全代表系 集合是指集合 {ai },
使得H在G中的每一个右陪集恰好 有一个元素在 {ai }中.
2015-1-18
Zhang Aili
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定理2 如果K , H , G是群, 并且K H G [G : K ] [G : H ][H : K ]. 若这三个指数中任意两 个有限, 则第三个指数也有限 .
(4)映射f : R L , Ha a 1H是一一对应 (故有| R || L |)：
Ha Hb ab1 H (a 1 )1 b1 H a 1H b1H . a 1H L , a G, aH R 使得f (aH) a 1H .
[G : A][ A : A B] s[ A : A B]
( s, t ) 1
t | [ A : A B] [G : B] t [ A : A B] [G : B]
G AB(根据定理4).
2015-1-18
Zhang Aili
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例2 Euler定理：若a, n都是正整数且 (a, n) 1, 则 a ( n) 1(modn). 证明令G {小于n且与n互素的正整数 }, | G | (n). 定义G中元素的二元运算“ ”如下： m k s mk s(modn). (1)封闭性：若 (m, n) 1, (k , n) 1, 则(s, n) 1. (2)结合律：m, k , l G, 则(m k ) l m (k l ) s
2015-1-18 Zhang Aili 8
近世代数引论
定理3 假设H和K是群G的有限子群 | HK || H | | K | / | H K |
证明 C H K是K的子群, n [ K : H K ] | K | / | H K |
HC H
K Ck1 Ck2 Ckn (ki K ), k k H , i j.
p
若a是p的倍数时结论显然成立 .
2015-1-18 Zhang Aili 14
近世代数引论
例4 设G a 是个n阶循环群 , 则a k 是G的生成元
(k , n) 1.这样G的生成元共有 (n)个, (n)是Euler函数.
证明 a k 是G的生成元 G a k
集合Ha称为H在G中的一个右陪集 . 集合aH称为H在G中的一个左陪集 .
证明 为方便 , 简记a r b(modH )为a b. (1) 自反性： a, b, c G, aa1 e H .
(2)对称性：a b ab1 H (ab1 )1 H
ba1 H b a
2015-1-18 Zhang Aili 3
近世代数引论
(3)传递性：a b和b c ab1 H且bc1 H a c.
模H右同余是等价关系 .
(2)a G关于模H的右同余下的等价类是 ：
{x G | x a} {x G | xa H} {x G | xa1 h H}
近世代数引论
| G | [G : K ] [G : H ][H : K ] [G : H ] | H | (2)在第一个论断中取 H a 时的情形 .
: ai H a j H , ai h a j h(h H )是左陪集之间的双射 .
| ai H || a j H | H G, K G HK G.
1 ( H K )h ( H K )h hh H K K Kh Kh
映射 : A B , ( H K )h Kh(h H )是单射.
[ H : H K ] | A || B | [G : K ]
如果[G : K ]有限, [ H : H K ] [G : K ]
近世代数引论
证明 G iI Hai是G的一个分类 , | I | [G : H ]
H jJ Kb j是H的一个分类 , | J | [H : K ].
G iI Hai iI ( jJ Kb j )ai＝(i, j )I J Kb j ai
是G的一个分类:
{x G | x ha, h H } {ha | h H } Ha.
1
(3)显然映射Ha H , ha h是一一对应 .
a G, | Ha || H || aH |
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推论 假设H是群G的子群.则
近世代数引论
2015-1-18 Zhang Aili 5
关于左陪集的情况类似 可证.
加法记号: 如果H G, 则模H右同余定义为： a r b(modH ) a b H . a G的等价类是右陪集： H a {k a | k H }.
定义 假设 H G.则H在G中的指数 [G : H ]定义为 H在G中不同右 (左)陪集集合的势 .
模H的右同余和左同余是一 致的. 存在非Abel群使模H的右同余和左同余一致 .
2015-1-18 Zhang Aili 2
陪集及其性质
近世代数引论
定理 1 假设H G, 则 (1)模H右(左)同余是G上的等价关系 . (2)a G对于模H右同余的等价类是集合 Ha {ha | h H}. a G对于模H左同余的等价类是集合 aH {ah | h H }. (3)a G, | Ha || H || aH |
的子群, 则G是个循环群 . 证明 将G的同阶元归并为一类 .
设G中n个元分成了t类：
各类中元素的阶分别为 d1 , d2 ,, dt , (di | n)
在d1阶元的类中取定一元 a后, 取任意元x时, | x || a | d1
Zhang Aili Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y Email : ailizhang@ peoplemail
2015-1-18 Zhang Aili 1
4.陪集与计数
定义4.1 假设H G, a, b G,
近世代数引论
定理4 如果H和K是群G的子群
[ H : H K ] [G : K ]
如果[G : K ]有限, 则[ H : H K ] [G : K ] G KH . 证明 令A {( H K )a | a H}
B {Kb | b G} 映射 : A B , ( H K )h Kh(h H )是可定义的：
是双射 是满射 ( A ) B
2015-1-18 Zhang Aili 10
近世代数引论
定理5 假设H和K均是群G的指数有限的子群
(1)[G : H K ]有限
证明(2) H K H G
(2)[G : H K ] [G : H ][G : K ].
其中s适合mkl s(modn).
近世代数引论
(3)单位元： 1 (4)逆元素：m G,因为(m, n) 1, 必有0 k n及整数t
使m k nt 1 (k , n) 1, 故k G且k是m在G中的逆元素
2015-1-18 Zhang Aili 13
(G, )构成一个群 . ( n) a G, 均有a 1(modn)
1 i j
HK Hk1 Hk2 Hkn (ki K（非交并 ) )
| HK || H | n | H | | K | / | H K |
若A, B, C是群G的三个子集 , 则有
A( B C ) AB AC
2015-1-18 Zhang Aili 9
a a k a (a k )u 对某个u Z
a a ku a ku1 1
n | ku 1 ku 1 n(v)对于某个v Z
ku nv 1 (k , n) 1
2015-1-18
Zhang Aili
15Biblioteka 近世代数引论例5 设G是个n阶群, 若对于每个 d | n, G至多有一个阶 d
当a n时, 令a nq r,0 r n, 则r G. a r (modn)
仍然有等式： a ( n) 1(modn).
近世代数引论
例3 Fermat 小定理：设 p是素数, a是自然数
a a(mod p) 证明若(a, p) 1. a ( p ) 1(mod p) ( p ) p 1 a p1 1(mod p) a p a(mod p)
(1)G是H在G中的全体右 (左)陪集的并 . (2) H在G中的两个右 (左)陪集或者不相交或者相 等.
(3)a, b G, Ha Hb ab1 H . a, b G, aH bH a 1b H .
(4)如果令R 是H在G中不同的右陪集所组成 的集合, 而L 是H在G中不同的左陪集所组成 的集合, 则 | R || L | . 证明(1)及(2)是集合分拆性质的直接 结果. (3)a, b G, Ha Hb H Hba1 ba1 H .