逐项求导法求泰勒级数
4.3 泰勒级数
| z | .
n 0
(1 i ) n (1 i ) n n z n!
n 0
( 2 )n nπ n sin z , | z | . n! 4
15
§4.3 泰勒级数
2 f ( z ) sin z 在 z 0 点展开为幂级数。 例 将函数 第 四 2 4 6 1 1 ( 2 z ) ( 2 z ) ( 2 z ) 章 解 sin2 z (1 cos 2 z ) [1 (1 )] 2 2 2! 4! 6! 解 ( 2 z ) 2 ( 2 z )4 ( 2 z )6 析 , | z | . 2 2! 2 4! 2 6! 函 数 的 例 将函数 f ( z ) sin z 在 z 1 点展开为幂级数。 级 数 解 sin z sin[1 ( z 1)] sin1 cos(z 1) cos1 sin(z 1) 表 2n ( z 1 ) 示 sin1 ( 1)n ( 2n)! n 0
a0 a n 1 f (z) n 1 n 1 2 ( z z0 ) ( z z0 ) ( z z0 )
C
R
z0
l D
an a n 1 , z z0
f (z) l d z 0 2π i a n 0 , n 1 ( z z0 ) 1 an 2π i f (z) 1 ( n) l ( z z0 )n1 dz n! f ( z0 ) .
n 1 1 1 ' n ( z i ) (2) 2 n 1 (1 z ) ( 1 i ) 1 z n 1
n 0
泰勒级数展开讲解
f (? )d? C (? ? z0 )n?1 ?
f (n) ( z0 ) n!
(n ? 0,1,2,
),
且展式是唯一的。
? 特别地，当 z0 ? 0 时，级数
? f (n) (0) z n 称为麦克劳林
n?0 n!
级数。
数学物理方法
【证明】 设函数 f (z) 在区域 D： z ? z0 ? R 内解析，任取一点 ? ? D ，以 z0 为
中心， ? 为半径( ? ? R )作圆周 C: ? ? z0 ? ? ，如图
z?
z0
?
C
由柯西积分公式知
R
f (z)
?
1 2πi
f
?C ?
(? )d?
?z
(3.3.2 )
数学物理方法
其中z在C的内部,，而 ? 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z ? z0 ? ? ? ? z0 ? ?
从而 z ? z0 ? 1
解：多值函数 f (z) ? ln z 的支点在 z ? 0, z ? ?
现在展开中心 z0 ? 1 并非支点，在它的邻域上，各个单 值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数
f (z ) ? ln z
f (1) ? ln1 ? n2? i
f '(z) ? 1 z
f '(1)? 1
f
''(z) ?
数学物理方法
陈尚达 材料与光电物理学院
第三章 幂级数展开
数学物理方法
1、复数项级数 2、幂级数 3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类
3.3 泰勒级数展开
数学物理方法
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个 幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解 析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就 是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值 .
泰勒极数
2
i
f
(
(
) z0
)n1
(
z
z0
)n
f ( )
2 z0
n
z z0
z0
M
2
r
z z0 r
n
M qn,
2 r
其中,
q
z z0 r
1.
可知在C上是一致收敛
前面积分号下的级数可在C上逐项积分.
再根据 Cauchy导数公式
f (z)
1
2 i
c
定理f2.(6 n0 ( z0
2!
n!
并且收>>敛ta半yl径or(fR,z) %展. 开的默认值是6项
ans =
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.
间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
负实轴>>向sy左m的s z射; 线的区域内解析.
>> f=log(1+z);
y
因为
>> taylor(f)
R1
lna(n1s=z) 1 ,
1 z
1 o 1
x
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5
1 1 z z2 (1)n zn
z 1 ,
1 z
所以
ln(1 z)
z 1 ,
1 z
逐项求导，得
1
(1 z)2
1 2z
3z2
(1)n(n 1)zn
z 1 .
10(6)泰勒级数
∴ (1 + x ) s′( x ) α (α 1) 2 α 2 (α 1)(α n + 1) n1 x ++ x + = α + α 2x +
= α s( x )
2! n!
s ′( x ) α , 且 s(0) = 1. ∴ = s( x ) 1 + x
20
泰勒级数
两边积分 得
∫0
x
x α s ′( x ) dx = ∫ dx , 0 1+ x s( x )
解 ∵ f ( n ) ( x ) = α (α 1)(α n + 1)(1 + x )α n ,
f ( n ) (0) = α (α 1)(α n + 1), ( n = 0,1,2,)
1 + αx +
α (α 1)
2!
x ++
2
α (α 1)(α n + 1)
n!
xn +
a n +1 α n = ∵ lim =1 n→ ∞ a n+1 n
3
泰勒级数
回顾
泰勒公式: 泰勒公式
若函数f 在 若函数 (x)在x0
的某邻域内有 阶导数, 可表为: 的某邻域内有n+1阶导数 则 f (x)可表为 阶导数 可表为
f ′′( x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) (1) ( x x0 )n + Rn ( x ) + + n! f ( n +1) (ξ ) ( x x0 ) n +1 , ξ 介于 与x0之间 介于x与 之间. 其中 Rn ( x ) =
21.Taylor级数展开的唯一性
则 f ( z ) 是 z z0 R内的解析函数, 且在收敛圆
z z n 0 2 3
2
n 1 )n , fz (3 z ) c( ( z z n1) 0 n
n
z
z 1 .
例5
z 将函数 f ( z ) 在 z0 1 处展开 z 1
1 z
n 0
逐项求导，得
1 2 n n 1 2 z 3 z ( 1) ( n 1) z 2 (1 z )
z 1 .
例3
将 f (z)
1 z
2
1
2
展开为z的幂级数.
根据例2，MATLAB语句. 解 运行下面的
>> syms 1 z;
n 2n 2 4 >> syms z; ( 1) z z z n z n 2 n z z , 则在 cos z e z1 ( 1) , z 半径分别为 R (2n )! 1 z R1 和 z . 2 4! 2! n (2n)! n 0 n 0 n ! 2! >> ! f=sin(z);g=cos(z);
n 0 n 2 n 1 n
n 0
n 0
1 点邻域内 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 (1 z ) 的Taylor级数.
解 z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点, 且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1. 在 例题 中，用z替换-z, 则
1 n 1 z z 2 ( 1)n z z 1 , 1 n z z 1 . 1 z
>> f=log(1+z);
泰勒公式及其应用
1、绪论泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结。
由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明。
使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识。
只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。
2、布鲁克·泰勒简介布鲁克·泰勒（1685年8月18日出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，1731年11月30日逝世于伦敦）是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。
他的母校为剑桥大学圣约翰学院。
进入大学之前，他一直在家里读书，他的全家尤其是他的父亲都喜欢音乐和艺术，并且经常在家里招待艺术家。
这对泰勒一生的工作造成了极大的影响，这从他的俩个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法就可以看出来。
1701年布鲁克·泰勒进入剑桥大学圣约翰学院，1709年他获得法学学士、1714年获得法学博士学位。
他也学习数学。
1708年他获得了“振荡中心”问题的一个解决方法，但是这个解法直到1714年才被发表。
因此导致约翰·白努利与他争谁首先得到解法的问题。
他1715年发表的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》为高等数学添加了一个新的分支，今天这个方法被称为有限差分方法。
除其它许多用途外他用这个方法来确定一个振动弦的运动。
他是第一个成功地使用物理效应来阐明这个运动的人。
在同一著作中他还提出了著名的泰勒公式。
直到1772年约瑟夫·路易斯·拉格朗日才认识到这个公式的重要性并称之为“导数计算的基础”（le principal fondement du calcul différentiel）。
第十章 无穷级数 6 泰勒级数
2. 函数能展开成幂级数的充要条件
定理 2: 设函数 f (x)在含有点 x0的某个区间 (a,b) 内有任意阶 的导函数,则
f ( x)在(a,b)内能 展开成泰勒级数
lim
n
Rn
(
x
)
0,
x (a,b)
其中Rn( x)为 f ( x)的泰勒公式的余项. (lagrange)
3. 函数展开成幂级数
R2n ( x)
sin[ (2n 1) ]
2 (2n 1)!
x 2n1
x 2n1 (2n 1)!
x (,),
lim
n
R2n
(
x)
0,
故,
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,).
方法二:间接展开法
利用已有的展开式，通过适当的变换 (变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分)，求出 未知的展开式的方法. 由于泰勒级数的唯一性，新得到的级数一定是 所求函数的泰勒级数 .
若存在,系数是多少 ? 级数表示式唯一吗 ?
1. Taylor级数的概念
幂级数展开的唯一性
定理 1:
设级数 an( x x0 )n在区间( x0 R, x0 R)内收敛于f ( x),
n0
即
f ( x) an( x x0 )n
n0
那么,该幂级数的系数 an与函数 f ( x)有如下关系:
收敛,
故
arctan x (1)n x2n1 n0 2n 1
x 1,1.
例5
将
f (x)
x2
1 4x 3
展开成 (x 1)的幂级数.
复变函数4-2Taylor级数
f
( n) ( z0
)
,
n 0,1,2,
例如，求 ez 在 z 0的泰勒展开式.
因为(ez )(n) ez ,
(ez )(n) z0 1, (n 0,1, 2,)
故有 ez 1 z z2 zn zn
2!
n!
n0 n!
因为ez 在复平面内处处解析,
[ln(1 z)] 1 1 z z2 1 z
(1)n zn
(1)n zn
( z 1)
n0
设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得
z 1 dz z (1)n zndz
01 z
2! 4!
(2n)!
(R )
2. 间接展开法 :
借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分
等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的Taylor
展开式.
间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
1 z
n0
z3 z5 4) sin z z
(1)n
z 2n1
( z 1)
3! 5!
(2n 1)!
= (1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
( z )
z2 z4 5) cos z 1
(1)n z2n
2! 4!
(2n)!
0 n0
即 ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 z 1
泰勒Taylor级数展开
zk f ( z ) e ak ( z z 0 ) k 0 k 0 k!
z k
z2 z3 zk 1 z ... ... 2! 3! k!
例2：将cosz、sinz在z=0处展开 利用ez的展开式，可得
eiz e iz 1 (iz ) k (iz ) k cos(z ) 2 2 k 0 k! k ! k 0
∵离z0=1最近的支点为z=0 ∴收敛半径取R=1，收敛圆为|z-1|< 1
而
(ln z )
1 z
1 1 (1 z ) k z 1 (1 z ) k 0
(1) k ( z 1) k
k 0
(| z 1 | 1)
1 ln z dz (1) k ( z 1) k dz z k 0
奇次幂全部消去
(1) k z 2 k cos(z ) (2k )! k 0
(| z | )
e iz e iz 1 (iz ) k (iz ) k 同理 sin(z ) 2i 2i k 0 k! k ! k 0 1 i 2 k 1 z 2 k 1 i k 0 (2k 1)!
k 0
1 f ( ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) (| z z0 | R)
k 0
f ( k ) ( z0 ) ( z z0 ) k k!
k a ( z z ) k 0 的每一项都是z的解析函数，且在
其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。
z0=0点展开成泰勒级数。
1 ∵ f ( z) 2 有一个奇点z=-1 (1 z )
复变函数泰勒级数展开
n 0
f ( n ) (0) n z 称为麦克劳林 n!
【证明】 设函数 f ( z ) 在区域 D：
z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为 中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
z z0
C
R
由柯西积分公式知 1 f ( ) f ( z) d 2πi C z
1 因为 ln(1 z ) (1)n z n , ( z 1), 1 z n 0
所以
z 1 ln(1 z ) dz (1) n z n dz 0 1 z 0 n 0 z
z (1) , z 1 n 1 n 0
n
n
z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ，在 | z | 1 ( z 1)( z 2)
内展开成幂级数 .
解：
z 1 2 f ( z) ( z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z n ( z / 2) n 1 z 1 z / 2 n 0 n 0 1 n (1 n ) z 2 n 0
' 解： 函数 f1 ( z) sin z 的前四阶导数分别为 f1 ( z) cos z
f1'' ( z) sin z f1(3) ( z) cos z
f1(4) ( z) sin z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
'' f f (0) 1 且在 z0 0 有 1 (0) 0
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
f ( z ) an ( z z0 ) n
逐项求导法求泰勒级数
逐项求导法求泰勒级数泰勒级数（TaylorSeries）是一种重要的数学研究方法，它在求解复杂问题中发挥着重要作用。
泰勒级数也叫泰勒展开式，是一种把一个函数展开为一系列有限项的近似表达式的方法。
泰勒展开式的每一项都是该函数在某一点的某一阶导数的指数函数。
下面就以逐项求导法求泰勒级数为标题，讨论泰勒级数的展开过程。
一、泰勒级数的定义泰勒级数又称为泰勒展开式，它是把一个函数展开为一系列有限项的近似表达式的方法。
泰勒级数由数学家Joseph Taylor于1800年首次提出，现已成为微积分学中重要的研究思想。
泰勒级数的泛函公式如下：$$f(x)=sum_{n=0}^{infty} frac{f^{n}(a)}{n!} (x-a)^n$$ 其中$x$是变量，$a$是常数，$n$是指代的阶数，$f(x)$是指函数，$f^{n}$是指函数的n次导数，$n!$是阶乘。
二、逐项求导法求泰勒级数逐项求导法求泰勒级数是一种求解泰勒级数的简便方法。
其基本过程如下：（1）确定函数$f(x)$，以及求导的初值$a$。
（2）把函数$f(x)$表示成基于$a$的形式：$f(x)=f(a)+(x-a)f^{1}(a)+frac{(x-a)^2}{2!}f^{2}(a)+frac{(x-a)^3}{3!}f^{3}(a)+ cdots$（3）逐项求导，即逐项得出$f^{1}(a)$、$f^{2}(a)$、$f^{3}(a)$、$cdots$（4）将求导的结果代入到原函数中，即得出泰勒级数：$f(x)=sum_{n=0}^{infty} frac{f^{n}(a)}{n!} (x-a)^n$三、泰勒级数的应用泰勒级数的应用非常广泛，它可以用来解决复杂的函数运算问题，也可以用来描述许多常见的内在行为，还可以用来近似解决一些复杂的问题，如微分方程和积分，主要有以下几种应用方式：（1）函数近似和函数降阶：利用泰勒展开式可以将指定函数降到某一阶，且函数形式更加简单，更容易求解。
泰勒级数题型总结(12种题型)
泰勒级数题型总结(12种题型)本文总结了泰勒级数的12种题型，详细说明了每种题型的求解方法和适用条件。
1. 常函数泰勒展开- 题型描述：对常函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将常函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于任何常函数。
2. 幂函数泰勒展开- 题型描述：对幂函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将幂函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于幂函数，如x^n、e^x等。
3. 三角函数泰勒展开- 题型描述：对三角函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将三角函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于各种三角函数，如sin(x)、cos(x)等。
4. 指数函数泰勒展开- 题型描述：对指数函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将指数函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于指数函数，如e^x。
5. 对数函数泰勒展开- 题型描述：对对数函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将对数函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于对数函数，如ln(x)。
6. 复合函数泰勒展开- 题型描述：对复合函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据链式法则和泰勒展开公式，将复合函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于各种复合函数，如sin(x^2)、ln(1+x)等。
7. 根式函数泰勒展开- 题型描述：对根式函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将根式函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于各种根式函数，如√(1+x)。
8. 多项式函数泰勒展开- 题型描述：对多项式函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将多项式函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于多项式函数。
9. 分段函数泰勒展开- 题型描述：对分段函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将分段函数展开成无穷级数，并计算前n项。
9.4 函数展开为泰勒级数
x ∈ ( −1,1].
(端点收敛性的讨论不作要求.)
用间接展开法求函数的幂级数展开式 间接展开法求函数的幂级数展开式. 以上介绍的直接展开法, 可得出一些基本初等函数 的展开式. 但是, 直接展开法的计算量比较大, 对于 一般的函数不常采用此法. 下列函数的麦克劳林展开式在间接展开法中作为常用公式： 下列函数的麦克劳林展开式在间接展开法中作为常用公式：
在 (3) 式中, 若令 x0 = 0 , 则所得的展开式
∞ f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x +⋯ + x +⋯ = ∑ x n! n! 2! n=0
定理 (初等函数展开定理) 设 f ( x) 为初等函数, 它的泰勒级数 ∑
介绍两个常用的名称: ① 称 (2)式中的幂级数为 f ( x)在 x = x0处的泰勒级数 处的泰勒级数 (Taylor Series). 以上推导说明: 若一个函数可表示为 幂级数, 则此幂级数必为该函数的泰勒级数. ② 若 f ( x) 可以表示为它的泰勒级数 (即 f ( x) 是它的泰 勒级数的和函数): f ′′( x0 ) f ′′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 + ( x − x0 )3 + ⋯ 2! 3! f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n + ⋯, + n! ∞ f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n , (3) 即 f ( x) = ∑ n! n =0 f ( x ) x = x 则称 在 0 处可展开为泰勒级数. 而 (3) 式就称为 f ( x) 的泰勒展开式(Taylor Expansion). 注意分清 注意分清 f ( x) 的泰勒级数与 f ( x) 的泰勒展开式的区别.
函数展开成幂级数泰勒公式
解 f ( x) sin x cos 2x 1[sin 3x sin x]
2 sin x x 1 x3 1 x5 (1)n
x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
1 ( 1)n (3 x)2n1 1 ( 1)n x2n1
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
4 2x 在 x 2 展开成 幂级数
经济数学
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法.
经济数学
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
经济数学
思考题解答
从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数 展开式的方法称之.
解:
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
x1
x1
2
4
1 (1)n (x 1)n
4 n0
2n
( x 1 2)
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
经济数学
思考： sin x 展开成 x 的幂级数
二、泰勒级数
上节例题 (1)n1 xn ln(1 x) (1 x 1)
复变函数-第4章
n →∞ ∞ 则称函数序列{ f n ( z )}n =1 在G上逐点收敛到函数 f(z), f(z)称为 ∞
{ f n ( z )}∞=1 在G上的极限函数. 相应地, 若级数 ∑ f j ( z ) 的部分 n
∞
和函数序列在G上逐点收敛到 f(z), 则称级数 ∑ f j ( z ) 收敛于
∞
n =1
求导运算和无穷和运算可交换
∞
返回泰勒级数
定理 (实函数项级数逐项求导) 设实级数 ∑ f n ( x) 的各项在 区间[a, b]上都有连续的导数,
∑
n =1
∞
∑f
n =1
∞
n
( x) 在[a, b]上逐点收敛且
n =1
⎞ ∞ d f n′( x) 在[a, b]上一致收敛, 则 d ⎛ ∞ f n ( x). ⎜ ∑ f n ( x) ⎟ = ∑ dx ⎝ n =1 ⎠ n =1 dx
∑c
j =0
∞
j
绝对收敛. 正项级数
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛. 由比较判别法可知, 绝对收敛
收敛
绝对收敛级数的两个重要性质:
(1) 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序, 亦绝对收敛, 且和不变. (2) 两个绝对收敛的复级数
∞
∑c
j =0
∞
j
= S , ∑ c′j = S ′ 按对角线
∞
(3i ) j 由比式判别法知 ∑ 收敛. j! j =0
注意: 若 lim j →∞
j →∞
c j +1 cj
= L = 1, 或 lim j | c j | = L = 1,
第三节泰勒级数展开
（1）
右边第二个式子可得
z0
1 1 z z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
...
z
z0 z0
1
z0
代入（1）可得
1 t t 2 ... t k ... 1 •••(| t | 1)
1t
1
1 z
1 z0
(z z0 )k
k0 ( z0 )k
k 0
(z z0 )k
1 n1 nz n1
,
z 1
10
例 求对数函数的主值ln1 z在z 0处的泰勒展开式.
解 奇点z 1, 它在 z 1内可展开成z的幂级数. y
R 1
1 0
1x
ln1
z
1 1
z
,1
z 1
1
z
z2
1n z n
,
z
1
在此展开式的收敛圆z 1内, 一条从0到z的积分路线C ,
z2
m(m
1)(m 3!
2)
z3
...
•••••••• z 1
其中 1m (ein2 )m eimn2 ••(n Z )
这许多单值分支中，n＝0，即1m＝1的这个分支叫做主值 同时也是指数为非整数的二项式定理
9
sin z
e iz
eiz 2i
1 2i
izn
n0
n!
izn
n0
f (3)
1
cos
z,
f1(4) (z)
sin
z
f1 ( z )
往后依次重复
4
在z0＝0处，f1(z)和前四阶导数的值是 f1(0) 0, f1(0) 1
泰勒级数
[解]
定理(泰勒展开定理) 设 f (z) 在区域 D 内解析, z0 为 D 内的一点, 设 d = d {z0, D边界}, 则当 |z-z0|< d 时,
注
f (z)在 解析等价于 f (z)在
的邻域内可以展
定理一(Abel定理) 若级数
在
处
收敛，则对满足 的z，级数必绝对收敛; 若在 级数发散，则对满足 的z，级数必发散.
收敛半径的求法
幂级数
达朗贝尔判别法（比值法）：
若成立 ，则收敛半径
柯西判别法（根值法） 若成立 ，则收敛半径
2
二、填空题
2. 若幂级数 的收敛半径为R，那么幂级数 的收敛半径为
定理四 设幂级数
注2 f (z)在 解析等价于 f (z)在 以展开成幂级数
的邻域内可
下证泰勒级数的唯一性.
假设 f (z) 在 z0 用另外的方法展开为泰勒级数：
同理可得
泰勒展开式的计算
1、直接展开法 通过直接计算系数:
把 f (z) 在 z0 展开成幂级数. 例 求 ez 在 z=0 处的泰勒展开式, 由于
的收敛半径为R，则
内 1) 它的和函数 是收敛圆 的解析函数。 2) f (z) 在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导 得到，即 3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分, 即
或
4
例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数
例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数
幂级数的复合运算 例 把函数 表成形如 的幂级数,
RN ( z)
11
称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数。 定理(泰勒展开定理) 设 f (z) 在区域 D 内解析, z0
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逐项求导法求泰勒级数
今天我们将讨论“逐项求导法求泰勒级数”，这是一种用于计算函数在某一点处的泰勒级数展开式的方法。
首先，我们回顾一下泰勒级数，泰勒级数是一系列多项式的和，用来对函数f（x）进行展开。
它有如下形式：
f（x）= f（x0）+f（x0）（x-x0）+f（x0）/2！（x-x0）2 + f （x0）/3！（x-x0）3+……
其中，f（x0），f（x0），f（x0），f（x0）……是函数f在某一点x0处的值和其对应的n次导数。
它表明，只要我们知道函数在某一点处的值和导数，就可以用它来求函数的泰勒级数展开式。
因此，当需要求某一函数的泰勒级数展开式时，可以采用逐项求导法。
所谓“逐项求导法”，就是指，首先求出函数f（x）在某一点x0处的值，然后再对它求出第一次导数f（x0），继续求出f（x0），依此类推，求出f（x）在x0处的各次导数，直到求出f（n）（x0）。
有了函数f（x）在x0处的值和导数，就可以把它们代入到上面的泰勒级数展开式中，就可以求出f（x）在x0处的泰勒级数展开式了。
除此之外，如果对某一函数能够求出它的高阶导数，那么就可以用它来求出函数的泰勒级数展开式了。
目前，许多数值分析软件都支持这种应用逐项求导法求泰勒级数的方法。
例如，MATLAB、Maple和Mathematica等软件都提供了一些
内置的函数，可以用来求出函数的泰勒展开式。
此外，还有一些书籍对逐项求导法求泰勒级数提供了更多的细节说明，例如《数值计算法》和《常微分方程数值解》等。
总之，逐项求导法是一种常用的求泰勒级数的方法，它可以用来求出函数在某一点处的泰勒级数展开式。
通过它，可以大大降低计算的复杂性，也可以准确地求出一个函数的泰勒展开式，从而帮助我们更好地理解函数特。