第十讲泰勒级数和罗朗级数教学材料
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§4.3 泰勒(Taylor)级数
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式
一. 泰勒(Taylor)展开定理
由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数一定 是一个解析函数。
现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? ）
n 0,1,2,
函数展开成Taylor级数的方法： • 代公式 ---直接法 • 由展开式的唯一性，利用一些已知函数的展开式， 运用级数的代数运算、分析运算等 ---间接法
三. 简单初等函数的泰பைடு நூலகம்展开式
例1 求 f(z)ez,sin z,coz在 sz0的 Talor 展开 . 式
解 (e z)(n ) e z 1(n 0 ,1 ,2 , )
n0
n2
n2
z 1
(1) 根据区域判别级数方式： 在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒级数，在环域
内需要把f (z)展成罗朗级数。
(2) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： • Taylor级数先展开求R, 找出收敛域。 • Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为 中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所 有使 f(z) 解析的环，在环域上展成级数。
z
2
f(z)1 1z2 1z1 z1 111 21 1z
z
2
1(1)n1(z)n
zn0 z 2n0 2
n1
1 zn
n0
zn 2n1
(ii)i2z z2 21 z
f(z)11z2 1z1z1111z112 zz
1(1)n1(2)n
zn0 z zn0 z
n1
2n1 1 zn
例5 求 f(z)1以 z 0 及 z 1 为 中 心 的 罗 朗 级 数 .
z(z 1 )
[解] 函 数 f( z ) 只 有 两 个 奇 点 z 0 及 z 1 ，
f ( z ) 在 以 z 0 为 中 心 的 圆 环 域 0 < z 1 及 1 < z 内 解 析 ，
在 以 z 1 为 中 心 的 圆 环 域 0 < z - 1 1 及 1 < z - 1 内 解 析 ，
z 0
z 0
ez1zz2z3 zn zn
2 ! 3 !
n !
n 0n !
ez在复平面上解析
该级数的收敛R半 径 .
sizn ezi 2iezi2 1 i n 0 (zn !)n in 0 ( n z!)n i
1 2 i2k 1z2k 1 ( 1 )k 1z2k 1
2 ik 1 (2k 1 )! k 1 (2k 1 )!
它们的和. 非负幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2：
对负幂项, 如果令=(zz0)1, 就得到：
z z0 R2 .
c n(z z0) n c n n c 1 c 2 2,
n 1
n 1
这是
的幂级数,
设收敛半径为R：Rzz0
1 R
R1
则当|zz0|>R1时, 即| |<R, cn n cn(zz0)n收 敛 。
称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1<|zz0|<R2内 的罗朗级数.
一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项
的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的罗朗级数.
(1)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点z0的 邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么就利用罗 朗（ Laurent ）级数来展开。
o 1 2x
o 1 2x
（i)0 z 1 (ii)1z 2 (ii)i2z
解:
f(z) 1 1 1z 2z
(i) 0z1z1z1 2
故 f(z) 1 1 1
1z 21z
2
zn 1 (z)n
n0
2n0 2
没 有 奇
n0
(1
1 2n1
)zn
点
(i)i1z2 z1 11 又z 2 z 1
23
n 1
§4.4 罗朗(Laurent)级数
1. 罗朗级数 2. 函数展开成罗朗级数 3. 如何展开成罗朗级数
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。
§4 罗朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该 圆域内展开成zz0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用zz0的幂级数来表示. 但是这种情况 在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
f (z) 1 1 当0< z 1时， z 1 z
f(z)1 1 1zn z n
z 1z z n0 n 1
当1<z 时，
f (z)
11 z 1 1
1 z
1 1 (1)n z z n0 z
(1 )n n2 z
z
f (z) 1 1
z 1 z
当0<z11时，令 z 1 ,则 0 < 1 ,z 1 ,于 是
现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展 开成罗朗级数?
二. 函数展开成罗朗级数
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |zz0| < R2内解析, 则 f(z) cn(zz0)n 其中 n
cn
1 2πi
C
(
f ()
z0)n1
d.
(n0,1,2,
)
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.
(3)f(z)ln 1 (z)
解 因 为 [ln ( 1 z )] 1 ( 1 )n z n ,逐 项 积 分 得 1 zn 0 0 z1 1 d z 0 zd 0 z( 1 )n nd ,
即 ln ( 1 z ) z z 2 z 3 ( 1 ) nz n 1|z | 1 .
f(z)z1 11 z 111
1 （ 1 ） n n （ 1 ） n1(z1)n
n0
n1
当1<z1时， 令 z 1 ,则 1 < ,z 1 ,于 是
f(z)z1 11 z 111
1
1
1
1
1
=11 (1)n(1)n= (1)n ( 1 )n = (1)n( 1 )n
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
解 (1 ) 1 1 z z2 zn z 1 1 z
1 1 1 z ( 1 )nzn z 1 1 z 1 ( z)
(2)由幂级数逐项求导性质得：
(1 1z)2d dz1 1zd d z1zz2 (1)n1zn
12z3z2 (1)n1nn z1 z1
作业
习题八、1 、（选作两个） 2、3、
（2）罗朗级数是唯一的,利用已知的函数的幂级数 来展开的间接法。
1
例3 把函数 f(z)z3ez 在0| z|内展开成洛.朗级
[解] 因有 ez 1zz2z3 zn
2! 3! n!
1
z3ez
z3(11z2!1z2
3!1z3
4!1z4
)
z3z2z 1 1 0z . 2! 3! 4!z
例4
y
y
y
o 1 2x
siz nzz3z5z7 ( 1 )k 1z2 k 1
3 ! 5 ! 7 ! k 1 (2 k 1 )!
又cozs(sizn)'
1z2z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
siz,c nz o 在 s 全平 , 它 面 们 R 上 的
上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.
n1
n1
因此, 只有在R1<|zz0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数
cn(zz0)n cn(zz0)n c1(zz0)1
n
c0 c1(zz0) cn(zz0)n ,
在收敛圆环域内也具有. 上述级数在收敛域内其和函数是 解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在区域D内解析, z0 D, R为z0到D的边界
上各点的最短距离当z z0 R时,
f (z) cn(z z0)n (1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
n0
其中: cn
1 n!
f
(n) (z0)
讨论下列形式的级数:
罗朗级数
cn(zz0)n cn(zz0)n c1(zz0)1
n
c0 c1(zz0) cn(zz0)n ,
可将其分为两部分考虑:
cn(zz0)nc0c1(zz0) cn(zz0)n (非 部 分 )
n0
cn(zz0)nc1(zz0)1 cn(zz0)n ( 部 分 )
n1
只有非负幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式
一. 泰勒(Taylor)展开定理
由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数一定 是一个解析函数。
现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? ）
n 0,1,2,
函数展开成Taylor级数的方法： • 代公式 ---直接法 • 由展开式的唯一性，利用一些已知函数的展开式， 运用级数的代数运算、分析运算等 ---间接法
三. 简单初等函数的泰பைடு நூலகம்展开式
例1 求 f(z)ez,sin z,coz在 sz0的 Talor 展开 . 式
解 (e z)(n ) e z 1(n 0 ,1 ,2 , )
n0
n2
n2
z 1
(1) 根据区域判别级数方式： 在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒级数，在环域
内需要把f (z)展成罗朗级数。
(2) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： • Taylor级数先展开求R, 找出收敛域。 • Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为 中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所 有使 f(z) 解析的环，在环域上展成级数。
z
2
f(z)1 1z2 1z1 z1 111 21 1z
z
2
1(1)n1(z)n
zn0 z 2n0 2
n1
1 zn
n0
zn 2n1
(ii)i2z z2 21 z
f(z)11z2 1z1z1111z112 zz
1(1)n1(2)n
zn0 z zn0 z
n1
2n1 1 zn
例5 求 f(z)1以 z 0 及 z 1 为 中 心 的 罗 朗 级 数 .
z(z 1 )
[解] 函 数 f( z ) 只 有 两 个 奇 点 z 0 及 z 1 ，
f ( z ) 在 以 z 0 为 中 心 的 圆 环 域 0 < z 1 及 1 < z 内 解 析 ，
在 以 z 1 为 中 心 的 圆 环 域 0 < z - 1 1 及 1 < z - 1 内 解 析 ，
z 0
z 0
ez1zz2z3 zn zn
2 ! 3 !
n !
n 0n !
ez在复平面上解析
该级数的收敛R半 径 .
sizn ezi 2iezi2 1 i n 0 (zn !)n in 0 ( n z!)n i
1 2 i2k 1z2k 1 ( 1 )k 1z2k 1
2 ik 1 (2k 1 )! k 1 (2k 1 )!
它们的和. 非负幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2：
对负幂项, 如果令=(zz0)1, 就得到：
z z0 R2 .
c n(z z0) n c n n c 1 c 2 2,
n 1
n 1
这是
的幂级数,
设收敛半径为R：Rzz0
1 R
R1
则当|zz0|>R1时, 即| |<R, cn n cn(zz0)n收 敛 。
称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1<|zz0|<R2内 的罗朗级数.
一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项
的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的罗朗级数.
(1)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点z0的 邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么就利用罗 朗（ Laurent ）级数来展开。
o 1 2x
o 1 2x
（i)0 z 1 (ii)1z 2 (ii)i2z
解:
f(z) 1 1 1z 2z
(i) 0z1z1z1 2
故 f(z) 1 1 1
1z 21z
2
zn 1 (z)n
n0
2n0 2
没 有 奇
n0
(1
1 2n1
)zn
点
(i)i1z2 z1 11 又z 2 z 1
23
n 1
§4.4 罗朗(Laurent)级数
1. 罗朗级数 2. 函数展开成罗朗级数 3. 如何展开成罗朗级数
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。
§4 罗朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该 圆域内展开成zz0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用zz0的幂级数来表示. 但是这种情况 在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
f (z) 1 1 当0< z 1时， z 1 z
f(z)1 1 1zn z n
z 1z z n0 n 1
当1<z 时，
f (z)
11 z 1 1
1 z
1 1 (1)n z z n0 z
(1 )n n2 z
z
f (z) 1 1
z 1 z
当0<z11时，令 z 1 ,则 0 < 1 ,z 1 ,于 是
现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展 开成罗朗级数?
二. 函数展开成罗朗级数
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |zz0| < R2内解析, 则 f(z) cn(zz0)n 其中 n
cn
1 2πi
C
(
f ()
z0)n1
d.
(n0,1,2,
)
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.
(3)f(z)ln 1 (z)
解 因 为 [ln ( 1 z )] 1 ( 1 )n z n ,逐 项 积 分 得 1 zn 0 0 z1 1 d z 0 zd 0 z( 1 )n nd ,
即 ln ( 1 z ) z z 2 z 3 ( 1 ) nz n 1|z | 1 .
f(z)z1 11 z 111
1 （ 1 ） n n （ 1 ） n1(z1)n
n0
n1
当1<z1时， 令 z 1 ,则 1 < ,z 1 ,于 是
f(z)z1 11 z 111
1
1
1
1
1
=11 (1)n(1)n= (1)n ( 1 )n = (1)n( 1 )n
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
解 (1 ) 1 1 z z2 zn z 1 1 z
1 1 1 z ( 1 )nzn z 1 1 z 1 ( z)
(2)由幂级数逐项求导性质得：
(1 1z)2d dz1 1zd d z1zz2 (1)n1zn
12z3z2 (1)n1nn z1 z1
作业
习题八、1 、（选作两个） 2、3、
（2）罗朗级数是唯一的,利用已知的函数的幂级数 来展开的间接法。
1
例3 把函数 f(z)z3ez 在0| z|内展开成洛.朗级
[解] 因有 ez 1zz2z3 zn
2! 3! n!
1
z3ez
z3(11z2!1z2
3!1z3
4!1z4
)
z3z2z 1 1 0z . 2! 3! 4!z
例4
y
y
y
o 1 2x
siz nzz3z5z7 ( 1 )k 1z2 k 1
3 ! 5 ! 7 ! k 1 (2 k 1 )!
又cozs(sizn)'
1z2z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
siz,c nz o 在 s 全平 , 它 面 们 R 上 的
上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.
n1
n1
因此, 只有在R1<|zz0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数
cn(zz0)n cn(zz0)n c1(zz0)1
n
c0 c1(zz0) cn(zz0)n ,
在收敛圆环域内也具有. 上述级数在收敛域内其和函数是 解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在区域D内解析, z0 D, R为z0到D的边界
上各点的最短距离当z z0 R时,
f (z) cn(z z0)n (1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
n0
其中: cn
1 n!
f
(n) (z0)
讨论下列形式的级数:
罗朗级数
cn(zz0)n cn(zz0)n c1(zz0)1
n
c0 c1(zz0) cn(zz0)n ,
可将其分为两部分考虑:
cn(zz0)nc0c1(zz0) cn(zz0)n (非 部 分 )
n0
cn(zz0)nc1(zz0)1 cn(zz0)n ( 部 分 )
n1
只有非负幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于