第十讲泰勒级数和罗朗级数教学材料
泰勒定理教案
泰勒定理教案教案标题：探索泰勒定理教案目标：1.了解泰勒定理的概念和应用领域。
2.掌握使用泰勒定理进行函数近似的方法。
3.能够应用泰勒定理解决实际问题。
教案步骤：引入：1.通过引用实际生活中的例子，如使用泰勒定理来近似计算复杂函数值，激发学生对泰勒定理的兴趣和好奇心。
知识讲解：2.简要介绍泰勒定理的背景和定义，解释泰勒级数展开的概念。
3.讲解泰勒定理的公式和推导过程，包括一阶泰勒展开和高阶泰勒展开。
4.讲解泰勒展开的误差估计方法，如拉格朗日余项公式。
示例演练：5.通过具体的数学函数例子，如正弦函数或指数函数，展示如何使用泰勒定理进行近似计算，并与实际值进行比较。
6.引导学生在小组中尝试使用泰勒定理解决其他函数的近似计算问题，并进行讨论和分享。
拓展应用：7.引导学生思考泰勒定理在实际问题中的应用，如物理学、工程学等领域中的近似计算问题。
8.提供一些相关的应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。
总结回顾：9.对泰勒定理的概念、公式和应用进行总结回顾，并强调其重要性和实用性。
10.鼓励学生在日常学习和实践中继续应用泰勒定理，加深对其理解和掌握。
评估：11.设计一些练习题或小组活动，检验学生对泰勒定理的理解和应用能力。
12.根据学生的表现评估他们的学习成果，并提供个别指导和反馈。
扩展：13.对于学习较快的学生，提供更高阶的泰勒展开知识，或引导他们探究其他相关的数学定理。
14.对于学习较慢的学生，提供更多的例子和练习，帮助他们巩固基本概念和运用能力。
注：根据具体教育阶段和学生能力，教案的详细内容和深度可以进行适当调整。
第十讲 洛朗级数.ppt
z0 )n
第二个积z
(z
) z
d
z
.由于z在K1上,点
z在K1的外部,
z
z
z0 z0
1.因此
z
1 z
1 z z0
1
1
z
z0
n1
(z z0 )n1
(z z0 )n
z z0
n1
(z
1 z0 )n1
(z z0 )n,
1 f (z ) dz
2π i z K1 z
现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定 能够展开成级数?先看下例.
函数f
(z)
1 z (1
z)
在z
0及z
1都不解析, 但
在圆环域0 | z | 1及0 | z 1| 1内都是解析的.
先研究0 | z | 1的情形,
f
(z)
1 z (1
z)
1 z
1 1
z
1 1 z z2 zn . z
由此可见, f (z)在0 | z | 1内是可以展开为级
电子工程学院
ez 1 z z 2 z n .
2!
n!
R
sin z z z3 z5 (1)n z2n1 R
3! 5!
(2n 1)!
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
R
ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1
23
n 1
R 1
2 n0
1
(1 z2 )3
n0
(1)n (n 2)(n 1) 2
z2n
| | 1
arg tgz
z 0
dz 1 z2
ch4.2.3泰勒级数和洛朗级数
(1+ z) f ′ ( z ) = α f ( z )
∞
Байду номын сангаас
f ( z ) = ∑ anz n
n= 0
α ( α − 1) α ( α − 1) ( α − 2) a1 = α , a2 = , a3 = ,⋯ , 2! 3! α (α − 1 ) ( α − 2 ) ⋯ ( α − n + 1 ) an = ,⋯ n!
3.2 求解析函数泰勒展开式的方法
1. 直接方法 由Taylor展开定理计算级数的系数 1 (n) cn = f ( z0 ) ( n = 0,1, 2, ⋯ ) , n! 然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.
例1 求
f ( z ) = e 在 z = 0 的Taylor展开式.
z
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运 算性质 (逐项求导, 逐项积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求 函数的Taylor展开式.
∞
f ( z ) = ∑ cn ( z − z0 )n ,
n= 0
( n = 0, 1, 2,⋯) .
D
R
.z0
∑ c (z − z )
n
0
n
n=0
称为 f ( z ) 在 z0 点的Taylor级数.
推论：设函数f(z)在z0解析，a为f(z)距z0的最近的一个奇点，则在 半径为 R = α − z0 的圆域内，f(z)可以展成泰勒级数.
间接法的优点 : 间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
∞ e iz + e − iz 1 ⎡ ∞ 1 1 n n⎤ cos z = = ⎢ ∑ ( iz ) + ∑ ( − iz ) ⎥ , 2 2 ⎣ n=0 n ! ⎦ n=0 n ! ∞
泰勒级数课件
e , 例如 f ( x ) 0,
1 x2
x0 x0
(n)
在x=0点任意可导, 且 f
(0) 0 ( n 0,1,2,)
f ( x )的麦氏级数为 0 x n
n 0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x ) 的麦氏级数处处不收敛 f ( x ). 于
例5 将函数
1 (1) n x n ( 1 x 1 ) 解: f ( x) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x (1) n n 1 ln(1 x) (1) n x n d x x , 1 x 1 1 x 1 n 0 n 0 n 1 0
如果函数 f ( x )
a n ( x x0 ) n ， 即
n 0
f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 )
n
易得a0 f ( x0 ),
逐项求导任意次,得
f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 ) n1
令 S n 1 ( x)
k 0
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
x ( x0 )
二、函数展开成幂级数
x
例8 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
泰勒级数的定义和应用
泰勒级数的定义和应用1. 泰勒级数的概念泰勒级数（Taylor series）是一种在数学分析中常用的工具，它是一个函数在某一点的邻域内的无穷级数展开式。
其目的在于用一组多项式来逼近一个连续函数，使得在给定误差范围内，该多项式与原函数的值尽可能接近。
2. 泰勒级数的表达式设函数f(x)在点a处可导，且导数在该点连续，那么函数f(x)在点a处的泰勒级数可以表示为：[ f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + (x-a)^2 + (x-a)^3 + + (x-a)^n + R_n(x) ]其中，( f^{(n)}(a) )表示f(x)在点a处的第n阶导数，n为正整数；( R_n(x) )表示余项，表示泰勒级数中余项部分的误差。
当n趋于无穷大时，如果余项趋于0，则泰勒级数收敛于函数f(x)。
3. 泰勒级数的性质（1）收敛性：泰勒级数的收敛性与余项密切相关。
如果余项满足一定的条件，例如幂级数展开的余项为( R_n(x) (x-a)^{n+1} )，其中M为常数，则泰勒级数收敛。
（2）唯一性：在某一区间内，一个函数的泰勒级数是唯一的，除非该函数在该区间内具有多个极值点。
（3）对称性：如果函数f(x)是偶函数，则其泰勒级数在原点对称；如果函数f(x)是奇函数，则其泰勒级数关于原点对称。
4. 泰勒级数的应用泰勒级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，以下列举几个典型例子：（1）求解微分方程：泰勒级数可以用来求解许多微分方程，特别是那些形式复杂的非线性微分方程。
通过将方程两边展开成泰勒级数，可以简化方程求解过程。
（2）数值计算：在计算机计算中，为了提高计算精度，常常需要将函数在某一点附近展开成泰勒级数，然后利用级数的前几项进行数值计算。
（3）泰勒级数在物理学中的应用：在物理学中，许多自然现象可以用泰勒级数来描述，例如正弦函数、余弦函数等。
通过将物理量展开成泰勒级数，可以研究其在不同条件下的变化规律。
泰勒级数与洛朗级数
同理可得
z 2n z2 z4 cos z ( 1)n 1 , | z | . ( 2n)! 2! 4! n 0
二、将函数展开为泰勒级数的方法
2. 间接展开法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、 代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。
两个重要的已知展开式
例 将函数 f ( z ) sin z 在 z 1 点展开为幂级数。 解 sin z sin[ 1 ( z 1)] sin 1 cos(z 1) cos1 sin( z 1)
( z 1)2 n sin 1 ( 1)n ( 2n)! n 0 ( z 1)2 n1 cos1 ( 1) , | z 1| . ( 2n 1)! n 0
§4.3 泰勒级数
一、泰勒(Taylor)定理 二、将函数展开为泰勒级数的方法
一、泰勒(Taylor)定理
定理 设函数 f (z ) 在区域 D 内解析，C 为 D 的边界，z0 D ,
R min | z z0 | , 则当 | z z0 | R 时，有
z C
f ( z ) a n ( z z0 ) n ,
n
n 1 1 1 ' n( z i ) (2) 2 (1 z ) 1 z (1 i )n1 n 1
n 0
n1 ( z i )n , | z i | 2 . (1 i )n 2
例 将函数 f ( z ) ln (1 z ) 分别在 z 0 , z 1 点展开为幂级数。
1 ( n) an f ( z0 ) . n!
一、泰勒(Taylor)定理
泰勒公式和泰勒级数共26页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
泰勒展开式与洛朗展开式(课堂PPT)
f (z) cn(zz0)n (1) n0
f (z)在z0处 的Taylor级数
其中:cn
1 n!
f
(n)(z0)
n0,1,2,L
分析：
Ñ cn n1!f(n)(z0)21i kf(z0)n1d
代入(1) k:z0 r
D
z0
k
n 0cn(zz0)nn 0f(nn )(!z0)(zz0)n
设函 f(z)在 数区 D 内 域 解 ,K: 析 z0 r
如图:
.z
z 0 . r .K
K内任意点
圆周 z0r
D
2. 泰勒(Taylor)级数展开定理
定理（泰勒级数展开定理）
设 f(z)在 区 域 D 内 解 析 ,z0 D ,R 为 z0 到 D 的 边 界
上 各 点 的 最 短 距 离 ， 则 当 z z0 R 时 ,
1 zz01(zz0) 1z01z1 zz00,
1 z 1 z0 1 z z z 0 0 (z z z 0 0 )2 L (z z z 0 0 )n L (2 )
故f( z)n 0f (z)0
(zz0)n
(z0)n
n0
(
f (z0))n1(zz0)n
(*)式
证明： 设 k:z0 r,{z0 r}D,
Ñ n 021 i k( f(z0))n1d(zz0)n Ñ 21 i kn 0( f(z0))n1(zz0)nd (I)
又 f(z)21 iÑ kf( z)d (II)
联合(I),(II)
D
z0
z
k
需 证 f() z n 0(
f(z0) )n 1(zz0)n(* )
z z0 q 1, z0
高中数学备课教案三角函数的泰勒展开与级数
高中数学备课教案三角函数的泰勒展开与级数高中数学备课教案三角函数的泰勒展开与级数一、引言在高中数学教学中，三角函数是一个非常重要的概念。
为了更深入地理解三角函数及其性质，本教案将重点介绍三角函数的泰勒展开与级数，帮助学生在数学学习中更好地应用这一概念。
二、三角函数的泰勒展开1. 泰勒级数的概念泰勒级数是一种将函数用无穷多项式逼近的方法。
对于一个在某点附近具有充分多个连续导数的函数，可以通过泰勒级数近似表示。
2. 泰勒展开公式泰勒展开公式是将函数在某一点展开成幂级数的表达式。
对于光滑函数f(x)，若其在x=a处的所有导数都存在，那么可以使用泰勒展开公式将f(x)表示为以(x-a)为变量的幂级数形式。
3. 三角函数的泰勒展开以正弦函数sin(x)为例，其在x=0附近的泰勒展开为：sin(x) = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) - (x^7)/(7!) + ...类似地，余弦函数、正切函数等三角函数也都有相应的泰勒展开形式。
三、三角函数的级数1. 幂级数的概念幂级数是一种无穷级数，由多项式相加而成。
可以将函数表示为幂级数的形式，从而更好地理解函数的性质。
2. 三角函数的级数表示三角函数可以通过级数的形式表示。
例如，正弦函数可以表示为无穷级数的形式：sin(x) = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) - (x^7)/(7!) + ...通过级数形式表示三角函数，可以帮助我们更好地理解其周期性、奇偶性等特性。
3. 级数的收敛性在使用级数表示函数时，需要关注级数的收敛性问题。
对于给定的函数，其级数不一定在所有点处均收敛。
因此，在使用级数表示函数时，需要确定其收敛的范围。
四、应用示例在实际数学问题中，泰勒展开与级数在解决某些问题时非常有用。
以下是一些应用示例：1. 近似计算泰勒展开与级数可以用于近似计算。
例如，通过将函数展开为级数形式，可以将复杂的计算问题转化为计算级数的问题，从而简化计算过程。
第十讲泰勒级数和罗朗级数28页PPT
§4.3 泰勒(Taylor)级数
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式
一. 泰勒(Taylor)展开定理
由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数一定 是一个解析函数。
现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? ）
z1d z zd z ( 1 ) nn d,
0 1
0
0
即 l n ( 1 z ) z z 2 z 3 ( 1 ) n z n 1 |z | 1 .
23
n 1
§4.4 罗朗(Laurent)级数
1. 罗朗级数 2. 函数展开成罗朗级数 3. 如何展开成罗朗级数
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在区D 域 内解,析 z0 D,R为z0到D的边界
上各点的最短 距 当z离 z0 R时,
f(z) cn(zz0)n (1)
n0
f (z)在z0处 的Taylor级数
其中 :cn
1 n!
f
(n)(z0)
n0,1,2,
sz i n e z 2 iie z i 2 1 i n 0( z n ! )n i n 0( n z !)n i
12 i2 k 1 z 2 k 1 ( 1 )k 1 z 2 k 1
2 ik 1(2 k 1 )!k 1 (2 k 1 )!
sz i n z z 3 z 5 z 7 ( 1 ) k 1 z 2 k 1 3 ! 5 ! 7 ! k 1( 2 k 1 )! 又 coz s(szi)n'
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。
4. 泰勒级数·罗朗级数·留数定理
§4 泰勒级数·罗朗级数·留数定理一、泰勒级数与罗朗级数1.泰勒级数[泰勒级数展开定理] 设函数)(z f 在圆R a z <-||（0>R ）内解析，那末)(z f 在圆内可以展成泰勒级数∑∞=-=0)()(n n n a z c z f式中ωωωπd )()(21!)(1)(⎰+-==C n n n a f i n a f c 其中C 是以a 为圆心，以ρ（R <ρ）为半径的圆周.这个展开式是唯一的.复变函数的泰勒级数展开式表与实变函数的幂级数展开式表（第五章§3，九）相类似，只要把实变量x 换成复变量z 就可以了. [复平面内的幂级数的收敛性] 如果幂级数∑∞=-0)(n nn a z c在圆R a z <-||内绝对收敛，而在圆外发散，那末称R a z <-||为级数的收敛圆，R 为收敛半径，并且n nn c R ____lim 1∞→=或者||lim 1+∞→=n nn c c R [阿贝耳定理] 对于每个幂级数∑∞=-0)(n nn a z c存在一个收敛半径R （∞≤≤R 0）具有下列性质：1o 对于R a z <-||内每点z ，级数绝对收敛.在每一闭圆r a z ≤-||（R r <）上，级数一致收敛.2o R a z >-||,级数发散.3o 在R a z <-||内，级数的和是一解析函数.由性质3o 和泰勒级数展开定理可知，复变函数在一点a 解析和在点a 的邻域内可以展开为幂级数是等价的.[运算规则] 在公共的收敛圆R a z <-||内，有下列运算规则：∑∑∑∞=∞=∞=-+=-+-0))(()()(n n n n n nnn nna zb a a z b a z a∑∑∑∞=∞=∞=-=-⋅-0)()()(n n n n n n n n na z c a zb a z a（0110b a b a b a c n n n n +++=- ）∑∑∞=+∞=-+='⎩⎨⎧⎭⎬⎫-010)()1()(n n n n n n a z a n a z a∑⎰∑∞=∞=-++=⎩⎨⎧⎭⎬⎫-00)(1d )(n n n n n n a z n a C z a z a（C 是任意复数）2.罗朗级数展开定理如果函数)(z f 在环形区域R a z r <-<||（0≥r ，∞≤R ）内解析，那末)(z f 在环形区域内可展开为罗朗级数 ∑∞-∞=-=n nna z c z f )()(式中⎰+-=C n n a f i c ωωωπd )()(211， ,2,1,0±±=n C 是任一圆周ρ=-||a z （R r <<ρ），函数的罗朗级数在环形区域R a z r <-<||内的任意一个闭区域上一致收敛.级数∑∞=-=01)()(n n n a z c z f 称为罗朗展开的正则部分， 级数∑∞=---=12)()(n n n a z c z f 称为罗朗展开的主要部分.如果级数∑∞-∞=-n nna z c )(在环形区域R a z r <-<||内收敛，那末级数的和)(z f 在这个区域内解析，并且这个级数就是)(z f 的罗朗级数.因此圆环上解析函数的罗朗展开式是唯一的. 3.解析函数的局部性质[解析函数的零点] 设)(z f 在0z 解析，并且0)(0=z f ，则称0z 为)(z f 的零点.若0)()()(0)1(00==='=-z f z f z f m 而0)(0)(≠z f m ，则称0z 为)(z f 的m 阶零点.解析函数)(z f 的零点是孤立的，也就是说，如果0z 是)(z f 的零点，并且不是0)(≡z f ，那末一定有一正数0>ρ，使得)(z f 在圆ρ<-||0z z 内除0z 外无其他零点.[解析函数的唯一性定理] 设函数)(z f 和)(z g 在区域D 内解析，D 的内点列}{n z （ ,2,1=n ）有一极限点0z 属于D ，如果 )()(n n z g z f =， ,2,1=n 那末在区域D 内)()(z g z f ≡这个性质表明区域D 内的解析函数由D 内任一收敛于D 的内点的点列上的数值完全决定. [孤立奇点（可去奇点·极点·本性奇点）] 如果函数)(z f 在0z 的一个邻域ρ<-||0z z 内除0z 外解析，称0z 是函数)(z f 的一个孤立奇点.孤立奇点分三类：1o 当A z f z z =→)(lim 0（A 为有限数），0z 称为)(z f 的可去奇点.0z 是)(z f 的可去奇点的充分必要条件是：)(z f 在0z 的邻域里*的罗朗级数不含主要部分，或者是)(z f 在0z 的邻域里有界. 2o 当∞=→)(lim 0z f z z ，0z 称为)(z f 的极点.0z 是)(z f 的极点的充分必要条件是：)(z f 在0z 的邻域里的罗朗级数的主要部分只含有限多项，即∑∞=---+-++-=00010)()()()(n n n m m z z c z z c z z c z f如果主要部分中)(0z z -的负次幂最高的是m ，那末称0z 为)(z f 的m 阶极点.3o 当)(lim 0z f z z →不存在，0z 称为)(z f 的本性奇点.0z 是函数)(z f 的本性奇点的充分必要条件是：)(z f 在0z 的邻域里的罗朗级数中主要部分有无限多项.如果0z 是函数f (z )的本性奇点，那末对任意复数A ,都存在一点列{}n z ),2,1( =n ，0z z n →,使得A z f n n =∞→)(lim[泰勒定理] 如果函数)(z f 在区域D 内解析，那末对于D 内一点a ，有nn n n n R a z n a f a z n a f a z a f a z a f a f z f +-+--++-''+-'+=--)(!)()()!1()()(!2)()(!1)()()()(1)1(2 其中余项的形式是⎰---=++C n n n z a f i a z R )()(d )(2)(11ωωωωπ C 是以a 为圆心的圆周（C 的内部在D 内）.泰勒定理是讲解析函数的有限展开式，而泰勒级数展开定理（§4，一，1）是无穷级数形式.对于研究解析函数的局部性质来说，有用的还是这里的有限展开式. [解析函数在无穷远点的性质]1o 无穷远点的邻域以原点为中心，R 为半径的圆的外部所有的点是无穷远点的一个邻域.2o 无穷远点是)(z f 的孤立奇点 设)()1()(z f z f z ='='ϕ.若0='z 是)(z 'ϕ的可去奇点，则称∞=z 为)(z f 的可去奇点；若0='z 是)(z 'ϕ的m 阶极点，则称∞=z 为)(z f 的m 阶极点；若0='z 是)(z 'ϕ的本性奇点，则称∞=z 为)(z f 的本性奇点.3o 函数)(z f 在无穷远点的罗朗级数 设)(z 'ϕ在0='z 的邻域内的罗朗级数是 ∑∞-∞='='n nnz b z )(ϕ令z z '=1，得到)(z f 在∞=z 的邻域内的罗朗级数 ∑∞-∞==n nnzc z f )(， n n b c -= ,2,1,0(±±=n ）所以，当∞=z 是)(z f 的可去奇点时，)(z f 的罗朗级数中不含z 的正次幂；当∞=z 是)(z f 的m 阶极点时，)(z f 的罗朗级数中，只有有限项z 的正次幂，并且m c （1≥m ）是最后一个不等于零的系数；当∞=z 是)(z f 的本性奇点时，)(z f 的罗朗级数中，有无限多项z 的 *凡是在一点0z 的邻域里谈到罗朗级数，这个邻域就是指ρ<-<||00z z ，ρ为某个正数.正次幂.4o 函数)(z f 在无穷远点是孤立奇点的性质 当∞=z 是)(z f 的可去奇点时，函数的模在无穷远点的某一邻域里有界；当∞=z 是)(z f 的m 阶极点时，函数的模在无穷远点的任一邻域里无界；当∞=z 是)(z f 的本性奇点时，对任意复数A ，都存在点列}{n z ，∞=∞→n n z lim ，使得A z f n n =∞→)(lim .5o 无穷远点是)(z f 的零点 )(z f 的罗朗级数中不含z 的正次幂，而且00=c 。
高中数学泰斗教案模板范文
课题：《泰勒级数及其应用》一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解泰勒级数的概念，掌握泰勒级数的展开方法。
（2）学会利用泰勒级数解决实际数学问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（3）通过泰勒级数的推导过程，培养学生严谨的逻辑思维和数学素养。
2. 过程与方法：（1）通过探究、讨论，引导学生发现泰勒级数的规律。
（2）通过实际问题，让学生学会运用泰勒级数解决实际问题。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生对数学的热爱。
（2）引导学生认识到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）泰勒级数的概念及其展开方法。
（2）泰勒级数在实际数学问题中的应用。
2. 教学难点：（1）泰勒级数的推导过程。
（2）泰勒级数在解决实际数学问题中的应用。
三、教学准备1. 教师准备：（1）PPT课件，展示泰勒级数的概念、展开方法及实例。
（2）多媒体设备，用于展示教学过程。
2. 学生准备：（1）预习本节课内容，了解泰勒级数的基本概念。
（2）准备好笔记本，记录课堂笔记。
四、教学过程（一）导入1. 复习函数的泰勒展开式，引导学生思考泰勒级数的概念。
2. 引出本节课的主题：泰勒级数及其应用。
（二）新授课程1. 泰勒级数的概念（1）展示泰勒级数的定义，让学生理解泰勒级数的概念。
（2）举例说明泰勒级数的展开方法。
2. 泰勒级数的推导（1）介绍泰勒级数的推导过程，引导学生理解推导过程。
（2）强调泰勒级数推导过程中的关键步骤。
3. 泰勒级数的应用（1）举例说明泰勒级数在解决实际数学问题中的应用。
（2）引导学生运用泰勒级数解决实际问题。
（三）课堂练习1. 完成PPT课件中的例题，巩固所学知识。
2. 针对课堂内容，布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
（四）总结与反思1. 回顾本节课所学内容，总结泰勒级数的概念、推导过程及应用。
2. 引导学生反思自己在学习过程中的收获与不足。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考深度。
复变函数第10讲
同理，
sin n
2 也收敛。
n1 n
从而复级数
i n 收敛，且为条件收敛。
n1 n
§2 幂级数
1. 复变函数项级数
设{ fn (z)}为一复变函数序列，其中各项在区域D
内有定义。称 fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) n1
为复变函数项级数。sn (z) f1(z) f2 (z) fn (z)称为 级数的部分和。
因而 cn z0n M
（收敛数列必有界！）
至此，有
cn zn M qn
n0
n0
因右端收敛，由比较法，左端也收敛。1）证毕
至于2），实际上为1）的逆否命题，也成立。
阿贝尔定理说明：
以原点为圆心，过收敛点作圆周，则圆内 点皆收敛且绝对收敛。
以原点为圆心，过发散点作圆周，则圆外 点皆发散。
问题：对于级数 cn (z z0 )n，阿贝尔定理的 n1
结论如何叙述？
2. 收敛圆与收敛半径
根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不 外乎以下三种可能：
1）处处收敛，即收敛点集为整个复平面。
2）除z=0外处处发散。
3）既存在使级数收敛的复数，也存在使级数 发散的复数。
下面对情况 3）作进一步的分析。
我们考虑正实轴上的收敛点和发散点。
首先，收敛点和发散点不会相间分布，收敛点以左的 为收敛点，发散点以右的为发散点。据此，动点从原点
n1
n1
n1
实际上，由于 an2 bn2 | an | | bn |, 所以当 an与 n1
bn绝对收敛时，
也绝对收敛。结合上面定理三
n
n1
n 1
可知， n也绝对收敛的充要条件是 an与bn绝对
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1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式
一. 泰勒(Taylor)展开定理
由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数一定 是一个解析函数。
现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? ）
它们的和. 非负幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2：
对负幂项, 如果令=(zz0)1, 就得到：
z z0 R2 .
c n(z z0) n c n n c 1 c 2 2,
n 1
n 1
这是
的幂级数,
设收敛半径为R：Rzz0
1 R
R1
则当|zz0|>R1时, 即| |<R, cn n cn(zz0)n收 敛 。
z
2
f(z)1 1z2 1z1 z1 111 21 1z
z
2
1(1)n1(z)n
zn0 z 2n0 2
n1
1 zn
n0
zn 2n1
(ii)i2z z2 21 z
f(z)11z2 1z1z1111z112 zz
1(1)n1(2)n
zn0 z zn0 z
n1
2n1 1 zn
例5 求 f(z)1以 z 0 及 z 1 为 中 心 的 罗 朗 级 数 .
称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1<|zz0|<R2内 的罗朗级数.
一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项
的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的罗朗级数.
(1)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点z0的 邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么就利用罗 朗（ Laurent ）级数来展开。
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在区域D内解析, z0 D, R为z0到D的边界
上各点的最短距离当z z0 R时,
f (z) cn(z z0)n (1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
n0
其中: cn
1 n!
f
(n) (z0)
z(z 1 )
[解] 函 数 f( z ) 只 有 两 个 奇 点 z 0 及 z 1 ，
f ( z ) 在 以 z 0 为 中 心 的 圆 环 域 0 < z 1 及 1 < z 内 解 析 ，
在 以 z 1 为 中 心 的 圆 环 域 0 < z - 1 1 及 1 < z - 1 内 解 析 ，
z 0
z 0
ez1zz2z3 zn zn
2 ! 3 !
n !
n 0n !
ez在复平面上解析
该级数的收敛R半 径 .
sizn ezi 2iezi2 1 i n 0 (zn !)n in 0 ( n z!)n i
1 2 i2k 1z2k 1 ( 1 )k 1z2k 1
2 ik 1 (2k 1 )! k 1 (2k 1 )!
23
n 1
§4.4 罗朗(Laurent)级数
1. 罗朗级数 2. 函数展开成罗朗级数 3. 如何展开成罗朗级数
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。
§4 罗朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该 圆域内展开成zz0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用zz0的幂级数来表示. 但是这种情况 在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
siz nzz3z5z7 ( 1 )k 1z2 k 1
3 ! 5 ! 7 ! k 1 (2 k 1 )!
又cozs(sizn)'
1z2z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
siz,c nz o 在 s 全平 , 它 面 们 R 上 的
上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
解 (1 ) 1 1 z z2 zn z 1 1 z
1 1 1 z ( 1 )nzn z 1 1 z 1 ( z)
(2)由幂级数逐项求导性质得：
(1 1z)2d dz1 1zd d z1zz2 (1)n1zn
12z3z2 (1)n1nn z1 z1
（2）罗朗级数是唯一的,利用已知的函数的幂级数 来展开的间接法。
1
例3 把函数 f(z)z3ez 在0| z|内展开成洛.朗级
[解] 因有 ez 1zz2z3 zn
2! 3! n!
1
z3ez
z3(11z2!1z2
3!1z3
4!1z4
)
z3z2z 1 1 0z . 2! 3! 4!z
例4
y
y
y
o 1 2x
f(z)z1 11 z 111
1 （ 1 ） n n （ 1 ） n1(z1)n
n0
n1
当1<z1时， 令 z 1 ,则 1 < ,z 1 ,于 是
f(z)z1 11 z 111
1
1
1
1
1
=11 (1)n(1)n= (1)n ( 1 )n = (1)n( 1 )n
现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展 开成罗朗级数?
二. 函数展开成罗朗级数
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |zz0| < R2内解析, 则 f(z) cn(zz0)n 其中 n
cn
1 2πi
C
(
f ()
z0)n1
d.
(n0,1,2,
)
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.
n 0,1,2,
函数展开成Taylor级数的方法： • 代公式 ---直接法 • 由展开式的唯一性，利用一些已知函数的展开式， 运用级数的代数运算、分析运算等 ---间接法
三. 简单初等函数的泰勒展开式
例1 求 f(z)ez,sin z,coz在 sz0的 Talor 展开 . 式
解 (e z)(n ) e z 1(n 0 ,1 ,2 , )
o 1 2x
o 1 2x
（i)0 z 1 (ii)1z 2 (ii)i2z
解:
f(z) 1 1 1z 2z
(i) 0z1z1z1 2
故 f(z) 1 1 1
1z 21z
2
zn 1 (z)n
n0
2n0 2
没 有 奇
n0
(1
1 2n1
)zn
点
(i)i1z2 z1 11 又z 2 z 1
n0
n2
n2
z 1
(1) 根据区域判别级数方式： 在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒级数，在环域
内需要把f (z)展成罗朗级数。
(2) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： • Taylor级数先展开求R, 找出收敛域。 • Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为 中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所 有使 f(z) 解析的环，在环域上展成级数。
f (z) 1 1 当0< z 1时， z 1 z
f(z)1 1 1zn z n
z 1z z n0 n 1
当1<z 时，
f (z)
11 z 1 1
1 z
1 1 (1)n z z n0 z
(1 )n n2 z
z
f (z) 1 1
z 1 z
当0<z11时，令 z 1 ,则 0 < 1 ,z 1 ,于 是
作业
习题八、1 、（选作两个） 2、3、
n1
n1
因此, 只有在R1<|zz0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
幂级数在收敛圆内的许பைடு நூலகம்性质, 级数
cn(zz0)n cn(zz0)n c1(zz0)1
n
c0 c1(zz0) cn(zz0)n ,
在收敛圆环域内也具有. 上述级数在收敛域内其和函数是 解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.
(3)f(z)ln 1 (z)
解 因 为 [ln ( 1 z )] 1 ( 1 )n z n ,逐 项 积 分 得 1 zn 0 0 z1 1 d z 0 zd 0 z( 1 )n nd ,
即 ln ( 1 z ) z z 2 z 3 ( 1 ) nz n 1|z | 1 .
讨论下列形式的级数:
罗朗级数
cn(zz0)n cn(zz0)n c1(zz0)1
n
c0 c1(zz0) cn(zz0)n ,
可将其分为两部分考虑:
cn(zz0)nc0c1(zz0) cn(zz0)n (非 部 分 )
n0
cn(zz0)nc1(zz0)1 cn(zz0)n ( 部 分 )
n1
只有非负幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于