函数极限的求法

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一、函数极限的定义

定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作+∞→x lim f(x)=a 或f(x )→a(x →+∞)。

定义二：若当x 无限接近0x 时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向0x 时，函数f （x ）趋向于a ，记作0

x lim →x f(x)=a 或f(x) →a(x-0x )。 二、函数极限的求法

下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：

1、直接代入法

适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。

例1：求1

352lim 22+-+→x x x x 分析：由于

2lim

→x (22x +x-5)=22lim →x 2x +2lim →x x-2lim →x 5=2·22+2-5=5, 2lim →x （3x+1）=32lim →x x+2

lim →x 1=3·2+1=7 所以采用直接代入法。

解：原式=)13(lim 5x x 2lim 222

x +-+→→x x ）

（=12352222+⋅-+⋅=7

5 2、利用极限的四则运算法则求极限

这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。

定理 若0x lim →x f(x)=A 0x lim →x g （x ）=B