第五章 递推关系
组合数学第五版答案
组合数学第五版答案简介《组合数学第五版答案》是对组合数学第五版的习题答案进行整理和解答的参考资料。
组合数学是一门研究集合之间的组合方式和规律的数学科学。
它广泛应用于计算机科学、统计学、运筹学等领域，在算法设计、图论分析等方面有着重要的应用价值。
本文档包含了《组合数学第五版》中各章节的习题答案，主要内容涵盖了排列组合、图论、生成函数、递推关系、容斥原理等多个重要主题。
通过对这些习题的解答，可以帮助读者更好地理解组合数学的基本概念、方法和应用。
目录•第一章：基本概念和方法•第二章：排列组合•第三章：图论•第四章：生成函数•第五章：递推关系•第六章：容斥原理第一章：基本概念和方法1.习题1：证明排列的总数为n! (阶乘)。
2.习题2：计算组合数C(n, m)的值。
3.习题3：探究组合数的性质并给出证明。
第二章：排列组合1.习题1：计算排列数P(n, m)的值。
2.习题2：解决带有限制条件的排列问题。
第三章：图论1.习题1：证明图论中的握手定理。
2.习题2：解决图的着色问题。
第四章：生成函数1.习题1：利用生成函数求解递推关系。
2.习题2：应用生成函数解决组合数学问题。
第五章：递推关系1.习题1：求解递推关系的通项公式。
2.习题2：应用递推关系解决实际问题。
第六章：容斥原理1.习题1：理解容斥原理的基本思想并给出证明。
2.习题2：应用容斥原理解决计数问题。
结论通过对《组合数学第五版答案》中的习题进行解答，读者可以更好地掌握组合数学的基本概念和方法。
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域具有广泛的应用，通过学习和理解组合数学，读者可以提高解决实际问题的能力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。
注：本文档中的习题答案仅供参考，请读者在独立思考和解答问题时加以思考和验证，以深入理解组合数学的核心概念和方法。
递推关系解题的关键技巧与应用
递推关系解题的关键技巧与应用递推关系（recurrence relation）是数学中常见的一种关系式，它可以通过前一项或前几项的数值来表示后一项。
在解决问题时，递推关系常常被用于推导出问题中的规律，从而找出解决方法。
本文将介绍递推关系解题的关键技巧以及应用。
一、递推关系解题的关键技巧1. 确定初始条件：在使用递推关系解题时，首先需要确定初始条件。
也就是说，要找到递推关系式中的第一个或前几个数值。
初始条件的确定通常需要根据问题的具体情况来判断。
2. 推导递推关系：通过观察问题中给出的数值和规律，可以尝试推导出递推关系。
这个关系有可能是数列、数表或者其他形式的递推公式。
3. 利用递推关系求解：一旦递推关系确定，就可以利用它来求解问题。
根据递推关系的定义，通过已知的数值逐步推导出后面的数值。
4. 验证解答的正确性：最后，需要验证所得到的解答是否正确。
可以通过递推关系来逐项验证，或者将解答代入原始问题中进行验证。
通过以上技巧的应用，可以更加轻松、高效地解决递推关系问题。
二、递推关系解题的应用递推关系的应用非常广泛，以下是一些常见的例子：1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递推关系问题。
其递推关系式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
可以利用这个递推关系来求解斐波那契数列中的任意项。
2. 阶乘计算：阶乘是另一个常见的递推关系问题。
定义n的阶乘为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，其中0的阶乘为1。
通过递推关系n! = n * (n-1)!，可以计算出任意非负整数的阶乘。
3. 数字排列组合：在某些排列组合问题中，递推关系也经常被使用。
比如在八皇后问题中，可以通过递推关系来确定皇后在每一行中的位置，从而求解出问题的解。
4. 动态规划问题：动态规划是一种使用递推关系进行求解的方法。
通过将问题分解为子问题，并利用递推关系求解子问题，最终得到原始问题的解。
递推关系知识点总结
递推关系知识点总结一、递推关系的基本概念1.1 递推关系的定义递推关系是一种反映事物发展变化规律的数学模型。
通常来说，递推关系是指数列的前项与后项之间的关系。
例如，斐波那契数列就是一个经典的递推关系，它的递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
1.2 递推关系的元素递推关系一般包括以下几个元素：- 初始条件：递推关系的第一个数值，通常是已知的特定值。
- 递推公式：描述数列前后项之间关系的公式，用于计算数列后续项的值。
- 递推方程：将递推公式用代数方式表示的方程。
1.3 递推关系的类型根据递推公式的性质和形式，递推关系可以分为线性递推关系、非线性递推关系、齐次递推关系、非齐次递推关系等类型。
不同类型的递推关系有不同的性质和求解方法。
二、递推关系的性质2.1 线性递推关系的性质线性递推关系具有以下性质：- 线性组合性：若数列{an}与{bn}分别满足递推关系an=an-1+an-2和bn=bn-1+bn-2，则任意常数c1和c2的线性组合{c1an+c2bn}也满足递推关系an=an-1+an-2。
- 独立性：若数列{an}和{bn}都满足递推关系an=an-1+an-2，则其线性组合{an+bn}也满足该递推关系。
2.2 齐次递推关系的性质齐次递推关系是指递推关系的递推式中不包含任何常数项或者其他特殊项。
对于齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2，其中c1和c2是任意常数，n1和n2是特征方程的两个不同实根，那么其特解为包含初始条件的实数数列。
2.3 非齐次递推关系的性质非齐次递推关系是指递推关系的递推式中包含有常数项或者其他特殊项。
对于非齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2+fn，其中cn1^n+cn2^n2是其对应的齐次递推关系的通解，fn是递推式的非齐次项对应的特解。
三、递推关系的求解方法3.1 通项公式法通项公式法是求解递推关系最直接的方法。
高中数学必修5数列的递推公式
典型例题解析
例题1
已知等差数列{an}中， a1=2，d=3，求a10。
解析
根据等差数列的通项公 式an=a1+(n-1)d，代 入n=10，a1=2，d=3 ，可得a10=2+(101)×3=29。
例题2
已知等差数列{an}中， a3=7，a7=15，求a5 。
解析
根据等差数列的性质， a5=(a3+a7)/2=(7+15 )/2=11。
递推关系性质
递推关系具有确定性，即对于给 定的初始条件和递推公式，数列 的每一项都是唯一确定的。
递推关系建立
01
等差数列递推关系
等差数列的递推关系为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项 ，d为公差，n为项数。
02
等比数列递推关系
等比数列的递推关系为an=a1×qn-1，其中a1为首项， q为公比，n为项数。
，r是公比。
调和数列
调和数列是每一项都是其前一项 的倒数与1的和的数列。递推公 式为1/a_n = 1/a_(n-1) + 1/b，
其中a_1 = b。
05 递推公式在实际问题中应用
数学问题应用举例
等差数列求和
数列通项公式求解
利用递推公式可以快速求解等差数列 的前n项和，如求1+2+3+...+n的和 。
03
其他类型数列递推关系
对于非等差非等比数列，需要根据具体题目条件建立相 应的递推关系。
初始条件确定
初始条件定义
初始条件是数列中已知的第一项或前 几项，用于启动递推过程。
初始条件确定方法
根据题目给出的条件或已知信息，确 定数列的初始条件。例如，题目中可 能会直接给出首项a1和公差d或公比q 等参数。
递推关系
n n n =0 n =0 n =0 ∞ ∞ ∞
f (n) = 2n − 1
15
组合数学初步
计算机及信息工程学院
母函数法
例2（繁殖问题）f(n)= f(n-1)+ f(n-2) （n≥3）, f(1)=f(2)=1 解 设母函数F(x)= f(1)x+f(2)x2+f(3)x3+…+f(n)xn +… 则有xF(x)= f(1)x2+f(2)x3+f(3)x4+…+f(n)xn+1 +… x2F(x)= f(1)x3+f(2)x4+f(3)x5+…+f(n)xn+2 +… 所以F(x)(1-x-x2)=x 从而 x F ( x) = 1 − x − x2
9x 8 x − 71x = 8x + = 1 − 10 x 1 − 10 x
2
2
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
递推关系的建立
例3 求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。 解 f(n)=8f(n-1)+9×10n-2, f(1)=8 设母函数为F(x)= f(1)+f(2)x + …+ f(n)xn-1+… 8xF(x)= 8f(1)x+…+8f(n-1)xn-1+… 所以有(1-8x)F(x)=8+9x+9⋅10x2+… =8+9x(1+10x+…) 9x 8 − 71x = 8+ = 1 − 10 x 1 − 10 x
高中数学第五章数列5.1.数列中的递推学案含解析B版选择性第三册 (1)
5.1.2 数列中的递推必备知识·素养奠基1。
数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式）.数列递推公式与通项公式有什么区别和联系？提示:不同点相同点通项公式可根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所有的项2。
数列的前n项和（1)定义:一般地，给定数列｛a n}，称S n=a1+a2+a3+…+a n为数列{a n｝的前n项和。
(2)关系:a n=1.思维辨析(对的打“√"，错的打“×”）(1)递推公式不能用来表示数列. ()(2）所有的数列都有递推公式. (）（3）由公式a n+1=a n-2(n≥1）可写出数列{a n｝的所有项.（）(4）若数列｛a n｝满足a n+1=a n，则该数列是常数列. （)提示:(1）×.递推公式也是给出数列的一种重要方法。
（2）×。
并不是所有的数列都有递推公式。
例如精确到1,0。
1,0。
01,0。
001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4,1.41，1。
414,…就没有递推公式.（3）×.还需知道数列中至少一项的值.（4)√.该数列每一项都相同。
2。
已知数列｛a n｝满足a1=1，a n+1=a n+n，则a3的值为（)A。
2 B。
3 C。
4 D。
5【解析】选C.由a1=1,a n+1=a n+n，所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4。
3。
已知数列{a n}满足a1〈0,=2(n∈N+),则数列{a n｝是________数列(填“递增”或“递减”).【解析】由已知a1〈0,a n+1=2a n(n∈N+),得a n〈0（n∈N+）.又a n+1—a n=2a n—a n=a n〈0,所以数列｛a n｝是递减数列.答案：递减关键能力·素养形成类型一由递推公式写数列的项【典例】1.数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+)，那么a4的值为 ()A。
5.1.2数列的递推关系——2020-2021学年高二数学人教B版选择性必修第三册第五章课件(共22
5.1.2 数列的递推
学习目标
核心素养
1.理解递推公式的含义．(重点) 1.通过数列递推公式的学习，培
2．掌握递推公式的应用．(难点) 养逻辑推理的素养．
3．会利用 an与 Sn的关系求通项公 2．借助递推公式的应用学习，提
式．(易错点)
升数据分析的素养.
斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契 著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版 的《算盘全书》.他在书中提出了著名的兔子繁殖 问题:如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄), 而子兔在出生后第三个月里就又能生一对子兔.试 问一对兔子50个月后会有多少对兔子?
(教材 P9 例 1 改编)数列 1，21，41，81，…的递推公式可以是( )
A．an＝21n
B．an＝21n
C．an＋1＝12an
D．an＋1＝2an
C [由题意可知 C 选项符合，故选 C.]
2.数列的前n项和
❖将丫丫同学在高二上学期期末考 试按语数英物化生成绩排成一排 110,106,118,59,79,79
用一个式子表示
【思考】
数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?
提示:
不同点
相同点
通项 可根据某项的序号,直接用
公式
递推 公式
代入法求出该项
可根据第1项或前几项的 值,通过一次或多次赋值逐 项求出数列的项,直至求出
都可确定一个数列, 都可求出数列的任 何一项
所有的项
Ex：课本P13 练习A 2
【内化·悟】 由递推公式写出通项公式的步骤是什么? 提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前 3项). (2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项 统一形式. (3)归纳总结写出一个通项公式.
新教材高中数学第5章数列：数列中的递推pptx课件新人教B版选择性必修第三册
1．数列 1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A．an＋1＝an＋n，n∈N＋ B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋ D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
(变条件)若把本例(1)中的 Sn 换为 Sn＝2n2－3n＋1，再求{an}的通 项公式．
[解] 当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＋1＝0， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.(*) 显然 n＝1 不满足(*)式， 故 an＝04，n－n＝ 5，1， n≥2.
(已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn，求通项公式 an 的步骤： 1当 n＝1 时，a1＝S1. 2当 n≥2 时，根据 Sn 写出 Sn－1，化简 an＝Sn－Sn－1. 3如果 a1 也满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么数列{an}的 通项公式为 an＝Sn－Sn－1；,如果 a1 不满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公
a5＝a24＋a42＝522＋×252＝31. 故该数列的前 5 项为 1，23，12，25，13.
已知 Sn 求通项公式 an 【例 2】 (教材 P12 例 3 改编)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 {an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2. [思路点拨] 应用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解，注意检验 n＝1 时 a1 是否满足 an(n≥2)．
递推关系的解
递推关系的解简介递推关系是数学领域中一种常见的描述数列的方式。
通过建立递推关系，我们可以根据已知的数值计算出后续的数值，从而得到数列的规律和性质。
本文将介绍递推关系的概念、求解方法以及应用举例。
递推关系的定义递推关系是指数列中的每一项都可以通过它的前一项或前几项计算得出。
一般来说，递推关系可用一个递推公式来表示，例如：a n=f(a n−1,a n−2,…,a n−k)其中a n表示数列的第n项，f是一个函数，a n−1,a n−2,…,a n−k是已知的前几项。
递推关系的求解就是要找到该函数f的具体形式，以便计算出数列的任意项。
递推关系的求解方法直接求解法对于一些简单的递推关系，我们可以直接观察规律，找到递推公式的具体形式。
例如，斐波那契数列的递推关系是a n=a n−1+a n−2，我们可以通过观察发现a n等于前两项的和。
递推公式的代入法对于一些较为复杂的递推关系，我们可以通过代入的方式求解。
首先，我们可以列出递推公式的前几项，然后将这些项代入递推公式中。
通过计算，我们可以发现一些规律，从而找到递推公式的具体形式。
递推关系转化为矩阵形式对于一些特殊的递推关系，我们可以将其转化为矩阵形式，进而求解。
如果递推关系具有如下形式：[a n a n−1⋮a n−k+1]=A⋅[a n−1a n−2⋮a n−k]其中A是一个矩阵，[a n a n−1⋮a n−k+1]和[a n−1a n−2⋮a n−k]分别表示数列的第n项和第n−1项到第n−k项的向量。
我们可以通过计算矩阵的幂，求得数列的任意项。
递推关系的应用举例斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推关系的例子。
该数列的递推关系是a n=a n−1+ a n−2，其中a1=a2=1。
通过不断求解递推关系，我们可以得到斐波那契数列的前几项：1,1,2,3,5,8,13,…。
等差数列和等比数列除了斐波那契数列，等差数列和等比数列也是常见的递推关系。
对于等差数列，递推关系为a n=a n−1+d，其中a1是首项，d是公差。
最新整理高三数学递推关系的求解.docx
最新整理高三数学递推关系的求解递推关系的求解一基本概念定义：确定的数列称为递推数列。
（为其的阶）二基本解法（1）（2）（3）常系数线性齐次递推关系将（2）称为（1）的特征方程若是（2）的重根，则（1）的个特解分别为个特解的线性组合就是（1）的通解。
设找到，使令可得 .从而为的根。
结论：，若有两个不动点，则，这里。
若只有一个不动点，则，这里三常用思想：1．不动点，特征根2．无理化有理（取对数，化新数列）3．多元化少元4．高次化低次5．高阶降低阶6．非线性化线性7．非齐次化齐次8．猜想试解P103 例6 在正项数列中，求通项公式。
解对两边取对数，得即这说明数列是首项为，公比为的等比数列，则有故P104例8 设数列满足且求证：是完全平方数。
证由式可得并代入式，得两式相减由方程，得那么通解为由 ,代入上式解出，得因为为正偶数，所以，是完全平方数.P106 例9 数列中， .解构建数列 .故化简得所以数列是以2为首项，1/2为公比的等比数列.所以P107 例10已知满足，且，求 .解: 是二阶线性非齐次递推数列，先设法将它转化为一阶递推关系，故条件变形为：可见是常数列，逐次递推得即P107 例11设满足，求 .解：，解方程 ,得于是由定理10得，则：由已知可得，解得P108 例12已知满足，，且，求 .解：，故两式相减得即则，根据特征方程求解.P108 例13设正数列满足 ,求 .解：把递推关系改写为①令，则①为②对②两边取对数，得③令，则③为利用不动点性质有即故其中，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知为常数数列，逆推上去，得，则，故是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知 .P109 例14数列定义为：，求证：对任意的自然数，，表示不超过的最大整数。
证明：递推关系较为复杂，结论又未给出的表达式，不妨通过归纳法探索的表达式：当时，，当时，，……………由此可以猜想： . ①问题转化为证明这一猜想，再证可被3整除。
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 5.1.2 数列中的递推
(3)数列{an}前(n+1)项的和减去其前n项的和,差是 Sn+1-Sn=an+1 .(列式表示)
3.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(
A.15
B.16
解析:a8=S8-S7=64-49=15.
答案:A
C.49
)
D.64
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
1 , = 1,
分段表示为 an=
[如本例(2)].
--1 , ≥ 2
【变式训练 3】 已知数列{an}的前 n 项和
3 2 205
Sn=-2n + 2 n,求数列{an}的通项公
式.
解:由题意知
3 2 205
a1=S1=- ×1 + ×1=101,
2
2
3
3 2 211
2 205
Sn-1=- (n-1) + (n-1)=- n + n-104.
分析:已知数列{an}的通项
计算 an+1-an
确定单调性
大项
10 +1
10
10 9-
解:方法一:∵an+1-an=(n+2)·
-(n+1)·
=
· ,
11
11
11
11
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an,
都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公
高中数学教学备课教案递推关系的建立与计算
高中数学教学备课教案递推关系的建立与计算一、引言在高中数学教学中，备课教案的编写是非常重要的一环。
备课教案旨在帮助教师系统地组织教学内容，提供教学方案和教学步骤，以便学生能够更好地理解和掌握数学知识。
本文将讨论高中数学备课教案中递推关系的建立与计算方法，以帮助教师提高备课效率和教学效果。
二、递推关系的概念递推关系是指一种数列中的每一项都与它的前一项（或前几项）之间存在某种确定的关系，通过这种关系可以逐步推导出数列的每一项。
递推关系在数学中具有广泛的应用，例如在等差数列、等比数列、斐波那契数列等中都存在递推关系。
三、递推关系的建立方法建立递推关系是备课教案中的重要内容之一，下面将介绍一些常用的方法。
1. 观察法观察法是最直观的建立递推关系的方法之一。
通过观察数列的规律，找出数列中每一项与前一项之间的关系，并用代数式表示出来。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，可以观察到每一项都比前一项大2，因此可以建立递推关系为an = an-1 + 2。
2. 代数法代数法是通过将数列的每一项用代数式表示，然后根据代数式之间的关系建立递推关系。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16，可以将每一项表示为an = 2^n，其中n为项数。
根据代数式an与an-1之间的关系，可以建立递推关系为an = 2 * an-1。
3. 公式法有时候可以利用已知的数学公式建立递推关系。
例如，对于斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5，可以利用斐波那契数列的定义公式建立递推关系为an = an-1 + an-2。
四、递推关系的计算方法在建立递推关系之后，需要用递推关系计算数列的每一项。
下面将介绍一些常用的计算方法。
1. 递归法递归法是一种常用的计算递推数列的方法。
首先确定数列的初始项，然后根据递推关系，通过逐项计算得到数列的每一项。
例如，对于斐波那契数列的递推关系an = an-1 + an-2，初始项为a1 = 1, a2 = 1，可以通过递归法计算得到整个数列。
递推关系
递推关系递归公式是用它自身来定义的一个公式，我们习惯称之为递推关系或递推式。
如正奇数序列可以用递推式描述为：f(n)=f(n-1)+2, n>1 且f(1)=1当n为很大的值时，直接用递推来计算f(n)会很麻烦，所以希望能够用一种封闭的式子来描述这个序列，从它入手可以直接计算f(n)。
如果找到这样一种封闭的式子，则称递推式已经解出。
下面的内容给出了求解基本的递推式的一些方法。
递推关系如果具有如下这种形式，则称为常系数线性齐次递推式：f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)这里f(n)称为k次的。
当一个附加项包括常数或者n的函数出现在递推中，那么它就称为非齐次的。
一、线性齐次递推式的求解令f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)的一般解含有f(n)=x n形式的特解的和。
用x n来代替上式中的f(n)，得到：x n =a1x n-1+a2 x n-2 +…+a k x n-k两边同时除以x n-k得到：x k =a1x k-1+a2 x k-2 +…+a k或者写成x k -a1x k-1-a2 x k-2 -…-a k =0以上两等式都称为原递推关系的特征方程。
下面我们只限于一阶和二阶的线性递推关系。
一阶齐次递推方程的解可以直接得到，令f(n)=af(n-1)，假定递推序列从f(0)开始，由于f(n)=af(n-1)=a2f(n-2)=…=a n f(0)所以f(n)=a n f(0)是递推的解。
如果递推的次数是2，那么特征方程变为x2-a1x-a2=0,令这个二次方程的根是r1和r2，递推的解是：f(n)=c1r1n+c2r2n(r1≠r2)f(n)=c1r n+c2nr n(r1=r2)代入序列初始的值f(n0)和f(n0+1)解方程得到c1和c2的值。
例1序列1,4,64,256,…可以用递推关系表示为f(n)=3f(n-1)+4f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=4，求此递推式的解。
递推关系
例题
• 设有集合A={a,b,c}，an表示A的a不相邻的n-可重 排列的个数。求an 。
an 2an 1 2an 2 (n 3) a1 3 a 8 2 an 2an 1 2an 2 (n 2) a0 1 a 3 1
例题：斐波那契数列
• 兔子数列 • (1202)一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力， 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。把一对小兔子（雌、 雄各一只）在某年的开始放到围栏中。如果所有兔子都不 死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
f n f n1 f n2 ( n 3) f1 f 2 1
J(n)的性质
• • • • • • J(n)=n/2何时成立？ 2l+1=(2m+l)/2 l=(2m-2)/3为整数 当且仅当m为奇数 22k+1-2=2(22k-1)=2(4k-1)=2(4-1)a能被3整除 22k-2=4k-2=(3+1)k-2=3a+1-2=3a-1不能被3 整除
J(n)=n/2的例子
齐次线性递推关系的通解
• 定理2 若递推关系(1)的特征方程有k个互异的实特 征根q1,q2, …,qk，则un=c1q1n+c2q2n+ …+ckqkn是(1) 的通解，其中c1,c2, …,ck为任意常数。
例题
• 解递推关系
f n f n 1 f n 2 (n 2) f 0 f1 1
问题
• n个人围成一个圆，编号依次为1到n。由第1 个人开始报数，每报数到第2个人该人就必 须自杀，然后再由下一个重新报数，直到仅 剩一个幸存者为止。 • 例子：
递推关系
• • • • • • 偶数 J(2n)=2J(n)-1 (n ≥ 1) 奇数 J(2n+1)=2J(n)+1 (n ≥ 1) 初始条件 J(1)=1
递推关系的求解及其应用
递推关系的求解及其应用递推关系的求解及其应用---------------------------------递推关系（Recurrence Relation）是数学中一种常见的表达形式，它可以用来描述一系列数据之间的关系。
它主要用来求解数列或函数在特定索引上的值。
递推关系可以说是一种数学模型，它可以帮助我们快速、有效地计算出一系列相关的数据。
一、递推关系的定义-------------------递推关系是一个由数学符号构成的表达式，它可以表示一组数据之间的相互关系。
例如，定义一个递推关系如下：$$a_n = a_{n-1} + 3, n \ge 1, a_0 = 1$$这表明，一个数列中，任意索引为$n$的值可以由前一个索引为$n-1$的值加上3得出，且当$n=0$时，$a_0=1$。
因此，我们可以通过这个递推关系来计算出数列中任意索引下的值。
二、递推关系的求解方法-------------------------递推关系有多种求解方法，我们常用的有三种：- 递归法：即采用递推关系本身来解决问题，即不断地用递推关系来计算出后一个值，从而得到想要求解的值。
- 迭代法：即采用循环的方式来求解递推关系。
例如，上面的例子可以用for循环来实现。
- 方程法：即将递推关系转化成方程，然后采用数学工具来求解。
三、递推关系的应用---------------------递推关系广泛应用于各个领域，例如：- 数学中常用来计算数列、序列和函数的值。
- 物理学中常用来表达复杂物理场之间的相互作用。
- 工程学中常用来表达工作流或运行流之间的相互作用。
- 生物学中常用来表达基因序列之间的相互作用。
- 电子工程中常用来表达信号传输之间的相互作用。
- 计算机科学中常用来表达存储器或寄存器之间的相互作用。
四、总结----------递推关系是一个常见的数学表达形式，它可以用来描述一系列数据之间的关系。
它有多种求解方法，如递归法、迭代法和方程法。
5-1 递推关系 最新
一般结果，定理4
定理4 设常系数线性齐次递推关系 an = c1an-1 + c2an-2 +…+ ckan-k 有t个不等的实特征根r1, r2, …, rt, 其重数分别为m1, m2, …, mt, mi 1, 且满足m1+ m2+ …+ mt = k 则该递推关系的解为：
P306，5,7,11,42 p321, 1,3,13,19,27,45
5.2.2 常系数线性非齐次递推关系的求解
常系数线性非齐次递推关系 an = c1an-1 + c2an-2 +…+ ckan-k + F(n) (1) 仅对某些类型的F(n) 有一般的求解方法。 an = c1an-1 + c2an-2 +…+ ckan-k (2) 称为与(1) 相伴的(associated)齐次 递推关系。
Hn = 2n – 1。
设有64个盘子，1秒钟移动1个盘子，完成 游戏需要多长时间？ H64 = 264 – 1 =18 446 744 073 709 551 615 5000亿年。
例2 兔子和斐波那契数(Fibonacci number)
一对刚出生的兔子(一公一母)被放到某个岛上， 每对兔子出生2个月后每个月都繁殖一对后代， 假定兔子不会死，那么此后的第n个月岛上会有 多少对兔子？ 解：前几个月的情况见表 月 上月 本月出生 本月总 设此后的第n个月有fn对兔子 1 1 递推关系： 2 1 0 1 fn = fn-1 + fn-2, n3 3 1 1 2 初始条件： 4 2 1 3 f1 = 1，f2 = 1 5 3 2 5
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第五章递推关系递推关系几乎在所有的数学分支中都有重要作用，对于组合数学更是如此．这是因为每个组合问题都有它的组合结构，而在许多情况下递推关系是刻画组合结构的员合适的工具．如何建立递推关系，已给的递推关系有何性质，以及如何求解递推关系等，是递推关系中的几个基本问题．本章首先讨论递推关系的建立问题，然后对一些常见的递推关系作比较深入的讨论，并给出其解法．4.1 递推关系的建立关于D的递推（4 .1 .1）并由此推出了(4 .1.2 )等式(4．1．1)和等式(4．1．2)都是递推关系的例子．等式(4.1.1)给出n 元锗排数D同n-l元错排数及”n一2元错排数从D之间的关系，这样，由韧值D和D从就可以计算出D，由 D和D又可以计算出 D ，如此可以逐次计算出错排数序列D，D，D，…．而等式(4．1．2)给出了n元错排数D。
同n—l元错排数D之间的关系，这样由初始值D就唯一地确定了错排数序列．定义4．1．1 给定一个数的序列各存在整数，使当时，可以用等号(或大于号，小于号)将与其前面的某些项(0In)联系起来，这样的式子就叫做递推关系．下面通过几个例子来看看如何建立递推关系，至于递椎关系的求解，将在后面的几节中讨论．例1(Hanoi塔问题) 现有A,B,C三根立柱以及n个大小不等的中空圆盘，这些圆盘自小到大套在A柱上形成塔形，如图4.1.1所示．要把n个固盘从A柱上搬到C柱上．并保持原来的顺序不变，要求每次只能从一根立住上拿下一个圆盘放在另一根立柱上，且不允许大盘压在小盘上，问至少要搬多少次?图4.1.1l解记为n个圆盘从A柱搬到C柱所需的最小次数．整个搬动过程可以分成三个阶段：(1)将套在A柱上面的个圆盘从A柱按要求搬到B柱，搬动次数为；(2)把A柱上最下面的那个圆盘搬到C柱上，搬动次数为l;(3)把B柱上的个圆盘按要求搬到C柱上，搬动次数为．由加法原则知，又显然，所以有如下带有初值的递推关系，A B C图4.1.2例2 在信道上传输由a,b,c三个字母组成的长为n的字符串，若字符串中有两个a连续出现，则信道就不能传输．令表示信道可以传输的长为n 的字符串的个数，求满足的递推关系。
解信道上能够传输的长度为n（）的字符串可分成如下四类：(1)最左字符为b；(2)最左字符为c；(3)最左两个字符为ab；(4)最左两个字符为ac；如图4.1.2所示，前两类字符串分别有个．后两类字符串分别有个．容易求出,,从而得到b …….a b …….c … …a c … …n-2n-1图4.1.2例3 考虑0，l字符串中“010”子串的相继出现问题．例如，在110101010101中，我们说“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位相第11位出现，在整个字符串中“010”共出现两次．计算n位0，1字符串中“010”子串在第n位出现的字符串有多少?解设“010”子串在第n位出现的长为n的0，1字符串的个数为，则显然＝l，＝2，＝3最后3位是“010”的n位0，l字符串有个，其中“010”在第n位出现的字符串有个．“010”不在第n位出现，当且仅当最后5位形如“01010”，并且“010”在第n一2位出现，所以这类字符串共有个．从而有例4 设P是平面上n个连通区域，…，的公共交界点，如图4.1.3所示．现用k种颜色对其着色，要求有公共边界的相邻区域着以不同的颜色．令表示不同的着色方案数，求它所满足的递推关系． Dn-1Dn D1 D2………..图4.1.3解将所有满足要求的着色方案分成两类(n＞4)：(i) 与同色．此时，有n—1种着色方案．可将与看成相邻区域，的着色方案数为．故此类着色方案数为.(ⅱ)D与异色．此时，认有n－2种着色方案．又D，D…，D用k 种颜色着色的方案致为，故此类着色方案数为(k一2) .而容易求得＝k(k一1)，＝k(k—1)(k一2)，从而有例5 设X是一具有乘法运算的代数系统，乘法不满足结合律，用xy表示x对y之积．如果,x,…,x∈X,而且这n个元素依上面列出的顺序所能作出的一切可能的积彼此不同，其个数记为，求满足的递推关系．解例如，对于,x,…,x∈X, 符合题意的积有2个： (,x)x, (xx),所以＝2．如果在,x,…,x的某些字母间加上括号，但不改变字母间的相互位置关系，使得这n个字母间的乘法可以按所加括号指明的运算方式进行运算，那么就是加括号的方法的个数．最外层的两对括号形如(…x)(x…x) (),当r＝1或n—l时，通常简记为(x…x)=(x…x),在前一个括号中有种加括号的方法．在后一个括号中又有种加括号的方法名r遍历1，2,…,n-1时，就得到=初始值为4.2常系数线性齐次递推关系的求解定义4．2．1 设是给定的正整数，若数列，,…,,…的相邻项间满足关系(4．2．1)对nk成立，其中，则称该关系为的k阶线性递推关系．如果都是常数，则称之为k阶常系数线性递推关系．如果，则称之为齐次的．如果有一个数列代入道推关系(4．2．1)，使得其对任何都成立，则称这个数列是递推关系[4．2．1)的解．常系数线性齐次递推关系的一般形式；(4.2.2)定义4．2．2 方程(4.2.3)叫做递推关系(4．2．2)的特征方程．它的个根（可能有重根）叫做该递推关系的特征根，其中，复数．引理4．2．1 设q是非零复数，则是递推关系(4．2．2)的解，当且仅当q 是它的特征根．证明设是递推关系(4．2．2)的解，即因为，所以即是递推关系(4．2．2)的特征根．反之亦然．引理4．2．2 如果都是递推关系(4．2．2)的解，是常数，则也是递推关系(4．2．2)的解.证明因为都是递推关系(4．2．2)的解，所以从而也是递推关系(4．2．2) 的解．由引理4．2．1和引理4．2．2知，若是递推关系(4．2．2)的特征根是常数，那么也是递推关系(4. 2．2)的解．定义4．2．3 如果对于递推关系(4. 2．2)的每个解，都可以选择一组常数使得成立，则称是递推关系(4．2．2)的通解，其中为任意常数．定理4．2．1 设是递推关系(4.2.2)的k个互不相等的特征根，则是递推关系(4.2．2)的通解．证明由前面的分析可知是递推关系(4．2．2)的解．设是这个递推关系的任意一个解，则由k个初值唯一地确定，所以有(4.2.4)如果方程组(4. 2．4)有唯一解这说明可以找到k个常数，使得成立，从而是该递推关系的通解．考察方程组(4．2．4)，它的系数行列式为=,这是著名的Vandermonde行列式．因为互不相等，所以该行列式不等于零，这也就是说方程组(4．2．4)有唯一解．例1 求解41节例2中的递推关系解先求这个递推关系的通解．它的特征方程为解这个方程组，得所以，通解为代入初值来确定和，得求解这个方程组，得因此，所求的字符串个数为例2 核反应堆中有和两种粒子，每秒钟内一个粒子可反应产生三个粒子，而一个粒子又可反应产生一个粒子和两个粒子．若在时刻时反应堆中只有一个粒子，问时反应堆中有多少个粒子？多少个粒子？共有多少个粒子？解：设在时刻的粒子数为，粒子数为，根据题意：可以列出下面的递推关系：由(4．。
2。
6)式得到把这个等式代入(4．2．5)式，得递推关系（4.2.7）的特征方程为其特征根为所以，该递推关系的通解为代入初值，得解这个方程组，得所以，该递推关系的解为从而求得因此故对于阶常系数线性齐次递推关系，当特征根都不相等时，我们已经给出了求通解的方法．但是，当中有重根时，这种方法就不适用了，换句话说，就不是原递推关系的通解了．请看下面的例子例3求解递推关系解递推关系(4．2．8)的特征方程为其特征根为由定理4．2．1，可知是递推关系(4．2．8)的解(不考虑初值)们不妨试试，把它代入(4．2．8)式，得这说明也是递推关系(4．2．8)的解．易知与线性无关所以原递推关系的通解为代入韧值，得解这个方程组，得所以，原递推关系的解为设递推关系的特征方程为令如果是的二重根，则也是的二重根，那么也是的根．其中，是微商，即因此是根．而代入，得这说明是原递推关系的解．类似地可以证明，如果是的三重根，那么就是的二重根，即是和的根，从而证明，是原递椎关系的解．一般地，可以证明以下的结论：如果是的e重根，则，，，是原递推关系的解定理4．2．2设是递推关系(4．2．2)的全部不同的特征根，其重数分别为，那么递推关系(4．2．2)的通解为其中证明由前面的讨论知是递推关系(4．2．2)的解．再由初值,,,得到关于的联立方程组系数行列式的值(证明略)为故可由韧值唯一地确定这说明递推关系(4．2．2)的任意解均的形式，其中如前所示．例4求解递推关系解该递推关系的特征方程为其特征根为,由定理4．2．2，对应于x＝一1的解为对应于的解为因此，递推关系的通解为代入韧始值，得到方程组解这个方程组，得, , ,.所以，原递推关系的解为4．3 常系数线性非齐次递推关系的求解k阶常系数线性非齐次递推关系的一般形式为其中为常数,,．递推关系(4．3.1)对应的齐次递推关系为(4．3．2)定理4．3．1 k阶常系数线性非齐次递推关系(4．3，1)的通解是递推关系(4．3．1)的待解加上其相应的齐次递推关系(4l 3．2)的通解．证明设是递推关系(4．3．U的持解，是递推关系(4．3．2)的通解，则所以，是递推关系(L 3．1)的解．反之，任给递椎关系(4．3．1)的一个解，与上类似，可以证明是递推关系(40 3．2)的解，从而可以表示成与递推关系(4．L 2)的解之和．综合以上分析，定理成立．对于一般的，阶常系数线性非齐次递推关系(4．3．1)没有普遍的解法，只有在某些简单的情况下，可以用待定系数法求出递推关系(4．3．1)的特解．表4．3．1对于几种给出了递推特解的一般形式例1 求解递推关系解因为4不是持征方程的很，所以该递推关系的非齐次特解为．将其代入递推关系，得，比较等式两边的系数，得，从而而相应齐次递推关系的通解为，由定理4。
3。
1知，非齐次关系的通解为由初值，得从而故例2 求和解令它满足递推关系因为1是特征方程的一重根，所以该递推关系的特解为将其代入递推关系，并比较等号两边的系数解得即非齐次特解为而相应齐欢递推关系的通解为由定理L 3．1知，非齐次通解为又由可求得，故例3求解递推关系解由于2是特征方程的二重根，所以该递推关系的特解为将它代入递推关系，并比较等号两边n的系数及常数项，得到而相应齐次递推关系的通解为，从而非齐次递推关系的通解为再由初值求得于是例4求解Hanoi塔问题满足的递推关系解相应的特征方程为，故齐次解为．设非齐次持解为b，代入原递推关系，得所以特解为b＝一1．根据前面的分析，可知该递推关系的通解为代入初值，得．所以4.4用迭代归纳法求解递推关系迭代归纳法也是求解递推关系的一种方法，尤其对于某些非线性的递推关系，不存在求解的公式，不妨用这种方法来试一试下面通过几个例子来说明．例1求解递推关系解先用迭代法求解该递推关系，得能否找到的一个简单表达式呢?为此，我们考察该数列前5项，得由此，我们得的前5项满足要证明上式的确是原递推关系的解，我们用归纳法．当时，，上式成立．假设时上式成立，即则由递推关系．有’故由归纳法知是原递推关系的解．迭代法并不仅仅局限于如例I所示的直接导出的表达式．利用迭代法，还可以先将原递推关系化简，然后再求解．(1)将非齐次递推关系齐次化。