二次函数 专题一 拓展题(7)-学生版

二次函数专题一拓展题(7)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2015•包头一模）如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D 点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x 轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（）①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．A．1 B．2 C．3 D．42．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，对称轴为直线x＝1．有位学生写出了以下五个结论：（1）ac>0；（2）方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3；（3）2a－b＝0；（4）当x>1时，y随x的增大而减小；（5）3a＋2b＋c>0则以上结论中不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H．（1）求A，B两点的坐标；（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；（3）以OB为边最第四象限内作等边△OBM．设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°A、4．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线经过点(4,0) C-，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称；点(0,4)（1）求配方法求这条抛物线的顶点坐标；∠的正弦值；（2）联结AC、BC，求ACBm>），过点P作y轴（3）点P是这条抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（0∠=∠，求m的值；的垂线PQ，垂足为Q，如果QPO BCO5．如图，在平面直角坐标系xoy x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．6．（2015秋•重庆校级期中）在直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C连接AC，BC．（1）求∠ACO的正弦值．（2）如图1，D为第一象限内抛物线上一点，记点D横坐标为m，作DE∥AC交BC于点E，DH∥y轴交于BC于点H，请用含m的代数式表示线段DE的长，并求出当CH：BH=2：1时线段DE的长．（3）如图2，P为x轴上一动点（P不与点A、B重合），作PM∥BC交直线AC于点M，连接CP，是否存在点P使S△CPM=2？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．8．（2015秋•嵊泗县期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求⊙O1的半径．9．（2015秋•岳池县期末）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．如果一条直线与果圆只有一个交点，则这条直线叫做果圆的切线．已知A、B、C、D四点为果圆与坐标轴的交点，E为半圆的圆心，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AC为半圆的直径．（1）分别求出A、B、C、D四点的坐标；（2）求经过点D的果圆的切线DF的解析式；（3）若经过点B的果圆的切线与x轴交于点M，求△OBM的面积．10．（2014•毕节市三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．11．（2015秋•甘谷县期末）已知，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．12．（2012•眉山）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．13．（2015秋•汉滨区期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，4），与直线y=﹣x+1相交于A、B两点，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，过M作MP丄x轴，垂足为点P，交直线AB于点N，设点M的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，线段MN取最大值？并求出这个最大值．14．（2015秋•江宁区期末）如图①，已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣4的顶点为C，与x 轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求点C的坐标及a 的值；（2）如图②，抛物线C2与C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移4个单位，得到抛物线C3．C3与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C3上的一个动点，过点P作y 轴的平行线，交CE于点F．①求线段PF长的最大值；②若PE=EF，求点P的坐标．15．（2014秋•香洲区期末）已知二次函数中x和y的部分对应值如下表：x … ﹣1 0 1 2 3 …y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …（1）求二次函数的解析式；（2）如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在抛物线上，是否存在一点Q，使△QBC中QC=QB？若存在请直接写出Q点的坐标．16．（2015•黑龙江二模）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，直接写出△BDE的面积．17．（2015秋•重庆校级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y交于点C，∠BAC的平分线与y轴交于点D，与抛物线相交于点Q，P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，分别交AD，AC于点E，F，连接BE，BF．（1）如图1，求线段AC所在直线的解析式；（2）如图1，求△BEF面积的最大值和此时点P的坐标；（3）如图2，以EF为边，在它的右侧作正方形EFGH，点P在线段AB上运动时正方形EFGH也随之运动和变化，当正方形EFGH的顶点G或顶点H在线段BC上时，求正方形EFGH的边长．18．（2015秋•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y=x2+c 的图象抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求∠ABC的度数；（2）若点D是第四象限内抛物线上一点，△ADC的面积为，求点D的坐标；（3）若将△OBC绕平面内某一点顺时针旋转60°得到△O′B′C′，点O′，B′均落在此抛物线上，求此时O′的坐标．19．（2015秋•东海县期末）如图，直线y=﹣x+6分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+8，与y轴交于点D，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，过点P 作PC⊥x轴于点C．（1）点A的坐标为，点D的坐标为；（2）探究发现：①假设P与点D重合，则PB+PC= ；（直接填写答案）②试判断：对于任意一点P，PB+PC的值是否为定值？并说明理由；（3）试判断△PAB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（2015秋•綦江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F 为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ ，求△ACQ 的面积的最大值．21．（2015秋•吴中区期末）如图，抛物线y=x 2+mx+n 与直线y=﹣x+3交于A ，B 两点，交x 轴与D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线C 1是二次函数y=x 2﹣10x 在第四象限的一段图象，它与x 轴的交点是O 、A 1；将C 1绕点A 1旋转180°后得抛物线C 2；交x 轴于点A 2；再将抛物线C 2绕A 2点旋转180°后得抛物线C 3，交x 轴于点A 3；如此反复进行下去…（1）抛物线C 3与x 轴的交点A 3的坐标是多少？抛物线C n 与x 轴的交点A n 的坐标是多少？（2）若某段抛物线上有一点P （2016，a ），试求a 的值．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S PBQ CBK =△△：S ，求K 点坐标．24．如图1，点A 的坐标是（-2，0）x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；并求当t等于多少时，S②在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．25．（2009•绍兴）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，若F1：y=x2，经过变换后，得到F2：y=x2+bx，点C的坐标为（2，0），则：①b的值等于；②四边形ABCD为（）A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．（2）如图2，若F1：y=ax2+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c﹣1），求△ABD的面积；（3）如图3，若F1：y=x2﹣x+，经过变换后，AC=2，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．26．（2015秋•东台市校级月考）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，已知点H的坐标为（0，1），设点M为y轴左侧抛物线上的一个动点，试猜想：是否存在这样的点M，使|MA﹣MH|的值最大，如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，过x轴上点E（﹣2，0）作ED⊥AB交抛物线于点D，在y轴上找一点F，使△EDF的周长最小，求出此时点F的坐标；（4）如图3，已知点N（0，﹣1）．问在抛物线上是否存在点Q（点Q在y轴的左侧），使得△QNC的面积与△QNA的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4， 1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ， C 两点（点B 在点C 的左侧）．已知A 点坐标为（0， 3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点B ， 如果以点C 为圆心的圆与直线AB 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点B 是抛物线上的一个动点，且位于A ， C 两点之间，问：当点B 运动到什么位置时， PAC ∆的面积最大？并求出此时B 点的坐标和PAC ∆的最大面积．29．如图1：矩形OABC 的顶点A 、B 在抛物线32-+=bx x y 上，OC 在x 轴上，且2,3==OC OA ．（1）求抛物线的解析式及抛物线的对称轴．（2）如图2，边长为a 的正方形ABCD 的边CD 在x 轴上，A 、B 两点在抛物线上，请用并求出正方形边长a 的值．30．如图，已知抛物线的方程C1m ＞0）与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C1过点M （2, 2），求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 31x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，经过B 、C 两点的抛物x 轴交于另一点A ，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ，设抛物线的顶点为P ，连接AD ，线段AD 与y 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）连结AP ，请在y 轴正半轴．．．上找一点Q ，使Q 、C 、D 为顶点的三角形与△ADP 全等，并求出点Q 的坐标．将∠CED 绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与对称轴l 相交于点 N ，若2DM=DN ，求点M 的坐标．32．在平面直角坐标系xOyx轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA 交y轴于点N，sin∠MOH（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若P的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG 与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由。