怎样推导梁的应力公式、变形公式
梁的弯曲正应力公式
梁的弯曲正应力公式在我们学习力学的奇妙世界里，梁的弯曲正应力公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
先来说说梁是啥吧。
想象一下，你家里的房梁，或者是一座桥上的大梁，它们都是承受各种力量的重要结构。
梁在受到外力作用时，会发生弯曲，而这时候梁内部就会产生应力。
那梁的弯曲正应力公式到底是啥呢？它其实就是用来计算梁在弯曲时，不同位置处的应力大小的。
公式是：σ = My / I 。
这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是惯性矩。
咱们来具体讲讲这个公式里的每个部分。
先说弯矩 M ，它就像是一个大力士，决定了梁弯曲的程度和力量大小。
比如说，在一个建筑工地上，一根钢梁要承受上面重重的建筑材料的压力，这个压力让钢梁产生弯曲，而这个弯曲的力量大小就是弯矩。
再看 y ，也就是所求应力点到中性轴的距离。
中性轴就像是梁的“平衡线”，上面的部分受压，下面的部分受拉。
比如说，你拿一根竹条弯曲，中间不怎么变形的那一条线就类似中性轴。
而应力点到中性轴的距离越大，应力也就越大。
惯性矩 I 呢，它反映了梁横截面的形状和尺寸对抗弯能力的影响。
比如说，同样长度的钢梁，如果一个是实心的粗钢梁，一个是空心的细钢梁，那实心的粗钢梁惯性矩就大，抗弯能力也就更强。
我记得有一次去工厂参观，看到工人们正在加工一批钢梁。
工程师拿着图纸，嘴里不停地念叨着梁的弯曲正应力公式，计算着每根钢梁在不同工作条件下的应力情况。
他们神情专注，一丝不苟，因为哪怕一点点的误差，都可能导致钢梁在使用过程中出现问题，造成严重的后果。
在实际应用中，梁的弯曲正应力公式用处可大了。
比如在设计桥梁的时候，工程师得根据车辆的通行量、桥的跨度等因素，利用这个公式准确计算出桥梁中各个部位的应力，确保桥梁的安全稳固。
又比如在机械制造中，要设计一个能承受特定载荷的传动轴，也得靠这个公式来确定轴的尺寸和材料。
总之，梁的弯曲正应力公式虽然看起来有点复杂，但它可是力学世界里的宝贝，能帮助我们解决很多实际问题，让我们的生活更加安全和便捷。
悬臂梁受集中载荷的应力变形计算
悬臂梁受集中载荷的应力变形计算悬臂梁是一种常见的结构，在工程中应用广泛。
在设计和分析悬臂梁时，经常需要计算受集中载荷作用下的应力和变形。
本文将对悬臂梁受集中载荷的应力和变形计算进行详细阐述。
一、悬臂梁受集中载荷的应力计算1.弯曲应力计算当悬臂梁受到集中荷载作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于载荷作用引起梁的弯曲变形而产生的。
计算弯曲应力可使用弯曲应力公式：σ=(M*y)/I其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，y为弦纤维上离中轴线的距离，I 为截面转动惯量。
在悬臂梁上的集中荷载作用下，弯矩可通过以下公式计算：M=F*L其中，M为弯矩，F为集中荷载，L为悬臂梁的长度。
对于矩形截面的悬臂梁，截面转动惯量I可通过以下公式计算：I=(b*h^3)/12其中，I为截面转动惯量，b为矩形截面的宽度，h为矩形截面的高度。
2.剪切应力计算除了弯曲应力外，悬臂梁还会受到剪切应力的作用。
剪切应力是指梁截面内部不同层次之间的相对滑动所产生的应力。
计算剪切应力可使用剪切应力公式：τ=(V*Q)/(b*I)其中，τ为剪切应力，V为剪力，Q为梁截面的截面模量，b为截面的宽度，I为截面转动惯量。
悬臂梁上的剪力可通过以下公式计算：V=F其中，V为剪力，F为集中荷载。
悬臂梁的截面模量Q可通过以下公式计算：Q=(b*h^2)/6其中，Q为截面模量，b为截面的宽度，h为截面的高度。
二、悬臂梁受集中载荷的变形计算1.弯曲变形计算悬臂梁受到集中载荷作用时，会产生弯曲变形。
弯曲变形是指悬臂梁由于受到集中载荷作用发生的弯曲现象。
计算弯曲变形可使用弯曲变形公式：δ=(M*L^2)/(2*E*I)其中，δ为弯曲变形，M为弯矩，L为悬臂梁的长度，E为弹性模量，I为截面转动惯量。
2.剪切变形计算悬臂梁除了弯曲变形外，还会受到剪切变形的作用。
剪切变形是指梁截面内部不同层次之间的相对滑动所产生的变形。
计算剪切变形可使用剪切变形公式：θ=(V*L)/(G*Q)其中，θ为剪切变形，V为剪力，L为悬臂梁的长度，G为剪切模量，Q为截面模量。
工程应力应变计算公式
工程应力应变计算公式在咱们的工程世界里，应力应变可是非常重要的概念呢！要是不搞清楚它们，那好多工程问题都会让咱摸不着头脑。
先来说说应力，应力简单理解就是单位面积上所受到的力。
比如说，一根杆子受到拉力，那在杆子横截面上每一小块面积所承受的力就是应力啦。
应力的计算公式是σ = F / A ，这里的σ 就是应力，F 是外力，A 是受力的面积。
应变呢，就是物体在受到外力作用时发生的相对变形。
应变的计算公式有好几种，比如线应变ε = ΔL / L ，这里的ΔL 是长度的变化量，L 是原来的长度。
给您讲个我曾经遇到的事儿吧。
有一次我去一个建筑工地，看到工人们正在搭建钢结构。
其中有一根钢梁，看着挺结实，但是工程师却一脸严肃地在计算着什么。
我好奇凑过去一问，原来他正在根据钢梁所承受的力，用应力应变计算公式来判断这根钢梁是否能够安全地承受整个建筑的重量。
我就站在旁边看着他，只见他拿着笔在纸上写写画画，嘴里还念念有词：“先算受力面积，再算外力大小，然后代入应力公式……”不一会儿，他得出了结果，紧皱的眉头终于舒展开来，说：“没问题，这钢梁能扛得住！”那一刻，我深深地感受到，这些看似枯燥的公式，在实际工程中那可是起着至关重要的作用啊。
再说说工程应力应变曲线，这玩意儿能反映材料在受力过程中的性能变化。
通过它，我们可以了解材料是硬还是软，是脆还是韧。
在实际工程应用中，比如制造汽车零件，就得考虑材料的应力应变特性。
要是材料太脆，稍微一受力就断了，那可不行；要是太软，零件容易变形，也会影响汽车的性能和安全。
还有在桥梁建设中，工程师们得精确计算桥梁各个部位的应力应变，确保桥梁在各种荷载下都能稳稳当当的。
要是计算不准确，那后果不堪设想。
总之，工程应力应变计算公式虽然看起来有点复杂，但却是工程领域中不可或缺的工具。
只有把这些公式掌握好，运用好，我们才能建造出更安全、更可靠的工程结构。
就像那次在建筑工地看到的一样，一个小小的计算，关乎着整个工程的成败和大家的安全。
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
梁的应变计算公式
梁的应变计算公式梁是工程中常见的结构元素，用于支撑和承载荷载。
在设计和分析梁的过程中，了解梁的应变是非常重要的。
梁的应变计算公式是一种用于计算梁在受力时产生的应变的公式，它可以帮助工程师们更好地理解梁的性能和行为。
本文将介绍梁的应变计算公式的基本原理和应用，希望能对读者有所帮助。
梁的应变计算公式是根据梁的几何形状和受力情况推导出来的。
在工程中，梁通常受到弯曲、剪切和拉伸等多种受力形式，因此需要综合考虑这些受力情况来计算梁的应变。
首先，我们来看一下梁的应变是如何产生的。
当梁受到外部荷载作用时，梁内部会产生应力，而应变则是由应力引起的。
梁的应变可以分为正应变和剪应变两种。
正应变是指梁在受到拉伸或压缩时产生的应变，而剪应变是指梁在受到剪切力作用时产生的应变。
在实际工程中，我们通常关注的是梁的正应变，因为它直接反映了梁的变形情况。
梁的应变计算公式可以根据梁的几何形状和受力情况来推导。
对于受弯梁来说，其应变可以通过以下公式来计算：ε = -y κ。
其中，ε表示梁的应变，y表示梁截面上的某一点到中性轴的距离，κ表示梁的曲率。
这个公式说明了梁的应变与梁的曲率成正比，与梁截面上的某一点到中性轴的距离成反比。
这个公式的推导过程比较复杂，需要通过弹性力学理论和微分方程来进行推导，这里就不展开讨论了。
在实际工程中，我们可以通过这个公式来计算梁在受力时产生的应变。
首先需要确定梁的几何形状和受力情况，然后通过这个公式来计算出梁在不同位置的应变分布。
这样可以帮助工程师们更好地了解梁的变形情况，从而指导设计和分析工作。
除了受弯梁，对于受拉伸或压缩的梁来说，其应变计算公式也有所不同。
在这种情况下，梁的应变可以通过以下公式来计算：ε = ΔL / L。
其中，ε表示梁的应变，ΔL表示梁的长度变化量，L表示梁的原始长度。
这个公式说明了梁的应变与梁的长度变化量成正比，与梁的原始长度成反比。
这个公式的推导过程也比较复杂，需要通过应变-应力关系和材料力学理论来进行推导。
梁变形与梁应力部分小结
梁变形与梁应力部分小结一、梁的应力与变形公式1、平面弯曲的正应力σ公式 y Ey I M Zρσσ==研究方法：平面弯曲、纯弯曲平面假设、单向受力假设①变形几何关系（条件、方程）ρεy=（应变沿截面高度的分布规律）y ——截面上某点到中性轴的距离 ②物理关系（条件、方程）ρσyE εE ⋅=⋅= （应力沿截面高度的分布规律）③静力学关系（条件、方程）dAy Ey σdA M0ydA EσdA F A2AZAAN ⎰⎰⎰⎰=⋅====⊗ρρ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰中性轴—Z dA y I A 2Z ()4m()⎰=⋅=→AZ Z 0dA y S S 3m 静矩 （中性轴Z 轴通过形心）2、弯曲变形基本公式（方程）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±==22Zdx y d EIM ρρ1（ρ1曲率）3、任一点处弯曲正应力的表达式（对同一截面而言）y I M Z=σ ZI ——截面对中性轴的惯性M ——该截面上的弯矩值 y ——该截面上某点至中性轴之矩 4、平面弯曲剪应力公式 ①基本公式：bI S Fs Z Z *=τ 式中：b ——横截面上要计算剪应力之点处的宽度Z I ——整个截面对中性（形心）轴的惯性矩*ZS ——横截面上距中性轴为y 的横线以外部分截面对中性轴Z 的静矩②横截面上最大剪应力（危险点在中性轴上各点）记忆⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====2maxmax 3ππ16Fs A Fs 34τbh Fs 1.5A Fs23τ查表Z I ：m ax Z S 值（应用）二、平面弯曲强度条件与刚度条件1、弯曲正应力强度条件 []σσ≤=ZW M m ax （对称）[][][][])() ( 2m ax m ax σy y I M y I M Zl 1Z 压拉压拉σσσσσ≤=≤=（不对称）2、弯曲剪应力强度条件 []ττ≤=bI S Fs Z Zmaxmax m ax 危险点均在危险截面的中性轴各点处应力沿截面高度的成抛物线分布规律3、刚度条件（用叠加法求出梁中最大转角与挠度）转角[]θθ≤m ax 、()角度弧度⇒⋅πθ180m ax rad挠度[] max max ωω≤(m) 满足刚度条件三、提高弯曲强度与弯曲刚度的措施1、选择合理的截面（考虑材料力学性质） ①AW Z一般情况该比值越大越合理 工＞＞②铸铁[]压σ＞[]拉 σ，中性轴偏于受拉边 Z (中性轴) 2、合理布置梁的支座和载荷①合理布置梁的支座 ②合理布置梁的载荷 ③等强度梁（变截面梁）m ax m ax τ矩形梁 圆截面梁 工字梁危险点均在危险截面的上、下边缘点处应力沿截面高度成线性分布四、用变形比较法求解超静定（静不定）梁1、确定静定基。
怎样推导梁的应力公式、变形公式
z x y M
z M dφ x
dx
dx (b) 弯曲后平面图
y ε=ydφ
(a) 弯曲前平面图 z x y M
z M dφ dx (d) 弯曲后立体图
ε
dx
y ε=ydφ
(c) 弯曲前立体图
ε x (y) ≡
ydϕ (x ) 横截面上的各点 ======= c x y (1) dx
图 1-1 在平截面假设下， （ 1）同一横截面上各点（ z， y）应变ε沿 y 线性分布； （ 2） 应变ε与梁高方向的 y 值成正比， 比例常数 cx 仅与横截面位置有关； （ 3）中性轴 z 上各点（ y=0）的应变ε为零。 从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴 Z）转 过一个角度（如图 1-1、1-2 中的 dφ） ，横截面仍然保持为平面，
z
y dy
∫
A
y 2 dA (5)
h/2 y
I z ≡ ∫ y 2 dA = ∫
A
h/2
−h / 2
y 2 bdy =
bh 3 33 (8) 12
图 1-5 矩形截面的惯性矩计算公式的推导
1.3.3 推导变形公式 根据 σ =
M y (7 ) 、 σ = Eε (2 ) Iz
和εx
(
)
3/ 2
=
[±
y ′′
(
1 + y′2
)]
3
≈ ± y ′′ ，考虑到坐标轴 y 向下为正
和对弯矩正负号的规定，故应取
dϕ = - y ′′ (10 ) ，把（10）代入（9）得 dx
A
为了求得应力公式，推导如下;
M = ∫ yσdA = ∫ yEεdA = E ∫ yεdA = E ∫ yc x ydA = Ec x ∫ y 2 dA = Ec x I z 33 (4 )
切应力公式推导
的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。
yc,max
四、横截面上的最大应力
d2
Oz y b
d1 h
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横
截面上最大拉应力和最大压应力的
值相等；中性轴 z 不是横截面对称
轴的梁 (如图) ，其横截面上的最大 拉应力和最大压应力的值不相等。
yt,max
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应
第六章
§6－1 梁的正应力
一、纯弯曲与平面假设
1、纯弯曲——梁或梁 上的某段内各横截面上 只有弯矩而无剪力(如图 5－1中的CD段)。
2、 横力弯曲——梁或 梁上的某段内各横截面上 既有弯矩又有剪力(如图6 －1中的AC、BD段)。
弯曲应力
F a (a) AA
Cl
F (b)
FS图 (c)
M图
图6－1
A
最后由式（f）可得
M z
y d A E
A
y2 d A EI z M
A
即有
1 M
EI z
（6－3）
上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。
将式（6−3）代入式（6−2），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应
力的计算公式为
σ My Iz
（6－4）
三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
五、横力弯曲
在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪 力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁， 大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应 用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截 面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工 程中的精度要求。
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的应力计算
Mmax WZ
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
q=2kN/m
A
xm
FAY
C
l = 4m
例题6-2
140
[σ]=10MPa，试校核该梁
B
的强度。
x
210
FBY
解：1. 求支反力 FAy 4kN FBy 4kN
M
ql2 / 8 4kN m
2. 求最大弯矩
Mmax
ql2 8
4kN m
物理关系 E E y
静力学关系
1 M
EI
Z
1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲
正应力公式 My (6-6)
率
IZ
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
正应力分布
My
IZ M • 正应力大小与其到
中性轴距离成正比；
• 与中性轴距离相等 的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
M
max
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0 h03 12
bh3 12
) /(h0
/
2)
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
§6-1 梁的正应力
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 M 与 Iz
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
t,max t
c,max c
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
根据弯曲正应力强度条件
梁的应力公式
梁的应力公式梁是工程结构中常见的构件，比如桥梁的大梁、房屋的横梁等等。
要了解梁的性能和安全性，就得搞清楚梁的应力公式。
先来说说啥是应力。
应力就好比是梁内部的“力量分布”，它反映了梁在受力时内部各点的受力强度。
想象一下，一根梁被重物压着，它内部的每一部分都在努力抵抗这个压力，而应力就是描述这种抵抗强度的指标。
梁的应力公式有好几种，咱们先从最简单的说起。
对于矩形截面的梁，在受到垂直于轴线的弯矩作用时，正应力的公式是：σ = M*y / I 。
这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是截面惯性矩。
举个例子吧，有一次我去一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个厂房的框架。
其中有一根大梁，看上去很粗壮，但我心里就在想，这根梁到底能不能承受住上面的重量呢？这时候我就想到了梁的应力公式。
我走近仔细观察了一下这根梁的截面形状，大致估计了一下它的尺寸。
然后假设上面的重物产生了一个特定大小的弯矩，根据我所知道的公式和估计的参数，试着算了算梁内部的应力分布。
这一算可不得了，我发现如果重物再重一点，或者放置的位置再偏一点，某些部位的应力可能就会超过材料的承受极限，那可就危险啦！再来说说圆形截面的梁。
它的应力公式和矩形截面的有所不同，但原理是类似的。
对于圆形截面，应力的计算也要考虑到弯矩、到圆心的距离以及截面的惯性矩等因素。
在实际工程中，梁的受力情况往往很复杂，可能同时受到弯矩、剪力、扭矩等多种力的作用。
这时候，就得综合运用各种应力公式来进行分析。
比如说，在设计一座钢结构的桥梁时，工程师们不仅要考虑车辆行驶时产生的弯矩，还要考虑风力、地震力等因素产生的影响。
他们会运用先进的计算软件，输入各种参数，然后根据梁的应力公式来计算出每一个部位的应力情况。
如果发现某些部位的应力过大，就需要调整设计，比如增加梁的截面尺寸、改变材料或者优化结构形式。
总之，梁的应力公式是结构工程中的重要工具，它帮助我们设计出安全可靠的梁结构，确保建筑物和各种设施的稳定和安全。
怎样推导梁的应力公式、变形公式
05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@ ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 12 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
................................................... 23 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 24 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） ....................................................................5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 ....................................................................................................8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 ....................................................................................9 93. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
梁应力强度计算
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
梁的计算公式口诀
梁的计算公式口诀梁是一种常见的力学结构，用于支撑或承载重量。
在工程领域中，计算梁的应力和变形是非常重要的，这需要根据力学原理和公式进行计算。
下面是一些与梁有关的计算公式的口诀。
1.梁的受力分析公式：在计算梁的应力和变形之前，首先需要进行受力分析，这可以使用以下公式：ΣF=0，ΣM=0。
其中，ΣF表示受力的合力为零，ΣM表示受力的合力矩为零。
2.梁的弯曲应力公式：当梁受到弯曲力时，会产生弯曲应力。
这可以使用以下公式进行计算：σ=My/I，其中，σ表示弯曲应力，M表示弯矩，y表示距离梁中心线的距离，I表示惯性矩。
3.梁的剪切应力公式：当梁受到剪切力时，会产生剪切应力。
这可以使用以下公式进行计算：τ=VQ/Ib，其中，τ表示剪切应力，V表示剪切力，Q表示截面的剪切面积，Ib表示梁在弯曲方向的惯性矩。
4. 梁的最大弯矩公式：在计算梁的弯曲应力时，需要先计算最大弯矩。
这可以使用以下公式进行计算：Mmax=(wL^2)/8，其中，Mmax表示最大弯矩，w表示梁的均匀分布荷载，L表示梁的长度。
5.梁的挠度公式：在计算梁的变形时，需要计算梁的挠度。
这可以使用以下公式进行计算：δ=(5wL^4)/(384EI)，其中，δ表示梁的挠度，w表示梁的均匀分布荷载，L表示梁的长度，E表示梁的弹性模量，I表示惯性矩。
6.梁的极限承载力公式：在计算梁的承载能力时，需要计算梁的极限承载力。
这可以使用以下公式进行计算：P=(4.45fYb)/γF，其中，P表示梁的极限承载力，fY表示梁的屈服强度，b表示梁的宽度，γF表示安全系数。
7.梁的刚度公式：在计算梁的刚度时，需要计算梁的刚度系数。
这可以使用以下公式进行计算：K=(3EI)/(L^3)，其中，K表示梁的刚度系数，E表示梁的弹性模量，I表示惯性矩，L表示梁的长度。
以上是一些与梁有关的计算公式的口诀。
通过记住这些公式，我们可以更方便地进行梁的受力分析和计算。
当然，在实际应用中，还需要考虑其他因素，如材料的非线性和梁的几何形状等。
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05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@ ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 12 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
................................................... 23 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 24 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） ....................................................................5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 ....................................................................................................8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 ....................................................................................9 93. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，[]y y 许用变形工作变形≤、[]θθ≤。
如，梁弯曲强度条件：[]σσ≤=WM max max；剪切强度条件：[]τρτρ≤⋅=b I S F z Q *max,max 刚度条件：挠度⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤l y l y max ；转角[]ϕϕ≤max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。
由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数，即得。
显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。
如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。
杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。
它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。
其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。
2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
一般来说，多按静力、几何、物理的顺序分析和讲解这三个方面的问题。
力是看不见、摸不着的，只能够感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物体所承受的力（这是力学难学的根本之所在）。
变形是可以观测的，或者借助易变形的橡胶模型观测到。
由于物体运动可以观测到，速度、加速度不难理解，而绝大部分物体的变形很难肉眼观测，研究平衡状态下的内力和变形的难度进一步加深。
物理方面是指材料的力学性质，主要是应力应变关系，这必须试验确定。
在材料力学中主要用到线弹性材料胡克定律，基本上没有难度。
故，本文按先易后难的顺序（几何、物理、静力）展开分析和研究。
1 梁的弯曲3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导1.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。
考察一端固定，一端受弯矩M作用的梁（纯弯曲）。
根据“平截面假设”，其变形图示如下：从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴Z ）转过一个角度（如图1-1、1-2中的d φ），横截面仍然保持为平面，公式（1）表明：各纵向纤维（x 方向）的单位长度伸长量εx （线应变、正应变）可表示为()dxy ε=x ，同一截面各点（y 坐标不同）对应的纵向纤维原长dx 是一样的，但伸长量yd υ不同，随y 线性变化。
对于对应的纵向纤维，故各条纵向纤维的单位长度伸长量εx (y)是不一样大的。
主题字母ε表示物理量为应变，下标x 表示该量ε的方向，圆括号(y)内的y 表示εx 的自变量是y ，即εx (y)表示x 方向的纵向纤维线应变，它随y 值变化。
应变εx 沿y方向线性分布，沿z 方向不变。
在y=0，即中性轴z 轴上各点的应变为零。
正弯曲作用的梁段上，中性层（为xz 坐标面）以下的纵向纤维伸长，中性层以上的纵向纤维缩短。
1.1.2 物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是线弹性的。
()2 εσE =1.1.3 静力学方面——合力定理：合力等于分力之和。
在梁的横截面上的“广义合力”为作用在xy 面内的力偶M （弯矩），故横截面上各点“正应力”向z 轴取力矩的代数和，应该等于弯矩M 。
把该横截面划分为若干个微小的矩形截面dA=bdy ，设作用在dA 截面的平均正应力为σ，则一个矩形微截面上的轴向力为dA dF N σ=。
它对z 轴的力矩为N ydF dM =，y 为微截面dA 形心到中性轴z 的距离。
根据“合力偶等于分力偶之和”，则()3 ⎰⎰==AAdA y ydF M σ1.1.4 由上述三个关系式可以推导出轴向拉压杆的横截面应力公式。
为了方便推导和阅读，把上面的几何学、物理学、静力学三个方面的公式汇集如下：()()1 y c y x x =ε，()2 εσE =，()3 ⎰=AdA y M σ为了求得应力公式，推导如下;()()()()42123 z x Ax Ax AAAI Ec dA y Ec ydA yc E dA y E dA yE dA y M ======⎰⎰⎰⎰⎰εεσ式中，()52 ⎰≡Az dA y I ，称为横截面对形心轴z 的惯性矩，显然，其单位为长度的4次方。
将（1）（2）式回代到（4）：()()()()6/214 z z z z x I yI yEEI yEI Ec M σσε====将（6（7）式表明梁的正应力沿梁高方向y 成线性分布。
注1：推导（4）式的目的是把含有非几何量的积分式()3 ⎰=AdA y M σ，恒等变形为不显含积分的表达式()4 z EkI M =，积分⎰AdA y 2，则隐含在惯性矩的定义式中，⎰≡Az dA y I 2，该积分仅仅是横截面形状、大小的函数，与内力（弯矩M ）无关，即可以对不同形式截面的惯性矩事先予以计算。
注2：在梁的横截面上有线性分布的正应力，但是，它们的合力为零，即梁的横截面上没有轴向力。
现证明如下：()022/2/22/2/bh 7======--⎰⎰⎰⎰h h z h h zAz A zAN y I Mb ybdy I MydAI M ydA I M dA F 宽设梁高为σ注3：实验和进一步的理论研究都指出，纯弯曲的应力公式可以应用于横力弯曲，只要梁长不小于梁高的5倍，即长梁，其计算精度满足土木工程要求。
注4：由()52 ⎰≡Az dA y I 和图1-4所示矩形截面，可导出矩形截面的惯性矩。
41.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲）性关系式()2 εσE =便可得到梁的变形公式。
()()()dx d Ey E y I M z ϕεσ127===，整理后，得 ()8 zEI Mdx d =ϕ（8）式中的dx d ϕ是曲率，由数学知：()()[]y y y y y dx d ''±≈'+±''='+''=322/3211ϕ，考虑到坐标轴y 向下为正和对弯矩正负号的规定，故应取 ()9- y dxd ''=ϕ，把（9）代入（8）得此即是梁的弯曲微分方程。
对它积分一次得梁的转角方程（11）式，积分两次得梁的挠曲方程（12）式。
两式中的积分常数c 1和c 2由梁的转角和挠度边界条件确定。
51.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导为了方便读者理清上述推导的思路，将其浓缩如下： 1.3.1 建立三个关系物理关系：()2 εσE = 静力关系：()3 ⎰=AdA y M σ1.3.2 推导应力公式为了求得应力公式，推导如下;()()()()42123 z x Ax Ax AAAI Ec dA y Ec ydA yc E dA y E dA yE dA y M ======⎰⎰⎰⎰⎰εεσ定义()52 ⎰≡Az dA y I ，称为横截面对形心轴z 的惯性矩，其单位为长度的4次方。
()()()()6/214 z z z z x I yI yEEI yEI Ec M σσε====将（61.3.3 推导变形公式 根据 、()2 εσE =()()()dx d Ey E y I M z ϕεσ127===，整理后，得 ()9 zEI Mdx d =ϕ由数学知曲率：()()[]y y y y y dx d ''±≈'+±''='+''=322/3211ϕ，考虑到坐标轴y 向下为正和对弯矩正负号的规定，故应取()10- y dxd ''=ϕ，把（10）代入（9）得12）式，积分两次得梁的挠曲方程（13）式。
两式中的积分常数c 1和c 2由梁的转角和挠度边界条件确定。
61.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤l y l许用相对挠度工作相对挠度y2 梁横力弯曲中的剪切7 2.1 梁剪切的应力公式推导由于纯弯曲中没有剪力，故不存在剪应力。
由于纯弯曲的正应力公式可以用于横力弯曲，在横力弯曲中存在剪力，故用梁的弯曲正应力公式可得梁的剪应力公式。