华师大版九年级上册课件：24.4解直角三角形(1)
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华师版九年级数学上册第24章4 解直角三角形
“有斜求对乘正弦”的意思是在一个直角三角形中，对一
个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边，那么
就用斜边长乘该锐角的正弦，其余的口诀意思可类推.
知1－练
例 1 根据下列条件，解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 2； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝2. 解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择 合适的关系式求解.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
1 课时讲解 解直角三角形
解直角三角形在实际问题中的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 解直角三角形
知1－讲
1. 一般地，直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形. (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其 中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个 未知元素(知二求三). (2) 一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直 角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.
找未知角的某一个锐角三角函数.
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°.
∵ tan A＝ab，∴ 33＝1a2， ∴ a＝4 3，∴ c＝2a＝8 3.
知1－练
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°.
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；
24.4.3 解直角三角形的应用—仰角、俯角(课件)九年级数学上册(华东师大版)
即该建筑物 CD 的高度约为 42 m.
第24章 解直角三角形
知识回顾
仰角、俯角问题： 1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平 线的夹角叫做俯角.
2.梯形通常分解成矩形和直角三角形来处理.
3.实际问题转化为几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形与三角形来 解决.
DC
tan54o 40 1.3840 55.2m，
∴AB = AC－BC ≈ 55.2－40 = 15.2 (m).
第24章 解直角三角形
第24章 解直角三角形
仰角、俯角问题
| 24.4 解直角三角形 第3课时 |
华师版(2012)九年级上册数学
知识回顾
在解直角三角形的过程中，重要关系式： (1)三边之间的关系 a2 + b2 = c（2 勾股定理） (2)两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° (3)边角之间的关系
第24章 解直角三角形
第24章 解直角三角形
解：如题图，延长 AE 交 CD 于点 G.设 CG＝x m．
在 Rt△ECG 中，∠CEG＝45°，则 EG＝CG＝x m．
在 Rt△ACG 中，
∵∠CAG＝30°，tan∠CAG＝CAGG，
∴AG＝ tan
C∠GCAG＝
3x m．
∵AG－EG＝AE，∴ 3x－x＝30，
解得 x＝15( 3＋1)．故 CD＝15( 3＋1)＋1.5≈42(m)．
2
部分的面积为 2 cm2（根号保留）．
图3
图4
第24章 解直角三角形
5.建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰 角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）. 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°， BC = DC = 40 m， ∴AC tan ADC DC. 在 Rt△ACD 中 tan ADC AC ，
24. 解直角三角形及一般应用 PPT课件(华师大版)
关
添设 辅助线解
解 直 角 三 角 形
系
直角 三角形
导引：在Rt△BCD中，求出BC与BD的长，再求出甲、乙所
用的时间，比较其大小即可知道谁先到达B处．
解：乙先到达B处．理由：由题意得∠BCD＝55°，
∠BDC＝90°，
∵tan∠BCD＝ BD , CD
∴BD＝CD·tan∠BCD＝40×tan 55°≈57.2(m)，
CD
又cos∠BCD＝ ,
BC
【例3】〈浙江温州〉某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看成直线l (如图)．救生员甲在A处的瞭望台上视察海面情况，发现其正 北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往 救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙立刻从C处 入海，径直向B处游去．甲在乙入海10 s后赶到海 岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40 m，B在 C的北偏东35°方向上，甲、乙的游泳速度都是2 m/s.谁先到达B处？请说明理由．(参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
b
(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．
1 (兰州)如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A ＝( )
A． 5 B. 1
2
Байду номын сангаас
2
C．2 5 5
D． 5 5
2 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的 平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝( )
【例1】在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C
的对边，∠C＝90°，a＝6，b＝ 2 3，解这个
直角三角形．
导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理 求出斜边长，然后根据正切的定义求出∠A的 度数，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．
华东师大版 九年级上册 24.4 解直角三角形 (18张PPT)
夹角BCA 600 ,测得BC 7m,则桥长AB ____ 米（结果精确到1米）
A
D
A
B 2019/11/18
300 C
B
C
A
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的 北偏东300 方向，距离灯塔80海里 的A处，它沿正南方向航行一段时 间后，到达位于灯塔P的南偏东450
方向上的B处，海轮所在的B处与 P
想一想：已知两边怎样求出 直角三角形的未知元素呢？
C
AA
2019/11/18
例2:虎门威远的东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入 侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台 B测得敌舰C在它的正南方，试求: (1)敌舰C与炮台A的距离; (2)敌舰C与炮台B的距离.(精确到1米）
（sin 500 0.7660; cos500
0.6428; tan 500 1.1918)
想一想：已知一边一锐角怎样求出 直角三角形的未知元素呢？
2019/11/18
勾股定理
解 已知两边
直 角
边角关系
三
角
两锐互余角
形 已知一边 关系
一锐角 边角关系
2019/11/18
第三边
至
少
一
锐角度数 个
条
另一锐角 件
是
边
另两边
1.如图，AC是电线杆的一根拉线，测得AB 8米，ACB ,
则A C的长是 _______.B C的长是 _____
(用含的三角函数表示）
A
12
2019/11/18
B
C
2.某海船以32.6海里 / 时的速度向正北方向航行， 在A处看灯塔Q在海船的北偏东300 方向处，半 小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的 距离最短.求灯塔Q到B的距离.(画出图形后计算， 精确到0.1海里）
华师大版-数学-九年级上册- 解直角三角形 教学课件
（六）．课后作业
1.在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头 MN，在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的 北偏西30°，且与A相距40km的B处； 如图1若经过40分钟，测得该轮船位于O的正北 方向，且与O相距 8 3 千米的D处． ①求该轮船航行的速度；
解直角三角形（方位角）
（一）．方位角的定义
指南或指北的方向线与目标方
向线构成小于900的角,叫做方位 角.
如图：点A在O的 北偏东30°。 点B在点O的南 偏西45°（西南方向）
二.达标练习 1.如图, 在一自助夏令营活动中，小明 同学从营地A出发，要到A地的北偏东 60°方向的C处，他先沿正东方向走 了200m到达B地，再沿北偏东30°方 向走，恰能到达目的地C（如图）， 那么，由此可知，B、C两地相距＿＿ ＿m．
；
（四）小结： 方位角问题的实际应用题解法： 直接或间接把所求元素放在直角 三角形中，解题时应善于发现直 角三角形，用三角函数、勾股定 理等知识解决问题。
（五）．课堂巩固训练
B的距离为20海里，渔船将险情 报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80° 方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援 船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后， 救援船在海岛C处恰好追上渔船， 那么救援船航行的速度为＿＿
（1）求M，N两村之间的距离；
（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P
，使得M，N两村到P站的距离之和最短，求
这个最短距离。
北A
M
N
A
B
②如果该轮船不改变航向继续航行，
那么轮船能否正好行至码头
MN靠 岸？请说明理由．
2.如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°
2019年华师版九年级上册数学解读课件：第24章 解直角三角形(共16张PPT)
梯子的垂直高度
A=
水平宽度
,tan A的值越大,梯
子越陡.因此可用梯子的倾斜角的正切值来
描述梯子的倾斜程度.
知识点 特殊角的三角函数值
在一副三角板中,等腰直角三角形的三边长之比为1∶1∶ ,含 30°角的直角三角形的三边长之比为1∶ ∶2,可根据三角函 数定义顺利得出30°,45°和60°角的三角函数值.
锐角的正弦和余弦是在直角三角形中定义的,因为直角边小于斜边,且各 边的长度都是正数,所以0<sin A<1,0<cos A<1,sin A的值随着∠A的增大 而增大,cos A的值随着∠A的增大而减小.
知识点 锐角的正切
在下图中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?
当梯子与地面所成的角为锐角A时,tan
知识点 用计算器求一个锐角的三角函数值
为了方便行人推自行车过某天桥,市政府在10 m高的天桥 两端修建了40 m长的斜道(如图所示).要求这条斜道的倾 斜角是多少,可先求出倾斜角的正弦,然后利用科学计算器 求出其度数.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
知识点 解直角三角形
如图所示的是意大利的比萨斜塔,设塔顶中心点为B,塔身中 心线与垂直中心线的交点为A,过B点向垂直中心线引垂线, 垂足为C,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m, 显然可以用∠A的正弦,利用计算器求出∠A的度数,即塔倾 斜的角度.
第24章 解直角三角形
24.3 锐角三角函数
知识点 锐角的正弦和余弦
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山 坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°, 为使出水口的高度为35 m,显然可利用正弦求出需要准备多长的水管.
华师大版初中数学九年级上册《解直角三角形》课件
1.测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度， 在地面上一点B测得楼顶A的仰角为300，前进15 米到D，侧得天线顶端E的仰角为600，已知楼高 AC为15米。求天线AE的高度。
2.为迎接2008年奥运会，北京市在旧城改造中，要 拆除一烟囱AB，在地面上事先画定以B为圆心，半 径与AB等长的圆形危险区。现在从离B点21m远的 建筑物CD的顶端C处测得A点的仰角为45°，B点 的俯角为30°，问离B点35m远的保护文物是否在 危险区内？
什么是解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的已知 元素，求未知元素的过程，叫做解 直角三角形.
B
a
C
c
如图：RtABC中，C=90， 则其余的5个元素之间关系？
b
A
练习
如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°， D ∠B=45°，求△ABC的面积。 解：过点C 作CD⊥AB于点D, 在Rt△ADC中，sin600= AC 又∵AC=6, ∴CD= 3 3 AD=3,又∵∠ACB=750, ∠ABC=450
2．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
在RtΔABC中，若∠C =900， 问题1. 在RtΔABC中,两锐角∠A, ∠B的有什么关系? 答： ∠A+ ∠B= 900. 问题2.在RtΔABC中，三边a、b、c的关系如何？ 答：a2+b2 =c2. 问题3：在RtΔABC中， ∠A与边的关系是什么？
最新华师大版初三数学上册第24章 解直角三角形 全单元ppt课件
1 1 CD CE AB 2 2
B
C
∟
练一练
1.已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上的中线的长为
______. 5cm
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线∠CDA=80°， 则∠A=_____ 40° 50° ，∠B=_____.
D B C
二 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
第24章 解直角三角形
24.1 测 量
导入新课
观察与思考
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红
旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
你可能会想到利用相 似三角形的知识来解 决这个问题．
你能设计出一种测 量的方案吗？
讲授新课
用不同的方案进行测量
要求 ：（1）画出测量图形； （2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量 的数据)； （3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式.
B′ A′
B
C′
BC AC BC AC
你知道计 算的方法 吗？
A
34°
C
E
D
1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°； 2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米； 3.量出测倾器的高度AD=1.5米. (精确到0.1米)
B 本章主要 探究的内 容就是直 角三角形 中的边角 关系
1 ∴CD＝AD＝BD＝ 2 AB.
B
D
A
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.
求证：CD=
【证明】
1 2
AB.
A
中线辅助线作法：将中线延长一倍. 思路引导：
华师大版初中数学九年级上册24.4解直角三角形(1)
第 1 课时
知识与能力
理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角 形
教学 目标
过程与方法
通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问 题解决问题的能力
在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学 情感态度与价值观 思想和方法
内容 分析
教法 学法
教学重点 教学难点 启发诱导式
根据条件解直角三角形 从条件出发，正确选用适当的边角关系解题
集体备课（共案）
教具学具 PPT 三角板
二次备课修正（个案） 年月 日
一、 创设情境、激趣导入
在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，a,b,c，∠A，∠B 这五个
元素间有哪些等量关系？
勾股定理：
（边与边的关系）
华师大版初中数学
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重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！ 华师大初中数学 和你一起共同进步学业有成！
学校：道生中学
TB:小初高题库
24.4 解直角三角形(1)（共案+个案）
共案备课组：数学教研组
个案备课教师：
华师大版初中数学
课题 24.4 解直角三角形(1)
课型 新授课
理性地看待人生
TB:小初高题库
试一试：
在 RT△ABC 中，∠C=90°，由下列条件解 RT△ABC：
（1） a 8 15, b 24 5
（2）∠A=30°，a=106 三、合作交流、尝试练习 例 1：如图(书 112 图 24.4.1)一棵大树在一次强烈的地震 中于离地面 5 米处折断倒下，树顶落在离树根 12 米处，则 大树在折断之前高多少？ 分析：图形 已知 2 边，求第三边 （勾股定理） 解：（略） 在上题中还可以利用边角关系，求出另外 2 个锐角。 四、联系实际、应用拓展
相关主题
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北 西 南 东
A
小结
①定义：在直角三角形中，由已 知元素求出 未知元素的过程，叫做解直角三角形;
②在解决实际问题时,应“先画图,再求解”
③解直角三角形，只有下面两种情况可解： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角。
B
A
12
CБайду номын сангаас
5
AC BC ___
③cosA
④tanA
⑤ cotA =
= __
12 5
练习1：在电线杆离地面8米高的地方向地 面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固 定在距离电线杆底部多远的地方？ B
8米
10米
?
C
A
概括
1、在直角三角形中，由已知元素求出未知 元素的过程，叫做解直角三形 ；
2、在解决实际问题时,应“先画图,再求解”
练习: 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12, AB=13,则有 ①根据勾股定理得: 2-122 13 5 13 BC=_________=______ ②sinA
BC 5 AB 13 =_____=_____ AC 12 AB = _______ 13 =_______ BC 5 =_____=____ AC 12
24.4 解直角三角形
图 19.3.1
三边之间关系
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
sin A
锐角之间关系
边角之间关系 (以锐角A为例)
A的对边 BC A的邻边 A cos A 斜边 AB 斜边 A
A的对边 BC A的邻边 AC
tan A
A的邻边 AC cot A A的对边 BC
3、在直角三角形中，如果已知两条边的长 度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条 边。 4、在直角三角形中，如果已知两条边的长 度，能否求出另外两个锐角？
虎门威远炮台
虎门威远的东西两炮台A、B相距2000 米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰 C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌 舰C在它的正南方，试求: (1)敌舰C与炮台A的距离; (2)敌舰C与炮台B的距离. (精确到1米）
北 西 南 东
图 25.3.2
注意:
(1)在直角三角形中，已知一条边 和一个锐角，可利用三角函数来求另外 的边 . (2)解直角三角形过程中，常会遇 到近似计算，本书除特别说明外，边长 保留四个有效数字，角度精确到 1
练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向 航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处 半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船 的距离最短，求 Q B (1)从A处到B处的距离; (2)灯塔Q到B处的距离 （画出图形后计算， 精确到 0.1 海里） 30°
A
小结
①定义：在直角三角形中，由已 知元素求出 未知元素的过程，叫做解直角三角形;
②在解决实际问题时,应“先画图,再求解”
③解直角三角形，只有下面两种情况可解： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角。
B
A
12
CБайду номын сангаас
5
AC BC ___
③cosA
④tanA
⑤ cotA =
= __
12 5
练习1：在电线杆离地面8米高的地方向地 面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固 定在距离电线杆底部多远的地方？ B
8米
10米
?
C
A
概括
1、在直角三角形中，由已知元素求出未知 元素的过程，叫做解直角三形 ；
2、在解决实际问题时,应“先画图,再求解”
练习: 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12, AB=13,则有 ①根据勾股定理得: 2-122 13 5 13 BC=_________=______ ②sinA
BC 5 AB 13 =_____=_____ AC 12 AB = _______ 13 =_______ BC 5 =_____=____ AC 12
24.4 解直角三角形
图 19.3.1
三边之间关系
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
sin A
锐角之间关系
边角之间关系 (以锐角A为例)
A的对边 BC A的邻边 A cos A 斜边 AB 斜边 A
A的对边 BC A的邻边 AC
tan A
A的邻边 AC cot A A的对边 BC
3、在直角三角形中，如果已知两条边的长 度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条 边。 4、在直角三角形中，如果已知两条边的长 度，能否求出另外两个锐角？
虎门威远炮台
虎门威远的东西两炮台A、B相距2000 米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰 C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌 舰C在它的正南方，试求: (1)敌舰C与炮台A的距离; (2)敌舰C与炮台B的距离. (精确到1米）
北 西 南 东
图 25.3.2
注意:
(1)在直角三角形中，已知一条边 和一个锐角，可利用三角函数来求另外 的边 . (2)解直角三角形过程中，常会遇 到近似计算，本书除特别说明外，边长 保留四个有效数字，角度精确到 1
练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向 航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处 半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船 的距离最短，求 Q B (1)从A处到B处的距离; (2)灯塔Q到B处的距离 （画出图形后计算， 精确到 0.1 海里） 30°