巧求分数
分数的巧算教师版
分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。
20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 =（20081＋20082007）×2007÷2 =211003二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641 分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=6463 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因此，只要添上一个加数641，就能凑成321，依次向前类推，可以求出算式之和。
21 ＋41＋81＋161＋321＋641 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－641 =21 ＋41＋81＋161＋（321+321）－641 ……解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。
设x=21 ＋41＋81＋161＋321＋641 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋641）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ②用②－①得2x －x=1+21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋641） x=6463 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
小学生数学练习题巧算分数运算
小学生数学练习题巧算分数运算数学是小学生学习的一门重要学科，而分数运算是其中一个难点。
为了帮助小学生巧妙地解答分数运算题，本文将介绍一些有效的方法和技巧。
通过这些练习题的训练，相信小学生们会在分数运算上取得更好的成绩。
练习题一：简单分数的加减法运算1. 1/2 + 1/3 =2. 3/4 - 1/5 =3. 5/6 + 2/3 =4. 2/5 - 1/4 =5. 1/8 + 2/8 =6. 3/4 - 1/2 =7. 3/5 + 1/10 =8. 4/7 - 2/7 =9. 2/3 + 1/4 =10. 5/6 - 1/6 =解答步骤：1. 将1/2和1/3的分母找到最小公倍数，这里是6。
然后将两个分数的分子相加，得到7/6。
最后将7/6改写成带分数，即1 1/6。
2. 将3/4和1/5的分母找到最小公倍数，这里是20。
然后将两个分数的分子相减，得到11/20。
3. 将5/6和2/3的分母找到最小公倍数，这里是6。
然后将两个分数的分子相加，得到9/6。
最后将9/6改写成带分数，即1 3/6。
4. 将2/5和1/4的分母找到最小公倍数，这里是20。
然后将两个分数的分子相减，得到3/20。
5. 分子相加得到3/8。
6. 分子相减得到1/4。
7. 分子相加得到7/10。
8. 分子相减得到2/7。
9. 将2/3和1/4的分母找到最小公倍数，这里是12。
然后将两个分数的分子相加，得到11/12。
10. 将5/6和1/6的分母找到最小公倍数，这里是6。
然后将两个分数的分子相减，得到4/6。
最后将4/6改写成带分数，即2/3。
练习题二：复杂分数的运算1. 2/3 + 1/2 - 1/6 =2. 3/4 - (1/8 + 1/8) =3. 1/2 × 1/3 =4. 2/3 ÷ 1/4 =5. 3/4 + 1/2 × 1/3 =6. 1/5 + (2/3 - 1/4) =7. (2/3 + 1/4) ÷ 1/2 =8. 1/2 - (3/4 + 1/8) =9. 2/3 × (1/4 + 1/5) =10. 3/4 ÷ (1/2 - 1/4) =解答步骤：1. 先计算括号内的加法运算，得到1/4。
学而思资料_奥数_02巧算分数除法
巧算分数除法一、知识点概述我们已经学习了分数除法的意义，掌握了分数乘除法的计算法则，知道整数除法的运算性质对于分数除法同样适用。
今天我们根据已经学习的知识，结合分数除法算式的特点，巧算分数除法。
二、重点知识归纳及讲解(一)分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。
如：表示两个因数的积是，其中一个因数是5，求另一个因数是多少.(二)分数除法的计算法则：甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。
如：.带分数的除法中，由于带分数是假分数的另一种表示形式，所以一般把带分数化成假分数后进行计算。
如：(三)整数除法的运算性质对于分数除法同样适用。
三、难点知识剖析例1、计算解析：观察算式，被除数的整数部分25正好能被除数5整除，可以先计算25÷5=5，然后再计算，然后把计算的结果加起来，就是所求的结果。
解答：例2、计算解析：观察算式可以发现，的分母相同，可以运用除法的运算性质，把算式改为进行计算比较简便。
解答：例3、计算解析：本题是带分数除以整数，形式有点象例1，但166不是41的倍数，我们动一下脑筋就会发现，可以分成一个41的倍数164和另一个较小的带分数相加，再利用除法的运算性质，可以使计算简便。
解答：例4、计算解析：根据本例的特点，把化成假分数时，分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。
解答：此例还可以这样解答：注意：本例是整数除以带分数，不是带分数除以整数，所以不能算成。
能力提升例1、计算解析：观察算式可以发现，被除数中的三个因数分别与除数中的三个因数是同分母分数，所以可以把原题转化成三个对应的同分母分数除法，再求三个商的积。
解答：例2、计算解析：此例可以看出被除数和除数中的带分数的整数部分相同，分数部分的分母也相同，而且99=33×3=11×9，因此把两个括号中的数拆成整数和分数的和，这样就有公因数1＋3＋9。
六年级奥数-.分数的速算与巧算
分母
n个9，其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的 左侧
；
；
2、单位分数的拆分：
例： =
=
=
；
=
=
分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：
=
本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有：
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【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式
和连加式
．
则：
如果选10、5、2，那么有：
．
另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分 数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到
，根据前面的拆分随意选取一组，比如
同，那么最后得到的 和 也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有
种，但是其中
比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：
．
（2）10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：
另外的解让学生去尝试练习． 【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
【例 14】
．
【解析】 原式
【巩固】 计算：
．
【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式
【巩固】 计算：
．
【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式
其中
可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 进行计算．
转化单位1巧解分数问题(一)
转化单位“1”巧解分数问题一、探究方法句型1：A是B的几分之几举例：甲数是乙数的74，乙数是甲数的几分之几？方法：单位“1”是乙数则，乙数是7 份那么，甲数是4 份。
求乙数是甲数的几分之几，关系式：乙÷甲列式：7÷4=47句型2：A比B多几分之几举例：甲数比乙数多15，乙数比甲数少几分之几？方法：单位“1”是乙数则，乙数是 5 份那么，甲数是5+1=6 份。
求乙数比甲数少几分之几，关系式：差÷甲列式：1÷6=16句型3：A比B少几分之几举例：甲数比乙数少25，乙数比甲数多几分之几？方法：单位“1”是乙数则，乙数是 5 份那么，甲数是5－2=3 份。
求乙数比甲数多几分之几，关系式：差÷甲列式：2÷3=23句型4：A的几分之几等于B的几分之几举例：甲数的23等于乙数的34，乙数是甲数多几分之几？方法：以设甲求乙为例：设甲为1，甲的23就是1×23=232 3等于乙数的34，所以乙数为：23÷34=89所以：乙÷甲=89总结：1.甲是乙的ba ，则乙是甲的ab；2.甲比乙多ba ，则乙比甲少bba+；3.甲比乙少ba ，则乙比甲多bba-；4.甲的ba 等于乙的dc，则甲是乙的dc÷ba，乙是甲的ba÷dc。
二、举一反三1.甲数是乙数的37，①乙数是甲数的___________②甲数比乙数少___________③乙数比甲数多___________④甲数是甲乙之和的___________⑤乙数是甲乙之和的___________2.水结成冰体积增加111，冰化成水体积减少几分之几？三、 课后练习填空题1、A 的1/2与B 的1/3 相等（AB 不等于0），则A/B=（ ）。
2、因为甲×3/4=乙×4/5，所以甲/乙=（ ）。
3、如果A 是B 的53，那么B 是A 的（ ）。
4、A 的41与B 的61相等（A 不等于0），则A ∶B=（ ）。
用口诀巧解分数、百分数应用题
用口诀巧解分数、百分数应用题分数、百分数应用题是六年级数学学习的要点和难点，也是小升初数学的必考部分。
学生在解答较复杂的分数、百分数应用题时常常不知从哪处下手剖析题中的数目关系。
经过多年的实践，我总结了一些巧解分数应用题的口诀，现与大家共享。
一、找准“单位一”，确定基本解题思路学生在学习简单分数应用题的基础上，已经掌握了基本的解题思路：给出部重量及部重量的对应分率，求单位“1”的量，就用除法；给出单位“ 1”的量和部重量的对应分率，求部重量，就用乘法。
为帮学生进一步理清解题思路，我编了一个口诀：第一步，找关系（即分率）；第二步，单位“1”（谁的分率谁是单位1）；第三步，求的谁，单位“1”用除，部分就用乘；第四步，找对应。
二、抓住要点字，解出特别题分数、百分数应用题确定单位“ 1”是解题要点，要找寻单位“ 1”，需抓住题中的要点字，我的口诀是：想找单位“ 1”，需找要点字，占、是、还有比 (字 )，后跟单位“1”。
没有不重要，快去找关系（百分数）。
谁的百分比，谁是单位“ 1”。
一些特别的典型百分数应用题，如： 5 比4 多百分之几4 比5 少百分之几 5 是4 的百分之几 4 是5 的百分之几等类问题，学生易产生混杂，于是我编了一个口诀:多多少，少多少，差价除以单位“ 1”。
求对应分数，单位“ 1”做除数。
三、画出线段图，剖析找对应分数、百分数应用题，详细量和分率之间一定是对应关系，这一点特别重要。
因为小学生的抽象思想和空间想象力较差，关于一些较复杂应用题的数目关系，难以在脑筋中理清眉目，我在讲此类应用题时，常常存心识地指引学生画线段图帮助解题。
比方：“修一条公路，先修了全程的 30%，离中点还有千米，求公路的全程是多少千米”学生一时不知如何下手，我就让学生先画线段表示图，再找数目关系。
这样各条件之间的关系就十分显然了。
如何画出正确的线段图我的口诀是 :先画单位“ 1”，详细量上边放，分率放下边，问号需点上，两圆要对圆，看看求什么，求的是单位“ 1”，数目（详细量）除分率，求的是部分，单位“ 1”去乘分率。
五升六第一讲--分数巧算
今天我们要学习的是分数巧算，那么在学习分数巧算之前呢，要先回顾一下整数巧算，看看谁能全都记得。
首先来看一下这个例子，15+37+85+63。
如果咱们想要巧算，应该怎么计算比较方便呢？诶我们发现把15和85凑在一起可以得到100,37和63凑在一起也可以得到100，再来计算100+100就方便很多了，那这里运用了什么样的巧算方法呢？没错，就是应用交换律和结合律把能简算的数结合起来先计算。
接下来我们再看另一个例子，548-259+59，咱们首先观察这个算式，诶后面有一个259+59，如果想要巧算，是不是最好能把后面的259+59变成259-59，并且让他先算呢？谁愿意告诉老师呢？添括号，这样就可以计算了吗？要变号，为什么要变号？也就是说括号外面是减法，括号里面是变号的，如果说括号外面是加法，括号里面是不变号的。
总结成五个字就是-----减变加不变。
那我们再来看看这个题目，259-59=200，548-200=348。
我们想一下之前学过的混合运算中想让后面的部分先算，应该怎么做呢？添括号对吧？添括号是不是有一个原则，叫减变加不变，也就是说括号外面是减法，括号里面是变号的，如果说括号外面是加法，括号里面是不变号的。
这样我们在259+59的外面添一个括号，由于括号前面是-号，根据咱们说的减变加不变原则，那么咱们括号里的+就要变号，于是括号里就变成了259-59，计算就方便很多了。
在这一定要注意，在添括号和去括号的时候要遵循减变加不变的原则。
那我们已经回顾了之前整数巧算的方法，接下来我们开始说分数的事情，在分数中，我们知道什么样的分数比较好算啊，比如说1/7+2/7=3/7，分母不变，分子相加就可以了，所以是不是同分母分数比较好算。
但是给你一个2/49+3/52可能就挂了，太难算了。
所以在分数运算中同分母分数要优先计算。
我们看这道题，1/3和2/3是同分母分数，那我们用交换律把2/3和2/5交换位置，可以先算1/3+2/3=1，接下来就好算了，1再加上2/5等于1又2/5,。
巧求分数
巧求分数一、一个分数分子分别加上（减去）两个数得到两个不同的新分数，求原分数（分数单位法）例1一个分数，分子加上3变成1/3；分子加上1就变成1/4。
求这个分数。
例2有一个分数，分子加上2可约简为5/8；分子减去1，可约简为1/2。
求这个分数例3有一个分数，分子减去1，可约简为1/2。
分子减去5，可约简为1/3。
求这个分数1、一个分数，分子加上1约简得1/2；分子减去1约简得1/3。
求这个分数。
2、一个分数，分子加上3约简得1/6；分子减去3约简得5/9。
求这个分数。
3、一个分数，分子加上2约简为1/2；分子减去2就约简为1/3。
求这个分数。
4、有一个分数，分子加上3可约简为1/2；分子减去2，可约简为1/4。
求这个分数。
二、一个分数分母分别加上（减去）两个数得到两个不同的新分数，求原分数（倒数法同上）例4一个分数，分母加4后约简为1/3，分母加1后约简为3/8，这个分数是多少？例5一个分数，分母加3后约简为3/7，分母减2后约简为2/3，这个分数是多少？例6有一个分数，分母减去5，可约简为1/2。
分母减去2，可约简为3/7。
求这个分数1、一个分数，分母加上2约简得1/2；分母减去2约简得7/12。
求这个分数。
（不能约分）2、一个分数，分母加上3约简得1/3；分母减去3约简得1/6。
求这个分数。
3、一个最简分数，若分母加上3，约简得2/3；若分母减去3，约简得1又1/3。
这个分数是多少？4、一个分数，分母加上2可约简为1/3；分母减去2可约简为1/2。
求这个分数。
5、有一个分数，分母加上3可约简为3/8；分母减去2，可约简为1。
求这个分数。
三、分子分母分别加上（减去）两个不同的数得到两个新分数例7有一个分数，它的分母减2，可以约简为1/2；它的分子加5，可以约简为3/4。
求原来的分数是多少？4、一个分数，分子加上1可约简为2/3，分母减去2可约简为4/5，这个分数是多少？。
分数的巧算
分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－41，……，1101=11101⨯=101-111。
这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。
21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-111 =1－111 =11102、计算：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－25544、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋990098995、计算：1＋432113211211+++++++++……+100......3211++++6、计算：+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯543143213211…＋10099981⨯⨯四、分组法：计算20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋20042002五、代入法：计算（1+413121++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（413121++）热点习题计算：1、49134911499497495493491++++++【1】2、12816413211618141211-------【1281】3、4213012011216121+++++【76】4、200920081200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯4、3937137351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯6、2+421133011120171215613++++7、565542413029201912116521++++++8、3994003233242552561951961431449910063643536151634+++++++++9、1102190197217561542133011209127651-+-+-+-+-10、20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋2002200211、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6151413121++++)×(51413121+++)12、)54535251()434241()3231(21++++++++++…+（20192018...203202201+++++）13、2001年是中国共产党建党80周年，20011921是个有特殊意义的分数。
巧算分数加减法练习题
巧算分数加减法内容精要在分数的加减运算过程中，虽然掌握运算法则是关键，大师犹豫习题的类型较多，特点不一，因此在解题时，还要通过观察和分析，找出题目中数的特点，合理、有效地进行计算。
常用的方法有：拆项相加法、凑整、倒序求和法、错位相减法和分组法等。
例1.计算：1＋316＋5112＋7120＋9130＋11142例2.计算下面各题⑴2－12－13－16 ⑵(112－13＋57)－(57＋23)例3.求下列所有的分母不超过40的真分数的和：12＋(13＋23)＋(14＋24＋34)＋…＋(140＋240＋…＋3840＋3940)例4.计算：1＋11＋2＋11＋2＋3＋11＋2＋3＋4＋…＋11＋2＋3＋…＋99＋100例5.计算：1994＋12－113＋212－313＋412－513＋…＋199212－199313例6.计算：1＋11992＋21992＋31992＋41992－51992－61992－71992－81992＋91992＋10 1992＋111992＋121992－131992－141992－151992－161992＋171992＋181992＋…＋19791992＋19801992－1981 1992－19821992－19831992－19841992＋19851992＋19861992例7.计算：12＋14＋18＋116＋132＋164＋1128例8.计算：12＋16＋112＋120＋130例9.计算：12＋14＋18＋131＋162＋1124＋1248＋1496例10.计算：155＋255＋355＋…＋1055－11155－12155－…－20155习题一1.计算：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋102.计算：12＋16＋112＋120＋130＋142＋156＋172＋1903.计算：12×7＋17×12＋112×17＋…＋197×1024.计算：945＋9945＋99945＋999945＋99999455.计算：11×4＋14×7＋17×10＋110×13＋113×166.计算：32×5＋35×8＋38×11＋311×14＋314×17＋317×207.和式21×〔1＋2〕＋3〔1＋2〕×〔1＋2＋3〕＋4〔1＋2＋3〕×〔1＋2＋3＋4〕＋…＋100〔1＋2＋3＋...＋99〕×〔1＋2＋3＋ (100)，计算化简后得到一个最简分数，求分母和分子的差。
分数乘法的巧算
第五讲 分数乘法的巧算例1 先计算，再观察每组算式的得数，你能发现什么规律？（1）21－31= )()( 21×31=)()( （2）41－51=)()( 41×51=)()( 你能根据发现的规律再写几组这样的算式吗？分析：先计算（1）、（2）题的答案，计算后可发现：21－31=21×31=61，41－51=41×51=201 解答：21－31= 61 21×31=61 41－51=201 41×51=201 又如：51—61=301 51×61=301 191—201=3801 191×201=3801 结论：两个分数，分子是1，分母是非0的相邻自然数，它们的差等于它们的积，在乘法的简便计算中，经常会遇到这种差与积的变形。
当堂练习：1．151－161=)()( 991—1001=)()( 2．18171 =)()(—)()(=)()(例2 计算：1×21+21×31+31×41+…+91×101 分析：受例1的启发，式中的每个积都可以裂项为两个分数的差，裂项后的一些分数有可以互相抵消，从而使计算简便。
解答：1×21+21×31+31×41+…+91×101 = 11—21+21—31+31—41+…+91—101= 1—101 =109 结论：进行分数计算时，常常将一个分数转化为两个或几个分数的差或积，使部分分数互相抵消，此种方法称为“裂项法”，这种方法在分数计算中能使计算十分简便。
当堂练习：3．计算：51×61+61×71+71×81+…+991×1001例3：计算：21+61+121+201+…+24501 分析：观察可发现：题中每一个分数的分子都是1，分母依次可变为1×2，2×3，3×4……49×50，即连续两个自然数的积，像这类形式的分数积可运用规律使每个分数裂项为两个分数的差，即像例2那样使裂项后的一些分数互相抵消，使计算简便。
六年级《分数的巧算》奥数教案
师：那么总共可以分成多少组呢？
生：因为总共有39个分数，两两一组，所以就有 组。
师：这跟我们以前学过的等差数列求和公式是不是一样的？
生：是的。
师：那同学们接下来会计算了吗？
生：会了。
板书：
=（ ）×
=
（一）星海历练1（5分钟）
求下列所有分母不超过20的真分数的和。
分析：
利用等差数列求和公式分别求出每个括号里分数的和，再求它们的和。
师：看来同学们都找到了自己的朋友了，我们一起来看一下这些数都有什么特点？
生：它们的和都是整数，并且它们的和都相等。
师：同学们太棒了！其实在分数的计算里，这也是我们常用的方法——凑整法，今天我们就一起来学习这方面的知识。
【板书课题：分数的巧算】
二、星海遨游（30分钟）
（一）星海遨游1（10分钟）
师：同学们仔细观察一下题目中的分数，它们都有什么样的特点？
师：同学们还记得我们以前经常碰到过的一种题型吗？（老师板书展示1+2+3+4+……+100），这种题目同学们应该能够10秒钟就把它给解答出来吧？
生：能，等于5050。
师：那同学们一起说说这种方法是怎样的呢？
生：（1+100)×100÷2，也就是高斯的等差数列求和。
师：那用文字怎样表达呢？
生：头加尾的和乘项数除以2。
生：肯定是整数了。
师：老师也是那么觉得的，那么我们把每个括号里面的分数都看作一个整体，同学们有什么发现没？
生：第一个括号里的分数和第四个括号里的分数一样，第二个括号里的分数和第四个括号里的分数一样。
师：是的，那我们字母a表示第一个括号里的分数，用字母b表示第二个括号里的分数。那么式子变成什么样的呢？
分数的巧算和速算
分数的巧算和速算 Prepared on 22 November 2020分数的速算与巧算【专题解析】在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。
（1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。
两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。
两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。
（2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。
【典型例题】例1. 计算：（1）5698÷8 （2）166201÷41分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+98），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。
（2）把题中的166201分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。
（1）5698÷8＝（56+98）÷8＝（56+98）×81＝56×81+98×81＝7+91＝791 （2）166201÷41 = (164 +2041)×411= 164×411+2041×411= 4201【举一反三】计算：（1）64178÷8 （2）14575÷12 （3）5452÷17 （4）170121÷13例2. 计算：200412004200420052006÷+分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。
分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。
聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004200420052005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11÷12005也是很好算的，这一方法就留给你们吧！12006⨯÷+20042006原式=20042005 1200620051200620061⨯+⨯=+=2005=200420042006 【举一反三】计算：（5）2000÷200020012000+20021（6）238÷238239238+2401例3. 计算：199419921993119941993⨯+-⨯分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。
分数的巧算
分数的巧算一、数学思维方法：凑整数法，灵活运用拆、拼的方法进行转化。
二、灵活运用运算定律和运算性质。
1.运算定律 交换律：a b b a +=+ a b b a ⨯=⨯结合律：b c a c b a ++=++)( b c a c b a ⨯⨯=⨯⨯)(分配律：c b c a c b a ⨯±⨯=⨯±)( c b c a c b a ÷±÷=÷±)(2.运算性质 )(c b a c b a +-=-- c b a c b a +-=--)()(c b a c b a ⨯÷=÷÷ c b a c b a ⨯÷=÷÷)()()(n b n a b a ⨯÷⨯=÷=)()(n b n a ÷÷÷ )0(≠n注：学会巧妙利用“添括号”和“去括号”：①括号前是“－”号，要“变号”⇒“＋”→“－” ，“－”→“＋” . ②括号前是“÷”号，要“变号”⇒“×”→“÷”，“÷”→“×” .3.学会通过“分解”或“变形”灵活应用乘法分配律三、分数的计算法则1.同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。
而异分母分数相加减，要先通分（找最小公倍数），再计算。
2.带分数相加减，先把整数部分与分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
3.分数乘法中有带分数的，先把带分数化成假分数，然后再乘。
4.分数除法中，甲数除以乙数，等于甲数乘以乙数的倒数。
四、例题分析：例1：8351+ 413814-例2： 117713⨯54315÷例3：139413427415-- )74543(7312--例4：138713873⨯-⨯ 6191824÷例5：64132116181411----- 3012011216121++++五、对应训练：1. 12595+ 2. 5444÷ 3. 5225-4. 107117÷ 5. 1871972- 6. 43177.7-.7. 122512144÷ 8.)73.01753(1744+- 9. 85625.01÷-10.87与165的差乘以95与32的和，积是多少？11. 甲数是12的43，乙数的43是12，甲乙两数的和是多少？12. 127与它的倒数的积，减去0.125所得的差，除以83，商是多少？六、变式训练 1. 18133023118513072+++ 2. 613112178.3---3. )1271742()7311253(--- 4. 417554724⨯+÷5. 548.3107225.14115.3÷+⨯+⨯ 6. 241)418761(÷-+7. 5.2)3147.347.3(⨯÷+ 8. 31173443747÷+⨯9. 152215225.915225.6-⨯+⨯ 10. 4)25.013.23(13.23⨯÷÷11. 41)1214387(÷-- 12. 3.028978.2⨯+⨯七、拔高训练：1. 200319932004⨯2. )6.27()77.1()7.13.1(1÷÷÷÷÷÷3.63135115131+++ 4. 48124112161311-----5. 分数74的分子和分母都加上一个数得到的新分数化简以后是43，求分子和分母都加上的这个数是多少？。
分数巧算
分数的巧算（一）1.计算:=÷-⨯+⨯2582.432.02588.6 . 2.=⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++1919989898199800980019001900980980190190989898191919 . 3.1000减去它的一半,再减去余下的三分之一,再减去余下的四分之一,依此下去,直到余下的五百分之一,最后剩下 .4.计算:=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯100991431321211 . 5.计算:=+++++++496124811241621311814121 . 6.计算:=+--+3121131211 . 7.计算:=⨯+⨯+⨯655161544151433141 . 8.计算:=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++199719953991199619943989537425313199719961995199619951994543432321 . 9.计算:=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯761231537615312353123176 . 10.计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++20115110151161121814112191613181614121 = .11.尽可能化简427863887116690151.12.计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+914637281941322314312213211211.13.计算:1999321132112111+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++.14.计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-9997319896317531643153314231.分数的巧算（一）答案第[1]道题答案： 513. 原式()12.48.62582582.42582588.6-+=-⨯+⨯= 51351610258==⨯=. 第[2]道题答案：19915. 原式101191019898191000198001000119001001980100119010101981010119⨯⨯⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 19981998981998199819⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 19915192941998199898193==⨯⨯⨯=. 第[3]道题答案：2.1000减去它的一半,余下⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯2111000,再减去余下的31,余下⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯3112111000,再减去余下的41, 余下⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯4113112111000,…, 直到减去余下的五百分之一,最后剩下: ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯500114113112111000 5004994332211000⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯= 2=.第[4]道题答案：10099. 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100199199198141313121211 1009910011=-=. 第[5]道题答案：1615. 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=124162162131131181414121211 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4961248124811241 4961311311811-++-= 163131187161231187⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=161516187=+=. 第[6]道题答案： 542. 原式5425144758745873153116311631==⨯==-+=+--+=.第[7]道题答案：123. 原式655660544550433440⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 123150140130=+++++=.第[8]道题答案：21. 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=19972399219962399052842632419971199619961199551441331221=.第[9]道题答案：1原式=()()()532376123765315376231+⨯+-⨯--⨯ 1111=+-=. 第[10]道题答案：14465. 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯=413121151413121141413121131413121121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=514131214131211 1446560131225201611234612=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+++=. 第[11]道题答案：分子数字之和等于30,故它可以被3整除,分母奇位上数字之和与偶位上数字之和的差为32-21=11,所以它可以被11整除,把这此因数提出,得: 1131138896717338896717=⨯⨯. 第[12]道题答案：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++++4642413732312822211914131211 91828173727164636261555251+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++9183761061265512764128731298212109+-+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯= 9183763534213281845+-+-+-+-= 91837641532730+-+-+= 504533=.第[13]道题答案：因为2)1(21+=+⋅⋅⋅++n n n ,所以原式=200019992432322212⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=2000119991413131212112 100099912000112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=.第[14]道题答案：因为()()()()()()()()()11311131111312+---=+--+-=+--K K K K K K K K K()()()()()()112211222+-+-=+--=K K K K K K K ,所以 原式()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()198198298298197197297297151525251414242413132323+-+-⨯+-+-⨯⋅⋅⋅⨯+-+-⨯+-+-⨯+-+-= 99971009698969995647353624251⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 97259710041=⨯=.分数的巧算（二）1.计算:13471711613122374⨯+⨯+⨯= . 2.计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-25.1522546.79428.0955= . 3.计算:25114373611125373185444.4⨯+÷+÷= . 4.计算:()()015.06.32065.022.0013.000325.0⨯÷-÷= . 5.计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211= . 6.计算:222345567566345567+⨯⨯+= . 7.计算:322131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . 8.计算:4513612812111511016131+++++++= . 9.计算:()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++293112831133112311311312913029132912291291= . 10.计算:217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-76655443327665544332211= . 11.用简便方法计算:421330112091276523-+-+-.12.计算:()1999119981997199919985.19935.1995÷⨯÷-.(得数保留三位小数)13.计算:⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++++++++19992199913132333231212221111999119992199919981999199919991998++⋅⋅⋅++++.14.计算:299810001299799912001312000211999111999119981199714131211++++⋅⋅⋅+++++++-+⋅⋅⋅+-+-.分数的巧算（二）答案第[1]道题答案：16． 原式162874131413122374=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=.第[2]道题答案：90． 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=45522455378.0942955 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯-=522537458.08 90457210452.7=⨯=⨯⨯=. 第[3]道题答案：9.原式25114373625114373137825114⨯+⨯+⨯= ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=37363731378251149377525114=⨯=. 第[4]道题答案： 1.原式1100131351536325=⨯⨯⨯⨯=. 第[5]道题答案： 1.1原式1.110119854321011674523==⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=. 第[6]道题答案： 1.原式()2223455663455663455672223451566566345567++⨯⨯+=+⨯+⨯+=1567566345566345567=+⨯⨯+=. 第[7]道题答案：205. 原式322330433440544550655660766770⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 205120130140150160=+++++++++=.第[8]道题答案：54. 原式1092542432322⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101915141413131212 54101212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 第[9]道题答案：1. 原式2960285933423313231603059332231130⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=13130321605934333229283216059323130=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=.第[10]道题答案：21. 令a =+++++766554433221,则 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⨯+=21)1(212a a a a 2121212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=a a a a . 第[11]道题答案： 原式767665655454434332322121⨯+-⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=71616151514141313121211 76711=-=. 第[12]道题答案：原式199919981200019982⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= 199811998199824000+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=199811199824000 1998199821998240004000⨯--+= 1998199821998224000⨯-++= 001.4002≈. 第[13]道题答案：因为k k k k k k k k k k k k k k k -+⋅⋅⋅+++=+++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+++)321(212311321 k kk k k =-+=)1(,所以, 原式19990002200019991999321=÷⨯=+⋅⋅⋅+++=. 第[14]道题答案：分子⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅++++=1998161412121999119981199714131211⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++=9991312111999131211 199911001110001+⋅⋅⋅++= 分母3998139961200412002120001++⋅⋅⋅+++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++⨯=1999110011100012 原式211999110011100012199911001110001=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++⨯+⋅⋅⋅++=.。
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第2讲巧求分数
我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。
这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。
数。
分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。
个分数。
分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。
，这个分数是多少？
分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：
这个分数是多少？
于是与例3类似，可以求出
在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？
数a。
分析与解：分子减去a，分母加上a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。
约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉
45-43=2。
求这个自然数。
同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45，新分数约分后变
例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分
数，
分子与分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到
分析与解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加
8×2=16。
在例8中，分母应加的数是
在例9中，分子应加的数是
由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：
分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数；
分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。
分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。
（2x+2）×3=（x+5）×4，
6x+6=4x+20，
2x=14，
x=7。
练习2
是多少？。