工程测量平面坐标系统的建立

工程测量平面坐标系统的建立郭红霞1王军德1张俊山2（1.郑州测绘学校，河南郑州，450005； 2.河南省地震局，河南郑州，450000）The Establishing of an Engineering Surveying Plane Coordinate SystemGUO Hong-xia ，WANG Jun-de[摘要] 本文讨论了地面长度投影到参考椭球面及椭球面长度投影到高斯平面所引起的长度变形，并结合实例给出了几种平面直角坐标系统的实现方法，对解决平面控制测量中的投影变形问题有很好的指导意义。

[关键词] 参考椭球面；高斯平面；长度投影变形；中央子午线；投影基准面；平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面以及将椭球面长度再投影到高斯平面均会引起长度变形。

国家坐标系统为了控制长度变形，虽然采用了分带投影，以满足测图的基本要求，但长度变形依然存在，尤其是在离中央子午线越远的地区变形越大。

如果不考虑长度变形的影响，将不能满足大范围工程项目勘测和施工放样的要求。

如何根据实际情况来合理确定测区中央子午线、变换投影基准面，以建立符合工程需要的平面直角坐标系统呢？本文将首先讨论两次投影的变形情况，以及工程平面坐标系统方案的选择原则，然后给出几种坐标系统方案的实现方法，并用实例加以说明以帮助工程人员解决实际工程中所遇到的投影变形问题。

一、两项投影的长度变形：在控制测量计算中，有两项投影计算会引起长度变形：一个是地面水平距离（一般是高于椭球面的）投影到参考椭球面，这将引起距离变短；一个是参考椭球面距离投影到高斯平面，这将导致距离变长。

下面讨论两项变动的大小情况。

1、地面水平距离投影到椭球面的长度变形 此项变形的数值可近似地写作ΔS 1=－R Hd (1) 式（1）中：H 为边长两端点的平均高程， R 为当地椭球面平均曲率半径，d 0为地面水平距离。

其中，R 计算公式如（2）式2VCR =， （2） B e V ba C 22'2cos 1,+==且式中，a 为椭球长半轴，b 为椭球短半轴，'e 为椭球第二偏心率，B 为测区平均大地纬度。

表1中列出了在不同高程面上依（1）式计算的每公里长度投影变形值和相对变形值。

R 的概值取作6370km 。

由表1可知，高于椭球面的地面水平边长投影到椭球面总是距离变短。

投影变形的绝对值与H 成正比，随H 的增大而增大，而且当H=150m 时，每公里长度变形即接近2.5cm ，相对变形接近1万。

当投影面不是参考椭球面，而是某个高程为H 0的投影面时，则（1）式变为RH H S 01--=∆ （3） 2、椭球面距离投影到高斯平面的长度变形 此项变形的数值可近似地写作S R y S m•=∆2222 （4） 式（4）中：S 为椭球面边长，R 为当地椭球面平均曲率半径，m y 为投影边两端y 坐标（去掉500km 常数）的平均值。

表2中列出了不同m y 时每公里长度投影变形值和相对变形值。

计算时取B=35°，R=6370892m 。

表2 不同y m 时高斯投影每公里长度投影变形值和相对变形值由表2可知，投影变形与m y 的平方成正比，离中央子午线越远，变形越大。

约在m y ＝45km 处每公里变形2.5cm ，相对变形41万。

综合以上两种变形，最后的投影长度变形为S R y d R H H S S S m•+--=∆+∆=∆2200212近似的写为S RH H R y S m )2(022--=∆ （5） 二、工程测量平面直角坐标系统方案工程控制网作为各项工程建设施工放样测设数据的依据，为了便于施工放样工作的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在数值上应尽量相等。

也就是说，由上述两项投影改正而带来的长度变形（ΔS ＝ΔS 1＋ΔS 2）综合影响应该限制在一定数值之内。

正是基于此项考虑，根据工程地理位置和平均高程的大小，可以采用下述三种坐标系统方案：1、当长度变形值不大于2.5cm/km ，可直接采用高斯正形投影的国家统一3°带平面直角坐标系统；2、当长度变形值大于2.5cm/km ，可采用：①投影于参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统；②投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3°带平面直角坐标系统；③投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统。

3、面积小于25km 2的小测区工程项目，可不经投影采用平面直角系统在平面上直接计算。

三、变换投影基准面和中央子午线的地方坐标系前述的1，3两种方案无须多作解释，读者一看就能明白。

这里仅介绍第2种方案的三种情况。

前已导出，要使控制网变形小，即要求基本做到0)2(02221=--=∆+∆=∆S RH H R y S S S m （6）由对此式的不同处理可导出几种不同的工程测量平面直角坐标系统方案。

（一）投影于参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统；这种方案的思路是地面观测值仍然归算到参考椭球面，但高斯投影的中央子午线不是标准3°带中央子午线，而是按工程需要来自行选择一条中央子午线。

用这条中央子午线，边长的高程投影和高斯投影引起的长度变形能基本互相抵消。

由于投影基准面仍然为参考椭球面，故00=H ，则（6）式变为0)2(22=•-S RHR y m （7） 解得RH y m 2= （8）即当m y 满足上式时边长的两项投影互相抵消。

【例】某测区相对于参考椭球面的高程m H =500m ，为使边长的高程投影及高斯投影引起的长度变形能基本互相抵消，依上式算得km y m 805.063702=⨯⨯=即选择与该测区相距80km 处的子午线作中央子午线。

这样，在测区，边长的高程投影和高斯投影引起的长度变形能基本互相抵消。

但是，当km y 80≠时，也即该测区的其它地方仍然会有变形，用不同的y 值代入（5）式计算，当y=66Km 时，每公里变形为 –2.5cm ，当y=91.5Km 时，每公里变形为2.5cm 。

即最大抵偿带宽不超过25公里。

由此看出，这种方案的有效抵偿带宽不可能宽，有较大的局限性。

（二）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3°带平面直角坐标系统；这种方案的思路是在不改变国家标准3°带中央子午线的情况下，不再投影至参考椭球面而是投影至某个抵偿高程面，从而得到地面上边长的高斯投影长度改正与归算到基准面上的高程投影改正相互抵偿的相同效果。

在保持中央子午线不变，即m y 不变的前提下，由（6）式可解得Ry H H m220-= （9）这就是说，如果把地面边长投影至高程为Ry H H m220-=的高程面上，而不是投影至参考椭球面上，则高程投影引起的长度变形ΔＳ1与高斯投影引起的长度变形ΔＳ2能够互相抵消。

不过，测区是个范围，而不是一个点。

式中的m y 应如何取值呢？高斯投影长度变形22m y S ∝∆ ，对于一个测区，必有2m y 的最小值（2y ）min 和最大值（2y ）max ，显然，我们既不能取=2m y （2y ）min ，又不能取2m y =(2y )max ,而应取2my =2)()(max2min 2m m y y + (10)用这样的2m y 带入（9）式算出的Ｈ0，可使整个测区边长变形综合最小。

当然实际选用时，如果结合测区地势情况，需要时对2m y 稍作变动效果会更好。

【例】某测区相对于参考椭球面的平均高程Ｈ＝1000m ，在国家标准3°带内跨越的y 坐标范围为-80km ～-50km ，若不变换中央子午线，求能抵偿投影变形的高程抵偿面。

【解】 2my =2)80(+)50(22=4450即 m y =-66.7kmR y H H m 220-==1000-637000021044506⨯⨯=650.7m即选Ｈ0＝650m 的高程面作控制网的投影基准面最为合适。

事实上，最小变形在y 0=-66.7km 处，因为ΔＳ＝（-222R y m RH H 0-）×1000＝（1000)637065.0163702)7.66(22⨯--⨯-≈0 最大变形在y 1=-50km 和 y 2=-80km 处，分别为-0.024m 和＋0.024m 。

这种坐标系统的实现步骤，一般是先算出基准面为参考椭球面的国家标准3°带控制网坐标，再将控制网缩放至抵偿高程面。

这样做的好处是有两套坐标，其中一套是国家标准系统的坐标，另一套为抵偿高程面坐标。

至于控制网缩放至高程抵偿面的做法，请读者参看下面方案（三）的例子。

从上面的例子的计算结果也可看出，若不变换中央子午线，仅靠选择抵偿高程面，其抵偿范围也是有限的，上例中的有效抵偿带宽仅为30km 。

（三）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统。

这种方案的思路结合了前两种方案的一些特点，既将中央子午线移动至测区中部，又变换了高程投影面。

当测区东西向跨度较大，需要抵偿的带宽较大时，即可采用此种方案。

该方案同时要求ΔS 1=RH H 0--·d 0＝0 （11） ΔS 2 = S Ry m•222＝0 （12） 这里0H 表示投影基准面的高程。

由（11）式解得0H H =此时边长的高程投影变形为零。

若H 0取测区平均高程面m H ，或略低于该平均高程面，则各边长高程投影近似为零。

由（12）式解得m y =0这表示要求测区在中央子午线附近。

根据以上两种要求，这种坐标系的作法是将高斯投影的中央子午线选为测区内或附近某一合适的子午线；而高程投影面选为测区平均高程面m H 或比它稍低一些的高程面上。

因为这种坐标系的变形最小，许多离国家标准3°带中央子午线较远的城市多采用这种坐标系，常称作城市坐标系或地方坐标系。

下面详细介绍这种坐标系的实现步骤。

1、选择合适的地方带中央子午线L 0在测区内或测区附近选择一条整5′或整10′的子午线作中央子午线。

例如河南某城市的城市地方坐标系中央子午线取作112°30′，某县城的城市坐标系中央子午线取作115°25′。

2、已知点换带计算将当地的国家控制网已知点坐标通过高斯反、正投影计算，换算成中央子午线为L 0的地方带坐标系内的坐标。

3、计算控制网的地方带坐标（第1套地方坐标）将地面观测值（包括边长）先投影至参考椭球面，再投影至所选中央子午线的高斯平面，然后进行平差计算。

获得的坐标，高程投影基准面仍为参考椭球面（或似大地水准面），而中央子午线则为地方中央子午线。

可称作第一套地方坐标。

这套坐标系的好处是，可通过坐标换带与国家标准坐标系统互算。

这样，地方控制网与国家控制网就是联系紧密的统一系统。

4、选高程投影面H 0高程投影面0H 一般选测区平均高程面m H ，或最好稍低一点的面。