分数应用题中比的应用

分数应用题中比的应用

一、抓不变量

【例1】有一些球，其中红球占1/3，当再放入8个红球后，红球占总球数的5/14，问现在共有多少球？

解：其他球的数量没有改变。增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14－5）＝5∶9。在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3－1）＝1∶2＝4.5∶9。因此8个红球是5－4.5＝0.5（份）。现在总球数是

本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变。把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点。本题也可以列出如下方程求解：（x＋8）∶2x＝5∶9。

【例2】甲、乙两同学的分数比是5∶4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7。甲、乙原来各得多少分？

解一：甲、乙两人的分数之和没有变化。原来要分成5＋4＝9份，变化后要分成5＋7＝12份。如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键。9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算，5∶4＝（5×4）∶（4×4）＝20∶16.5∶7＝（5×3）∶（7×3）＝15∶21。甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20－15＝5份。因此原来甲得22.5÷5×20＝90（分），乙得 22.5÷5×16＝72（分）。

我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程。

解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x。根据得分变化，可列出比例式。

（5x－22.5）∶（4x＋22.5）＝5∶7 即 5（4x＋22.5）＝7（5x－22.5），15x＝12×22.5，x＝18。甲原先得分18×5＝90（分），乙得18×4＝72（分）。

【例3】家与家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果家结余240元，家结余270元。问每家各收入多少元？

解一：我们采用“假设”方法求解。如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5。家结余240元，家应结余x元。240∶x＝8∶5，x＝150（元）。

实际上家结余270元，比150元多120元。这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5－3）＝60。（元）。因此可求出

解二：设家收入是8份，家收入是5份。家开支的3倍与家开支的8倍的钱一样多。

我们画出一个示意图：

家开支的3倍是（8份－240）×3。家开支的8倍是（5份－270）×8。从图上可以看出 5×8－8×3＝16份，相当于270×8－240×3＝1440（元）。因此每份是1440÷16＝90（元）。家收入是90×8＝720（元），家收入是90×5＝450（元）。本题也可以列出比例式：（8x －240）∶（5x－270）＝8∶3。然后求出x。事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些。

【例4】 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数。

解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点。 8∶5，就是8份与5份，两者相差3份。减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1。将前项与后项都乘以3，即2∶1＝6∶3，使两者也相差3份。现在就知道34是8－6＝2（份）或5－3＝2（份）。因此，每份是34∶2＝17。 A数是17×8＝136，B 数是17×5＝85。

本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4。

【例5】小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15。小强用掉了8，现有的图画纸之比是5∶2。问原来两人各有多少图画纸？

解一：充分利用已知数据的特殊性。4＋3＝7，5＋2＝7，15－8＝7。原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7，因此，新的1份＝原来1份＋1原来4份，新的5份，5－4＝1，因此，新的1份有15－1×4＝11（）。小明原有图画纸11×5－15＝40（），小强原有图画纸11×2＋8＝30（）。

解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法。先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3＝20∶15，5∶2＝20∶8。

假设小强也买来15×3/4＝45/4（），那么变化后的比仍应是20:15，但现在是20:8，因此这个比的每一份是（45/8＋8）÷（15－8）＝11/4。小明现有20×11/4＝55（），原有55－15＝40（）；小强现有8×11/4＝22（），原有22＋8＝30（）。当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法。

解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸。

把小明现有的图画纸数乘2，小强现有的图画纸数乘5，所得到的两个结果相等。我们可以画出如下示意图：

从图上可以看出，3×5－4×2＝7（份）相当于图画纸15×2＋8×5＝70（）。因此每份是10，原来小明有40，小强有30。

备注：例1至5这五个例题是同一类型的问题。用比例式的方程求解没有多大差别。用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路。另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握。例3的解一，也是一种通用的方法。“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用。从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性。因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维。

【例6】粗蜡烛和细蜡烛长短一样。粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时。同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍。问这两支蜡烛点了多少时间？

解：设粗、细蜡烛长度是1，每小时粗蜡烛点去1/5，细蜡烛点去1/4，我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点去2/4，问过多长时间两支蜡烛长度相等。

现在两者相关是（2－1），每小时能缩小差距（2/4－1/5），因此两者相等需要时间是（2－1）÷（2/4－1/5）＝10/3（小时）。

把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了。解这类问题这是常用的技巧。再请看一个稍复杂的例子。

【例7】箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只。每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？

解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只。

因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩3×3＝ 9只。因此，共取了（51－ 3×3）÷（7×3－15）＝ 7（次）。

红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）。白球有 7×7＋3＝52（只）原来红球比白球多 158－52＝106（只）。

经典练习一

1、甲、乙两堆火柴，从甲取50根火柴到乙堆，甲、乙两堆火柴一样多；从乙取40根火柴到甲堆，甲、乙两堆火柴根数之比是4∶1。两堆火柴各有多少根？

2、A，B两种商品的价格之比是7∶3。如果它们的价格分别上涨70元后，价格之比是7∶4。这两种商品原来的价格各是多少元？

3、甲有50画片，甲拿出乙有的画片数的8倍给乙，现在乙有的画片数是甲的2倍。问乙原来有多少画片？

4、兄、弟两人，每月收入的比是4∶3，支出钱数的比18∶13。全年他们两人都结余3600元，问每人每月收入各多少元？

5、一把小刀售价3元。如果小明买了这把小刀，小明与小强的钱数之比是2∶5；如果小强买了这把小刀，两人钱数之比是8∶13。问

（1）买刀前小明与小强的钱数之比；（2）小明原有多少钱？

6、哥哥要做384道口算题，弟弟要做180道口算题。每分钟，哥哥能做18道，弟弟能做15道。几分钟后，哥哥剩下题数是弟弟剩下题数的4倍？

7、某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4∶3。结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8∶5。未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3∶4。问报考的共有多少人？

8、甲、乙两个口袋分别装有红球和黄球，红球个数的4倍与黄球的 3倍一样多。从甲口袋中拿走 10个红球，从乙口袋中拿走30个黄球后，红球的5倍比黄球的4倍还多40个。甲、乙两个口袋原来各有多少个球？

【例1】学校男生人数占45％，会游泳的学生占54％。男生中会游泳的占72％，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？

【解1】在全体学生中，不会游泳的女生占33.4％.

在全体学生中，会游泳的男生占45％×72％＝32.4％.

在会游泳的学生中，男生占32.4％÷54％×100％＝ 60％

在全体学生中，不会游泳的女生占（100％-45％）-54％×（1-60％）＝33.4％.

【解2】画一个图非常清楚。

【例2】、有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28%。小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子。现在，在所有余下的棋子中，白子将占32%。那么，共有棋子多少堆？

[方法一]：

[思路]：拿走的全部是黑子，那么白子的数量没有变，可以作为拿出前后的基准。

解：拿出前：因为每堆棋子数一样多且白子都占28%，所以，白子：黑子=28：72=7：18，黑子是白子的18/7；

拿出后：在拿出的那一堆中，白子：黑子=7：[18-（7+18）/2]=14：11，

即拿出黑子数是这对白子数的18/7-11/14=25/14；

在总数中，白子：黑子=32：68=8：17，黑子是白子的17/8；

黑子对白子总数相差=18/7-17/8=25/56，即拿出黑子数是白子总数的25/56；

所以，堆数=（25/14）/（25/56）=4堆。

答：共有棋子4堆。

[方法二]：

[思路]：把比例问题处理成浓度问题

解：将每一堆白子占28%的棋子看成是浓度28%的溶液，那么

本题相当于浓度=28/（100-50）=56%的溶液50克中，需要加入多少克浓度28%的溶液，才能使浓度变为32%。

原液：添加液=（32-28）：（56-32）=4：24=1：6，即需要添加=6×50=300克，

所以，共有棋子=（300+100）/100=4堆。

答：共有棋子4堆。

[方法三]：

[思路]：有若干堆棋子，每堆一样多，且白子都占28%。则白子占总数的28%。

从某一堆中拿走一半，且拿走的都是黑子，则白子数没有变。拿走黑子后，在所有棋子中，白子将占32%。

说明剩下的棋子总数与原来棋子总数的比是28%：32%=7：8。现有棋子为7份，原

有棋子为8份。比原来少1份。这1份是原来一堆的一半。则原来一堆是2份。

则原有8份是8/2=4堆。

解：28%：32%=7：8， 8-7=1

1/（1/2）=2，8/2=4。

答：共有棋子4堆。

【例3】、有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25%。那么，这堆糖果中有奶糖多少块？

[方法一]：

[思路]：总量数量是变化的，不能作为单位“1”但奶糖的数量没有变化，因此我们可以以奶糖的数量作为基准。

解：奶糖占45%，奶糖：水果糖=45%：（100%-45%）=9：11，即原来水果糖是奶糖的11/9；

放入16块水果糖后，奶糖：水果糖=25%：（100%-25%）=1：3，即后来水果糖是奶糖的3倍；

3-11/9=16/9，即放入的16块水果糖占奶糖的16/9，

所以，奶糖数=16/(16/9)=9块。

答：这堆糖果中有奶糖9块。

[方法二]：

[思路]：放入水果糖后，奶糖的数量是不变的，我们要抓住这个不变量来当做处理的中心，原来奶糖为45%，就是占9/20，后来为25%，占总数的1/4，因为奶糖是不

变的，所以把奶糖所占的分子处理成9，即1/4=9/36，这样总数就由原来的20

份变成36份。增加了16份=16块糖，所以原来奶糖9份=9块

解：45%=9/20，25%=1/4=9/36，36-20=16，16÷16=1，1×9=9（块）

答：这堆糖果中有奶糖9块。

[总结]：这个题中，我们要抓住的就是关键的总量是不变的，然后牢牢抓住其他变量的变化跟这个量什么关系，这种处理方法在比例问题中要学会熟练处理。

[方法三]：原来奶糖占45%，放入16块水果糖后，奶糖占25%。奶糖数没有变。则原来糖的总数与放入水果糖后糖的总数比是25%：45%=5：9。原来糖的总数是5份，现

在糖的总数是9份。比原来多9-5=4份，即16块。则每份是16/4=4块。原来糖

的总数是4×5=20块。奶糖是20×45%=9块。

解：25%：45%=5：9，9-5=4，16/4=4，4×5=20，20×45%=9。

答：这堆糖果中有奶糖9块。