分数应用题中比的应用

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分数应用题中比的应用

一、抓不变量

【例1】有一些球,其中红球占1/3,当再放入8个红球后,红球占总球数的5/14,问现在共有多少球?

解:其他球的数量没有改变。增加8个红球后,红球与其他球数量之比是5∶(14-5)=5∶9。在没有球增加时,红球与其他球数量之比是1∶(3-1)=1∶2=4.5∶9。因此8个红球是5-4.5=0.5(份)。现在总球数是

本题的特点是两个数量中,有一个数量没有变。把1∶2写成4.5∶9,就是充分利用这一特点。本题也可以列出如下方程求解:(x+8)∶2x=5∶9。

【例2】甲、乙两同学的分数比是5∶4,如果甲少得22.5分,乙多得22.5分,则他们的分数比是5∶7。甲、乙原来各得多少分?

解一:甲、乙两人的分数之和没有变化。原来要分成5+4=9份,变化后要分成5+7=12份。如何把这两种分法统一起来?这是解题的关键。9与12的最小公倍数是36,我们让变化前后都按36份来算,5∶4=(5×4)∶(4×4)=20∶16.5∶7=(5×3)∶(7×3)=15∶21。甲少得22.5分,乙多得22.5分,相当于20-15=5份。因此原来甲得22.5÷5×20=90(分),乙得 22.5÷5×16=72(分)。

我们再介绍一种能解本节所有问题的解法,也就是通过比例式来列方程。

解二:设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x。根据得分变化,可列出比例式。

(5x-22.5)∶(4x+22.5)=5∶7 即 5(4x+22.5)=7(5x-22.5),15x=12×22.5,x=18。甲原先得分18×5=90(分),乙得18×4=72(分)。

【例3】家与家的收入钱数之比是8∶5,开支的钱数之比是8∶3,结果家结余240元,家结余270元。问每家各收入多少元?

解一:我们采用“假设”方法求解。如果他们开支的钱数之比也是8∶5,那么结余的钱数之比也应是8∶5。家结余240元,家应结余x元。240∶x=8∶5,x=150(元)。

实际上家结余270元,比150元多120元。这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差,每份是120÷(5-3)=60。(元)。因此可求出

解二:设家收入是8份,家收入是5份。家开支的3倍与家开支的8倍的钱一样多。

我们画出一个示意图:

家开支的3倍是(8份-240)×3。家开支的8倍是(5份-270)×8。从图上可以看出 5×8-8×3=16份,相当于270×8-240×3=1440(元)。因此每份是1440÷16=90(元)。家收入是90×8=720(元),家收入是90×5=450(元)。本题也可以列出比例式:(8x -240)∶(5x-270)=8∶3。然后求出x。事实上,解方程求x的计算,与解二中图解所示是同一回事,图解有算术味道,而且一些数量关系也直观些。

【例4】 A和B两个数的比是8∶5,每一数都减少34后,A是B的2倍,求这两个数。

解:减少相同的数34,因此未减时,与减了以后,A与B两数之差并没有变,解题时要充分利用这一点。 8∶5,就是8份与5份,两者相差3份。减去34后,A是B的2倍,就是2∶1,两者相差1。将前项与后项都乘以3,即2∶1=6∶3,使两者也相差3份。现在就知道34是8-6=2(份)或5-3=2(份)。因此,每份是34∶2=17。 A数是17×8=136,B 数是17×5=85。

本题也可以用例13解一“假设”方法求解,不过要把减少后的2∶1,改写成8∶4。

【例5】小明和小强原有的图画纸之比是4∶3,小明又买来15。小强用掉了8,现有的图画纸之比是5∶2。问原来两人各有多少图画纸?

解一:充分利用已知数据的特殊性。4+3=7,5+2=7,15-8=7。原来总数分成7份,变化后总数仍分成7份,总数多了7,因此,新的1份=原来1份+1原来4份,新的5份,5-4=1,因此,新的1份有15-1×4=11()。小明原有图画纸11×5-15=40(),小强原有图画纸11×2+8=30()。

解二:我们也可采用例13解一的“假设”方法。先要将两个比中的前项化成同一个数(实际上就是通分)4∶3=20∶15,5∶2=20∶8。

假设小强也买来15×3/4=45/4(),那么变化后的比仍应是20:15,但现在是20:8,因此这个比的每一份是(45/8+8)÷(15-8)=11/4。小明现有20×11/4=55(),原有55-15=40();小强现有8×11/4=22(),原有22+8=30()。当然,也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法。

解三:设原来小明有4“份”,小强有3“份”图画纸。

把小明现有的图画纸数乘2,小强现有的图画纸数乘5,所得到的两个结果相等。我们可以画出如下示意图:

从图上可以看出,3×5-4×2=7(份)相当于图画纸15×2+8×5=70()。因此每份是10,原来小明有40,小强有30。

备注:例1至5这五个例题是同一类型的问题。用比例式的方程求解没有多大差别。用算术方法,却可以充分利用已知数据的特殊性,找到较简捷的解法,也启示一些随机应变的解题思路。另外,解方程的代数运算,对小学生说来是超前的,不容易熟练掌握。例3的解一,也是一种通用的方法。“假设”这一思路是很有用的,希望读者能很好掌握,灵活运用。从课外的角度,我们更应启发小同学善于思考,去找灵巧的解法,这就要充分利用数据的特殊性。因此我们总是先讲述灵巧的解法,利于心算,促进思维。

【例6】粗蜡烛和细蜡烛长短一样。粗蜡烛可以点5小时,细蜡烛可以点4小时。同时点燃这两支蜡烛,点了一段时间后,粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍。问这两支蜡烛点了多少时间?

解:设粗、细蜡烛长度是1,每小时粗蜡烛点去1/5,细蜡烛点去1/4,我们把问题改变一下:设细蜡烛长度是2,每小时点去2/4,问过多长时间两支蜡烛长度相等。

现在两者相关是(2-1),每小时能缩小差距(2/4-1/5),因此两者相等需要时间是(2-1)÷(2/4-1/5)=10/3(小时)。

把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2,使原来要考虑的“2倍”变成“相等”,思考就简捷了。解这类问题这是常用的技巧。再请看一个稍复杂的例子。

【例7】箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2只。每次从箱子里取出7只白球,15只红球,经过若干次后,箱子里剩下3只白球,53只红球,那么,箱子里原来红球数比白球数多多少只?

解:因为红球是白球的3倍多2只,每次取15只,最后剩下53只,所以对3倍的白球,每次取15只,最后应剩51只。

因为白球每次取7只,最后剩下3只,所以对3倍的白球,每次取 7×3=21只,最后应剩3×3= 9只。因此,共取了(51- 3×3)÷(7×3-15)= 7(次)。

红球有 15×7+ 53= 158(只)。白球有 7×7+3=52(只)原来红球比白球多 158-52=106(只)。

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