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零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
函数的零点存在性定理ppt课件
结合思想，培养学生的辨证思 维能力，以及分析问题解决问 题的能力．
教学过程
（一）回顾旧知，发现问题 问题1 函数的零点： _________________________________ 问题2 求出函数的零点:
f (x) 4x 3 f (x) x2 2x 3
问题3 用上述方法能否求出下列函数的零点
2.数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想
【课后作业】
1.函数f (x) ex x 2 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 2.方程lg x x 0 的根所在的区间可能是 A.( ,0) B.(0.1,1) C.(1,2) D.(2,4)
f (x) x3 3x 5
f (x) ln x 2x 6
分析函数(画图)
f (x) 4x 3
f (x) x2 2x 3
问题1 分别找出上述函数零点所在的大致区间. 问题2 观察区间端点的函数值的符号变化问题.
总结归纳，形成概念:
函数零点的存在性定理： __________________________________ _______________________
【学习目标】
1 .知识和技能目标：掌握函数零点的存在性定理；正确判断
出零点所在的区间.
2 .过程与方法：有些函数通过求方程的根求零点,有些函数不
易通过求方程的根求出零点.以这个问题为突破口,引出零点存在 性.在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归 纳思想.
3 .情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形
讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立 吗？试举例并结合图形来分析.
自学-数学-零点存在定理
想 一 想 : 求 下 列 方 程 的 根 或 函 数 的 零 点:
1. x 1 0;
2
方 程 f x 0有 实 数 根 函数y f x有零点
2. x 2 x 1 0; 函 数 y f x 图 象 与 x 轴 有 交 点 3. f x 2 8;
函数
y 2x 1
闭区间
闭区间端点函 数值的乘积
f (0) f (1) 1 0
f (1) f (3) 0 和 f (3) f (5) 0
零点
x1 1 2
[0,1]
3 5 1， 和 3，
y x 6x 8
2
x1 2, x2 4
y 2 2
y lg x 在 0,+ 是 增 函 数 ,
f x lg x x 8 在 0,+ 是增函数,
y x 8 在 0,+ 是 增 函 数 ,
f ( x ) lg x x 8 有 且 只 有一个零点.思考:以上两个问来自中方程的根所在区间的范围x
如果函数相应的方程的根不容 易求出且图象也不容易画出，例如 函数 f x ln x 2 x 6, 我们怎么 讨论它的零点呢？
如图所示，我们要画一条连接A、B的连续 曲线，使这条曲线能成为函数的图象。显然这 样的曲线可以画无数条，我们来观察这些曲线 有什么共同的特呢？
我们来观察下面表格中的函数：
x
[0, 2]
7 7 [ , ] 4 2
f (0) f (2) 0
f ( ) f ( ) 0 4 2 7 7
x1 1
x1 2
y log 2 (2 x 3)
1. x 1 0;
2
方 程 f x 0有 实 数 根 函数y f x有零点
2. x 2 x 1 0; 函 数 y f x 图 象 与 x 轴 有 交 点 3. f x 2 8;
函数
y 2x 1
闭区间
闭区间端点函 数值的乘积
f (0) f (1) 1 0
f (1) f (3) 0 和 f (3) f (5) 0
零点
x1 1 2
[0,1]
3 5 1， 和 3，
y x 6x 8
2
x1 2, x2 4
y 2 2
y lg x 在 0,+ 是 增 函 数 ,
f x lg x x 8 在 0,+ 是增函数,
y x 8 在 0,+ 是 增 函 数 ,
f ( x ) lg x x 8 有 且 只 有一个零点.思考:以上两个问来自中方程的根所在区间的范围x
如果函数相应的方程的根不容 易求出且图象也不容易画出，例如 函数 f x ln x 2 x 6, 我们怎么 讨论它的零点呢？
如图所示，我们要画一条连接A、B的连续 曲线，使这条曲线能成为函数的图象。显然这 样的曲线可以画无数条，我们来观察这些曲线 有什么共同的特呢？
我们来观察下面表格中的函数：
x
[0, 2]
7 7 [ , ] 4 2
f (0) f (2) 0
f ( ) f ( ) 0 4 2 7 7
x1 1
x1 2
y log 2 (2 x 3)
方程零点存在性定理
方程零点存在性的证明中一类辅助函数的构造!孙)蒙)!国防科技大学理学院)长沙)"’%%#,"摘)要)介绍利用罗尔定理证明方程零点存在性时辅助函数的构造方法关键词)罗尔定理!辅助函数!微分方程)中图分类号)&’#+W ’我们先来看6’7中’8,页至’H ’页的几个例子(’ 设*K /I "且满足*%/*’+/*+,/%/*--/’2%"证明(方程*%/*’"/*+"+/%/*-"-2%在#%"’$内至少有一个实根(+ 设!#"$在**"$+上连续"在#*"$$内可导"且!#*$2!#$$2%"证明(%42/I "&&/#*"$$"使得!:#&$24!#&$(, 设函数!#"$在*%"’+上二阶可微"且!#%$2!#’$"!:#’$2’"证明(存在&/#%"’$"使得!F #&$2+(我们可以发现它们的共同特点(求证某个方程的零点存在性(我们可以利用罗尔定理来证明(为此需要构造一个辅助函数"通过对它的分析"利用罗尔定理"证明所求的零点存在(直观的分析"我们把要证明的问题描述为(欲证&&/**"$+"使得!#&$2%"我们需要构造一个-阶可微函数6#"$"使得6#-$#"$2!#"$"6#*$26#$$"且6:#?’$2%26#-#’$#?-#’$2%"其中"?K/#*"$$#K 2’"%"-#’$"这样"依次运用罗尔定理"就可完成证明(至此"我们把构造辅助函数的问题转化成一个-阶微分方程的-边值问题.(简单起见"不妨取6#*$26#$$2%"且?K2*"根据微分方程定性理论"如果!#"$连续"则6#"$是存在且唯一的(因此"理论上"我们完全可以用隐式表示出原函数(如果!#"$是易于求原函数的初等函数"我们只需求出原函数族的通式"然后根据已知条件确定系数即可作出辅助函数"如第,例"我们可以这样构造(对于方程!F #&$#+1%"令6:#"$20#!F #"$#+$O ""于是得6#"$的通式(6#"$2!#"$#"+/N "/^再由!#%$2!#’$"!:#’$2’"为使6#%$26#’$"并且6:#’$2%"可以解出(N2’"^2%"从而得该问题罗尔定理解法的辅助函数为(6#"$2!#"$#"+/"))仿此"问题’和+的的辅助函数分别为(6#"$2*%"/*’+"+/%/*--/’"-/’")6#"$25#4"!#"$))构造出辅助函数后"我们就可以按部就班的做下去"完成证明(详见6’7参考文献*’+孙清华"孙昊(数学分析内容,方法和技巧(武汉(华中科技大学出版社"+%%,(H 067-38"9730 高等数学研究:F G 3"+%%0 :;<=>?:>9@&A A ?B ?C D ;E ?C D ;>@:!收稿日期(+%%")’+)+H !修改日期(+%%0(%’(’%。
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
零点存在定理
1.学会由函数解析式讨论零点的个数， 证明零点的个数。 2.思想方法：函数方程思想，数形结合 思想，分类讨论思想
课后作业： 课后作业：
课本P86练习2.
如图所示，我们要画一条连接A、B的连续 曲线，使这条曲线能成为函数的图象。显然这 样的曲线可以画无数条，我们来观察这些曲线 有什么共同的特呢？
我们来观察下面表格中的函数： 我们来观察下面表格中的函数：
函数 闭区间 闭区间端点函 数值的乘积 零点
y = 2x −1
2
[0,1]
f (0) f (1) =−1<0
想一想:求下列方程的根或函数的零点: 1.x + 1 = 0; 方程f ( x) = 0有实数根 2 2.x − 2 x + 1 = 0; ⇔函数y = f ( x)图象与x轴有交点 x ⇔函数y = f ( x) 有零点 3. f ( x ) = 2 − 8;
如果函数相应的方程的根不容 易求出且图象也不容易画出， 易求出且图象也不容易画出，例如 函数 f ( x ) = ln ( x ) + 2 x − 6, 我们怎么 讨论它的零点呢？ 讨论它的零点呢？
-1.309
3
1.089
4
5
6
7
8
9
14.1972
f(x) -4
3.3863 5.6094 7.7918
9.9459 12.0794
区间 ( 2,3)内有零点. f ( x ) 在其他的区间是否存在零点 ? 我们先 来看这个函数的图象 :
由表可知f ( 2 ) < 0, f ( 3) > 0, 则f ( 2 ) f ( 3) < 0, 说明f ( x ) 在
y =log2(2x−3)
(四)连续零点存在定理
但 xlim0 f ( x) xlim0 x 0, xlim0 f ( x) x00 1 , lim x 0 0 0
即lim f ( x)不存在,所以x 0是函数f ( x)的间断点,又f (0 0)不存 x0 在,所在x 0为第二类间断点;
初等函数的连续性
一、初等函数的连续性 1.基本初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内都是连续的. 2.连续函数的和、差、积、商的连续性
若函数f (x), g (x)在点x0处皆连续,则它们的和,差,积,商(分母 不为零)也都在点x0连续.
3.反函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函 数且单调性不变. 4.复合函数的连续性
0
存在,则称x0为可去间断点(此时,f(x)在x0处可能有定义, 也可能无定义);若f ( x0 0) f ( x0 0),称x0为跳跃间断点.
例如,上述例(1)和例(3)中,x 1是可去间断点,而在例(2)中 x 1是跳跃间断点.
例5 求下列函数的间断点，并说明其类型.
sin x , x 0 (1) f ( x) x ; 0, x 0
x, x 0 (3) f ( x) 1 ; ,x 0 x
(2)y tan x;
(4)f ( x)
x1, x0 1,
x0
解
(1)函数f ( x)在(, )内定义,且由重要极限知 lim f ( x) lim sin x 1,而f (0) 0,即lim f ( x) f (0). x0 x0 x0 x
又 xlim0 tan x , xlim0 tan x ,
2 2
根据函数周期性,函数y tan x在x k 处的左右极限均 2 不存在,即x k 为第二类间断点. 2
连续零点存在定理
1, x 1 的图形,并讨论函数f ( x)点x 1 x,-1 x 1
解
分段函数f ( x)在区间(,1] 内有定义,函数图形如图13-25所示.
因为x lim f (x) x lim x 1,而f (1) 1,所以函数在点x 1左连续. 10 10
因为x lim f ( x) x lim x 1,lim f ( x) x lim1 1左极限不等 10 10 x10 10 于右极限,所以lim f (x)不存在,即函数f (x)在x 1处不 x1 连续. 但由于f (1 0) 1 f (1),所以函数f ( x)在点x 1右连续.
1 x e 1
5.初等函数的连续性 一切初等函数在定义区间内都是连续的.
例4 求limlncos x. x0
- , ,而x 0在该 设函数 f ( x ) lncos x , 它的一个定义区间为 解 2 2 区间内,所以limlncos x lncos0 0 x0
解
因为函数f ( x) ln(1 cos x) 是初等函数,且x 属于其定义区 sin x 2 ) ln(1 cos ln(10) 0 ln(1 cos x) 2 间,所以lim x sin x 1 2 sin 2
二、闭区间上连续函数的性质 1.最大值与最小值性质 定理4 在闭区间上连续的函数，在该区间上至少取 得它的最大值和最小值各一次.
所以x 0是函数f ( x)的间断点,又因为lim f ( x)存在,即左右 x0 极限都存在且相等,所以, x 0是此函数的可去间断点;
(2)函数y tan x在x k ,(k Z )的近旁有定义,但在x k 2 ,(k Z )没定义,所以点x k ,(k Z )是函数y tan x的间断点, 2 2
e零点存在定理
作业
P88: 1, 2
康定中学高一数学组 胡毅 2013年11月22日
A.(-2，-1) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
x f ( x ) e x - 2 的零点所在的一个区 （2）函数 间是（ C ） A.(-2，-1) B.(-1,0) C.(0，1) D.(1,2)
突破高考
练习2 (1)、(10重庆理) 函数 f 一 个区间是（ B ）
内有零点
a
o x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(a)· f(b)<0。
对函数零点的存在性定理的理解
思考4：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线：且f(a)· f(b)>0，是否在 (a,b)内函数就没有零点？
a
b
注意：函数y=f(x)在区间[a,b] 上的图象是连续不断的一条曲 线，当f(a)· f(b)>0时，可能存 在零点，也可能不存在零点
x
a
o
b
试一试：
2 函数 f ( x ) Inx - 的零点所在的大致区间是（ B ） x 1 A． 1, 2 B． 2,3 C． 1, 和 3,4 D． e, e
分 析 ： 判 断 区 间 a, b 是 否 为
f ( x) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 需 要 判 断
f ( x) 0
y f ( x)
数学组授课教师：胡毅
授课班级：高一11班
知识回顾
零点：
对于函数y f ( x)，我们把使f ( x) 0的实数x叫做
函数y f ( x)的
零 点。
函数y f ( x)的零点就是方程f ( x) 0的实数根， 也就是函数y f ( x)的图象与x轴的交点的横坐标。
零点存在性定理
2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图） 简图） 简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能 问题 ： 表示函数？ 表示函数？ 问题2： 问题 ：你能从中分析 函数有哪些零点吗？ 函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 设问激疑 延伸拓展 例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。 的零点个数。
再次思考问题： 再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
∴选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移 初步应用 理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤： 求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； 解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点 如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。
零点的存在性定理 ppt课件
f 2 f 2 < 0,但f x在-2,2上有三个
零点-1,0,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
1函 数 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a b c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
yf x在区间a,b内有零 点 ，即存在ca,b
零点-1,0,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
1函 数 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a b c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
yf x在区间a,b内有零 点 ，即存在ca,b
新教材高中数学第三章零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修第一册ppt
m<x1<n <x2<p
只有一根在 (m，n)之间
图像
满足条件
f（m）>0， f（n）<0， f（p）>0 Δ＝0， m<－2ba<n，
或 f(m)· f(n)<0
【补偿训练】
4x2＋(m－2) x＋m－5＝0 的一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(0，2) 内，则
m 的取值范围是( )
A．53，5
当 3<k<4 时，直线 y＝k 与 g(x)的图像有 4 个交点．
利用函数的图像判断零点个数 (1)原理：函数的零点个数⇐ 方程的根的个数⇐ 移项拆分为两个函数，作图观察交点个 数． (2)关键：拆分成的两个函数应方便作图．
函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个不等零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，求实数 k 的 取值范围． 【解析】因为函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，所 以设 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k，画出函数的大致图像如图．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)函数 y＝2x－1 的零点是12，0 .( × )
提示：函数 y＝2x－1 的零点是12 .
(2)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上 f(a)f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点．( × )
提示：如 f(x)＝x2 在区间(－1，1)上有 f(－1)f(1)＝1×1＝1>0，但是在区间(－1，1)
)
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路导引】令 f(x)＝0，移项后转化为两个初等函数，利用图像的交点个数判断． 【解析】选 C.令 f(x)＝1x －x2＋1＝0， 得|1x |＝x2－1，则函数 f(x)的零点个数，
只有一根在 (m，n)之间
图像
满足条件
f（m）>0， f（n）<0， f（p）>0 Δ＝0， m<－2ba<n，
或 f(m)· f(n)<0
【补偿训练】
4x2＋(m－2) x＋m－5＝0 的一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(0，2) 内，则
m 的取值范围是( )
A．53，5
当 3<k<4 时，直线 y＝k 与 g(x)的图像有 4 个交点．
利用函数的图像判断零点个数 (1)原理：函数的零点个数⇐ 方程的根的个数⇐ 移项拆分为两个函数，作图观察交点个 数． (2)关键：拆分成的两个函数应方便作图．
函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个不等零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，求实数 k 的 取值范围． 【解析】因为函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，所 以设 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k，画出函数的大致图像如图．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)函数 y＝2x－1 的零点是12，0 .( × )
提示：函数 y＝2x－1 的零点是12 .
(2)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上 f(a)f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点．( × )
提示：如 f(x)＝x2 在区间(－1，1)上有 f(－1)f(1)＝1×1＝1>0，但是在区间(－1，1)
)
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路导引】令 f(x)＝0，移项后转化为两个初等函数，利用图像的交点个数判断． 【解析】选 C.令 f(x)＝1x －x2＋1＝0， 得|1x |＝x2－1，则函数 f(x)的零点个数，
函数零点存在性定理
•函数零点存在性定理：一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x〕=0的根．特别提示:(1)依据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不肯定唯一．(2)并不是全部的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．(3)假设f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx〕在(a，b)上有唯一的零点.•函数零点个数的推断方法:(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提示：①“方程的根〞与“函数的零点〞尽管有紧密联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f〔x〕=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x〕=0的实数根．例题1：假设函数f〔x〕唯一的一个零点同时在区间〔0，16〕、〔0，8〕、〔0，4〕、〔0，2〕内，以下结论：〔1〕函数f〔x〕在区间〔0，1〕内有零点；〔2〕函数f〔x〕在区间〔0，1〕或〔1，2〕内有零点；〔3〕函数f〔x〕在区间[2，16〕内无零点；〔4〕函数f〔x〕在区间〔0，16〕上单调递增或递减．其中正确的有______〔写出全部正确结论的序号〕．答案由题意可确定f〔x〕唯一的一个零点在区间〔0，2〕内，故在区间[2，16〕内无零点．〔3〕正确，〔1〕不能确定，〔2〕中零点可能为1，〔4〕中单调性也不能确定．故答案为：〔3〕例题2：已知函数有零点，则实数的取值范围是〔〕答案：例题3：例题4：函数f〔x〕=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是〔〕A. a≥ 1/5;B. a ≤ -1 ;C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ;D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1 答案：由题意可得f〔-1〕×f〔1〕≤0，解得∴〔5a-1〕〔a+1〕≥0∴a≥1/5 或a≤-1应选D．例题5：假设函数f(x)=x2+log2|x|-4的零点m∈(a，a+1)，a∈Z，则全部满足条件的a的和为〔〕。
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该区间只有一个零点时，可得f 0 f 4 0或
=4a2 8 0
即218-8a 0或a2 2解得a 9 或a 2
4
当函数在该区间内有两个不同零点时，
必须满足
0,0 - -2a 4, f 0 0,
2
f 4 0 .即 4 a 2 4 2 0, 0 a 4, 2 0
1 8 8 a 0 .解 得 2 a 9 . 4
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
零点的存在性定理习题课
一、课题导入 上节课学习了函数零点的概念及其判定， 那么针对一般函数的零点问题又如何判
断？
二、学习目标
1 能够叙述零点的存在性定理
2 能够正确运用存在性定理判断函数 零点问题
三、预习指导
如果 函数yf x在区间a,b上的图像是连续不断
的一条曲线，并且有fa fb<0，那么，函数
综 上 所 述 ， a的 取 值 范 围 是 a a 2 .
பைடு நூலகம்
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
曲线。
2由f a f b 0,就可判断函数y f x在区间 a,b内至少有一个零点。
利 用 上 述 结 论 只 能 判 断 函 数 yfx在 区 间 a,b上 零 点 的 存 在 性 ， 但 不 能 确 定 其 零 点
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a b c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
有 两 个 零 点 -1,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
错 解 ： 因 函 数 f x x2 2ax 2在 区 间
0, 4上 至 少 有 一 个 零 点 ， 所 以 f 0 f 4
yf x在区间a,b内有零 点 ，即存在ca,b
,使得f c 0 ,这个c就是方程f x0的根
四、引导探究
探究一 深刻理解存在性定理
若函数yfx满足在区间ab上到图像是
连续不断的一条曲线，并且有fa fb<0, 那么，函数yfx在a,b内的零点唯一吗？
不一定，如f x=x3 x在区间-2,2上有
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/202020/12/202020/12/2012/20/2020 2:22:16 PM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/202020/12/202020/12/20Dec-2020-Dec-20 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/202020/12/202020/12/20Sunday, December 20, 2020 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/202020/12/202020/12/202020/12/2012/20/2020
f 2 f 2 < 0,但f x在-2,2上有三个
零点-1,0,1.
若函数yfx满足在区间a,b上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有fa fb 0 是不是说函数yfx在a,b内没有零点？
yfx在 a,b内 也 可 能 有 零 点 ， 如 fxx21
在 区 间 -2,2上 有 f2f2 0,但 在 -2， 2内
0,即 2 18-8a 0, 解 得 a 9
4
所
以
a的
取
值
范围
是
a
a
9
4
错因分析：对函数零点存在定理理解不够
错误认为定理反向也成立。
连续函数f x在闭区间a,b上，若满足
f a f b 0, 则 在 区 间 a, b 内 至 少 有 一 个
零点，反之不一定成立。
正解：对至少有一个零点分类讨论，当函数在
。2020年12月20日星期日2020/12/202020/12/202020/12/20
15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/202020/12/202020/12/2012/20/2020
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
七 布置作业
红对勾课时作业23
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/202020/12/20Sunday, December 20, 2020
的 个 数 。
六 当堂清学
一 基础题
1函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
1函 数 f x x 1 的 零 点 个 数 是
x A.0 B.1 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数