零点存在性定理

2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图） 简图） 简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能 问题 ： 表示函数？ 表示函数？ 问题2： 问题 ：你能从中分析 函数有哪些零点吗？ 函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 设问激疑 延伸拓展 例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。 的零点个数。
再次思考问题： 再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
∴选 B
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方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移 初步应用 理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤： 求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； 解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点 如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。
y y
a
o (1)
b
a
x
o (2)
b
x
y y
b
b
o
b
a
o (3)
b
x
a
b
(4)
b
x
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试一试： 试一试：
2 的零点所在的大致区间是（ 函数 f ( x) = Inx − 的零点所在的大致区间是（ B ） x 1 A． (1,2 ) B．( 2,3) C． 1, 和 ( 3,4 ) D． ( e, +∞ ) e
分析：判断区间
f ( a ) ⋅ f (b) < 0 是否成立。 是否成立。
经代入计算得
( a, b ) 是 否 为
f ( x) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 要 判 断
f (2) = In 2 − 1 < 0 ， f (3) = In3 − 2 > 0
3
∴ f (2) ⋅ f (3) < 0 ， 内有零点。 ∴ f ( x) 在 ( 2,3) 内有零点。
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讨论探究， 讨论探究，揭示定理 引导: 引导
(3)我们已经知道 区间 我们已经知道,区间 内肯定会有零点, 我们已经知道 区间(4,8)内肯定会有零点 内肯定会有零点 那么会有几个零点呢?是否只有一个呢 是否只有一个呢?(4,8) 那么会有几个零点呢 是否只有一个呢 内的图象会是什么样的呢? 内的图象会是什么样的呢
.
. x1=x2=1 (1,0)
0
1 2
3
x
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点 轴的交点
x1=－1,x2=3 － (－1,0)、(3,0)
无实数根 无交点
3
结论： 结论：一元二次方程的根是相应二次 函数图象与x轴交点的横坐标 函数图象与 轴交点的横坐标! 轴交点的横坐标
这种关系可以推广一般情形吗？ 这种关系可以推广一般情形吗？ 对于任意方程f 对于任意方程f（x）=0与对应函数y=f（x），上 =0与对应函数y=f（ ），上 与对应函数y=f 述结论是否成立呢？ 述结论是否成立呢？
零点存ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性定理 勘根定理） （勘根定理）
1
复习：
函数零点的定义： 函数零点的定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0成立的实数 ，我们把使 对于函数 成立的实数 x叫做函数 叫做函数y=f(x)的零点． 的零点． 叫做函数 的零点
2.零点是点 零点是点 1.任意函数 任意函数 都有零点吗? 都有零点吗? 还是数? 还是数?
即存在 c∈( a,b) ，使得 f (c) = 0，这个 c也就是方程 f (x) = 0的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
9
讨论探究， 讨论探究，揭示定理
问题2：如图，请观察，这是某地在 月份几天内 问题 ：如图，请观察，这是某地在12月份几天内 的一张气温变化模拟函数图（ 一个连续函数图 的一张气温变化模拟函数图（即一个连续函数图 ），由于图象中有一段被墨水污染了 由于图象中有一段被墨水污染了， 象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在有 人想了解一下在4日到 日到8日之间可能有几个时刻的 人想了解一下在 日到 日之间可能有几个时刻的 温度会达到0摄氏度 你能帮助他吗？ 摄氏度， 温度会达到 摄氏度，你能帮助他吗？
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（1） ）
2 −1 = 0
x
y = 2 −1
x
（2） log 2 x − 1 = 0 ）
y = log 2 x − 1
4
方程的根和相应的函数图象与x 方程的根和相应的函数图象与 轴交点的横坐标相同
x 0 是方程f ( x ) = 0的实数根
函数 y = f ( x ) 的图象与 x 轴 有交点（ x 0 , 0）
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4.问题：一次函数、反比例函数、指数函数、 问题：一次函数、反比例函数、指数函数、 问题 对数函数、幂函数有零点吗？ 对数函数、幂函数有零点吗？
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小结
函数的零点定义 等价关系 零点的求法 函数零点存在性原理 数学思想方法
数 形 结 合 思 想
代数法 图像法
函数零点方程根， 函数零点方程根， 形数本是同根生。 形数本是同根生。 函数零点端点判， 函数零点端点判， 图象连续不能忘。 图象连续不能忘。
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发现：零点存在性定理（勘根定理） 发现：零点存在性定理（勘根定理）
如果函数 y = f ( x) 在(1)区间[ a, b ]上的(2)图象是连续不断的一条曲线，
并且有(3) f (a ) ⋅ f (b) < 0 ，那么，函数 y = f ( x) 在区间 ( a, b ) 内有零点，反之 不成立
转 化 思 想
方 程 函 数 思 想
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必做题: 必做题:
A组 1、教材P 92 A组 2 教材P 的零点有( 2、函数 y = log 2 | x | − 1 的零点有( A.1 B.2 C.3 D.4 )个 )个.
探究题： 设函数
f ( x ) = 2 − ax + 1
x
（1）探求a=2和a=3时函数的零点个数； 探求a=2 a=3时函数的零点个数； a= 函数f(x)的零点是怎样分布的？ f(x)的零点是怎样分布的 （2）当 a ∈ R 时，函数f(x)的零点是怎样分布的？
计算 f (−2) 和 f (1) 的乘积，你能发现这 个乘积有什么特点？在区间 [ 2, 4] 上是 否也具有这种特点呢？
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
8
结 论
如果函数 y = f (x)在区间[ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) ⋅ f (b) < 0，那么，函数 y = f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点，
（3） ） （4） ）
x + 2x − 6 = 0
3
ln x + 3 x − 8 = 0
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练习： 练习：
y = ax 2 + bx + c中，ac<0,则其零 1.在二次函数 则其零 点的个数为（ B ） 点的个数为（
Ａ.１ １ Ｂ.２ ２ Ｃ.３ ３ Ｄ.不存在 不存在
y = f ( x) − 1
(3) (4)
x + 2x − 6 = 0
3
lnx +3x −8 = 0
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探究
问题 1 观察二次函数 f ( x) = x 2 − 2 x − 3的 图象，如右图，我们发现函数
f ( x) = x 2 − 2 x − 3 在区间 [ −2,1] 上有零点。
y 5 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x
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讨论探究， 讨论探究，揭示定理
引导: 引导 1) 在4日——8日（区间 ，8)）之间温度 日 日 区间(4， ） 会不会达到0摄氏度呢 为什么？ 摄氏度呢？ 会不会达到 摄氏度呢？为什么？ 2) 如果已知一个函数图象在区间 ，b]上是 如果已知一个函数图象在区间[a， 上是 连续的，那么,什么情况下 图象在区间(a， 什么情况下， 连续的，那么 什么情况下，图象在区间 ， b)内肯定会与 轴有交点呢？ 内肯定会与x轴有交点呢 内肯定会与 轴有交点呢？ 如果已知一个函数图象在区间[a，b]上连续， 如果已知一个函数图象在区间[a，b]上连续， 已知一个函数图象在区间[a 上连续 f(a)·f(b)<0， 且f(a)·f(b)<0，那么这个函数图象在区间 （a，b）内肯定会跟x轴相交，也就是在区间 内肯定会跟x轴相交， 内肯定会存在零点。 （a，b）内肯定会存在零点。
2.若 y = f ( x ) 不是常数函数且最小值为１，则 若 不是常数函数且最小值为１ 的零点个数（ 的零点个数（ D ） Ａ.０ ０ Ｂ.１ １ Ｃ.０或１ ０ Ｄ.不确定 不确定
是定义域为Ｒ的奇函数， ３.已知函数f ( x)是定义域为Ｒ的奇函数，且 f ( x) 已知函数 上有一个零点， 的零点个数为( ) 在(0, +∞)上有一个零点，则 f ( x) 的零点个数为 A Ａ.３ ３ Ｂ.２ ２ Ｃ.１ １ Ｄ.不确定 不确定
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引导: 引导 （4）若一个函数图象在[a，b]上连 ）若一个函数图象在 ， 上连 续，但f(a)·f(b)>0，图象在区间(a，b) ，图象在区间 ， 内与x轴有交点吗？为什么?你能举个 内与 轴有交点吗？为什么 你能举个 轴有交点吗 y 例子吗? 例子吗 a o b
x
(5) 若一个函数图象在[a，b]上不连 若一个函数图象在 ， 上不连 (1) 续，但f(a)·f(b)<0，图象在区间(a，b) ，图象在区间 ， 内与x轴有交点吗？为什么?你能举个 内与 轴有交点吗？为什么 你能举个 轴有交点吗 例子吗? 例子吗